Nekonečno v matematice Bedřich Pospíšil (author): Nekonečno v matematice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1949. Persistent URL: http: //dmi. cz/dmlcz/403221 Terms of use: © Jednota československých matematiků a fyziků Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This document has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http: //dmi. cz RNDr BEDŘICH POSPÍŠIL: NEKONEČNO V MATEMATICE jednota Československých matematiků a fysiků Spisovatel této knížky, RNDr Bedřich Po#p{Sil, se narodil 25. ?AH 1012. Dno 29. dubna 1941 byl gestapem zatčen a odsouzen mi tři lota do káznice, odkud so vrátil 17. kvčtna 1944 ve slnvu tnk zuboženém, Že pres nej pečlivější ošetřování zemřel dne 27- října 1944. Od června 1930 do násilného zavření českých vysokých Skol byl členem mého topologického semináře. Za tuto krátkou dobu vyrostl v jednoho z nej prednejších světových badatelů v obecné topologii, kterou obohatit o mnoho výsledky fundamentálního významu. Mimo jiné určil veimi originelnim a důmyslnýnf způsobem počet" prvku důležitých nekonečných souborů, na př. ,.počet" všech možných topologií na libovolné nekonečná množině.*) Dne 14. ledna 1937 byl promován na doktora přírodních věd. Po předepsaném dvouletí na můj podnét požádal o docentúru matematiky, ale habilitační řízení, ač ovšem v komisi proběhlo příznivě, bylo přerušeno neblahým 17. listopadem 1939 a teprve 10. dubna 1946 bylo posmrtné dokončeno. Zároveň se zesnulý stává 3. května 1946 mimořádným Členem in memoriam druhé třídy České akademie věd a umční. Po zavření vysokých škol snaží se Jednota československých matematiků a fysiků stručnými svazky Cesty k vědění*1 nahrazovati zakázané vysokoškolské vzdělání čoské inteligence. K této práci se přihlásil také Pospíšil a tak vznikla tato knížka, mající za úkol snadno přístupnou, ale zároveň vědecky přesnou formou dáti poučení o problémech nekonečna. Je to úkol, k jehož řešení byl Pospíšil svými pracemi kvalifikován lépe než kdokoli z nás. Rozdělil si úkol velmi vhodně na dvě Části. V prvé části vychází od znalostí o konečnu, které každý získal už v dětství, a ukazuje naprosto srozumitelně a při tom zcela exaktně, že je nesprávné ukvapeně přenášet představy o konečnu na nekonečno, že však nekonečno je stejně jako konečno přístupné přesným logickým úvahám, jejichž závěry ovšem vykazují podstatné rozdíly mezi konečném a nekonečnem. Pospíšil se právem vyhýbá popularisaci a nikdo neobětuje včcnou správnost jasnosti výkladu; přes naprostou exaktnost je však všude dokonale srozumitelný každému pozornému čtenáři. Styl této Části múze býti vzorem každému matematikovi obracejícímu se k nematematikům. Druhá Část vychází od revise představ o konečnu, o které se opírala část prvá a v přesně systematickém postupu rozvádí elementární Část obecné theorie množin s aplikacemi na Čísla přirozená, racionální a reálná. AČ druhá část je ovšem obtížnější než prvá, není ani k jejímu studiu třeba žádných větších předběžných vědomostí; vyžaduje se tu ovšem jakési vyspělosti v usuzování, té však může čtenář nabyti v posta-Čitelné míře pečlivým prostudováním části prvé. Přeji krátmé knO.ce co nejvíce čtenářů. Eduard Čech. *) O vědecké Činnosti B. Pospíšila viz můj článek v Časopise pro pěst. matem, a fys., roč. 72, str. Dl ai D 9. 'PŘEDMLUVA O pojmu nekonečna uvažovalo a atále uvažuje mnoho lidí, filosofů i hloubavých laiků. Při tom je v těch úvahách mnoho planého, lidé čítají otázky o nekonečnu k oněm neurčitým a mystickým otázkám, o nichž rádi uvažují, ač jsou sami přesvědčeni, že k nijakým konečným závěrům dospěti nelze. Chci jez úvah toho druhu přenésti na zcela exaktní pole, ukázat jim, že pro nás úvahy o nekonečnu nejsou již o nic mystičtější než kterékoliv zcela exaktní matematické úvahy. Kniha se dělí na dvě odlišně psané a různé účely sledující Části. O tom v úvodě. Snažil jsem se spojit srozumitelnost výkladů s logickou přesností; rozhodně nemohu souhlasit s populari-sátory, kteří jasnosti výkladu obětují věcnou správnost. Myslím, že správně vykládaná věc není o nic obtížnější k pochopení. B. Poapišil. 4 ÚVOD Základním pojmem našich úvah je pojem množiny. Je to snad trochu nezvyklé slovo, jehož však se není třeba lekat. Množinou se rozumí prostě souhrn, soubor, skupina jakýchkoliv věcí. Na př. množina českých králů vládnu vších před rokem 1848, nebo množina všech knížek, které mám v knihovně, na př. množina bodů v rovině, které od daného bodu A v téže rovině R mají vzdálenost 5 cm; je to kružnice ležící v rovině E, mající střed v bodě A a poloměr dlouhý 5 cm. Patří-li nějaká věc v do množiny M, říkáme, že v je prvek množiny M. Je-li na př. M množina ěeskýoh králů vládnuv-šich před rokem 1848, a je-li v král Václav IV., pak v je prvek množiny M. Je-li naproti tomu v Napoleon Bonaparte nebo planeta Neptun, pak v není prvkem množiny M. Množina je přesně popsána, když je řečeno, které věci jsou jejími prvky. Prvků může míti taková množina různě mnoho. Na př. množina autorových sourozenců má jenom jeden prvek. Množina všech lidí, kteří v tomto momentě jsou občany města Brna, je mnohem Četnější. Ještě daleko četnější je množina vŠeoh lidí, kteří momentálně žijí na této planetě. Všechny tyto množiny, byť by měly hrozně mnoho, pro mne třeba nepředstavitelně mnoho prvků (jako třeba množina všech lidí na zeměkouli), přece jen se dají spočítat. Naproti tomu si všimněme, kolik má bodů jakási úsečka U. Je jich rozhodně víc než 180, víc než 1000, víc než milion, víc než trilion; žádným sebe větším číslem se nedopočteme. Říká se, že úsečka U má nekonečně mnoho bodů, že množina všech bodů na úsečce U je nekonečná. Podobně je tomu s množinou N všech přirozených čísel. (Přirozenými čísly rozumíme celá kladná čísla, t. j. čísla 1, 2, 3,4, atd. do nekonečna.) N je nekonečná množina: přirozených Čísel je víc než 5, víc než 857, víc neŽ tři miliardy,..., žádným Číslem se jich nedopočteme. S konečnými množinami si ví rady každý člověk. Má o nich zcela jasnou a (dokonce!) zcela správnou představu. Všecky 6 množiny, 8 ktorými se běžně setkává, jsou konečno. Jiná věo jo s množinami nekonečnými, t. j. takovými, které mají nekonečno mnoho prvkň. Lidé správně poznávají, že tu jde 0 množiny s mnohem větším množstvím prvků, že je tu rozdíl kvantitativní. Ale to je vše, co si uvědomují. Představy, které mají o konečných množinách a které pro konečné množiny jsou správné, beze všeho přenášejí na nekonečno. Dostanou se tím do protimluvů, které'jim Činí z nekonečna cosi tajemného. Proto prohlašuji hned na tomto místč: Za prvé není nekonečno o nic méně, ale také o nic víoe tajemné, než konečno; je předmětem úvah stejně rigorosních a logických, jako jsou úvahy o konečnu. Za druhé, nekonečné množiny jsou oproti konečným tak nevýslovně veliké, že ta změna ve velikosti, v kvantitě, způsobuje, že nekonečné množiny jsou 1 kvalitativně něco zcela jinélto než množiny konečné. Dokonce se dá vystihnout rozdíl mezi konečném i nekonečnem čistě kvalitativně, aniž by se o množství prvků vůbec mluvilo. Nekonečno je prostě něco jiného než konečno, má jiné vlastnosti, což ostatně je i daným slovem nekonečno krásně vystiženo. První část této knížky má seznámit čtenáře vecné s něčím, co ještě nezná, totiž s nekonečnými množinami. Mnohé co se zdá správným a dokonce jasným z názoru, se okázalo nesprávným. Čtenář uvidí, jak si bude musit opravit představu. V první části za „zřejmé" považuji jen běžné vlastnosti konečných množin, pokud jsou správně známy i tříletým dtHcm a nčco málo o číslech ze školy. Ovšem i tříleté děti mohou mít nesprávné představy a naše znalosti o číslech byly do nás vpraveny v době, kdy jsme (oprávněně) věřili víc autoritě učitelově než svému rozumu. Představa, která nás tolikrát zklamala, mohla by klamat i vo věcech, které v první části přijímám za správné. Tu nedůvěru odstraní část druhá, v niž za známé považuji jen dvě věci: logické myšlení a český jazyk. Čtenář s myšlením prvou Částí vytříbeným tam nabude představy o tom, jak vypadá matematická theorie a látku si zopakuje a ucelí. 