KAPITOLA 3 Neurčitý integrál Obsah 3.1. Primitivní funkce a neurčitý integrál 13 3.2. Vlastnosti neurčitého integrálu 14 3.3. Výpočet neurčitého integrálu 15 3.3.1. Využití diferenciálu 15 3.3.2. Tabulky základních integrálů 15 3.3.3. Metoda per partes 16 3.3.4. Substituce 17 3.3.5. Zavedení do diferenciálu 18 3.4. Příklady vypočtu neurčitého integrálu 19 3.4.1. Integrály, pro něž je vhodné využit metodu per partes 19 3.4.2. Integrál racionální lomené funkce 20 3.4.3. Univerzální trigonometrická substituce 21 3.4.4. Některé integrály obsahující kvadratický polynom 23 3.4.5. Různé příklady 27 § 3.1. Primitivní funkce a neurčitý integrál Mějme funkci / definovanou na nějakém intervalu (a,b). Pojmy primitivní funkce a neurčitého integrálu slouží pro zodpovězení otázky: derivací čeho je výraz f (x) ? Definice 3.1. Primitivní funkce k funkci / na intervalu (a, b) je taková funkce F, že pro každé x z (a, b) platí F'(x) = f (x). Např. funkce F(x) = f x3 je primitivní funkcí k f (x) = 5x2, neboť F'(x) = I • 3x2 = 5x2 = f (x). Navíc všechny primitivní funkce pro f(x) = 5x2 mají tvar F(x) = |x3 + C, kde C je libovolná konstanta (toto platí i obecně). Definice 3.2. Výraz j f (x) dx = F (x) + C, x g (a,b), (3.1) kde F je primitivní funkce k / a C je libovolná konstanta, se nazývá neurčitým integrálem funkce /. 13 14 3. neurčitý integrál Symbol f je označován jako integrační znak, funkce / se nazývá integrandem a formální symbol „dx" slouží k označení proměnné, podle níž daný výraz integrujeme. Zápis čteme takto: „integrál z /(x) podle x". Neurčitý integrál (3.1) zodpovídá otázku: jak vypadají všechny možné výrazy, které po zderivování vzhledem k proménné x se proméní na f (x) ? Platí tedy, že (y f{x)Axj =/(*), a také (/n*) = +c. kde C je libovolná konstanta.1 Operace derivování a nalezení neurčitého integrálu jsou navzájem inverzní. Konstanta C se nazývá integrační konstantou. VĚTA. Ke každé funkci spojité na intervalu (a,b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní a tudíž má funkce neurčitý integrál. § 3.2. Vlastnosti neurčitého integrálu Základní vlastností neurčitého integrálu je (3.2), tj. neurčitý integrál z derivace jakéhokoliv výrazu je rovný tomuto výrazu plus konstanta. Vzhledem k § 4.1 a vlastnostem derivace pro libovolnou konstantu k platí j kf(x)dx = k j kf(x)dx, j(f(x)±g(x))dx = j f(x)dx± j g(x)dx, tj. konstantu lze vždy vytknout před znak integrálu a integrál součtu (rozdílu) dvou vyřazuje součtem (rozdílem) příslušných integrálů. Neexistují smysluplné vzorce, které by vyjadřovaly f f (x) g (x) dx nebo f dx přes f /(x)dxa/ g(x)dx! Tj. integrál z derivace funkce je samotná ta funkce plus konstanta. 3.3. výpočet neurčitého integrálu 15 § 3.3. Výpočet neurčitého integrálu Derivace konkrétních funkcí vždy vypočítáme podle známých pravidel derivování, tj. výsledek je svým způsobem garantován a k jeho dosažení stačí jen znát základní vlastnosti derivace a tabulku derivací elementárních funkcí. Situace je odlišná v případě integrování: může se totiž stát, že neurčitý integrál nějaké funkce zásadně „nejde vypočítat". Toto znamená, že existují elementární funkce, jejichž primitivní funkce již mezi elementární funkce nepatří. Je tomu tak např. pro /(x) = e~*2, /(x) = sin(x2) apod.; jsou to funkce pro něž nelze integrál f f (x) dx žádným způsobem vyjádřit přes funkce elementární (tj. mocninné, exponenciální, trigonometrické, polynomiální, racionální lomené). „Výpočtem" integrálu se rozumí jeho vyjádření přes nějakou kombinaci elementárních funkcí, např: f (x2 + 5e3x) dx = ^- + |e3* + C, kde C je libovolná konstanta.2 Na rozdíl od derivací, pro integrál platí, že: (1) ne každý neurčitý integrál „jde vypočítat"; (2) i pokud daný neurčitý integrál vypočítat lze, je potřeba nalézt způsob jak to udělat. Obecně platná metoda pro výpočet libovolných integrálu neexistuje. § 3.3.1. Využití diferenciálu. Nehledě na to, že „dx" v zápisu integrálu je pouze formální symbol, jenž značí proměnnou, podle níž se integruje, v praxi je pohodlné (a z hlediska výpočtů také vhodné) tlumočit výraz „/(x) dx" jako „/(x) • dx" („/(x) krát dx"). Píšeme tedy např. f ^ dx = f § 3.3.2. Tabulky základních integrálů. Přečtením tabulky známých derivací elementárních funkcí v opačném směru přirozeně vzniká užitečná tabulka základních integrálů (viz tabulka l).3 Vskutku máme (xm)' = mxm~l a pak pro m ^ 0 platí xm_1 = = (^-) , tj. F{x) = je primitivní funkcí k f (x) = xm~x. Dále platí (ex)' = ex, (sinx)' = cosx, (cosx)' = — sinx, (arctgx)' = 1^x2 atd. Podobným způsobem se odvodí integrály řády dalších známých funkcí, které nalezneme v příslušné literatuře.4 Další často využívané integrály nalezneme v tabulce 2. 2Kontrola zderivováním: ^ + |e3x + Cľ) = ^3x2 + |e3x3 = x2 + 5e3x. Pro lepší přehlednost v této tabulce vynecháváme libovolnou aditivní konstantu, která tam samozřejmě patří. Druhý vzorec v (3.3) chápeme jako přehlednou, avšak neúplné přesnou podobu vzorce (3.7) (viz pozn. 4, str. 15). 4 V tabulce 1 je třeba okomentovat jen druhý vzorec v (3.3) vyjadřující f I když tento vzorec běžně potkáváme v této zkrácené podobě, jeho matematicky precizním zněním je /dx I ln (—x) + Ci pro x < 0, ^ x ) ln x + C2 pro x > 0, 16 3. neurčitý integrál í dx ex dx í + x' x n + 1 n + 1 (n ŕ -1) cos x dx = sin x dx = arctgx / ľ dx / — = ln \x\ J x ľ v ax i ( / a dx = ! lna sin x dx = — cos x í dx VT^x1 (a ŕ 1) = arcsinx (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) Tabulka 1. Integrály některých elementárních funkcí. 1 / / x V'A2 - x2 1 dx = arcsin--h C A dx = ln x + Vx2 ± B í í Vx2 ± B 1 , 1 x ^ dx = — arctg--h C 1*1 < A) + C A2 + x2 1 A2 - x7 dx 1 2A ln A A + x A- x + C Tabulka 2. Další často využívané integrály. (3.8) (3.9) (3.10) (3.11) Tyto „tabulkové" integrály bezprostředně v uvedené podobě zpravidla nepotkáme a u konkrétních integrálů je potřeba vymyslet vhodné úpravy. příklad 3.1. Integrál f cos2 x dx snadno vypočítáme pomocí vzorce pro cosinus dvojitého uhlu, jenž nám umožní mocninu snížit: ľ _ 1 f x 1 f x 1 / cos x dx = — J (1 + cos 2x) dx = — + — J d (sin2x) = — + - sin2x + C. 2 4 2 4 § 3.3.3. Metoda per partes. Mějme dvě funkce u av, pro něž lze vypočítat derivace. Pak (uv)' = uv' + u'v, odkud uv' = (uv)' — vu' a proto j u(x)v'(x) dx = j(u(x)v(x))'dx — j v(x)u'(x)dx. (3.12) kde Ci a C2 jsou libovolné konstanty. Konstanty integrování zde tedy mohou být různé na levé a pravé poloose. Důvodem je fakt, že ln \x | není v bodě x — 0 definován a tak se definiční obor této funkce dělí na dvě části, na nichž se výraz i integruje zvlášť. 3.3. výpočet neurčitého integrálu Podle (3.2) platí5 f (u(x)v(x))' dx = u(x)v(x) a proto z (3.12) obdržíme 17 j u (x) v'(x) dx = u(x)v(x) — j v(x)u'(x) dx. (3.13) Způsobu výpočtu integrálů, jenž se zakládá na vzorci (3.13), se říká metoda per partes, neboli po částech. Tuto metodu je vhodné použit, jestliže bude integrál f v(x)u'(x) dx jednodušší než / u(x)v'(x) dx (tj. zderivování u při současném zintegrování v' zpět na v situaci zlepšuje). Mějme, např. f xcosxdx. Víme, že (sinx)' = cosx, pak cos x = v'(x) pro v(x) = sinx. Vezme-li u(x) = x, platí u'(x) = 1 a z (3.13) obdržíme /,MId"= fx (únx)'ix = x' " /1'sinxdx = xsinx" /sinxdx' Integrál f sin x dx je tabulkový: / sin x dx = — cos x + konstanta (viz (3.5)) a proto / x coS --I. /' Si„ x dx = X Si„ X + COS X + C. § 3.3.4. Substituce. Tzv. substituční metoda je založená na vzorci f(h(x))h'(x)dx = F(h(x)) + C, kde F je primitivní funkce pro /. Jinými slovy, j f(h(x))h'(x)dx = j f(t)dt, kde t = h(x). Toto znamená, že pokud má integrand tvar f (h(x))h'(x) pro nějakou6 funkci h, potom je výsledek jednoduše integrálem z / z dosazeným místo argumentu výrazem //(x), tj. stačí odvodit integrál z /. Postup si lépe vysvětlíme, když s jeho použitím vypočteme konkrétní integrál. Mějme např. integrál f 4^*2. V tabulce vidíme vzorec pro jiný, avšak podobný integrál: dx -- = arctgx. (3.14) --2 / / 1 + x2 Zkusme původní integrál upravit tak, aby se dal použit vzorec (3.14). Máme: /dx f dx 1 ľ dx 1 ľ dx 4 + *2 = ' 4(l + f) = 4/ 1 + f = 4/ 1 + (3.15) 5Můžeme zde vzít konstantu integrování rovnou 0, protože se v součtu (3.13) vyskytuje další neurčitý integrál obsahující konstantu integrování. 