MA0005 Algebra 2, 7. seminář 9. 11. 2021 Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 1 / 17 Náplň cvičení □ Determinant matice ■ Inverze v permutaci ■ Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3 ■ Důležitá pravidla pro výpočet determinantu ■ Laplaceův rozvoj determinantu ■ Příklady na výpočet determinantu B Cramerovo pravidlo Literatura ■ Petáková, J.: Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vydání. Prométheus, 1998. ISBN 978-80-7196-099-7. ■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brně, 2002. ISBN 80-210-1853-4. Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 2 / 17 Determinant Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde n 6 N. Co je to determinant matice Ml Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 3 / 17 Determinant Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde n 6 N. Co je to determinant matice Ml Determinant Determinant čtvercové matice M řádu n x n je číslo, které je dáno vzorcem £ (_1)A/(y1,y2,..j„).aiji.a2 Ol J2,---Jn) J2 kde (J1J2, • • • ,7n) Je libovolná permutace sloupcových indexů z množiny {1, 2,..., n} a N(jij2,... je počet inverzí v dané permutaci. Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 3 / 17 Determinant Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde n 6 N. Co je to determinant matice Ml Determinant Determinant čtvercové matice M řádu n x n je číslo, které je dáno vzorcem £ (_1)A/(y1,y2,..j„).aiji.a2 Ol J2,---Jn) J2 kde (J1J2, • • • ,7n) Je libovolná permutace sloupcových indexů z množiny {1, 2,..., n} a N(jij2,... je počet inverzí v dané permutaci. Důležité otázky: Co je to permutace konečné množiny {1, 2,..., n}l Co je to inverze v dané permutaci? Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 3 / 17 Inverze v permutaci Příklad: Mějme matici / au ai2 ai3 au \ ^ _ a2l ^22 ^23 ^24 331 332 333 334 \ 341 342 343 344 / □ Lukáš Másilko 7. cvičeni 9. 11. 2021 4 / 17 Inverze v permutaci Příklad: Mějme matici M = / 311 321 331 V 341 312 322 332 3$2 313 323 333 343 314 \ 324 334 344 ) Vezměme v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, např. ^13^24,^32,^41- Sloupcové indexy prvků se prohodily dle permutace P = (3,4, 2,1). Lukáš Másilko = 9. 11. 2021 Inverze v permutaci Příklad: Mějme matici M = / 3n 321 331 V 341 312 322 332 342 313 323 333 343 314 \ 324 334 344 ) Vezměme v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, např. 3i3,324,a32,a4i. Sloupcové indexy prvků se prohodily dle permutace P = (3,4, 2,1). nverze permutace Inverze v permutaci p je dvojice prvků a, b taková, že a < b a zároveň p(a) > p(b). Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 4 / 17 Inverze v permutaci Příklad: Mějme matici M = í 311 312 313 314 \ 321 322 323 324 331 332 333 334 a4i 342 343 344 ) Vezměme v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, např. 3i3, 324, 332, Sloupcové indexy prvků se prohodily dle permutace P = (3,4, 2,1). nverze permutace Inverze v permutaci p je dvojice prvků a, b taková, že a < b a zároveň p(a) > p(b)._ Kolik inverzí najdete v permutaci p = (3, 4, 2,1)? Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 4 / 17 Inverze v permutaci Příklad: Mějme matici M = / 3n 321 331 V 341 312 322 332 342 313 323 333 343 314 \ 324 334 344 ) Vezměme v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, např. 3i3,324,a32,a4i. Sloupcové indexy prvků se prohodily dle permutace P = (3,4, 2,1). nverze permutace Inverze v permutaci p je dvojice prvků a, b taková, že a < b a zároveň p(a) > p(b). Kolik inverzí najdete v permutaci p = (3, 4, 2,1)? Celkem 5, např. p(l) = 3 > 2 = p(3). Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 4 / 17 Geometrický význam inverze Příklad: Mějme matici M = ( 311 321 331 V 341 312 322 332 342 313 323 333 343 314 \ 324 334 344 / Lukáš Másilko □ [51 9. 11. 2021 Geometrický význam inverze Příklad: Mějme matici / 3n 3i2 3i3 3i4 \ _ 321 322 323 324 331 332 333 334 \ 341 342 343 344 / Které prvky určují hlavní diagonálu? A které vedlejší diagonálu? Lukáš Másilko 7. cvičeni 9. 11. 