MA0005 Algebra 2, 8. seminář
16. 11. 2021
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       1 / 13
Náplň cvičení
□ Vektorový prostor a jeho pod prostory
■ Pod prostor vektorového prostoru
■ Lineární obal množiny vektorů
■ Dimenze a báze vektorového prostoru
■ Vyjádření vektoru v jiné bázi
■ Součet a průnik vektorových pod prostorů
Literatura
■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brne, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       2 / 13
Vektorový prostor
Axiomy pro vektorový prostor
V nazveme vektorovým (lineárním) prostorem nad tělesem T s operacemi +, jestliže
□ Ví, vEV: Ú+vEV (uzavřenost na operaci +)
Q Ví, v,wE V : (í + v) + w = u + (v + w) (asociativita operace +) Q 3o. V\7 G \/:í+o = í= o + í (neutrální prvek pro operaci +)
□ \/Ú E V. 3(—J) G V : J + (—u) — 6 (inverze vzhledem k operaci +) B Ví, \7g\/:Í+\7=\7+Í (komutativita operace +)
"1" MÚE V,\/t E T \ t - ÚE V (uzavřenost na součin skaláru a vektoru) "2" VJ G V, Vs, t G T \ s - (t - u) = (s - t) - u (asociativita operace •) "3" 31 G T. MÚ E V: l'Ú—Ú—Ú'l (neutrální prvek pro operaci •) "6a" \/Ú E V, Vs, t E T \ (s + t) - u = s - u+ t - u (distributivita operací) "6b" Ví, v E \/,VsG T : s • (Ú + \7) = s • u + s • v (distributivita operací)
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       3 / 13
Vektorový prostor
Definice vektorového pod prostoru
Vektorový podprostor prostoru (\/, +, •) nad tělesem (7~, +, •) je taková podmnožina 1/1/ prostoru V, která je uzavřená vzhledem k operaci + (sčítání vektorů) a • (násobení vektoru skalárem):
H VJ, ve W : u + ve W
"1" Vue 1/IAVt eT :t-ueW
Poznámka: Vektorový podprostor je tedy uzavřený na lineární kombinaci svých vektorů.
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       4 / 13
Pod prostor vektorového prostoru
Příklad 3.2.B3: Rozhodněte, zda podmnožina 1/1/ c q4 je podprostorem vektorového prostoru q4, je-li:
(a) W = {(0,0,0,0), (1,1,1,1), (-1,-1,-1,-1)}
(b) W = {(xi,x2,x3,x4) | xi + x2 + x3 + x4 > 0}
(c) W = {(xi, x2, x3, x4) | x2 = x3 = x4}
(d) W = {(2s + ŕ, s - ř, ř, s) | ř, s g q libovolné}
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       5 / 13
Pod prostor vektorového prostoru
Příklad 3.2.B3: Rozhodněte, zda podmnožina 1/1/ c q4 je podprostorem vektorového prostoru q4, je-li:
(a) W = {(0,0,0,0), (1,1,1,1), (-1,-1,-1,-1)}
(b) W = {(xi,x2,x3,x4) | xi + x2 + x3 + x4 > 0}
(c) W = {(xi, x2, x3, x4) | x2 = x3 = x4}
(d) W = {(2s + ŕ, s - ř, ř, s) | ř, s g q libovolné}
Příklad z písemky: Rozhodněte, zda rovina g je vektorovým podprostorem aritmetického vektorového prostoru R , je-li:
(a) 0: 2x + y-3z + 6 = 0
(b) 0: 2x + y-z = 0
(c) q : x - 2y + 3z - 6 = 0
(d) g : x + 4y - 2z = 0
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       5 / 13
Pod prostor vektorového prostoru
Příklad 3.2.B3: Rozhodněte, zda podmnožina 1/1/ c q4 je podprostorem vektorového prostoru q4, je-li:
(a) W = {(0,0,0,0), (1,1,1,1), (-1,-1,-1,-1)}
(b) W = {(xi,x2,x3,x4) | xi + x2 + x3 + x4 > 0}
(c) W = {(xi, x2, x3, x4) | x2 = x3 = x4}
(d) W = {(2s + ŕ, s - ř, ř, s) | ř, s g q libovolné}
Příklad z písemky: Rozhodněte, zda rovina g je vektorovým podprostorem aritmetického vektorového prostoru R , je-li:
(a) 0: 2x + y-3z + 6 = 0
(b) 0: 2x + y-z = 0
(c) q : x - 2y + 3z - 6 = 0
(d) g : x + 4y - 2z = 0
Výsledky: 3.2.B3.(a) ne, (b) ne, (c) ano, (d) ano.