6Zde se nesoustředíme na přesné formulace a příslušné podmínky explicitně neuvádíme. 18 3. neurčitý integrál Diferenciálem funkce / v bodě x se nazývá výraz áf(x) = f'(x)áx. (3.16) Z hlediska výpočtů je zde pohodlné tlumočit výraz „f'(x)dxlí jako ,,f'(x) ■ dx" (,,f'(x) krát dx "). Připomíná to také alternativní (starší) označení pro derivaci: f'(x) = d^JC->, odkud obdržíme (3.16) formálním vynásobením výrazem dx (jemuž se říká diferenciál nezávisle proměnné). Z diferenciály se pracuje stejné jako s odpovídajícími derivacemi. Zavedeme v (3.15) novou proměnnou t = X-. (3.17) Pak dle (3.16) dt = d(\x) = (\x)'dx = \ dx, tj. dt = \ dx, odkud dx = 2dt. (3.18) Dosaďme (3.17) a (3.18) do (3.15): ľ dx _ 1 ľ dx _ 1 ľ 2dt _ 2 ľ dt _ 1 ľ dt J 4 + x2 ~4j i + (|)2 ~ 4 J \ + t2 ~4J \+t2 ~2J \ + t2 a s využitím (3.14), (3.17) ihned obdržíme výsledek: ľ dx 1 ľ dt 1 ^1 x ^ I-- = - /-- = - arcts t + C = - arctg —h C. J 4 + x2 2J1 + Í2 2 B 2 B2 Můžeme si také všimnout, ze výsledek je speciálním případem vzorce (3.10). § 3.3.5. Zavedení do diferenciálu. Jde pouze o poněkud jinou podobu vypočtu dle § 4.4.2, když se substituce provádí implicitně (nezapisujeme ji). Mějme např. f (2x — 7)3 dx. Podle (3.16) platí d(2x - 7) = (2x - 1)'dx = 2dx, potom dx = \d{2x - 7). Dosazením tohoto výrazu do integrálu obdržíme:7 J(2x - 7)3 dx = J(2x - 7)3^ d(2x -T) = ^J(2x- 7)3 d(2x - 7) = l- (^(2x - iý + c) = l-(2x - iý + Č (Č = l-c). Tímto způsobem např. výpočet integrálu (3.15) (§ 4.4.2, str. 34) zapíšeme takto: dx 1 f dx 1 f d (f) 1 x -r = - / -r = - • 2 / -= - arctg —h C, + x2 4j 1 + (|)2 4 J 1 + (|)2 2 S2 7Kontrola: (±(2x - 7)4 + Č)' = I • 4(2x - 7)3 • 2 = (2x - 7)3. 3.4. příklady vypočtu neurčitého integrálu 19 substituce t = x/2 je totiž dosti jednoduchá a můžeme ji provést implicitně s použitím (3.16), aniž bychom ji explicitně zapisovali. § 3.4. Příklady vypočtu neurčitého integrálu Uveďme několik nejrozšrřenějších typů integrálu, pro něž lze formulovat jistý obecný postup vypočtu. § 3.4.1. Integrály, pro něž je vhodné využit metodu per partes. Metodu per partes použijeme pro integrály součinů výrazů, z nichž jeden by bylo žádoucí zderivovat a zároveň je možné zintegrovat ten druhý. příklad 3.2. Vypočtěme integrál /(*) = I cos xdx. Přepišme integrál ve tvaru f cos3 x cos xjd^r^použijme metodu per partes: j cos' , cos,* + 3 / sin x cos* , sin , d = Si„,cos^ + 3/Si„^cos^d.ív!! j cos2xdx — 3 j si„*coS* + 3jcoS*d* sin x cos3 x H---1— sin 2x cos4 x dx cos4 x dx. Toto znamená, že platí rovnost 3x 3x 3 I{x) = — + sin x cos3 x + — + - sin 2x — 3I(x), na niž lze hledět jako na rovnici pro I(x). Zbývá tedy tuto rovnici vyřešit a přidat integrační konstantu; výsledkem bude 3x 1 3 3x 1 3 I(x) =--h - sin x cos3 x H--sin 2x + C =--h - sin x cos3 x + - sin x cos x + C. W 8 4 16 8 4 8 příklad 3.3. Vypočtěme integrály I(x) = j e* cos xdx, J(x) = j e* sin x dx. Použili jsme také výsledek příkladu 3.1 pro f cos2 x dx. 20 3. neurčitý integrál Jelikož (e*)' = e* a derivace sinu a kosinu jsou, až na znaménko, kosinus a sinus, je vhodné tyto integrály počítat metodou per partes, přičemž v daném případě není důležité který z těchto členů budeme derivovat. Uvažujme např. I(x): = e*coS, + /e*Si„J;d.=e*coS. + 7(f)._ Vykonáme-li podobné úpravy s J (x), obdrží] /(*) = /e' -"K-'-' Z'''• = «" " 'M-Odvodili jsme tedy, že pro integrály platí vztahy I(x) = e* cos x + J (x), J {x) = e* sin x — I(x), odkud I(x) — J (x) = e* cos x + /(x), I(x) + J(x) = e* sin x a tudíž /(x) = -e* (sin x + cosx) + C, J (x) = -e* (sin x — cos x) + C. § 3.4.2. Integrál racionálni lomené funkce. Jsou to integrály tvaru p (x) í ■ dx, q(x) kde p je polynom stupně n a q je polynom stupně m (takový integrand se nazývá racionální lomenou funkcí). Není-li funkce ryze lomená (tj. n > m), integrand dělením polynomů upravíme na součet polynomu a ryze lomené funkce. Polynomy se integrují velice snadno a tudíž stačí rozebrat pouze případ ryze lomené funkce, když platí n < m. Pro integraci ryze lomené funkce vypočítáme její rozklad na součet parciálních zlomků,9 jejichž integrály buď ihned převedeme na tabulkové nebo — pro složitější integrály tvaru , 21*+Í?ftu s £ > 1 — odvodíme postupným zredukováním na jedno-dušší typy (těmito integrály se zde zabývat nebudeme). Vyjádříme-li jmenovatel q(x) ve tvaru součinu výrazů typu (x—c)k a (x2+ax+/3)k (kde a2 < 4/3), rozkladem podílu na parciální zlomky bude součet výrazů typu -^L + , ^2..2 + ... , odpovídajících každému výskytu v rozkladu členu (x — c)k, a výrazů typu + • • • + (j£+*kp)k, jež odpovídají členům (x2 + ax + /3)*. 9'Parciální zlomky jsou nejjednodušší ryze lomené funkce typů ^x^k neb° JxT^^^jk' kde ä: = 1,2,... a polynom x2 + + /3 má záporný diskriminant (tj. a2 — 4/3 < 0). Poznamenejme, že jmenovatelé (jc — c)fe a (x2 + ax + /3)k zde popisují všechny možné typy členů v rozkladu polynomu na součin kořenových činitelů, když ho zapisujeme bez použití komplexních čišel. 3.4. příklady vypočtu neurčitého integrálu 21 Koeficienty se v různých parciálních zlomcích liší a jejich hodnoty je třeba vypočítat z podmínky, že všechny vypsané členy mají v součtu dávat původní funkci (přivedeme vše ke společnému jmenovateli a zajistíme, aby byl čitatel rovný p(x)). příklad 3.4. Integrál / dx l-x2 snadno vypočítáme rozkladem integrandu na parciální zlomky (§ 3.4.2). Rozklad polynomu ve jmenovateli na součin kořenových činitelů je —(x — l)(x + 1) a proto 1 1 A B + 1 - x7 (x - l)(x + 1) x - 1 X + 1 přičemž pro všechna x má platit —1 = A(x + ľ) + B(x — 1). Dosadíme-li do této rovnosti kořeny x = 1 a x = —1, obdržíme 1 = —2A, 1 = 2B, odkud A = —|, B = \ a tudíž platí ľ dt _ 1 ľ dx 1 ľ J l-x2 ~~2J Y^l +2J dx 1 , 1 -= — lnbc-l+-lnbc + l+ C x + 1 2 2 1 -ln 2 x + 1 + C. x (3.19) Koeficienty vždy můžeme nalézt tak, že přirovnáme koeficienty u jednotlivých mocnin na obou stranách rovnosti (v případe, kdy polynom ve jmenovateli má komplexní kořeny, se tomu nevyhneme; viz např. příklad 3.5). § 3.4.3. Univerzální trigonometrická substituce. Je-li integrand racionální funkcí výrazů cos x a sinx, je možné pro výpočet integrálu použit univerzální trigonometrickou substituci í=tg|, (3.20) kde t značí novou proměnnou. Pak, samozřejmě, x = 2arctgř (3.21) a pro diferenciál ihned obdržíme dx = jnpí dř. Vzhledem k tomu, že platí cos2 f - sin2 f 1 - tg2 f . 2 sin f cos f tg f cos x = _—_— = _— sin x = _—_—_= 2_—_ cos2 f + sin2 f 1 + tg2 f' cos2 f + sin2 f 1 + tg2 f' integrál tak převedeme na integrál racionální lomené funkce, a to pomocí následujících vzorců. 22 3. neurčitý integrál Vzorce pro vykonání univerzální trigonometrické substituce t = tg 2 " • 2t lát cos x = --, sinx = --, dx = —-. (.3 1 + t2 1 + t2 t2+l Z (3.22) ihned plyne, že10 tg x = -^i, ctgx = sec x = j^j a esc x = tj. po zavedení substituce (3.20) pomocí (3.20) převedeme všechny výskyty trigonometrických funkcí v integrandu na racionální lomené funkce proměnné t, přičemž podobný výraz vznikne i po přepočtu diferenciálu. Po vypočtu upraveného integrálu použijeme (3.20) a vrátíme se k původní proměnné x. příklad 3.5. Vypočtěme sinx — 1 / dx. cos x + 2 Použijeme-li substituci (3.20), ze vzorců (3.20) obdržíme f sin x - 1 f TT72 - 1 2 f / -dx = / —7--ň-dt = 2 - J cosx + 2 J ±zll+2t2 + 1 JI _+2ř2+l J l-t2 + 2(l + t2)t2 + l ř2_0r^1 1 r t2_2t + \ dt. ft2-2t + l 1 /" -2 /------dt = -2 J 3 + t2 t2+\ J (t2 + \){t2 + 3) V integrandu je ryze lomená funkce, již můžeme dále rozložit na součet příslušných parciálních zlomků (§ 2.4.2): t2-2t + \ At + B + Ct + D (At + B)(t2 + 3) + (Ct + D)(t2 + 1) (t2 + \){t2 + 3) t2 + 1 t2 + 3 (t2 + \){t2 + 3) Potřebujeme tedy, aby pro libovolné t platilo {At + B)(t2 + 3) + (Ct + D)(t2 + 1) = t2 - 2t + 1. Přirovnáním koeficientů ut0^1^2 &t3 obdržíme podmínky11 3B + D = \, 3A + C = -2, B + D = \, A + C = 0, odkud vypočítáme A = — 1, B = 0, C = — 1, D = 1. Pak 2 - 2t 4-1 /* -í r í + i dř /• r -2ř + i r -t r t + i -2 / -dt = -2 -dt -2 - J (t2 + \)(t2 + 3) J t2 + \ J t2 + : = Í ~^r— dt - f dt -2 f J t2 + \ J t2+ 3 J 2 dt t2+ 3 10Připomeňme, že funkce sekans a kosekans se definují vzorci sec x = —l—, ese x — 1 ^ ' J nos x ' cos x sin x 1 ^rvní podmínku, jež odpovídá koeficientům u t°, lze vždy odvodit také dosazením hodnoty / = 0. 