0 PRVNlCAST 1,1. SpoCetnost. Přirozenými čísly rozumíme čísla 1, 2, 3, 4,... atd. do nekonečna. Užívá se jich k počítání konečných množin. Co to znamená na př., že množina M má 7 prvků? Znamená to, že je možno prvky množiny M očíslovat přirozenými čísly od jedno až do sedmi (včetně); při tom každému prvku množiny M jsme přiřadili přesně jedno z čísel 1, 2, 3,4, 5, 6, 7; různé prvky mají různá přirozená čísla a všecka Čísla 1, 2, 3, # * # 4, 5, 6t 7 jsme při Číslování úplat- q nili. Na př. množina teček v obr. 1 má 7 prvků; lze ji totiž očíslovat na • • • př. takto: Obr. l. 12 3 12 3 i t i - • • • £ anebo 4 4 třeba Obr. 2. Obr. 3. Obecně řekneme, že množina M má m prvků, když její prvky lze očíslovat přirozenými čísly od 1 do m (včetně). Takové množiny M jsou právě množiny konečné. Tedy: množina M je konečná, když je možno její prvky očíslovat přirozenými Čísly od 1 až do jistého m (včetně); to číslo m se nazývá počet prvků množiny M. Každá konečná množina má zcela určitý počet prvků; není možno, abychom při jednom očíslování upotřebili čísel 1,2,3,4,5,6, 7 a při jiném očíslování jedné a téže množiny M upotřebili jenom čísel 1, 2, 3,4, 5; čítáme-li dvakrát po sobě konečnou množinu M, po každé třeba jinak, 7 musíme obakrát napoČíst stejný počet prvků. To je přesně formulováno a dokázáno v dodatku. I některé nekonečné množiny možno počítat pomocí přirozených čísel. Vezmčte na př. samu množinu všech přirozených čísel, kterou vždy budu označovat N. Pak k očíslování prvků množiny N (což jsou zde náhodou přirozená čísla sama) arcifi nestačí přirozená čísla od 1 až do jakéhosi m (včetně); těch by bylo příliš málo. Abychom očíslovali prvky množiny N, vezmeme na pomoc přirozená čísla všechna. A pak se ovšem očíslování hravě povede. Jedničku 1 očíslujeme jedničkou 1, dvojku 2 očíslujeme dvojkou 2, Číslo 365 očíslujeme číslem 365 a vůbec každé číslo m očíslujeme týmž číslem m. Tímto nasnadě jsoucím způsobem jsme očíslovali celou množinu N; každému prvku množiny N jsme přiřadili přesně jedno z čísel 1, 2, 3,... do nekonečna; různé prvky mají různá přirozená čísla a všechna čísla 1, 2, 3 do nekonečna jsou vyčerpána. Tento příklad byl příliš triviální. Ted tedy nějaký těžší příklad. Označíme si Na množinu, do které patří právě všecky uspořádané dvojice {m; n), kde man jsou přirozená čísla, na př. dvojice {1; 1}, {7; 5}, {2; 1866}, {dva miliony; 366} atp. M : fa}; M i M : M : M # {2,1} ; }p2} ; fe3f ; ; • • • • {3tl} i {&}; {33} : M i {35} i • • •donekonečna do nekonečna Obr. 4. 8 Při tom slovo „uspořádané" znamená, že dvojici {7; 5} a dvojici {5; 7} považujeme za různé, tedy při dvojici {m; n) záleží na tom, že m píšeme napřed a n potom; {n; m} je obecně jiná dvojice. Nyní si napišme tabulku prvků množiny Na. V prvním řádku budou všecky dvojice {1; n), v druhém budou dvojice {2; n) atd. (obr. 4). V naší tabulce jsou sepsány právě všechny prvky množiny N2 a žádný není v tabulce dvakrát. Pro jednoduchost si tabulku označme schématem teček do nekonečna do nekonečna Obr. 5. Ted si ukážeme, že množinu N2 je možno očíslovat právě všemi přirozenými čísly. Číslujeme jako na obrázku 6. Popis, Od každého prvku v prvním řádku jsme si tedy vedli paprsek nalevo dolů (odchylky o 45 stupňů od vodorovných řádků). Začali jsme nahoře vlevo a šli po paprsku, dokud to šlo. Až jsme vyčerpali všecky tečky na jednom paprsku, přikročili jsme k nej bližšímu paprsku napravo. Tím způsobem pokračujíce do nekonečna jsme očíslovali všecky tečky v schématu a spotřebovali jsme postupně všecka přirozená čísla. 9 Obr. 6. Vezracme-li nyní zase na místo schématu s tečkami původní tabulku množiny Na, dostáváme očíslování množiny N2 pomocí vSech přirozených čísel. Množina N2 dá se tedy očíslovat pomoci (všech) přirozených čišel. Všimněme si ještě jedno věci. Buď M nějaká množina, zcela libovolná (nemusí to být množina N2), jenom to o ní budeme předpokládat, že její prvky možno psát do schématu tvaru: do nekonečna do nekonečna Obr. 7. 10 Pak podle obrázku (7) je zase možno množinu M očíslovat pomocí všech přirozených čišel; je to totiž úplně totéž jako tomu bylo u množiny N2. Poučka 1. Dajl-li se prvky nijaké množiny psát ve schématu tvaru jako v obr, 7t pak je možno tu množinu očíslovat pomoci (viech) přirozených čísel. Tato poučka vede k zajímavým důsledkům. Označme N3 množinu všech uspořádaných trojic {m; n; p}, kde m, n a p jsou přirozená Čísla; takové trojice jsou na př. {1;2;3}, {8; milion; 365}, {3; 2; 1} a podobně. Ň a pořádku členů trojice zase záleží. Takovou trojici, třeba {5; 365; 122} můžeme ei myslit rozloženu na první člen 5 a dvojici {365; 122}. A naopak ten první člen 5 a dvojice obou dalších členů {365; 122} se složí právě v tu trojici {5; 365; 122}. Místo trojic {m; n; p} možno si tedy myslet dvojice {x; y}, jichž první členy jsou první členy našich trojic, t.j.i = madruhé členy jsou dvojíce utvořené z obou dalších členů, t. j. y — {n; p}. Tedy v {z; y) je x přirozené číslo a y je prvek množiny N2. Ale jak už víme, možno prvky množiny Na očíslovat; ten prvek, který má Číslo to, označme ,yw. Tedy yXt y2, y8,... do nekonečna jsou právě prvky množiny Na, každý jednou. Pak množinu N3 možno psát v tabulce donekonečna do nekonečna Obr. 8. 11 což je právě schéma jako v obr. 7. Tedy podle poučky 1 umíme i množinu N8 očíslovat pomocí (všech) přirozených Čísel. Úplně stejně uvažujeme dál. N4 bude množina všech uspořádaných čtveřic {m;n;p;q}7 kde m; n; p a q jsou přirozená Čísla. Čtveřici {m; n;p;q} možno si myslit složenu z čísla m a trojice {n; p\ q}> tedy místo našich Čtveřic možno si myslit uspořádané dvojice {x; z}, kde x je přirozené číslo a z je uspořádaná trojice přirozených čísel, tedy z je prvek množiny IM3. Víme už, že prvky z množiny N 8 možno očíslovat přirozenými Čísly: z1> z2, Zg,... do nekonečna. Dostaneme pak množinu N 4 v podobě tabulky felf , fczj ; faj , fez] ; • frzj ; fazj ; fazj, faj, fazj; • • •donekonečna do nekonečna Obr. 9. A to je zase schéma jako v obr. 7 a tedy podle poučky 1 umíme i množinu N4 očíslovat pomoci (všech) přirozených čísel. Stejné bychom mohli uspořádané pětice {m; n; p; q; r}, kde m; n; p; q a r jsou přirozená čísla, rozložit na čísla m a čtveřice {n; p; q; r] a viděli bychom, že i množinu N* umime očíslovat pomoci (všech) přirozených Čísel; při tom N6 je ovšem množina