Předmluva Omnia sponte fluant, absit violentia rébus J.A.K. Toto je osnova k přednášce z Geometrie 2 a 3 (MA0009 a 13). Stručný přehled, hlavní cíle a předpoklady k uspokojivému studiu jsou vytčeny v úvodní kapitole I. Dělení látky do jednotlivých kurzů vypadá zhruba takto: afinní a eukleidovská geometrie (kapitoly II a III), projektivní rozšíření a geometrická zobrazení (kapitoly IV a V). Z dostupných učebnic geometrie nejčastěji používáme [HoJa] a [Sek]. Pro souvislosti, zajímavosti a ilustrace otevíráme [Be, Ha] a další. Velmi často odkazujeme na poznatky z loňského kurzu konstrukční geometrie [Z], které většinou nějak doplňujeme, resp. zobecňujeme. Hlavním pracovním nástrojem v tomto předmětu je lineární algebra; z mnoha dostupných učebnic doporučujeme např. (vybrané pasáže z) [Zl]. Z citované literatury ještě upozorňujeme na povedené závěrečné práce [Po] a [El]. Další odkazy a materilály, staré písemky apod. lze najít ve studijních materiálech v IS.1 Tento materiál se průběžně vyvíjí, a to i na základě studentských připomínek. Zatím nej-větší zásluhy v tomto směru patří Lucii Krézkové. Za všechny poznámky a připomínky děkuji a povzbuzuji čtenáře, aby formulovali svoje vlastní. Brno, 4. října 2020 1http://is.mnni.cz/el/1441/podzim2020/MA0009/index.qwarp Vojtěch Žádník 2 Obsah I Úvod 5 1 Základy......................................... 5 2 Shrnutí a výhledy.................................... 7 3 Predpoklady a cíle................................... 9 II Afinní geometrie 11 4 Afinní prostory, podprostory a zobrazení....................... 11 5 Afinní souřadnice a vyjadrení afinních podprostorů................. 20 6 Vzájemné polohy podprostorů a některé polohové úlohy.............. 27 7 Uspořádání na přímce, konvexní množiny, barycentrické souřadnice a další .... 34 III Eukleidovská geometrie 45 8 Eukleidovské prostory a relevantní zobrazení..................... 45 9 Kolmost a kolmý průmět vektoru........................... 55 10 Vzdálenosti a odchylky podprostorů ......................... 59 11 Obsahy, objemy a další................................. 71 IV Projektivní geometrie 81 12 Projektivní rozšíření, prostory a podprostory.................... 81 13 Homogenní souřadnice a dvojpoměr ......................... 87 14 Projektivní zobrazení a základní věta projektivní geometrie............ 91 V Geometrická zobrazení blížeji 99 15 Analytická vyjádření a charakterizace ........................ 99 16 Samodružné prvky................................... 111 17 Základní transformace................................. 115 18 Další klasifikace a poznámky ............................. 122 VI Dodatky 131 19 Pseudo-eukleidovské prostory............................. 131 20 Další geometrická zobrazení.............................. 132 21 Kuželosečky a kvadriky ................................ 132 4 Obsah 22 Lieova geometrie kružnic................................ 134 23 Kleinova geometrie přímek............................... 135 24 Grupové akce...................................... 136 25 Frízové a tapetové vzory................................ 138 26 Třetí Hilbertův problém................................ 138 Návody a řešení 141 Literatura 145 Seznam obrázků 147 Seznam tabulek 151 Rejstřík 153 KAPITOLA I Úvod 1 Základy Základy eukleidovské geometrie lze najít — vedle mnoha jiných věcí — v Eukleidových Základech [Eu] (cca 300 př. K.). Toto dílo představuje ucelený deduktivní výklad tehdejší matematiky odvozený z několika axiómů a postulátů. Axiómy se týkají obecných veličin, postuláty jsou ryze geometrického charakteru a vymezují základní vztahy mezi základními geometrickými objekty. V této části připomínáme několik podstatných pojmů a vztahů, ke kterým se budeme často vracet. Většinu z těchto poznatků jsme diskutovali už v kurzu konstrukční geometrie [Z]. 1.1 Definice Definice většiny geometrických pojmů, které známe ze školy, lze najít v téměř stejném znění v Základech; jedná se o úvodní definice zejména ke knihám I a XI. Některé z těchto definic budeme mírně zobecňovat, proto si je tady připomeneme. • Pokud jsou vedlejší úhly vymezené dvěma protínajícími se přímkami shodné, pak každý z těchto úhlů se nazývá pravý a přímky se nazývají kolmé. • Kružnice je rovinný útvar tvořený koncovými body všech úseček, které jsou navzájem shodné a jejichž opačné koncové body splývají (a to ve středu kružnice). • Přímky jsou rovnoběžné, pokud leží v téže rovině a nemají žádný společný bod. • Přímka je kolmá k rovině, pokud je kolmá ke všem přímkám, které v ní leží. • Dvě roviny jsou kolmé, pokud přímky, které leží v jedné z těchto rovin a jsou kolmé k prů-sečnici rovin, jsou také kolmé ke druhé rovině. • Roviny jsou rovnoběžné, pokud se neprotínají. • Apod. Některé definice v Základech jsou poněkud vágní. Ty zde neuvádíme a dáme jim přesný význam později — postupně můžete odhadovat, které to jsou. a a b se protínají, a to vlevo. V (I) a (II) je přímkou zřejmě myšlena úsečka, a to jediná. Postuláty (I)—(III) představují přípustné konstrukční nástroje, tzv. eukleidovské pravítko a kružítko. Postulát (I) se týká incidence, postulát (IV) nám říká něco o základní relaci shodnosti. Uvědomte si, že v Eukleidově pojetí je shodnost docela abstraktní koncept: z pochopitelných důvodů nemůže zahrnovat žádné číselné vyjadřování délek úseček, velikostí úhlů apod., jak to běžně chápeme dnes! Poněkud komplikovaný postulát (V) bývá nahrazován tzv. postulátem o rovnoběžkách, se kterým je ekvivalentní: (Eě> • Každým bodem ke každé přímce prochází právě jedna rovnoběžka. 1.3 Axiómy nevyslovené V Základech se používá několik předpokladů, aniž by byly jakkoli formulovány. Přesný axiomatický popis, založený na tom Eukleidově, pochází od D. Hilberta [Hi] (kolem 1900). V tomto systému jsou primitivními (nedefinovanými) pojmy bod, přímka a rovina; primitivní relace jsou relace incidence (náležení), uspořádání („být mezi") a shodnosti. Pro každou z těchto relací je formulováno několik axiómů, dále pak axiómy rovnobežnosti a spojitosti. Eukleidovy nevyslovené axiómy se týkají hlavně uspořádání a spojitosti. Typický axióm uspořádání je např.: • Pro tři různé body ležící na jedné přímce platí, že právě jeden z nich je mezi zbylými dvěma. Tento požadavek nám mj. říká, že přímka není uzavřená křivka, což ze samotného postulátu (II) nevyplývá. V důsledku je možné body na přímce uspořádat a toto uspořádání je úplné. Uvědomte (Eě> si, že teprve po této přípravě je možné uspokojivě definovat pojem úsečky. Axiómy spojitosti je možné nahradit jediným, tzv. Dedekindovým axiómem, který lze řeči uspořádání a tzv. Dedekindových řezů formulovat takto: 2 Shrnutí a výhledy 7 • Body na přímce neobsahují (vzhledem k výše zmíněnému uspořádání) Dedekindovy řezy typu „skok" a „mezera". Jinak řečeno, body na přímce ztotožňujeme s reálnými čísly... 2 Shrnutí a výhledy 2.1 Shrnutí Eukleidovská geometrie je axiomatická teorie vyhovující výše zmíněným skupinám axiómů. Axiómy eukleidovské geometrie mohou být zvoleny různě, my se odkazujeme výhradně na systém Hilbertův. Následující formulace jsou poměrně volné a tudíž nepřesné; rozumná upřesnění lze najít např. v [Co, Ha, Sek]. Pokud se pozorně probíráme základy eukleidovské geometrie, zjišťujeme, že některé definice a tvrzení jsou nezávislé na některých axiómech nebo skupinách axiómů. Např. prvních 28 tvrzení v I. knize [Eu] nezávisí na axiómu rovnobežnosti — o těchto říkáme, že patří do tzv. absolutní (nebo neutrální) geometrie. Typickým příkladem je např. věta o vnějším úhlu v trojúhelníku. Na druhé straně, podstatná skupina poznatků a pojmů na axiómu rovnobežnosti závisí, ale je možné je vyvodit bez axiómů shodnosti — o těchto říkáme, že patří do geometrie afinní. Např. pojem středu úsečky je kupodivu afinní. Mezi známá tvrzení elementární geometrie, která jsou ve skutečnosti afinní, patří např. Menelaova věta. Další studovanou geometrií je geometrie projektivní. Ta je vymezena téměř výhradně axiómy incidence — z loňska připomínáme, že v projektivní geometrii vůbec nemluvíme o shodnosti, neplatí axióm rovnobežnosti (každé dvě přímky, které leží v jedné rovině, se protínají), ani axiómy uspořádání (projektivní přímka je uzavřená). Známá věta projektivní geometrie je např. věta Desarguesova. V tomto kurzu se budeme věnovat především geometriím eukleidovským, afinním a projektivním. Musíme však aspoň zmínit geometrie neeukleidovské, jež se vyznačují tím, že v nich neplatí axióm rovnobežnosti. To znamená, že k dané přímce daným bodem prochází buď více rovnoběžek (hyperbolická geometrie) nebo žádná rovnoběžka (eliptická geometrie). Axiómy popisující hyperbolickou geometrii jsou stejné jako pro eukleidovskou geometrii, akorát axióm rovnobežnosti je nahrazen jeho negací. V eliptické geometrii neplatí axiómy uspořádání. Bereme-li eukleidovskou geometrii jako výchozí, můžeme předchozí diskuzi ve velkých uvozovkách shrnout takto: ^ absolutní geometrie je eukleidovská geometrie bez rovnobežnosti, • afinní geometrie je eukleidovská geometrie bez shodnosti, • projektivní geometrie je eukleidovská geometrie bez shodnosti, rovnobežnosti a uspořádání, • eliptická geometrie je eukleidovská geometrie bez rovnobežnosti a uspořádání, U • hyperbolická geometrie je eukleidovská geometrie s více rovnoběžkami. Kromě toho můžeme v podobné zkratce říct, že ^ absolutní geometrie je průnikem eukleidovské a hyperbolické geometrie, • eukleidovská geometrie je afinní geometrie se shodností, 8 I Úvod • eliptická geometrie je projektivní geometrie se shodností, U • apod. Ke všem těmto reformulacím máme několik dobrých důvodů. Jednak chceme naznačit, že jedna a táž věc lze nahlížet různými způsoby, jednak si připravujeme půdu pro následující výklad. 2.2 Výhledy V tomto kurzu budeme geometrii studovat tzv. analyticky, lépe řečeno algebraicko-analyticky. Počátky této metody jsou spojovány se jménem R. Descarta (kolem 1637), jehož hlavním přínosem byla aplikace algebry k řešení geometrických úloh. Mělo by však být zřejmé, že se nemohlo jednat o analytickou geometrii, jak ji chápeme dnes!1 S průměrnou znalostí lineární (vektorové) algebry budeme umět velmi pohodlně interpretovat všemožné geometrické definice a vztahy. Nejprve v příslušných kapitolách vymezíme pojmy obecného afinního, eukleidovského, resp. projektivního prostoru: • Struktura afinního prostoru na jakékoli množině je určena zobrazením, které dvěma bodům přiřazuje vektor. Všechny tyto vektory tvoří vektorový prostor, kterému budeme přezdívat zaměření afinního prostoru. Takto se rychle dostaneme ke všem základním pojmům afinní geometrie, zejména k pojmu rovnobežnosti. • Obecný eukleidovský prostor je afinní prostor vybavený eukleidovskou metrikou, což je metrika kompatibilní s afinní strukturou — ta nám definuje relaci shodnosti. Eukleidovská metrika je určena skalárním součinem na zaměření. • Projektivní prostor lze vždy chápat jako afinní prostor rozšířený o „body v nekonečnu". Body projektivního prostoru budeme reprezentovat vektory z tzv. zastupujícího vektorového prostoru, který obsahuje zaměření afinního prostoru (a je o jednu dimenzi větší). Výhodou této algebraizace geometrie je zejména to, že většinu věcí budeme umět formulovat jednotně pro prostory libovolné dimenze. Z pochopitelných důvodů budeme postupovat induktivně (geometrie na přímce, v rovině, v prostoru), finální definice, věty a jejich zdůvodnění však budou zpravidla univerzální. Další výhody algebraického přístupu bychom měli pozorovat při klasifikaci geometrických zobrazení. Všechny shodnosti eukleidovského prostoru tvoří grupu, tato je podgrupou grupy (bijektivních) afinních transformací, jež je zase podgrupou grupy (bijektivních) projektivních transformací, apod. Každou z těchto grup budeme umět interpretovat jako jistou maticovou grupu tak, že právě zmíněné inkluze se stanou víc než názornými. Právě pojem transformační grupy a její role při organizaci geometrických informací velmi ovlivnil pohled na geometrii a její další vývoj. Hlavními propagátory tohoto přístupu byli F. Klein a S. Lie (kolem 1872). V tomto duchu je ta či ona geometrie zcela charakterizována grupou odpovídajících geometrických transformací. 2.3 Poznámky Objev významu afinní geometrie (včetně tohoto pojmenování) je přisuzován L. Eulerovi (kolem 1748). Jako samostatná disciplína se začala afinní geometrie utvářet až po akceptování výše zmíněného Kleinova programu a úplně zdomácněla zejména díky vlivu H. Weyla (kolem 1923). 1V té době stále nebyla vynalezena reálná čísla... 3 Předpoklady a cíle 9 Úplné pochopení absolutní a neeukleidovské geometrie (kolem 1830) představuje jedno z nej-zajímavějších dobrodružství v historii matematiky a je zásluhou J. Bolyaie, N.I. Lobačevského a C.F. Gausse. Několik poznatků projektivní geometrie bylo známo již ve starověku, např. Pappova věta (kolem 400). Další postřehy přidávali malíři během renesance díky studiu perspektivy a tato etapa byla završena pracemi G. Desarguese a B. Pascala (kolem 1640). K dalšímu, tentokrát bouřlivému, rozvoji projektivní geometrie došlo v 19. století díky pracím V. Ponceleta, J.D. Gergonna, J. Steinera a dalších. Ve stejném století se vyvinuly algebraické techniky, které se ukázaly být pro geometrii velmi přínosné a které budeme používat i my (soustavy lineárních rovnic, determinanty a matice). První vícerozměrné geometrické objekty byly studovány A.F. Môbiusem, J. Plůckerem a W.R. Hamiltonem (kolem 1830). Později se také zrodil pojem obecné grupy, jež F. Kleinovy dovolil klasifikovat geometrie podle odpovídajících grup transformací. Je zajímavé, že ve stejné době (kolem 1872) se objevují první přesné definice reálných čísel, a to díky G. Cantorovi (pomocí posloupností racionálních čísel) a R. Dedekindovi (pomocí již zmiňovaných řezů). V uvedeném přehledu vývoje geometrie jsme zdůraznili pouze několik proudů, které se týkají tohoto kurzu. Ucelenější výklad lze najít např. v poslední kapitole II. dílu [Sek]. Viz též stručné, ale výstižné, pojednání [Ha2]. 3 Předpoklady a cíle 3.1 Předpoklady Předpokládáme rozumný přehled školské a konstrukční geometrie zahrnující zejména následující témata: • klasická konstrukční geometrie v rovině a v prostoru, • průniky a vzájemné polohy přímek a rovin v prostoru, • konstrukce kolmice, určení vzdáleností a odchylek, • přehled geometrických zobrazení a jejich vlastností. Kromě toho budeme na každém kroku potřebovat uspokojivé dovednosti z algebry, hlavně té lineární. To mj. znamená, že ovládáme následující tématické okruhy: • grupy, podgrupy a jejich homomorfizmy, • vektorové prostory, podprostory a lineární zobrazení, • soustavy lineárních rovnic, • determinanty, skalární součiny apod. Pokud výslovně neuvádíme něco jiného, všechny vektorové prostory jsou uvažovány nad tělesem reálných čísel R. 10 I Uvod 3.2 Cíle Chceme co nejvíc zužitkovat nabyté algebraické znalosti na pokud možno zajímavé skupině geometrických problémů. Typické úlohy, které chceme umět (algebraicky) řešit, zahrnují např.: • pro dva podprostory v obecném afinním, resp. projektivním prostoru určit jejich vzájemnou • pro dva podprostory v obecném eukleidovském prostoru rozhodnout, zda jsou kolmé, • dále určit jejich vzdálenost včetně nějaké dvojice bodů, v nichž se tato vzdálenost realizuje, • podobně pro odchylku..., • aspoň trojím způsobem určit objem daného mnohostěnu, • určit bod, který je souměrný k danému bodu podle daného podprostoru, • určit transformační rovnice souměrnosti podle daného podprostoru, • z daných transformačních rovnic rozpoznat typ, příp. určující prvky odpovídajícího zobra- • složit dvě geometrická zobrazení a určit typ výsledného zobrazení, • apod. Kromě řešení těchto konkrétních problémů bychom se také měli umět zorientovat v geometrických zobrazeních a klasifikaci geometrií v Kleinově duchu. Jistou nápovědu lze najít v následujícím schématu (šipky naznačují inkluze odpovídajících transformačních grup). polohu, zení, Obrázek 3.2: Hierarchie ;eometrií, o nichž se zmiňujeme v tomto textu. KAPITOLA I I Afinní geometrie Afinní struktura na množině je zobrazení, které dvěma prvkům dané množiny (jimž budeme říkat „body") přiřazuje vektor a splňuje jisté přirozené požadavky. Toto je klíčový trik, který nám umožňuje překládat mnoho geometrických problémů do vektorové (lineární) algebry. Typickými úlohami afinní geometrie je určování vzájemné polohy podprostorů v afinním prostoru nebo konstrukce příček. Do hájemství afinní geometrie patří také konvexní geometrie, pojem barycentrických souřadnic apod. 4 Afinní prostory, podprostory a zobrazení 4.1 Úvod a obecný afinní prostor Ústředním pojmem afinní geometrie je rovnoběžnost. První kritérium rovnobežnosti přímek je znázorněno na obr. 4.1(a). To je přímým důsledkem tvrzení 1.27 a 1.29 v [Eu] a rovnoběžnost je zde charakterizována pomocí shodnosti úhlů. a. Obrázek 4.1: Kritérium rovnobežnosti přímek: (a) a \\ b <í=4> a = /?, (b) a \\ b <í=^> u a v jsou lineárně závislé. V úvodu jsme slibovali, že afinní geometrii vybudujeme zcela bez pojmu shodnosti, a to algebraicky pomocí vektorů. V tomto duchu je rovnoběžnost přímek ekvivalentní s tím, že jejich odpovídající směrové vektory jsou lineárně závislé, viz obr. 4.1(b). Přitom si zejména všímáme, že každé dva body A a, B jednoznačně určují nějaký vektor, který značíme AB. Toto přiřazení 12 II Afinní geometrie není jen tak ledajaké — jeho podstatné vlastnosti jsou obsaženy v následující definici afinního prostoru... Obecná definice afinního prostoru Předchozí pozorování jsou základem k obecné definici abstraktní afinní struktury. Definice. Afinní prostor je neprázdná množina A spolu se zobrazením A x A do nějakého vektorového prostoru V (dvěma bodům A a B se přiřazuje vektor AĚ), které má následující vlastnosti: (a) libovolný bod A a libovolný vektor u jednoznačně určují (koncový) bod B tak, že platí AĚ = u, (b) je kompatibilní s vektorovou strukturou V, tj. pro libovolné body A, B a, C platí: JĚ + BČ = AČ. Vektorový prostor V se nazývá zaměření afinního prostoru A a značí se A^. Dimenze afinního prostoru A je definována jako dimenze jeho zaměření V=A*. A A * A Obrázek 4.2: Axiomy obecné afinní struktury A x A —>• V: (a) pro libovolné A e A, u e V existuje jediný B e A takový, že AĚ = u, (b) pro libovolné A,B,C E A platí: AĚ + BC = AÔ. Poznámky Vlastnost (a) nám asociuje zobrazení A x V —>• A, které lze interpretovat jako „umístění volného vektoru". Koncový bod B symbolicky píšeme B = A + u. Odtud je vidno, proč se vektor u = AĚ občas formálně zapisuje jako „u = B — A". Všimněte si, že pro libovolný bod A e A je předpisem 4 Afinní prostory, podprostory a zobrazení 13 (EE> určeno zobrazení V —>• A, které je bijektivní.1 Tento postřeh ospravedlňuje výše uvedenou definici dimenze afinního prostoru. Afinní prostor dimenze 0 se nazývá triviální, afinnímu prostoru dimenze 1, resp. 2, se přezdívá afinní přímka, resp. rovina. Zobrazení A x V —>• A můžeme také interpretovat jako akci (komutativní grupy) V na množině A: pro libovolný vektor u e V je odpovídající transformace A —>• A právě „posunutí o vektor u". Vzhledem k terminologii v podkap. 24 můžeme naši původní definici zestručnit takto: Definice (ekvivalentní). Afinní prostor se zaměřením V je neprázdná množina A, na níž V působí efektivně a tranzitivně; přitom V je vektorový prostor uvažovaný jakožto komutativní grupa. 4.2 Příklady a poznámky (1) Tzv. kanonický afinní prostor se zaměřením V je právě V, akorát zapomeneme na význačný prvek (kterým je nulový vektor). Přesněji, uvažujeme A := V spolu se zobrazením V x V —>• V daným rozdílem vektorů: už := v — u. (2) Prostor řešení soustavy lineárních rovnic je buď prázdná množina nebo afinní prostor, viz např. soustavu dvou rovnic o třech neznámých {2x — y = 3, 3x — z = 4}. Jaká může být dimenze prostoru řešení soustavy r lineárních rovnic o n neznámých? (3) Další přirozené netriviální příklady známe z matematické analýzy, viz např. prostor řešení lineární diferenciální rovnice y" — 4y' + 5y = 10. Jaká je dimenze prostoru řešení lineární diferenciální rovnice fc-tého řádu? (4) Různé podivně vyhlížející konstrukce lze najít v literatuře. V dalším textu standardním afinním prostorem dimenze n míníme právě kanonický afinní prostor se zaměřením V = Rn. V předchozích příkladech jsme chtěli zdůraznit, že afinní strukturu lze najít ledaskde, tedy ne jenom v geometrii. Ať už afinní prostor vypadá jakkoli, jeho prvky jsou vždy jednoznačně popsány několika reálnými čísly (volnými parametry, integračními konstantami apod.). To jsou tzv. afinní souřadnice, o nichž si něco víc řekneme v odst. 5.1. Tímto způsobem lze každý afinní prostor dimenze n ztotožnit se standardním afinním prostorem Rn\ 4.3 Afinní podprostory, průniky, součty a obaly Afinní podprostor Definice. Podmnožina afinního prostoru A, která je sama afinním prostorem, se nazývá afinní podprostor prostoru A. Jak je u podobných definic zvykem, ve vedlejší přívlastkové větě nevyslovujeme dodatek „vzhledem ke zděděné afinní struktuře". Uvědomte si, co to přesně znamená. V je dáno předpisem B AÉ. Tato pozorování stojí za jinými (ekvivalentními) definicemi afinního prostoru, jež lze najít v literatuře, viz např. [Sek, str. 19 v I. díle]. 14 II Afinní geometrie Afinní podprostory dimenze 0, 1, resp. 2, nazýváme přirozeně body, přímky, resp. roviny v A; podprostory kodimenze 1 nazýváme nadroviny v A.2 (Nadrovinou v trojrozměrném prostoru je rovina, nadrovinou v rovině je přímka apod.) Je-li B afinní podprostor v A, potom zaměření ~Š je vektorovým podprostorem v zaměření A*. Pro dva afinní podprostory B a C v A platí: BCC ale určitě ne obráceně! Nejjednodušší protipříklad můžeme vydedukovat z obr. 4.1: rovnoběžné přímky mají stejná zaměření. Toto pozorování motivuje obecnou definici rovnobežnosti, viz podkap. 6. Afinní podprostor je jednoznačně určen svým zaměřením a nějakým bodem, jímž prochází; píšeme B = B + U := {B + u | u e U}, (4.1) kde B je nějaký bod a U = 1$ je vektorový podprostor v A*. Ke způsobům vyjádření afinních podprostorů se vrátíme v podkap. 5. Z definicí, předchozích pozorování a špetky samostatného uvažování vyplývá, že následující (Eě> tvrzení jsou ekvivalentní: torem • Podmnožina B Q A je afinním podprostorem ^=^> • podmnožina {XY | X,Y e B} CA^ je vektorovým podprosto • existuje bod B e A a vektorový podprostor U C ~A* tak, že B = B + U ^=^> • pro libovolné různé body B,C G B platí, že také celá přímka B + C patří do B. Přímka B + C je nejmenší afinní podprostor obsahující body BaC.To je nejjednodušší příklad součtu afinních podprostorů, o kterém si hned něco řekneme obecně... Průnik a součet podprostorů, afinní obal Pokud je průnik afinních podprostorů B aC neprázdný, pak je to opět afinní podprostor a zřejmě platí Sjednocení afinních podprostorů však nemusí být podprostorem (viz např. množinu sestávající ze dvou různých bodů). Nejmenší afinní podprostor, který obsahuje B U C, se nazývá součtem a značí se B + C. 2 Dimenze nadroviny v A- je o 1 menší než dimenze A. 4 Afinní prostory, podprostory a zobrazení 15 Obrázek 4.3: Průnik a součet afinních podprostorů: aDb = C, C + D = b, a + C = a, a + D = p, a + p = p, aí~] p = a, ... Pro zaměření součtu afinních podprostorů platí (B + C) = ~Š + ^ + (B(5), (4.2) kde B e B a C e C jsou libovolné body a součet na pravé straně je součtem vektorových podprostorů. Sčítanec (BÓ) v (4.2) nelze obecně vynechávat! V některých případech je však jistě nadbytečný, tj. v některých případech platí BÓ e . Pokud začneme zkoumat, kdy je tento sčítanec nadbytečný a kdy nikoli, zjistíme, že odpověď úzce souvisí s průnikem podprostorů, viz obr. 4.4: Obrázek 4.4: S n C ^ 0 ^> B~Č e~Ů + ~Č. Věta. Uvažme afinní podprostory B,C C A a libovolné body B e B a C e C. Potom podprostory B aC mají neprázdný průnik právě tehdy, když vektor BÓ patří do součtu zaměření Důkaz. Pokud je průnik neprázdný a D e B n C je nějaký společný bod, pak B = D + u a C = D + v pro nějaké vektory u e B ave ~Z. Odtud S<í = v- ue^+S. Naopak, je-li BC e ~Š + C, lze vektor BÓ napsat jako BÓ = v — u pro nějaké u e ~Š a v e C. Odtud plyne C — v = B — u, tzn. bod B — u e Z? je roven bodu C — v e C, tudíž Definice součtu podprostorů je speciálním případem tzv. afinního obalu: 16 II Afinní geometrie Definice. Afinní obal neprázdné podmnožiny M C A je nejmenší afinní podprostor v A, který obsahuje M. Často se budeme odkazovat na body v tzv. obecné poloze — dva body v obecné poloze určují přímku, body tři body v obecné poloze určují rovinu apod. Jinak řečeno, afinním obalem dvou bodů v obecné poloze je přímka atd. Obecně: Definice. O k bodech A\,..., Ak G A říkáme, že jsou v obecné poloze^ pokud afinní obal množiny {Aí}..., Ak} má dimenzi k — 1, neboli vektory AxaI, ..., AiAk e ~Ä* jsou lineárně nezávislé. ^ 4.4 Cvičení (j3> Rozhodněte, zda následující podmnožiny jsou afinní podprostory; pokud nejsou, určete jejich afinní obaly: (1) nějaký interval v R1, dva body v R2, kolobežka v R3, dvě mimoběžné přímky v R4, sjednocení všech příček dvou mimoběžek v R4 apod., (2) všechna řešení rovnice x+y+z=bv prostoru {(x, y, z)} = R3, (3) celočíselná řešení rovnice x + y + z = 5 (o třech neznámých) v prostoru všech jejích řešení, (4) všechna řešení diferenciální rovnice y" — Ay' + by = 10 v prostoru všech analytických funkcí, (5) konstantní řešení v prostoru všech řešení diferenciální rovnice y" — Ay' + by = 10. 