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021        5 / 13
Pod prostor vektorového prostoru
Příklad 3.2.B3: Rozhodněte, zda podmnožina 1/1/ c q4 je podprostorem vektorového prostoru q4, je-li:
(a) W = {(0,0,0,0), (1,1,1,1), (-1,-1,-1,-1)}
(b) W = {(xi,x2,x3,x4) | xi + x2 + x3 + x4 > 0}
(c) W = {(xi, x2, x3, x4) | x2 = x3 = x4}
(d) W = {(2s + ŕ, s - ř, ř, s) | ř, s g q libovolné}
Příklad z písemky: Rozhodněte, zda rovina g je vektorovým podprostorem aritmetického vektorového prostoru R , je-li:
(a) 0: 2x + y-3z + 6 = 0
(b) 0: 2x + y-z = 0
(c) q : x - 2y + 3z - 6 = 0
(d) g : x + 4y - 2z = 0
Výsledky: 3.2.B3.(a) ne, (b) ne, (c) ano, (d) ano.
Příklad z písemky: (a) ne, (b) ano, (c) ne, (d) arjq, „ „-„<»,.„» „   5 ^
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       5 / 13
Lineární obal množiny vektorů
Lineární obal množiny vektorů
Lineárním obalem množiny (ne nutně nezávislých) vektorů {\/í, v^,..., v^} z vektorového prostoru V nad tělesem (7~,+, •) rozumíme množinu {ai • v{ + OL2 • V2 + • • • + OLk ' v*k | <^i> <^25... a/f e 7"} vzniklou jakoukoli lineární kombinací vektorů {\/í, v^,..., vj<}.
Značíme jej L(v[, v^,..., v£) nebo ({ví, v£,..., v^}}.
Alternativně říkáme, že L(v[, v£,..., v£) je podprostor generovaný vektory
vi,       . . . , Vk.
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       6 / 13
Báze a dimenze vektorového prostoru
Báze a dimenze vektorového prostoru
Posloupnost vektorů (\/í, v^,..., v^) nazveme bází (množinou generátorů) vektorového prostoru V nad tělesem (7~,+, •), jestliže
□ je lineárně nezávislá,
každý vektor Ú £ V lze vyjádřit lineární kombinací
J = cti • v{ + OL2 • V2 + • • • + OLk ' v*k Pro nějaké cti, ct2,..., ck/c E T (tj vektory i/J, v£,..., v£ generují celý prostor V).
Dimenzí vektorového prostoru V rozumíme počet vektorů nějaké jeho báze. Značíme dim V.
Čísla       qí2j • • • 5 <^/c) z vyjádření vektoru J nazýváme souřadnicemi vektoru Ú v bázi (\/í, v^,..., vj<).
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       7 / 13
Vektory generující vektorový prostor
Příklad 16: Ve vektorovém prostoru IR3 jsou dány vektory:
iJÍ = (l;-2;3), i£ = (2;-l;0),     = (1; 1; -3), u4 = (l;0;-l)
Rozhodněte, zda tyto vektory generují vektorový prostor
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       8 / 13
Vektory generující vektorový prostor
Příklad 16: Ve vektorovém prostoru M jsou dány vektory:
ul = (l;-2;3), u2 = (2;-1; 0), u3 = (1; 1; -3), uA = (1; 0; -1).
Rozhodněte, zda tyto vektory generují vektorový prostor R .
Příklad 3.3.B2: Rozhodněte, zda vektory ú[,..., J5 generují vektorový prostor q4, je-li:
(a) ul = (1;2;1;2), u2 = (2; 1; 2; 1), u3 = (1; 1; 1; 1), J4 = (-2; 0; -1; -3), 05 = (-1; 1; 0; -2)
(b) ul = (-1; 1;0;-1), u2 = (2; 0; 1; 3), u3 = (1; 2; 3; 4), J4 = (2; 3; 4; 6), íT5 = (1; -3; 5; -7)
Lukáš Másilko
8. cvičení
^[S1^ -š     •o q, o
16. 11. 2021       8 / 13
Vektory generující vektorový prostor
Příklad 16: Ve vektorovém prostoru R jsou dány vektory:
í/1 = (1;-2;3), U2 = (2;-1;0), uÍ = (1; 1; -3), ti* = (1;0;-1).