všech našich pětic. To si čtenář udělá sám za cvičení a íotéž si udělá třeba ještě pro N6 a N7. Kroky, kterými jsme od N2 přešli k Na, od N8 k N4, od N4 k N5 atd. jsou 12 pořád úplně stejné. Vidíme tedy, že bychom mohli pak postupovat jakkoliv daleko a stále by nám vycházelo, že množinu N* umíme očíslovat pomocí (všech) přirozených čísel, ať je £ rovno 2, nebo 3, nebo 4 atd., ať je k sebe větší. Při tom N* je ovšem množina všech uspořádaných k-tic přirozených čísel, t. j. skupin k přirozených čísel, kde záleží na pořádku. Teď se na moment vraťme ke konečným množinám. Mějme pět věcí, na př. přímo čísla 1, 2, 3,4, 5. Utvořme teď všecky uspořádané dvojice {m; n}, kde m je jedno z čísel 1, 2,3,4, 5 a n je jedno z čísel 1, 2, 3, 4, 5. Tedy dvojice si můžeme sestavit do tabulky: {1;1}, {1;2}, {1;3}, {1;4}, {1;5}, {2; 1}, {2; 2}, {2; 3}, {2; 4}, {2; 5}, {3; 1}, {3; 2}, {3; 3}, {3; 4}, {3; 5}, (*5) {4; 1}, {4; 2}, {4; 3}, {4; 4}, {4; 5}, {5; 1}, {6; 2}, {5; 3}, {5; 4}, {5; 5}, která má pět řádků a 5 sloupoů. Všech našich dvojic je zase konečně mnoho a jejich počet je 52. Obecně máme-H k prvků, třeba nechť jsou to čísla 1, 2, 3,..k sama, pak všech uspořádaných dvojic, jichž členy jsou naše Čísla 1,2, 3,..., kt jest zase konečně mnoho a jejich počet označujeme k2. A ten počet k2 se nikdy nerovná k, je vždy větší s jedinou výjimkou, totiž l2 = 1. Definuji: počet prvků množiny M je k2, když je možno prvky množiny M očíslovat (všemi) uspořádanými dvojicemi {m; »}, kde m je jedno z čísel 1, 2,,.., k a n je jedno z čísel 1, 2,k. Rovnice 52 = 25 znamená: Je jedno a totéž, má-li množina 25 prvků, nebo 52 prvků, t. j. je jedno, zda číslujeme množinu přirozenými Čísly 1,2,3,4,... až do 25 anebo dvojicemi {m; n}, kde man jsou čísla 1, 2, 3, 4,5. Vskutku 52 = 25, neboť možno v tabulce (*5) nahradit naše dvojice tak, aby vznikla tabulka 13 1; 2; 3; 4; 5; c; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25, a pří číslování místo dvojic vzít stejnolehlá čísla, na př. místo {2; 3} vzít 8, místo {4; 2} vzít 17 a pod. Anebo zase místo Čidel 1 až 25 lze při číslovaní užiti příslušné dvojice. Snažme se dčlat analogii pro nekonečné případy. Říkali jsme, žc množina M má m prvku, když prvky množiny M bylo možno očíslovat čísly 1,2, 3,..., m. Tím způsobem jsme mohli počítat konečné množiny. Abychom mohli obdobně počítat i nekonečné množiny (zatím aspoň některé), zavedeme si nový symbol Mq.*) Budeme říkat, že množina M, tentokráte nekonečná, má Mq prvků, když se nám povede očíslovat prvky množiny M pomocí všech přirozených čísel. Pak též budeme tt0 nazývat počet prvků množiny M. No je jakési nové číslo (a to ovšem nekonečné). Hořejší výsledky můžeme vyslovit tedy takto: Každá z množin N, N2, N3 atd. má No prvků. Ted ale definujme mocniny Čísla obdobně k tomu, jak jsme definovali mocniny konečného Čísla. Definujeme: Počet prvků množiny M je Hq2, když jo možno prvky množiny M očíslovat množinou Nž, t. j. všemi uspořádanými dvojicemi {m; n}, kde man jsou přirozená čísla. Tedy na př. množina N2 sama má Ho2 prvků. My ale víme, že Na má Mg prvků a tedy Tato rovnice znamená: Je jedno a totéž, má-li množina Mq prvků anebo No2 prvků, t. j. je jedno, zda Číslujeme množinu přirozenými čísly, nebo uspořádanými dvojicemi přirozených *) Čteme jej ale f nula. 14 čísel. A to je'vskutku pravda. Neboť především možno naše dvojice y = {m; n} očíslovat přirozenými Čísly: yv y2, ya,... a místo dvojice yk užít k Číslovaní príslušného čísla k. Anebo zase místo čísla k lze při číslování užít příslušné dvojice Neboť čísla k a příslušné dvojice y t si přesně odpovídají jak jsme už dokázali. [Na př. dvojice v tabulce v obr. 4 se stejnolehlými čísly v tabulce v obr. C] A to je pozoruhodné! Pro jedničku je ještě la = 1; pro dvojku se však už 22 liší od 2 a čím jdeme výše, tím více se k2 od k liší. Posloupnost l2, 22, 3a, 42, atd. sice se v prvním členu shoduje s posloupnosti 1,2, 3,4, atd., ale ve druhém Členu se už od ní rozejde a ten rozchod se zvětšuje, čím větší Členy bereme, a to velmi a velmi značně, čím dál více. Ted by se zdálo, když přejdeme od konečných čísel 1, 2, 3,... k nekonečným, z nichž první N0 jsme si již zavedli, že rozchod druhé mocniny oproti číslu samému ještě jen vzroste. Pravý opak je však pravdou. Pro první nekonečné Číslo M0 je druhá mocnina N02 zase rovna samému číslu N0f jako tomu bylo u jedničky. V dalším uvidíme, že na počítání všech nekonečných množin nevystačíme s jediným číslem N0. To jde jen u poměrně „malých" nekonečných množin. Proto budeme musit k počítání nekonečných množin zavést mimo Nq ještě jiná nekonečná čísla. A uvidíme, že pro každé takové nekonečné číslo a bude a2 = a. Z toho je vidčt, že k rozlišení různých nekonečen je naprosto ilusorní zavádět symboly oo, oo2, oo3 a podobné. Symbol oo sám nevystihl by ten fakt, že je nekonečných čísel mnoho; a oo2, oo3 atd., není zase nic jiného, než oo samo. Proto nutno na celou věc jít z jiného konce. Množiny konečné dohromady s takovými nekonečnými množinami, které mají prvků, jsou t. zv. množiny spočetné. 15 Dohodneme se, že mezi konečné a tedy i spočetné množiny budeme čítati t. zv. množinu prázdnou, již označíme 0. Množina 0 je definována tím, že nemá vůbec žádných prvků; je jen jedna prázdná množina. Počet prvků množiny 0 označujeme 0. Na př. množina ruských carů, kteří vládli v roce 1923, je prázdna. Množina, která není spočetná, nazývá se nespočetná. Dosud jsme poznali samé množiny spočetné. Zakladatelé theorie množín se jistou dobu domnívali, že jiných množin není. Brzo však poznali svůj omyl. A my si v dalším odstavci ukážeme, že skutečně jsou nespočetné množiny a to dokonce i mezi množinami, o nichž čtenář již slyšel. 1,2. Nespočetné množiny. V sextě se v aritmetice probírají posloupnosti konečné i nekonečné. Jak se dostane taková posloupnost: O}, cL2y ... do nekonečna? Každému přirozenému číslu k přiřadím jakousi určitou věc at; at je t. zv. k-tý člen posloupnosti; at nemusí být číslo, může to být věc jakéhokoli druhu; a také nemusí být ta a* mezi sebou různá. Tak na př. máme posloupnost: 9, Jaroslav Vrchlický, 365, Jaroslav Vrchlický, Jaroslav Vrchlický atd. Všecky další členy nechť jsou Jaroslav Vrchlický. Jest tedy Oj = 9, Og = 365 a pro všechna ostatní k jest a% = Jaroslav Vrchlický. A ted k věci! Označme na okamžik M množinu všech posloupností, jejichž členy jsou vždy rovny buďto jedničce 1 anebo dvojce 2. Tedy na př. posloupnosti 1, 1, 1, 1,1,... (samé jedničky 1), anebo 1,2, 1,2, 1,2, ... (střídavě 1 a 2) jsou prvky množiny M. Množina M nám bude prvním příkladem množiny nespočetné. Že M je skutečně nespočetná, dokážeme tak, že budeme předpokládat, že je spočetná a z toho L6 předpokladu odvodíme nějaké nesprávné tvrzení, nebo rozpor, protimluv. Pak ale musí býti náš předpoklad nesprávný, tedy M nebude moci býti spočetná, bude tedy nespočetná. Takové důkazy jsou v matematice velmi obvyklé; jsou to t. zv. důkazy nepřímé. Mysleme si tedy (nesprávně), že M je spočetná množina. Pak M má buďto konečný počet prvků třebas n anebo má Mq prvků. Prvky množiny M, t. j. posloupnosti ^2' • • • do nekonečna, kde oj je bud 1 nebo 2, se dají tedy očíslovat pomocí přirozených čísel, a