4.5 Afinní zobrazení Na tomto místě připomeneme geometrickou definici afinního zobrazení a najdeme její ekvivalentní algebraické vyjádření. K afinním (stejně jako ke všem později zmiňovaným) zobrazením se ještě vrátíme v kapitole V. Úvod Dobře známé (a v jistém smyslu základní) afinní zobrazení je osová afinita nebo rovnoběžné promítání. Obecná geometrická definice afinního zobrazení, kterou známe z konstrukční geometrie, vypadá takto: Definice. Zobrazení mezi afinními prostory se nazývá afinní, pokud (a) zobrazuje kolineární body na kolineární body, (b) zachovává rovnoběžnost přímek, (c) zachovává dělicí poměry trojic bodů na přímce. Bijektivní afinní zobrazení se jmenuje afinita. 4 Afinní prostory, podprostory a zobrazení 17 Kolineární body jsou body, které leží na jedné přímce, tedy také body splývající. Podmínka (b), resp. (c) tedy má smysl pouze v případě, kdy se různé kolineární body nezobrazí do jednoho bodu. Z (a) a (c) plyne, že afinní zobrazení zobrazuje přímky na přímky, resp. na body (tedy nikoli např. na úsečky či jiné části přímek). Uvedené podmínky nejsou úplně nezávislé — pro zobrazení afinního prostoru dimenze aspoň 2 platí, že za předpokladu (a) jsou podmínky (b) a (c) ekvivalentní. Pro afinní zobrazení mezi • A', který známe, si můžeme povšimnout, že / indukuje zobrazení mezi zaměřeními , a to tak, že obraz vektoru u = AB je určen obrazy bodů A a, B: 18 II Afinní geometrie Uvědomte si, že vektor u může být reprezentován nekonečně mnoha dvojicemi bodů u = AB = CD = ■ ■ ■. To, že je tímto předpisem vůbec definováno zobrazení, je přímým důsledkem vlastností § (a)~(c) z definice 4.5. Odtud také plyne, že indukované zobrazení ~^ není jen tak ledajaké, ale je lineární. Právě tato pozorování vysvětlují, proč je následující definice ekvivalentní s definicí 4.5. Obrázek 4.6: Afinní zobrazení indukuje lineární zobrazení mezi zaměřeními. Definice (ekvivalentní). Zobrazení mezi afinními prostory / : A —>• A' se nazývá afinní, pokud existuje lineární zobrazení mezi zaměřeními tak, že pro libovolné body A, B e A platí 7(ÄÉ) = f(A)f(B). (4.4) Jako je lineární zobrazení homomorfizmem vektorových prostorů, je afinní zobrazení homo-morfizmem afinních prostorů. Afinní zobrazení je tedy zobrazení mezi afinními prostory, které zachovává afinní strukturu. Uvedená definice pouze vysvětluje, co to přesně znamená... a,*a--> <*✓ *a -> f Obrázek 4.7: Zobrazení / je afinní, pokud /* existuje, je lineární a diagram komutuje. Afinní zobrazení / jednoznačně určuje lineární zobrazení /*, avšak tato korespondence není vzájemně jednoznačná — stačí si uvědomit, že indukované lineární zobrazení ke každému posunutí A^ A + u (EE> je identické zobrazení. Obecněji dvě afinní zobrazení indukují jedno a to samé lineární zobrazení právě tehdy, když se liší o nějaké posunutí. Afinní zobrazení / je tedy zcela určeno indukovaným lineárním zobrazením /* a obrazem jednoho (libovolného) bodu. Pokud takový bod označíme např. A, potom obraz libovolného bodu B e A je určen právě rovností (4.4), neboli: f(B)=7(AĚ) + f(A). (4.5) 5 Afinní prostory, podprostory a zobrazení 19 Analytickému vyjádření afinních (a dalších) zobrazení se věnujeme v samostatné podkap. 15. Tato vyjádření závisí na volbě souřadné soustavy, o čemž si něco řekneme v odst. 5.1... Protože lineární zobrazení n-rozměrného vektorového prostoru je určeno obrazem nějaké báze, tj. obrazy n lineárně nezávislých vektorů, vidíme, že obecně platí: Věta (o určenosti afinního zobrazení). Afinní zobrazení afinního prostoru dimenze n je určeno obrazy n + 1 bodů v obecné poloze. Afinní invarianty a základní věta afinní geometrie V Kleinově duchu je afinní geometrie studiem vlastností, které jsou invariantní vůči afinním zobrazením. V definici 4.5 jsme vyjmenovali tři základní invarianty; na tomto místě můžeme doplnit jeden další, jehož zdůvodnění plyne přímo z definicí a ekvivalentních algebraických reformulací: A = souřadnice bodu A vzhledem k danému repéru definováno bijektivní afinní zobrazení mezi afinním prostorem A a standardním afinním prostorem Rn. Platí tedy: 5 Afinní souřadnice a vyjádření afinních podprostorů 21 Všechny afinní prostory stejné dimenze jsou navzájem izomorfní (nikoli však kanonicky). 7*—*- Obrázek 5.9: Souřadnice vzhledem k afinnímu repéru (O; e1; e2): A 0+ |ei -e2. A Přechod mezi souřadnými soustavami Jeden bod může (ale nemusí) mít v různých afinních repérech různé souřadnice. Pokud známe souřadnicové vyjádření bodu A vzhledem k jednomu repéru a současně známe vyjádření tohoto repéru vzhledem k jinému repéru, pak by mělo být jednoduchým cvičením vyjádřit souřadnice bodu A vzhledem k onomu jinému repéru. Konkrétní příklad tohoto přechodu je na obr. 5.10. 0 Obrázek 5.10: Přechod mezi dvěma afinními repéry: A = O + |ei — e2 a současně O = O' + 3e[ +4e2, ei = -e2, e2 = ei + ±e2. Odtud po dosazení plyne A = O' + 2e[ + ^e2. Zobecnění těchto pozorování je následující: Věta. Uvažme dva afinní repéry (O;ei, e2,...) a (O';e[,e'2,...) v A. Souřadnice libovolného bodu A e A vzhledem k prvnímu repéru označíme [a\, a2,... ] = A, vzhledem ke druhému [a[,a'2,...] = A'. Souřadnice O vzhledem k druhému repéru označíme [qi,q2, ■ ■ ■] = Q a matici přechodu od báze (ei, e2,...) k bázi (e[, e'2,...) označíme P. Potom platí, že A' = Q + P A, 22 II Afinní geometrie neboli a i qi + ř>n«i + Pi2a2 + ■ ■ ■, q_2 +P2iai +P22a2 + ■ ■ ■, kde pij je koeficient v matici P na í-tém řádku a j-tém sloupci. 5.2 Cvičení V jisté afinní souřadné soustavě na mapě jistého města jsou jistá význačná místa určena souřadnicemi a = [1, —l],b = [1,1], c = [3,0], d = [5,2], e = [4,4]. Jistí dva kolegové sledují dění ve městě tak, že kolega K. zaznamenává údaje vzhledem k souřadné soustavě s počátkem v místě a, kde má základnu, a bází (ab, aó); kolega L. pracuje se souřadnou soustavou s počátkem v d a bází (dČ, de). Přesně v poledne začíná K. zaznamenávat rovnoměrný přímočarý pohyb podezřelé tramvaje a jeho zápis (v závislosti na čase i) vypadá takto: V tomtéž čase také L. zaznamenává pohyb tramvaje jako: Rozhodněte, zda oba kolegové pozorují tutéž tramvaj a zda je náhodou tramvaj neohrožuje. 5.3 Parametrické vyjádření podprostoru Dráha tramvaje v předchozím cvičení je parametrizována parametrem íeR. Obecněji, přímku p = K + L určenou dvěma body v obecném afinním prostoru můžeme podle (4.1) zapsat jako Ještě obecněji, afinní podprostor B C A určený bodem B a zaměřením U = (ui,u2,...) je parametrizován následovně: B = b + (m,u2,...) = {b + tmi + t2u2 + ... I h,í2,• • • e R}. Bod X e A leží v podprostoru B právě tehdy, když X = S + íiUi+í2u2 + ... (5.6) pro nějaká reálná čísla íi, t2,... ■ Toto je tzv. parametrické vyjádření podprostoru B Q A. Obvykle, nikoli však samozřejmě, jsou vektory ui, u2,... lineárně nezávislé. Je jasné, že jeden a týž podprostor může být parametrizován tisícerým způsobem. 5 Afinní souřadnice a vyjádření afinních podprostorů 23 Obrázek 5.11: Dvojí vyjádření téže roviny: p = A + (u1; u2) = B + (v1; v2). 5.4 Vyjádření podprostorů rovnicemi Každý si umí poradit s vyjádřením přímky v rovině, roviny v prostoru apod. Chceme zjistit, jak je to s rovnicovým vyjádřením obecného afinního podprostorů v obecném afinním prostoru — myšleno vzhledem k nějakému vybranému afinnímu repéru. Už v příkladu 4.2(2) jsme si uvědomili, že pokud má soustava lineárních rovnic řešení, pak tato řešení tvoří afinní prostor, jehož dimenze závisí na počtu (nezávislých) rovnic a počtu neznámých. Máme-li soustavu s n neznámými, řešení soustavy jsou uspořádané n-tice čísel a prostor všech řešení je podprostorem v afinním prostoru všech možných uspořádaných n-tic, tj. ve standardním Rn. Nyní se ujistíme, že každý afinní podprostor lze vyjádřit tímto způsobem. Nejprve představíme rychlé a abstraktní řešení tohoto problému, konkrétní návody najdete v odst. 5.5 a ve cvičení. Obrázek 5.12: Přímka p má vzhledem k naznačené souřadné soustavě parametrické vyjádření [3í, — 1 + 1.5í] a obecnou rovnici x — 2y = 2. Uvažujme libovolný afinní podprostor B C A, určený bodem B a zaměřením B = B + U. Z lineární algebry víme, že souřadnice vektorů patřících do libovolného vektorového podprostorů U tvoří řešení nějaké soustavy homogenních lineárních rovnic: • vektor BX je lineární kombinací vektorů ui,..., Ufc ^=4> • vektory BX, ui,..., Ufc jsou lineárně závislé ^=^> • mezi vektory BX, ui,..., je právě k nezávislých ^=^> • hodnost matice tvořené souřadnicemi vektorů BX, ui,..., Ufe vzhledem k nějaké (libovolné) bázi je právě k ^=^> všechny subdeterminanty řádu k+í vybrané z této matice jsou nulové. Poslední z předchozích ekvivalencí motivuje následující návod: (3) Vytvoříme po sloupcích matici ze souřadnic vektorů BX,U\,... ,uj, (matice má n řádků a k + 1 sloupců a neznámé se objevují jenom v prvním sloupci). Z této matice vybíráme 26 II Afinní geometrie submatice řádu k + 1, spočítáme jejich determinanty a tyto položíme rovny 0. Dostáváme soustavu lineárních rovnic, z nichž podle libosti vybereme n — k nezávislých. Tento postup je vhodný hlavně v případech podprostorů malé kodimenze. Zejména, je-li b nadro-vinou, tj. k = n — 1, je matice zmiňovaná v (3) čtvercová řádu n = k + 1. Rovnice nadroviny je tedy určena determinantem celé této matice. Předchozí myšlenky lze realizovat různými způsoby, což může vést k dalším, zdánlivě novým, metodám. Např. v (2) můžeme pracovat s maticí stejně jako v (3) a nepřepisovat neustále parametry ti,t2, ■ ■ ■ ■ Pokud někde narazíte na jiné návody, nejprve se zamyslete, zda se nejedná jen o jiný zápis některého z výše uvedených. 5.6 Různá další vyjádření Často lze potkat vyjádření afinních podprostorů, jež vypadají odlišně od výše uvedených. Ať už vypadají jakkoli, vždy jsou ekvivalentní některému z dříve diskutovaných popisů. Různá vyjádření mají různé výhody, pro představu uvádíme běžně používaná rovnicová vyjádření přímky v rovině (viz obr. 5.15): • obecná rovnice: ax + by + c = 0, • směrnicová rovnice: y = kx + q, • úseková rovnice: - + - = 1. p q Směrnicovou ani úsekovou rovnicí nelze popsat všechny přímky v rovině; konkretizujte tato ome-(Eě> zení. Uvedená vyjádření a jejich interpretace mají zřejmé analogie pro roviny v prostoru, příp. nadroviny v prostoru obecné dimenze... Obrázek 5.15: [Rek] Interpretace konstant z různých rovnicových vyjádření přímky v rovině; ke druhému obrázku je třeba doplnit k = tan Lp. 5.7 Cvičení (1) Vzhledem k nějakému afinnímu repéru v nějakém trojrozměrném afinním prostoru jsou dány body: a= [1,1,0], S=[4,l,3], c= [1,0,1]. Určete dimenzi a rovnicové vyjádření afinního obalu množiny {a}, {a, b}, resp. {a, b, c}. 6 Vzájemné polohy podprostorů a některé polohové úlohy 27 (2) Je dáno parametrické vyjádření afinního podprostorů B C R4: x1 = 3ŕi - 5ŕ2 - 2ŕ3, x2 = 1 + t2 + t3, x3 = 4 - tx + t2, x4 = 5, kde íi,Í2,Í3 <= K- Určete dimenzi B a najděte nějaké jiné parametrické vyjádření tohoto podprostorů. Dále ukažte, že soustavou lineárních rovnic {xi + 2x2 + 3x3 = 0, x4 = 0} je popsáno zaměření ~Š a najděte aspoň tři různá rovnicová vyjádření podprostorů B. (3) Vyzkoušejte všechny návody určení rovnicového vyjádření, jež jsou uvedeny v odst. 5.5, např. na podprostorech z předchozích úloh. Porovnejte výsledná vyjádření. (4) Všimněte si, že nikde neklademe otázku „Jak najít parametrické vyjádření z rovnicového?" Zformulujte nějakou vlastní odpověď a doplňte vhodný příklad. (5) Ukažte, že přímka v prostoru obecné dimenze procházející body A = [ai,a2,...] a B = [bi, b2,... ] má rovnicové vyjádření xi — a\ x2 — a2 bi — ai b2 — a2 6 Vzájemné polohy podprostorů a některé polohové úlohy Před tím, než se začneme zabývat vzájemnými polohami afinních podprostorů, zformulujeme několik jednoduchých, ale užitečných tvrzení, na která se budeme opakovaně odkazovat. 6.1 Pomocná tvrzení (1) Jak pro afinní podprostory B, C C yl, tak pro jejich zaměření přímo s definicí vyplývá, že: BQC ^ BDC = B ^ B+C = C, resp. ~Ŕ C ~H, ^ IŽnČ = 1$ ^> IŠ+Č = ~Č. (2) V odst. 4.3 jsme si uvědomili, že platí BCC =^ ílc C\ ale nikoli obráceně. (3) V tomtéž odstavci jsme diskutovali zaměření průniku, resp. součtu afinních podprostorů, a to s následujícím závěrem: BDČ = l$r\~Č, resp. B + Č = l$ + + (ĚČ). (4) Poté jsme ukázali, že algebraická charakterizace průniku afinních podprostorů vypadá takto: BnC^tt ^> Sč3e^ + ^. (5) Z lineární algebry připomínáme, že dimenze průniku a součtu vektorových podprostorů jsou spolu úzce svázány, a to následujícím způsobem: že libovolný bod (triviální podprostor dimenze 0) je rovnoběžný s libovolným jiným podprosto-rem, který jej neobsahuje. Tento poznatek nás zpravidla příliš vzrušovat nebude, ale měli bychom si ho být dobře vědomi. Vzájemná poloha afinních podprostorů „nezávisí" na okolním prostoru A. Tím myslíme, že pokud jsou podprostory B,CQAv nějaké vzájemné poloze a A' 2 A je libovolný nadprostor, (Eě> potom je vzájemná poloha podprostorů B,C Q A' tatáž. Trošičku obecněji můžeme prohlásit: Vzájemná poloha afinních podprostorů se nemění při injektivních afinních zobrazeních. Další obecná pozorování Mimoběžné podprostory v afinním prostoru dimenze < 2 nejsou; v trojrozměrném prostoru to mohou být jedině přímky, tedy podprostory kodimenze 2. Toto pozorování je zobecněno v části (2) následující věty. Odtud plyne, že nadroviny v obecném afinním prostoru nejsou nikdy mimoběžné s žádným jiným podprostorem. Pokud jsou zrovna různoběžné, okamžitě víme, jaká musí být dimenze průniku, viz část (3). Do série ještě zařazujeme poznatek (1); afinní podprostory, jejichž zaměření jsou komplementární nazýváme taky komplementární, příp. říkáme, že jeden je doplňkem druhého. 3V některých zdrojích je incidence uvažována jako speciální případ rovnoběžnosti; naše vymezení je pak jmenováno „rovnoběžné různé". 6 Vzájemné polohy podprostorů a některé polohové úlohy 29 Obrázek 6.16: Vzájemné polohy afinních podprostorů. Věta. Pro libovolné afinní podprostory B,C C A platí: (1) Pokud jsou vektorové podprostory komplementární, pak B a C se protínají v bodě. (2) Pokud jsou podprostory B a C mimoběžné, pak každý z nich má dimenzi menší nebo rovnu dim.4 — 2 (a větší nebo rovnu 1). (3) Pokud je C nadrovina a B a C jsou různoběžné, pak dini(B n C) = dimfí — 1. Všechna tři tvrzení plynou přímo z definic, rovnosti (6.8) a věty 4.3 — najděte si nějaká jejich zdůvodnění...4 6.3 Jak určit vzájemnou polohu podprostorů? Optimální odpověď závisí na konkrétním zadání úlohy. Nej přirozenější je asi rovnou začít s hledáním společných bodů, resp. směrů daných podprostorů, tzn. s vyjádřením průniku, resp. průniku zaměření. Odtud lze vždy rozhodnout, jaká je jejich vzájemná poloha. Dále si všimneme, že k určení vzájemné polohy stačí znát pouze dimenze vhodných podprostorů a nikoli podprostory jako takové. Pro úplnost ještě doplníme charakterizaci pomocí součtů. Průnik Vzájemnou polohu podprostorů B,C C A je vždy možné jednoznačně určit podle jejich průniku Bí~\C a průniku zaměření (uvědomte si, že pokud Bľ\C ^ 0, pak např. B C C je ekvivalentní s^C^): • BnC^0: - ~Š n ~Z = (É nebo ~Č) <í=4> incidentní, 4Viz např. str. 141 pro inspiraci. 30 II Afinní geometrie - ~š n ŕf ^ ~š ani t ^=^> různoběžné, • BnC = 0: nebo C <í=^ rovnoběžné, - ~š n ^ ^ ~š ani ^ ^=^> mimoběžné. Bez ohledu na způsob vyjádření daných podprostorů (parametricky/rovnicemi) většinou potřebujeme k určení jejich průniku, resp. průniku jejich zaměření, řešit soustavu lineárních rovnic. Po obvyklých úpravách (myslíme ekvivalentní úpravy vedoucí ke schodovitému tvaru) postupně pozorujeme: (1) zda je soustava řešitelná nebo ne (tj. zda je průnik neprázdný nebo prázdný), (2) pokud je řešitelná, tak podle počtu nezávislých rovnic a počtu neznámých usuzujeme, kolik budeme potřebovat volných parametrů k explicitnímu vyjádření řešení (tj. jaká bude dimenze průniku), (3) pokud je soustava řešitelná, tak ji dořešíme a vyjádříme řešení (tj. popíšeme explicitně průnik). Uvědomte si, že počítání průniku BílC a průniku zaměření lze vždy realizovat současně: (Eř> máme-li soustavu lineárních rovnic odpovídající B n C, pak soustava popisující je pravé předchozí soustava, akorát homogenizovaná (tzn. na pravé straně jsou nuly)! Z uvedeného je také patrné, že k určení vzájemné polohy podprostorů úplně stačí absolvovat krok (2), kdy známe dimenzi průniku, resp. průniku zaměření. Krok (3) je nutné dopočítat v případě, že nás kromě vzájemné polohy zajímají také společné body/směry daných podprostorů. Součet Vzhledem k úvodním rozvahám může být předchozí charakterizace vzájemných poloh podprostorů přepsána také následovně: • BČ e B* + nebo B <í=4> incidentní, ^=4> různoběžné, • BČ + nebo B <í=4> rovnoběžné, ^=4> mimoběžné. Odtud plyne následující způsob určení vzájemné polohy podprostorů, který je vhodný asi hlavně v případě, kdy jsou oba podprostory zadány parametricky: B = B+(ult...) a C = C+(vi,...). Sestavíme matici ze souřadnic generujících vektorů ui,..., vi,..., kterou ještě rozšíříme o vektor B Ó. Po obvyklých úpravách — při kterých ovšem nesmíme míchat se sloupcem/řádkem, který původně obsahoval B Ó — postupně určíme: (1) jaká je hodnost matice sestavené z generujících vektorů (tj. jaká je dimenze součtu (2) zda je hodnost matice rozšířené stejná nebo větší (tj. zda se afinní podprostory protínají či nikoli). 6 Vzájemné polohy podprostorů a některé polohové úlohy 31 Poznámky Uvědomte si, že právě uvedený návod je pouze jinou interpretací návodu předchozího: Matice, se kterou tady pracujeme, je (až na formu zápisu a nějaká znaménka) totožná s maticí soustavy pro počítání průniku, již jsme zmiňovali výše. Přitom pojem hodnosti matice nezávisí na tom, zda matici čteme po sloupcích nebo po řádcích! Navíc, porovnáme-li krok (2) u tohoto návodu z krokem (1) návodu předchozího, nemůžeme si nevzpomenout na Frobeniovu větu o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic. Tato naše pozorování představují alternativní (souřadnicový) @ důkaz věty 4.3. Na rozdíl od předchozího návodu, nemusí být na první pohled patrné, jaké jsou společné body/směry daných podprostorů. Tyto lze sice vždycky z jednotlivých úprav zrekonstruovat, ale nemusí se jednat o nej příjemnější počítání. V případě, že se ptáme na společné body/směry, je proto asi vhodnější rovnou začít počítat průniky. Závěr V obou uvedených metodách jsme si všimli, že k určení vzájemné polohy nám stačí pracovat toliko s dimenzemi (příp. hodnostmi odpovídajících matic) a nikoli podprostory jako takovými. Obecně platí dim(B + > max{dini Pokud kvůli stručnosti označíme tato tři čísla tak, že o > n > to, pak předchozí charakterizace vzájemných poloh afinních podprostorů vypadá následovně: Věta. Afinní podprostory B a C jsou Důkaz. První nerovnost je rovností, právě když BČ G neboli Bľ\C ^ 0. Druhá nerovnost je rovností, právě když nebo , tj. právě když B a C jsou rovnoběžné. Postupným rozborem všech možností vyčerpáme všechny možné vzájemné polohy... □ Pro podprostory eukleidovského prostoru odvodíme ještě jinou charakterizaci vzájemných poloh (související s jejich vzdáleností), viz větu 10.3 na str. 64. 6.4 Příčky Pokud jsme kdy mluvili o příčkách, pak výhradně o příčkách mimoběžných přímek. Obecně se příčkou dvou afinních podprostorů B, C C A myslí jakákoli přímka, která je s B i C různoběžná. Pro netriviální podprostory existuje vždy nekonečně hodně příček, viz obr. 6.17. Příčka bývá (ale nemusí být!) jednoznačně určena nějakou dodatečnou podmínkou, např. • aby procházela daným bodem, 32 II Afinní geometrie i'íg. n. Obrázek 6.17: [LiSch] Ke dvěma mimoběžkám existuje oo2 různých příček. • aby měla daný směr, • apod. To jestli taková příčka existuje, příp. zda je určena jednoznačně, závisí na vzájemných polohách zadaných podprostorů a oné dodatečné podmínky... Umění konstrukce příček má velmi užitečná uplatnění v technické praxi, viz např. přímkovou plochu na obr. 6.18 nebo [Ma]. Jak určit příčku dvou podprostorů? Pro dané podprostory B, C C A a danou dodatečnou podmínku je možné příčku určit nejméně dvojím způsobem: (a) Uvážíme nejmenší afinní podprostor B', resp. C, určený podprostorem B, resp. C, a danou podmínkou; hledaná příčka je potom obsažena v průniku B n C. Příčka existuje, pokud je průnik B'nC neprázdný a jeho dimenze je aspoň 1; příčka je jediná, pokud je dimenze B' n C právě 1. (b) Uvážíme obecné body BefíaCeCa jimi určenou přímku B + C; ptáme se, pro které B a C je splněna daná dodatečná podmínka, což nás přivádí k soustavě rovnic, kterou následně řešíme. Příčka existuje, pokud je tato soustava řešitelná; příčka je jediná, pokud má soustava jediné řešení. Konkrétní provedení obou těchto postupů lze najít v [Sek, HoJa], viz též následující cvičení... Poznámky V eukleidovských prostorech budeme hledat příčky, které jsou nejkratší možné. Takové příčky se jmenují osy a — na rozdíl od obecných příček — libovolné dva podprostory mají (aspoň jednu) osu. Umění určení osy má velmi užitečné uplatnění při měření vzdáleností podprostorů, viz odst. 10.1. 7 Vzájemné polohy podprostorů a některé polohové úlohy 33 Obrázek 6.18: [Ma] Krov hradní věže ve Štramberku: krokve krovu jsou příčky mimoběž-ných přímek a a b sestrojené z několika bodů na kruhové podezdívce k. 6.5 Cvičení d (1) Určete vzájemnou polohu afinních podprostorů B, C c R4, fí= {[1,2,0,0]+í(0, 0,1,1)}, C = {[-1, 0,2, 0]+ai(-l, 0,2, l)+s2(l, 0,-1,0)}, kde t, si,s2 G R, příp. určete jejich společné body a směry. (2) Pozměňte vhodně zadání v předchozích úlohách tak, abyste vyčerpali zbývající možné vzájemné polohy. (3) Uvažte tři přímky v R3: pi = {[l + íi,l,íi]}, p2 = {[l + í2,-l,-í2]}, p3 = {[0,í3,í3]}. Ukažte, že tyto přímky jsou navzájem mimoběžné, a řešte následující úlohy: • určete příčku pi a p2, která prochází bodem B = [0, 0, 0], • určete příčku pi a p2, která prochází obecným bodem na p3, • představte si všechny společné příčky těchto tří mimoběžek. (4) Pro tutéž trojici přímek řešte následující: • určete příčku p\ a p2, která má směr u = (1,1, 0), • určete jinou příčku p\ a P2, která je rovnoběžná s rovinou p = {x — y = 0}, • představte si všechny příčky pi a P2, které jsou rovnoběžné s touto rovinou. 34 II Afinní geometrie 7 Uspořádání na přímce, konvexní množiny, barycentrické souřadnice a další Body na afinní přímce p = A + B jsou jednoznačně určeny hodnotami íeKz parametrického vyjádření přímka AB = {A + tAB | t e R}. (7.9) V této řeči je velmi snadné vymezit ledajaké podmnožiny přímky AB jako např. polopřímka AB = {A + tAŘ I t > 01, 1 ' - ' (7.10) úsečka AB = {A + tAB \ t e [0,1]}. V následujících odstavcích tyto postřehy trochu rozvineme a zobecníme... 7.1 Relace uspořádání a mezi, úsečka Úvodní bijekci mezi body na přímce p = A + B a reálnými čísly íeM jsme v odst. 5.1 interpretovali jako souřadnice bodu X e p vzhledem k afinnímu repéru (A; u = AÉ) na p. Přirozené uspořádání reálných čísel nyní indukuje relaci uspořádání pro body na přímce p: Definice. Pro body na afinní přímce C,D E p a jejich souřadnice c, d e R — vzhledem k nějakému afinnímu repéru na p — definujeme „C < D", pokud c < d. Uvědomte si, že toto uspořádání závisí pouze na orientaci bázového vektoru u a nikoli na vektoru (Eě> jako takovém. tc1 '•--------------H-1-»..... Obrázek 7.19: B = A + A~É, C = A- A~É, D = A+ \A~ň, ... Nezávisle na jakýchkoli volbách umíme definovat relaci „mezi" pro trojice bodů na afinní přímce; prvním odvozeným pojmem je pojem úsečky: Definice. Bod E leží mezi body C a D, pokud E leží na přímce p = C + D a „C < E < D" vzhledem k nějakému afinnímu repéru na p. Úsečka CD je množina všech bodů, které leží mezi C a D, doplněná o krajní body C a D. (Eř> Pro porovnání uvádíme několik ekvivalentních formulací: • Bod E leží mezi body C a D ^=> • vektory CÉ a DE jsou opačně orientované <= • dělicí poměr trojice bodů (C, D, E) je záporný. 7 Uspořádání na přímce, konvexní množiny, barycentrické souřadnice a další 35 V posledním tvrzení odkazujeme na definici (4.3) na str. 17. V eukleidovských prostorech umíme doplnit ještě charakterizaci pomocí vzdáleností bodů, viz (8.7) na str. 48. Pojem úsečky hraje klíčovou roli v definicích mnoha dalších geometrických objektů, z nichž některé představujeme v následujících odstavcích... 7.2 Poloprostory, úhly, konvexní množiny Dalším důležitým souvisejícím pojmem je pojem poloprostoru: Bod rozděluje přímku na dvě polopřímky, přímka rozděluje rovinu na dvě poloroviny a rovina rozděluje trojrozměrný prostor na dva poloprostory. Podobně, nadrovina rozděluje obecný afinní prostor na dva poloprostory: Definice. Dva body A a B v afinním prostoru A jsou oddělovány nadrovinou C, pokud A ani B neleží v C a úsečka AB má s nadrovinou C společný právě jeden vnitřní bod. (Afinní) poloprostor v A vymezený nadrovinou C je charakterizován tím, že žádné dva jeho body nejsou nadrovinou C oddělovány. Poloprostory vymezené nadrovinou C jsou dva a jejich průnikem je právě C. Obrázek 7.20: Body A, B jsou oddělovány nadrovinou C C A, body A, C nikoli; body B, C patří do jednoho poloprostoru, body A, C, D do druhého. Průnikem dvou polorovin v afinní rovině (takových, že jejich hraniční přímky jsou různo-běžné), je úhel. Pokud uvažujeme více polorovin, pak jejich průnikem může vzniknout ledacos (např. mnohoúhelník), v každém případě to však bude konvexní množina: Definice. Podmnožina M v afinním prostoru A je konvexní, pokud pro libovolné různé body B,C G M platí, že také celá úsečka BC patří do M. Konvexní množiny v A jistě jsou: celé A, všechny afinní podprostory (tzn. i body), úsečky, poloprostory a mnoho dalších...5 Průnikem konvexních podmnožin v A je opět konvexní množina; sjednocení samozřejmě nikoli: 6Mimo jiné také prázdná množina je podle definice konvexní. 