MA0005 Algebra 2, 2. seminář 5. 10. 2021 Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 1/13 Náplň cvičení O Analytická geometrie v rovině II ■ Rovnice přímky ■ Vzájemná poloha dvou přímek v rovině ■ Písemkové příklady ze semestru podzim 2019 Literatura ■ Petáková, J.: Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vydání. Prométheus, 1998. ISBN 978-80-7196-099-7. Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 2/13 Rovnice přímky Způsoby zadání přímek Přímku p lze v rovině zadat mnoha způsoby. Uvedeme si čtyři nejznámější: Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 3/13 Rovnice přímky Způsoby zadání přímek Přímku p lze v rovině zadat mnoha způsoby. Uvedeme si čtyři nejznámější: □ pomocí parametrických rovnic, k čemuž potřebujeme bod >A[ai, a2] g p a směrový vektor přímky Ú — (ui, 1/2): x = ai + ŕ • L/i, y = a2 + ŕ-u2, kde ŕ g R. Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 3/13 Rovnice přímky Způsoby zadání přímek Přímku p lze v rovině zadat mnoha způsoby Uvedeme si čtyři nejznámější: □ pomocí parametrických rovnic, k čemuž potřebujeme bod >A[ai, a2] g p a směrový vektor přímky Ú — (ui, 1/2): x = ai + t • L/i, y = a2 + ŕ-u2, kde ŕ g R. pomocí obecné rovnice: ax + by + c = 0, kde n = (a, b) je normálový vektor přímky p. Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 3/13 Rovnice přímky Způsoby zadání přímek Přímku p lze v rovině zadat mnoha způsoby. Uvedeme si čtyři nejznámější: □ pomocí parametrických rovnic, k čemuž potřebujeme bod >A[ai, a2] g p a směrový vektor přímky Ú — (ui, 1/2): x = ai + ŕ • L/i, y = a2 + ŕ-u2, kde ŕ g R. pomocí obecné rovnice: ax + by + c = 0, kde n = (a, b) je normálový vektor přímky p. ve směrnicovém tvaru: y = kx + q, kde /c je směrnice přímky Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 3/13 Rovnice přímky Způsoby zadání přímek Přímku p lze v rovině zadat mnoha způsoby. Uvedeme si čtyři nejznámější: □ pomocí parametrických rovnic, k čemuž potřebujeme bod >A[ai, a2] g p a směrový vektor přímky Ú — (ui, 1/2): x = ai + ŕ • L/i, y = a2 + ŕ-u2, kde ŕ g R. pomocí obecné rovnice: ax + by + c = 0, kde n = (a, b) je normálový vektor přímky p. ve směrnicovém tvaru: y = kx + q, kde /c je směrnice přímky v úsekovém tvaru: ^ + j- = 1, kde p je úsek na ose x, q je úsek na ose y a platí, že body P[p,0], Q[0, q] jsou průsečíky přímky p s osou x, resp. y. Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 3/13 Rovnice přímky Skalární součin vektorů v rovině Skalárním součinem vektorů Ú — (ui, 1/2), v — (vi, V2) rozumíme reálné Číslo U - V — U\ • V\ + U2 • V2- Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 4/13 Rovnice přímky Skalární součin vektorů v rovině Skalárním součinem vektorů Ú — (ui, 1/2), v — (vi, V2) rozumíme reálné Číslo U - V — U\ • V\ + U2 • V2- Platí vztah u - V — u v cos a, kde \Ú\ — \Ju\ + u\ je velikost vektoru a a je velikost úhlu vektorů u. v Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 4/13 Rovnice přímky Skalární součin vektorů v rovině Skalárním součinem vektorů Ú — (ui, 1/2), v — (vi, V2) rozumíme reálné Číslo U - V — U\ • V\ + U2 • V2- Platí vztah u - V — u v cos a, kde \Ú\ — \Ju\ + u\ je velikost vektoru a a je velikost úhlu vektorů u. v Poznámky k předchozímu Dva nenulové vektory i/jsou na sebe kolmé, je-li Ú - v — 0. Normálový vektor n přímky je kolmý na směrový vektor Ú téže přímky tj. n • Ú — 0. Směrovým úhlem přímky p rozumíme úhel, který p svírá s kladnou poloosou x. Pro p : y = kx + q platí, ze k — tga. Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 4/13 Rovnice přímky Příklad 14.1.1: Přímka p je dána v jednotlivých případech různými způsoby. Nakreslete přímku p v soustavě souřadnic pomocí daných prvků. Potom sestavte parametrické rovnice, obecnou rovnici, zapište přímku p ve směrnicovém tvaru, ve tvaru úsekovém (pokud tyto tvary existují). a) Přímka p je dána bodem /4[4; 2] a směrovým vektorem s = (2,-1). b) Přímka p je dána bodem /4[2;0] a normálovým vektorem n — (—3,2). c) Přímka p je dána dvěma body /4[2;3], B[—2; 5]. d) Přímka p prochází bodem A[—3; —1] a počátkem soustavy souřadnic. e) Přímka p prochází bodem A[3; —2] kolmo k ose x. f) Přímka p je dána bodem ^[l^v^] a směrovým úhlem cp = 120°. g) Přímka p prochází bodem A[—2; 4] a má směrnici k = 2. d) Přímka p protíná souřadnicové osy v bodech X[3;0], Y[0; —2]. Výsledky: viz následující slajd. 1 ^)Q,0 Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 5/13 Výsledky příkladu 14.1.1 4.1 Rovnice přímky parametrická rovnice obecná rovnice směrnicový tvar úsekový tvar a) x = 4 4 2í, y = 2 - í, í G R x 4 2y - 8 = 0 y = ~\X + A £ 4 R = 1 b) x = 2 + 2í, y = 3í, í G R 3x - 2y - 6 = 0 y = \x - 3 x 4 A = 1 2^-3 1 c) x = 2 +í, 7/ = 3 + 2í, í G R 2x - y - 1 = 0 y = 2x - 1 x 4 -2- = 1 0,5 1 -1 1 d) x = 3í, y = í, í € R x — 3y = 0 y = \x neexistuje e) x = 3, y = -2 -f í, í G R x - 3 = 0 neexistuje neexistuje f) x = 1 -h í, y = 2^ - y/Št, t G R \/3x 4 y - 3 VŠ = 0 y = — y/Š x 4 3\/3 S -i- ti =l 3 ^ 3v/3 g) x = -2 4 í, y = 4 4 2í, j í G R 2x - y 4 8 = 0 y = 2x + 8 x + g = 1 -4^8 j h) x = 3 + 3í, y = 2í, í G R 2x - 3?/ - 6 = 0 0=§a?-2 3^-2 □ S1 Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 6/13 Rovnice přímky Příklad 14.1.2: Přímka p je dána obecnou rovnicí 2x + by — 6 = 0. (a) Vyjádřete přímku p parametrickými rovnicemi. (b) Napište rovnici přímky p ve směrnicovém tvaru. Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 7/13 Rovnice přímky Příklad 14.1.2: Přímka p je dána obecnou rovnicí 2x + by — 6 = 0. (a) Vyjádřete přímku p parametrickými rovnicemi. (b) Napište rovnici přímky p ve směrnicovém tvaru. Příklad 14.1.3: Vypočítejte směrnici a směrový úhel přímky která je dána body/\[0;2], 6[-2;4]. Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 7/13 Rovnice přímky Příklad 14.1.2: Přímka p je dána obecnou rovnicí 2x + by — 6 = 0. (a) Vyjádřete přímku p parametrickými rovnicemi. (b) Napište rovnici přímky p ve směrnicovém tvaru. Příklad 14.1.3: Vypočítejte směrnici a směrový úhel přímky, která je dána body/\[0;2], 6[-2;4]. Příklad 14.1.4: Napište v parametrickém tvaru rovnici přímky p, která prochází počátkem a je rovnoběžná s přímkou q : 4x — y + 3 = 0. Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 7/13 Rovnice přímky Příklad 14.1.2: Přímka p je dána obecnou rovnicí 2x + 5y — 6 = 0. (a) Vyjádřete přímku p parametrickými rovnicemi. (b) Napište rovnici přímky p ve směrnicovém tvaru. Příklad 14.1.3: Vypočítejte směrnici a směrový úhel přímky která je dána body/\[0;2], 6[-2;4]. Příklad 14.1.4: Napište v parametrickém tvaru rovnici přímky p, která prochází počátkem a je rovnoběžná s přímkou q : 4x — y + 3 = 0. Příklad 14.1.5: Určete obecnou rovnici přímky p, která je kolmá k přímce q \ 2x — y + 7 = 0a prochází počátkem soustavy souřadnic. Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 7/13 Rovnice přímky Příklad 14.1.2: Přímka p je dána obecnou rovnicí 2x + 5y — 6 = 0. (a) Vyjádřete přímku p parametrickými rovnicemi. (b) Napište rovnici přímky p ve směrnicovém tvaru. Příklad 14.1.3: Vypočítejte směrnici a směrový úhel přímky, která je dána body/\[0;2], 6[-2;4]. Příklad 14.1.4: Napište v parametrickém tvaru rovnici přímky p, která prochází počátkem a je rovnoběžná s přímkou q : 4x — y + 3 = 0. Příklad 14.1.5: Určete obecnou rovnici přímky p, která je kolmá k přímce q \ 2x — y + 7 = 0a prochází počátkem soustavy souřadnic. Výsledky: 2. (a) P = {[3 + 5t; -2t], ŕ g M}, (b) y = -§x + f. 3. /c = -lA(^ = 135°. 