3.4. príklady vypočtu neurčitého integrálu 23 Máme j^ = \ arctg^), / dt = f ^ = ln(t2 + 1), / -fe dt = ln(t2 + 3), až na aditivní konstantu, jíž k výsledku přidáme později. Potom / t2 — 2t + 1 2 (t dt = ln(ŕ2 + 1) - ln(ŕ2 + 3)--— arctg (t2 + l)(t2 + 3) v 7 v VŠ VV3 ŕ2 + 1 2 / t \ = In-- - -p arctg — . (3.23) í2 + 3 V3 VV3 Teď již zbývá jenom dosadit do (3.23) vyjádření t přes x ze substituce (3.20) a přidat integrační konstantu:12 sinx - 1 tg2f + 1 2 / 1 x\ dx = ln-- - -= arctg — tg - + K. (3.25) / cosx+ 2 tg2f + 3 V3 V-n/3 2 Použití univerzální substituce (3.20) je zpravidla spojeno s pracnějším výpočtem a proto je vždy vhodné popřemýšlet, zda není možné integrál vypočítat snadněji. Často je užitečná následující poznámka: je-li integrál ve tvaru / i?(cos x, sinx) dx, kde R je racionální lomená funkce dvou argumentů mající jednu z vlastnosti R(—u, v) = —R(u, v), R(u, —v) = —R(u, v), R(—u, —v) = R(u, v) pro všechna (u, v), pak lze použit jednu ze substitucí t = sinx,ŕ = cosxresp.ŕ = tgx. Jestli např. R(u, v) = u2v3, pak je R lichá podle v a tudíž použijeme t = cos x: /cosWxd* = /cosWxsinxd* = -/co^x (1 - co^x) d (co,*) atd. § 3.4.4. Některé integrály obsahující kvadratický polynom. Uveďme několik často se vyskytujících integrálu, kde v integrandu je přítomen kvadratický polynom. Některé z nich se obvykle uvádí v tabulkách integrálů (příklady 3.6, 3.7, 3.8). 1 9 v Často se stává, že výsledky integrace pri použiti poněkud odlišných úprav se zdánlivé liší. Napr. všimneme-li si, že dle (3.20) t2 + 1 = tg2|- + 1 = ^i, x , obdržíme ' 7 1 tg2f + 1 cos2 # 1 / 0X\ ln 4rr- = ln —i--— = ln-— = ln 1 - ln (1 + 2cos2- ) = - ln(cos x + 2) + 3 l+2cos2f V 2) a proto lze (3.25) přepsat do tvaru / sinx — 1 , 2 / 1 x\ CQSX + 2 áx = ~ ln(cos x + 2) - — arctg \-j= tg - ) + K. (3.24) 24 3. neurčitý integral příklad 3.6. Mějme / dx Vx2 — a2 kde a > 0. Definičním oborem integrandu je množina {x : \x\ > a}. Řešení 3.6.1. Funkce je sudá; uvažujme x > a. Vykonejme substituci x = a sec t, kde t e (0, ^) (připomeňme, že sec t = a 0 < cos x < 1 pro t e (0, |-)). Pak —---a2 = a y7! + tg2ř — 1 = atgt cos2 ř (pro ŕ e (0,§) jetgí > 0)adx = -^dí = f^fdř, /dx ľ 1 atgt ľ Vx2 - a2 J atgt cos t J cos ř Jelikož tg2ř + 1 = —V- a dle substituce —!— = -, platí tgř = J—K- — 1 = ° cosz / cos x a7 ľ ° V cosz / ^ Vx2 —a2. Pro f využijme výsledek příkladu 3.12, řešení 3.12.1; pak obdržíme r d^= (JL = 1J^ + tg,) + c J Vx2 - a2 y cos ŕ Vcos* / = ln ( - + - Vx2 -a2 ) + C = ln(x + Vx2 - a2) + K, \a a ) v ' kde K (K = C — ln a) je libovolná konstanta. Tento vzorec jsme dokázali pro x > a. Jelikož funkce v integrandu je sudá, pro x < —a místo F(x) = ln(x + Vx2 — a2) její primitivní funkce bude13 — F(—x) = — ln(—x + Vx2 — a2). Úpravou obdržíme: -F(-x) = -ln(-x + Vx2 - a2) = ln 1 - ln(-x + Vx2 - a2) J _^ 2 j = ln =-= ln —--— = ln(—x — Vx2 — a2) Vx2 - a2 - x x2-l-x2 Sjednocením dvou posledních rovností obdržíme vzorec platný pro všechna x s |x | > a: i n Zde využijeme takovou větu: VĚTA. Buďte f sudá funkce a F její primitivní funkce na [0, +oo). Pak funkce F(x) = —F(—x) je primitivní funkcí pro f na (—oo,0]. Vskutku pro x < 0 máme F'(x) = —^F(-x) = -F'(-x) = -f(-x) = f(x). 3.4. príklady vypočtu neurčitého integrálu 25 Řešení 3.6.2. Funkce v integrandu je sudá a tudíž se můžeme omezit případem, kdy x je kladné, tj. x > a. Vzhledem k vlastnostem hyperbolických funkci14 (viz (3.26)) je zde vhodné provést substituci x = a cosh t, (3.27) pak Vx2 — a2 = V a2 cosh2 t — a2 = a V cosh2 t — 1 = a V sinh2 t = a sinh t a diferenciál bude dx = a sinh t dt : dx ľ dx ľ 1 J Vx2 - a2 J tfsir sinhř -a sinh ŕ dt f dt = t. Vx2 — a2 Zbývá tedy jen vykonat inverzní substituci a vrátit se k původní proměnné x. Vztah x = a cosh ř znamená (viz pozn. 14), že x = |(eř + e_ř), tj. e2ř — ^eř + 1 = 0, což je kvadratická rovnice s2 — ^-s +1 = 0 pro s = eř. Vyřešíme-li tuto rovnici, obdržíme s = ^ ± ^ Vx2 — a2, kde vezmeme znaménko „+", protože s = é a tudíž musí být s > 0 (navíc uvažujeme x > a). Jelikož t = lnx, obdržíme t = ln ( — H—Vx2 — a2 | = ln(x + Vx2 — a2) — lna ya a / v 7 a proto / dx Vx2 — a: = ln(x + Vx2 - a2) + C. (3.28) příklad 3.7. Mějme / dx Vx2 + kde a > 0. Připomeňme si vzorec tg2 x + 1 = a zaveďme substituci x = a tg t, t e (-f, f). Pak Vx2 + a2 = Ja2tg2t + a2 = aJtg2t + 1 = -*-f a dx = -%rdí, v2'2y vo1 vo1 cos/ cosz / odkud / dx Vx2 + /i£?7d' = / " cos/ " dí cos ŕ Integrál f -^j lze vypočítat různými způsoby (§ 3.4.5, příklad 3.12). Zde je pohodlné využit řešení 3.12.3 / dř cos t ln cos t + tgt + K = ln y/\ + tg21 + tg t + K 14t» Připomeňme, že hyperbolické kosinus a sinus (§ 1.1) se definují jako cosh x — j(&x + e x), (3.26) sinhx = j(ex — e x) a platí (sinhx)' = coshx, (coshx)' = sinhx cosh2 x — sinh2 x = 1. 26 a tudíž 3. neurčitý integral / dx In ln 1 X2 X + K = ln v/l + ^ + - V a1 a X 1 i—.-; —V - yx2 + a' a a x + \j x2 + a2 + C, kde C = K — lna. + K (3.29) Z (3.28) a (3.29) obdržíme tabulkový integrál dx / Vx2 ± = ln(|x + Vx2±a2|) + C. (3.30) příklad 3.8. Mějme kde a > 0. y V x2 — a2 dx, Použijme metodu per partes s u (x) = ■s/x2 — a2, v'(x) = 1 a vzorec (3.30): I(x) := y Vx2 — a2 dx = x V x2 — a2 — j -f x x- dx x x Vx2 — a2 ■s/x2 — a2 x2 — a2 + a2 V. x2 — a2 dx Vx2 — a2 — f Vx2 — a2 dx — a2 f , J J v^2^ : dx = xVx2 — a2 — I(x) — ln(|x + Vx2 — a2|), odkud nalezneme I(x) a obdržíme _ i _ i _ V x2 — a2 dx = -xVx2 — a2 — - ln(|x + Vx2 — a2|) + C. Velmi často je vhodné vyjádřit kvadratický polynom ve tvaru (x — c)2 ± d2 příklad 3.9. Uvažujme integrál j V4x2 - 4x - 7dx. Jelikož 4x2 - 4x - 7 = (2x)2 - 2 • 2x • 1 + 1 - 8 = (2x - l)2 - 8, platí J V4x2-4x-7dx = j J(2x- l)2-8dx í/ (2x- l)2-8d(2x- 1) 3.4. príklady vypočtu neurčitého integrálu 27 = J ^(2x-ľf-(VŠ)2dx, odkud substitucí 2x — 1 = t obdržíme integrál tvaru f V72 — a2 dt (viz příklad 3.8) příklad 3.10. Mějme integrál / dx V3 + 2x - x2 Jelikož pro polynom ve jmenovateli platí vyjádření 3 + 2x - x2 = -(x2 -2x-3) = -(x2 -2-1-X + 1-1-3) (3.31) =-((x-l)2-4) = 4-(x-l)2 (3.32) obdržíme /dx f dx 1 ľ dx V3 + 2x - x2 ~ J y/A - (x - l)2 ~ 2 J /t {x-i 2 Příklad 3.11. Pro integrál / = / , - = arcsin - + C. dx Vx2 — 2x — 3 jenž se liší od (3.31) pouze znaménkem polynomu, dle (3.32) obdržíme integrál typu (3.30): d(x - 1) /dx ľ dx ľ Vx2 - 2x - 3 ~ J J(x - l)2 - 4 ~ i Vx2 - 2x - 3 y j(x - l)2 - 4 J VC* - l)2 - 4 = ln(|x - 1 + 1)2-4|) + C = ln(|x - 1 + Vx2-2x-3|) + C. § 3.4.5. Různé příklady. příklad 3.12. Vypočtěme integrál / dx cos x Uveďme tři způsoby řešení (všimněme si různé tvary výsledků). Řešení 3.12.1. Integrand je racionální funkcí výrazu cos x a tudíž lze využit obecnou trigonometrickou substituci t = tg | (§ 3.4.3). Dle vzorců (3.22) obdržíme dř J cosx J 1 -t2 t2 + 1 J 1- t2' 28 3. neurčitý integral Integrál f byl vypočítán v příkladu 3.4, použijme proto již odvozený vzorec (3.19): dx 1 2-ln cos x 2 t +1 + C = ln tgf+ 1 + C = ln sin f + cos f t -1 tgf-1 sin f -cos f + c ln = ln (sin § + cos \y sin2 f - cos2 f + C = ln sin2 f + cos2 f + 2 sin f cos § cos2 f - sin2 f + C 1 + sinx cos x 1 + C = ln + tgx COS X + c. Řešení 3.12.2. Po vynásobení čitatele a jmenovatele členem cos x lze zavést substituci s = sinx: /dx /* cosx ^ /* cosx ^ /* d(sinx) /* ds cosx 7 cos2x ] 1- sin2x JI- sin2x J \ - s2' Pro poslední integrál použijme (3.19): 1 / 1 dx 1 , , - , -= - In I sin x — 11--In I sin x + 11 + C = - ln cosx 2 2 2 sin x — 1 sinx + 1 Řešení 3.12.3. Jiný způsob je založen na vzorcích (—!