Rozhodněte, zda tyto vektory generují vektorový prostor R .
Příklad 3.3.B2: Rozhodněte, zda vektory ú[,... ,0$ generují vektorový prostor q4, je-li:
(a) JÍ = (1;2; 1; 2), u2 = (2; 1; 2; 1), u3 = (1; 1; 1; 1), 174 = (-2; 0; -1; -3), u5 = (-1; 1; 0; -2)
(b) £ = (-l;l;0;-l), u2 = (2; 0; 1; 3), u3 = (1; 2; 3; 4), tŤ4 = (2; 3; 4; 6), iľ5 = (1; -3; 5; -7)
Výsledky: 16. ne,
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       8 / 13
Vektory generující vektorový prostor
Příklad 16: Ve vektorovém prostoru IRJ jsou dány vektory:
ni = (1;-2; 3), u2 = (2;-1; 0), u3 = (l;l;-3), i* = (1; 0;-1).
Rozhodněte, zda tyto vektory generují vektorový prostor IR3.
Příklad 3.3.B2: Rozhodněte, zda vektory Jí,..., J5 generují vektorový prostor q4, je-li:
(a) iii = (l;2;l;2), u2 = (2; 1; 2; 1), u3 = (1; 1; 1; 1), ú* = (-2; 0; -1; -3), u5 = (-1; 1; 0; -2)
(b) Jí = (-l;l;0;-l), u2 = (2; 0; 1; 3), £ = (1; 2; 3; 4), 04 = (2; 3; 4; 6), u5 = (1; -3; 5; -7)
Výsledky: 16. ne,
3.3.B2.(a) ne, (b) ano.
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       8 / 13
Vektor příslušející vektorovému pod prostoru
Ve vektorovém prostoru M3 jsou dány vektory u = (0; 2; 5), v = (1; 2; 1). Zjistěte, zda vektory Ú1 v leží ve vektorovém podprostoru 1/1/ generovaném následující skupinou vektorů.
(a) x = (l;-l;3),y = (-2;4;-l),z = (-1;3;2);
(b) x = (2;-3;0),y = (-l;5;-2),z = (0;-4; 1);
(c) x = (3; 5; -2), y = (2; 3; -3).
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       9 / 13
Vektor příslušející vektorovému pod prostoru
Ve vektorovém prostoru IR3 jsou dány vektory Ú = (0; 2; 5), v = (1; 2; 1). Zjistěte, zda vektory u, v leží ve vektorovém podprostoru W generovaném následující skupinou vektorů.
(a) x = (1; -1; 3),y = (-2; 4; -1), z = (-1; 3; 2);
(b) x = (2; -3;0),y = (-1;5; -2),z = (0;-4; 1);
(c) x= (3;5;-2),y = (2;3;-3).
Výsledky:
(a), u G l/l/, v^W;
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       9 / 13
Vektor příslušející vektorovému pod prostoru
Ve vektorovém prostoru M3 jsou dány vektory u = (0; 2; 5), v = (1; 2; 1). Zjistěte, zda vektory Ú1 v leží ve vektorovém podprostoru 1/1/ generovaném následující skupinou vektorů.
(a) x = (l;-l;3),y = (-2;4;-l),z = (-1;3;2);
(b) x = (2;-3;0),y = (-l;5;-2),z = (0;-4; 1);
(c) x = (3; 5; -2), y = (2; 3; -3).
Výsledky:
(a) . ueW, v(£W;
(b) u e W, ve W;
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       9 / 13
Vektor příslušející vektorovému pod prostoru
Ve vektorovém prostoru M3 jsou dány vektory u = (0; 2; 5), v = (1; 2; 1). Zjistěte, zda vektory Ú1 v leží ve vektorovém podprostoru 1/1/ generovaném následující skupinou vektorů.
(a) x = (l;-l;3),y = (-2;4;-l),z = (-1;3;2);
(b) x = (2;-3;0),y = (-l;5;-2),z = (0;-4; 1);
(c) x = (3; 5; -2), y = (2; 3; -3).
Výsledky:
(a) . ueW, v(£W;
(b) u e W, ve W;
(c) u£ W, veW.
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       9 / 13
Dimenze a báze podprostoru
Ve vektorovém prostoru R je podprostor 1/1/ zadán následující množinou generátorů. Určete dimenzi a bázi aw podprostoru W.