to buďto pomocí čísel 1,2,..n anebo pomocí všech přirozených čísel. Ty posloupnosti si napišme do sloup-oe podle pořadových Čísel. o1<1>, oa<1>, o^1*, ... do nekonečna je první z nich, a2í2)» a»(2,» • ■ • do nekonečna bude druhá z nich, a podobně další budou al(9)t a2(9>9 at(V)t... do nekonečna, ol<*), aa<*\ Ojí*),... do nekonečna, atd. Těch řádků jo n v případě, že M má n prvků. V tom případě doplníme počet řádků na tím, Že jako další řádky píšeme vždy třeba 1, 1,1,... do nekonečna. Má-li M prvků, je řádků už samo sebou nekonečně mnoho, Každý řádek je jeden prvek množiny M a všecky prvky množiny M jsou tak vyčerpány. A teď kýžený rozpor dostaneme tak, že si sestrojíme prvek množiny M, který přece jen v Žádném řádku napsán není. (Prvky množiny M jsou posloupnosti, tedy celé řádky.) Je-li ar** = 1, pak neohť b£h> = 2 a je-li aft) = 2, pak neohť St. 48—a 17 &j<*) = 1. Tedy 6i<**> je vždy zase jedno z čísel 1 a 2, ale jiné než aflh A teď uvažujme posloupnost V1}» V2)> V3)» &4<4)» • ■ • do nekonečna. Jfc-tý člen naší posloupnosti je tedy Členy naSí po sloupnosti jsou čísla 1 a 2 a tedy naše posloupnost je prvkem množiny M. Ale naše posloupnost není' napsána v žádném řádku: Skutečně není napsána v prvním řádku: neboť první člen prvního řádku jc a/1*, kdežto první člen naší posloupnosti je jiný, totiž Není napsána v druhém řádku: neboť druhý Člen druhého řádku je a2<2>, kdežto druhý člen naší posloupnosti je jiný, totiž b2<2>. A obecně není napsána v Äľ-tém řádku, neboť ife-tý člen k-tého řádku je akib\ kdežto k-tý člen naší posloupnosti je jiný, totiž bj*>. Skutečně tedy naše posloupnosti není napsána v žádném řádku a to jsme chtěli za účelem dostižení rozporu dokázat. Tedy náš předpoklad, že by M byla spočetná množina, je nesprávný, tedy: Množina všech posloupností, jichž členy jsov. 1 nebo 2, je nespočetná, Methodě, kterou jsme získali posloupnost &2<2), 6&<8>,... do nekonečna, budeme říkat methoda diagonály. Je to methoda stejně vtipná, jako jednoduchá. Máme-li sestrojit posloupnost, která není napsána ani v prvém, ani v druhém, ani v žádném jiném řádku, děláme to takto: První Člen volíme jiný, než je první člen prvního řádku; pak ta posloupnost bude jiná než ta v prvním řádku. Druhý člen volíme jiný, než je druhý člen druhého řádku. Atd. Obecně k-tý Člen volíme jiný než je k-tý člen k-tého řádku; pak ta posloupnost bude ovšem jiná, než ta v k-tém řádku. Nebude tedy rovna žádnému řádku. (Při tom jsme se ovšem musili starat o to, aby sestrojovaná posloupnost zůstala v množině M.) 18 Methoda diagonály nám dovolí dokázat nespočetnost jisté známé a důležité množiny. Jde o množinu všech reálných čísel; budeme ji vždy značit R. Především ciframi budu rozumět čísla 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Všimneme si reálného čísla na př. — 365,2222... (samé dvojky); to Číslo je určeno třemi věcmi; především znaménkem minus —, za druhé jakýmsi číslem 365, které stojí před desetinnou čárkou a které je buďto nula anebo přirozené číslo (v našem případě 365) a za třetí jakousi posloupností cifer, která stojí za desetinnou tečkou, v našem případě posloupností 2, 2, 2, 2,... (samé dvojky). Podobně číslo + 0,324000... (samé nuly) je určeno znaménkem +, číslem 0 před desetinnou čárkou a posloupností cifer 3, 2,4, 0, 0 (samé nuly) za desetinnou čárkou. Shrňme: Reálné číslo je určeno třemi věcmi: za prvé znaménkem + nebo —, za druhé číslem před desetinnou čárkou, které je rovno buďto nule anebo je to přirozené číslo, a za třetí posloupností cifer za desetinnou čárkou. Jestliže za desetinnou čárkou jsou od jistého místa samé nuly, pak je zvykem ty nuly vynechávat. Na př. + 0,324000... (samé nuly do nekonečna) lze psát též + 0,324 anebo + 0,32400 a pod. Podobně —368,000... (samé nuly) je totéž jako —368 atd. Dále považujeme za totéž +0,000... (samé nuly), t. j. +0 a —0,000... (samé nuly), t. j. —0. Tedy + 0 = —0. Místo + 0 Či —0 pišme prostě 0. A ještě jedna věc. Je-li před desetinnou čárkou číslo a a za desetinnou čárkou samé devítky, pak j é to totéž, jakoby před desetinnou čárkou bylo číslo a + 1 a za ní samé nuly. Na př. +15,999... (samé devítky) se rovná + ] 6,000 (samé nuly) a pod. —37,999... = —38.000... = 38. Podobně nechť za desetinnou čárkou na k-tém místě je cifra c různá od 9 a na všech dalších místech samé devítky, pak smíme nahradit c cifrou c + 1 a na dalších místech psát samé nuly. Na př. +15,996594999... (samé devítky) se rovná +15,996595000... (samé nuly) 19 čili +15,996595; podobně —368,9875 = —368,9875000... (saménuly) se rovná —368,9874999... (samé devítky). Symbolům jako —368,9874999... říkáme (desetinné) rozvoje příslušného čísla. Vidíme tedy, že některá reálná čísla mají dva různé rozvoje. Vzhledem k tomu, že je tu právě popsaná dvojznačnost, musíme být při aplikaci methody diagonály poněkud opatrnější než dříve. Jde o to dokázati, že R je množina nespočetná. Postupujeme jako dříve. Mysleme si (nesprávně), že R je spočetná množina. Pak R má buďto konečný počet prvků, třebas n, anebo má N0 prvků. Prvky množiny R se dají tedy očíslovat pomocí přirozených čísel, a to buďto pomocí čísel 1, 2,..., n, anebo pomocí všech přirozených čísel. Prvky množiny R napišme pod sebe a znaménka vynechávejme; v &-tém řádku bude reálné číslo mající pořadové číslo k. V prvním řádku bude číslo c^1^1^*1)... do nekonečna; při tom číslo at1) před desetinnou čárkou je přirozené číslo nebo nula a c^), c2<1>, Cjí1) atd. jsou cifry. Podobno v druhém řádku je Číslo a<2>, c1(2>c2(2)ca(2í... do nekonečna, a další řádky jsou a&\ CjWc^8^8)... do nekonečna, atd. Těch řádků je n v případě, že M má n prvků. V tom případě doplníme počet řádků na No tím, že v dalších řádcích píšeme vždy třeba číslo 0,0000... (samé nuly). 20 Má-li R prvků, je řádků už samo sebou nekonečně mnoho. Každý řádek je jeden prvek množiny R a všecky prvky množiny R jsou tak vyčerpány. A teď ten kýžený rozpor dostaneme tak, že sestrojíme prvek množiny R (t. j. reálné číslo), který přece jen v Žádném řádku napsán není. Je-li cifra cj<*> rovna jedné, t. j.: c^ = 1, pak nechť dj<*> = 2; v opačném případě, t. j. nenJ-li c/<*> rovna jedné, nechť zase df^ = 1. Tedy je vždy zase cifra, ale jiná než cjto. A teď si všimněme čísla + 0,á\(1)d2&a\WdAW na k-tém místě za desetinnou Čárkou je cifra d^l). A teď buď-me opatrní I Cifry d^ jsou jedničky a dvojky. Proto to naše Číslo se dá psát jen tím jedním způsobem. (Neboť dva způsoby psaní byly možné jen tam, kde od jistého místa byly za desetinnou Čárkou samé devítky anebo nuly.) Má-li se tedy naše číslo rovnat nějakému číslu, musí se s ním shodovat ve všech cifrách, za desetinnou čárkou. Tedy se naše Číslo neshoduje s číslem napsaným v prvním řádku: neboť první místo za desetinnou čárkou v prvním řádku je c^1*, kdežto u našeho čísla je jiné, totiž dj1)* Neshoduje se ani s číslem aV\cxMc2&czW... napsaným v druhém řádku: neboť druhé místo za desetinnou čárkou v druhém řádku je ca<2>, kdežto u našeho čísla je jiné, totiž dJR. A obecně se neshoduje s číslem napsaným v £-tém řádku: neboť k-té místo za desetinnou čárkou v A-tém řádku je c4<*)f kdežto u našeho čísla je jiné, totiž d*<*>. 