— V = — ~sin* ^ J V COSX/ COSz X (tg*)' = ci: í dx = f 1 ^ + tg x dx = f + dx J cosx Jcosx^ + tgx 7 ^b + tgx d(^b + tg^) + c. / ln 1 cosx + tgx + C = In I sec x + tg x I + C. — + tgx COS X ° příklad 3.13. Vypočtěme integrály I(x) = j sin(lnx)dx, J(x) = j cos(lnx)dx. Vzhledem k definičnímu oboru logaritmu má smysl integrály uvažovat pouze pro x > 0, což nadále předpokládáme. Vykonejme substituci lnx = t; pak x = é (uvažujeme kladná x) a dx = é dt: f sin (1„ x) dx = / e< sin, d,, / cos (lnx) dx = / e< cos, d, Použijeme-li teď výsledky příkladu 3.3, obdržíme /S1„anx)dx4e,S1„,-C„S0 + C^(sl„anx)-C„S„„x)) + C /eOSanx)dx4e,S1„,+C„S0 + C^(sl„anx) + eOs(1nx)) + C. KAPITOLA 4 Určitý integrál Obsah 4.1. Neurčitý integrál - opakování 29 4.2. Zavedení určitého integrálu 30 4.2.1. Plocha pod křivkou 30 4.2.2. Newton-Leibnizův vzorec 31 4.3. Vlastnosti určitého integrálu 32 4.4. Výpočet určitého integrálu 32 4.4.1. Metoda per partes 32 4.4.2. Substituce 34 4.5. Příklady vypočtu určitých integrálů 37 4.5.1. Racionální lomené funkce 37 4.5.2. Univerzální trigonometrická substituce 38 4.5.3. Různé příklady 41 4.6. Geometrické aplikace určitého integrálu 41 4.6.1. Plochy ohraničené křivkami 41 4.6.2. ... 50 Mějme reálnou funkci / jedné reálné proměnné definovanou na nějakém ohraničeném intervalu (a,b). Dále předpokládáme, že je funkce / na (a, b) spojitá (nebo po částech spojitá1). Pro takovouto funkci lze hovořit o jejím integrálu neurčitém a následně o integrálu určitém. § 4.1. Neurčitý integrál - opakování Připomeňme si, že neurčitý integrál f f (x) dx vzniká jako odpověď na otázku jak vypadají všechny možné výrazy, které po zderivování vzhledem k proměnné x se promění na /(x). Integrál / f(x) dx se definuje rovností j f (x) dx = F {x) + C, Tím se myslí, že {a, b) lze vyjádřit jako sjednoceni konečně mnoha intervalů, z nichž na každém je funkce spojitá. 29 30 4. URČITÝ INTEGRÁL kde F je primitivní funkce2 k funkci / na intervalu (a, b) a C je libovolná konstanta, a se určuje vlastnostmi Pojem neurčitého integrálu se tedy zavadí jako operace inverzní k operaci vypočtu derivace. Pojem určitého integrálu se zavádí buď s použitím integrálu neurčitého (tj. přes primitivní funkci) nebo přímo přes tzv. integrální součty. V posledním případě se jedná o způsob, jímž se obdrží vzorec pro výpočet plochy pod křivkou.3 § 4.2.1. Plocha pod křivkou. Mějme funkci / nabývající na [a,b] nezáporných hodnot. Zašrafujeme-li geometrický útvar, jež ohraničují křivka s rovnici y = f (x), osa x a svislé přímky s rovnicemi x = a, x = b (viz schematický obrázek 4.1a), určitý integrál funkce / na intervalu (a, b) (značí se f£ f (x) dx) udává velikost plochy tohoto útvaru. Myšlenka vedoucí na způsob výpočtu velikosti plochy pod libovolnou křivkou spočívá v její přibližném nahrazení jednodušším tvarem s lehce vypočitatelnou plochou, a sice sjednocením malých obdélníků.4 Rozdělme interval [a, b] na menší intervaly [x0, Xi], [xi,x2],..., [x„-i,x„] zadáním n — 1 libovolných bodů X\, x2,. ■ ■, xn-\ (definujme také x0 = a, x„ = b). Vezmeme-li v každém z intervalů [xl■, libovolný bod u každého z těchto intervalů můžeme sestrojit obdélník šířky —x; avýšky /(£/) (viz obrázek 4.1b). Pak hledanou plochu je přirozené přibližně nahradit součtem ploch zmíněných obdélníků, což je Když je n velké (tj. zvolených bodů a odpovídajících subintervalů je hodně), všechny veličiny + i — x; jsou malé a proto sestrojené obdélníky dostatečně dobře kopírují tvar původní plochy. Je logicky očekávat, ze by se ,kvalita" aproximace měla zlepšovat při Jakákoliv primitivní funkce. Připomeňme si také, že primitivní funkce se určuje jednoznačně až na aditivní konstantu. Leibniz a Newton, XVII st. Přesná formulace vznikla v rámci Riemannova integrálu v XIX st. Současně se matematicky precizně vyjasní plochy jakých figur lze v rámci tohoto integrálu vypočítat (existuji totiž „exotické" případy, když určitý integrál neexistuje — podrobněji na toto téma zde hovořit nebudeme). 4Touto cestou vzniká definice toho, co je to plocha figury obecného tvaru. (4.1) § 4.2. Zavedení určitého integrálu n-l 4.2. zavedení určitého integrálu 31 (a) vrt ío. :íi (b) Obrázek 4.1. Plocha ohraničená křivkou s rovnici y = f (x), osou x a přímkami x = a, x = b. zvětšení počtu subintervalů. Určitým integrálem f (x) dx pak bude výsledek vhodným způsobem chápaného limitního přechodu při neustále zmenšujících se délkách subintervalů. Funkce, pro něž tato konstrukce neselhává, jsou integrovatelné (odpovídající plocha pod křivkou je vypočitatelná). Neexistují např.: fli \fxdx, f\ Inx dx (funkce jsou definovány pouze pro kladná čísla); f^tgxdx (interval (1,2) obsahuje bod -|, v němž platí limx^^_tgx = +oo a limx^K+ tgx = —oo; lze ukázat, že tato nespojitost je neintegrovatelná a odpovídající plocha pod křivkou je nekonečná, viz příklad 5.4 a obrázek 5.2b).5 VĚTA. Pro každou funkci f : [a, b] —>- R, jež je na tomto intervalu spojitá nebo po částech spojitá, určitý integrál f f (x) dx existuje. Pojem určitého integrálu se rozšiřuje se zachováním vlastností (§ 4.3) i na funkce střídající znaménko. § 4.2.2. Newton-Leibnizův vzorec. Pro výpočet určitého integrálu stačí umět nalézt k dané funkci primitivní funkci (tj. vypočítat odpovídající integrál neurčitý). Platí totiž tzv. Newton-Leibnizův vzorec6 -b f(x)dx = F(b) - F (a), (4.2) / J a Samotná nespojitost ještě neznamená, ze integrál neexistuje; záleží také na její typu a rychlosti růstu nebo klesání. Napr. limx^o+ ln jc = — oo, avšak JQ Inx dx = —1 (viz obrázek 5.3b a príklad 5.5, p. 56); integrál tohoto typu se nazývá nevlastní. 6Vzorec (4.2) lze použit jako definici integrálu f(x)dx spojité funkce /. 32 4. určitý integrál kde F je primitivní funkce k funkci / na daném intervalu. § 4.3. Vlastnosti určitého integrálu Vzhledem k Newton-Leibnizovu vzorci (4.2) a vlastnostem neurčitého integrálu pro libovolnou konstantu k platí nb nb I kf(x)dx = kl kf(x)dx, Ja Ja í (f(x)±g(x))dx = í f(x)dx± íg(x)dx, Ja Ja J tj. konstantu lze vždy vytknout před znak integrálu a integrál součtu (rozdílu) dvou vyřazuje součtem (rozdílem) příslušných integrálů. Toto jsou stejné vlastnosti linearity, jež má integrál neurčitý. Dále platí f f(x)dx = - i f(x)dx. (4.3) Jb J a Z (4.3) je zřejmé, že ve speciálním případě, když a = b (tj. horní a dolní meze integrování se shodují), platí r Ja f(x) dx = 0. Nakonec, je-li c libovolný bod ležící mezi a a b, pak r>b r-c r-b \ fix)dx= fix)dx+ fix)dx. (4.4) J a J a J c Tato vlastnost se nazývá aditivita vzhledem k intervalu, neboť (4.4) znamená, že integrál funkce na sjednocení navzájem disjunktních7 intervalů je součtem integrálů z též funkce na jednotlivých intervalech. Je to vlastnost velmi přirozená vzhledem k tomu, že určitý integrál má význam plochy geometrického útvaru. § 4.4. Výpočet určitého integrálu Základními nástroji jsou tzv. substituční metoda a metoda per partes. § 4.4.1. Metoda per partes. Metoda integrování per partes (tj. po částech) pro určitý integrál se formuluje téměř stejným způsobem jako v případě integrálu neurčitého. Mějme dvě funkce u a v, pro něž lze vypočítat derivace. Pak (uv)' = uv' + u'v, odkud uv' = (uv)' — vu' a proto nb nb nb I u(x)v'(x)dx= I (u(x)v(x))'dx — l v(x)u'(x)dx. (4.5) J a J a J a ■7 Tj. takových, jejichž průnik je prázdny. 4.4. vypočet určitého integrálu 33 Funkcí primitivní k derivaci součinu (uv)' je, samozřejmě, součin uv. Vzhledem k Newton-Leibnizovu vzorci (4.2) pro libovolnou funkci g se spojitou derivaci platí -b g'(x)dx = g(b)-g(a) (4.6) / J a nebo, což je totéž, ág(x) = g(b)-g(a). (4.7) / J a Proto f Ja (u(x)u(x))'dx = u(b)v(b) — u(a)v(a) (4.8) a z (4.5) obdržíme -b po po I u(x)v'(x) dx = u(b)v(b) — u(a)v(a) — l v(x)u'(x) dx. (4.9) J a J a Metoda integrování per partes pro určitý integrál spočívá v užití vzorce (4.9), jenž se často zapisuje ve zkráceném tvaru r>b r>b I u(x)v'(x) dx = u{x)v{x)\a — i v(x)u'(x) dx. (4.10) J a J a Tuto metodu je vhodné použit, jestliže bude integrál f v(x)u'(x) dx jednodušší než / u(x)v'(x) dx (tj. zderivování u při současném zintegrování v' zpět na v situaci zlepšuje). Vzpomeneme-li si teď na pojem diferenciálu funkce,8 pro lepší zapamatování můžeme rovnost (4.10) zapisovat ve tvaru / u(x)dv(x) = u(x)v(x)\ba — / v(x)du(x). (4.11) J a J a PŘÍKLAD 4.1. Mějme např. JQ2 x sin x dx. Jelikož (cosx)' = — sinx, pak sinx = v'(x) pro v(x) = — cos x. Vezmeme-li dále u(x) = x, platí u'(x) = 1 a podle vzorce (4.10) obdržíme I xsinxdx = — / x (cosx)'dx = (xcosx) |p — / 1 • (— cosx)dx Jo Jo Jo p7t p7t = ti cos ti — 0 cos 0 + / cos x dx = — ti + I cos xdx Jo Jo 8Viz pozn. 10, str. 35 34 4. urcity integral = —it + / (sinx)'dx = —it + sin x |„ Jo PŘÍKLAD 4.2. Vypočtěme integrál = —71 + sin 7i — sinO = —ti. Jelikož (In x)' = l/x, je vhodné použit metodu per parti íl In x dx„ 1 • In x dx In x dx ^ x In xf5 ->J^x^n x)' dx 1 1 ľ1 1 1 1 1 = lnl--ln-- / x-dx = —In 1 + - In2 = -(In2 - 1). 