(a) ul = (1; -1; 0; 2), u2 = (2; 2; -1; 3), u3 = (0; 1; 1; 0), iT4 = (3; 2; 0; 5);
(b) ul = (1; 2; 3; 4), u2 = (-2; -3; -4; -5), u3 = (3; 4; 5; 6), iM = (-4; -5; -6; -7), u5 = (5; 6; 7; 8);
(c) ul = (1; 2; -1; 0), u2 = (0; 1; -1; -7), u3 = (-8; 0; 0; -5), uA = (3; -4; 1; -2), íT5 = (2; 1; 0; -3);
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       10 / 13
Dimenze a báze podprostoru
Ve vektorovém prostoru R je podprostor 1/1/ zadán následující množinou generátorů. Určete dimenzi a bázi aw podprostoru W.
(a) ul = (1; -1; 0; 2), u2 = (2; 2; -1; 3), u3 = (0; 1; 1; 0), iT4 = (3; 2; 0; 5);
(b) ul = (1; 2; 3; 4), u2 = (-2; -3; -4; -5), u3 = (3; 4; 5; 6), iM = (-4; -5; -6; -7), u5 = (5; 6; 7; 8);
(c) ul = (1; 2; -1; 0), u2 = (0; 1; -1; -7), u3 = (-8; 0; 0; -5), uA = (3; -4; 1; -2), íT5 = (2; 1; 0; -3);
Výsledky:
(a), dim 1/1/ = 3, např. aw = (JÍ, J2, J3);
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       10 / 13
Dimenze a báze podprostoru
Ve vektorovém prostoru R4 je podprostor 1/1/ zadán následující množinou generátorů. Určete dimenzi a bázi aw podprostoru 1/1/.
(a) ul = (1; -1; 0; 2), u2 = (2; 2; -1; 3), u3 = (0; 1; 1; 0), u4 = (3; 2; 0; 5);
(b) ú[ = (1; 2; 3; 4), u2 = (-2; -3; -4; -5), u3 = (3; 4; 5; 6), iŤ4 = (-4; -5; -6; -7), lT5 = (5; 6; 7; 8);
(c) £ = (1; 2; -1; 0), u2 = (0; 1; -1; -7), u3 = (-8; 0; 0; -5), 774 = (3; -4; 1; -2), ď5 = (2; 1; 0; -3);
Výsledky:
(a) , dim W = 3, např.
(b) dim W = 2, např. 014/
(ul, ti2,773); ("1, ui);
Lukáš Másilko
8. cvičení
^[S1^ <     *■     -š     •o q, o
16. 11. 2021       10 / 13
Dimenze a báze podprostoru
Ve vektorovém prostoru R je podprostor 1/1/ zadán následující množinou generátorů. Určete dimenzi a bázi ayv podprostoru W.
(a) £ = (1; -1; 0; 2), tT2 = (2; 2; -1; 3), u3 = (0; 1; 1; 0), uA = (3; 2; 0; 5);
(b) ul = (1; 2; 3; 4), u2 = (-2; -3; -4; -5), u3 = (3; 4; 5; 6), JÍ = (-4; -5; -6; -7), u5 = (5; 6; 7; 8);
(c) ul = (1; 2; -1; 0), u2 = (0; 1; -1; -7), u3 = (-8; 0; 0; -5), JÍ = (3; -4; 1; -2), iľ5 = (2; 1; 0; -3);
Výsledky:
(a) , dim 1/1/ = 3, např. «1/1/
(b) dim 1/1/ = 2, např.
(c) dim 1/1/ = 4, např. ayv
(JÍ, už, J3);
(JÍ, J2);
(JÍ, Ů2, J3, 05).
Vyjadrení vektoru v jiné bázi
Příklad 3.3.B5: Ověřte, zda zadané vektory tvoří bázi a vekt. prostoru IR3. Pokud ano, najděte souřadnice vektoru w = (0; 1; 2)s v bázi a.
a) q = ((1;2;-1),(1;1;0),(2;-1;3))
b) q = ((1;2;-1),(2;-1;1),(-1;1;2))
c) a = ((1; 2; -2), (1; 1; -1), (-2; -1; 2))
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       11 / 13
Vyjadrení vektoru v jiné bázi
Příklad 3.3.B5: Ověřte, zda zadané vektory tvoří bázi a vekt. prostoru M3. Pokud ano, najděte souřadnice vektoru w = (0; 1; 2)s v bázi a.