2021 5 / 17 Geometrický význam inverze Příklad: Mějme matici / 3n ai2 ai3 3l4 \ ^ _ ^21 322 323 324 331 332 333 a34 \ 341 a42 343 a44 / Které prvky určují hlavní diagonálu? A které vedlejší diagonálu? Vezměme opět v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, znovu např. 313^24,332,341. Propojte tyto prvky čarou, každý s každým. Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 5 / 17 Geometrický význam inverze Příklad: Mějme matici / au ai2 ai3 ai4 \ ^ _ a2i a22 a23 a24 331 332 333 a34 \ 341 a42 a43 a44 / Které prvky určují hlavní diagonálu? A které vedlejší diagonálu? Vezměme opět v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, znovu např. ai3, a24, a32, a^i- Propojte tyto prvky čarou, každý s každým. Otázka: Kolik hran má sklon "příbuzný" s vedlejší diagonálou? Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 5 / 17 Příklad 4.2.B5 Užitím pouze definice determinantu spočtěte: (a) 311 312 313 314 0 0 323 0 331 0 333 334 341 0 343 0 (b) 311 312 313 314 315 321 322 323 324 325 331 332 0 0 0 341 342 0 0 0 351 352 0 0 0 Lukáš Másilko 7. cvičeni 9. 11. 2021 6 / 17 Příklad 4.2.B5 Užitím pouze definice determinantu spočtěte: (a) 311 312 313 314 0 0 323 0 331 0 333 334 341 0 343 0 (b) 311 312 313 314 315 321 322 323 324 325 331 332 0 0 0 341 342 0 0 0 351 352 0 0 0 Výsledky: (a) -a12 • a23 • a34 • a4i, Lukáš Másilko 7. cvičeni 9. 11. 2021 6 / 17 Příklad 4.2.B5 Užitím pouze definice determinantu spočtěte: (a) 311 312 313 314 0 0 323 0 331 0 333 334 341 0 343 0 (b) 311 312 313 314 315 321 322 323 324 325 331 332 0 0 0 341 342 0 0 0 351 352 0 0 0 Výsledky: (a) -a12 • a23 • a34 • a4i, (b) 0. Lukáš Másilko 7. cvičeni 9. 11. 2021 6 / 17 Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3 Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2) A = 3ll 3i2 a2l ^22 je roven číslu au • a22 + ^12 • ^21 (tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 7 / 17 Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3 Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2) A = 3ll 3i2 a2l ^22 je roven číslu au • a22 + ^12 ■ ^21 (tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3. Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 7 / 17 Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3 Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2) A = 3ll 3i2 321 ^22 je roven číslu an • a22 + ai2 • 321 (tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3. 3ll 3i2 3i3 321 322 323 331 332 333 Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 7 / 17 Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3 Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2) A = 3ll 3i2 321 322 je roven číslu au • 322 + 3i2 • 321 (tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3. 3ll 3i2 3i3 321 322 323 33i 332 333 = 3na22333 + Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 7 / 17 Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3 Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2) A = 3ll 3i2 321 322 je roven číslu au • 322 + 3i2 • 321 (tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3. 3ll 3i2 3i3 321 322 323 33i 332 333 = 3na22333 + 3i3a2l332 Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 7 / 17 Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3 Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2) A = 3ll 3i2 a2l ^22 je roven číslu 3n • 322 + £12 • 321 (tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3. 3ll 3i2 3i3 321 322 323 33i 332 333 = 3ii322333 + 3i332l332 + 312323331 □ S1 ► < -E ► < = Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 7 / 17 Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3 Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2) A = 3ll 3i2 a2l ^22 je roven číslu au • a22 + ^12 • ^21 (tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3. 3ll 3i2 ^13 321 ^22 ^23 ^31 a32 333 = ana22^33 + ^13^21^32 + ^12^23^31 ~ ^13^22^31 Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 7 / 17 Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3 Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2) A = 3ll 3i2 a2l ^22 je roven číslu au • a22 + ^12 • ^21 (tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3. 