MA0005 Algebra 2, 5. seminář 2. 11. 2021 Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 1 / 16 Náplň cvičení □ Soustavy lineárních rovnic ■ Maticový zápis SLR ■ Hodnost matice, elementární řádkové úpravy ■ Schodový tvar matice ■ Soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých ■ Vzájemná poloha tří rovin ■ Gaussova eliminační metoda, Frobeniova věta Literatura ■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brně, 2002. ISBN 80-210-1853-4. Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 2 / 16 Maticový zápis SLR Mějme následující soustavu lineárních rovnic: 3n*i + ai2x2 H-----h ainX" = bl a2ix2 + a22x2 H-----h a2„x,7 = b2 kde m, r? G N. amixi + am2y H-----h amnxn = b m Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 3 / 16 Maticový zápis SLR Mějme následující soustavu lineárních rovnic: 3n*i + 3i2x2 H-----h ainX" = bl a2ix2 + a22x2 H-----h a2„x,7 = b2 3mlXl + 3m2y + ' ' ' + 3mnXn = bm kde m, r? G N. r Maticový zápis soustavy 1 Matici l au ai2 .. 321 a22 .. • a2n \ ami 3mn ) nazýváme maticí systému SLR. Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 3 / 16 Maticový zápis SLR Mějme následující soustavu lineárních rovnic: 3n*i + ai2x2 H-----h ainX" = bl a2ix2 + a22x2 H-----h a2„x,7 = b2 ämlXl + 3m2y + ' ' ' + 3mnXn = bm kde m, r? G N. Rozšírená matice SLR Matici 4 b = / 3n 3i2 ... ain a2i a22 ... a2n \ a^i 3m2 ... a nazýváme rozšírenou maticí systému SLR. bm ) Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 4 / 16 Hodnost matice, elementární řádkové úpravy Hodnost matice Hodností matice A (typu m x n) rozumíme počet lineárně nezávislých řádků matice A Píšeme h(A). Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 5 / 16 Hodnost matice, elementární řádkové úpravy Hodnost matice Hodností matice A (typu m x n) rozumíme počet lineárně nezávislých řádků matice A Píšeme h(A). Elementární řádkové úpravy 1 Elementárními řádkovými úpravami matice, resp. samotného SLR jsou: □ vynásobení řádku (rovnice) nenulovým reálným číslem, Q výměna pořadí dvou řádků (rovnic), B přičtení násobku jiného řádku (rovnice) k danému řádku (rovnici). Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 5 / 16 Hodnost matice, elementární řádkové úpravy Hodnost matice Hodností matice A (typu m x n) rozumíme počet lineárně nezávislých řádků matice A Píšeme h(A). Elementární řádkové úpravy 1 Elementárními řádkovými úpravami matice, resp. samotného SLR jsou: □ vynásobení řádku (rovnice) nenulovým reálným číslem, Q výměna pořadí dvou řádků (rovnic), B přičtení násobku jiného řádku (rovnice) k danému řádku (rovnici). Důležitá poznámka: Elementární řádkové úpravy nezmění hodnot matice, resp. nezpůsobí změnu řešení SLR. Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 5 / 16 Schodový tvar matice Schodový tvar matice V každém dalším řádku je zleva více nul než v tom předchozím, případně je celý další řádek nulový. Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 6 / 16 Schodový tvar matice Schodový tvar matice V každém dalším řádku je zleva více nul než v tom předchozím, případně je celý další řádek nulový. Poznámka: převodem na schodový tvar pomocí elementárních řádkových úprav zjistíme hodnost zadané matice. Hodnost matice je počet nenulových řádků ve schodovém tvaru, který vznikne ze zadané matice elementárními řádkovými úpravami. Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 6 / 16 Schodový tvar matice Schodový tvar matice V každém dalším řádku je zleva více nul než v tom předchozím, případně je celý další řádek nulový. Poznámka: převodem na schodový tvar pomocí elementárních řádkových úprav zjistíme hodnost zadané matice. Hodnost matice je počet nenulových řádků ve schodovém tvaru, který vznikne ze zadané matice elementárními řádkovými úpravami. Příklad 1: rozhodněte, zda jsou následující matice ve schodovém tvaru. 12 3 9 0 0 5 3 0 13 6 0 0 0 9 0 0 5 3 0 13 6 12 3 9 0 7 5 3 0 0 3 6 Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 6 / 16 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad IR): (a) A = í 0 4 10 1 \ 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 (b) A = í 2 -4 8 0 4 \ 3 -6 1 4 -3 -4 2 5 -1 7 v 5 -4 -12 5 -14 / Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 7 / 16 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad IR): (a) A = í 0 4 10 1 \ 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 (b) A = í 2 -4 8 0 4 \ 3 -6 1 4 -3 -4 2 5 -1 7 v 5 -4 -12 5 -14 / Výsledky: (a) h(A) = 2, Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 7 / 16 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad IR): (a) A = í 0 4 10 1 \ 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 (b) A = í 2 -4 8 0 4 \ 3 -6 1 4 -3 -4 2 5 -1 7 v 5 -4 -12 5 -14 / Výsledky: (a) h(A) = 2, (b) /7(/\) = 3. Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 7 / 16 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad IR): (c) A = (d) A = \ í 2 3 7 -4 5 V 8 3 4 1 -2 5 1 1 -2 0 5 -1 -3 -1 1 2 3 3 -5 3 1 7 1 4 5 2 \ 1 -1 -3 0 4 4 -3 5 10 1 -2 / 6 \ -2 10 10 4 2 / Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 8 / 16 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad IR): (c) A = (d) A = \ í 2 3 7 -4 5 V 8 3 4 1 -2 5 1 1 -2 0 5 -1 -3 -1 1 2 3 3 -5 3 1 7 1 4 5 2 \ 1 -1 -3 0 4 4 -3 5 10 1 -2 Výsledky: (c) h{A) = 2, I 6 \ -2 10 10 4 2 / Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 8 / 16 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad IR): (c) A = (d) A = \ \ 2 3 7 -4 5 8 3 4 1 -2 5 1 1 -2 0 5 -1 -3 -1 1 2 3 3 -5 3 1 7 1 4 5 2 \ 1 -1 -3 0 4 4 -3 5 10 1 -2 Výsledky: (c) h{A) = 2, (d) h(A) = 2 I 6 \ -2 10 10 4 2 / Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 8 / 16 Soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých Mějme následující soustavu tří rovnic: anx + a12y + a13z = b\ a2ix + a22Y + 323Z = b2 331X + 332Y + 333Z = b3 Rovnice definují tři roviny, u nichž řešením SLR určíme vzájemnou polohu. Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 9 / 16 Soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých Mějme následující soustavu tří rovnic: anx + a12y + a13z = b\ a2ix + a22y + 323z = b2 331X + 332y + 333Z = b3 Rovnice definují tři roviny, u nichž řešením SLR určíme vzájemnou polohu Počet řešení soustavy Soustava lineárních rovnic (SLR) o 3 neznámých (a) má právě jedno řešení, je-li h(Á) — h(A\b) — 3 (roviny se protínají v jednom bodu); (b) má nekonečně mnoho řešení, je-li h{A) — h{A\b) < 3 (roviny se protínají buď v jedné přímce, když h{A) — h{A\b) — 2, nebo splývají v jednu rovinu, je-li h{A) — h{A\b) — 1); (c) nemá řešení, je-li h(A) 7^ h(A\b) (geometricky to může vyjít různě). Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 9 / 16 Vzájemná poloha tri rovin Vzájemná poloha tří rovin všechny tři roviny jsou rovnoběžné a nemají průsečík, ani průsečnici dvě roviny jsou rovnoběžné a třetí je protíná ve dvou rovnoběžných průsečnicích všechny jsou různoběžné a protínají se v jedné průsečnici (svazek rovin) všechny jsou různoběžné a po dvou se protínají v průsečnici (tyto tři průsečnice jsou rovnoběžné) všechny jsou různoběžné a protínají se v jednom bodě (trs rovin) všechny tři roviny splývají v jednu Ilustrace prvních pěti případů jsou dostupné na této stránce. Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 10 / 16 Vzájemná poloha tri rovin Příklad 15.6.40: Vyšetřete vzájemnou polohu tří rovin. a) qi : 2x — y + z — 5 = 0, o\ : x + y + 3z — 6 = 0, n : 3x + 2y - 4z + 7 = 0 b) q2 : x + y + z — 3 = 0, 02 : 3x — 2y + z — 8 = 0, r2 : 4x - y + 2z + 1 = 0 c) q3 : x - y + 2z - 1 = 0, 0-3 : x + 2y - z + 2 = 0, T3 : x — 2y + 3z — 2 = 0 d) £4:x + y — z — 1 = 0, a4:x + y + z + 2 = 0, r4 : 2x + 2y - 2z + 1 = 0 Lukáš Másilko 5. cvičení □ iS1 2. 11. 2021 11 / 16 Vzájemná poloha tri rovin Příklad 15.6.40: Vyšetřete vzájemnou polohu tří rovin. a) qi : 2x — y + z — 5 = 0, o\ : x + y + 3z — 6 = 0, n : 3x + 2y - 4z + 7 = 0 b) £2 : x + y + z — 3 = 0, '■ 3x — 2y + z — 8 = 0, r2 : 4x - y + 2z + 1 = 0 c) Q3 ■ x - Y + 2z - 1 = 0, 0-3 : x + 2y - z + 2 = 0, T3 : x — 2y + 3z — 2 = 0 d) £4:x + y — z — 1 = 0, 0-4 : x + y + z + 2 = 0, r4 : 2x + 2y - 2z + 1 = 0 Výsledky: a) tři různoběžné roviny, společný bod P[l; —1;2], b) tři různoběžné roviny, žádný společný bod, c) tři různoběžné roviny, společná přímka p = {[ŕ; —1 — ŕ; —t], ŕ G M}, d) dvě rovnoběžné roviny, třetí je s nimi různoběžná. Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 11 / 16 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 12 / 16 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, n 6 N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 12 / 16 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A b na schodový tvar. Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 12 / 16 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A\b na schodový tvar. Q Je-li h(A) 7^ h(A\b), nemá SLR řešení. Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 12 / 16 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A\b na schodový tvar. Q Je-li h{A) 7^ h(A\b), nemá SLR řešení. □ V opačném případě stanovíme počet parametrů jako n — h{A\b). Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 12 / 16 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A\b na schodový tvar. Q Je-li h(A) 7^ h(A\b), nemá SLR řešení. □ V opačném případě stanovíme počet parametrů jako n — h{A\b). ■ Je-li n — h(A\b) = 0, pak má SLR právě jedno řešení. Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 12 / 16 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A\b na schodový tvar. Q Je-li h{A) 7^ h(A\b), nemá SLR řešení. □ V opačném případě stanovíme počet parametrů jako n — h{A\b). ■ Je-li n — h(A\b) = 0, pak má SLR právě jedno řešení. ■ Je-li n — h(A\b) > 0, pak n — h(A\b) neznámým "uvážlivě" přiřadíme parametr, ostatní neznámé vyjádříme pomocí těchto parametrů ze zbývajících rovnic. Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 12 / 16 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A\b na schodový tvar. Q Je-li h(A) 7^ h(A\b), nemá SLR řešení. □ V opačném případě stanovíme počet parametrů jako n — h{A\b). ■ Je-li n — h(A\b) = 0, pak má SLR právě jedno řešení. ■ Je-li n — h(A\b) > 0, pak n — h(A\b) neznámým "uvážlivě" priradíme parametr, ostatní neznáme vyjadríme pomocí těchto parametrů ze zbývajících rovnic. ■ V obou případech postupujeme tzv. zpětným chodem, tj. bereme rovnice zdola a volíme za parametry počet neznámých v dané rovnici MINUS jedna, abychom poslední neznámou v každé rovnici mohli dopočítat pomocí ostatních neznámých - parametrů. Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 12 / 16 Příklad 5.1.BI Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a) (c) 3xi + 2x2 + X3 - 5 2xi + 3X2 + X3 - 1 2xi + X2 + 3x3 - 11 3xi — X2 - X3 - 2X4 = -4 2xi + 3X2 + X3 + 2X4 - -3 2xi + 3X2 - X3 - x4 - -6 xi + X2 + 2x3 + 3X4 - 1 Xl + 2x2 + 3x3 - x4 - -4 Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 13 / 16 Příklad 5.1.BI Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR) (a) 3xi + 2x2 + x3 = 5 2xi + 3x2 + x3 = 1 2xi + x2 + 3x3 = 11 (c) 3xi - x2 - x3 - 2xi + 3x2 + x3 + 2xi + 3x2 - x3 - xi + x2 + 2x3 + xi + 2x2 + 3x3 - 2X4 2X4 x4 3X4 x4 -4 -3 -6 1 -4 Výsledky: (a) (2,-2,3), Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 13 / 16 Příklad 5.1.BI Gaussovou metodou řešte šoustí (a) 3xi + 2xi + 2xi + (c) 3xi — X2 2xi + 3x2 2xi + 3x2 xi + x2 xi + 2x2 Výsledky: (a) (2,-2,3), (c) ( lineárních rovnic (nad IR): 2x2 + *3 - 5 3X2 + x3 - 1 + 3x3 - 11 — - 2X4 = -4 + x3 + 2X4 - -3 — x3 — x4 - -6 + 2x3 + 3X4 - 1 + 3x3 — x4 - -4 i,- ■1,0,1). Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 13 / 16 Příklad 5.1.B2 Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a) (c) 5xi — 9x2 + 5x3 — 1 2xi + 3X2 + 3x3 — 2 xi + 8x2 + — 1 Xl — 2x2 + X3 — 0 2xi + 9x2 + 8x3 + 3X4 - 7 2xi + 6x2 + 8x3 + 3X4 - 3 xi + 4x2 + 5x3 + 2X4 - 2 3xi + 7x2 + 7x3 + 2X4 - 12 5xi + 7x2 + 9x3 + 2X4 - 20 Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 14 / 16 Příklad 5.1.B2 Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a) (c) 5xi — 9x2 + 5x3 — 1 2xi + 3X2 + 3x3 — 2 xi + 8x2 + — 1 Xl — 2x2 + X3 — 0 2xi + 9x2 + 8x3 + 3X4 - 7 2xi + 6x2 + 8x3 + 3X4 - 3 xi + 4x2 + 5x3 + 2X4 - 2 3xi + 7x2 + 7x3 + 2X4 - 12 5xi + 7x2 + 9x3 + 2X4 - 20 Výsledky: (a) SLR nemá řešení, Lukáš Másilko 5. cvičeni 2. 11. 2021 14 / 16 Příklad 5.1.B2 Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a) (c) 5xi — 9x2 + 5x3 — 1 2xi + 3X2 + 3x3 — 2 xi + 8x2 + — 1 Xl — 2x2 + X3 — 0 2xi + 9x2 + 8x3 + 3X4 - 7 2xi + 6x2 + 8x3 + 3X4 - 3 xi + 4x2 + 5x3 + 2X4 - 2 3xi + 7x2 + 7x3 + 2X4 - 12 5xi + 7x2 + 9x3 + 2X4 - 20 Výsledky: (a) SLR nemá řešení, (c) SLR nemá řešení. Lukáš Másilko 5. cvičeni 2. 11. 2021 14 / 16 Příklad 5.1.B3 Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a) 2xi — 3X2 + 2X3 = 1 Xl - 2x2 + X3 = 0 5xi - 9x2 + 5x3 = 1 (c) X2 + x4 = 1 3xi - 2x2 - 3x3 + 4x4 = -2 xi + X2 - x3 + x4 = 2 xi - x3 1 Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 15 / 16 Příklad 5.1.B3 Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a) 2xi — 3X2 + 2X3 - 1 xi — 2x2 + x3 - 0 5xi — 9x2 + 5x3 - 1 + x4 _ 1 3xi — 2x2 — 3x3 + 4x4 - -2 + — + x4 - 2 *1 — *3 - 1 Výsledky: (a) {(2-ř,l,ř), t£K}, Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 15 / 16 Příklad 5.1.B3 Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a) 2xi — 3X2 + 2X3 - 1 xi — 2x2 + x3 - 0 5xi — 9x2 + 5x3 - 1 + x4 _ 1 3xi — 2x2 — 3x3 + 4x4 - -2 + — X3 + x4 - 2 *1 — X3 - 1 Výsledky: (a) {(2-ř,l,ř), t£K}, (c) {(l + t,§,t,-|), tGR}. Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 15 / 16 Dodatečný příklad Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): X2 + X4 = 1 3xi — 2x2 - 3x3 + 4x4 = -2 + + x4 = 2 3xi + 7x2 + 7x3 + 2x4 = 12 *1 - *3 1 Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 16 / 16 Dodatečný příklad Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): X2 + X4 = 1 3xi — 2x2 - 3x3 + 4x4 = -2 + + x4 = 2 3xi + 7x2 + 7x3 + 2x4 = 12 *1 - *3 1 Výsledek: (§; |; -§) Lukáš Másilko 5. cvičení 2. 11. 2021 16 / 16