2 2 Ji x 2 2 2 Načrtneme-li graf funkce x ln x na intervalu (|, 1), můžeme odvodit, že nalezená hodnota integrálu (4.12) udává plochu rovinného útvaru z obr. 5.3a, str. 57. § 4.4.2. Substituce. Substituční metoda pro určitý integrál je založená na vzorci9 f(h(x))áh(x) = F(h(b)) - F(h(a)), / J a kde i7 je primitivní funkce pro /, tj. f(h(x))h'(x)áx = F(h(b)) - F(h(a)). J a Výpočet se provádí substituci t = h(x), odkud dt = h'(x) dx a pokud má integrand tvar f (h(x))h'(x), pak lze x z výrazu úplně vyloučit a obdržíme integrál vzhledem k nové proměnné t. Tím pádem stačí odvodit neurčitý integrál z / a dosadit odpovídající (ztransformované) meze. Tento poslední krok, jenž nemá obdobu pro integrál neurčitý, je velmi důležitý, jelikož nesprávné integrační meze způsobí chybu. VĚTA. Má-li funkce h na (a,b) spojitou derivaci, pro každou spojitou funkci f platí *h(b) (4.13) / f(h(x))h'(x)dx= / /(Od/. J a J h (a) Metodu substituce občas používáme v alternativní podobě, a sice tak, že se vzorec (4.13) přečte „opačným" směrem. Tento vztah je přímým důsledkem metody substituce pro neurčitý integrál a Newton-Leibnizova vzorce (4.2). Metoda substituce pro neurčitý integrál je důsledkem pravidla derivovaní složené funkce. 4.4. výpočet určitého integrálu 35 VĚTA. Nechť [oc,ß] a [a, b] jsou uzavřené intervaly a funkce h : [oc,ß] —► [a, b] je taková, ze h (a) = a, h(ß) = b. Má-li funkce h na (a, ß) spojitou derivaci, pak pro každou spojitou na [a, b] funkci f platí / f(x)dx= / f(h(s))h'(s)ds. (4.14) Ja Ja V praxi výpočty provádíme nejčastěji tak, ze vzorec explicitně nevypisujeme a přecházíme přímo k záměně proměnné. Přitom vykonáme následující kroky: (1) vyšetříme výraz pod integrálem a zkusíme nalézt vhodnou substituci; (2) zavedeme novou proměnnou, dosadíme do integrandu a vyloučíme proměnnou původní; (3) vypočítáme nové meze integrování. PŘÍKLAD 4.3. Mějme integrál x dx i i *Jx + 2 Integrand obsahuje dva lineární členy: x a x + 2, oba dva mají stejný diferenciál.10 Proto zavedeme substituci x + 2 = t. Pak x = t — 2 a dŕ = d(x + 2) = dx. Jelikož se proměnná x mění v mezích od —1 k 3, potom t = x + 2 se mění od—1 + 2= lk 3 + 2 = 5: ŕ xdx ŕ{t-2)dt ŕtdt ŕ dt ľ5 i ŕ i , / = / 1-j=—= —f-2 -p= tždt-2 t~2dt J-i Vx + 2 Ji *jt Ji Vt Ji ví Ji Ji t* i + 1 l-2-i+l 5 55 - 1 53-1 2 / o r- 10 i I 4 3V • ■ ■ ■ 3 - 2—p- = -(VŠ)3 -4VŠ + —. 2 1 2 1 2 2 Z vykonaných výpočtů můžeme odvodit, že by bylo lepší rovnou zavést substituci \Jx + 2 = 5. Pak x = s2 — 2 a proto dx = 2s ds.n Dále, jelikož — 1 < x < 3, pak 1 < x + 2 < 5 a vzhledem k monotónnosti funkce x i-* V* + 2 platí 1 < V* + 2 < VŠ. 10Zde využijeme pojmu diferenciálu funkce jedné proměnné. Diferenciálem funkce / v bodě x se nazývá výraz df(x) = f'(x)áx, (4.15) kde „fix) dx " tlumočíme jako „fix) - dx". Připomíná to také označení pro derivaci ve tvaru fix) — ^fop-, odkud obdržíme (4.15) formálním vynásobením výrazem dx (jemuž se říká diferenciál nezávisle proměnné). S diferenciály se pracuje stejné jako s odpovídajícími derivacemi. ^Mohli bychom také odvodit ds = d(V* + 2) = 2^i_ dx, pak dx = 2^/x + 2 ds = 2s ds. 36 4. určitý integrál Dosazením do integrálu obdržíme, samozřejmě, stejný výsledek: *3 xdx r^š (s2 -2)-2sds ^ ^ r xd^ = [»><.,< -2).2,d, = 2 r»> _ is = 2 is_4 r J-i VH2 ii s Ji Ji Ji s 2— 3 ds Ji Ji 3 ^ , i- . 1. i-.* i- 10 -4(v/5-l) = -(v/5)3-4v/5 + -. i 3 3 příklad 4.4 (substituce a integrace per partes). Vypočtěme ^2 í x5ex~ dx. o Můžeme si všimnout, že platí d(x3) = 3x2 dx a proto je přirozené zavést substituci t = x3. (4.16) Potom dt = 3x2 dx a tudíž x2 dx = | dt. Dále, jelikož se x mění v mezích od 0 k 2, pak t podle (4.16) je v mezích 0 a 23 = 8: í x5ex3dx=í xV3-x2dx=f xV' • - d(x3) = - f této. (4.17) Jo Jo Jo 3 3 Jq Pro f0\té dt použijeme metodu per partes: / tetdt=\ t(et)'dt = (tet)\l- 1 • é dt Jo Jo Jo ľ8 = 2e2 - 0ť?° - / é dt = 2e2 -é\SQ = 2e2 - (e8 - e°) = 2e2-e8 + l. Jo Dosazením tohoto výrazu do (4.17) obdržíme í 2 o^2 5 x, J 2ez-e* + l x e dx =-. 'o příklad 4.5. Vypočtěme ^2 £ x{2 — x2)1 dx. Jedná se, samozřejmě, o integraci polynomu stupně 15, s čímž po vykonání příslušných úprav žádné potíže nebudou. Pro usnadnění výpočtů si zde můžeme všimnout, že se ten nej složitější výraz (2 — x2)7 zjednoduší, zavedeme-li novou proměnnou t = 2 — x2. Pak bude (2 — x2)7 = t1 a dt = —2xdx. Navíc vzhledem k přítomnosti členu „x", jenž můžeme k diferenciálu přiřadit, není potřeba vypočítávat dx (dx = —j^, x2 = 2 — t) a stačí použít vztah x dx = — \ dt. 4.5. příklady vypočtu určitých integrálů 37 Vypočtěme nové meze integrovaní: x = —1 =>■ ř = 2 — x2 = 1, x = 2 t = 2 - x2 = 2 - 4 = -2.12 Pak obdržíme j x(2-x2Ý dx = j (2-x2)1-xdx = j t1 ■ (-^ dř) = ~ j t1 dt '2 8 -2 1 255 i 16 16 § 4.5. Příklady vypočtu určitých integrálů Výpočet určitých integrálů provádíme pomocí Newton-Leibnizova vzorce (4.2). Je důležité předem ověřit vlastnosti integrandu a ujistit se, že určitý integrál na daném intervalu je korektně definován. § 4.5.1. Racionální lomené funkce. Pro integraci racionální lomené funkce vypočítáme její rozklad na součet parciálních zlomků, pro něž neurčité integrály buď známe nebo nalezneme v tabulkách. příklad 4.6. Uvažujme integrál í 1 x3-l x3 + x2 + 4x + 4 V integrandu je neryze lomená funkce, již převedeme na ryze lomenou funkci dělením polynomů. Rozklad na parciální zlomky pak bude x3 - 1 1 2 1 1 3x + 17 x3 + x2 + 4x + 4 5 x + 1 5 x2 + 4 Zde stačí okomentovat jen poslední člen, kde pro integraci rozložíme čitatel na součet dvou výrazů a v jednom z nich vydělíme v čitateli diferenciál jmenovatele d(x2 + 4) = 2x dx:13 1 ŕ 3x + 17 , 3 f1 x , 17 ŕ 1 — / —=-dx = — / —--dx--/ —--dx 5 Jo x2 + 4 5 Jo x2 + 4 5 J0 x2 + 4 3 ŕ d(x2 + 4) 17 x =--/ —--dx--arctg —. 10 Jo x2 + 4 10 6 2 Výpočtem pak obdržíme x3 — 1 1 3 17 1 1 H— ln2--ln 5--arctan -. / x3+x2 + 4x + 4 5 10 10 2 i o Nové meze integrovaní 1 a —2 vychází opacne uspořádané: dolní mez je vetší než ta horní, 1 > —2. Není to chyba; důvodem je, že na intervalu (—1,2) je funkce x i—► 2 — x2 klesající. 13Takto integrujeme obecně výrazy typu ax2^X^+c ■ 38 4. určitý integrál Obrázek 4.2. Graf funkce x i-> cos x pro f < x < |. § 4.5.2. Univerzální trigonometrická substituce. Je-li integrand racionální funkci výrazů cos x a sin x, je možné pro výpočet integrálu použit univerzální trigonometrickou substituci í=tg|. (4.18) Pak x = 2 arctg t a dx = dř. Vzhledem k tomu, že platí cos2 § - sin2 f 1 - tg2 f 2 sin f cos § tg f cosx = -=— =--—, sinx = -=— = 2--—, cos2 § + sin2 f 1 + tg2 § cos2 f + sin2 § 1 + tg2 § integrál tak převedeme na integrál racionální lomené funkce, a to pomocí následujících vzorců. Vzorce pro vykonání univerzální trigonometrické substituce t = tg | 1-t2 2t 2dt cosx = --, sinx = --, dx 1 + t2 1 + t2 t2+l a b x = a =W = tg -, x = o =W = tg -. (4.19) příklad 4.7. Vypočtěme integrál ň dx J* 3 —5 cosx Funkce x i-* -^—r— je spojitá v bodech x ^ arccos § + 2jrn, n j 3 COS JC J Žádný z těchto bodů neleží v intervalu [f, § ] (viz obr. 4.2) a tak se jedná o integrál spojité funkce, jenž je korektně definován. Zavedeme-li v (4.20) trigonometrickou substituci (4.18), meze integrace pro novou proměnnou t budou t = tg ±f = tg f = |(^)_1 = 4= (místo x = f) a ŕ = tg |§ = (4.20) = 0,±1,.... 