21 Skutečně tedy nalezené číslo není napsáno v žádném řádku, a to jsme chtěli za účelem dosažení rozporu dokázat. Tedy náš předpoklad, že by R byla spočetná, je nesprávný, tedy R je nespočetná, což bylo dokázati. 1,3. Kardinální čísla. V první kapitole jsme si všimli, že 52 = 25 a že Hoa = Ho* První rovnice znamenala, že je jedno, má-li množina 25 prvků nebo 5a, t. j., že je jedno, číslujeme-li něco přirozenými čísly 1, 2, 3,... až 25 anebo uspořádanými dvojicemi {m; n}, kde m a n je vždy 1 nebo 2 nebo 3 nebo 4 nebo 5. To proto, že těch čísel 1, 2,... až 25 a našich dvojic je stejný počet, t. j., že naše dvojice se dají očíslovat pomocí čísel 1,2,3, ...,25. Úplně stejně rovnice No2 = N0 znamenala, že je jedno, má-li množina Ho prvků nebo Ho2, t. j., že je jedno Číslovat přirozenými čísly 1, 2, 3,... do nekonečna nebo uspořádanými^dvo-jicemi {m; »}, kde m&n jsou přirozená čísla. To proto, žertech čísel 1,2,... do nekonečna a našich dvojic je stejný počet, t. j., že naše dvojice se dají očíslovat pomocí čísel 1, 2, 3,... do nekonečna. Teď si obecně mysleme dvě množiny A a B a nechť prvky množiny B se dají očíslovat pomocí prvků množiny A. (Při tom naše množiny mohou být nekonečné, dokonce i nespočetné.) Je-li C další množina, pak je úplně jedno, užijeme-li k číslování množiny C prvků množiny A nebo prvků množiny B. Zajisté. Mysleme si totiž, že prvky množiny A jsou jakési nálepky a prvky množiny B jakési štítky. (To ovšem jen kvůli názornosti.) Očíslování množiny B pomocí množiny A se provede tím, že každou nálepku nalepíme na příslušný štítek. Očíslování množiny C pomocí množiny B provedeme tím, že každý štítek (prvek množiny B) nalepíme na příslušnou věc z množiny C. Ale na tom Štítku je nalepena nálepka, takže jsme prvky množiny C zároveň očíslovali nálepkami, t. j. prvky množiny A. Ty štítky jsou tam jen pro parádu. Tedy jsme k číslovaní množiny C místo množiny B 22 mohli rovnou užít množiny A. A ovšem místo očíslování pomocí nálepek jsme stejně mohli užít štítků, protože o každém štítku víme, která nálepka na něj patří. Tedy zase místo množiny A bylo k číslování možno užít množiny B. Je to úplně jedno. Tedy: Dá-li se množina B očíslovat množinou A, je úplni jedno zda užijeme k číslovaní množiny A nebo množiny B. Jestliže dvě množiny A a B jsou takové, že je úplně jedno, čísluje-li se množinou A nebo množinou B, mohou-li se při číslování vzájemně zastupovat, říkáme, že jsou spolu ekvivalentní (rovnocenné). Tedy: Dá~li se množina B očíslovat množinou A, pak množiny A a B jsou ekvivalentní. Jestliže naopak množiny A a B jsou ekvivalentní, pak se množina B dá očíslovat množinou A. Neboť množina B se samozřejmě dá očíslovat sama sebou, t. j. množinou B. Jelikož ale je jedno, číslujeme-li množinou A nebo B, můžeme množinu B očíslovat také množinou A. Hořejší výsledky shrneme: Dvě množiny jsou ekvivalentní tehdy a jen tehdy, když jedna z nich se dá očíslovat pomocí druhé. Označme N(n) množinu přirozených Čísel 1,2,... až do n včetně. Na př. N(5) má prvky 1, 2,3,4, 5. Dále je-li B množina (třeba i nekonečná), pak jB| bude počet prvků množiny B. Na př. jsme měli |0| = o, |N(5)| = 5, |N| = H0, |N»| = «oa. Když se dala množina B očíslovat množinou N, říkali jsme, že B má | N| (totiž Kq) prvků. Obecně B má | A| prvků, když se dá B očíslovat množinou A. Rovnice |A| = |B| znamená ovšem, že jo jedno, zda řeknu, že nějaká množina má |A| prvků či |B| prvků. Tedy to znamená, že je stejné číslovat množinou A či množinou B. Tedy: Že množiny A a B mají stejný počet prvků, t. j. že |A| = |B|, znamená, že množiny A a B jsou ekviva- 23 lentní, čili, že jedna z nich' (kterákoliv) se dá očíslovat pomocí druhé. Podle první kapitoly tedy |N3| = |N|, |Na| = |N|, |N4| = |N| a obecně |N*| = |N|. Označíme-li obecně M0* počet prvků množiny N*, možno psáti V = «o» V = »o» V = »o a obecně = Ho- Čtenář si sám uvědomí, že definice mocniny Hq3, Ho4 atd. skutečně odpovídá příslušné definici mocnin n3, «4 atd. pro přirozené n. Symbol |A| označující počet prvků množiny A je jakési „číslo" konečné nebo nekonečné podle toho, je-li A množina konečná či nekonečná. Konečná z těch čísel jsou 0, 1, 2, zkrátka nula a Čísla přirozená. Neboť konečná množina je buďto prázdná a pak počet prvků je 0 anebo má n prvků, kde n je přirozené číslo. Těm číslům |A| říkáme kardinální čísla. V mluvnici se říká „základní" čili „kardinální" číslovky slovům jeden, dva, tři atd., která označují počet na rozdíl od číslovek první, druhý, třetí atd., t. zv. „radových" Čili „ordi-nálních", které označují pořadové číslo. V theorii množin se zavádějí též t. zv. čísla ordinální, jichž pravý rozdíl oproti kardmálním vysvitne až u nekonečných množin. To však přesahuje rámec knížky. Kardinální čísla |0|, |N(1)|, |N(2)| atd. a |N| je zvykem označovat 0,1, 2, atd. a N0. V předešlém odstavci jsme poznali, že množina R všech reálných Čísel se nedá očíslovat žádnou z množin N(l), N(2) atd., ani množinou N (tím méně ovšem množinou 0). Tedy se nerovná ani 1, ani 2, ani 3 atd. ani No (tím méně ovšem nule). Tím jsme dospěli k novému kardinálnímu číslu |R|,které je zvykem označit H.*) Píšeme *) Ctěme alef. 24 tedy H = Čísla Nq a g nikterak ještě nejsou všechna nekonečná kardinální čísla. Snažme se nyní porovnávat kardinální čísla podle velikosti. Napřed si ozřejmíme, oč jde, na konečných Číslech. Co to znamená 5 < 7 (Čti: 5 je menší než 7)? Znamená to toto: Mějme sedm koleček OOOOOOOa pět křížků + + H—h + • Pak můžeme Číslovat kolečka pomocí křížků, ale vždy nám při tom některá kolečka zbudou, ač jsme křížky spotřebovali všecky: O O O O O O O + + + + + nebo třeba O O O O O O O + + + + + Nějaká kolečka vždy zbudou. A to slůvko vždy je velmi důležité! Vidíme to na nekonečných množinách. Číslujme totiž množinu N touž množinou N, na př. čísla v závorkách Číslujme čísly bez závorek. Možno to udělat rozmanitými způsoby. V následujících obrázcích jsou Čísla v závorkách očíslována pod nimi stojícími čísly bez závorek. Jedno číslování je takové: (1) (2) (3) (4) atd. 1 2 3 4 atd. Číslo (n) bylo vždy očíslováno číslem n. Nezbylo nic, žádné číslo v závoroe a žádné číslo bez závorky. Ale můžeme Číslovat jinak: (1) (2) (3) (4) atd. 12 3 atd. číslo (»+ 1) bylo očíslováno Číslem n. čísla bez závorek jsme vypotřebovali všecka a přes to jedna závorka zbyla, totiž (1). Dokonce i nekonečno mnoho závorek může zbýt: 25 (1) (2) (3) (4) (5) (6) atd. I 2 3 atd. Číslo (2n) bylo očíslováno číslem n. Čísla bez závorek byla spotřebována všechna a přes to zbyly všechny liché závorky; jen sudé byly očíslovány. Vzhledem k posledním dvěma příkladům bychom byli nakloněni říci, že čísel v závorkách je víc než čísel bez závorek. Ale chyba lávky- Vždyť přece obojích Čísel bylo No- A bylo by trapné říkat, že K0 je větší než N0. Z této trapné situace nás vyvede ono důležité slůvko vidy. Nám se sice podařilo, když jsme se o to snažili, Číslování zařídit tak, aby zbyly nějaké závorky a aby při tom byla spotřebována všecka čísla bez závorek. Ale nestalo se to vždy. V prvním příkladě totiž žádná závorka nezbyla. A teď tedy už můžeme definovat, co to znamená, že nějaké kardinálni číslo a je menší než jiné kardinální číslo b, což píšeme symbolicky a < b. Definujeme takto: Zvolíme