a) a = ((1;2
b) a = ((1;2
c) a = ((1;2
-1),(1;1;0),(2;-1;3))
-1),(2;-1;1),(-1;1;2))
-2),(l;l;-l),(-2;-l;2))
Příklad 3.4.B23: Ve vektorovém prostoru IR4 jsou dány lineárně nezávislé vektory
ú{ = (1; 1; 1; 1), u2 = (0; 1; 1; 1), u3 = (0; 0; 1; 1), u4 = (0; 0; 0; 1). Vyjádřete souřadnice vektoru w = (2; 1; 1; 4)
a) v bázi a = (JÍ, J2, J3, J4);
b) v bází p = (J3, l/25 iŽ4, ú{).
Výsledky: 3.3.B5.a) vektory netvoří bázi, b) (^; ^; yf)a, c) (—2; 8; 3)
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       11 / 13
Vyjadrení vektoru v jiné bázi
Příklad 3.3.B5: Ověřte, zda zadané vektory tvoří bázi a vekt. prostoru M3. Pokud ano, najděte souřadnice vektoru w = (0; 1; 2)s v bázi a.
a) a = ((1;2
b) a = ((1;2
c) a = ((1;2
-1),(1;1;0),(2;-1;3))
-1),(2;-1;1),(-1;1;2))
-2),(l;l;-l),(-2;-l;2))
Příklad 3.4.B23: Ve vektorovém prostoru IR4 jsou dány lineárně nezávislé vektory
ú{ = (1; 1; 1; 1), u2 = (0; 1; 1; 1), u3 = (0; 0; 1; 1), u4 = (0; 0; 0; 1). Vyjádřete souřadnice vektoru w = (2; 1; 1; 4)
a) v bázi a = (JÍ, J2, J3, J4);
b) v bází p = (1Ť3, l/25 iŽ4, ú[).
Výsledky: 3.3.B5.a) vektory netvoří bázi, b) (^; ^; y|)a, c) (—2;8;3)a. 3.4.B23.a) (2;-l;0;3)ai b) (0;-1; 3; 2)^.
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       11 / 13
Součet a průnik vektorových podprostorů
Součet a průnik vektorových podprostorů
Součtem Wi + I/I/2 vektorových podprostorů l/l/i, I/I/2 prostoru V nad tělesem (7",+,-) rozumíme lineární obal jejich sjednocení, tj.
w1 + w2 = L(w1uw2) = {oí'U + i3'v\a,i3e T,ue wuve 1/1/2}
Průnikem l/l/i n W2 vektorových podprostorů l/l/i, l/l/? prostoru V nad tělesem (7",+,-) rozumíme množinu vektorů, které leží ve l/l/i i W2 zároveň, tj.
Wi (1 W2 = {u e V \ Ú e l/l/i a J g 1/1/2} Věta: Jsou-li l/l/i, I/I/2 podprostory s konečnou dimenzí, pak platí dim (l/l/i + I/I/2) = dim l/l/i + dim l/l/2 - dim (l/l/i n l/l/2).
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       12 / 13
Dimenze a báze součtu a průniku podprostorů
Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory M/i, W2. Určete dimenzi a bázi podprostorů l/l/i + W2, Wi n I/I/2, je-li:
(a) V = IR3, W1 = /.(Ji, u2), W2 = L(vi, v2) vz), JÍ = (l;l;-3),u2 = (1;2;2),
ti = (1; 1; -1), £ = (1; 2; 1), ^ = (1; 3; 3);
(b) V = IR4, Wx = ({JÍ, ti*, JÍ}), W2 = ({ví, v2, v3}), JÍ = (1; 2; 0; 2), u2 = (1; 2; 1; 2), £ = (3; 1; 3; 1),
v{ = (1; 1; 1; 1), v2 = (1; -1; 1; -1), £ = (1; 3; 1; 3);
(c) V = IR4, Wx = /.(JÍ, o*), W2 = L(vi, v2),
JÍ = (1; 1; 1; 1), u2 = (1; 0; 1; 0), v\ = (1; 1; 1; 0), £ = (1; 2; 0; 1).