4.5. príklady vypočtu určitých integrálu 39 .14 tg j = 1 (místo x = \). Pak dle (4.19) se integrál (4.20) přepise takto 1 J* 3-5cosx k 2-^t2+l Ji _ „ _________ , . „_ 3(ŕ2 + 1) -5(1 -t2) 3 VŠ 1+t2 V3 dt = í —J-— dt = - í —-— dt - - í —-— dt J i 4ŕ2 - 1 2 J i 2í - 1 2 J i 2t + 1 V3 V5 V5 _ 1 Z"1 d(2í - 1) \ ŕ d(2t + 1) ~ 4 y i 2t-i ~ 4 y i _ _. _ ___2í + 1 Vš vš 1 , ,1i 1 , Ml = -ln2í-l , --ln2í + l , (4.21) 4 1 M73 4 1 M73 = - f ln 1 -ln f 4= — 111 — — (ln 3 -ln + 1 4 V vvš 4 v Vvš _ 1 2 + vš ln 3 ~ 4 n 2- vš 4 ' Poznamenejme, že v (4.21) nebyla potřeba přepočítávat integrační meze, neboť při zavedení do diferenciálu jsme ponechali proměnnou t, jež se mění v původních mezích a 1 (tj. substituce typu s = 2t ± 1 jsme explicitně nevykonávali). příklad 4.8. Vypočtěme "n sinx — 1 £ ■dx. (4.22) -n cosx + 2 V příkladu 3.5 jsme pomocí trigonometrické substituce (4.18) odvodili neurčitý integrál / f^dx, pro nějž platí (3.24): sin x — 1 2 / \ x\ dx = - ln(cos x + 2)--— arctg — tg - + C. (4.23) / cos x + 2 vš vvš 2 Jelikož — 1 < cosx < 1, jmenovatel v (4.22) je vždy odlišný od 0. Integrand je tedy spojitou funkcí na [—tt, tt] a stačí jen použit Newton-Leibnizův vzorec (4.2), tj. dosadit do (4.23) integrační meze:15 f* sinx- 1 J n , 2 / 1 x\ / -—t dx = -(ln(cos x + 2))\_Jt- — arctg — tg - y_jrcosx + 2 V3 vvš 2/ 2 / 1 7t\ 2 / 1 tt = -vf"c,8lvft82J + 7!arc,8r7!tg2 14Provedli jsme rozklad podílu At\_x na součet parciálních zlomků (§ 4.5.1): 4ř2_x — (2ř-i)(2ř+i) = 5r^T + 2r^T' kde pro všechna ř musí platit ^4(2ř + 1) + B(2t - 1) = 1. Pak ,4 + 5=0, A - B = 1, tj. A = \, B = -\. 15Připomeňme si, že funkce iH-tgiaih)- arctg x jsou liché. 40 4. urcity integrál V3 arctg 1 71 4 71 2ttv/3 7T ZL , PŘÍKLAD 4.9. Vypočtěme J04 a J^3 4j^r. Ihned poznamenejme, že cosx ^ 0 pro x e [0, a sinx ^ 0 pro x e [-|, y], integrandy jsou tedy na příslušných intervalech spojité a integrály existují. Tyto integrály lze převést na integrály racionálních lomených funkcí obecnou trigonometrickou substituci (4.18); v daném případe však je pohodlnější to udělat jinak. 4.9.1. V integrálu f vykonejme substituci sinx = t, pak dt = cos x dx a tudíž *J COS JC /dx í cos x dx í cos x dx í dt cosx J cos2x J l-sin2x J l-t2' Rozklad výrazu ^zp- na parciální zlomky je = + 5737» proto16 ľ dt _ 1 f dt 1 ľ dt _ 1 ľ d(l +0 1 /'d(l- 1 , , 1 , 1 = - ln 1 + t\--ln 1 - t \ = - ln 2 1 1 2 1 1 2 odkud zpětným dosazením t = sin x obdržíme + t 1 +t d(i-_o t l-t I dx cos x 1 -ln 2 1 + sinx 1 — sin x 1 -ln 2 1 + sinx 1 — sin x ln 1 + sinx 1 — sin x (4.24) s: dx = ln COS X 1 + sinx 1 — sin x = ln 1 + sin f 1 - sin f - ln 1 = ln v2 - 1 1 + sinO 1 - sinO (v2+ l)2 2- 1 ln(v2+ 1). 4.9.2. Podobně předchozímu pro t = cos x máme dř = — sinx dx, sin x dx f dt /dx f sinxdx ľ sinxdx ľ dt sinx J sin2x J l-cos2x J 1 - V 1 — ln 2 1 + t 1 l-t 1 1 — COS X = - ln = - ln l-t 1+t 1 + COS X 2 2 ln 1 COS X 1 + COS X dx y s. sinx 6 ln 1 COS X 1 + COS X ln 1 + cos f -ln 1 - cos f _D_ 1 + cos f 16 Integrační konstanty pro přehlednost vynecháváme 4.6. geometrické aplikace určitého integrálu 41 ln 1 + i V3 -ln ln — - ln 1 + 4- V3 - ln VŠ - ln —= — ln 3 - ln(2 - VŠ). § 4.5.3. Různé příklady. PŘÍKLAD 4.10. Vypočtěme f Je (3 - lnx)2dx. Výraz (3 — lnx)2 se významně zjednoduší po zderiyovanr-a-tudíž má smysí-zkiisit per partes (§ 4.4.1), kde za druhou funkci v^oučinTfzvolíme konstantu 1: f Je (3 — ln x)2 dx^^xyh — ln x) lnx — 3 x dx = & - 4e - 2 e2 - 4e + 6(e: x — 3) dx "e)-2í ln x dx, = 7e2- 10e-2xlnx|! +2 Je X dx = 7e2 - lOe - 4e2 + 2e + 2(e2 - e) = 5e2 - lOe. § 4.6. Geometrické aplikace určitého integrálu § 4.6.1. Plochy ohraničené křivkami. Mějme spojitou funkci / : [a,b] —► R. Graf funkce představuje rovinnou křivku, s niž souvisí další geometrické útvary. Ve výpočtech se obvykle vyskytují útvary ležící mezi grafem a osou x a dále útvary ohraničené dvěma nebo více grafy. § 4.6.1.1. Plocha geometrického útvaru ležícího mezi grafem a osou x. Je-li potřeba určit plochu S rovinného útvaru ohraničeného grafem funkce /, osou x a svislými přímkami s rovnicemi x = a, x = b, jsou možné následující případy schematicky zobrazené na obrazcích 4.3a, 4.3b a 4.3c: 4.3a: funkce / je na [a, b] nezáporná, její graf leží nad osou x, integrál je nezáporný a plocha uvazovaného útvaru je S = f^f(x)dx; 42 4. určitý integrál (a) (b) (c) Obrázek 4.3. Geometrické útvary ležící mezi grafem funkce a osou x 4.3b: funkce / je na [a,b] nekladná, její graf leží pod osou x, integrál je nekladný a S = -f*f(x)dx; 4.3c: funkce / na [a,b] střída znaménko, proto plocha uvazovaného útvaru je rovna součtu integrálů z \f\ na jednotlivých intervalech, kde má / konstantní znaménko (je kladná nebo záporná). Integrál funkce střídající znaménko může být jak kladným tak i záporným číslem (nemluvíme-li o nule). Odlišnosti v postupu v případech 4.3a, 4.3b, 4.3c přirozeně vznikají vzhledem k znaménku funkce na odpovídajících množinách. Např. v 4.3b je funkce na celém intervalu záporná a tudíž pro výpočet plochy pomocí integrálu musíme počítat integrál z absolutní hodnoty funkce. příklad 4.11. Vypočtěme plochu S rovinného útvaru ohraničeného grafem funkce /(x) = x3 — 6x2 + 1 lx, osou x a přímkami x = 0, x = 3. Graf této funkce je znázorněn na obrázku 4.3a. Funkce je na [0, 3] nezáporná a tudíž S = f f(x)dx= f (x3-6x2 + llx)dx Jo Jo í x3dx -6 í x2dx + 11 í Jo Jo Jo 34 33 32 63 xdx =--6--h 11— = —. 4 3 2 4 (4.25) příklad 4.12. Vypočtěme obsah plochy S rovinného útvaru ohraničeného grafem funkce /(x) = x3 — 6x2 + 1 lx — 7, osou x a přímkami x = 0, x = 3. Graf této funkce je znázorněn na obrázku 4.3b. Funkce je na [0, 3] nekladná a tudíž dle (4.25), kde jsme již vypočetli JQ3(x3 — 6x2 + llx) dx, platí S = -f f(x)dx = -í (x3-6x2 + llx-7)dx Jo Jo = -[ (x3 - 6x2 + llx)dx + 7 i dx = Jo Jo 63 21 — +21 = —. 4 4 příklad 4.13. Vypočtěme obsah plochy S útvaru ohraničeného grafem funkce /(x) = x3 — 6x2 + 1 lx — 6, osou x a přímkami x = 0, x = 3. 4.6. geometrické aplikace určitého integrálu 43 Graf této funkce je znázorněn na obrázku 4.3c. Funkce na [0, 3] střída znaménko v bodech 1, 2 a 3, přičemž 3 je již krajní bod intervalu. Funkce je kladná na intervalu (1,2) a záporná na (0,1) a (2, 3), proto je plocha rovna S = ~l f(x)dx + J f{x)ôx-j f(x)dx = ^-. §4.6.1.2. Plochy ohraničené dvéma grafy. Určeni plochy ohraničené dvěma grafy se provádí podobným způsobem jako v § 4.6.1.1. Máme-li dvě funkce f a g, pro něž platí17 f(x)>g(x), x g (aj), (4.26) a jejichž grafy se navzájem protínají pro x = a a x = f> tak, že v rovině vymezují jistou ohraničenou plochu, pak obsah plochy S jednoduše vypočteme přes určitý integrál. Vskutku je situace taková jako na schematickém obrázku 4.4a a je zřejmé, že obsah barevně zvýrazněné plochy je roven rozdílu obsahů dvou ploch, jež ohraničují grafy funkcí f a. g spolu s osou x a přímkami 0. Dle § 4.6.1.1 obsahy těchto ploch udávají integrály f f(s)dxa. f f (s) dx, pak je (4.27) nebo, což je totéž, S = f (f (x) — g(x)) dx. Integrál od funkce s „horním" grafem se v (4.27) vyskytuje se znaménkem „+" a ten odpovídající „dolnímu" grafu — se znaménkem „—". Poznamenejme, pro výpočet obsahu plochy pomocí vzorce (4.27) není nutné, aby obě dvě funkce nabývaly na (a, /3) kladných hodnot (viz obrázky 4.4a, 4.4b), neboť v případe když tomu tak není (obrázek 4.4c) vždy můžeme grafy posunout nahoru přidáním k funkcím /, g nějakého dostatečně velkého čísla A, což situaci převede na případ 4.4a nebo 4.4b. Rozdíl funkcí, a tudíž i obsah plochy se přitom nezmění, protože (f + A)-(g + A) = f-g. V případě když je se grafy protínají tak, že vzniká uzavřený rovinný útvar sestavený z několika částí (obrázek 4.5), obsah jeho plochy bude součtem ploch jednotlivých útvarů vypočtených podle výše uvedeného. V případě, když se křivky protínají ve více bodech a tudíž máme ne jeden interval (a, ji) ale několik, je potřeba si dávat pozor na uspořádaní grafů (tj. na nerovnost (4.26)). Muže se totiž stát, že po průsečíku už bude původně „horní" graf niž. V takových případech počítáme integrály zvlášť na každém z intervalů (a, /3) odpovídajících průsečíkům grafů, přičemž (4.27) používáme tak, aby se znaménkem „+" byl vždy integrál z funkce, jež na (a, /3) odpovídá ,Jiornímu" grafu. Takové funkce se nazývají dobře uspořádané na daném intervalu. 