36 II Afinní geometrie Obrázek 7.21: Množina K je konvexní, množina R nikoli. Definice. Konvexní obal podmnožiny M C A je nejmenší konvexní množina, která obsahuje M. Konvexní obal k + 1 bodů v obecné poloze se nazývá fe-rozměrný simplex. Konvexním obalem konečné množiny bodů (v libovolné poloze) může být konvexní mnohostěn, příp. konvexní mnohoúhelník, úsečka nebo bod. Bod, resp. úsečka je 0-, resp. 1-rozměrným sim-plexem; 2-rozměrný simplex není nic jiného než trojúhelník, 3-rozměrný simplex je čtyřstěn, neboli trojboký jehlan. Obrázek 7.22: Množina Q je konvexním obalem množiny R. K analytickému vyjádření poloprostoru a konvexního obalu konečné množiny bodů se dostaneme za chvíli... 7.3 Těžiště, barycentrické souřadnice a další V (7.9), resp. (7.10) je analytické vyjádření přímky, polopřímky, resp. úsečky určené body A a B. Jako obvykle, jednu a tutéž věc lze vyjádřit různými způsoby, nad nimiž se nyní zamyslíme a záhy zobecníme. Všechny následující úvahy se odehrávají v obecném afinním prostoru A. Úvodní postřehy Střed úsečky AB můžeme vyjádřit jako S = A + \Aň nebo S = B + \bX, ale taky jako s = p+\p1+\pĚ, kde p je úplně libovolný bod (ať na přímce AB nebo v okolním prostoru)! Pokud úsečku AB chápeme jako páku (na jejichž ramenech působí stejné síly), potom střed S je bod, v němž je třeba páku AB podepřít, aby byla v rovnováze. Pokud uvažujeme body A a B jako hmotné body se stejnými (kladnými) hmotnostmi, potom střed S je těžištěm hmotné soustavy sestávající právě z těchto dvou bodů. Obecněji, každý bod X na přímce AB lze pomocí parametru t e R vyjádřit (vzájemně jednoznačně) jako X = A + tAB, resp. X = B + (1 - ť)B~X; (7.11) 7 Uspořádání na přímce, konvexní množiny, barycentrické souřadnice a další 37 vztah mezi těmito dvěma vyjádřeními je skryt v rovnosti B = A+AB. Dále, pro zcela libovolný bod P e A zřejmě platí A = P + P A, B = P + pJ3aAB = PB- P~X. Dosazením do (7.11) dostáváme X = P + (1 - ť)PA + tPB. (7.12) Pro kontrolu si můžeme všimnout, že levou, resp. pravou rovnost v (7.11) dostaneme dosazením P = A, resp. P = B do (7.12). Pokud tamtéž dosadíme P = X, dostáváme (1 - t)xl + txÉ = o. Tuto rovnost můžeme interpretovat jako rovnováhu na páce AB podepřené v bodě X, přičemž síly působící v koncových bodech A a, B odpovídají koeficientům u příslušných vektorů. Jiná A X t —k-----•-------- JK~---------:»•----- -h-- I V, N Obrázek 7.23: X = A + |A~É X = P -±PA+%PĚ -^xl+^xÉ = o interpretace téhož je taková, že bod X je těžištěm hmotné soustavy sestávající z bodů A a B, v nichž jsou soustředěny (ne nutně kladné) hmotnosti tA = 1 — t a tB = t.6 Povšimněte si, že t A +tB = 1. Naopak, jsou-li v bodech A a B soustředěny váhy m a a mB a X je těžištěm této hmotné soustavy, potom platí ■mAxk + mBJCĚ = o. (7.13) Obdobnými úpravami jako výše (XA = XP + PA apod.) zjišťujeme, že pro libovolný bod P e A platí a + mB Povšimněte si, že t a + tB = 1. Dosazením P = A, resp. P = B do (7.14) dostáváme obvyklé vyjádření X = A + tBA~É, resp. X = B + tAB~A. Vzhledem k tomu, že rovnost (7.14) (resp. (7.12)) nezávisí na volbě bodu P £ A, budeme totéž psát stručněji jako „X =tAA + tBB", kde tA + tB = l. Z uvedeného je zřejmé, že charakterizace z (7.9) a (7.10) umíme nyní vyjádřit takto: 0}, _úsečka AB = {„tAA + tBB " | tA + tB = 1 a tA > 0 a tB > 0}. 6Kvůli případnému nežádoucímu konfliktu se zažitými představami budeme místo hmotnost říkat váha. 38 II Afinní geometrie Obecnější postřehy Analogické úvahy můžeme bez větších problémů vést pro tři a více bodů. Zde však bude podstatné, zda uvažované body jsou či nejsou v obecné poloze.7 Pro příklad začněme se třemi body A,B,C v alespoň dvourozměrném afinním prostoru A. Pokud jsou tyto body v obecné poloze (tzn. tvoří vrcholy trojúhelníku), potom každý bod X v rovině ABC lze pomocí parametrů í,s£M vyjádřit např. takto: X = A + tÄÉ + s AČ. Pro zcela libovolný bod P G A zřejmě platí A = P + PÁ, AĚ = ¥Ě — P A atd., což po dosazení g3> dává _> X = P + tAPA + tBPB + tcPC, kde tA = í-t-s, tB = t, tc = s. Povšimněte si, že t a +t b + tc = 1 a že korespondence mezi takovými trojicemi čísel a body v rovině ABC je vzájemně jednoznačná, čili bijektivní. Podobně jako výše budeme předchozí vyjádření stručněji zapisovat jako „X = tAA + tBB + tcCu, kde tA + tB + tc = l. Pokud body A, B, C nejsou v obecné poloze (tzn. splývají nebo leží na jedné přímce), potom právě popsaná korespondence jistě není vzájemně jednoznačná, viz obr. 7.24. Obrázek 7.24: „X = -\A + \B = \B + \C = \A + |C*" V každém případě však lze bod X interpretovat jako těžiště hmotné soustavy sestávající z bodů A,B,C, v nichž jsou popořadě soustředěny váhy ía,íb,íc- To plyne z následujícího základního principu, bez kterého se žádná seriózní debata o těžištích neobejde: TěžištěT hmotné soustavy s vahami mA,rriB, mc v bodech A, B, C je totéž co těžiště soustavy s vahami + mB,mc v bodech R, C, kde R je těžiště soustavy s vahami mA,mB v bodech A,B. Zde bod R je podle (7.13) určen rovností tuaRA + tubRÁ = o a bod T je podle téhož principu určen rovností (iriA + mB)TŘ + mc'TÓ = o. (EE> Z těchto dvou rovností vyplývá, že pro těžiště T platí mAfl + mBTĚ+ mcf(í = o. (7.15) Je-li součet vah mA+mB+mc nenulový, potom polohu těžiště lze vyjádřit obdobně jako v (7.14), viz obr. 7.25... 7Dva body jsou v obecné poloze, právě když jsou různé; tento předpoklad byl v předchozím automaticky splněn, proto jsme jej nepotřebovali diskutovat. 7 Uspořádání na přímce, konvexní množiny, barycentrické souřadnice a další 39 C m( -2 Obrázek 7.25: „R |A+iS"a„T ,T=\A+\B + lC Pro body v obecné poloze navíc platí, že těžiště hmotné soustavy se stejnými vahami ve všech třech bodech je totéž jako těžiště trojúhelníku ABC — jmenovitě, bod „T = ^A + ^B + \CU. To, že něco podobného neplatí obecně, je naznačeno na obr. 7.26, viz též jedno z následujících cvičení... Obrázek 7.26: [Be] Těžiště mnohoúhelníku obecně není totéž co těžiště bodové hmotné soustavy se stejnými hmotnostmi ve vrcholech. Z uvedeného vyplývá, že v tomto duchu je velmi snadné popsat některé objekty určené třemi body v obecné poloze: rovina ABC = {„tAA + tBB + tcC " | tA + tB + tc = 1}, polorovina AB,C = {„tAA + tBB + tcC" | tA + tB + tc = 1 a tc > 0}, trojúhelník ABC = {„tAA + tBB + tcC" | tA + tB + tc = 1 a tA,tB,tc > 0}, kde polorovinou AB, C je myšlena polorovina vymezená přímkou AB a bodem C. Obecné závěry Vzhledem k předchozí zevrubné přípravě můžeme být poměrně struční. Uvažme fc-tici bodů Ai,... ,Ak e A, které jsou v obecné poloze, a libovolný další bod P e A. Potom každý bod X z afinního obalu množiny {A\,..., A]~} lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru 2 \X4 X = P + t1PA1 + --- + tkPAk, kde ti H-----hífc = 1, (7.16) což stručněji zapisujeme jako „X = t1A1 + --- + tkAk", kde ŕi + --- + ŕfe = l. (7.17) 40 II Afinní geometrie Vzhledem k stávajícímu značení definujeme: Definice. B ary centrické souřadnice bodu X vzhledem ke fc-tici bodů {A\,..., Ak) v obecné poloze je k-tice čísel (íi, ■ ■ ■ ,tk) z (7.16), resp. (7.17). Pokud body Ai nejsou v obecné poloze, potom koeficienty ŕj nejsou určeny jednoznačně... Bez ohledu na to, zda body Ai v obecné poloze jsou, či nikoli, uvažujme hmotnou soustavu s vahami m, soustředěnými v bodech A^. Zobecnění (7.13) a (7.15) je následující: Definice. Bod T je těžištěm hmotné soustavy s vahami mi,.. v bodech Ai,..., Ak, pokud platí ., mk soustředěnými popořadě miTA^i + ■■■ + mkTAÍ = o. (7.18) Obdobnými úpravami jako výše — tedy dosazením TA\ = TP^ + PA^ do (7.18) atd. — dostáváme (EE> následující tvrzení: Věta. Těžiště hmotné soustavy s vahami mi,..., mk soustředěnými popořadě v bodech Ai,... ,Ak existuje, právě když je součet mi + ■ ■ ■ + mk nenulový. V takovém případě je poloha těžiště určena rovností (7.16), kde P e A je libovolný bod a koeficienty ti jsou rovny rrii l- = _:__ mi + • • • + mk Uvědomte si, že pokud těžiště existuje, potom je jistě jediné (přestože koeficienty U v (7.16) nemusí být určeny jednoznačně). Pokud je součet vah mi + ■ ■ ■ + mk nulový, potom těžiště neexistuje; nanejvýš můžeme říct, (Eě> že leží někde v „nekonečnu". Představte si nějaký takový případ... Pokud jsou všechny váhy kladné, jistě je jejich součet nenulový. V takovém případě těžiště vždy existuje a bude ležet v konvexním obalu bodů Ai. Tento poznatek je obsahem druhé části následující věty: Věta. Pro body Ai,A2,... v afinním prostoru dimenze n platí: • afinním obalem množiny {Ai,... ,Ak} je množina {„tiAi + ■■■ + tkAk " | íi + ■ ■ ■ + ífe = 1}, • konvexním obalem množiny {Ai,... ,Ak} je množina {„Mi + • • • + tkAk " | h + • • • + ífe = 1 a h,..., ífe > 0}. Pokud jsou body Ai,..., An-i v obecné poloze, potom platí: • poloprostor vymezený nadrovinou Ai + ■ ■ ■ + An_i a bodem An je množina {„tiAi + ■■■ + tnAn " | íi + • • • + í„ = 1 a tn > 0}, 7 Uspořádání na přímce, konvexní množiny, barycentrické souřadnice a další 41 Zdůvodnění všech těchto tvrzení je buď přímo obsaženo v předchozím textu, nebo je jeho bezprostředním zobecněním... 7.4 Důležité poznámky (1) Relaci mezi, stejně jako pojem úsečky a další odvozené pojmy lze definovat rozličnými způsoby, které jsme buď nezmiňovali vůbec, nebo jenom v poznámkách. Výše uvedenými formulacemi zejména chceme zdůraznit, že všechny tyto pojmy jsou výsostne afinní, tzn. že k jejich vymezení nepotřebujeme vzdálenosti bodů ani nic podobného! Jsou to tedy zřejmé afinní invarianty, takže následující tvrzení nepotřebují žádné další komentáře: • Afinní zobrazení zobrazuje úsečky na úsečky nebo body. • Afinní zobrazení zachovává konvexnost množin. • Afinní zobrazení zachovává těžiště hmotných soustav. Ve skutečnosti platí také opačné tvrzení k posledně zmiňovanému — celkem tak dostáváme následující charakterizaci: Věta. Zobrazení f : A —>• A' je afinní právě tehdy, když pro libovolné A\,..., Ak G A a íi,..., ífe eM takové, že ti + ■ ■ ■ + tk = 1, platí: /(„hA, + ■■■ + tkAk ") = „hfiA,) + ■■■ + tkf(Ak)". (7.19) Důkaz. Potřebujeme zdůvodnit implikaci zprava doleva, k čemuž postačí předpoklad (7.19) pro k = 2: Odtud plyne, že kolineární body se zobrazí na kolineární body (všechny body tvaru „X = tiAi + t2A2 " pro Ai A2 tvoří přímku). Navíc koeficienty na obou stranách jsou stejné, což znamená, že zobrazení / zachová dělicí poměr bodů na přímce (za předpokladu, že f{A\) ^ f(A2)). To už stačí k tomu, aby zobrazení / bylo afinní, viz úvod odst. 4.5... □ (2) Pro pořádek uvádíme přesný vztah mezi barycentrickými souřadnicemi bodu X na přímce určené body A a B a dělicím poměrem této trojice bodů (viz definující rovnosti (7.17) na str. 39 a (4.3) na str. 17): <@j) (ABX) = d ^=> „X = -r^—,A - -r^—.B ". 1 1 (3) Rovnost (7.13) je vektorovým zápisem zákona páky; úpravy před (7.15), resp. obr. 7.25 jsou ukázkou, tzv. principu redukce. Jedná se o dva základní axiómy pro úvahy o těžištích, které zformuloval a mistrně užíval již Archimédés. Těžiště, resp. barycentrické souřadnice mají velice elegantní uplatnění při řešení mnoha konkrétních úloh. Zajímavý úvod a ukázky lze najít např. v[Š]. (4) V předchozím jsme diskutovali analytický popis trojúhelníku, resp. obecného simplexu, jakožto konvexního obalu několika bodů v obecné poloze. Každý trojúhelník je polovinou nějakého rovnoběžníku; každý simplex je částí nějakého rovnoběžnostěnu. Vzhledem k tomu, že se s těmito objekty budeme ještě potýkat, doplníme také jejich analytický popis. 42 II Afinní geometrie Rovnoběžník je konvexní množina, můžeme jej tedy chápat jako konvexní obal jeho čtyř vrcholů a odkázat se na předchozí popis. Každý rovnoběžník je však určen svými třemi vrcholy, resp. jedním vrcholem a dvěma vektory. V rovnoběžníku ABCD totiž platí Áň = DC, ekvivalentně, BČ = AŮ. Např. vrchol D může být určen takto: D = B + b1 + B^ = A + bÍ = C + bÁ=---, resp. „D = A-B + C". Odtud je vidno, že rovnoběžník ABCD je právě částí roviny ABC, jež může být popsána takto: rovnoběžník ABCD = {B + sbX + rBC~ \ s,r e [0,1]} = {„tAA + tBB + tcC " | t a + tB + tc = 1 a t a, tc > 0 a \tB\ < 1}. (Eě> Zobecnění tohoto popisu pro obecný rovnoběžnostěn necháváme čtenáři jako snadné cvičení... Obrázek 7.27: Rovnoběžník je určen bodem a dvěma vektory. 7.5 Cvičení (1) V afinním prostoru R3 jsou dány body A =[1,1,0], B= [4,1,3], C= [1,0,1], D= [0,-1,1], E= [3,0,0]. Rozhodněte, zda: • jsou bodu D a E oddělovány nadrovinou p = ABC, • úsečky AB a CD mají nějaký společný bod. (2) Rozhodněte, zda body A, B, C, D tvoří vrcholy rovnoběžníku. (3) Dokažte, že body A,B,D,E jsou v obecné poloze, a: • určete barycentrické souřadnice bodu C vzhledem k této čtveřici bodů, • rozhodněte, zda bod C patří do konvexního obalu bodů A, B, resp. A, B, D, resp. A,B,D,E, • určete afinní souřadnice těžiště čtyřstěnu ABDE, • určete souřadnice zbylých vrcholů a těžiště nějakého rovnoběžnostěnu, jehož čtyři vrcholy jsou A, B, C, E, • rozhodněte, zda bod D leží uvnitř tohoto rovnoběžnostěnu. (4) Rozhodněte, zda podmnožiny ze cvičení 4.4 jsou konvexní; pokud nejsou, popište jejich konvexní obaly. 7 Uspořádání na přímce, konvexní množiny, barycentrické souřadnice a další 43 (5) K obrázku 7.21: Rozhodněte, zda obrys rohlíku může být obrazem kružnice vzhledem k nějakému afinnímu zobrazení. (6) Na obrázku 7.28 jsou stopy stojící osoby a vyznačený bod, který je průmětem těžiště osoby ve směru výslednice všech sil, které na ni působí. Rozhodněte, zda je tato osoba bez jakékoli další opory stabilní. Obrázek 7.28: Stopy (7) K obrázku 7.26: • sestrojte bod „\x\ + \x2 + \x3 + \x^ " a uvědomte si, že určování těžiště bodové hmotné soustavy je asociativní, • sestrojte těžiště čtyřúhelníku a rozhodněte, zda tento úkol náhodou nepatří do jiné kapitoly, • udejte příklad čtyřúhelníku, jehož těžiště splývá/nesplývá s bodem „\x\ + \x2 + + \x^ ". (8) Připusťme na chvíli trojúhelník ABC v eukleidovské rovině: Vyjádřete střed kružnice vepsané jakožto těžiště hmotné soustavy s hmotnostmi soustředěnými ve vrcholech A, B, C. (9) Pomocí vektorové algebry dokažte nějaké tvrzení elementární afinní geometrie (jako např. Menelaovu větu). 44 II Afinní geometrie KAPITOLA 11 I Eukleidovská geometrie Algebraické vymezení eukleidovského prostoru je následující: je to afinní prostor s eukleidovskou metrikou, což je metrika kompatibilní s afinní strukturou. Eukleidovská metrika je určena skalárním součinem na zaměření. Pomocí skalárního součinu se definuje velikost vektoru — odtud velikost úsečky neboli vzdálenost dvou bodů. Dále pak kolmost a odchylka dvou vektorů — odtud velikost úhlu. Pojem kolmosti, vzdálenosti a odchylky poté přirozeně rozšíříme na libovolné podprostory v obecném eukleidovském prostoru. Geometrická charakterizace dvojic bodů (resp. vektorů), v nichž se vzdálenost (resp. odchylka) realizuje, zobecňuje naše poznatky z konstrukční geometrie a je založena na kolmosti, resp. kolmém průmětu. Celá kapitola končí diskuzí nad obsahy rovnoběžníků, resp. objemy obecných rovnoběžnostěnů. 8 Eukleidovské prostory a relevantní zobrazení 8.1 Úvod a základní definice V eukleidovské geometrii dominuje — vedle rovnobežnosti — pojem shodnosti. Chceme tedy analyticky interpretovat shodnost, což v prvé řadě znamená shodnost úseček a úhlů. Vzhledem k tomu, s jakou oblibou používáme reálná čísla, budeme přiřazovat úsečkám a úhlům jejich velikosti a prohlásíme, že „úsečky, resp. úhly jsou shodné, pokud mají stejnou velikost." Je jasné, že ne každá funkce, která úsečkám přiřazuje jejich velikosti, určuje shodnost jak ji chápeme v eukleidovském prostoru. Přirozené požadavky jsou: (a) \AB\ > 0, (b) \AB\ = 0 <^ A = B, (c) \AB\ = \BA\, (d) \AC\ < \AB\ + \BC\, 46 III Eukleidovská geometrie kde A,B,C jsou libovolné body a \AB\ značí velikost úsečky AB, neboli vzdálenost bodů A a B. Požadavky (a)-(d) jsou právě axiómy obecného metrického prostoru; každý eukleidovský prostor je tudíž metrickým prostorem. Tyto předpoklady však určitě nestačí — bylo by např. velmi podivné, kdyby protilehlé strany v rovnoběžníku měly mít jinou velikost. Jinými slovy, aby metrický prostor byl eukleidovským prostorem, musí být metrika kompatibilní s rovnobežností, tj. s afinní strukturou: (e) AŘ = CĎ => \AB\ = \CD\. Eukleidovská metrika v afinním prostoru A tedy musí být určena nějakou funkcí na zaměření ~Ä* = V, která vektorům přiřazuje jejich velikost. Velikost úsečky \AB\ je potom určena velikostí odpovídajícího vektoru Takto se pomalu dostáváme k pojmu skalárního součinu... Skalární součin Standardní skalární součin ve vektorovém prostoru V = Rn přiřazuje dvěma vektorům u = (ui, u2, ■ ■ ■) a v = (vi, v2, ■ ■ ■) reálné číslo u . v = uivi + u2v2 + .... (8.1) Standardní báze ei = (1,0,...), e2 = (0,l,...), ... je ortonormální, což znamená, že tyto vektory jsou navzájem kolmé a mají velikost 1. To je v řeči (8.1) ekvivalentní tomu, že ei.e; = í°' P°kud^'< (8.2) 11, pokud i = j. Velikost obecného vektoru u = (ui, u2,...) je rovna ||u|| := Vu.u= ^Ju\ + ul + .... (8.3) Za vší touto algebraizací samozřejmě vidíme základní poznatky elementární eukleidovské geometrie jako např. charakterizaci podobnosti trojúhelníků, Pythagorovu větu apod.1 (viz obr. 8.1). Jako obvykle, pro další vyvozování je mnohem podstatnější, jaké jsou vlastnosti přiřazení (8.1), než tento konkrétní předpis. Tyto vlastnosti jsou: (a) u . v = v . u, (b) (u + v). w = u . w + v . w, (c) (ru) . v = r(u . v), (d) u^o ^> u . u > 0, kde u, v, w e V jsou libovolné vektory a r e M je libovolné reálné číslo. Dosavadní pozorování vedou k definici obecného skalárního součinu v obecném vektorovém prostoru: xViz 1.47, VI.4-5 apod. v [Eu]. 8 Eukleidovské prostory a relevantní zobrazení 47 \ 2 Obrázek 8.1: Vektory u = (ui, u2) a v = («1,^2) jsou kolmé ^=4> tga = ^ = — ^ = — tg/3 ^=^> uivi + u2v2 = 0. Velikost vektoru u = (ui,u2) je rovna + u\. Definice. Skalární součin na vektorovém prostoru V je symetrická (a), bilineární (a)-(c), pozitivně definitní (d) forma V x V —>• R. Vektory u a v jsou kolmé, pokud u . v = 0; značíme ulv. Velikost vektoru u je reálné číslo ||u|| := y/u . u. Báze vektorového prostoru je ortonormální, pokud jsou bázové vektory navzájem kolmé a všechny mají velikost rovnu 1. Skalárnímu součinu se často přezdívá vnitřní součin, a to zejména v cizojazyčné literatuře. Všude v následujícím předpokládáme, že vektorový prostor V je vybaven skalárním součinem. Standardní báze V = Rn je vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu (8.1) ortonormální. Naopak, z bilinearity obecného skalárního součinu plyne, že: Souřadnicové vyjádření jakéhokoli skalárního součinu vzhledem k libovolné ortonormální bázi má tvar (8.1). Skalární součin na V je tedy jednoznačně určen tím, že nějakou bázi V prohlásíme za ortonormální. Základní nerovnosti Nejzákladnější nerovnost je ukryta v definující vlastnosti pozitivní definitnosti (d). Díky této vlastnosti má každý vektor dobře definovánu velikost (tzn. číslo pod odmocninou není nikdy záporné). Ačkoli je to více než zřejmé, pro jistotou připomínáme, že ||u|| > 0, přičemž rovnost platí, právě když u = o. Z lineární algebry si pamatujeme několik užitečných nerovností. Nejprve tzv. Cauchyova-Schwarzova nerovnost, |u.v|<||u||.||v||, (8.4) odkud se vyvozuje tzv. trojúhelníková nerovnost, ||u + v|| < ||u|| + ||v||. (8.5) Přitom v obou případech platí rovnost právě tehdy, když vektory u a v jsou lineárně závislé. 48 III Eukleidovská geometrie Obecná definice eukleidovského prostoru Vektorový prostor se skalárním součinem se obvykle nazývá eukleidovský vektorový prostor. Pokud mluvíme jenom o eukleidovském prostoru, máme na mysli eukleidovský bodový (afinní) prostor: Definice. Eukleidovský prostor je afinní prostor £ se skalárním součinem na zaměření V = Velikost úsečky AB c £ je definována jako velikost odpovídajícího vektoru AB e £; značíme \AB\ := \\AĚ\\. (8.6) Odtud a z definujících vlastností skalárního součinu plyne, že jsou splněny všechny axiómy (a)-(e) obecného metrického prostoru vyjmenované na str. 45. Axióm (d) zřejmě odkazuje na (Eě> nerovnost (8.5), přičemž platí: \AC\ = \AB\ + \BC\ ^> bod B je mezi A a C. (8.7) Velikost úsečky \AB\ určuje vzdálenost bodů v(A, B). Tento pojem budeme dále zobecňovat pro obecné podmnožiny a podprostory eukleidovského prostoru, viz odst. 10.1. Dalšími objekty, které jsme zvyklí v eukleidovských prostorech měřit, jsou úhly. Úhel je definován jako průnik dvou polorovin (viz odst. 7.2). Je-li bod A vrcholem úhlu a body B a, C jsou libovolné body, z nichž každý leží na jedné hraniční polopřímce (a žádný nesplývá s A), pak velikostí úhlu rozumíme odchylku vektorů AB a AÓ; značíme Uvědomte si, že definice nezávisí na volbě ortonormální báze! Ze základních vlastností determinantu vyplývá, že vnější součin je antisymetrická multilineární forma V x ... x V kde počet argumentů je právě n = dim V. Další algebraickou operací, která úzce souvisí s obsahy rovnoběžníků (resp. s objemy obecných rovnoběžnostěnů), je tzv. vektorový součin. V trojrozměrném eukleidovském prostoru se jedná o zobrazení V xV ^V, které dvojici vektorů (u, v) přiřazuje vektor, jenž značíme u x v. Vektorový součin lineárně závislých vektorů je o; pro lineárně nezávislé vektory je zcela určen následujícími vlastnostmi: (a) vektor u x v je kolmý jak k u, tak k v, (b) trojice vektorů (u, v, u x v) tvoří kladnou bázi, (c) velikost ||u x v|| je rovna obsahu rovnoběžníku určeného vektory u a v. Odtud plyne několik dalších více či méně známých vlastností jako např. v x u = —u x v. Obecná definice, souřadnicové vyjádření a popis všech vlastností a souvislostí vyžadují poněkud větší prostor. Proto se tématu věnujeme ještě v samostatné podkap. 11... 8 Eukleidovské prostory a relevantní zobrazení 51 Obrázek 8.4: Vektorový součin u x v dvojice vektorů (u,v). Poznámky Skalární součin na vektorovém prostoru V kanonicky ztotožňuje V s jeho duálním prostorem V*, což je vektorový prostor všech lineárních zobrazení V —>• R. Toto ztotožnění vypadá tak, že vektoru v e V" odpovídá forma v : V —>• R taková, že u(x):=v.x (8.12) pro libovolný x e V. Konkrétně — vzhledem k nějaké ortonormální bázi — vektoru v = (a1; a2, ■ ■ ■) odpovídá lineární forma -u(x) = CL\X\ + &22ľ2 + • • • , kde x = (xi, x2, ■ ■ ■) G V lib. Tento jednoduchý poznatek se používá při rovnicovém vyjadřování podprostorů a jejich kolmých doplňků... 8.2 Shodná, podobná a ekviafinní zobrazení Tady shromažďujeme základní geometrické poznatky a ekvivalentní algebraická vymezení pro hlavní typy zobrazení mezi eukleidovskými prostory. Všechna tato zobrazení jsou zejména afinní, takže navazujeme na odst. 4.5. Ke všem zmiňovaným zobrazením se ještě budeme vracet v kapitole V. Shodná Shodné zobrazení je takové zobrazení, které zobrazuje „shodné věci na shodné". Shodnými věcmi primárně myslíme shodné úsečky a úhly, přičemž shodnost úhlů je zaručena shodností úseček (viz předchozí rozbor nebo větu SSS). Shodnost úseček charakterizujeme pomocí jejich velikostí, tudíž Obrázek 8.5: [Eui] Trojúhelníky jsou shodné, právě když se shodují ve všech stranách, shodné zobrazení je takové zobrazení, které zachovává eukleidovskou metriku: 52 III Eukleidovská geometrie Definice. Zobrazení mezi eukleidovskými prostory / : £ —>• £' se nazývá shodné, pokud pro libovolné body A,Be£ platí \f(A)f(B)\ = \AB\. Bijektivní shodné zobrazení se jmenuje shodnost. Velikost úsečky je definována jako velikost odpovídajícího vektoru a ta je odvozena ze skalárního součinu. Zřejmě tedy pokud je / takové afinní zobrazení, že indukované lineární zobrazení 7 zachovává skalární součin, pak / je nutně shodné. Platí také opačné tvrzení, takže předchozí definici můžeme vyslovit následovně: Definice (ekvivalentní). Zobrazení mezi eukleidovskými prostory / : £ —>• £' je shodné, pokud / je afinní a indukované lineární zobrazení zachovává skalární součin, tzn. pro libovolné u,v e ~Ě platí ?(u).7(v) = u.v. Dovysvětlení. Předpokládejme, že / zachovává vzdálenosti bodů a uvažme libovolnou trojici kolineárních bodů, kde B je mezi body A a C. Tato vlastnost je charakterizována rovností |j4C| = \AB\ + \BC\. Abychom se neupsali, budeme značit obrazy jednotlivých bodů f {A) =: A' apod. Podle našeho předpokladu můžeme doplnit \AC\ = \AB\ + \BC\ = \A'B'\ + \B'C'\ = \A'C'\, odkud přímo vyplývá, že: • bod B' je mezi body A' a C, tzn. / zobrazuje kolineární body na kolineární body, • dělicí poměr trojice (A, B, C) je stejný jako dělicí poměr trojice (A', B', C). To znamená, že / je afinní zobrazení a z předpokladu nyní plyne, že indukované lineární zobrazení 7 zachovává velikosti vektorů. Rádi bychom ukázali, že odtud také plyne, že 7 zachovává skalární součin. K tomu stačí umět vyjádřit jakýkoli skalární součin u. v pomocí velikostí vektorů: stejně jako v předchozím odstavci, rozepsáním a úpravou ||u + v||2 snadno odvodíme u.v=i(||u + v||2-||u||2-||v||2), což jsme chtěli ukázat. □ Podobná Dalším fundamentálním pojmem eukleidovské geometrie je podobnost, které je věnována celá VI. kniha v [Eu]. Trojúhelníky jsou podobné, pokud mají po dvou shodné vnitřní úhly a, ekvivalentně, poměr velikostí odpovídajících stran je konstantní; tento poměr se nazývá koeficient podobnosti. Shodné trojúhelníky jsou tedy podobné s koeficientem 1. Ačkoli se to nezdá, právě existence podobných a neshodných trojúhelníků je jednou z klíčových vlastností eukleidovských prostorů. Obecné podobné zobrazení je takové zobrazení, které zachovává eukleidovskou metriku až na nějaký konstantní nenulový násobek: 8 Eukleidovské prostory a relevantní zobrazení 53 A Obrázek 8.6: [Eui] Trojúhelníky jsou podobné, právě když mají po dvou shodné vnitřní úhly, což je ekvivalentní s tím, že strany u shodných úhlů jsou úměrné. Definice. Zobrazení mezi eukleidovskými prostory / : £ —>• £' se nazývá podobné, pokud pro libovolné body A, B e £ platí \f(A)f(B)\ = k-\AB\, kde k > 0 je tzv. koeficient podobného zobrazení /. Bijektivní podobné zobrazení se jmenuje podobnost. Z předchozí algebraické charakterizace shodných zobrazení můžeme bez problémů domyslet charakterizaci zobrazení podobných: •£' je podobné zobrazení s koeficientem k, pokud / je afinní a indukované lineární zobrazení zachovává skalární součin až na násobek k2, tzn. pro libovolné u, v e ~Ě platí 7(ú).7(v) = k2u.v. Podobná zobrazení s koeficientem 1 jsou shodná. Ekviafinní Dalším studovaným typem zobrazení mezi eukleidovskými prostory jsou tzv. ekviafinní zobrazení, což jsou afinní zobrazení zachovávající obsahy, resp. objemy. Primárně máme na mysli rovnoběžníky, rovnoběžnostěny apod., ale odvozeně platí pro cokoli měřitelného. Několik elementárních poznatků týkajících se obsahů rovnoběžníků jsme připomněli na str. 49, viz též obr. 8.7. Abychom si usnadnili vyjadřování, budeme v obecných formulacích mluvit o objemech k-rozměrných rovnoběžnostěnů: pro k = 2 se jedná o obsah rovnoběžníku a pro k = 1 o délku úsečky. Je zřejmé, že každé afinní zobrazení zobrazuje libovolný rovnoběžnostěn opět na rovnoběžnostěn. .. 