4. p : x = ŕ, y = 4t, t e M. 5. x + 2y = 0. Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 7/13 Vzájemná poloha dvou přímek v rovině Příklad 14.3.30: Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p, q. V případě různoběžných přímek vypočítejte souřadnice průsečíku přímek p, q. a) P = {[l + 2ŕ;2- -3t], f G E}, g = {[-l + 2/c;7-3/c],/ceR} b) P = {[l + 2í;2- -3t], ŕ G R}, q = {[1 + 4/c;5-2/c],/cgH} c) P = {[l + 2í;2- ■3í], tGlj, q = {[17 + 4/c;-6-2/c],/ceM} d) P = {[l + 2í;2- -3t], tGlj, q = {[5 + 4/c;-4-6/c],/cGE} e) P = {[l + 2í;2- ■3í], tGlj, q : 2x + y - 1 = 0 f) P : 2x + y- 1 = 0, g : x - 2y - 8 = 0 g) P : 2x + y - 1 = 0, q : 4x + 2y -2 = 0 h) P : 2x + y- 1 = 0, g : 2x + y - 3 = 0 Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 8/13 Vzájemná poloha dvou přímek v rovině Příklad 14.3.30: Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p, q. V případě různoběžných přímek vypočítejte souřadnice průsečíku přímek p, q. a) P = {[l + 2ŕ;2- -3t], f G E}, g = {[-l + 2/c;7-3/c],/ceR} b) P = {[l + 2í;2- -3t], ŕ G R}, q = {[1 + 4/c;5-2/c],/cgH} c) P = {[l + 2í;2- ■3í], tGlj, q = {[17 + 4/c;-6-2/c],/ceM} d) P = {[l + 2í;2- -3t], tGlj, q = {[5 + 4/c;-4-6/c],/cGE} e) P = {[l + 2í;2- ■3í], tGlj, q : 2x + y - 1 = 0 f) P : 2x + y- 1 = 0, g : x - 2y - 8 = 0 g) P : 2x + y - 1 = 0, q : 4x + 2y -2 = 0 h) P : 2x + y- 1 = 0, g : 2x + y - 3 = 0 Příklad 14.3.31: Vyšetřete vzájemnou polohu přímek AB a CD, znáte-li souřadnice bodů, které dané přímky určují; A[-li-2], e[-l;l], C[l;l], D[2;3]. Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 8/13 Vzájemná poloha dvou přímek v rovině Příklad 14.3.30: Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p, q. V případě různoběžných přímek vypočítejte souřadnice průsečíku přímek p, q. a) P = {[l + 2ŕ;2- -3t], f G E}, g = {[-l + 2/c;7-3/c],/ceR} b) P = {[l + 2í;2- -3t], ŕ G R}, q = {[l + 4k;5-2k],keR} c) P = {[l + 2í;2- ■3í], tGlj, q = {[17 + 4/c;-6-2/c],/ceM} d) P = {[l + 2í;2- -3t], tGlj, q = {[5 + 4/c;-4-6/c],/cGE} e) P = {[l + 2í;2- ■3í], tGlj, q : 2x + y - 1 = 0 f) P : 2x + y- 1 = 0, g : x - 2y - 8 = 0 g) P : 2x + y - 1 = 0, q : 4x + 2y -2 = 0 h) P : 2x + y- 1 = 0, g : 2x + y - 3 = 0 Příklad 14.3.31: Vyšetřete vzájemnou polohu přímek AB a CD, znáte-li souřadnice bodů, které dané přímky určují; A[-li-2], e[-l;l], C[l;l], D[2;3]. Příklad 14.3.32: Průsečíkem přímek p:3x + y — 2 = 0, q : x — y — 6 = 0 veďte rovnoběžku s přímkou r : 2x — y + 4 = 0. Určete její obecnou rovnici. Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 8/13 Výsledky príkladu Příklad 14.3.30: a) P II íjAp^ťj b) p[-2; ¥1 c) P[l;2] d) p = q e) P[-5;ll] f) p[2; -3] g) p = q h) p q^p^q Příklad 14.3.31: P[-l; -3] Příklad 14.3.32: 2x - y - 8 = 0 Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 9/13 Zobrazení v analytické geometrii Příklad 14.6.80: Určete souřadnice bodu A', který je obrazem bodu A[3; —2] v osové souměrnosti dané osou o : 2x — y + 7 = 0. Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 10/13 Zobrazení v analytické geometrii Příklad 14.6.80: Určete souřadnice bodu A', který je obrazem bodu A[3; —2] v osové souměrnosti dané osou o : 2x — y + 7 = 0. Příklad 14.6.81: Určete souřadnice bodu Ckterý je s bodem C[3;6] souměrný podle přímky AB, kde A[—2; 1], B[— 1; —2]. Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 10/13 Zobrazení v analytické geometrii Příklad 14.6.80: Určete souřadnice bodu A', který je obrazem bodu A[3; —2] v osové souměrnosti dané osou o : 2x — y + 7 = 0. Příklad 14.6.81: Určete souřadnice bodu Ckterý je s bodem C[3;6] souměrný podle přímky AB, kde A[—2; 1], B[— 1; —2]. Příklad 14.6.82: Určete obecnou rovnici přímky p', která je s přímkou p:2x + y — 5 = 0 středově souměrná. Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 10/13 Zobrazení v analytické geometrii Příklad 14.6.80: Určete souřadnice bodu A', který je obrazem bodu A[3; —2] v osové souměrnosti dané osou o : 2x — y + 7 = 0. Příklad 14.6.81: Určete souřadnice bodu Ckterý je s bodem C[3;6] souměrný podle přímky AB, kde A[—2; 1], B[— 1; —2]. Příklad 14.6.82: Určete obecnou rovnici přímky p;, která je s přímkou p:2x + y — 5 = 0 středově souměrná. Příklad 14.6.83: Určete obecnou rovnici přímky p', která je s přímkou p:3x — y + 6 = 0 souměrná a) podle osy x, b) podle osy y, c) podle osy o:x + y + l = 0, d) podle osy o : x = 4. Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 10/13 Zobrazení v analytické geometrii Příklad 14.6.85: Světelný paprsek vychází z bodu /4[3;4] a odráží se od přímky p:x + y — 5 = 0 do bodu B[—4; 12]. Určete souřadnice bodu odrazu. Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 11/13 Zobrazení v analytické geometrii Příklad 14.6.85: Světelný paprsek vychází z bodu /4[3;4] a odráží se od přímky p:x + y — 5 = 0 do bodu B[—4; 12]. Určete souřadnice bodu odrazu. Příklad 14.6.86: Po přímce 2x — y = 0 dopadá světelný paprsek na přímku p:x — 3y + 5 = 0, od které se odráží. Určete souřadnice bodu odrazu a napište rovnici přímky, na které leží paprsek odražený. Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 11/13 Zobrazení v analytické geometrii Příklad 14.6.85: Světelný paprsek vychází z bodu A[3; 4] a odráží se od přímky p : x + y — 5 = 0 do bodu B[—4; 12]. Určete souřadnice bodu odrazu. Příklad 14.6.86: Po přímce 2x — y = 0 dopadá světelný paprsek na přímku p : x — 3y + 5 = 0, od které se odráží. Určete souřadnice bodu odrazu a napište rovnici přímky, na které leží paprsek odražený. Výsledky příkladů 14.6: 80. /V[-9;4] 81. C'[-9;2] 82. a) pf : 2x + y + 5 = 0; b) p' : 2x + y + 13 = 0 83. a) 3x + y + 6 = 0; b) 3x + y - 6 = 0; c) x - 3y + 4 = 0; d) 3x + y-30 = 0 85. 0[-l;6] 86. 0[1;2], x + 2y-5 = 0 Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 11/13 Vybrané príklady z písemek Úloha 2.1: Určete souřadnice bodu A\ který je obrazem bodu A[3; —2] v osové souměrnosti dané osou o:2x — y + 7 = 0 (určitě tušíte, že budete potřebovat najít jistou přímku kolmou na osu o). Úloha 2.2: Určete souřadnice bodu C, který je s bodem C[3;6] souměrný podle přímky AB, kde A[—2; 1], B[—1; —2] (určitě tušíte, že budete potřebovat najít jistou přímku kolmou na osu). Úloha 2.3: Je dána přímka p:5x — 2y — 3 = 0a bod M = [0,4]. Napište H parametrické rovnice přímky p; B parametrické rovnice přímky q kolmé na přímku p a procházející bodem M; B obecnou rovnici přímky r rovnoběžné s přímkou p a procházející bodem M. Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 12/13 Vybrané príklady z písemek Úloha 2.4: Jsou dány body A[x\ -2], 6[6; 4]. a) Určete souřadnici x bodu /4 tak, aby střed úsečky AB měl souřadnice S[4; 1] (za 1 bod). b) Napište parametrické rovnice přímky p dané body /4, B (za 1 bod). c) Zjistěte, v jakých bodech protíná přímka p osu x a osu y (za 2 body). Úloha 2.5: Jsou dány body A[-l] 1], 6[2; 0], C[l, 3]. a) Ověřte početně, že body A, 6, C tvoří trojúhelník (za 1 bod). b) Napište obecnou rovnici přímky p dané body A, B (za 1 bod). c) Napište parametrické rovnice těžnice tc vycházející z bodu C (za 2 body). Lukáš Másilko 2. cvičení 5. 10. 2021 13/13