44 4. určitý integrál (a) (b) (c) Obrázek 4.4. Rovinná plocha ležící mezi grafy dvou funkcí: posun grafů ve svislém směru obsah plochy nemění (a) (b) (c) Obrázek 4.5. Plocha mezi grafy dvou funkcí sestavená více útvary příklad 4.14. Vypočtěme plochu S uzavřeného rovinného útvaru ohraničeného grafy funkcí f(x) = cosx, g(x) = sin x v intervalu (0,2tt). Načrtněme grafy (viz obrázek 4.6a). Potřebný geometrický útvar (na obrázku 4.6a barevně zvýrazněný) je určen dvěma body, v nichž se grafy protínají, a ty jsou kořeny rovnice sin x = cos x (4.28) v intervalu (0, 2ti). V intervalu (0, 2ti) (4.28) platí pro body f a f + ti = 5n Znázorněme si graficky plochy ohraničené grafy funkcí f(x) = cosx, g(x) = sinx, osou x a svislými přímkami x = j, x = ^f- (obrázek 4.6a). Všude na intervalu (f. T-)- Velikost 5jt 5jt plochy S je tedy podle § 4.6.1.1 rovna rozdílu integrálů f„4 sin x dx a f„4 cos x dx: (f > ^r) leží graf sinu nad grafem kosinu, tj. sin x > cos x pro x 5jt / sin x dx — / 5jt 4 cos x dx. (4.29) 4.6. geometrické aplikace určitého integrálu 45 Jelikož 5jt „ 5jt n 5rr — -— cos —— 4-44 ■ COSX n = cos--cos / sinxdx = — / d(cosx) = J 4 T r~ r~ , 5tt tt 1 1 r- / cosxdx = / d(sinx) = sin x \„ = sin--sin—=--—--— = — v 2, k h T 4 4 v2 v2 z (4.29) obdržíme výsledek S = V2 - (- v2) = 2^2. Všimněme si, že druhý integrál v (4.29) vychází záporný: (\* cosxdx = —v2. 4 Ten však sám o sobě žádnou plochu neudává; obsah dané plochy je roven rozdílu dvou integrálů a tudíž je to logicky v pořádku. Zde je situace typu znázorněného na obrázku 4.3c, kde uvažovaná plocha protíná osu x a proto jistá její část leží pod osou a odpovídá záporným funkčním hodnotám. Jak již bylo zmíněno, přičtením vhodné konstanty takový případ můžeme vždy převést na 4.3a nebo 4.3b (stačí jen o tom vědět; pokaždé vykonávat takový posun, samozřejmě, nemusíme). Pro tento příklad je zřejmé, že, definujeme-li / (x) = cos x + 1, g (x) = sin x + 1, pak jsou funkce / a g na intervalu [j, ^f-] nezáporné (viz obrázek 4.6b) a ohraničují ~ 5jt 5jt ~ plochu téhož obsahu, neboť g — f = f — g a proto f„4 g (x) dx — fK4 f (x) dx = S. PŘÍKLAD 4.15. Vypočtěme plochu S uzavřeného geometrického útvaru ohraničeného grafy funkcí f (x) = (x — l)2, g(x) = | + 1 v intervalu (—1,3). Po načrtnutí schematického grafu (viz obrázek 4.7) zjistíme, že se potřebný útvar určuje kořeny rovnice v2 X nebo, což je totéž, (x-iy = - + l (4.30) 9 5 x2--x = 0. (4.31) 2 Kořeny rovnice (4.31) jsou 0 a |. V intervalu (0, |) leží graf funkce g nad grafem funkce /. Proto plocha rovinného útvaru jimi ohraničeného je rovna [2(- + l)áx- í\x - lfdx = - [2 xdx + [2 dx - [2(x- l)2d(x - 1) JO ^2 / J Q 2 J Q J Q J Q 1 X7 2 Í 5 (x - l)3 í I 65 35 125 46 4. určitý integrál ' 0.5- 1 / 1 \ \ 5: / / ✓0.5- -1- (a) f (x) = cos x, g (x) = sin x 1.5- 1 1 4 tu 5 (B) / (x) = cos x + 1, g(jc) = sinx + 1 Obrázek 4.6. Grafy funkcí z příkladu 4.14 v intervalu (0, lit): posun útvaru ve svislém směru 2 Obrázek 4.7. Grafy funkcí /(x) = (x - l)2, = | + 1 a jimi ohraničena plocha 4.6. geometrické aplikace určitého integrálu 47 1- 0.5- i y -i- Obrázek 4.8. Plocha ohraničená grafy funkcí f (x) = x5 a g(x) = x příklad 4.16. Vypočtěme plochu S rovinného útvaru ohraničeného grafy funkcí f (x) = x5,g(x) = x. Grafy funkcí se protínají v bodech [—1, —1], [0,0] a [1,1], přičemž v bodě [0, 0] se mění znaménko rozdílu f — g a proto vpravo od 0 leží graf / pod grafem g („šedá" plocha), kdežto vlevo od 0 je tomu naopak („červená" plocha)). Proto je plocha rovna S = ~Ĺ(S(X) ~ f(X)) dX + í (g(X) ~ f(X)) ^ /° ľ1 /x2 x6\ 0 / (x-x5)dx + J (x-x5)dx = -y-----j i + y X 2 _ 1 1 _ 2 ~ 3 + 3 ~ 3- Zde bychom si mohli také všimnout, že obě dvě funkce f a g jsou liché; pak je ihned zřejmé, že je S =2 JQl(g(x) — f(x)) dx. Poznamenejme, že kdybychom zde pro výpočet obsahu plochy nesprávně použili vzorec (4.27) s jedním integrálem v mezích a = — la/3 = l, obdrželi bychom absurdní výsledek S = (f (x) — g{x)) dx = (x5 — x) dx = 0. Postupujeme stejným způsobem i v případech, když se grafy křivek protínají ve více bodech a změna uspořádaní větví grafů nastává několikrát. příklad 4.17. Vypočtěme plochu S rovinného útvaru ohraničeného grafy funkcí f{x) = x3 — 6x2 + ^-x — 6 a g(x) = f v intervalu (0, 4). Je potřeba určit průsečíky grafů těchto funkcí; ty jsou kořeny rovnice X" r 2 45 6x H--x 4 6 = x (4.32) 48 4. určitý integrál -2- -6 -4- 4- 6- 2- 4 Obrázek 4.9. Plocha ohraničená grafy funkcí f (x) = x3 — 6x2 + ^■x — 6 a g(x) = f v intervalu (0, 4) Rovnici (4.32) úpravami převedeme na tvar Polynom v (4.33) má celé koeficienty. Použitím Homérova schématu nalezneme kořeny rovnice (4.33); ty jsou 1, 2 a 3. Průsečíky grafu funkci / a g v intervalu (0, 4) se tedy nachází v bodech, jejichž souřadnice na ose x jsou Grafy jsou znázorněné na obrázku 4.9. Potřebná plocha se skládá z několika částí zabarvených šedě a červeně, přičemž v „šedých" částech (intervaly (0, cči) a (a2, «3)) leží graf přímky g nad grafem funkce / a v „červených" částech (intervaly (a.\, a2) a («3, 4)) je tomu naopak. Proto v daném případě pro určení obsahu plochy je potřeba sečíst integrály z funkce g — f na intervalech (0, cči), (a2, «3) a integrály z funkce / — g na (a.\, a.2) a («3, 4): Jelikož se v integrálech čtyřikrát vyskytuje stejný výraz, je vhodné vypočítat neurčitý integrál x3 - 6x2 + Ux -6 = 0. (4.33) «1 = 1, a2 = 2, a3 = 3. S = (4.34) 4.6. geometrické aplikace určitého integrálu X4 12x3 49 = j (x3 -6x2 + llx -6)dx = + 6x a následně dosadit odpovídající meze: (g(x) - /(*)) dx = í \f(x)-g(x))dx Jo 4 12x3 llx2 X t + — 6x 1 12 11 9 — +----h 6 = -, 4 3 2 4 í í cc2 a2 (g(x)-f(x))dx = -[^-- 12x3 \\x2 H--z--6x £*1 (/(x) - g(x)) dx = ( i- - (/(x) - #(x)) dx = ( X- 3 12x3 12x3 + + 2 llx_2 2 llx2 1 4' — 6x 6x 1 4' _ 1 12 11 _ 9 ~4-t + t- ~ 4' a z (4.34) obdržíme 9 119 10 S = - + - + - + -= 2- —= 5. 4 4 4 4 4 PŘÍKLAD 4.18 (parametricky zadaná křivka). Vypočtěme plochu ohraničenou elipsou s poloosami a a b. Rovnice takové elipsy je ©2 + (f)2-- pro daný účel je však pohodlnější její parametrické zadání: x = acosř, y=bsmt, (4.36) kde 0 < t < 2jt. Z obr. 4.10a je zřejmé, že vzhledem k souměrnosti je hledaná plocha S rovna 45o, kde 5o značí plochu sektoru ležícího v prvním kvadrantu. Pro 5o platí Jo ydx, (4.37) kde y značí odpovídající funkci proměnné x, jež tento úsek grafu popisuje (tj. y jako funkci nezávisle proměnné x). Abychom nemuseli vyjádření této funkce explicitně zapisovat, použijme raději parametrické rovnice (4.36); pak v integrandu vyhází y dx = —b sin t d(a cos ť) = —ab sin2 t dt. Přepočítejme integrační meze: pro x = 0 obdržíme 50 4. urcity integrál cos t = 0, t = |-; pro x = a je cos t = 1, tj. t = 0. Pak obdržíme18 So = I y dx = — I b siru d(a cos t) = —ab I sin t dt = ab I sin t dt Jo J§ J§ Jo \ ň \ \ ň i i ň = -ab I (1 — cos2ř) dt = -itab--/ cos 2t dt = -ab--/ d (sin2ř) 2 Jo 4 2 Jo 2 4 Jo = -itab, 4 odkud S = ASQ = ti ab. Poznamenejme, že v případe bezprostředního využití vzorce (4.37) bychom museli z rovnice (4.35) vyjádřit což by vedlo na integrál So = b I i/l — ^-r dx = ab I Vl — s2 ds. Jo V a2 Jo Zavedeme-li substituci s = sin 0, máme ds = cos 0 d0, pro s = 0 je t = 0, pro 5=1 je ř = | a ib j Vl — s2 ds = ab I J1 — sin2 0 cos . §4.6.2.... [...] 18Použijeme vzorec sin2 x — j(l — cos 2jc). 