54 III Eukleidovská geometrie K R A ■D Obrázek 8.7: [Eui] Rovnoběžníky (resp. rovnoběžnostěny) se stejnou základnou a stejnou výškou mají stejný obsah (resp. objem). Definice. Afinní zobrazení mezi eukleidovskými prostory /:£—>•£' se nazývá ekviafinní, pokud libovolný n-rozměrný rovnoběžnostěn, kde n = dimf, se zobrazuje na rovnoběžnostěn se stejným objemem. Bijektivní ekviafinní zobrazení se jmenuje ekviafinita. (Eě> Uvědomte si, že z předpokladu afinnosti vyplývá, že pokud se jeden rovnoběžnostěn zobrazí na rovnoběžnostěn se stejným objemem, potom totéž platí pro kterýkoli jiný! Vzhledem k pozorováním okolo definice na str. 50 můžeme předjímat následující ekvivalentní algebraické vymezení: Definice (ekvivalentní). Zobrazení mezi eukleidovskými prostory /:£—>•£' je ekviafinní, pokud / je afinní a indukované lineární zobrazení zachovává vnější součin až na znaménko. Z výše uvedeného rozumíme ekvivalentnosti této definice zatím jen pro zobrazení v eukleidov-(Eě> ské rovině. Ekvivalentnost v obecném případě plyne ze závěrů odst. 11.3. Pokud jsou prostory £ a £' různé, potom uvažujeme vnější součiny na £ a na jeho obraze f(£) C £' (viz též poznámky (1) Připomeňte si z algebry důkaz Cauchyovy-Schwarzovy nerovnosti (8.4). (2) Ukažte, že níže uvedená zobrazení V x V —>• R definují skalární součin a najděte nějakou ortonormální bázi V. • Na vektorovém prostoru V všech symetrických (resp. antisymetrických) čtvercových matic řádu n: na str. 101). 8.3 Cvičení A. B :=tr(A- B).5 6Symbol tr značí stopu matice, tj. součet čísel na hlavní diagonále. 9 Kolmost a kolmý průmět vektoru 55 • Na vektorovém prostoru V = Rn[x] všech polynomů v proměnné x stupně nejvýše n: 54 f.g:= J f(x)-g(x)dx6 -54 (3) Osvěžte si důkazy některých klasických tvrzení eukleidovské geometrie, které jsme připomínali v předchozím textu. (4) Pomocí vektorové algebry dokažte nějaké klasické tvrzení, které jsme nepřipomínali (např. Thaletovu větu a větu opačnou). (5) Připomeňte si základní shodná, podobná a ekviafinní zobrazení a těšte se na kapitolu V. 9 Kolmost a kolmý průmět vektoru 9.1 Kolmost Pomocí skalárního součinu jsme definovali kolmost dvou vektorů. Odtud je jasné, jak rozpoznat kolmost dvou přímek v libovolném eukleidovském prostoru. K dalšímu zobecňování pojmu kolmosti by nás měly navádět elementární definice, které jsme připomněli v odst. 1.1. Přímka je kolmá k rovině, pokud je směr přímky kolmý ke všem vektorům roviny (ekvivalentně, ke dvěma nezávislým vektorům). Dvě roviny jsou kolmé, pokud je normála jedné roviny obsažena ve druhé rovině (viz obr. 9.8). Zejména si všimněte, že pro určení kolmosti pracujeme výhradně se směry, mentárnosti podprostoru a jeho kolmého doplňku. Pro libovolné podprostory U\ a U2 v eukleidovském vektorovém prostoru V = ~Ě platí: . (ut)1- = Ult • [Ui + u?)1- = n uš-, • [Ui n U2)1- = ut + uš-, 9 Kolmost a kolmý průmět vektoru 57 Odtud konečně vidíme, že výše uvedená definice kolmosti je skutečně symetrická: B _L C <^> (Ě C "^~L nebo ~é 2 Č^) ^ 2 ^ nebo £^ C ~t) ^ C ± B. 9.2 Poznámky, speciální a podivné případy (1) Uvědomte si, že díky identifikaci V = V* v (8.12) můžeme každou lineární rovnici s neznámými (xi, x2, ■ ■ ■) = x psát jako v . x = c, kde i-tá, souřadnice vektoru v je právě koeficient u neznámé Xj. Kolmý doplněk podprostoru U = (ui, u2,...) má rovnicové vyjádření U1- = {x e V | ui . x = 0, u2 . x = 0, ... } a opačně... (2) Ačkoli je naše definice kolmosti celkem přirozená, zahrnuje několik zvláštností, které nemusí být na první pohled patrné. Tak např. z {o}-1 = £ plyne, že jakýkoli podprostor B C £ je kolmý ke všem triviálním podprostorům v £ (to jsou právě body a celý £). Toto je jen speciální a docela degenerovaný případ kolmosti, který nás příliš nezajímá. Poněkud podivnějším se může zdát následující postřeh. (3) Kolmost je definována pomocí kolmých doplňků. Kolmý doplněk k je určen nejen podprostorem ~S, ale dost podstatně také okolním prostorem ~Ě. Pokud uvažujeme podprostory B,C v £, které ve leží v nějakém meziprostoru T c £, může se klidně stát, že B a C jsou kolmé t) Jeř, ale nemusí být kolmé v £! Uvědomte si, že tento fenomén lze pozorovat pouze v případě, kdy B & C mají netriviální průnik, a najděte vhodný příklad. Z uvedeného je jasné, proč jsme si této zvláštnosti zatím asi 0, tudíž \BY\ > \BC\ a vzdálenost \BC\ je nejmenší možná. Naopak, pokud by C e C byl takový bod, že vektor B Č by nebyl kolmý k C, potom pro skutečnou „patu kolmice" C by podle předchozího odstavce platilo \BC\ > \BC'\ a vzdálenost \BC\ by tak nebyla nejmenší možná. □ v(B,C) = \BC\, 10 Vzdálenosti a odchylky podprostorů 61 Vzdálenost obecně Věta. Pro libovolné podprostory B a C v eukleidovském prostoru £ platí: (1) Vzdálenost podprostorů B a C je rovna vzdálenosti bodů B e B a C e C právě tehdy, když vektor BÓ je kolmý k B a současně k C. (2) Navíc dvojice B aC z předchozího vyjádření je určena jednoznačně právě tehdy, když podprostory B a C nemají žádné společné směry. Důkaz. Podprostory mají nulovou vzdálenost, právě když mají neprázdný průnik. V tomto případě je zdůvodnění obou částí věty obzvlášť jednoduché... Dokážeme, že věta platí také v pří- \bc\ (viz obr. 10.12). Nejprve doplníme pomocný bod z tak, aby bcyz byl rovnoběžník, tj. tak, aby zy = bÔ. Podle předpokladu je b Ô _L C, tudíž bcyz je pravoúhelník; zejména platí zy _L zÍ. Podle předpokladu taky platí b(í ±B, tudíž £?ľľ = zy _L bx. Dohromady dostáváme, že zy _L z~b + M = 'zx. To znamená, že trojúhelník xzy je pravoúhlý. Z Pythagorovy věty vzhledem k tomuto trojúhelníku plyne \xy\ > \zy\ = \bc\, což znamená, že v(B,C) = \bc\. (2) Předpokládejme, že v(B, C) = \bc\ a že B a C mají nějaký společný směr. Ozn. u e libovolný nenulový společný vektor a uvažme body b' = b + ueBa,c' = c + ueC. Protože u ^ o, je bb'cc rovnoběžník a tudíž platí \b'c'\ = \bc\ = v(B, C). Naopak, předpokládejme, že b, b' e B, resp. C, C" e C jsou navzájem různé dvojice bodů takové, že v(B, C) = \bc\ = \b'c'\. Potom podle předchozí části věty jsou vektory b Ó 62 III Eukleidovská geometrie -> a B'C kolmé jak k B, tak k C. To znamená, že BB'CC je pravoúhelník. Odtud zejména plyne, že BB' = CC, což je evidentně (nenulový) společný vektor z V případech s nulovou vzdáleností se minimum realizuje v jakémkoli společném bodě B = C podprostorů a vektor B Ô = o je zřejmě kolmý ke všemu. V případech s nenulovou vzdáleností je BC úsečka a je to nejkratší možná příčka podprostorů B a C. Každou takovou příčku nazýváme osou B a C. Osa je jediná, právě když průnik obsahuje pouze nulový vektor. Obecně jsou všechny osy parametrizovány právě prvky tohoto průniku, tedy společnými vektory obou podprostorů. 10.2 Jak určit vzdálenost podprostorů? Vzdálenost bodu od podprostorů Jistý návod v případě, že jeden z podprostorů je bod, jsme představili výše. Pro porovnání rychle zopakujeme, předp. B = b: (1) Určíme totálně kolmý podprostor JC = b + ~č-1, určíme průsečík c = c n JC, vyjádříme \bc\ a podtrhneme v(b,c) = \bc\. Při určování bodu C řešíme průnik dvou komplementárních podprostorů v £, což může představovat zbytečně velkou soustavu rovnic. Početně výhodnější je zpravidla následující postup, který navíc budeme schopni okamžitě zobecnit pro libovolné podprostory B, C c £. Ignorujeme doplňkový podprostor JC a hledáme přímo patu kolmice, tj. bod C: (2) Pata C kolmice je charakterizována dvěma vlastnostmi: (a) CeC, (b) b<5 e Předpokládejme, že c je zadán parametricky c = y+(ui, u2,...) a vektory (uj) jsou lineárně nezávislé. Potom předchozí dvě podmínky jsou ekvivalentní s: (a') c = y + aiUi + a2u2 + ..., pro nějaká e R, (b') Šč5-Lui, Šč5-Lu2, .... Nyní b ô = by + a±u± + a2u2 + .... Vyjádříme-li b ô _L pomocí skalárního součinu, je (b') ekvivalentní se soustavou lineárních rovnic: aiUi . Ui + a2u2 . ui + .. . = yÍ . u±, aiUi . u2 + a2u2 . u2 + .. . = yí . u2, Jedná se o soustavu, jež má právě tolik rovnic jako neznámých, a těch je právě tolik, kolik je dimenze ~8. Řešení je určeno jednoznačně, po dosazení do (a') dostáváme hledanou patu kolmice C a zbytek je jasný. Není náhodou, že nám tento popis něco připomíná. Ve skutečnosti nejde o nic jiného než o výpočet kolmé projekce u vektoru v = y b do podprostorů u = ~č a následné dosazení c = y + u, viz obr. 10.11, příp. 10.12. 10 Vzdálenosti a odchylky podprostorů 63 Vzdálenost bodu od nadroviny Ve speciálním případě, kdy C je nadrovinou v £ můžeme pozorovat zajímavé zjednodušení, které se hodí zejména v případě, kdy C je dána rovnicí C = {X e £ I YX . n = 0}, kde Y je nějaký (libovolný) bod v C a n je normálový vektor. Nesoustředíme se na průmět u e ~í, ale raději na průmět w e ~í = (n). Podle (9.14) víme, že tento průmět je YÉ . n n. n (10.16) Odtud umíme vyjádřit patu kolmice C = B — w. Vzdálenost je rovna velikosti vektoru w: |Y\B.n| v(B,C) = (10.17) (V různých učebnicích bývá tato rovnost formulována různými způsoby — porovnejte všechna v = 0 a d = m, • různoběžné ^=^> v = 0 a d < m, • rovnoběžné různé ^=^> a d = m, • mimoběžné ^=4> a d < m. Celkem tedy vidíme, že vzájemnou polohu a vzdálenost podprostorů lze určit současně z jednoho počítání. ..., což je právě dimenze 10 Vzdálenosti a odchylky podprostorů 65 Vzdálenost alternativně V podkap. 11 se budeme zabývat obsahy a objemy, a to zejména rovnoběžníků a rovnoběžnostěnů. Objem rovnoběžnostěnu je roven obsahu základny násobenému velikostí výšky. Odtud je možné vyjádřit výšku rovnoběžnostěnu, která často reprezentuje vzdálenost nějakých podprostorů, viz motivační obr. 10.14. Vtip je v tom, že tento postřeh lze zobecnit pro libovolné podprostory v libovolném eukleidovském prostoru. Tímto způsobem pak budeme umět vyjadřovat vzdálenosti, aniž bychom řešili jakoukoli soustavu rovnic, viz větu na str. 11.4 na str. 79. Obrázek 10.14: Velikost výšky naznačeného rovnoběžnostěnu je rovna vzdálenosti bodu B od roviny C = C + (vi, v2). Uvědomte si, že takto nikdy neurčíme dvojici bodů, v nichž se vzdálenost realizuje, natož pak vzájemnou polohu podprostorů... Odchylka dvou nenulových vektorů je definována rovností (8.10), příp. (8.9). Podobně jako u kolmosti, odchylka dvou afinních podprostorů je zcela určena jejich zaměřeními. Pokud mají zaměření triviální průnik, pak je definice jasná — stačí uvažovat minimum ze všech možných odchylek mezi vektory, z nichž jeden patří do jednoho a druhý do druhého podprostorů. V opačném případě by tato definice automaticky dávala 0, což jistě nekoresponduje s našimi představami o odchylce. Modelový příklad tohoto typu představují dvě roviny jako na obr. 10.15 — odchylka rovin je odchylkou přímek, z nichž každá je obsažena v jedné z daných rovin a obě mají tu vlastnost, že jsou kolmé k průniku rovin. V případě, kdy zaměření mají netriviální průnik, musíme navíc rozlišovat případ, kdy jeden podprostor je obsažen ve druhém — v tomto případě je odchylka rovna 0 (skutečně musíme deklarovat samostatně, neboť předchozí konstrukce je v této situaci jaksi degenerovaná). Definice. Odchylka netriviálních afinních podprostorů B & C v eukleidovském prostoru £ je Přitom odchylka netriviálních vektorových podprostorů B & c v záměrem je definována následovně: 10.4 Odchylky <(B,C) :=<(É,~Č). 66 III Eukleidovská geometrie (a) pokud = {o}, pak := min{<(u, v) | u G (b) pokud , pak <(É,t) :=0, (c) pokud r^C^a^nčV {o}, pak <(É,t) :=<(É',~Č'), kde resp. ~Č' jsou podprostory obsažené v ~Š, resp. ~S, jež jsou kolmé k průniku ~Š n ~Č, tj. ~Š' = B n n t)1- a ^' = ~Č n n . Uvědomte si, že v případě (c) se odkazujeme na definici podle (a), což je v naprostém pořádku, (EE> neboť podprostory mají vždy triviální průnik (a současně jsou oba netriviální)... Obrázek 10.15: K definici odchylky B a C: (a) odchylka je minimem ze všech možných odchylek, (b) odchylka je 0, (c) odchylka je odchylkou menších podprostorů ť a íf', jež jsou kolmé k průniku. Odchylka dvou přímek Jsou-li oba podprostory přímky se zaměřeními b =(u)a^=(v), pak je podle definicí jasné, že n \ lu-vl <(o, c) = arccos -—-—-—-. I|u|| • ||v|| Pravá strana rovnosti skutečně nezávisí na výběru směrových vektorů a absolutní hodnota v čitateli zaručuje, že ze dvou možných odchylek vybíráme právě tu menší (cos a > 0 ^=4> a < -|). 10 Vzdálenosti a odchylky podprostorů 67 Obrázek 10.16: Odchylka přímek. Odchylka přímky od podprostorů Pokud není přímka kolmá k podprostorů, pak zdravý názor velí přímku kolmo promítnout do podprostorů a měřit odchylku těchto dvou přímek. Následující věta ukazuje, že tento nápad je platný v libovolném eukleidovském prostoru: Věta. Pro libovolnou přímku b a libovolný podprostor C v eukleidovském prostoru £ platí: (1) pokud b ±C, potom <(b,C) = |, (2) pokud b JĹC, potom <(b,C) = <(u, uc), kde u e b je libovolný směr přímky ou^e^ je jeho kolmý průmět do ~8. Důkaz. První případ je jasný. Druhý případ zahrnuje také možnost b || C, tj. b C ~Č, kdy podle definice vychází <(b,C) = 0: kolmý průmět v tomto případě je uc = u, tedy <(u, uc) = 0 a rovnost platí. Uvažme generický případ, kdy b JĹ C a b \j(C: Pro libovolný vektor ve označíme a = <(u, uc), a' = <(u, v). Chceme dokázat, že a < a' nebo ekvivalentně cos a > cos a'. Nejprve si všimneme klíčového předpokladu, tj. (u — uc) _L 7?, což v důsledku znamená, že u. v = uc ■ v. Odtud a z Cauchyovy-Schwarzovy nerovnosti (8.4) dostáváme: , u. v ue -v ||uc|| • ||v|| ||uc|| cos a =........=........< ........ = -n—ÍT = cos a- D l|u||-||v|| ||u||-||v|| ||u||-||v|| ||u|| Uvědomte si, že z uvedeného také přímo vyplývá, že <(6,C) + <(6,C-L) = |. Tento postřeh lze dál zobecňovat pro obecnější situace, viz následující odstavce. Odchylka přímky od nadroviny Jak už jsme zvyklí, když je C nadrovinou, pozorujeme jistá zjednodušení: Z poslední poznámky a známého faktu cos(-| — a) = srna odvozujeme <(b, C) = arcsin „ ' ^ „, (10.19) u • c 68 III Eukleidovská geometrie b Obrázek 10.17: Odchylka přímky a obecného podprostoru. kde c e Č značí normálu nadroviny (a u e b směr přímky stejně jako výše). Obrázek 10.18: Odchylka přímky a nadroviny: cos/3 = cos(^ — a) = siná. Odchylka dvou nadrovin Jsou-li oba podprostory nadrovinami s normálovými vektory bac, pak ve všech případech, které si umíme představit platí <(B,C) = <«b>, torem v, což pochopitelně přeskakujeme. Uvědomte si, že tvrzení (3) skutečně platí i v případě, kdy B _L C. □ 10.5 Důležité poznámky Tím diskuzi o odchylkách končíme, což však neznamená, že jsme téma zcela vyčerpali. Na závěr znovu upozorňujeme na zvláštní fenomén, který v obecných eukleidovských prostorech musíme mít na zřeteli: Odchylka f není totéž co kolmost! Pokud mají zaměření podprostorů triviální průnik, pak to totéž je; v opačném případě můžeme nanejvýš říct, že B±C <(B,C) = |. Opačná implikace obecně neplatí — nejmenší protipříklad lze vymyslet v prostoru dimenze 4, (kě> viz odst. 9.2 pro nápovědu... 11 Obsahy, objemy a další 71 Obrázek 10.20: K obecné diskuzi o odchylce... 10.6 Cvičení (1) Pro všechny možné dvojice podprostorů z předchozích cvičení určete jejich vzdálenosti a odchylky. (2) Neopomeňte zejména podprostory ze cvičení 6.5(1) a zamyslete se znovu nad jejich vzájemnou polohou. (3) Pro nějaké jednoduché, ale netriviální, případy zkuste určit jejich vzdálenost a odchylku podle definice. (4) Ve vhodném eukleidovském prostoru udejte příklad dvou nadrovin, které mají vzdálenost 2. (5) Ve vhodném eukleidovském prostoru udejte příklad dvou podprostorů, které mají odchylku § a přitom nejsou kolmé. 11 Obsahy, objemy a další Základní poznatky o obsazích rovnoběžníků a objemech rovnoběžnostěnů jsme si zopakovali na str. 49. V celé této podkapitole bereme tyto poznatky jako výchozí. Nejprve zformulujeme obecnou definici objemu (fc-rozměrného) rovnoběžnostěnu. Následně se budeme zamýšlet nad tím, jak takové objemy efektivně počítat. Jak jsme už dříve ukázali, k tomu se bude báječně hodit determinant v různých podobách, viz pojem vnějšího součinu, Gramová determinantu, ale též vektorového součinu... 11.1 Obecná definice fc-rozměrný rovnoběžnostěn je určen jedním vrcholem a fc-ticí lineárně nezávislých vektorů. Objem rovnoběžnostěnu určeného vektory vi, v2,... v obecném eukleidovském prostoru £ budeme značit V(vi, v2,... Nejjednodušší případy jsou tyto: • jsou-li určující vektory ortonormální, pak se jedná o krychli a V(vi, v2,...) = 1, 11 Pro jednoduchost mluvíme v obecných formulacích pouze o rovnoběžnostěnech, přičemž máme na mysli, že 2-rozměrný rovnoběžnostěn je rovnoběžník, 1-rozměrný rovnoběžnostěn je úsečka, příp. 0-rozměrný rovnoběžnostěn je bod. 72 III Eukleidovská geometrie • jsou-li tyto vektory ortogonální, pak se jedná o kvádr a V(vi, v2,...) = ||vi|| • ||v2|| Obecná induktivní definice vypadá následovně: • obsah rovnoběžníku = velikost jedné strany krát velikost výšky na tuto stranu, • objem rovnoběžnostěnu = obsah jedné stěny krát velikost výšky na tuto stěnu, • atd... Vzhledem k zavedenému značení můžeme tyto vztahy zapsat následovně: Definice. Objem V(vi, v2,...) rovnoběžnostěnu určeného vektory vi, v2,... je nezáporné reálné číslo takové, že • V(vi,v2) := V(vi, w2) = ||vi|| • ||w2||, kde w2 kolmý průmět vektoru v2 do • V(v1;v2,v3) := V(vi,v2,w3) = V(vi, v2).||w3||, kde w3 je kolmý průmět vektoru v3 do (vi,v2)-L, Vektor w2, resp. w3 představuje výšku rovnoběžníku, resp. rovnoběžnostěnu; číslo ||w2||, resp. ||w3|| je velikost této výšky. Přímo z definice vidíme, že V(vi,v2,v3, ...) = V(vi,v2, w3,. ..) = V(vi,w2, w3,.. .) = || vi || • ||w2|| • ||w3||----, kde vektory ws jsou navzájem kolmé vektory postupně sestrojené podle návodu výše. Tento nakolmovací algoritmus jsme v algebře jmenovali jako tzv. Gramův-Schmidtův proces... Poznámky (Eě> (1) Vyjádřit obsah rovnoběžníku podle definice je snadné: . V(Vl) := ||Vl| • atd... Obrázek 11.21: K objemu rovnoběžnostěnu... V(vi,v2) = ||vi|| • ||v2|| - siná, (11.20) 11 Obsahy, objemy a další 73 kde a = <(vi,v2). Počítaní objemu vícerozměrného rovnoběžnostěnu podle dennice však může být docela otravné, proto se za chvíli poohlédneme po nějakých zjednodušeních... (2) Definici V(vi,v2,...) můžeme bez problémů rozšířit pro libovolné, tedy ne nutně nezávislé vektory, což je často výhodné nerozlišovat. Přímo z definice plyne, že V(v1; v2,...) je roven 0 právě tehdy, když vektory vi, v2,... jsou lineárně závislé:12 V(vi, v2,...) = 0 ^=4> vektory v1; v2,... jsou lineárně závislé. Tedy fc-rozměrný objem chápeme jako zobrazení V : ~t x ... x ~t R>0, které fc-tici vektorů přiřazuje nezáporné reálné číslo. (3) Z úvodních poznámek okolo obr. 8.3 na str. 50 víme, že objem rovnoběžnostěnu úzce souvisí s determinantem, resp. s vnějším součinem vektorů. V následujících odstavcích tento poznatek náležitě zobecníme a zdůvodníme. Tento fakt by neměl být žádným velkým překvapením, když si uvědomíme, že jak objem, tak vnější součin mají velmi podobné vlastnosti. Kromě výše uvedeného poznatku (o tom, kdy je výsledek 0) je to zejména ještě následující vlastnost: Přiřazení (vi,..., v*,) i->- V(vi, ..., v*,) definuje pozitivně-multilineární zobrazení £ x ... x Přívlastek po^iíráné-multilineární znamená, že zobrazení se chová jako absolutní hodnota nějakého multilineárního zobrazení; důraz klademe na multilineární. Na vysvětlenou několik konkrétností pro k = 2, viz obr. 11.22: V(vi,avi) = 0, V(vi,v2) = V(vi,v2) + V(vi,avi) = V(vi,v2 + avi), V(vi,fcv2) = |6|-V(vi,v2), kde vi, v2 jsou libovolné vektory a a, b libovolná reálná čísla. 2V takovém případě mluvíme o degenerovaném rovnoběžnostěnu. 74 III Eukleidovská geometrie -1-* - q Obrázek 11.22: Vlastnosti obsahu/objemu se nápadně podobají vlastnostem determinantu. 11.2 Gramův determinant Začneme s malým kouzlem: Vyberme náhodně vektory vi, v2 v nějakém eukleidovském prostoru. Podle (9.14) na str. 58 umíme obecně vyjádřit kolmou projekci w2 vektoru v2 do v^: V2 . V! W2 = V2--Vi. Vl . Vl (Eě> Velikost tohoto vektoru, resp. její druhá mocnina, je rovna ,2 (Vl-V2)2 w2 v2 Dosazením do definující rovnosti V(vi, v2) = V(vi, w2) = ||vi|| • ||w2||, dostáváme V(Vl,V2) = V||V1||2||V2||2-(V1.V2)2, což můžeme interpretovat jako odmocninu z determinantu jisté matice: V(vi, v2) Vl . Vl Vl . v2 V2 . Vl v2 . v2 (11.21) Matice pod odmocninou na pravé straně je tzv. Gramová matice, její determinant se zove Gramův: Definice. Gramův determinant určený fc-ticí vektorů vi,... , Vfe je determinant Vl . Vl ... Vl Vfe G(vi,..., vfe) := Vfe . Vl ... Vfe Vfe 11 Obsahy, objemy a další 75 Předchozí výsledek nyní snadno zobecníme — jedná se nejobecnější a poměrně elegantní způsob určení objemu obecného rovnoběžnostěnu v obecném eukleidovském prostoru: Věta. Pro libovolnou k-tici vektorů v eukleidovském prostoru platí V(Vl,...,vfe) = V/G(vi,...,vfe). Sledovat předchozí zdůvodnění pro více než dva vektory může být trochu problém. Proto nabízíme alternativní zdůvodnění, které je odvozeno ze základních vlastností determinantu. Důkaz. Pro přehlednost formulujeme pouze pro trojici vektorů, následné zobecnění by mělo být zřejmé. Vzhledem k výše užívanému značení platí: G(vi,v2, v3) Vl . Vl v2 . Vl v3 . Vl Vl . Vl W2 . Vl W3 . Vl Vl . V2 Vl . v3 v2 . v2 v2 . v3 v3 . v2 v3 . v3 Vl . W2 Vl . w3 w2 . w2 w2 . w3 w3 . w2 w3 . w3 Vl . Vl W2 . Vl W3 . Vl Vl . Vl o o Vl . v2 w2 . v2 w3 . v2 o w2 . w2 o Vl . v3 w2 . v3 w3 . v3 o o w3 . w3 |w2| |w3| V těchto úpravách se nejprve odkazujeme na vlastnosti determinantu, tedy jeho antisymetričnost a multilinearitu. Odtud zejména plyne, že hodnota determinantu se nezmění, když k libovolnému řádku/sloupci přičteme libovolnou lineární kombinaci ostatních. To je přesně úprava, kterou jsme postupně dělali nejdřív s řádky, poté se sloupci: w2 = v2 + avi, w3 = v3 + 6vi + cv2. Závěr plyne z toho, že vektory w, nejsou jen tak ledajaké vektory uvedeného tvaru, ale právě kolmé průměty v j do (vi,... v^i)-1. Všechny skalární součiny v Gramové matici mimo hlavní úhlopříčku jsou tedy nutně nulové... □ 11.3 Vnější a vektorový součin Ve speciálních případech, jež se týkají výhradně počtu určujících vektorů, je možné k vyjádření objemu použít některou z následujících algebraických konstrukcí... Vnější součin Na obr. 8.3 na str. 50 je ukázáno, že obsah rovnoběžníku v eukleidovské rovině je roven determinantu matice tvořené souřadnicemi určujících vektorů vzhledem k nějaké ortonormální bázi. Zobrazení, které dvojici vektorů (u, v) přiřazuje onen determinant, jsme nazvali vnějším součinem a označili [u, v]. Hodnota obsahu je vždy nezáporná, hodnota vnějšího součinu může být jakákoli. Z uvedeného vyplývá, že pro libovolné dva vektory u,v ve dvourozměrném eukleidovském prostoru platí: V(u,v) = |[u,v]|. Zobecnění tohoto výsledku ve výše uvedeném duchu přestává být názorné, poohlédneme se tudíž po jiném argumentu. Obecná definice vnějšího součinu n-tice vektorů v eukleidovském prostoru dimenze n je uvedena na str. 50; vlastnosti vnějšího součinu jsou následující: 76 III Eukleidovská geometrie Věta. Pro n-tici vektorů v n-rozměrném eukleidovském prostoru platí: >vn) ^ [vi,---,vn] definuje antisymetrické multilineární zobrazení (1) Přiřazení (v1; ~Ě x ... x ~Ě - (2) [vi,..., v„] = 0 ^> vektory v1; (3) |[vi,...,vn]| = V(vi,...,v„). , v„ jsou lineárně závislé. Důkaz. Tvrzení (1) a (2) plynou přímo z definice vnějšího součinu, tzn. z vlastností determinantu. Tvrzení (3) plyne z Cauchyovy věty o součinu determinantů a z věty 11.2: [vi,... ,v„] = det(vi,... ,v„)2 = det(vi,..., v„)T • det(vi,... ,v„) = Vl . Vl ... Vl . v„ = det ((vi,. .., v„)T • (vi,. .. , v„)) = = G(vi,...,v„). □ v„ . Vi ... v„ . \ Ze třetí části věty je zřejmé, proč se vnějšímu součinu přezdívá též orientovaný objem... Vektorový součin Pojem vektorového součinu bezpečně známe pro dva vektory v trojrozměrném eukleidovském prostoru. Jedná se o operaci, která dvojici vektorů (u,v) přiřazuje vektor u x v. Názorná geometrická charakterizace vektoru u x v je na obr. 8.4 na str. 51 a v jeho blízkém okolí. Analyticky lze tentýž vektor vyjádřit ze souřadnicového vyjádření u = (ui,u2,u^) a v = (t>i, t>2, f 3) vzhledem k nějaké ortonormální bázi takto: u Z uvedeného zatím není jasné, proč by uvedené dva přístupy měly být ekvivalentní, což rozhodně chceme napravit. Při počítání vektorového součinu jsme zvyklí si pomáhat následovně: U2 V2 Ml Vl Vl U3 V3 •t "3 V3 •t U2 V2 Ul U2 U3 Vl Xl V2 X2 V3 2ľ3 u2 v2 Ul Vl Ul Vl Xl - x2 + u3 v3 u3 v3 u2 v2 x3. (11.22) Jedná se Laplaceův rozvoj determinantu matice, která je tvořena souřadnicemi daných vektorů u,v a obecného vektoru x (v tomto pořadí!). Koeficienty u xí potom bereme jako souřadnice vektorového součinu u x v. Tuto rovnost nyní musíme nějak koncepčně (bezsouřadnicově) interpretovat — na levé straně vidíme vnější součin trojice vektorů (u,v,x), na pravé straně je skalární součin vektorů u x v a x. Vektorový součin u x v je tedy vektor jednoznačně určený rovností [u,v,x] = (u x v) .x, která má platit pro libovolný vektor x. Tento postřeh bereme jako obecnou definici, dříve uvedené geometrické vlastnosti záhy snadno odvodíme. 