si množinu A, která má a prvků, a množinu B s b prvky. Povede-li se nám očíslovat množinu B množinou A částečně a dovedeme-li mimo to dokázat, že úplné očíslování není možné, pak a je menší než b,t. j. a < b. a ^ b znamená, že buďto a < b anebo a = b, t. j., že umíme B očíslovat pomocí A ať už částečně nebo úplně, a ^ b se čte: a je nanejvýš b, anebo b je aspoň a. Ve druhé Části uvidíme, že rovnice a = b se může dokázat tak, že se dokáže a 4,pak je možno dohromady je očíslovat přirozenými čísly: I II III IV V 1 2 3 4 do nekonečna, 12 3 4 56789 do nekonečna. Obecně, je-li n libovolné přirozené číslo, pak n + Ko = «0* Máme-li totiž n prvků 1', 2', 3',... až n' a Hq prvků 1,2, 3,.. do nekonečna, pak je jich celkem Ho> neboť je můžeme očíslovat přirozenými čísly: 1,2,3,..., ti t 1, 2, 3, 4, >.. do nekonečna, 1, 2, 3, ...,n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4,... do nekonečna. Ale nejen tol Dokonce %o H" ^0 = Ho* Máme-li totiž Ko prvků + l>+2,+3,... do nekonečna a mimo to jiných N0 prvků —1, —2, —3,... do nekonečna, pak je jich celkem Kg, protože se dají takto očíslovat: + 1,-1, +2,-2, +3,-3, +4,-4,... do nekonečna, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... do nekonečna. 29 Má tedy Číslo tu pozoruhodnou vlastnost, že se vůbec nezvětší, když k němu připočtu 1 anebo 2 anebo jakékoliv přirozené číslo. Ba ani tehdy se nezvětší, když k němu připočtu to číslo Nq samo. Je tomu tedy zcela jinak než jsme na to zvyklí u konečných čísel. Co to je násobení? Je-li A nějaká množina a B také nějaká množina, označíme A x B množinu všech uspořádaných dvojic {a; 6}, kde a je prvek množiny A a 6 je prvek množiny B. Má-Li A 5 prvků, na př. 1, 2, 3, 4, 5 a má-li B 7 prvků, na př. 1» 2, 3,4, 5, 6, 7, pak A x B sestavme do tabulky {1;1}, {1;2},..., {1;7}, {5; i},*{5; 2},'."," '{5; 7}* Tato tabulka má 5krát 7 prvků. Obecně se vypočte a xb (čili a . b, Čili ab)takto: Zvolíme nějakou množinu A s a prvky a množinu B s b prvky. Utvoříme množinu A x B (všech uspořádaných dvojic {a; b}, kde a je prvek množiny A a b je prvek množiny B). Pak a X b je počet prvků množiny A x B. Stejně jako při sčítání může náš přítel počítat tak, že si zvolí jakési jiné množiny A' s a prvky a B' s b prvky; a . b pro něho bude počet prvků množiny A' x B'. Bude to ale totéž jako počet prvků množiny A X B; vyjde mu tedy totéž jako nám (cvičení 12,2 ve druhé Části). PKUad. 5 X 7 = 35, neboť 5 X 7 je počet prvků množiny Ax B, kde A má 5 prvků 1,2,3,4, ó a B má 7 prvků, 1,2,3, 4,5, 6, 7. Rovnice 5x7 = 35 plyne pak z toho, že prvky v poslední tabulce, kterých je 5x7, se dají očíslovat čísly 1 až 35 na př. takto: 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 35, 34, 33, 32, 31, 30, 29. 30 Vypočteme si Kqx*v JestNoXHo== |NxN|. Avšak NxN je množina dvojic {m; n}, kde man jsou přirozená Čísla, tedy N x N = N2. Tedy «0x«0=|Nx N| = |N2| = No2 = Ho. Tedy Ho X Hq ~ Hq< Co je to 2 x No ? N (2) obsahuje dva prvky a to 1 a 2. Pak prvky množiny N(2)xN jsou {1; 1}, {1; 2}, {1; 3}, ... do nekonečna, {2; 1}, {2; 2}, {2; 3}, ... do nekonečna. A možno je očíslovat přirozenými čísly třeba takto: 1, 3, 5, 7, atd. 2, 4, 6, 8, atd. Tedy N(2) xNmáHo prvků. Avšak N(2) má dva prvky a N má »o prvků a tedy N (2) x N má Ho prvků, čili 2 X Hq = Ho* Je-li n přirozené číslo, pak vždycky n X Hq — Hg. « XHq je totiž počet prvků množiny N(n)xN; neboť N(n) má n prvků a N má H0 prvků. Prvky množiny N(n) X N jsou uspořádané dvojice, jichž první Člen je nějaké z čísel 1,2,... až n a druhý Člen je libovolné přirozené Číslo. Možno si tedy N(n)xN sepsat do tabulky {1; 1}, {1; 2}, {1; 3},... do nekonečna, {n; 1), {ti; 2}, {n; 3}, ... do nekonečna a očíslovat přirozenými čísly takto: 1, n + 1, 2n + 1, atd. 2, n + 2, 2n + 2, atd. n, 2n, 3n, atd. 31 Popis. Od každého členu prvního řádku vedeme svisle dolů paprsek. Začneme Číslovat nahoře vlevo a jdeme po jednom paprsku, dokud to jde. Když jsme očíslovali všecky prvky na jednom paprsku, přejdeme k nejbližšímu pravému a očíslujeme zase shora dolů atd. Mocnění kardinálních Čísel jsme už měli: Zopakujme: An je množina uspořádaných n-tic, jichž členy jsou prvky množiny A. an se vypočte takto: Zvolíme množinu A s a prvky, pak a" je počet prvků množiny An. Našemu příteli, který místo A volil množiny A' s a prvky, vyšel pro aft počet prvků množiny A'n, který je stejný jako počet prvků množiny An. Tedy mu vyšlo totéž co nám. Ve cvičení 12,4 si čtenář sám zjistí, že pro kardinální čísla platí stejná početní pravidla jako pro Čísla přirozená (viz druhou část). Budeme jich užívat. 1,4. Kolik je racionálních čísel? Jsou-li a a b dvě reálná čísla, pak jedno z nich je menší a jedno větší. Je-li na př. a to menší, píšeme a < b. Na př. záporná čísla (t. j. Čísla se znaménkem —) jsou menší než 0 a než kladná čísla (t. j. čísla se znaménkem +). 0 je menší než kladná čísla. Některá reálná čísla se nazývají racionální. Jsou to taková, která se dostanou dělením dvou celých čísel. (Celá čísla jsou taková, která mají za desetinnou čárkou samé nuly.) Nulou dělit nesmíme. Čísla, s kterými se při praktickém měření setkáváme, jsou vesměs racionální. Žádnou délku nelze změřiti absolutně přesně. Vždy nám vyjde jakési Číslo přesné jen na jistý počet desetinných míst. Ať měříme sebe přesněji, vždy náš výsledek lze vyjádřit racionálním Číslem. I když správná hodnota není racionální, čili jak říkáme, je irracionální, vždy se dá nahradit racionálním číslem a vždy s jakousi chybou, ale ta chyba může býti libovolně malá. Ať ale stupňujeme přesnost pozorováni sebe vío, ať máme přístroje (theoreticky mluveno) naprosto 32 přesné, t. j. tak přesné, že chyba se dá zmenšit pod každou sebe menší mez, nikdy se nám nepodaří rozeznat reálná čísla od racionálních, vždy nám racionálni čísla budou prakticky vyplňovat celou osu číselnou. Osou číselnou rozumíme při tom*přhnku, jejíž body jsou očíslovány reálnými čísly, a to tak, jak jdou za sebou podle velikosti: ť ■__•-->—i—1-■-> ^3 -1 O+QM+225 Obr. 11. Racionální Čísla při tom leží na ose Číselné hustě. To znamená, že prakticky vyplní celou osu, že ke každému reálnému číslu ve vzdálenosti sebe kratší se najde racionální Číslo. Čili mezi každými dvěma (sebe bližšími) reálnými čísly leží vždy nějaké racionální číslo. Na př. mezi čísly —5,874... (atd. jakési cifry) a + 6 leží číslo 0, mezi + 2,75... (atd. jakési cifry) a + 2,76... (atd. jakési cifry) leží číslo +2,755000... (samé nuly). Anebo mezi číslem —366,9968395795... (atd. jakési cifry) a Číslem —366,9968417674... (atd. jakési cifry) leží číslo —366,996839580000... (saménuly). Mezi dvěma čísly leží vždy nějaké číslo, které má za desetinnou čárkou skoro samé nuly a takové číslo je vždy racionální. Na př. poslední číslo se dostane dělením celých čísel; rovná se totiž —36699683958 :100000000. Tedy na každém sebe menším kousku osy Číselné se vyskytují racionální Čísla. Zakreslíme-li si na osu číselnou jen racio- St. 48—a 33 nální čísla, pak se nám i při sebe podrobnějším pozorování jeví osa číselná dokonale vyplněna. Měli jsme dosud dvě nekonečná čísla: a K. M bylo větší. Ale také byl rozdíl v množinách, které měly «0 prvků a M prvků. Množiny s y0 prvky byly množiny N, Na