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       13 / 13
Dimenze a báze součtu a průniku podprostorů
Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory l/l/i, W2. Určete dimenzi a bázi podprostorů W\ + W2, Wx n W2, je-li:
(a) V = M3, W1 = L(ůi, u2), W2 = L(vl, v2, ví),
ui = (1;1;-3),íŤ2 = (1;2;2),
vl = (1; 1; -1), £ = (1; 2; 1), £ = (1; 3; 3);
(b) V = R4, Wí = ({JI, tf2,        W2 = ({ví, V2, ví}), iTi = (1; 2; 0; 2), i£ = (1; 2; 1; 2), tf3 = (3; 1; 3; 1),
vi = (1; 1; 1; 1), v2 = (1; -1; 1; -1), ví = (1; 3; 1; 3);
(c) V = r\ W1 = L{ůi, u2), W2 = L(v{, ví),
JÍ = (1; 1; 1; 1), u2 = (1; 0; 1; 0), ví = (1; 1; 1; 0), v2 = (1; 2; 0; 1). Výsledky:
(a), dim (l/l/i + l/l/2) = 3, příklad báze: aWl+w2 = (úi, "2, ví), dim (l/l/i n W2) = 1, příklad báze: an/inn/2 = ((3; 5; 1));
Lukáš Másilko 8. cvičení
Dimenze a báze součtu a průniku podprostorů
Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory l/l/i, W2. Určete dimenzi a bázi podprostorů W1 + W2, Wi n W2, je-li:
(a) V = R3, Wi = /.(JÍ, u2), W> = U^i, v2, v3), JÍ = (l;l;-3), Ů2 = (1;2;2),
vl = (1; 1; -1), £ = (1; 2; 1), £ = (1; 3; 3);
(b) V = r\ Wi = ({Ji, Ů2, JI}), W2 = ({vl, v2, v3}), JÍ = (1; 2; 0; 2), u2 = (1; 2; 1; 2), 03 = (3; 1; 3; 1),
vi = (1; 1; 1; 1), £ = (1; -1; 1; -1), v3 = (1; 3; 1; 3);
(c) V = E4, M/i = /.(JÍ, u2), W2 = L{v1} v2),
JÍ = (1; 1; 1; 1), J*2 = (1; 0; 1; 0), v\ = (1; 1; 1; 0), v2 = (1; 2; 0; 1). Výsledky:
(a) , dim (Wi + W2) = 3, příklad báze: aw1jrw2 = {úí, "2, ví), dim ( Wl fl l/l/2) = 1, příklad báze: aw1nw2 = ((3; 5; 1));
(b) . dim (l/l/i + W2) = 3, příklad báze: aw1+w2 = (JL "2> ^i), dim ( Wl n W2) = 2, příklad báze: aWlnw2 = ("2; "3);
Lukáš Másilko
8. cvičení
16. 11. 2021       13 / 13
Dimenze a báze součtu a průniku podprostoru
Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory l/l/x, W2. Určete dimenzi a bázi podprostoru l/l/x + W2, l/l/x n I/I/2, je-li:
(a) V = IR3, W1 = /.(Ji, u2), W2 = L(vi, v2) v3),
JÍ = (l;l;-3),u2 = (1;2;2),
v! = (1; 1; -1), v2 = (1; 2; 1), ^ = (1; 3; 3);
(b) V = IR4, Wx = ({JÍ, J*2, JÍ}), W2 = ({ví, v2, v3}), JÍ = (1; 2; 0; 2), u2 = (1; 2; 1; 2), £ = (3; 1; 3; 1),
v{ = (1; 1; 1; 1), £ = (1; -1; 1; -1), v3 = (1; 3; 1; 3);
(c) V = IR4, Wx = /.(JÍ, o*), W2 = L(vÍ, v2),
JÍ = (1; 1; 1; 1), u2 = (1; 0; 1; 0), ti = (1; 1; 1; 0), v2 = (1; 2; 0; 1). Výsledky:
(a) , dim (l/l/x + W2) = 3, příklad báze: aw1+w2 = (uí, u2, v{), dim (l/l/i n M/2) = 1. příklad báze: aw1nw2 = ((3; 5; 1));
(b) . dim (l/l/x + W2) = 3, příklad báze: aw1+w2 = (uí, u2, v{), dim (l/l/x n M/2) = 2, příklad báze: aWinW2 = (u2; u3);
(c) . dim (l/l/x + W2) = 4, příklad báze: aWl+w2 = (JL "2, v2),
dim (l/l/x n I/I/2) = 0. báze tedy neexistuje._□    j ► < 1 ► ■« 1 ►   1 -00,0
Lukáš Másilko 8. cvičení 16. 11. 2021       13 / 13