11 Obsahy, objemy a další 77 Definice. Vektorový součin (n — l)-tice vektorů (vi,..., v„_i) v n-rozměrném eukleidovském prostoru je vektor w splňující [vi, .. . ,v„_i,x] = W .X pro všechna x e značíme w = vi x ... x v„_i. Z definujícího požadavku vyplývá, že vektorový součin je určen jednoznačně. Souřadnicové vyjádření vektorového součinu lze obecně určit úplně stejně jako v úvodním příkladu, tzn. pomocí Laplaceova rozvoj determinantu podle posledního sloupce... Vlastnosti vektorového součinu jsou následující: Věta. Pro (n — l)-tici vektorů v n-rozměrném eukleidovském prostoru platí: (1) Přiřazení (vi,..., v„_i) 4 vi x ... x v„_i definuje antisymetrické multilineární zobrazení ^x...x^->^. (2) vi x ... x v„_i = o ^=^> vektory vi,..., v„_i jsou lineárně závislé. (3) vi x ... x v„_i je kolmý ke všem vektorům vi,..., v„_i. (4) Pokud jsou vektory vi,..., v„_i lineárně nezávislé, pak n-tice (vi,..., v„_i, w) tvoří kladnou bázi prostoru ~Ě. (5) ||vi x ... x v„_i|| = V(vi,..., v„_i). Důkaz. Tvrzení (l)-(3) plynou přímo z definující rovnosti a vlastností vnějšího součinu, tzn. determinantu. Tvrzení (4) v podstatě také: det(vi,..., v„_i, w) = [vi,..., v„_i, w] = w . w > 0. Tvrzení (5) je pro ||w|| = 0 platné triviálně. Případ ||w|| ^ 0 zdůvodníme tak, že ještě trochu rozepíšeme předchozí vztah: ||w||2 = [vi,. .. ,v„_i,w] = V(vi, .. ., v„_i,w) = V(vi,.. ., v„_i) • ||w||, kde odkazujeme postupně na větu 11.3, předchozí nerovnost13 a před chvílí zdůvodněné tvrzení (3). Po dělení ||w|| dostáváme požadovanou rovnost. □ Poznámky Ve speciálním případě n = 3 můžeme doplnit ještě několik známých, příp. zajímavých věcí: (1) Vektorový součin je podle tvrzení (1) bilineární antisymetrické zobrazení což můžeme chápat jako binární operaci na množině ~Ě. Tato operace však není asociativní. Neasociativita plyne z následující rovnosti (kterou lze dokázat např. v souřadnicích): • přímka a = A + S je rovnoběžná s A <í=4> • libovolný zastupující vektor a e ~čt je obsažen v ^ C W. Současně si můžeme všimnout, že projektivnímu rozšíření B C A afinního podprostoru B C A odpovídá vektorový podprostor B + Š =: U ve W, jehož dimenze je dinič/ = dimB + 1. Obrázek 12.5: Prvky A = A U oo_4 jsou v 1 : 1 korespondenci s přímkami v A + S, jež procházejí bodem S, a ty jsou v 1 : 1 korespondenci se směry v A+Š. Přitom D e 004 ^=^> d II A ^=^> del Hlavní výhodou tohoto popisu je, že na rozdíl od předchozího reprezentujeme prvky A = A U 00_4 krásně homogenním způsobem. Navíc tak přirozeně přicházíme k definici obecného projektivního prostoru... 12.2 Obecné projektivní prostory a podprostory Definice. Projektivní prostor dimenze n s vektorovým zástupcem W je množina všech jednorozměrných podprostoru (směrů) ve vektorovém prostoru W dimenze n + 1; značíme W = V(W). Podmnožina projektivního prostoru W, která je sama projektivním prostorem, se nazývá projektivní podprostor prostoru W. 12 Projektivní rozšíření, prostory a podprostory 85 Z definice je zřejmé, že projektivní podprostory projektivního prostoru W = V(W) jsou právě množiny všech směrů ve W, které patří do nějakého netriviálního vektorového podprostoru U C W, tj. množiny tvaru U = V(U). Obecně platí, že dimW = dimč7- 1. (12.1) Výše popsané projektivní rozšíření A afinního prostoru A je projektivní prostor s vektorovým zástupcem W = A + Š. Přitom nevlastní body, tj. prvky množiny oo_4 = V (A*), tvoří projektivní nadrovinu v A = V (A + Š), tzn. projektivní podprostor kodimenze 1. Naopak, pokud v obecném projektivním prostoru W = V(W) prohlásíme nějakou projektivní nadrovinu V = V (V) za množinu „nevlastních bodů", pak doplňková podmnožina W \ V má přirozenou afinní strukturu (se zaměřením V). Proto lze každý projektivní prostor chápat jako diniW. Současně součet U + V nemůže být větší než W, tj. dini(W + V) < dim W. Z rovnosti (12.3) tedy plyne, že dim(W n V) > 0. □ 86 IV Projektivní geometrie Speciálně tak dostáváme tvrzení, z nichž některá jsme zmiňovali již v motivačním úvodu: • dvě přímky v projektivní rovině se vždy protínají, • přímka a rovina v trojrozměrném projektivním prostoru se vždy protínají, • apod. 12.4 Vzájemné polohy projektivních podprostorů Předchozí pododstavec souvisí se vzájemnými polohami podprostorů projektivního prostoru. Ty můžeme rozlišovat pouze podle jejich průniku — celkem máme tři možnosti: Definice. Netriviální projektivní podprostory projektivního prostoru jsou: • incidentní, pokud jeden je podmnožinou druhého, • různoběžné, pokud nejsou incidentní a mají neprázdný průnik, • mimoběžné, pokud nejsou incidentní, ani různoběžné, tzn. mají prázdný průnik. Pro triviální podprostory je diskuze vždycky poněkud degenerovaná, což zrovna nemáme zapo-(Eě> třebí řešit... Pro podprostory U = V (U) a V = V (V) nějakého projektivního prostoru W = V(W) můžeme jejich vzájemnou polohu charakterizovat pomocí zastupujících vektorových prostorů U, V C W, a to následujícím způsobem: • U n V ^ {o}: — U n V = U nebo V ^=^> incidentní, — U n V 7^ U ani V ^=^> různoběžné, • U n V = {o} ^=^> mimoběžné. Tato formulace navádí k počítání průniku vektorových podprostorů, což vede k řešení homogenní soustavy lineárních rovnic. Uvědomte si, že k učení vzájemné polohy nepotřebujeme odpovídající soustavu dořešit úplně, stačí rozpoznat dimenzi průniku a porovnat s dimenzemi zadaných podprostorů. Dimenze průniku souvisí s hodností matice soustavy a ta odpovídá dimenzi součtu podprostorů. Tato čísla jsou spolu svázána rovností (12.2). Odtud vyvozujeme, že obecně platí dim U + dim V > dim(č7 + V) > max{dini U, dim V}. Pokud kvůli stručnosti označíme tato tři čísla tak, že t > s > r, pak předchozí charakterizace vzájemných poloh vypadá následovně: Věta. Projektivní podprostory U a V jsou • incidentní ^=^> t > s = r, • různoběžné ^=^> t > s > r, • mimoběžné ^=4> t = s > r. 13 Homogenní souřadnice a dvojpoměr 87 Důkaz. První nerovnost je rovností, právě když U C\ V = {o}, neboli UC\ V = 0. Druhá nerovnost je rovností, právě když U C V nebo V C U, tj. právě když WaV jsou incidentní. Odtud zejména plyne, že obě rovnosti nemohou platit současně; ostatní možnosti jsou potom jasné... □ 12.5 Poznámky Všimněte si, jak je život v projektivním světě jednoduchý, a to nejlépe tak, že porovnáte dosavadní diskuzi s analogickými pasážemi v afinním případě, viz odst. 4.3, 6.2, resp. 6.3. Současně si oog C ooc nebo oog Q oob-Zejména průnik rovnoběžných podprostorů sestává výhradně z nevlastních bodů, B || C =^> B ľ\ CC oo^. Rovnoběžnost tak chápeme jako speciální případ (projektivní) různoběžnosti. 13 Homogenní souřadnice a dvojpoměr 13.1 Homogenní souřadnice Libovolný bod X projektivního prostoru W = V(W) je zastoupen nějakým nenulovým vektorem x e W, a to tak, že X = (x). Dva vektory ve W reprezentují jeden a týž bod ve W právě tehdy, když se liší o nějaký nenulový násobek. Definice. Projektivní repér projektivního prostoru W = V(W) je báze (e0, e1; e2,...) zastupujícího vektorového prostoru W. Homogenní souřadnice bodu X = (x) e W vzhledem k projektivnímu repéru (e0, ei, e2,...) jsou souřadnice libovolného reprezentujícího vektoru xelf vzhledem k této bázi. Pozor — homogenní souřadnice bodu nejsou určeny jednoznačně! V závislosti na volbě reprezentujícího vektoru se však mohou lišit pouze o násobek nenulovým reálným číslem. Tuto nejednoznačnost bychom měli mít pořád na paměti, čemuž by mělo napomáhat následující značení: Homogenní souřadnice bodu X = (x) e W takového, že x = x0e0 + xiei + • • • G W, budeme psát jako X = (x0 : x\ : x2 : ...). Pro libovolné s^O tedy platí X = (x0 : xi : x2 '■■■■) = (ax0 : ax\ : ax2 '■ . ..). (13-4) Standardní rozšíření afinních souřadnic Pro projektivní rozšíření afinních prostorů je vhodné si volbu projektivního repéru chytře přizpůsobit. To uděláme jednou provždy následujícím způsobem: 88 IV Projektivní geometrie Uvažme afinní prostor A s afinním repérem (O; ei, e2,...). Zastupující vektorový prostor projektivního rozšíření A = A U 00,4 značíme jako obvykle W. Chytře přizpůsobený projektivní repér je právě báze (e0,e1,e2,...)veW taková, že • vektory ei, e2,... G A^ jsou vektory daného afinního repéru, • vektor e0 ^ A je vektor reprezentující počátek O e A, typicky e0 = SÓ. Vzhledem k takto přizpůsobené bázi uvažujme homogenní souřadnice (13.4) bodu X = (x) e A = A U 00_4. Smyslem této volby je, že velmi snadno rozlišujeme vlastní body od nevlastních: Tedy nevlastní bod X e 00,4 reprezentovaný vektorem x e Á s afinními souřadnicemi (xi,x2,...) má homogenní souřadnice X = (0 : xi : x2 : . ..), a naopak. Vlastní bod X e As afinními souřadnicemi [x\, x2, ■ ■ ■ ] má homogenní souřadnice X = (1 : xi : x2 : .. .) Naopak, homogenní souřadnice libovolného vlastního bodu X e A můžeme psát ve tvaru neboť x0 ^ 0. Tím ztotožňujeme afinní prostor A — jakožto podmnožinu v projektivním prostoru A = V(W) — s podmnožinou ve vektorovém prostoru W popsanou rovnicí x0 = 1: (13.5) A = {x e W I x0 = 1}. Afinní souřadnice bodu (13.5) potom jsou f^, f^, ■ ■ ■ • Obrázek 13.6: Vlastní bod A = 0+3ei+e2 = S+e0+3ei+e2 má homogenní souřadnice (1:3:1). Nevlastní bod zastoupený přímkou se směrovým vektorem a = —2ei + e2 má homogenní souřadnice (0 : —2 : 1). 13 Homogenní souřadnice a dvojpoměr 89 13.2 Poznámky Význam homogenních souřadnic bude zřejmý zejména v kapitole V, kde se bez nich neobejdeme. Už nyní si však můžeme všimnout, že s jejich pomocí lze řešit téměř všechny předchozí úlohy, a to často se značnou výhodou. Pro příklad uvádíme určení rovnicového vyjádření přímky v rovině: [ai, a2] a B = [bi,b2] má rovnici Přímka v afinní rovině určená body A 1 11 X\ CL\ b\ x2 a2 b2 = 0. Přímka určená bodem A = [a1; a2] a směrem b = b2] 1 1 0 ma rovnici x1 x2 a2 h b2 = 0. Obecněji, přímka určená dvěma body v projektivním rozšíření roviny s homogenními souřadnicemi A = (a0 : ai : a2) a B = (b0 : bi : b2) má rovnicové vyjádření x0 Xx x2 a0 ai a2 bo bi b2 Zdůvodnění těchto tvrzení je velmi prosté, viz obr. 13.7. Tyto poznatky lze dále zobecňovat pro nadroviny v obecném projektivním prostoru, ale i jinak. Srovnejte výsledky s návodem (3) v odst. 5.5. Obrázek 13.7: Body A, B, X jsou kolineární ^=^> zastupující vektory a, b, x jsou lineárně závislé <í=4> det(a, b, x) = 0. 13.3 Dvojpoměr Dvojpoměr lze popsat celkem různorodě, viz např. [Be, kapitola 6]. Začneme tím, že připomeneme definici, kterou jsme používali v konstrukční geometrii. Doplníme diskuzi o nevlastních bodech a zformulujeme totéž pomocí homogenních souřadnic. Pro čtveřici (A, B, C, D) vlastních, kolineárních a navzájem různých bodů je dvojpoměr této čtveřice roven podílu dělicích poměrů: (AB -D) SZ) 90 IV Projektivní geometrie Definice dvojpoměru samozřejmě závisí na pořadí bodů ve čtveřici, viz cvičení 13.4. Pokud je náhodou (AB CD) = — 1, říkáme o čtveřici bodů, že je v tzv. harmonickém poměru. V mezních případech vychází dvojpoměr následovně: Pro A = B je (AB CD) = 1, pro A = C je (AB CD) = 0, pro B = C je (AB CD) = ±oo apod. Je-li bod D nevlastní, potom (AB D^) = lim (AB D) = 1, a proto platí D—>oo (ABCDcc) = (ABC). Podobný vztah platí, i když je jiný bod z dané čtveřice nevlastní... Pokud je náhodou C středem úsečky AB, potom (ABCD^) = (ABC) = —1, čili čtveřice A, B, střed úsečky AB a nevlastní bod přímky AB je vždy v harmonickém poměru. Homogenní formulace Vzhledem k nějakému afinnímu repéru na přímce obsahující body A, B,C a D označíme jejich souřadnice a, b, c a d. Potom definice (13.6) pro čtveřici vlastních bodů vypadá v těchto souřadnicích takto: (ABCD) = C~a ■ d~a = (c~a)(rf~&) c — b d — b (c — b)(d — a) (Eě> Uvědomte si, že výsledek nezávisí na volbě afinního repéru, ačkoli čísla a, b, c, d ano! Uvažme homogenní souřadnice na projektivním rozšíření přímky, jež jsou přizpůsobeny afinním souřadnicím stejně jako v odst. 13.1. Tzn., že homogenní souřadnice bodu A jsou (1 : a) apod. Potom zřejmě platí u 1 1 a b Tento zápis má tu výhodu, že nám umožní vyjádřit předchozí limitní úvahy s nevlastními body krásně homogenním způsobem. V homogenních souřadnicích je totiž takže např. (AB D^) jako Dn lim (AB D) lim (1 : d) d—>oo lim 4=% = (0:1), 1 je v homogenních souřadnicích vyjádřeno (AB D^) 1 0 a 1 1 0 b 1 Tato pozorování vedou k následující jednotné definici dvojpoměru, v níž nerozlišujeme mezi body vlastními a nevlastními. Definice. Dvojpoměr čtveřice navzájem různých bodů na projektivní přímce s homogenními souřadnicemi A = (a0 : ai), B = (b0 : bi), C = (c0 : ci), D = (d0 : di) je reálné číslo (AB CD) = a0 co bo d0 ai Cl bi di b0 co a0 d0 h Cl ai di (13.7) 14 Projektivní zobrazení a základní věta projektivní geometrie 91 Uvědomte si (stejně jako výše), že toto číslo nezávisí na volbě souřadné soustavy! Pokud dva @ body splývají, znamená to, že jejich reprezentující vektory jsou lineárně závislé, což je ekvivalentní s tím, že odpovídající determinant v předchozím vyjádření je nulový. V takových případech nemusí být dvojpoměr definován, sr. s úvodní diskuzí. Z uvedeného bezprostředně vyplývá následující jednoduché tvrzení: 3 14 Projektivní zobrazení a základní věta projektivní geometrie 93 a uvažme nějaký lineární izomorŕismus F : W — W: • Protože F je lineární, obrazem libovolného vektorového podprostoru ve W je vektorový podprostor ve W. • Protože F je bijektivní, má vzor i obraz stejnou dimenzi. Zejména směry (jednorozměrné vektorové podprostory) ve W se zobrazují na směry ve W. Odtud vidíme, že F : W — W indukuje zobrazení mezi projektivními prostory F_: W — W, a to tak, že £((x» = (F(x)>, (14.8) kde x e W je libovolný nenulový vektor. • Podobně, dvojrozměrné vektorové podprostory ve W se zobrazují na dvojrozměrné vektorové podprostory ve W. Odtud vidíme, že indukované zobrazení F_ zobrazuje projektivní přímky na projektivní přímky. • Navíc z bijektivnosti F plyne, že také zobrazení F_ je bijektivní. Následující věta říká, že tímto způsobem lze popsat všechna zobrazení s právě vyjmenovanými vlastnostmi: Věta (Základní věta projektivní geometrie). Každé bijektivní zobrazení mezi projektivními prostory / : W —>• W dimenze alespoň 2, které zobrazuje projektivní přímky na projektivní přímky, je určeno nějakým lineárním izomorfismem F : W — W tak, že f = F_. Důkaz neuvádíme, protože není vůbec jednoduchý. Poprvé byl tento fakt dokázán K. von Staud-tem, podrobnosti lze najít např. v [Be, část 5.4]. Základním úkolem je interpretovat algebraické operace s reálnými čísly (souřadnicemi bodů) pomocí geometrických konfigurací přímek a bodů. Srovnejte s tvrzením ve větě 4.5 na str. 19... Bezprostředním důsledkem základní věty projektivní geometrie je následující tvrzení, které lze chápat jako jisté zobecnění Pappovy věty: Důsledek. Každé bijektivní zobrazení mezi projektivními prostory dimenze alespoň 2, které zobrazuje projektivní přímky na projektivní přímky, zachovává také dvojpoměry, a tudíž to je kolineace. Důkaz. Zobrazení z věty označíme / : W —>• W. Ze základní věty víme, že / je určeno nějakým lineárním izomorfismem F : W — W tak, že / = F. Zúžení F_ na jednu (libovolnou) přímku U = V {U) C W je určeno zúžením F na odpovídající podprostor U C W. Z definice (13.7), z linearity F a z Cauchyovy věty o součinu determinantů plyne, že F_ zachovává dvojpoměry. □ • W je proto zcela určena obrazem tří navzájem různých bodů. Pro dané tři body Ai = (a^) a jejich obrazy A'i = (a-) stačí sestrojit takový izomorfismus F : W —>• W zastupujících vektorových prostorů, že jeho indukované zobrazení F_ souhlasí s daným / na těchto třech bodech. To znamená f(Ai) = A[, neboli F(al) = kiS^, (14.9) kde ki jsou nějaká nenulová reálná čísla.4 To si nyní rozmyslíme nad následujícím obrázkem: Obrázek 14.10: Pro a3 = —2ai + 3a2 a a3 = ^a[ + \a2 buď F lineární zobrazení takové, že F(ai) = -±ai a F(a2) = \a!2. Potom platí F(a3) = -2F(ai) + 3F(a2) = ^a[ + |a2 = a3. Indukované projektivní zobrazení / = F_ tudíž splňuje f{A{) = A[, f(A2) = A!2 a f(A3) = A'3. Důkaz. Pro tři navzájem různé body Ai,A2,A3 na projektivní přímce jsou odpovídající vektory ai,a2,a3 taky navzájem různé. Avšak protože diniW" = 2, musejí být tyto vektory lineárně závislé. Tuto závislost vyjádříme např. takto: a3 = o^ai + a2a2, (14.10) kde ai a a2 jsou jednoznačně určená nenulová reálná čísla. Protože zobrazení / je podle předpokladu injektivní, jsou také obrazy A\,A2,A3 navzájem různé. Totéž platí pro odpovídající vektory stejného důvodu jako výše jsou tyto lineárně závislé: 4 = ^; + ^, (i4.ii) kde /?i a (32 jsou jednoznačně určená nenulová čísla. Z rovnosti (14.10), z požadavku linearity zobrazení F a z rovnosti (14.9) pro i = 1 a 2 plyne, že F(a3) = aiF(ai) + a2F(a2) = aikiai + a2k2a2. Odtud a z rovnosti (14.11) vidíme, že F(a3) = k3a'3 právě tehdy, když , , /?! , , h kx = k3— a k2 = k3—. a.\ a2 4Všude samozřejmě dosazujeme í = 1,2,3. 14 Projektivní zobrazení a základní věta projektivní geometrie 95 Trojice čísel ki,k2, k3 je tedy určena jednoznačně až na nenulový společný násobek k3. Pro libovolné k3 ^ 0 je požadavkem F(ai) = k3^a[ a F(a2) = k3^a'2 určeno jednoznačně lineární zobrazení F : W — W, pro něž potom platí F(a3) = k3a'3. Navíc, ať k3 ^ 0 zvolíme jakkoli, indukované projektivní zobrazení / = F_ : W — W je stále totéž a platí f(Ai) = A[, f(A2) = A'2a f(A3) = A3. □ Algebraická definice projektivního zobrazení V předchozím výkladu hrál podstatnou roli předpoklad, že uvažovaná zobrazení byla bijektivní. Pro injektivní zobrazení dostáváme zúžením na obraz bijekci a na předchozí charakterizaci se v podstatě nic nezmění. Pro neinjektivní (singulární) zobrazení není úplně hned jasné, jak předchozí výsledky zobecnit, ale možné to je. Na tomto místě nemůžeme ani nehodláme tento případ moc rozmazávat... Definice (ekvivalentní). Zobrazení mezi projektivními prostory / : W —>• W (libovolných dimenzí) se nazývá projektivní, pokud existuje lineární zobrazení mezi zastupujícími vektorovými prostory F : W — W tak, že pro libovolný vektor xeW \ ker F platí /«x» = . Projektivní zobrazení / je injektivní, právě když lineární zobrazení F je injektivní, což je ekvivalentní s tím, že jeho jádro, ker F = {x e W \ F(x) = o}, je triviální. Pokud tedy / není injektivní, potom ker F C W je netriviálni vektorový podprostor a body z projektivního podprostoru ^(kerF) C V(W) tak nemají definován obraz. Proto neinjektivní projektivní zobrazení nikdy nemohou být definována na celém prostoru W = V(W)\5 \M \ kev F-----> W'\M 1 l Obrázek 14.11: Zobrazení / je projektivní, právě když F existuje, je lineární a diagram komutuje. Věta o určenosti projektivního zobrazení Lineární zobrazení F jednoznačně určuje projektivní zobrazení f = F_, avšak tato korespondence není vzájemně jednoznačná. Už v předchozím pododstavci jsme si uvědomili, že dvě různá lineární zobrazení f\ a F2 indukují totéž projektivní zobrazení právě tehdy, když se liší o nějaký 6Pro příklad, definiční obor středového promítání trojrozměrného projektivního prostoru do roviny tvoří všechny body kromě středu promítání. 96 IV Projektivní geometrie nenulovým násobek: £1 = £2 ^> F2 = k-F1 pro nějaké k ^ 0. Nyní umíme působivě zobecnit několik pozorování, která máme v malých dimenzích: Věta (o určenosti projektivního zobrazení). Injektivní projektivní zobrazení projektivního prostoru dimenze n je určeno obrazy n + 2 bodů, z nichž žádná (n + l)-tice neleží v jedné nadrovině. Právě popsanou konfiguraci bodů budeme kvůli stručnosti nazývat body ve skoro obecné poloze. Při stejném značení jako okolo rovnosti (14.9) (kde ovšem nyní dosazujeme i = 1,..., n + 2) chceme ukázat, že čísla ki jsou určena jednoznačně až na nějaký společný nenulový násobek. Odtud pak plyne, že zobrazení f = F_ určeno jednoznačně. Myšlenka důkazu by měla být zřejmá z toho, co jsme ukázali pod obrázkem obr. 14.10, pročež se nehodláme opakovat. Obecnou for-(Eě> mulaci tak přenecháváme píli čtenářově... 14.3 Poznámky a užitek (1) Zformulovat podobné tvrzení pro neinjektivní (singulární) projektivní zobrazení je o poznání subtilnější úkol. Např. projektivní zobrazení roviny (n = 2) do přímky je určeno obrazy pěti (tedy n + 3) bodů, anebo taky vůbec, pokud jsou tyto body v „nevhodných" polohách. Obecnou odpověď v těchto případech proto hledat nebudeme. Z kurzu konstrukční geometrie však jistě (EE> umíme doplnit něco o určenosti projektivního zobrazení z trojrozměrného prostoru do roviny... (2) Nyní uvažme projektivní rozšíření afinních prostorů A = A U 00,4 a A' = A' U 00,4/. Afinní zobrazení mezi afinními prostory / : A —>• A' indukuje lineární zobrazení mezi jejich zaměřeními , a to indukuje projektivní zobrazení 7 ■ V(X) ->• V(X'). Protože V{X) = 00.4 a ') = 00.4/, můžeme přirozeně definovat zobrazení J=fu7_-AUooA^A'UooA>. (EE> Z uvedeného lze snadno vyvodit, že zobrazení / je projektivní; budeme mu říkat projektivní rozšíření afinního zobrazení f. Projektivní zobrazení h : A —>• A' je projektivním rozšířením nějakého afinního zobrazení právě tehdy, když zobrazuje vlastní body na vlastní nebo, ekvivalentně, nevlastní body na nevlastní: h = f ^> h(A) C A' ^> h(ooA) C 004/.6 Srovnejte tento poznatek s poselstvím základní věty afinní geometrie (str. 19)... (3) Pro projektivní rozšíření afinních zobrazení, je podmínka, že nadrovina nevlastních bodů se zobrazuje do nadroviny nevlastních bodů, natolik silná, že k jednoznačnému určení zobrazení stačí méně bodů než v obecném případě: pro zobrazení z prostoru dimenze n stačí obrazy n+í vlastních bodů v obecné poloze. Srovnejte tento poznatek s poselstvím věty o určenosti afinního zobrazení (str. 19)... 3V takovém případě zřejmě platí / = h\A a / = h\c 14 Projektivní zobrazení a základní věta projektivní geometrie 97 (4) Typickou aplikací dosud nabytých poznatků je porovnávání různých snímků téže věci, příp. skládání většího snímku z několika dílčích. V takových případech pracujeme s několika referenčními body, které chceme „nějak napasovat" a zbytek „nějak transformovat". Pokud se přímky zobrazují jako přímky, všechny neurčitosti v předchozím popisu mizí: Předpokládejme, že snímáme rovinu jako na obr. 14.12. Korespondence mezi snímkem 1 a snímkem 2 je složením dvou kolineací, je to tedy kolineace. Podle věty o určenosti projektivního zobrazení je toto zobrazení jednoznačně určeno obrazem 4 bodů, z nichž žádné 3 neleží na jedné přímce. V následující kapitole se naučíme, jak s takovými zobrazeními pracovat analyticky... Obrázek 14.12: [Be] Pro porovnání dvou perspektivních obrazů téže roviny nám stačí obrazy 4 bodů, z nichž žádné 3 nejsou kolineární. 14.4 Cvičení _ (1) Obecná projektivní transformace projektivní přímky má v homogenních souřadnicích následující vyjádření: f(xo : xi) = (kxo + Ixi : mxo + nxi), kde k, l,m,n G R. Přímým výpočtem ukažte, že / zachovává dvojpoměry. (2) Vzpomeňte si na konstrukční zdůvodnění věty o určenosti projektivního zobrazeními pro n = 1 a 2. (3) Pomocí vektorové algebry dokažte nějaké tvrzení elementární projektivní geometrie, např. Pappovu větu.7 Pappových vět je víc. 98 IV Projektivní geometrie KAPITOLA V Geometrická zobrazení blížeji O různých geometrických zobrazeních jsme se pomerne zevrubně bavili již v kurzu konstrukční geometrie, viz [Z, zejména kap. III]. V tomto kurzu odkazujeme právě na tyto znalosti, pročež jsme si mohli dovolit začít rovnou obecně. Zatím jsme si postupně připomněli definice afinních, shodných, podobných, ekviafinních a projektivních zobrazení. Pokusy o ekvivalentní algebraická vymezení vyvrcholily základní větou projektivní geometrie v odst. 14.2. Odtud víme, že každé ze zmiňovaných zobrazení je určeno nějakým lineárním zobrazením (mezi zastupujícími vektorovými prostory). V této kapitole doplníme analytická vyjádření a naučíme se jednotlivé druhy zobrazení v tomto duchu rozeznávat. Zejména se budeme soustředit na transformace, tj. zobrazení nějakého prostoru do sebe, a jejich charakterizace pomocí samodružných prvků. Zvláštní pozornost věnujeme tzv. základním transformacím a jejich skládání. Na závěr uvádíme jemnější klasifikace shodností v rovině a v prostoru a několik dalších poznámek. 15 Analytická vyjádření a charakterizace Nejprve si všechny probrané typy zobrazení a jejich podstatné vlastnosti stručně zopakujeme, a to od těch nejobecnějších po ty nejspeciálnější. V hlavním odstavci této podkapitoly (odst. 15.3) doplníme charakterizaci jednotlivých typů zobrazení na základě jejich analytického vyjádření. 15.1 Opakování a přehled Projektivní Viz podkap. 14. Projektivní zobrazení je zobrazení mezi projektivními prostory, které zobrazuje přímky na přímky (nebo body) a zachovává dvojpoměry (kdykoli to je možné). S odkazem na základní větu projektivní geometrie je každé projektivní zobrazení / : V(W) — V(W) určeno nějakým lineárním zobrazením F : W — W mezi zastupujícími vektorovými prostory, a to tak, že obraz X' = f(X) je reprezentován vektorem x' = F(x), kde xelfje libovolný vektor reprezentující bod X e V(W). 