3ll 3i2 ^13 321 ^22 ^23 ^31 a32 333 = ana22^33 + ^13^21^32 + ^12^23^31 ~ ^13^22^31 ~ ^11^23^32 □ S1 ► < -E ► < = Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 7 / 17 Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3 Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2) A = 3ll 3i2 a2l ^22 je roven číslu 3n • 322 + ^12 • ^21 (tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3. 3ll 3i2 ^13 321 ^22 ^23 ^31 ^32 333 = 311322^33 + ^13321332 + 312323^31 — a^Tl^l — 3n323^32 — ^yi^l^z □ S1 ► < -E ► < = Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 7 / 17 Důležitá pravidla pro výpočet determinantu Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde r? G N. Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 8 / 17 Důležitá pravidla pro výpočet determinantu Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde r? G N. M MT , kde M' je transponovaná matice M, T Jestliže matice Mf vznikne z matice M výměnou dvou řádků, pak M M1 Jestliže matice Mř vznikne z matice M vynásobením některého řádku i k nenulovým číslem k G IR — {0}, pak \M Determinant matice M se nezmění, přičteme-li k některému řádku nenulový /c-násobek jiného řádku (/c e IR — {0}). Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 8 / 17 Důležitá pravidla pro výpočet determinantu Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde r? G N. M MT , kde M' je transponovaná matice M, T Jestliže matice Mf vznikne z matice M výměnou dvou řádků, pak M M1 Jestliže matice Mř vznikne z matice M vynásobením některého řádku i k nenulovým číslem k G IR — {0}, pak \M □ Determinant matice M se nezmění, přičteme-li k některému řádku nenulový /c-násobek jiného řádku (/c e IR — {0}). Důležité důsledky: ■ Determinant matice M se dvěma stejnými řádky je roven 0. ■ Determinant matice M obsahující nulový řádek je roven 0. ■ Je-li některý řádek matice M lineární kombinací ostatních, pak M =0. Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 8 / 17 Laplaceův rozvoj determinantu Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde r? G N. Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 9 / 17 Laplaceův rozvoj determinantu Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde n e N. Rozvoj podle /c-tého řádku: M = ÍT(-l)k+J ■ BkJ J'=l kde M/y jsou matice vzniklé z M vypuštěním • \Mkj , /c-tého řádku a j-tého sloupce. Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 9 / 17 Laplaceův rozvoj determinantu Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde n 6 N. Rozvoj podle /c-tého řádku: M Y,(-l)k+J-akj-\Mkj j'=i kde M/y jsou matice vzniklé z M vypuštěním /c-tého řádku a 7-tého sloupce. Rozvoj podle /-tého sloupce: Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 9 / 17 Příklad 4.2.Bil Spočtěte determinant (a) (b) 3 -3 2 -1 -3 -5 4 7 -2 -5 1 0 9 8 -5 -8 1 2 -2 3 3 2 -3 -4 -2 0 -4 1 6 7 -2 -5 Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 10 / 17 Příklad 4.2.Bil Spočtěte determinant (a) (b) Výsledky: (a) -195, 3 -3 2 -1 -3 -5 4 7 -2 -5 1 0 9 8 -5 -8 1 2 -2 3 3 2 -3 -4 -2 0 -4 1 6 7 -2 -5 Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 10 / 17 Příklad 4.2.Bil Spočtěte determinant (a) (b) Výsledky: (a) -195, (b) 18 3 -3 2 -1 -3 -5 4 7 -2 -5 1 0 9 8 -5 -8 1 2 -2 3 3 2 -3 -4 -2 0 -4 1 6 7 -2 -5 Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 10 / 17 Příklad 4.2.Bil Spočtěte determinant (c) (d) 2 1 -4 3 3 5 2 2 -1 2 -1 2 -2 -1 3 2 -1 1 3 1 -1 1 -2 -1 3 2 1 0 2 1 1 0 2 1 2 1 2 1 0 2 0 2 2 1 1 2 1 1 2 0 Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 11 / 17 Příklad 4.2.Bil Spočtěte determinant (c) (d) 2 1 -4 3 3 5 2 2 -1 2 -1 2 -2 -1 3 2 -1 1 3 1 -1 1 -2 -1 3 2 1 0 2 1 1 0 2 1 2 1 2 1 0 2 0 2 2 1 1 2 1 1 2 0 Výsledky: (a) -28, Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 11 / 17 Příklad 4.2.Bil Spočtěte determinant (c) 2 1 -4 3 3 5 2 2 -1 2 -1 2 -2 -1 3 (d) 2 -1 1 3 1 -1 1 -2 -1 3 2 1 0 2 1 1 0 2 1 2 1 2 1 0 2 0 2 2 1 1 2 1 1 2 0 Výsledky: (a) -28, (b) 30 Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 11 / 17 Příklad 4.2.B12 Pouze užitím Laplaceova rozvoje a definice determinantu spočtěte: (a) 