55. ročník Matematické olympiády Komentáře k domácímu kolu kategorie Z5 1. Doplň do prázdných políček přirozená čísla od 1 do 20 (každé číslo můžeš použít jen jednou) tak, aby platily matematické vztahy: : 2 + 4 − 3 : 7 × 4 − 2 : 2 + 2 + 6 − 2 − 1 : 4 × 5 − 1 : 7 × 4 Řešení. Začneme posledním řádkem. Ve třetím čtverečku musí být číslo dělitelné sedmi, tj. 7 nebo 14. Když zkusíme 7, dostaneme: 8 7 1 4 × 5 − 1 : 7 × 4 Do prvního čtverečku nemáme co doplnit. Vyhovuje tedy číslo 14 a poslední řádek bude: 3 15 14 2 8 × 5 − 1 : 7 × 4 Nyní si všimneme prvního řádku. Ve čtvrtém čtverečku musí být číslo dělitelné sedmi (7 nebo 14), ale 14 je již v posledním řádku, takže doplníme číslo 7. Odtud doplníme celý řádek: 12 6 10 7 1 : 2 + 4 − 3 : 7 Pokračujeme druhým řádkem. V prvním čtverečku nemůže být číslo větší než 5, čísla 1, 2, 3 jsou již použita, takže tam může být 4 nebo 5. Nevyhovuje však 4 (ve třetím čtverečku by se opakovalo číslo 14), takže doplníme číslo 5. Celý řádek bude vypadat takto: 5 20 18 9 11 × 4 − 2 : 2 + 2 1 Zbývá nám třetí řádek. Ve čtvrtém čtverečku musí být číslo dělitelné čtyřmi, které není dosud použité, tj. 4 nebo 16. Z nich vyhovuje jen 16 (číslo 4 by vedlo ke sporu v pátém čtverečku, protože číslo 1 je už použité). Použitím čísla 16 doplníme celý řádek: 13 19 17 16 4 +6 − 2 − 1 : 4 Celkové řešení: 12 6 10 7 1 : 2 + 4 − 3 : 7 5 20 18 9 11 × 4 − 2 : 2 + 2 13 19 17 16 4 +6 − 2 − 1 : 4 3 15 14 2 8 × 5 − 1 : 7 × 4 2. Blecha Skákalka skáče po číselné ose. Dokáže však jen dva druhy skoků. Jedním přeskočí o 14 čísel doprava nebo doleva, druhým přeskočí o 18 čísel doprava nebo doleva. Právě stojí na čísle 2. a) Najdi způsob, jak má blecha skákat, aby se dostala právě čtyřmi skoky na de- sítku. b) Blecha tvrdí, že včera byla na třináctce. Mluví pravdu, nebo lže? Zdůvodni. Řešení. (a) Skákalka se musí dostat o 8 čísel doleva. To znamená, že bude dělat krátké skoky směrem doprava a dlouhé skoky směrem doleva. Jeden možný způsob je: 2 20 6 24 10 18 −14 18 −14 (b) Protože blecha stojí na sudém čísle a mohla skákat jen o sudý počet čísel na obě strany, byla vždy jenom na sudém čísle. Na třináctce být nemohla. 3. Pohádkový nafukovací čtverec, který umí mluvit, měl před 5 minutami délku strany 8 cm. Při každé lži zvětší svůj obvod dvojnásobně, při každé vyslovené pravdě se zmenší délka každé jeho strany o 2 cm. Za posledních 5 minut dvakrát lhal a dvakrát mluvil pravdu. a) Jaký největší obvod může teď mít? b) Jaký nejmenší obvod může teď mít? 2 Řešení. Zkusíme vypočítat všechny obvody, jichž mohl čtverec dosáhnout: LLPP (8 · 2 · 2 − 2 − 2) · 4 cm = 112 cm, LPLP [(8 · 2 − 2) · 2 − 2] · 4 cm = 104 cm, LPPL (8 · 2 − 2 − 2) · 2 · 4 cm = 96 cm, PLLP [(8 − 2) · 2 · 2 − 2] · 4 cm = 88 cm, PLPL [(8 − 2) · 2 − 2] · 2 · 4 cm = 80 cm, PPLL (8 − 2 − 2) · 2 · 2 · 4 cm = 64 cm. (a) Největší možný obvod je 112 cm. (b) Nejmenší možný obvod je 64 cm. 4. Pepa na pouti koupil čtyři autíčka — bílé, červené, zelené a modré. Bílé stálo dvakrát tolik co červené, zelené třikrát tolik co bílé a za modré zaplatil tolik, co za červené a bílé dohromady. Přitom červené stálo o 70 Kč méně než zelené. Kolik stála jednotlivá autíčka? Řešení. Jestliže bílé stojí dvakrát tolik, kolik červené a zelené třikrát tolik, kolik bílé, pak zelené stojí šestkrát tolik, kolik červené. Současně je zelené o 70 korun dražší nežli červené, takže 5 červených musí stát 70 korun. Odtud jedno červené stojí 14 korun. Zelené pak stojí 84 korun a bílé 28 korun. Za modré zaplatil tolik, kolik za červené a bílé dohromady, to jest 42 korun. 5. Máma stonožka má dvě děti a manžela. Každý z nich má sto nohou a všichni si berou denně čisté ponožky. V sobotu ráno v 6:00 začala máma stonožka dávat špinavé ponožky do pračky. Najednou se jí do pračky vejde 357 ponožek. Tato jedna várka se vypere za dvě a půl hodiny. Zjisti, kdy skončí s praním, pokud víš, že ponožky pere jenom jednou za týden, uložení ponožek do pračky jí trvá 2 minuty a jejich vyndání 3 minuty. Řešení. Máma 100 Děti 200 Táta 100 400 ponožek denně, to je 400 · 7 = 2 800 ponožek týdně. Musíme zjistit, kolikrát máma pustila pračku. Vyjde 2 800 : 357 = 7, zbytek 301. Pračku pustí osmkrát, čili samotné praní bude trvat 20 hodin. Vkládání a výběr ponožek jí bude trvat 8 · (3 + 2) = 40 minut, takže 6:00 + 20:40 = 26:40 = 24:00 + 2:40. Maminka stonožka skončí s praním nejdříve v neděli ráno ve 2:40. 3 6. Maminka má v lednici cihlu sýra, která je znázorněná na obrázku. Postupně z ní odřezává 1 cm silné plátky na smažení. Nejprve odřízla zepředu plátek s rozměry 21 cm, 8 cm, 1 cm pro tatínka. Pak z boku odřízla pro Jiříka, zezadu pro sebe a nakonec z druhého boku pro Aničku. Napiš, jaké rozměry mají jednotlivé plátky. Urči rozměry zbytku sýra. Jiříkovi Aničce tatínkovi sobě 12 cm 21 cm 8 cm Řešení. Tatínek 21 cm, 8 cm, 1 cm Jiřík 11 cm, 8 cm, 1 cm Maminka 20 cm, 8 cm, 1 cm Anička 10 cm, 8 cm, 1 cm Cihla po okrájení měla rozměry 19 cm, 10 cm a 8 cm: 4