100 V Geometrická zobrazení blížeji Dva různé vektory xi,x2 reprezentují jeden a ten samý bod X právě tehdy, když se liší o nějaký nenulový násobek. Proto dvě různá lineární zobrazení Fi,F2 zadávají jedno a to samé projektivní zobrazení / právě tehdy, když Fi = k ■ F2 pro nějaké k ^ 0. Z uvedeného mimo jiné vyplývá, že projektivní zobrazení je jednoznačně určeno obrazy n + 2 bodů v dostatečně obecné poloze, přičemž n = dimV(W) = diniW" — 1. V tomto kurzu nepracujeme s obecnými projektivními prostory, ale výhradně s projektivními rozšířeními afinních prostorů, Báze ve W proto vždycky volíme stejně jako v odst. 13.1, tzn. tak, abychom snadno rozpoznali body vlastní od nevlastních. Naše konvence je taková, že tyto rozlišujeme podle první (lépe řečeno nulté) souřadnice; afinní prostor A C A si představujeme jakožto nadrovinu ve W určenou rovnicí X0 = 1. Viz odst. 4.5 a 14.3. Afinní zobrazení je zobrazení mezi afinními prostory, které zobrazuje přímky na přímky nebo body a zachovává rovnoběžnost přímek (ekvivalentně, zachovává dělicí poměry trojic kolineárních bodů). Základní věta afinní geometrie nás dovedla k charakterizaci afinních zobrazení / : A — A' v rámci všech projektivních zobrazení mezi projektivními rozšířeními A — A' jako takových zobrazení, která zobrazují vlastní body na vlastní, což je totéž jako nevlastní na nevlastní. To je ekvivalentní požadavku, aby zastupující lineární zobrazení F : W —>• W zobrazovalo podprostor A C W do podprostoru A' C W. Zúžení F\-^ : 3-3' je potom právě indukované lineární zobrazení ~f* k afinnímu zobrazení /, o kterém se mluví v definici na str. 18. Odtud také plyne, že obraz libovolného bodu X e A lze vyjádřit ve tvaru -'o Obrázek 15.1: [Ku] Základní kolineace v rovině je osová kolineace. P(W) = A = AU ooA. Afinní (15.1) kde O e A je jeden vybraný referenční bod (obvykle počátek souřadné soustavy). To v důsledku znamená, že afinní zobrazení je jednoznačně určeno obrazy n + 1 bodů v obecné poloze, kde n = dim A. 15 Analytická vyjádření a charakterizace 101 Obrázek 15.2: [Ku] Základní afinita v rovině je osová afinita, neboli škálování v jednom směru. Pokud jsou afinní prostory, mezi kterými zobrazujeme, navíc eukleidovské, rozlišujeme další typy zobrazení, viz odst. 8.2: Ekviaflnní Ekviafmní zobrazení jsou taková afinní zobrazení, která zachovávají obsahy rovnoběžníků, resp. objemy rovnoběžnostěnů. Objemová forma v eukleidovském prostoru je určena vnějším součinem vektorů, viz odst. 11.3. Proto afinní zobrazení /:£—>•£' mezi eukleidovskými prostory je ekviaflnní, pokud indukované lineární zobrazení zachovává vnější součin až na znaménko.1 Protože vnější součin je multilineární operace, je tato podmínka ekvivalentní s požadavkem, aby se nějaký (následně potom každý) rovnoběžnostěn s jednotkovým objemem zobrazil na rovnoběžnostěn s jednotkovým objemem. Je zřejmé, že není možné zobrazit větší prostor do menšího ekviafmním způsobem. Dimenze prostoru £' je proto nutně větší nebo rovna dimenzi £. Pokud je dim£ = dimf, je každé ekviaflnní zobrazení nutně bijektivní. Pokud je dim£ < dimf, je každé takové zobrazení injektivní a abychom mohli mluvit o zachovávání vnějšího součinu, uvažujeme samozřejmě zúžení na obraz, tj. na eukleidovský prostor f(£) c £'. Obrázek 15.3: [Eui] Typická ekviafinita je elace, neboli naklonění. 1 Objem je vždy nezáporný, vnějším součinem může být libovolné číslo... 102 V Geometrická zobrazení blížeji Shodná Význačnou podmnožinou ekviafinních zobrazení jsou zobrazení shodná. Shodná zobrazení jsou zobrazení, která zachovávají eukleidovskou metriku. Eukleidovská metrika je určena skalárním součinem na zaměření. Proto afinní zobrazení /:£—>•£' mezi eukleidovskými prostory je shodné, pokud indukované lineární zobrazení zachovává skalární součin vektorů. Protože skalární součin je bilineární operace, je tato podmínka ekvivalentní s požadavkem, aby se nějaká (následně potom každá) ortonormální báze zaměření ~Ě zobrazovala na ortonormální bázi ~Ě'. Obrázek 15.4: [Se] Základní shodnost je souměrnost podle nadroviny, neboli zrcadlení. Podobná Význačnou nadmnožinou shodných zobrazení jsou zobrazení podobná. Podobná zobrazení jsou zobrazení, která zachovávají eukleidovskou metriku až na konstantní nenulový násobek (tzv. koeficient podobného zobrazení). To jsou taková afinní zobrazení, jejichž indukované lineární zobrazení zachovává skalární součin až na nenulový násobek. Tato podmínka je ekvivalentní s požadavkem, aby se nějaká (následně potom každá) ortonormální báze zaměření zobrazovala na bázi ~£*', která je ortogonální a jejíž vektory jsou stejně dlouhé (ovšem ne nutně jednotkové). Podobné zobrazení s koeficientem 1 je shodné. 15 Analytická vyjádření a charakterizace 103 Obrázek 15.5: [Be] Základní podobnost je stejnolehlost, neboli škálování (ve všech směrech stejně). Poznámky a přehledy (1) Stručné shrnutí několika jednoduchých poznatků může vypadat např. takto: • Projektivní zobrazení, které zobrazuje všechny vlastní body na vlastní (ekvivalentně, nevlastní body na nevlastní), je afinní. • Afinní zobrazení, které zachovává poměry vzdáleností jakýchkoli (tedy i nekolineárních) trojic bodů, je podobné. • Podobné zobrazení, které je ekviafinní, je shodné. • Každé ekviafinní, podobné, resp. shodné zobrazení je nutně injektivní, neboli prosté. Důsledkem posledního tvrzení je, že každé ekviafinní, podobné, resp. shodné zobrazení mezi prostory stejné dimenze je nutně bijektivní. (2) Složením dvou zobrazení stejného typu dostaneme opět zobrazení téhož typu. Proto množina všech ekviafinních, podobných, resp. shodných transformací eukleidovského prostoru (s operací skládání zobrazení) tvoří grupu. Taje podgrupou grupy všech afinit, jež je podgrupou v grupě všech kolineací rozšířeného projektivního prostoru. Struktura uvedených vložení je znázorněna na obr. 15.6; pro připomenutí jsou na schématu další dva typy zobrazení, které známe z kurzu konstrukční geometrie, avšak na tomto místě nediskutujeme. 104 V Geometrická zobrazení blížeji Obrázek 15.6: Hierarchie geometrických zobrazení (v závorce uveden typický představitel z každé skupiny). (3) Přehled dosavadních poznatků shrnujeme v tabulce tab. 15.1. Jako obvykle, £ značí obecný eukleidovský prostor, A afinní prostor a A = A U co a jeho projektivní rozšíření. Dále W je zastupující vektorový prostor pro A, tzn. A = V(W). Projektivní zobrazení / : A —>• A' je určeno lineárním zobrazením F : W —>• W7'. Pokud je / afinní, potom F\-£ : —>• ^t' je právě indukované lineární zobrazení, = /*. Jediný sloupec, který v následující tabulce zatím nemusí být srozumitelný, se týká analytického vyjádření. Všechny případné otazníky odstraníme hned v několika následujících odstavcích. .. jméno definice další vlastnosti algebraická charakterizace analytické vyjádření příklady projektivní f:A^A' zobrazuje přímky na přímky nebo body zachovává dvoj poměry čtveřic bodů určeno lineárním zobrazením F : W -> W osová kolineace, středové promítání afinní f:A^A' projektivní, které zachovává rovno-běžnost přímek zachovává dělicí poměry trojic bodů F zobrazuje ~X c WnaA^'c W osová afinita, rovnob. promítání ekviafinní afinní, které zachovává obsahy, resp. objemy 7 zachovává vnější součin až na znaménko det D = ±1 šikmá souměrnost, elace podobné afinní, které zachovává vzdálenosti bodů až na konstantní násobek: \X'Y'\ = k ■ \XY\ zachovává odchylky 7 zachovává skalární součin až na násobek DT • D = k2 • E stejnolehlost shodné podobné s koeficientem k = 1 zachovává vzdálenosti, odchylky, obsahy, ... 7 zachovává skalární součin DT • D = E osová souměrnost 106 V Geometrická zobrazení blížeji 15.2 Analytický zápis Analytické vyjádření jakéhokoli zobrazení závisí na volbě souřadných soustav. V afinním prostoru A uvažujeme afinní souřadnice vzhledem k afinnímu repéru (O; ei, e2,...). Pokud je navíc afinní prostor eukleidovský, pak zpravidla předpokládáme, že vektory ei,e2,... jsou ortonormální; odpovídající souřadná soustava se pak jmenuje kartézská. V projektivním rozšíření A = A U oo_4 afinního prostoru A budeme pracovat výhradně s homogenními souřadnicemi, které jsou tzv. standardním rozšířením nějakých souřadnic afinních. Všechny konvence a značení jsou stejné jako v odst. 13.1: rozšířená báze (e0, ei, e2,...) zastupujícího vektorového prostoru W je právě taková báze, že vektory ei, e2, • • • e A^ jsou jako výše a vektor e0 ^ A^ reprezentuje právě bod^O.. Uvažujme projektivní zobrazení / : A —>• A' mezi projektivními rozšířeními afinních prostorů. Odpovídající lineární zobrazení mezi zastupujícími vektorovými prostory značíme F : W —>• W. Každé lineární zobrazení F je vzhledem k vybraným bázím určeno maticí F tak, že F(x) = F x (15.2) pro libovolný vektor x e W, resp. jeho souřadnice psány do sloupce. Pokud je dim.4 = to a dini A' = n, pak matice F má to + 1 sloupců a n +1 řádků. Obraz libovolného bodu X e A značíme X' e A' a vzhledem k předchozím konvencím jej budeme vyjadřovat jako b • x, (15.3) / kde a je reálné číslo, b je m-tice čísel v řádku, c je n-tice čísel ve sloupci a D je matice o rozměrech n x to. Zápisu (21.4), resp. (15.3) říkáme analytické vyjádření zobrazení /. Konkrétní rozepsání takového vyjádření uvidíme za chvíli. Důvod, proč rozdělujeme matici F právě na uvedené bloky, bude zřejmý z odst. 15.3. Důležité poznámky (1) Je-li F matice zastupujícího lineárního zobrazení F vzhledem k vybraným bázím, pak v této matici po sloupcích postupně čteme souřadnice obrazů bázových vektorů e0,ei,.... Vzhledem k předchozím konvencím: • v prvním sloupci jsou homogenní souřadnice obrazu počátku afinní souřadné soustavy, • ve druhém sloupci jsou homogenní souřadnice obrazu nevlastního bodu první souřadné osy, • ve třetím sloupci jsou homogenní souřadnice obrazu nevlastního bodu druhé souřadné osy, • atd. Tento jednoduchý postřeh má velice užitečné důsledky jak při interpretaci zobrazení / daného maticí F, tak při určování této matice v případě, že / je zadáno např. obrazy několika bodů; viz cvičení 15.5 a další. (2) Analytické vyjádření (15.3) bývá často vyjádřeno přímo v homogenních souřadnicích. Jedná se jen o jinou formu zápisu, takže tady není třeba hledat žádný problém — z maticového vyjádření lze vždy snadno určit souřadnicové a naopak. Pro představu, např. obecná projektivní transformace přímky f(xo : x{) = (kxo + Ixi : mxo + nx\) 15 Analytická vyjádření a charakterizace 107 ze cvičení 14.4(1) je reprezentována maticí \m n J (3) Předpokládejme, že f a, g jsou projektivní zobrazení, F a, G jsou zastupující lineární zobrazení a F a G jsou jejich matice. Pokud lze tato zobrazení složit,2 potom složené zobrazení g o f je reprezentováno lineárním zobrazením G o F, jehož matice je právě součinem matic G • F. Při skládání zobrazení je proto obvykle výhodnější pracovat s odpovídajícími maticemi než se souřadnicovým vyjádřením. (4) Zobrazení / je injektivní, surjektivní, resp. bijektivní právě tehdy, když zastupující lineární zobrazení F má tutéž vlastnost. Na základě jednoduchých poznatků z lineární algebry můžeme směle tvrdit, že pro projektivní zobrazení / reprezentované maticí F platí: • / je injektivní, právě když F má triviální jádro, • f je surjektivní, právě když hodnost F je rovna počtu jejích řádků, • / je bijektivní, právě když matice F je čtvercová a det F^O. Zobrazení s netriviálním jádrem se nazývají singulární; typickými příklady jsou různá promítání většího prostoru do menšího. Matice F je čtvercová, právě když / zobrazuje mezi prostory stejné dimenze. V případě obecných projektivních zobrazení, nemá hodnota det F žádný geometrický význam (rozlišujeme pouze, zdaje determinant nulový či nenulový). 15.3 Charakterizace Nyní konečně umíme nabídnout charakterizaci jednotlivých typů zobrazení podle jejich analytického vyjádření. Věta. Předpokládejme, že projektivní zobrazení f mezi projektivními rozšířeními afinních prostorů je v homogenních souřadnicích vyjádřeno jako v (15.3). Potom platí, že • f je afinní právě tehdy, když a^O a b = 0. Důkaz. Zobrazení / je afinní, právě když zobrazuje všechny nevlastní body na nevlastní a všechny vlastní body na vlastní. Z první podmínky vzhledem k předchozím volbám plyne, že b musí sestávat ze samých nul. Ze druhé podmínky plyne, že a ^ 0 (jinak by se úplně všechny body zobrazovali na nevlastní body). □ Pokud tedy je zobrazení / afinní, můžeme je reprezentovat jednoznačně určenou maticí F, ve které platí a = 1: \c D 2Pokud je obraz / obsažen v definičním oboru g. 108 V Geometrická zobrazení blížeji Pro vzory tvaru x = (1, x\, x2, ■ ■ .) jsou také obrazy tvaru x' = (1, x[, x'2,...), takže celá první (nultá) složka v předchozím vyjádření je vlastně zbytečná. (15.4) je proto ekvivalentní následujícímu vyjádření v afinních souřadnicích: X' = D X + c. (15.5) Afinní zobrazení mezi prostory stejné dimenze dále rozlišujeme takto:3 • pokud det D > 0, pak / je přímá afinita, • pokud det D < 0, pak / je nepřímá afinita. Determinant det D se nazývá modul afinního zobrazení /. Uvědomte si, že pro transformace, tj. (Eě> zobrazení / : A — A, modul nezávisí na volbě souřadné soustavy! Absolutní hodnota modulu odpovídá tomu, jak se mění obsahy, resp. objemy. Znaménko modulu je kladné/záporné, právě když afinita zachovává/mění orientaci prostoru. Věta. Předpokládejme, že afinní zobrazení f mezi eukleidovskými prostory je v kartézských souřadnicích vyjádřeno jako v (15.5), resp. v rozšířených homogenních souřadnicích jako v (15.4). Potom platí, že • f je ekviafinní právě tehdy, když det D = ±1, • / je podobné s koeficientem k právě tehdy, když DT • D = k2 ■ E, • / je shodné právě tehdy, když DT D = E, Aby první tvrzení věty mělo vůbec nějaký význam, musí být matice D čtvercová. Zobrazení / je tedy buď zobrazením mezi prostory stejné dimenze, nebo se uvažuje jeho restrikce na obraz. Pro zbylé dvě části žádný takový předpoklad nepotřebujeme. Jako obvykle, E značí jednotkovou matici (jejíž rozměry odpovídají dimenzi cílového prostoru). Důkaz. Všechny tři části plynou přímo z algebraických charakterizací, jež jsme připomněli v úvodním opakování v odst. 15.1, a ze znalosti pojmu matice lineárního zobrazení. V matici D jsou totiž po sloupcích shromážděny souřadnice obrazů bázových vektorů ei,e2,.... Tyto vektory podle předpokladu tvoří ortonormální bázi, tzn. . e3■ = 1 nebo 0 podle toho, zda i = j nebo i 7^ j. Bázové vektory tvoří krychli s objemem 1. Absolutní hodnota det D je rovna objemu rovnoběžnostěnu určeného obrazy e[,e2,... bázových vektorů; odtud plyne první část věty. V součinu matic DT • D se na z-tém řádku a j-tém sloupci nalézá právě hodnota skalárního součinu e - . e p odtud plynou zbylá dvě tvrzení. □ 15.4 Obzvlášť jednoduché případy Tady jmenujeme zobrazení s nejjednoduššími analytickými vyjádřeními. Ve všech případech se jedná o afinní transformace, jejichž indukované lineární zobrazení je násobkem identity. V dalších odstavcích jsou tyto transformace zmiňovány jako takové základní transformace, které mají samodružné všechny směry. Jinými slovy můžeme tyto transformace charakterizovat jako takové afinní transformace, které zobrazují libovolnou přímku na přímku s ní rovnoběžnou (nebo bod). Nejzákladnějším zobrazením v následujícím seznamu je stejnolehlost, všechny ostatní položky lze chápat jako její speciální, resp. mezní případy. 3Vzhledem k vyjádření (15.4) je det F = det D. 15 Analytická vyjádření a charakterizace 109 Definice. Stejnolehlost je afinní transformace určená středem S a koeficientem k e R, a to tak, že S~X' = k ■ S~Ít, neboli X' = S + k-SX~. Obrázek 15.7: Stejnolehlost se středem S a koeficientem k = 2. Vedle jména a obecného analytického vyjádření uvádíme také matici zastupujícího lineárního zobrazení: • identita: X' = X, F = 1 0 0 E, • posunutí o vektor v: X' = X + v, F = • stejnolehlost se středem S a koeficientem k: 1 0 v E, X' = kX + (1 - k)S, F = , (15.6) • středová souměrnost se středem S: X' = —X + 2S, F 1 0 ,2S -E, promítání do bodu S: X' = S, F = 1 0 S 0, Identita, středová souměrnost, resp. promítání do bodu jsou speciálními, resp. degenerovanými případy stejnolehlosti odpovídající hodnotám k= 1,-1, resp. 0. Posunutí je možné interpretovat jako stejnolehlost se středem v nekonečnu (a tedy koeficientem k = 1)... Identita, posunutí a stejnolehlost s koeficientem k > 0 jsou přímé afinity. Stejnolehlost s koeficientem k < 0 je přímá právě tehdy, když dimenze afinního prostoru je sudá. Promítání do bodu je maximálně degenerované (singulární) zobrazení, často přezdívané jako nulové zobrazení 110 V Geometrická zobrazení blížeji Ve všech těchto případech jsme schopni během několika sekund rozhodnout o druhu zobrazení, známe-li jeho analytické vyjádření. V ostatních případech se tomu budeme učit, a to zejména analyzováním tzv. samodružných prvků... 15.5 Cvičení (1) Projektivní transformace v rovině jsou dány maticemi zastupujících lineárních zobrazení: 2 0 1\ / 3 0 0 \ / 1 0 0 \ /l 0 0 \ 0 2 0,-2 1 -2,1 3 4,0 0 -1. 0 0 6/ \-3 -3 OJ \-í 4 -3/ \2 1 OJ V každém z těchto čtyř případů: • začněte s obrázkem a pokuste se odhadnout typ transformace, • určete typ transformace a rozhodněte, zdaje transformace regulární/singulární, • v případě afinit určete modul a rozhodněte, zdaje transformace přímá/nepřímá/upřímná, • určete obraz několika dalších bodů, např. bodu E = [1,1] či nevlastních bodů odpovídajících souřadným osám. (2) Další čtyři projektivní transformace jsou dány obrazy bodů A =[0,0], B=[2,0], C = [0,2], D=[2,2], a to následujícími způsoby: • A' = [6,2],B' = [9,2],C' = [7,4], D' = [9,3], • A' = [6,2],B' = [9,2],C' = [7 AID' = [10,4], • A' = [9,4],B' = [9,1],C" = [6,4], D' = [6, 1], • A' = [9,4],B' = [9,2],C" = [7 AID' = [7,2]. Určete analytická vyjádření těchto transformací a řešte předchozí sérii úloh. (3) Určete analytické vyjádření osové souměrnosti v rovině (resp. v prostoru) podle osy určené body A = [2,0] a B = [0,2] (resp. A = [2,0,0] a B = [0, 2, 0]). (4) Určete analytické vyjádření středového promítání se středem S = [0,0,4] trojrozměrného prostoru do roviny a = {x\ + x2 = 3}. (5) Pokud toho ještě nemáte dost, složte některé z výše uvedených transformací a řešte znovu některé z předchozích úloh. (6) Konfrontujte svoje předchozí výsledky s nějakou vhodnou názornou pomůckou.4 4Viz např. http://www.geogebratube.org/student/mWpijCH4E 16 Samodružné prvky 111 16 Samodružné prvky Ve zbytku této kapitoly diskutujeme téměř výhradně transformace / : A —>• A projektivního rozšíření nějakého afinního prostoru A, tj. zobrazení takového prostoru do sebe. Velmi užitečnou informaci o druhu dané transformace poskytují samodružné, neboli invariantní prvky. Několik příkladů klasifikací podle samodružných prvků uvádíme v podkap. 18. Samodružné podmnožina M c A transformace / je taková podmnožina, která se zobrazuje sama do sebe, tj. /(M) C M. Speciálně, samodružné body jsou právě pevné body transformace. Samodružné body mohou být jak vlastní, tak nevlastní. Nevlastním samodružným bodům se říká samodružné směry. Nezapomeňte, že je nutné rozlišovat mezi samodružnými podmnožinami a podmnožinami samodružných bodů! • W je lineární transformace odpovídající projektivní transformaci / : A —>• A a a je nějaké reálné číslo. To znamená, že: Samodružné body projektivní transformace f odpovídají právě (nenulovým) charakteristickým vektorům zastupující lineární transformace F. Určit charakteristické vektory lineární transformace F bychom měli umět z lineární algebry. Pro jistotu si základní myšlenky stručně připomeneme... Algebraická odbočka Podmínka (16.7) je v souřadnicích ekvivalentní soustavě lineárních rovnic (F - ae) • x = 0, (16.8) kde F je matice zobrazení F a e je jako obvykle jednotková matice. Tato soustava má netriviální řešení právě tehdy, když det(F - ae) = 0. (16.9) Determinant na levé straně je polynom v proměnné a, jehož kořeny jsou tzv. charakteristická čísla transformace F.5 Charakteristické vektory odpovídající příslušným charakteristickým číslům získáme řešením soustavy (16.8), kam postupně tato čísla dosazujeme za a. Zejména, charakteristické vektory odpovídající témuž charakteristickému číslu tvoří vektorový podprostor ve W. Naopak, nenulové charakteristické vektory odpovídající různým charakteristickým číslům jsou nutně lineárně nezávislé. 6Místo přívlastku charakteristický/-á/-é se v algebře zpravidla stručněji říká vlastni. Z pochopitelných důvodů se raději držíme prvního pojmenování. 112 V Geometrická zobrazení blížeji Afinní případ Pokud je transformace / afinní, pak vzhledem k charakterizacím z odst. 15.3 můžeme soustavu (16.8) psát jako 0 VH = Í°V («"o) c d-ae/ lx/ \ol Odtud vidíme, že vlastní samodružné body (x0 = 1) afinní transformace / nutně odpovídají charakteristickému číslu a = 1 a jsou řešením soustavy (d-e)-X = -c, (16.11) zatímco samodružné směry, tj. nevlastní samodružné body (x0 = 0) mohou odpovídat jakýmkoli charakteristickým číslům a a jsou řešením soustavy (d - ae) • X = 0. (16.12) Všimněte si, že (16.11) je ekvivalentní s (15.5) po dosazení X' = X... 16.2 Jednoduchá pozorování Z předchozího výkladu bezprostředně vyplývá několik geometricky zajímavých výsledků s velmi jednoduchým algebraickým zdůvodněním. Samodružný bod bez dalšího přívlastku může být jak vlastní, tak nevlastní; tyto případy rozlišujeme pouze tam, kde to je nutné. Projektivní Věta. (1) Každá projektivní transformace projektivního prostoru sudé dimenze má aspoň jeden samodružný bod. (2) Samodružné body odpovídající témuž charakteristickému číslu, tvoří projektivní podpro-stor. Důkaz. (1) Matice zastupujícího lineárního zobrazení má rozměry o 1 větší než je dimenze prostoru. To znamená, že charakteristický polynom (16.9) je lichého stupně. Protože je to polynom s reálnými koeficienty, má nutně aspoň jeden reálný kořen. Pro každý takový kořen máme garantováno netriviální řešení soustavy (16.8), jež určuje samodružné body transformace. (2) Samodružné body odpovídající charakteristickému číslu a jsou určeny řešením homogenní soustavy lineárních rovnic (16.8). Všechna tato řešení tvoří vektorový podprostor v zastupujícím vektorovém prostoru W, jenž zastupuje projektivní podprostor v projektivním prostoru V(W). □ Povšimněte si, že neříkáme nic o samodružných bodech odpovídajícím různým charakteristickým číslům. Úplně klidně se tak může stát, že projektivní transformace má několik izolovaných navzájem různých samodružných bodů. (Tyto body pak nutně odpovídají různým charakteristickým číslům, takže jich nemůže být víc než je dimenze zastupujícího vektorového prostoru...) 16 Samodružné prvky 113 Afinní Věta. (1) Projektivní rozšíření každé afinní transformace afinního prostoru libovolné dimenze má aspoň jeden samodružný bod (vlastní nebo nevlastní). (2) Projektivní rozšíření každé afinní transformace afinního prostoru liché dimenze má aspoň jeden nevlastní samodružný bod. (3) Pokud má afinní transformace nějaké vlastní samodružné body, pak všechny tyto body tvoří afinní podprostor. Důkaz. (1) Matice zastupujícího lineárního zobrazení je tvaru (15.4). Odtud plyne, že A = 1 je vždy kořenem charakteristického polynomu, viz též zápis (16.10). (2) Nevlastní samodružné body jsou řešením soustavy (16.12). Charakteristický polynom det(D — AE) je polynom s reálnými koeficienty a je lichého stupně. Proto má aspoň jeden reálný kořen. (3) Vlastní samodružné body jsou určeny jakožto řešení (nehomogenní) soustavy lineárních rovnic (16.11). Množina všech vlastních samodružných bodů je proto buď prázdná, nebo tvoří afinní podprostor y A. □ Z uvedeného mimo jiné vyplývá, že pokud má afinní transformace dva různé vlastní samodružné body, potom jsou samodružné také všechny body na přímce, která tyto body spojuje. Pro nevlastní samodružné body (samodružné směry) něco podobného platí, pouze když odpovídají témuž charakteristickému číslu, viz předchozí diskuzi... Podobné a shodné Nyní zúžíme naši pozornost na podobnosti a shodnosti. V následující větě jsou shodnosti zahrnuty jakožto podobnosti s koeficientem k = 1: Věta. Pro každou podobnost f : £ —>• £ s koeficientem k platí: (1) Modul transformace f je roven ±kn, kde n = dimf. (2) Je-li A reálné charakteristické číslo transformace /*, pak A = ±k. (3) Samodružné směry odpovídající různým charakteristickým číslům jsou navzájem kolmé. (4) Je-li U C ~é samodružný podprostor transformace ~f*, pak také kolmý doplněk U1- je samodružným podprostorem. Důkaz. (1) Modul / je podle definice právě determinant detD, přičemž matice D je tvořena obrazy vektorů ortonormální báze. Modul / je tedy (orientovaný) objem obrazu jednotkové krychle. Pokud je / podobnost, může to být jedině ±kn. (2) Indukované zobrazení /* zachovává velikosti vektorů až na konstantní násobek k. 114 V Geometrická zobrazení blížeji (3) Charakteristické vektory odpovídající různým charakteristickým číslům jsou lineárně nezávislé; vybrané vektory označíme u a v. Přitom charakteristická čísla jsou v našem případě pouze k a —k, tudíž jeden z vektorů se zobrazuje na svůj fc-násobek a druhý na —fc-násobek; řekněme u' = ku a v' = —kv. Odchylka vektorů se zachovává <(u, v) = <(u', v') a současně 7T = <(v, v') = <(v, U) + <(U, v') = <(v, U) + <(u', v'). Odtud plyne, že <(u, v) = <(u', v') = §. Obrázek 16.8: Charakteristické vektory odpovídající různým charakteristickým číslům jsou lineárně nezávislé (4) Uvažme libovolný vektor w e U-1, tzn. w _L U. Podle předpokladu je také w' _L U', kde U' C U značí obraz podprostoru U. Zúžení podobnosti na jakýkoli invariantní podprostor je zase podobnost (tedy bijekce), proto je obrazem U tentýž podprostor (tedy nikoli nějaký menší podprostor). Proto je w' _L U, neboli w' e U1-. □ Díky druhému tvrzení nemusíme při určování samodružných směrů podobných (tedy i shod-(Eě> ných) transformací pracně hledat kořeny charakteristického polynomu! Stačí jenom ověřit jediné dva možné kandidáty A = iaA=- k. Věta. Každá podobná transformace, která není shodností, má právě jeden vlastní samod-ružný bod. Důkaz. Vlastní samodružné body jsou řešením soustavy rovnic (16.11). Tato soustava má jednoznačné řešení právě tehdy, když determinant matice D — E je nenulový. Kdyby byl tento determinant nulový, znamenalo by to, že indukovaná lineární transformace by měla charakteristické číslo 1. To by však bylo v rozporu s tvrzením (2) v předchozí větě. Proto je det(D - E) ^ 0 a soustava má jednoznačné řešení. □ 16.3 Cvičení (1) Pro každou transformaci ze cvičení 15.5 určete všechny její samodružné body. (2) Zapřemýšlejte, zda některý z předchozích výsledků neumíte vymezit konstrukčně. (3) Udejte příklad projektivní transformace v rovině (včetně analytického vyjádření), která má vlastní samodružný bod B = [1, 0] a bod C = [0, —1] zobrazuje na C = [3, 2]. 