19Poznamenejme, že pro b — a obdržíme Tra2, tj. plochu kruhu o poloměru a. 4.6. geometrické aplikace určitého integrálu (a) Obrázek 4.10. Příklady rovinných ploch KAPITOLA 5 Nevlastní integrály Existence určitého integrálu a jeho hodnota podstatně závisí na vlastnostech funkce na daném intervalu. Může se stát, že primitivní funkci známe, avšak určitý integrál na daném intervalu je nekonečny nebo vůbec neexistuje. Takové případy vyžadují upřesnění pojmu integrálu a úpravu technik práce s nim. § 5.1. Motivace Uveďme několik motivačních příkladů. PŘÍKLAD 5.1. Vypočtěme integrál ,2 dx i x3 Jelikož příslušný neurčitý integrál je x~3dx = --x"2 + C, (5.1) 2 využitím Newton-Leibnizova vzorce (4.2) snadno obdržíme f dx HH-3 ^\ x3 2x Obsah plochy znázorněné na obr. 5.1a je tedy rovný |. PŘÍKLAD 5.2 (integrál neexistuje). Uvažujme integrál 11 dx r dx Dosadíme-li výraz (5.1) do Newton-Leibnizova vzorce (4.2), obdržíme g = —5^2 l-i = —2^ — 1) = 0. Tento výsledek je však chybný, protože interval (—1,1) obsahuje bod 0, v němž má funkce singularitu (mimo jiné, je narušena její spojitost) a nebyli jsme oprávněni Newton-Leibnizův vzorec použit. Tento integrál neexistuje a odpovídající geometrický útvar obsah nemá. Vskutku, pro libovolná kladná el a e2 platí /J*1 g = ~^\Z\l = ±(1 - a g = 53 54 5. NEVLASTNÍ INTEGRÁLY 0.6- 0.4- 0.2- 150000- 100000- 50000- 1 2 1 -50000| -100000 -150000 (A) fl fí (B) j\ neexistuje Obrázek 5.1. Integrál z g na různých intervalech — 2^2 \l2 = — !)• Budeme-li v těchto vzorcích hodnoty S\ a e2 neomezeně zmenšovat, vychází rE dx 1 / 1 \ lim / — = - lim 1--- ) = — oo, s^o+i/_1 x 3 2£^o+\ e2/ ľ1 dx 1 / 1 \ lim / — = - lim — - 1) = +oo (5.2) (5.3) a pro 1^ ^, což by dle (4.4) mělo být součtem H; a Jq j^j, tak obdržíme 11 dx li ^ = oo — oo. Tomuto neurčitému výrazu však nemůžeme smysluplným způsobem přiřadit hodnotu ani kdybychom integrálem g rozuměli limitu součtu ^§ + ^§ pro e\, s2 —► 0+, neboť taková limita neexistuje. __l_ Vskutku, buďte ex = 4j a e2 = i, kde n = 1,2,.... Pak f_x"2 g = ±(1 - n2) a // g = I(n - 1), odkud má mame /-^dx /^dx 1 2^ 1 ^ 1 Vezmeme-li naopak Si = ^ a s2 = obdržíme /~« dx Z"1 dx 1 , x^ + ^x^ = 2n(n-1)^+0°' n" -oo, n +00. +oo. 5.1. motivace 55 Chování výrazu g + f* g pro e\, s2 —► 0+ tudíž podstatně závisí na rychlosti s jakou se S\ a s2 blíží k 0 a o limitě při S\, s2 —► 0+ proto nelze mluvit. Integrál g tedy neexistuje ani v tomto smyslu.1 PŘÍKLAD 5.3 (nekonečný obsah plochy). Vypočtěme obsah plochy ohraničené křivkou s rovnici y = tg x, osou x a přímkami x = 1, x = |-. Požadovaný obsah plochy udává určitý integrál f-f tgxdx, který však konečnou hodnotu nemá. Vskutku máme (cosx)' = — sinx, odtud d(cosx) = — sinxdx a sinxdx = — d(cos x) a proto (implicitně provádíme substituci cos x = t a používáme (4.7)) tt tt tt tt n f2 smx n i n i / tg x dx = / -dx = / -sin x dx = — / -d(cos x) Ji Ji cosx Ji cosx Ji cosx — d(lncosx) = — lncosx^2 (5.4) 'i = — lim ln cos x + ln cos 1. (5.5) _^ tt__ Zde výraz lncos 1 má smysl, protože cos 1 0.54 > 0. Avšak cos ^ = 0, tudíž lim^! ln cos x neexistuje a limx^|_ ln cos x = limř^0+lnř = —oo. Odtud vzhledem k (5.5) obdržíme2 jt_ 2 tgxdx = +00. (5.6) ri Poznamenejme, že funkce x i-* tg x není v bodě |- spojitá. Geometricky vztah (5.6) znamená, že plocha znázorněná na obr. 5.2a má nekonečný obsah. PŘÍKLAD 5.4 (integrál neexistuje). Uvažujme integrál tgx dx. 'i Víme, že f tgxdx = ln |cosx| + C a může se zdát, že stačí jen použit Newton- tt ^ Leibnizův vzorec (4.2), tj. v (5.4) místo |x2 dosadit meze |2; pro Jx tgx dx by nám tak vyšla hodnota — ln cos x |2 = ln cos 1 — ln cos 2. Poslední výraz však nemá smysl, neboť rovnosti (5.2), (5.3) znamenají, že pro nevlastní integrály J_x g a fQ g platí J_x g = —oo, Jq g = +oo. Podíváme-li se na obrázek 5.1b, vzniká intuitivní představa, že „velikost" nekonečna je v obou dvou případech stejná (plochy pod (—1,0) a nad (0, 1) jsou sobě rovné) a že by přece mohlo platit j§ = 0, definujeme-li tento integrál nějak jinak. Ze vztahů (5.2), (5.3) plyne, že skutečně bude tomu tak, rozumíme-li tento nevlastní integrál ve smyslu Cauchyho hlavní hodnoty, tj. % = 2Tento integrál je tzv. nevlastní: funkce x i—► tgx je spojitá všude na otevřeném intervalu (1, j) a 7T není vůbec definována v jeho pravém koncovém bodě j. Proto integrál tg x dx můžeme chápat pouze rb ve smyslu limity lim^ j_ J1 tgx dx; ta však, jak jsme již zjistili, je nekonečná. 56 5. nevlastní integrály 70-60-50-40-30-20-10- lnx v okolí 0 určitý integrál musíme tlumočit v tzv. nevlastním smyslu: f* | lnx| dx = lim£^0+ $1 | lnx| dx. 5.2. zavedení nevlastního integrálu 57 -o.i -0.2 -0.4 -0.5- -0.6 1 (a) // In x dx = i (ln 2 - 1) (B) /J ln x dx = -1 (nevlastní!) Obrázek 5.3. Integrál z ln x na různých intervalech § 5.2. Zavedení nevlastního integrálu Myšlenky použité při analýze uvedených příkladů vedou na přirozené definice nevlastních integrálů. § 5.2.1. Nevlastní integrál s nekonečnými mezemi. Buď / funkce, jež je definována na intervalu [a, +oo), kde a e R. Nechť integrál f(x)dx existuje pro libovolně velké b > a. Definice 5.1. Existuje-li limita integrálů f(x) dx při b —► +00, pak hodnota této limity se nazývá integrálem funkce / v mezích od a do +00: /•+00 nb / f(x)dx= lim / f(x)dx. J a b^+00 Ja Toto je nevlastní integrál s nekonečnou horní mezí. Je-li limita konečná, říká se, že integrál konverguje (v opačném případě, tj. když limita je nekonečna nebo neexistuje, integrál diverguje). Podobným způsobem zavádíme integrál f(x) dx, kde je / definována na intervalu (—oo,b]. Existují-li integrály Jc+°° f(x)dx a f(x)dx pro nějaké c e R, jejich součtem definujeme nevlastní integrál f(x)dx= / f(x)dx+ / f(x)dx. -00 J c J— 00 Integrály z příkladů 5.1 a 5.2 jsou nevlastními integrály ve smyslu definice 5.1. PŘÍKLAD 5.6. Integrál dx dx Ji x" 58 5. nevlastni integrály konverguje pro a > 1 a diverguje v opačném případě. Nechť a ^ 1. Pak Cb dx xl~a b 1 Um / _= lim-- = lim —— (ô1"" - l). (5.8) i Jl Xa b^+oo 1 — a 1 b^+oo 1 — a b^+oo , Z (5.8) plyne, že lim^+00 |§ = ^ pro a > 1 a lim^+00 = +oo pro a < 1. Nakonec pro a = 1 platí fb dx lim / — = lim (Inb — lni) = +oo. § 5.2.2. Nevlastní integrál z neomezené funkce. Buď / funkce definovaná na intervalu (a, b) (—oo < a < b < +oo), neomezená v pravém okolí3 bodu a a omezena na každém intervalu (a + e,b), kde s > 0 je libovolně male kladné číslo. Definice 5.2. Existují-li všechny integrály f^+e f (x) dx pro libovolně malá s, integrálem f^ f (x) dx rozumíme jednostrannou limitu těchto integrálů pro s —► 0+: -b rb po po I f(x)dx = lim / f(x)dx. Ja £^°+ Ja+8 V případě existence konečné limity integrál konverguje, jinak integrál diverguje. Bod a, kde není funkce / omezená, nazývá se singulárním bodem této funkce. Podobným způsobem definujeme integrál f (x) dx v případě, kdy je / neomezená v okolí bodu b: -b-e pO pO—E I f(x)dx = lim / f(x)dx. J a —0+ Ja Jestliže obě meze a a b jsou pro / singulárními body, zavádíme integrál rovností í f(x)dx=í f(x)dx+í f(x)dx, (5.9) J a J a J c kde c je nějaký bod intervalu (a, b) a integrály f (x) dx a f (x) dx chápeme v uvedeném výše smyslu. Říkáme, že integrál (5.9) konverguje, jestliže konvergují oba integrály součtu (v opačném případě integrál diverguje). Integrály z příkladů 5.2, 5.3, 5.4, 5.5 jsou nevlastními integrály z neomezených funkcí tohoto typu. PŘÍKLAD 5.7. Integrál ŕ dx Jo x" konverguje pro a < 1 a diverguje v opačném případě. 3Tj. neomezená na (a, a + s), kde e je malé kladné číslo 5.2. zavedeni nevlastního integrálu 59 Nechť a ^ 1. Pak lim í1__. = iim_L_(i_ai-<*). a^°+ J a X01 a^O 1 - a V ' a tudíž lima^o+ |f = pro a < 1 a lima^0+ f§ = +oo pro a > 1. Pro a. = 1 obdržíme z*1 dx lim / — = lim (lni — lna) = +oo. a^0+ Ja X a^0+ § 5.2.3. Nevlastní integrál z neomezené funkce s nekonečnými mezemi. Tento druh nevlastních integrálů vzniká kombinací integrálů dvou předchozích typů. Definice 5.3. Je-li funkce f : (a, +oo) —► R neomezená v pravém okolí bodu a, integrálem fa+°° f (x) dx rozumíme součet /»+00 ľC ľ+OO / f(x)dx= / f(x)dx + / f(x)dx, J a J a J c kde c je nějaký bod4 intervalu (a, +oo). Integrály typu fa+°° f(x) dx, kde / je neomezená v okolí nějakého bodu b > a, zavadíme rovností /»+oo nb n+oo / f(x)dx= / f(x)dx+ / f(x)dx, J a J a J b kde y* f (x) dx a f^°° f(x)dx rozumíme ve smyslu definicí 5.1 a 5.3. PŘÍKLAD 5.8. Z příkladů 5.6 a 5.7 plyne, že integrál r+°° dx Jo x" diverguje pro libovolné a. Pak se dokáže, že na volbě bodu c výsledek nezávisí. 5. nevlastní integrály