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 0 0 4 3 2 1 0 0 1 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 (b) 1 0 2 0 3 0 5 1 4 2 7 3 1 0 4 0 9 0 8 1 5 3 7 6 9 1 5 4 3 8 1 0 7 0 9 0 Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 12 / 17 Příklad 4.2.B12 Pouze užitím Laplaceova rozvoje a definice determinantu spočtěte: (a) (b) 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 0 0 4 3 2 1 0 0 1 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 5 1 4 2 7 3 1 0 4 0 9 0 8 1 5 3 7 6 9 1 5 4 3 8 1 0 7 0 9 0 Výsledky: (a) -105, Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 12 / 17 Příklad 4.2.B12 Pouze užitím Laplaceova rozvoje a definice determinantu spočtěte (a) 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 0 0 4 3 2 1 0 0 1 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 (b) 1 0 2 0 3 0 5 1 4 2 7 3 1 0 4 0 9 0 8 1 5 3 7 6 9 1 5 4 3 8 1 0 7 0 9 0 Výsledky: (a) -105, (b) -18. Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 12 / 17 Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 rovnic o 2 neznámých Mějme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých 3n*i + 312x2 = bl a2ixi + a22*2 = b2 Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 rovnic o 2 neznámých ■v Řešení této soustavy lze vypočítat takto: xi = A A x2 = Ai A kde následující determinanty spočítáme křížovým pravidlem A 311 3±2 321 322 A bi 312 bz 322 A2 = 3n bi 321 b2 □ rS1 ► < ► < = Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 13 / 17 Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých Mějme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých anXi + 3l2X2 + 3i3x3 = bi 321*1 + 322X2 + 323*3 = b2 331*1 + 332*2 + 333*3 = b3 Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých ■v Řešení této soustavy lze vypočítat takto: xi = A A x2 = \Ä2 \A\ X3 = A3 \A\ kde následující determinanty spočítáme Sarusovým pravidlem bi 312 313 311 bi 313 3U 312 bi Ai — b2 322 323 321 b2 323 , \A3\ = 321 322 b2 b3 332 333 331 b3 333 331 332 b3 □ rS1 ► < ► < = Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 14 / 17 Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 rovnic o 2 neznámých Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.30]: 7x - 3y = 15 5x + 6y = 27 3x + 2y = 20 2x + 3y = 20 3(x-2) + 2y = x + y 4x + 5(y + x) = 3x - 6 x - 5y = 7 x — 5y = 6 H 2x - 3y = 5 4x - 6y = 10 Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 15 / 17 Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 rovnic o 2 neznámých Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.30]: (a) 7x — 3y = 15 5x + 6y = 27 (b) 3x + 2y = 20 2x + 3y = 20 (c) 3(x - 2) + 2y = x + y 4x + 5(y + x) = 3x - 6 (e) x — 5y = 7 x — 5y = 6 (f) 2x - 3y = 5 4x - 6y = 10 Výsledky: (a) [3; 2], (b) [4; 4], (c) [9;-12], (e) nelze spočítat Cramerovým pravidlem, (f) nelze spočítat Cramerovým pravidlem. Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 15 / 17 Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.31]: (a) x + y+ 2z = -1 2x - y + 2z = -4 4x + y + 4z = -2 (b) 2x + 3y + z = 15 7x - y + z = 9 x + 2y + z = 9 (c) 2x + y - z = 0 4x + 2y + z = 0 x - y + 3z = 0 Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 16 / 17 Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.31]: (a) x + y + 2z= -1 2x - y + 2z = -4 4x + y + 4z = -2 (b) 2x + 3y + z = 15 7x - y + z = 9 x + 2y + z = 9 (c) 2x + y - z = 0 4x + 2y + z = 0 x - y + 3z = 0 Výsledky: (a) [l;2;-2], (b) [2;4;-l], (c) [0;0;0]. Lukáš Másilko 7. cvičení <□► < rS? ► < ► < -ž ► -š •O Q, O 9. 11. 2021 16 / 17 Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.31]: (d) 2x-y = 6 y + 4z = 8 x-z = 1 (e) 2x + y - z = 0 x + y + 2z = 4 4x + 3y + 3z = 5 (f) 3x + 2y + z = 3 x + y+ z = 2 4x + 3y + 2z = 5 Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 17 / 17 Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.31]: (d) 2x - y = 6 y + 4z = 8 x-z= 1 (e) 2x + y - z = 0 x + y + 2z = 4 4x + 3y + 3z = 5 (f) 3x + 2y + z = 3 x + y+ z = 2 4x + 3y + 2z = 5 Výsledky: (a) [3;0;2], (b) nelze spočítat Cramerovým pravidlem, (c) nelze spočítat Cramerovým pravidlem. Lukáš Másilko 7. cvičení 9. 11. 2021 17 / 17