a pod. Všimneme-li si příslušných schémat, vypadalo to takto: N: N2: Obr. 12. do nekonečna # do nekonečna do nekonečna Obr. 13. A U prvků měla osa číselná: do nekonečna do nekonečna Obr. 14. Vidíme hned rozdíl. Ta první schémata jsou řídká, jednotlivé body jsou daleko od sebe. To poslední schéma je přímka, body jsou těsně u sebe, jsou husté, vzdálenosti jsou libovolně malé. 34 Snad proto má tedy poslední množina více prvků než ty dřívější? A označíme-li si Kac množinu vdech racionálních Čísel, pak i při naprosto dokonalém pozorování (kdy se přesnost dá libovolně stupňovat) schéma množiny Roc bude vypadat zase jako ukazuje obr. 14. Od celé reálné osy se nerozezná. Má tedy množina Rac také M bodů, nebo při nej menším aspoň víc než Nq. Ale chyba lávky! Všech racionálních čísel je pouze Nq, tedy právč tolik jako přirozených čišel a o nic víc. A dokonce toho už tolik umíme, že si to dokážeme úplně hravě. Racionální Číslo je dáno „párem" (t. j. uspořádanou dvojici) celých čísel. Na př. číslo + 0,328 = +328 : +1000 je dáno párem {+328; +1000}. Nebo číslo +3,333 (samé trojky) se rovná +10 : + 3 a je dáno párem { +10; + 3}. To racionální číslo se dostane tím, že první Člen páru dčlime druhým Členem. Nejdříve si spočítáme, kolik je těch párů celých čísel. První členy jsou celá čísla, t. j. jednak číslo 0........v počtu 1 jednak Čísla + 1.+2, +3.......v počtu Ha —1,-2,-3,......v počtu Hq Celkem..............l+«o+«o=(1+«o)+Ho=Ho+H0=Ho- Tedy: Prvních členů našich párů je Hq. Druhé členy jsou zase celá Čísla a tedy: Druhých členů našich párů je Mu. Našich párů je tedy Tedy našich párů celých čísel je Hq. Ty páry možno tedy očíslovat přirozenými Čísly: 35 Každému páru p* patří jakési racionální číslo rk. Na př. páru {—8;+7} patří číslo _8 : + 7 = — 1,142857142857... (cifry 142857 se stále opakují). Místo párů pt pišme příslušná racionální čísla: *1» *2» 's* ^4» * * * tím dostaneme posloupnost, která obsahuje všecka raoio-nální čísla. Ale ještě nejsme úplné hotovi. Může se stát, že různým párům patří stejná racionální Čísla. Na př. páru {+32;—28} patří číslo + 32 : — 28 = —1,142857142857... (cifry 142857 se stále opakují). A to je stejné číslo, které patřilo páru {—8; + 7}. Proto jsou v naší posloupnosti rp 'z* *3» **4» ■ * • některá racionální čísla napsána několikrát. Není to ještě správné číslování. Ale hned to napravíme. Nahoru k r* si při* pišme t1). Místo rt píšeme r^1'; naše posloupnost je: r í1) r í1) r ť1) r C1) Obsahuje všecka racionálni čísla, ale některá se opakují. Když se některé číslo v naší řadě opakuje, tak je tam prostě necháme jen jednou a to (na př.) na tom místě, kde se vyskytuje po prvé, a ta opakovaná vynecháme. Na př. r^1) necháme a Škrtneme všecka r^1), která se rovnají r^1). Zbude jakási menší řada: r (!) r (2) r (2> Číslo rx0) se v ní vyskytuje jen jednou. Ted r2<2> necháme a škrtneme všecka r^1*, která jsou rovna r8<2>; vznikne řada V ní se první dvě čísla vyskytují jen jednou. Z ní zase r3<8> po-36 necháme, ale jinak škrtneme vše, co se rovná raW a ve zbylé řadě ^ ra<2>, ra<3), r4(4)f ^ ra<4>} ... se první tři čísla vyskytují jen jednou. A tak stálo pokračujme. Tím postupně jsme si určili čísla ri(1*» f2(2)» f8*3*a*d- Sestavíme z nich posloupnost r (1) r <2) r (8) r (*) která vznikla škrtnutím všeho zbytečného. Tvrdím, že tato posloupnost obsahuje všecka racionálni čísla. To jistě, neboť jsme při našem škrtání vlastně nio neubírali. Škrtli jsme jen opakovaná Čísla, ponechávajíce vždy jeden exemplář neškrtnut. Dále se v naší posloupnosti nic neopakuje. Při prvním škrtnutí jsme totiž škrtli vše, co se rovnalo r/1*, při druhém vše co se rovnalo r2<2* atd., při k-tém škrtání jsme Škrtli vše, co bylo rovno Ze dvou stejných čísel je vždy jedno škrtnuto, nic se tedy neopakuje. Tedy máme (všecka) racionální čísla očíslována (bez opakování) 1, 2, 3, ... Ještě si nutno uvědomit, že to Číslování jde skutečně do nekonečna. To ale jistě. Mezi racionální čísla patří totiž také na př. čísla +1, +2, +3,... a těch je nekonečně mnoho; tedy tím spíše všech racionálních čísel musí být nekonečně mnoho. A naše Číslování ukazuje, že je jich přesně % jak jsme chtěli dokázati. 1,5. Dlskontlnuum. V předešlé kapitole jsme si ukázali, že ne-spočetnost množiny nikterak nesouvisí s její hustotou, aspoň v tom smyslu, že mohou být množiny husté (jako na př. množina racionálních čísel) a presto spočetné. A ted si uděláme naopak zase příklad množiny velice řídké a přes to nespočetné. Racionální čísla'vyplňovala prakticky celou osu číselnou a přece jich bylo velmi málo; naproti tomu množina, kterou 37 si teď popíšeme, budo na první pohled na ose číselné takřka mizet a pfcs to bude mít bodu velmi mnoho. Ta pamětihodná množina se jmenuje diskontinuvm (protože je velice nespojitá, úplně sporadická) a má velikou důležitost v aplikacích. Dostane se tím, že z osy číselné postupně jisté části vynecháváme a to tak mnoho, že laikovi se na první pohled zdá, že nic nezbylo. Ale zbude přec jen něco a to něco jo právě to diskontinuum a má to dokonce velmi mnoho, nespočetně mnoho bodů. Později se ukáže, že diskontinuum má dokonce N bodů, t. j. přesně tolik jako celá osa číselná. Především z osy číselné vynecháme všecka čísla záporná a všecka Čísla větší než +1. Zbude interval J (úsečka) od 0 do 1. (Viz obr. 15 a.) Tuto úsečku rozdělíme na deset stejných dílků a vynecháme všecky díly mimo první a poslední; koncové body u prvního á posledního dílku nevynecháme; zbudou dva intervaly. (Viz obr. 15b.) TecT s těmi zbylými kousky naložíme zrovna tak; rozdělíme je na doset stejných dílků a všecky mimo první a poslední vynecháme; koncové body ponechaných dílků nevynecháme. Zbudou čtyři intervaly. (Viz obr. 15o.) 0 1 a) 0 03 b) 0 0,1 09 U 1 c) Obr. 15. Koncové body jsou 0; + 0,01; dále + 0,09; + 0,1; dále + 0,9; + 0,91; dále + 0,99; +1. A ze zbylých čtyř kousků zase vynecháme prostředních osm desetin. A tak pokračujme stále a stále až do nekonečna. Ze zbylých kousků vždy vynecháváme prostředních osm desetin; ale koncové body ponechaných dílků nikdy nevynecháme. Zbývá toho méně a méně. To, co 38 zbude nakonec po nekonečně mnoha vynecháních, to je právě to dis kontinuum. A co vlastně zbylo? Záporná čísla a čísla větší než +1 jsme vynechali. Tedy zbylá čísla mají před desetinnou Čárkou + 0. (I číslo +1 lze tak psát: +1 = +0,9.) Za druhé jsme vynechali prostředních osm desetin. Ta zbylá čísla mají tedy na prvním místě za desetinnou čárkou buď 0 anebo 9. (I číslo + 0,1 lze tak psát: + 0,1 = + 0,09). Dále jsme ze zbylých kousků (což jsou desetiny) vynechali prostředních osm desetin (což jsou setiny) a tedy zbylá Čísla mají na druhém desetinném místě buďto 0 nebo 9. (I čísla +0,01; +0,91 lze pak psát: +0,01 = +0,009; +0,91 = +0,909.) Atd. A tak pokračujíce vidíme, že nám zbyla právě taková čísla, která je možno psát s + 0 před desetinnou čárkou a se samými nulami a devítkami za desetinnou Čárkou. Tedy: Diskontinuum D je množina reálných čišel, kterou lze psát tak, že před desetinnou Čárkou je + 0 a za ni samé nuly a devitky. A zase je na místě opatrnost, neboť víme, že dekadické rozvoje jsou dvojznačné. Ale takové rozvoje, které mají za desetinnou čárkou jenom nuly a devítky, jsou tím jednoznačně určeny. Neboť při přechodu k jinému vyjádření se některá cifra změní o jednu a to už nebude ani nula ani devítka. Tedy opatrnost je zbytečná. A nespočetnost množiny D dokážeme zase methodou diagonály. Nechť D je spočetná. Pak lze všecka Čísla z D sepsat do sloupce, každé do jednoho řádku. Možno předpokládat, že řádků je nekonečně mnoho. Kdyby náhodou D měla jen konečný počet prvků, pak jako další řádky píšeme třeba Číslo + 0,000... (samé nuly). Tedy D je sepsána takto: + 0,c1(l,ci(1V1'..., + 0,C1<2>Ca<í!