17 Základní transformace 115 17 Základní transformace Z dřívějška známe několik příkladů základních transformací, a to zejména v rovině. V této části tento přehled okomentujeme, doplníme a jako obvykle zobecníme. 17.1 Základní transformace v rovině Základní bijektivní (regulární) transformace v rovině jsou: • osová kolineace (základní kolineace), • osová afinita (základní afinita), • stejnolehlost (základní podobnost), • osová souměrnost (základní shodnost). Důvod, proč těmto zobrazením říkáme základní, tkví v tom, že skládáním základních transformací je možné vyjádřit všechny transformace určitého typu (viz odst. 17.3). Kromě toho všechny transformace v uvedeném výčtu mají něco společného — všechny základní transformace mají: • osu = přímku samodružných bod, • střed = samodružný bod takový, že každá přímka jdoucí tímto bodem je samodružná. Osa a střed mohou být jak vlastní, tak nevlastní a podle toho taky můžeme jednotlivé typy základních transformací rozlišovat. Před tím, než tak učiníme, připomeneme si několik základních informací o úplně nejzákladnější transformaci v rovině, tj. o osové kolineaci. Všechny ostatní základní transformace chápeme jako speciální, resp. limitní případy osové kolineace. Mezi takové mezní případy samozřejmě patří: • středové promítání do přímky (projektivní), • rovnoběžné promítání do přímky (afinní). Tyto příklady chápeme jako základní singulární transformace v rovině. Obě tyto transformace mají přímku samodružných bodů, tedy osu. Střed promítání však není středem ve výše vymezeném smyslu — obraz tohoto bodu není vůbec definován, tudíž nemůže být samodružný! Tyto ve smyslu definice na str. 108. Případ identické transformace, resp. promítání do bodu uvádíme v závorkách, protože se jedná o triviální, resp. degenerovaný případ, který do tohoto přehledu sice patří, ale není základní transformací ve výše vymezeném smyslu. Termín „harmonická souměrnost11 není úplně obvyklý, pročež je raději v uvozovkách; v tomto případě je modul roven —1, což znamená, že každá čtveřice (X',X,X0, S) je v harmonickém poměru. Šikmá souměrnost je harmonická souměrnost 6Definici dvojpoměru čtveřice bodů najdete v odst. 13.3. Pojmenování modul se může zdát vzhledem k předchozímu užití pro afinní transformace nevhodné — níže vysvětlujeme, že tomu tak není. 17 Základní transformace 117 Obrázek 17.10: Obraz bodu X v osové afinitě určené osou, směrem a obrazem bodu A. s nevlastním středem a osová souměrnost je navíc charakterizována tím, že směr souměrnosti je kolmý k ose. Uvědomte si, že podmínky v jednotlivých sloupcích nejsou úplně nezávislé! Z předchozího @ např. víme, že pokud S G o, potom je modul nutně roven 1. Taky se jistě nemůže stát, aby S i o byly nevlastní a současně S £ o... střed S osa o S eo modul druh vlastní vlastní ne 0 středové promítání do přímky ano 1 projektivní elace ne -1 „harmonická souměrnost" ne jinak osová kolineace nevlastní vlastní ne 0 rovnoběžné promítání do přímky ano 1 elace ne -1 šikmá, resp. osová souměrnost ne jinak osová afinita vlastní nevlastní ne 0 (promítání do bodu) ne 1 (identita) ne -1 středová souměrnost ne jinak stejnolehlost nevlastní nevlastní ano 1 posunutí Tabulka 17.2: Klasifikace základních transformací v rovině 118 V Geometrická zobrazení blížeji 17.2 Základní transformace obecně V předchozím přehledu základních transformací v rovině jsme začali postřehem, že každá taková transformace má osu a střed. V tomto odstavci ukážeme, že existence těchto prvků spolu velmi úzce souvisí. Úvodní definice vypadají takto: Definice. Střed projektivní transformace je samodružný bod takový, že každá přímka procházející tímto bodem je samodružná. Nadosa projektivní transformace je nadrovina samodružných bodů. Projektivní transformace, která má nadosu, se nazývá základní transformace. Jinak můžeme říct, že základní transformace jsou neidentické transformace s maximálním možným podprostorem samodružných bodů. Nejzákladnější transformací v obecném projektivním prostoru je nadosová kolineace a podobně modifikujeme ostatní pojmenování z předchozího odstavce. Základní singulární transformací je promítání do nadroviny. Klasifikace základních transformací je až na tyto změny v názvosloví úplně stejná jako v tab. 17.2, proto se jí dále nezabývat nebudeme. Místo toho dokážeme dvě obecná tvrzení, jež jsme zatím přehlíželi. Jedná se o působivé zobecnění Desarguesovy věty: Věta. Předpokládejme, že f je neidentická regulární projektivní transformace. Potom platí: (1) f má nadosu právě tehdy, když f má střed. (2) f má buď právě jednu nadosu (a právě jeden střed), nebo žádnou nadosu (a žádný střed). Nejdřív trochu značení: dimenze projektivního prostoru je n, tzn. dimenze zastupujícího vektorového prostoru je n + 1 (což je také stupeň charakteristického polynomu (16.9)). Důkaz. (1) Nadosa O je nadrovina samodružných bodů, jež odpovídá všem řešením soustavy (16.8). Odpovídající charakteristické číslo a proto musí být kořenem charakteristického polynomu s násobností alespoň n. Protože má tento polynom reálné koeficienty a známe n jeho reálných kořenů, musí mít ještě jeden reálný kořen, který si označíme třeba [i. (a) Pokud je [i ^ a, pak charakteristický vektor odpovídající p je lineárně nezávislý vzhledem ke všem vektorům odpovídajícím číslu a. To znamená, že tento vektor reprezentuje samodružný bod S, který neleží v nadose O. Libovolná přímka jdoucí bodem S protíná nadrovinu O v bodě, který je samodružný. Proto je libovolná přímka jdoucí bodem S samodružná, tudíž S je střed. (b) Pokud je /i = a, pak střed musí ležet v nadose o a v následujícím jej vymezíme. Uvažme libovolný bod A £ O a jeho obraz A'. Protože transformace není identita, platí A' ^ Aa, tyto dva body určují přímku, kterou označíme a. Přímka a protíná nadosu O v samodružném bodě Sa, a proto je a samodružná. Podobně pro libovolný jiný bod B ^ O platí, že b = BB' je samodružná přímka; průsečík b s nadosou O označíme Sb- Protože a i b jsou samodružné přímky, je jejich průsečík samodružným bodem, a proto musí ležet v nadose O. Odtud plyne, že Sa = Sb je hledaný střed. 17 Základní transformace 119 Obrázek 17.11: Pokud existuje nadosa O, potom existuje střed: (a) S £ O, (b) S e O jakožto společný bod Sa = Sb = S'b = S'a. Naopak, předpokládejme, že S je středem transformace /. Uvažme n + 1 libovolných bodů Ai,A2,... takových, že spolu s bodem S jsou v nejobecnější možné poloze (tzn. žádná (n + 1)-tice neleží v jedné nadrovině). Podle předpokladu se aspoň jeden z těchto bodů musí zobrazit někam jinam než sám na sebe; řekněme, že A[ ^ A\. Nyní postupně uvažujeme dvojice přímek Pi = A\Ai a p- = A\A\, kde i = 2,3,____Protože každý bod A\ leží na přímce SAi, patří každá dvojice přímek pi, p ■ do nějaké roviny. Proto se pi a p ■ protínají, a to v samodružném bodě, který označíme O i. Z úvodních předpokladů lze vydedukovat, že body 02, O3,... tvoří nadrovinu O, @ jejíž každý bod je samodružný. Proto je O nadosou. Obrázek 17.12: Pokud existuje střed S, potom existuje nadosa O jakožto nadrovina určená body 0\, 02,... (2) Přemýšlejme, co by se stalo, kdyby transformace / měla dvě různé nadosy: Uvažme dvě libovolné přímky a a b jdoucí libovolným bodem C, který neleží ani v jedné nadose. Jak a, tak b by protínala každou z nados v samodružných bodech, proto by jak a, tak b byla samodružnou přímkou. Odtud by plynulo, že C by byl samodružný bod, což by v důsledku znamenalo, že transformace by byla identická. Podobně, se by se dalo zdůvodnit, že kdyby transformace měla dva různé středy, pak by to tím více máme volnosti v možných rozkladech... Obrázek 17.13: [Sek] Každá shodnost v rovině je složením nejvýše tří osových souměrností. Poznámky (1) Vzhledem k předchozí jemnější klasifikaci základních transformací se můžeme ptát, co lze získat skládáním základních transformací jistého druhu. Úvahy tohoto typu doporučujeme jako (Eě> užitečné cvičení. Jistou nápovědou může být, že v afinním případě je modul složené transformace roven součinu modulů transformací, z nichž je tato složena. Na ukázku uvádíme jeden z možných výsledků: Každá ekviafinita v prostoru dimenze n lze vyjádřit jako složení nejvýše n + 1 šikmých souměrností. 17 Základní transformace 121 Šikmá souměrnost je tedy o něco „základnější" ekviafinita než oblíbená elace. (2) Skládáním základních transformací, které mají stejnou nadosu, musí být zase základní transformace s toutéž nadosou. Speciálně, složením transformací s nevlastní nadosou (posunutí, stejnolehlost) dostáváme transformaci se stejnou vlastností. Jinými slovy, posunutí a stejnolehlost (a její speciální, příp. degenerované podoby) jsou jediné transformace, které mají všechny směry samodružné, a jejich skládáním nemůžeme dostat nic typově jiného. Triviálním poznatkem tohoto druhu je: Složením posunutí o vektor u a posunutí o vektor v je posunutí o vektor u + v. Méně triviální poznatek je zformulován v následující větě: Věta (o skládání stejnolehlostí). V libovolném eukleidovském prostoru uvažujme stejnolehlosti hi se středy Si a koeficienty ki (i = 1,2); složené zobrazeníh2 o h\ označíme h. (a) Pokud k]k2 = 1 a S\ = S2, potom je h identita. (b) Pokud kxk2 = l a S2, potom je h posunutí o vektor v = (1 — k2)S\S2. (c) V ostatních případech je h stejnolehlost s koeficientem k = k^k2 a středem S = Si +---——SiS2. 1 - kxk2 Konstrukční zdůvodnění téměř celé věty v eukleidovské rovině známe z kurzu konstrukční geometrie.7 Všechno najednou a úplně obecně dokážeme z explicitního vyjádření složeného zobrazení pomocí (15.6). Důkaz. Stejnolehlost h\, resp. h2 je určena předpisem h\{X) = k\X + (1 — ki)Si, resp. h2(X) = k2X + (1 — k2)S2. Složené zobrazení h = h2o h\ je tedy určeno předpisem h(X) = h2 (kxX + (1 - k^Si) = ■■■ = k2kxX + k2(l - k^Si + (1 - k2)S2. Odtud postupně vyvozujeme: (a) Pokud je k\k2 = 1 a Si = S2, potom po dosazení dostáváme h(X) =X + 0, což jsou transformační rovnice identického zobrazení. (b) Pokud je kik2 = 1 a 5i ^ 52, potom po dosazení a úpravě dostáváme h(X) = X + (l-k2)(S2-S1), což jsou transformační rovnice posunutí o vektor v = (1 — k2)SiS2. 7Podstatná část tvrzení (3) tkví v tom, že střed S leží na přímce S1S2. 122 V Geometrická zobrazení blížeji (c) V ostatních případech je h obecná stejnolehlost s koeficientem k = kik2. Pokud S značí střed stejnolehlosti h, pak její transformační rovnice jsou h(X) = kX + (1 — k)S. Porovnáním s předchozím vyjádřením h dostáváme c_ fc2(l-fc1)c ,l-k2 S- 1-k Sl+i~kh2' což je ekvivalentní s vyjádřením ve větě. □ Všechny stejnolehlosti, posunutí a identické zobrazení tvoří grupu, které se říká Mongeova grupa. Bezprostředním důsledkem předchozí věty je tzv. Mongeova věta (o středech stejnolehlostí tří kružnic v rovině)... 17.4 Cvičení (1) Pro každou transformaci ze cvičení 15.5 rozhodněte, zdaje nebo není základní; pokud je, tak ji pojmenujte. (2) Udejte příklad transformace v rovině (včetně analytického vyjádření), která má vlastní osu, nevlastní střed a modul = 1. (3) Transformace eukleidovské roviny je dána analytickým vyjádřením: f(x1,x2) = (x2 + 4, -xi). Dokažte, že / je shodnost a vyjádřete / jako složení osových souměrností. (4) Jsou dány dvě transformace v rovině: /i = stejnolehlost se středem Si = [2,1] a koeficientem k\ = 2, f2 = stejnolehlost se středem S2 = [4, —1] a koeficientem k2 = \. Určete druh a určující prvky transformace f2 o /1, resp. /i o f2. 18 Další klasifikace a poznámky V této části doplníme ještě několik postřehů k jednotlivým typům transformací, zejména ke shodnostem a podobnostem. 18.1 Shodnosti Již od útlého mládí známe všechny shodnosti v rovině a navíc je umíme pojmenovat. V tomto odstavci nabízíme zdůvodnění, proč jich není víc, představíme jejich klasifikaci pomocí samod-ružných prvků a současně řekneme něco o jejich analytickém vyjádření. Poté naznačíme, jak to vypadá se shodnostmi v obecném eukleidovském prostoru. 18 Další klasifikace a poznámky 123 Klasifikace shodností v rovině V rovině rozlišujeme následující druhy shodností: (1) identita, (2) posunutí, (3) otáčení, (3') středová souměrnost, (4) osová souměrnost, (5) posunutá souměrnost. Středová souměrnost je otáčení o přímý úhel, proto ji podřazujeme obecnému otáčení. První tři transformace jsou přímé, poslední dvě nepřímé. Při prvním pokusu o vyjmenování všech shodností v rovině se obvykle zapomíná na posunutou souměrnost, což je složenina osové souměrnosti a posunutí (ve směru osy). Obrázek 18.14: [Mar] Nezapomínejme na posunutou souměrnost! Skládáním shodností můžeme dostat zase jenom shodnost — skládáním všech možných dvojic výše vyjmenovaných shodností lze ukázat, že tento výčet je úplný. kém tvaru. Analytické vyjádření shodnosti vzhledem k obecné kartézské souřadné soustavě není o moc komplikovanější než výše uvedené. Podmínka DT • D = E z druhé věty v odst. 15.3 je natolik omezující, že matice D může být pouze dvojího typu, a to buď n+=(COSa -Shia), nebo D_=fCOSa SmU), (18.14) ^sm a cos a J ysm a — cos a J v ' kde a e M a znaménka zřejmě rozlišují shodnost přímou a nepřímou. Názornou interpretaci parametru a najdete na obr. 18.16. Z uvedeného by mělo být zřejmé, že pro jakoukoli shodnost v rovině je velmi snadné určit její (EĚ> transformační rovnice, viz cvičení 18.4. 18 Další klasifikace a poznámky 125 ľN. Samo družné 1 . směry BSamodrnžné^s,^ I body \- Žádný Právě dva na sebe kolmě Každý Žádný Posunutá souměrnost *:?+(:) Posunuti Právě jeden x, = f cosa -sina \^ P i sina cosa ) a*ku, k celé' Rotace o úhel diagonále právě čísla ±1 nebo bloky D± a jinak samé 0... 18.2 Podobnosti V tomto odstavci doplníme několik typických poznámek k podobnostem, které by bylo škoda opomenout. Rozklady podobností Pokud obecnou podobnost / : £ — £ s koeficientem k složíme s nějakou stejnolehlostí h : £ — £ s koeficientem -g, pak výsledná transformace g := h o / je zřejmě shodná. Protože každá stejnolehlost je invertibilní, platí / = h^1 o g. Protože inverzní transformace ke stejnolehlosti je opět stejnolehlost, právě jsme zdůvodnili následující tvrzení: Věta. Každou podobnost lze vyjádřit (mnoha různými způsoby) jako složení shodnosti a stejnolehlosti. Ve čtvrté větě v odst. 16.2 jsme dokázali, že každá podobnost, která není shodností, má právě jeden vlastní samodružný bod. Tento bod může hrát docela zajímavou roli při rozkladech zmiňovaných v předchozí větě: Uvažme podobnost / s koeficientem k a samodružným bodem S. Chceme vyjádřit / jako složení nějaké shodnosti g a stejnolehlosti h tak, aby platilo např. / = h o g. To lze samozřejmě realizovat tisícerým způsobem, ale pokud zvolíme střed stejnolehlosti h právě ve význačném bodě S, pak nutně musí být S také pevným bodem shodnosti g. Pro tento specificky zvolený rozklad navíc platí, že je jedno, v jakém pořadí stejnolehlost a shodnost skládáme, což rozhodně (KĚ> nemůžeme tvrdit obecně! Jinými slovy, pro takto (a právě takto) zvolený rozklad platí: f = ho g = g o h. Klasifikace podobností Odtud také plyne, že klasifikace podobností v libovolném eukleidovském prostoru se omezuje pouze na kompozice stejnolehlosti a shodnosti s nějakým pevným bodem. Např. v rovině tak dostáváme pouze tři typy podobností: (1) stejnolehlost, 18 Další klasifikace a poznámky 129 (2) stejnolehlost složená s otáčením (kolem středu stejnolehlosti), (3) stejnolehlost složená s osovou souměrností (jejíž osa prochází středem stejnolehlosti). Bez ohledu na znaménko koeficientu stejnolehlosti platí, že první dva případy představují přímé podobnosti, třetí je nepřímá. 18.3 Afinity Většinu afinit nemáme vůbec pojmenovánu. Přitom všechny, které pojmenovány máme, jsme zmínili mnohem dříve. Pro zajímavost a porovnání přikládáme přehled všech afinit v rovině podle jejich samodružných prvků, viz tab. 18.5. Seznam je pořád relativně malý a jen mírně rozšiřuje/zobecňuje klasifikaci shodností, která je v tab. 18.3. Všimněte si zejména míst, která byla v přehledu shodností prázdná. iii'i ií, H ťtcťlŕ naiĚvy dle itĽ Laidv sajnůdruíny bod 1 x'« x * by v'»v*ít : Íf'-JT + p v'- 3 jf í + p r'™ v + í i ^ ii p í-0, J ŕ 0, d * 1_ ■: iví i. ■!■ i: bod 4 xax + by \' -/'.V I ttV S j'« ux 4 by i ■' íí\ 6 .Y''-*1 £ij ľ' ŕA 7 ľ' :,T u ? 0, iŕ s 1, b r 0 tni ?0, u ř r/, a * i, tl x L a 0, a f 1 niiiúžiuoLj 1: bodů Je 3 v'- v 9 jt'» j-l1'" í/f iŕO rf *C. J ? 1 kaidý hod 10 x '■ í ]. Afinita tloiená z eltce a translace 1. Afíniti slaiená 2 osové afinity a wanslace 3. Translace 4. Afinita íioAiná 2 rotace a stejnolehlosti 5. Afinita slaiená 2 ěíscě- a stejnolehlosti f>. Afinita slaiená 2 oso té afinity a stejnolehlosti 7. Stejnolehlost B. Elace 9. Osa v a afinita 10. identita Tabulka 18.5: [ŘI2] Klasifikace afinit v rovině. Transformační rovnice v tabulce jsou opět v tzv. kanonickém tvaru, tj. vzhledem k velmi vhodně zvolené afinní (ne nutně kartézské) souřadné soustavě... 130 V Geometrická zobrazení blížeji 18.4 Cvičení _ (1) Pojmenujte všechny dosud nepojmenované shodnosti z předchozích cvičení. (2) Odvoďte charakterizaci (18.14) přímým výpočtem. Vyjádřete charakteristická čísla a charakteristické vektory transformací určených těmito maticemi a porovnejte výsledek s obr. 18.16. (3) V eukleidovské rovině určete transformační rovnice • otáčení kolem bodu S = [0, 2] o úhel a = +60°, • osové souměrnosti podle přímky určené rovnicí 2x — y = 2. • posunuté souměrnosti určené osou y = x + 1 a vektorem v = (—1,1). (4) Všechny podobnosti z předchozích cvičení vyjádřete jako složení shodnosti a stejnolehlosti. (5) Řešte tutéž úlohu tak, aby rozklad nezávisel na pořadí dílčích transformací. (6) Podle tab. 18.5 klasifikujte všechny afinity z předchozích cvičení. KAPITOLA VI Dodatky 19 Pseudo-eukleidovské prostory Pseudo-eukleidovský prostor je vektorový, resp. afinní prostor vybavený pseudo-skalárním součinem, což je něco jako obyčejný skalární součin (symetrická a bilineární forma), akorát nemusí být pozitivně definitní. To znamená, že existují nenulové vektory, které mají nulovou „velikost" (u . u = 0 neznamená nutně, že u = o). Pseudo-skalární součin však je — stejně jako skalární součin — nedegenerovaný. To znamená, že neexistují nenulové vektory, které by byly „kolmé" ke všem ostatním (pokud je u . x = 0 pro všechna x, potom u = o). Stejně jako v obyčejném eukleidovském prostoru máme k dispozici ortogonální báze (ej.ej = 0 pro i j). Na rozdíl od obyčejného eukleidovského prostoru máme problém s otronormálními bázemi (e^ . může mít libovolné znaménko, tedy nelze trvat na +1). Pro lib. ortogonální bázi však nemůže být . =0 (plyne z nedegenerovanosti) a počet kladných a záporných znamének mezi čísly e j. e^, i = 1,..., n, kupodivu nezávisí na volbě báze (plyne z tzv. věty o setrvačnosti). Tato dvojice čísel představuje základní charakteristiku pseudo-skalárního součinu, tzv. signaturu. Ve vhodné ortogonální bázi má tedy kvadratická forma u u . u souřadnicový tvar / \ . 2 , , 2 2 2 (u1,...,un) h^m1H-----\-up-up+1-----un, což odpovídá signatuře (p, n — p). Obyčejný skalární součin můžeme chápat jako pseudo-skalární součin signatury (n, 0). Stejně jako jsou shodnosti eukleidovského prostoru zobrazení zachovávající skalární součin, jsou pseudo-shodnosti pseudo-eukleidovského prostoru zobrazení zachovávající pseudo-skalární součin. Jejich maticová charakterizace je obdobná jako v odst. 15.3: v zavedeném značení můžeme tuto vlastnost vyjádřit jako DT • E • D = E, (19.1) kde E značilo jednotkovou matici (tedy matici skalárního součinu vzhledem k ortonormální bázi). Pro pseudo-shodnosti je akorát potřeba E nahradit odpovídající maticí pseudo-skalárního součinu (pro signaturu (p, n — p) a vhodnou volbu báze by to byla diagonální matice s p jedničkami a n — p mínus jedničkami). 132 VI Dodatky Na rozdíl od eukleidovské geometrie nelze ve studiu té pseudo-eukleidovské příliš spoléhat na intuici — mnoho věcí funguje jinak anebo vůbec (viz např. Cauchyova-Schwarzova nebo trojúhelníková nerovnost). Přesto existuje několik dobrých důvodů, proč se pseudo-objekty zabývat. Kromě ryze matematických souvislostí (viz následující podkapitoly) zdomácněly i ve fyzice. Např. matematické pozadí speciální teorie relativity spočívá ve čtyřrozměrném pseudo-eukleidovském prostoru signatury (1, 3), odpovídající pseudo-shodnosti jsou tzv. Lorentzovy transformace. 20 Další geometrická zobrazení V tomto kurzu jsme při studiu geometrických zobrazení nevybočili z linie shodná—podobná— afinní—projektivní. Jenom ze slušnosti jsme si na obr. 15.6 připomněli další dva typy (kontaktní a konformní), které jsme zmiňovali v kurzu konstrukční geometrie a ke kterým máme dva sympatické a užitečné příklady (dilatace a kruhová inverze). Díky základní větě projektivní geometrie umíme každé projektivní (tedy i afinní, podobné a shodné) zobrazení reprezentovat nějakým lineárním zobrazením. Vzhledem k volbě báze je každé takové zobrazení jednoduše určeno maticí, a to tak, že obraz bodu odpovídá součinu matice a zastupujícího vektoru a skládání zobrazení odpovídá násobení matic. Přitom bod projektivního prostoru je zastoupen vektorem z vektorového prostoru, který je o jednu dimenzi větší. Projektivní transformace n-rozměrného prostoru proto odpovídají maticím řádu n + 1. Je zajímavé, že také konformní (a některá kontaktní) zobrazení je možné reprezentovat podobně jednoduchým způsobem. Příslušné matice jsou akorát o něco větší. Např. konformní transformace n-rozměrného eukleidovského prostoru odpovídají pseudo-shodnostem jistého pseudo-eu-kleidovského prostoru signatury (n + 1,1), tedy maticím řádu n + 2 splňujícím podmínku typu (19.1). Mezi známé příklady konformních zobrazení patří kromě kruhové (resp. sférické) inverze ještě např. stereografická nebo Mercatorova projekce... -!50-120*-90"-SO'-SO* 0° 30° 60' 90* 120' 150" 180* Obrázek 20.1: [Be] Mercatorovo zobrazení je konformní. 21 Kuželosečky a kvadriky Jak napovídá název, kuželosečky jsou sečky (rovinné řezy) kužele (přesněji kuželové plochy). Kuželosečky můžou být degenerované, resp. nedegenerované, podle toho, zda sečná rovina prochází, resp. neprochází vrcholem kužele. 21 Kuželosečky a kvadriky 133 Obrázek 21.2: Několik kuželo-seček. Degenerovanými kuželosečkami se teď zaobírat nebudeme, nedegenerované kuželosečky jsme zvyklí rozdělovat do tří skupin: elipsy, paraboly, hyperboly. Toto dělení vlastně odpovídá afinní klasifikaci — jakékoli dvě kuželosečky ze stejné skupiny jsou afinně ekvivalentní, tzn. jednu lze zobrazit na druhou pomocí nějaké afinity. Např. každá elipsa je afinním obrazem kružnice. Jakmile začneme rozlišovat různě šišaté elipsy a různě velké kružnice, díváme se na kuželosečky metrickýma očima — odtud metrická klasifikace. Z projektivního hlediska jsou všechny nedegenerované kuželosečky navzájem ekvivalentní. Zejména každá taková kuželosečka je projektivním obrazem kružnice (viz středový průmět podstavy kužele z vrcholu kužele do roviny řezu). Kuželosečky, jakožto rovinné křivky, lze vymezit mnoha dalšími a navzájem ekvivalentními způsoby. Např. analyticky, vzhledem k velmi vhodně zvolené souřadné soustavě, výše uvedené typy odpovídají řešením kvadratických rovnic následujících tří typů:1 y 2 — 2px — —x -x2 a y 2px, y 2 o i p 2 — 2px H—ar, kde a i p jsou kladná reálná čísla (s jistým metrickým významem). Vzhledem k obecné souřadné soustavě mohou tato vyjádření vypadat nejhůře nějak takto: Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (21.2) V takovém vyjádření je typ kuželosečky (natož pak parametry a a p) těžko rozpoznatelný, ale i to je možné. Jednou z nejlepších možností, jak se ve věci vyznat, je opět zaměstnat lineární algebru. Nejprve rovnici (21.2) přepíšeme pomocí matic takto: (l x y) = 0. (21.3) Vyčíslení na levé straně můžeme chápat jako dosazení vektoru x = (í,x,y) do kvadratické formy F : V —>• R, resp. symetrické bilineární formy / : V x V —>• R s právě uvedenou maticí. Rovnici kuželosečky pak zkráceně píšeme jako F(x) = /(x,x) = 0. (21.4) 1 Mimochodem, odtud je odvozeno řecké pojmenování uvedených typů kuželoseček. 134 VI Dodatky Pokud vektor x = (í, x, y) interpretujeme v duchu odst. 13.1 jako homogenní souřadnice (vlastního) bodu s afinními souřadnicemi X = [x,y],2 můžeme si s uspokojením uvědomit, že problém geometrického studia kuželoseček je tímto přeložen do algebraického studia kvadratických, resp. symetrických bilineárních forem. Podstatné je, že se nejedná o samoúčelný překlad: většinu vlastností kuželosečky, které jsou v zápise (21.2) jen těžko viditelné, lze pomocí matice (21.3) odvodit velmi snadno a rychle. Např. kuželosečka je nedegenerovaná, právě když zastupující matice je nedegenerovaná. Jako obvykle, s tímto algebraickým popisem dostáváme jednoduchá zobecnění vzhledem k dimenzi: řešení kvadratické rovnice (21.4) v (n+l)-rozměrném vektorovém prostoru V odpovídají bodům na (n — l)-rozměrné kvadrice v n-rozměrném projektivním prostoru V (V). Důležitým pojmem, jenž zobecňuje kolmost vektorů vzhledem k (pseudo-)skalárnímu součinu a z něhož je odvozeno mnoho dalších věcí, je polární sdruženosť. vektory u, v e V jsou polárně sdružené vzhledem k formě /, resp. F, pokud /(u, v) = 0. Odpovídající body v projektivním prostoru V (V) jsou pak polárně sdružené vzhledem k příslušné kvadrice. Jako obvykle, i tento algebraický nápad má hezkou geometrickou interpretaci, která je již nejméně 150 let hojně používána v různých konstrukcích (viz hesla pól, polára, polární reciprocita, konkrétně např. Gergonnovo řešení obecné Apollóniovy úlohy)... Obrázek 21.3: Tečna QP je pólem bodu Q, tečna RP je pólem bodu R, přímka QR je polárou bodu P, přímka UV je polárou bodu T, neoznačený průsečík těchto dvou přímek je pólem přímky PT atd. 22 Lieova geometrie kružnic Obecné kvadriky lze potkat ledaskde. Např. všechny cykly (orientované kružnice) v rovině lze identifikovat s body na jisté 3-rozměrné kvadrice. Stručně naznačíme, jak toto ztotožnění funguje a k čemu může být dobré. Cyklus v eukleidovské rovině je určen středem a orientovaným poloměrem, celkem tedy třemi reálnými čísly. Pokud homogenní souřadnice středu označíme (1 : s\ : s2) a poloměr označíme r, 2 Nevlastní body kuželosečky (podle jejichž počtu lze rozpoznat afinní typ) odpovídají řešením téže rovnice (21.4) s dosazeným vektorem x = (0, x, y). T T (r s, e) T 23 Kleinova geometrie přímek 135 potom cyklu c můžeme přiřadit bod ve 4-rozměrném projektivním prostoru V (V) takto: c := (1 : si : s2 : r : s\ + s2. -r2). (22.5) Divné číslo v poslední složce je vymyšleno tak, aby tento bod ležel na 3-rozměrné kvadrice určené kvadratickou formou F:ľ^is maticí / 0 0 0 0 -\\ 0 10 0 0 0 0 10 0 0 0 0-1 0 \-\ o o o oj tedy c • F • c = 0. Této kvadrice se přezdívá Lieova. Máme tedy dobře definované přiřazení cyklus c v rovině i->- bod c na Lieově kvadrice. První základní vlastností tohoto přiřazení je, že je prosté. Pokud navíc rozšíříme náš zájem také o body (které chápeme jako cykly s nulovým poloměrem) a orientované přímky (které chápeme jako cykly s nekonečně velkým poloměrem) v celé projektivní rovině, potom uvedené přiřazení bude vzájemně jednoznačné. Druhou základní vlastností (a smyslem) tohoto přiřazení je: Věta. Cykly c a d v rovině se dotýkají právě tehdy, když odpovídající body c a d na Lieově kvadrice jsou polárně sdružené, tedy c ■ F • d = 0. Nyní vidíme, že úlohy související s dotykem cyklů v rovině lze pohodlně řešit osvědčenými prostředky lineární algebry. Např. řešení úlohy Apollóniovy vypadá schematicky takto:3 (1) pro tři dané cykly a,b,cv rovině uvažme odpovídající body a, b, c na Lieově kvadrice v V (V), (2) všechny body v V (V), které jsou polárně sdružené současně k a, b, c vzhledem k Lieově kvadrice, tvoří přímku (řešení soustavy 3 lineárních rovnic), (3) tato přímka protíná Lieovu kvadriku ve dvou bodech m, n (řešení 1 kvadratické rovnice), (4) tyto body odpovídají dvěma hledaným cyklům m, n. Aby toho nebylo málo: pokud se cykly nedotýkají, pak nás může zajímat úhel, pod kterým se protínají. Odpovídající body na Lieově kvadrice nejsou polárně sdružené, tedy c ■ F ■ d ^ 0. Kupodivu lze z tohoto čísla příslušný úhel vydolovat... Všechny uvedené úvahy lze snadno rozšířit do prostorů vyšší dimenze (např. orientované sféry v 3-rozměrném prostoru odpovídají bodům na 4-rozměrné Lieově kvadrice). Jako obvykle, v malých dimenzích lze obecné algebraické nápady konkrétně geometricky interpretovat... 23 Kleinova geometrie přímek Jinou klasickou ukázkou pokročilé algebraizace nějakého geometrického problému je popis množiny přímek v 3-rozměrném prostoru. V tomto případě je nasnadě, že tato množina je 4-rozměrná. 3Toto schéma odpovídá zadání a,b,cv dostatečně obecné poloze, ve speciálních případech může být řešení víc, nebo taky žádné. 136 VI Dodatky řlj. 15. 76, Obrázek 22.4: [LiSch] K dotyku cyklů v rovině. Pro dva body určující danou přímku lze z jejich homogenních souřadnic vymyslet přiřazení do 5-rozměrného projektivního prostoru, obdobné (22.5), které vyhovuje jisté kvadratické podmínce (viz Plůckerovy souřadnice). Tak dospíváme k vzájemně jednoznačné korespondenci mezi přímkami v 3-rozměrném projektivním prostoru a body na 4-rozměrné kvadrice, které se říká Kleinova. Analogie věty z předchozí podkapitoly (tedy smysl celé konstrukce) je následující: Věta. Přímky v prostoru se protínají právě tehdy, když odpovídající body na Kleinově kvadrice jsou polárně sdružené. Tento popis je vhodný v řadě polohových úloh obcujících s přímkami (viz např. příčky mi-moběžek, přímkové plochy apod.). Zejména, pokud se přímky protínají, pak jejich průnik lze vyjádřit pomocí jednoduchých algebraických operací se zastupujícími vektory, tedy vlastně dosazením do vzorce — bez řešení soustav lineárních rovnic. Aby toho nebylo málo: pokud se přímky neprotínají, pak mají nenulovou vzdálenost, a i tu je možné vyjádřit podobně snadným způsobem. Proto je tento přístup využíván např. v počítačové grafice, kde se takových úkonů provádí tisíce a je třeba šetřit každou milisekundu... 24 Grupové akce 24.1 Působení grupy na množině Všechny bijektivní transformace na (jakékoli) množině X tvoří grupu (s operací skládání zobrazení), kterou značíme S'x-4 Grupa Sx, stejně jako jakákoli její podgrupa G C Sx, přirozeně působí na množině X; jedná se o nejjednodušší příklady akce grupy na množině. Např. grupa 4Pokud je množina X konečná a má n prvků, místo Sx zpravidla píšeme Sn a mluvíme o symetrické grupě nebo grupě permutací. 25 Grupové akce 137 symetrií krychle působí na vrcholech krychle jakožto podgrupa S$, grupa lineárních izomorfismů vektorového prostoru V je podgrupou Sy apod. Obecnou akcí grupy G na množině X se myslí přiřazení, kdy každému prvku grupy G odpovídá nějaká bijekce na množině X tak, že násobení v G koresponduje se skládáním odpovídajících bijekcí. Stručněji můžeme říct, že Definice. Akce grupy G na množině X je grupový homomorfizmus : G —>• Sx- Akci (nebo působení) konkrétního prvku g G G na X, obvykle zapisujeme jako x i->- g(x) místo správnějšího x i->- (g)(x). 24.2 Další příklady (1) Přirozená akce GL(V) (= grupa lineárních izomorfismů vektorového prostoru V) na V indukuje také akci na množině všech /j-rozměrných podprostorů ve V. (2) Grupa 0(n + 1) (= grupa shodností eukleidovského prostoru M™+1) působí na sféře Sn c Rn+1, a to zúžením přirozené akce na Rn+1. (3) R* (= R \ {0} s operací násobení) působí na libovolném reálném vektorovém prostoru V takto: r(v) = rv. (4) V (vektorový prostor jakožto komutativní grupa) působí na každém afinním prostoru A se zaměřením A = V takto: v (A) = A + v. (5) Libovolná grupa G působí sama na sobě, a to buď zprava g(h) = hg, nebo zleva g(h) = gh. (6) Sx působí na množině všech zobrazení X do Y takto: g(f) = f o g. 24.3 Orbity, tranzitivní a efektivní akce Orbita prvku x e X vzhledem k akci grupy G na X je podmnožina G(x) = {g(x) \geG}CX. Dvě různé orbity se nikdy neprotínají a sjednocení všech orbit je celá množina X. Akce grupy na množině tedy definuje relaci ekvivalence, jejíž třídy rozkladu jsou právě orbity akce. Např. akce grupy symetrií krychle na množině jejích vrcholů má jedinou orbitu (každý vrchol krychle lze zobrazit na kterýkoli jiný), akce GL(V) na V má dvě orbity (jednoprvková orbita {o} a komplementární podmnožina V \ {o}) apod. Akce G na X je tranzitivní, pokud má jedinou orbitu. Jinými slovy, jeden vybraný (ekvivalentně, každý) prvek z X lze zobrazit na kterýkoli jiný působením nějakého prvku z G. Množina X s tranzitivní akcí grupy G se jmenuje homogenní prostor grupy G. Každá orbita je tedy homogenním prostorem. Akce je efektivní (nebo věrná), pokud jediný prvek z G, který působí jako identita na X, je neutrální prvek grupy G. Ekvivalentně, odpovídající homomorfizmus

• Sx je injektivní. Rozhodněte, zda výše zmiňované akce jsou efektivní a tranzitivní; pokud nejsou tranzitivní, !/ \Ľ "J/ XXXXÁÁAs ^ ^> ^ ^ ^ Obrázek 25.5: Sedm frízových vzorů s různými grupami symetrií. 26 Třetí Hilbertův problém Tady doplňujeme diskuzi, kterou jsme vyprovokovali za větou 11.4 na str. 78, jež popisuje objem fc-rozměrného simplexu jako -g objemu jím určeného rovnoběžnostěnu. Připomínáme, jak klasikové nahlížejí tento problém pro k = 2 a 3; veškeré nespecifikované citace jsou z [Eu]: k = 2: Jinými slovy můžeme říct, že úhlopříčka v rovnoběžníku jej rozděluje na dva trojúhelníky se stejným obsahem. To je přesně obsahem tvrzení 1.41, jež odkazuje na 1.37. Těmto 26 Třetí Hilbertův problém 139 tvrzením perfektně rozumíme z kurzu konstrukční geometrie, a to s pouhým pravítkem, kružítkem a nůžkami v ruce! k = 3: V tomto případě stačí ukázat, že trojboký (obecně šikmý) hranol lze rozdělit na tři čtyřstěny se stejným objemem, což je právě tvrzení XII.7, viz obr. 26.6. Toto tvrzení se odkazuje na větu XII.5, jejíž zdůvodnění je však překvapivě mnohem komplikovanější než analogický výsledek v dimenzi 2. Obrázek 26.6: [Ha] Objem trojbokého jehlanu je roven třetině objemu opsaného hranolu. Věta XII.5 je dokázána Eudoxovou exhaustivní metodou, což je technicky poměrně komplikovaná procedura, která starověkými prostředky legitimizuje infinitezimální úvahy, jak je známe z matematické analýzy. Přirozenou otázkou je, zda to nejde udělat lépe. Právě tato pozorování jsou prazdrojem velice zajímavého Hilbertova problému č. 3: 5 • Platí pro libovolné dva mnohostěny se stejným objemem, že jeden lze rozstříhat na konečný počet menších mnohostěnů, z nichž lze složit ten druhý? Odpověď (z roku 1900) je záporná: • Mnohostěny, pro které je toto možné, musí mít stejný tzv. Dehnův invariant. Řešení je veskrze algebraické; celou zápletku i s rozumnými podrobnostmi lze najít např. v [Ha, podkap. 27]. 6http: //cs .wikipedia. org/wiki/Hilbertovy_probľ/,C3'/,A9my r 140 VI Dodatky Návody a řešení Kapitola II 4.4, str. 16 — Cvičení (3) Všechna řešení uvedené rovnice jsou {cie2x cos x + c2e2x sin x + 2 \ c\, c2 G R}. 6.2, str. 29 — Zdůvodnění věty jsou komplementární, pokud = {o}. Z první rovnosti plyne, že každý vektor S ô patří do , tudíž podprostory se protínají. Z druhé rovnosti plyne dim(Ž^ n ~Č) = dim(Z? n C) = 0, tudíž průnikem je bod. (2) Jistě je dim ,6 a dim C > 1, jinak by B a C byly rovnoběžné. Z mimoběžnosti také plyne B n C = 0, což podle předchozí věty a rovnosti (4.2) znamená, že dim(B + C) = dim(o + ~8) + 1. Dále zřejmě platí dim^t > dim(Z? + Ó) a podle (6.8) můžeme psát dim(£^ + C) = dim ^ + dim - dim(Ž^ n Celkem tedy dostáváme dim ^ > dini(£ + Č) = dim(É + + 1 = dim ~Š + dim ^ - dim(^ n ~Č) + 1. Z mimoběžnosti dále plyne, že nem roven ani ~Š ani (jinak by B a C byly rovno- běžné), tzn. jak dim B, tak dim C je > dim . Jinými slovy jak rozdíl dim ~ 1. Dosazením do pravé strany v předchozím výrazu vidíme, že platí jak dim .4 > dim B + 2, tak dim .4 > dim C + 2. (3) Protože C je nadrovina a B je s ní různoběžný podprostor, platí B + C = A. Odtud plyne dim 7? = dim^t — 1 a dim( Podle (6.8) můžeme psát dim(Ž^n~=H4 Kapitola III 9.1, str. 56 — Zdůvodnění věty Místo píšeme U QV. • U1- je vektorový podprostor (plyne z definicí a bilinearity skalárního součinu): x, y e U1- => x.u = 0 a y.u = 0 (pro lib. u e U) => (ax+6y).u = 0 =^> ax+Ďy e ř/^. a řešení 143 Obrázek 26.8: [Be] Konstrukce bodu \{x\ + x2 + x3 + x4) • U n U1- = {0} (plyne z pozitivní deŕmitnosti skalárního součinu): u e U a u e U± => u _L u =^> u = o. • U + U1- = V (plyne z dennice a věty o součtu a průniku vektorových podprostorů): Je-li dini U = k, dini V = n a ui,..., je nějaká báze U, pak U1- je určeno soustavou k (nezávislých) rovnic v n neznámých: U1- = {x e V I x . ui = 0,..., x . ufe = 0}. Proto je dim U1- = n — k. Navíc platí dim([/ + U^) = dim U + dim U1- - dim(ŕ7 n U^) = k + n- k- 0 = n. Protože n = dim V, musí být U + U1- = V. □ 9.2, str. 57 — Podivné vlastnosti kolmosti Uvažme 4-rozměrný eukleidovský prostor £ a nějakou kolmou bázi (e1;e2,e3,e4) zaměření ~Ě. Stačí zvolit např. podprostory B, C C T C £, jejichž zaměření jsou ~Š = (e1,e2), ~Č = (e1;e3) a ^ = (ei,e2,e3). V eukleidovském prostoru platí ~Š = (e3) c (e1; e3) = ~S, tedy B a C jsou kolmé v T. Avšak v eukleidovském prostoru ~Ě pozorujeme: ~Š = (e3,e4), což v žádném případě neobsahuje, ani není obsaženo v (ei, e3) = 7?, tedy B a C nejsou kolmé v £. 144 Návody Literatura [Ar] B. Artmann, Euclid: The Creation of Mathematics, Springer, 1999 [Be] M. Berger, Geometry I, II, Springer, 1987 [Co] H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry, Wiley, 1989 [Dv] T. Dvořáková, Přínos Jánoše Bolyaie k základům neeuklidovské geometrie, UK Praha, 2012 [El] J. Elbelová, Vektorové metody v euklidovské geometrii, MU Brno, 2011, http://is.muni.cz/th/13813/prif_d/dizerJE.pdf [Eu] Eukleides, Základy, Alexandrie, —300 (pro specifická vydání viz [Eui, Eu2, EU3] níže) [Ha] R. Hartshorne, Geometry: Euclid and beyond, Springer, 2000 [Ha2] R. Hartshorne, Teaching geometry according to Euclid, Notices of AMS, 2000, http://www.ams.org/notices/200004/fea-hartshorne.pdf [Hi] D. Hilbert, The Foundations of Geometry, 1902, http://www.gutenberg.org/files/17384/17384-pdf.pdf [HiCV] D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, Geometry and the imagination, Chelsea, 1999 [HoJa] P. Horák, J. Janyška, Analytická geometrie, Brno, 1997 [Ku] F. Kuřina, Deset geometrických transformací, Prometheus, 2002 [LiSch] S. Lie, G. Scheffers, Geometrie der berůhrungstransformationen, Teubner, 1896 [Ma] F. Machala, Plochy technické praxe, Olomouc, 1986 [MaSl] F. Machala, V. Slezák, Geometrie grup kolineací, Olomouc, 2001 [Mar] G.E. Martin, Transformation geometry, Springer, 1982 146 Literatura [Po] A. Pokorný, Tapetové vzory a grupy, MU Brno, 2008 http://is.muni.cz/th/106039/pedf_b/tapetove_vzory.pdf [Rek] K. Rektorys a kol., Přehled užité matematiky, SNTL, 1968 [Rí] O. Říha, Konstrukční geometrie I, II, Brno, 2002 [Ří2] O. Říha, Pomocné materiály do geometrie, Brno, 2000 [Sek] M. Sekanina a kol., Geometrie I, II, SPN, 1986 [Se] O. Sekora, Brouk Pytlík, Albatros, 1969 [St] J. Stillwell, The four pillars of Geometry, Springer, 2005 [S] J. Simša, Archimedova statika v geometrii, Brno, 1993 [Zl] P. Zlatoš, Lineárna algebra a geometria, Bratislava, 2011, http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf [Z] V. Zádník, Konstrukční geometrie, 2018, http://is.muni.cz/el/1441/jaro2018/MA2BP_PKG/um/osnova.pdf * * * [Eui] Eucliďs elements, interaktivní edice D. Joyce podle překladu T. Heatha (1908-28), http://alephO.čiarku.edu/~dj oyce/j ava/elements/elements.html [Eu2] The elements of Euclid, atraktivní vydání prvních 6 knih od O. Byrneho (1847), http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/byrne.html [EU3] Eukleides, Základy, Knihy I-IV, české vydání prvních 4 knih, jež zpracoval a komentářem opatřil P. Vopěnka podle překladu F. Servíta (1907), O.P.S., 2008 Seznam obrázků 1.1 Eukleidův dodatečný postulát............................. 6 3.2 Hierarchie geometrií.................................. 10 4.1 Kritérium rovnobežnosti přímek............................ 11 4.2 Axiómy obecné afinní struktury............................ 12 4.3 Průnik a součet afinních podprostorů......................... 15 4.4 Charakterizace neprázdného průniku podprostorů.................. 15 4.5 Osová afinita...................................... 17 4.6 Afinní zobrazení indukuje lineární zobrazení mezi zaměřeními............ 18 4.7 Definice afinního zobrazení .............................. 18 4.8 Středové promítání mezi rovinami........................... 20 5.9 Afinní souřadnice.................................... 21 5.10 Přechod mezi dvěma afinními repéry......................... 21 5.11 Dvojí vyjádření téže roviny.............................. 23 5.12 Obecné vyjádření přímky............................... 23 5.13 Podprostor jako průnik nadrovin........................... 24 5.14 Několikeré vyjádření téže přímky........................... 25 5.15 [Rek] Interpretace konstant z různých vyjádření přímky.............. 26 6.16 Vzájemné polohy afinních podprostorů........................ 29 6.17 [LiSch] Ke dvěma mimoběžkám existuje oo2 různých příček............. 32 6.18 [Ma] Krov hradní věže ve Štramberku........................ 33 7.19 Uspořádání bodů na přímce.............................. 34 7.20 Afinní poloprostor................................... 35 7.21 Konvexní množina................................... 36 7.22 Konvexní obal množiny ................................ 36 7.23 Bod X na přímce AB................................. 37 7.24 Nejednoznačnost vyjádření bodu X na přímce ABC................ 38 7.25 Redukční princip.................................... 39 7.26 [Be] Těžiště mnohoúhelníku obecně není totéž co těžiště bodové hmotné soustavy 39 7.27 Rovnoběžník je určen bodem a dvěma vektory.................... 42 7.28 Stopy .......................................... 43 148 Seznam obrázků 8.1 Skalární součin..................................... 47 8.2 Kosinová věta...................................... 49 8.3 Obsah rovnoběžníku a determinant.......................... 50 8.4 Vektorový součin.................................... 51 8.5 [Eui] Trojúhelníky jsou shodné, právě když se shodují ve všech stranách...... 51 8.6 [Eui] Trojúhelníky jsou podobné, právě když mají po dvou shodné vnitřní úhly, což je ekvivalentní s tím, že strany u shodných úhlů jsou úměrné.......... 53 8.7 [Eui] Rovnoběžníky se stejnou základnou a výškou mají stejný obsah....... 54 9.8 Kolmé podprostory v eukleidovském prostoru.................... 56 9.9 Kolmý průmět vektoru v do podprostoru U...................... 57 9.10 Kolmý průmět vektoru do jednorozměrného podprostoru.............. 59 lO.UVzdálenost bodu od podprostoru........................... 60 10.12Vzdálenost podprostoru................................ 61 10.13Vzdálenost bodu od nadroviny............................. 63 10.14Vzdálenost bodu od roviny a výška rovnoběžnostěnu................ 65 10.15K definici odchylky................................... 66 10.16Odchylka přímek..................................... 67 10.17Odchylka přímky a obecného podprostoru....................... 68 10.18Odchylka přímky a nadroviny............................. 68 10.19Odchylka nadrovin.................................... 69 10.20K obecné diskuzi o odchylce............................... 71 11.21K objemu rovnoběžnostěnu................................ 72 11.22Vlastnosti obsahu/objemu se nápadně podobají vlastnostem determinantu .... 74 12.1 Středové promítání.................................... 82 12.2 Středová projekce je projektivní zobrazení...................... 82 12.3 Projektivní rozšíření afinní přímky má jeden nevlastní bod............. 83 12.4 Na projektivní přímce relaci „mezi" nemáme .................... 83 12.5 Projektivní rozšíření afinního prostoru........................ 84 13.6 Homogenní souřadnice................................. 88 13.7 Vyjádření nadroviny v projektivním prostoru.................... 89 13.8 [St] Která čtveřice bodů je projektivním obrazem stejně vzdálených bodů? .... 91 14.9 [Be] Ukázka z Lambertovy Perspektivy (1759).................... 92 14.10Projektivní zobrazení přímky............................. 94 14.11 Charakterizace projektivního zobrazení........................ 95 14.12[Be] Porovnání perspektivních průmětů téže roviny................. 97 15.1 [Ku] Základní kolineace v rovině je osová kolineace.................. 100 15.2 [Ku] Základní afinita v rovině je osová afinita, neboli škálování v jednom směru. . 101 15.3 [Eui] Typická ekviafinita je elace, neboli naklonění.................. 101 15.4 [Se] Základní shodnost je souměrnost podle nadroviny, neboli zrcadlení...... 102 15.5 [Be] Základní podobnost je stejnolehlost, neboli škálování (ve všech směrech stejně). 103 15.6 Hierarchie geometrických zobrazení.......................... 104 15.7 Stejnolehlost se středem S a koeficientem k = 2................... 109 16.8 Charakteristické vektory odpovídající různým charakteristickým číslům jsou lineárně nezávislé...................................... 114 17.9 Obraz bodu v osové kolineaci............................. 116 17.10Obraz bodu v osové afinitě .............................. 117 17.11Pokud existuje nadosa, potom existuje střed..................... 119 Seznam obrázků 149 17.12Pokud existuje střed, potom existuje nadosa..................... 119 17.13[Sek] Každá shodnost v rovině je složením nejvýše tří osových souměrností. . . . 120 18.14[Mar] Nezapomínejme na posunutou souměrnost!.................. 123 18.15Přehled shodností v rovině pomocí obrazů trojúhelníku............... 124 18.16Přímý a nepřímý obraz ortonormální báze...................... 126 20.1 [Be] Mercatorovo zobrazení je konformní....................... 132 21.2 [etc.usf.edu/clipart/6100/6177/conics_l.htm] Několik kuželo-seček..... 133 21.3 Tečna QP je pólem bodu Q, tečna RP je pólem bodu R, přímka QR je polárou bodu P, přímka UV je polárou bodu T, neoznačený průsečík těchto dvou přímek je pólem přímky PT atd................................ 134 22.4 [LiSch] K dotyku cyklů v rovině............................ 136 25.5 [www.oswego.edu/~baloglou/103/crystal.htmlJSedmfrizovychvzoru..... 138 26.6 [Ha] Objem trojbokého jehlanu je roven třetině objemu opsaného hranolu..... 139 26.7 [Ma] Parabolický hyperboloid............................. 142 26.8 [Be] Konstrukce bodu \{x\ + x2 + x3 + x 4)..................... 143 150 Seznam obrázků Seznam tabulek 15.1 Přehled geometrických zobrazení........................... 105 17.2 Klasifikace základních transformací v rovině..................... 117 18.3 [ŘI2] Klasifikace shodností v rovině podle samodružných prvků........... 125 18.4 [Rí2] Klasifikace shodností v prostoru podle samodružných prvků.......... 127 18.5 [ŘI2] Klasifikace afinit v rovině............................. 129 152 Rejstřík úhel, 35 úsečka, 34 afinita, 16, 129 ekvi-, 121 nepřímá, 108 osová, 17, 101, 117 přímá, 108 afinní obal, 16 podprostor, 13 poloprostor, 35 prostor, 12 standardní, 13 repér, 20 souřadnice, 20 zobrazení, 18, 100 Archimédés, 41 bod nevlastní, 83 samodružný, 111 vlastní, 83 Bolyai, J., 9 Cantor, G., 9 charakteristický číslo, 111 polynom, 111 vektor, 111 cvičení, 13, 16, 19, 22, 26, 33, 42, 54, 59, 71, 79, 91, 97, 110, 114, 122, 130 Dedekind, R., 6, 9 Dehn, M., 139 Desargues, G., 9, 118 Descartes, R., 8 determinant Gramův, 74 doplněk, 28 kolmý, 55 dvojpoměr, 89 ekviafinita, 54 elace, 101, 117 projektivní, 116 Eudoxos, 139 Eukleides, 5 Euler, L., 8 Frobenius, F.G., 31 Gauss, C.F., 9 geometrie absolutní, 7 afinní, 7, 11-43 eukleidovská, 7, 45-79 hierarchie —, 10 neeukleidovské, 7 projektivní, 7, 81-97 Gergonne, J.D., 9 Gram, J.P., 72, 74 grupa akce, 13, 137 frízová, 138 tapetová, 138 transformační, 8 Hamilton, W.R., 9 Hilbert, D., 6, 139 hyperboloid eliptický, 33 154 Rejstřík parabolický, 33 incidence, 6 Jacobi, C.G.J., 78 Klein, F., 8, 9 kolineace, 92 nadosová, 118 osová, 100, 115 kolmý doplněk, 55 průmět, 56 kolmost, 5, 47, 55-57 Komenský, J.A., 1 konvexní množina, 35 obal, 36 Lapiace, P.S., 76 Lie, S., 8, 78 Lobačevský, N.I., 9 Möbius, A.F., 9 mimoběžnost, 28 modul afinní transformace, 108 osové kolineace, 116 Monge, G., 122 nadosa, 118 nadrovina, 14 nerovnost Cauchyova-Schwarzova, 47 trojúhelníková, 47 obal afinní, 16 konvexní, 36 objem, 71-79 obsah, 71-79 odchylka, 49, 65-71 orbita, 137 osa, 62, 115 nad-, 118 páka, 37 příčka, 31 Pappos, 9, 93 Pascal, B., 9 Plücker, J., 9 podobné zobrazení, 102 podobnost, 53, 128-129 poměr dělicí, 17 dvoj-, 89 harmonický, 90 Poncelet, V., 9 postulát, 6 posunutí, 13, 109, 116, 121 projektivní podprostor, 84 prostor, 84 repér, 87 rozšíření, 83, 96 zobrazení, 92, 99 prostor afinní, 12 eukleidovský, 48 metrický, 46 polo-, 35 projektivní, 84 rovnoběžky, 11, 17 -nik, 41, 71 -nost, 6, 14, 28, 64, 87 -nostěn, 71 Schmidt, E., 72 shodnost, 6, 45, 52, 122-128 simplex, 36, 78 součet, 14, 85 součin skalární, 47 vektorový, 77 vnější, 50 vnitřní, 47 souřadnice afinní, 20 barycentrické, 40 homogenní, 87 kartézské, 106 souměrnost šikmá, 117, 121 harmonická, 116 osová, 102, 117 posunutá, 123 středová, 109 Rejstřík 155 spojitost, 6 střed, 115, 118 Staudt, K. von, 93 Steiner, J., 9 stejnolehlost, 103, 109, 116, 121 těžiště, 37, 40 trúba štramberská, 33 transformace, 111-130 základní, 115-122 uspořádání, 6, 34 věta kosinová, 48 o existenci a poloze těžiště, 40 o Gramové determinantu, 75 o nadose a středu, 118 o odchylce podprostorů, 67, 70 o samodružných bodech, 112-114 o skládání transformací, 120, 121 o určenosti zobrazení, 19, 96 o vektorovém součinu, 77 o vnějším součinu, 76 o vzájemných polohách podprostorů, 31, 64, 86 o vzdálenosti podprostorů, 61, 79 o zachovávání dvojpoměru, 93 základní, 19, 93 velikost úhlu, 48 úsečky, 48 vektoru, 47 vyjádření podprostorů neparametrické, rovnicové, 23 parametrické, 22 vzdálenost, 59-65, 79 Weyl, H., 8 Základy, 5-6 zaměření, 12 zobrazení afinní, 18, 100 ekviafinní, 53, 54, 101 podobné, 53, 102 projektivní, 92, 99 shodné, 52, 102