>C,(2>..., Cifry ej(í> jsou auly a devítky. A teď nechť <ř/*> = 0 v případě, že Cf<*> = 9; a nečht d/*> = 9 v případě e<<*> = 0. Pak číslo 39 +Otd1... má za desetinnou Čárkou samé nuly a devítky a tedy patří do D. A není napsáno v žádném řádku, neboť od k-tého řádku se liší na fc-tém místě za desetinnou čárkou. Tento rozpor ukazuje nesprávnost našeho předpokladu, že D je spočetná. Tedy diskontinuum D je nespočetná množina, A teď něco pro ty, kteří si pamatují ze sexty něco o řadách. Abychom si uvědomili, jak řídce je diskontinuum D rozloženo na ose číselné, vypočteme si celkovou délku toho, co jsme z intervalu J ubrali. Nejdříve jsme ubrali osm desetin, potom dvakráte po osmi setinách, potom čtyřikrát po osmi tisícinách atd., celkem tedy jsme ubrali Je to geometrická řada, první člen = -fl, a kvocient q = rfa. Její součet je Tedy celková délka toho, co jsme z intervalu J ubrali, je 1, t. j. rovná se délce celého intervalu J. Na diskontinuum už žádná délka nezbyla; říkáme, že diskontinuum má míru nula. A přes to, že celková délka toho ubraného je tak velká, jako délka intervalu, z něhož jsme ubírali, zbylo nám stále ještě nespočetně mnoho bodů. Diskontinuum má nespočetně mnoho bodů, přes to, že jeho míra je nula. Dokonce si ihned zjistíme, že počet bodů diskontinua je stejně veliký jako počet bodů celé osy číselné. Vypočteme si přesně, kolik má bodů diskontinuum D. Uvidíme, Že nám vyjde N. Především D je částí osy číselné, tedy má jistě nejvýše tolik bodů, co celá osa číselná. Tedy má D nanejvýš M bodů, tedy buďto stejně mnoho, anebo méně. Abychom dokázali, že D má stejně mnoho bodů jako R, stačí tedy dokázat, že jich nemůže mít méně. Tedy nám zbývá dokázat, že D má aspoň 40 tolik bodů jako R, t. j. že |R| ^ |D|. To znamená: Máme očíslovat D pomocí R, afi už částečné či úplně. Podaří-li se nám to, bude dokázáno, že R má přesně M bodů. Vezmeme si na pomoc výsledky předchozí kapitoly. Racionálních čísel je můžeme tedy všecka racionální čísla očíslovat čísly 1, 2,... do nekonečna: rlt r2, r8>... do nekonečna. A teď mějme nějaké reálné číslo q. Tomu číslu přiřadíme jistý bod v diskontinuu; ten bude + OjCjCg^... (nuly a devítky) a sestrojí se takto: Je-li rx < q, bude Cj = 0; v opačném případě bude Ci = 9. Je-li ra < qt bude = 0; v opačném případě bude c2 = 9. Obecně stojí na £-tém místě nula v případě, že r* < (?; v opačném případě se £-tá cifra c$ rovná devíti. Vezmu-li teď jiné reálné číslo q\ na př. q < q\ pak mezi Čísly q a qr je jakési racionální číslo r. Číslo r je napsáno v řadě *Íi *2» *8» řekněme na Z-tém místě, tedy r = r;, tedy q c2,..d\t <Ž2>..., el, e^* ... jsou samé nuly a devítky. Po-daří-li se nám D8 (úplně) očíslovat množinou D, která má H prvků, budeme hotovi. To se nám ale podaří snadno. Naši trojici totiž očíslujeme prvkem Každému prvku množiny D pak skutečně odpovídá přesně jedna trojice, totiž {+07/1/4/7/10 • • *> ~\~Qtfifbfsf 11 • • •» H" 0»/a/e/e/i2 ••■}• Čtenář si za cvičení úplně obdobně dokáže K4 = M a třeba ještě »* = K přímo. Dosud jsme za mocnitele připouštěli jenom konečná čísla 1, 2, 3,4,... Ted si řekneme, co je to A*V Prvky množiny A4 44 byly uspořádané Čtveřice prvků množiny A, t. j. čtyřčlenné řady prvků množiny A. Obdobně prvky množiny A*» budou Ho-Členné řady prvků množiny A, t. j. prvky množiny A*« jsou posloupnosti, jejichž členy jsou prvky množiny A. A a*• se vypočte takto: zvolíme množinu A s a prvky; pak a*9 je počet prvků množiny AH*. (Na tom, jak volíme A, zase nezáleží, jen když A má a prvků.) Piati K = 2V Tuto neobyčejně důležitou rovnici dokážeme úplně snadno. U diskontinua je před desetinnou čárkou vždy +0; tedy se stačí starati jen o to, co je za desetinnou čárkou. Prvky diskontinua jsou tedy v podstatě posloupnosti ze samých nul a devítek. Je-li A množina, která obsahuje přesně dva prvky, totiž nulu a devítku, pak D je v podstatě totéž jako AN*; a D má X bodů a A*» má 2H» prvků. Tedy K = 2\ Dále platí. Je-li n přirozené číslo, větší než 1, pak vždy n*» = H; dokonce N0N« = » a = g. Nejdříve si vypočteme )&\ Jeto počet prvků množiny D\ jejíž prvky jsou posloupnosti a\t 0*2? • • • a to takové, že d\, dit... jsou body diskontinua. Tedy a\ = + O,^1^1^1)... d2= +0,C1(2)ca(2)c8(2>... Abychom dokázali NN» — N, stačí naši posloupnost očíslovat (úplně) pomocí prvků množiny D. To se nám snadno povede. Naši posloupnost d\t ďe,... totiž očíslujeme číslem 45 které patří do diskontinua a dostane se takto. Od každé cifry za desetinnou čárkou v čísle á\ vedeme nalevo dolu paprsek odchýlený od vodorovného směru o 45°. Začneme cifrou c^1* a píšeme cifry za sebou jdouce vždy po paprsku; a když vyčerpáme jeden paprsek, přejdeme k nej bližšímu paprsku. (Viz obr. 17.) Obr. 17. A každému číslu pak skutečně odpovídá zcela určitá posloupnost ^1» *^2» ^3* * '' totiž &l = ~T" 0,6^626467 ...» ďg = 0,636364 . •., d$ — ~h O,60tí0 ..., atd. Tedy našich posloupností je stejně mnoho jako prvků diskontinua, t. j. H *•== H. \ Z toho plyne lehko také tio*9 = »• 40 Označme totiž A množinu obsahující jenom dvě čísla +1 a + 2. Označme B množinu, která obsahuje b čísel +1, +2, + 3,...; b nechť je větší než jedna. Obsahuje-li B n Čísel (t. j. b = n), jest B = N(n). Anebo obsahuje B N0 čísel (t. j. b = = Hq) a pak B = N. V každém případě B obsahuje mimo jiné také čísla +1, +2, tedy A je část množiny B a ovšem B je část množiny R. Je tedy AN část množiny BN a to je část množiny RN. Tedy |AN|^|BN|^|RN|, t. j. Avšak 2m« je totéž jako Nv» (obojí je to rovno K) a tedy 2*» = = b*> = Při tom b bylo buď n (> 1) anebo «q. Tedy 2m« = 3m« = 4*» = ... = = «*• = M. 1,7. Příklady množin, které mají a prvků. A) Kladných čísel je Víc jich býti nemůže, protože všech reálných čísel je jenom M. A na druhé straně mezi kladná čísla patří též Čísla, která mají před desetinnou tečkou +2 a za ní samé nuly a devítky. Ta Čísla tvoří množinu D' zmíněnou už v odst. 1,6. (D' je vlastně diskontinuum posunuté na ose číselné o 2 dílky napravo.) D' má N prvků a tedy kladných čísel je aspoň M. Tedy jich je přesně N. Uspořádaných skupin po 17 kladných čísel je N17 = N. Obecně je uspořádaných n-tic kladných Čísel Nn = H. A po* shupnostl kladných Čísel je = M. Početní pravidla pro Číslo K jsme odvodili pomocí diskon-tinua, protože je to pohodlné. A teď užijeme těch formulí na jiná množiny (na př. množinu reálných čísel), které mají také M bodů, ale pro které by bylo svízelné ona pravidla odvozovat přímo. 47 V této kapitole předpokládám jisté (ostatně zcela nepatrné) znalosti geometrie. Tím se nikterak neprohřešuji zásadě, že nepředpokládám nic, protože jde o pouhé příklady k objasnění, stojící vedle vlastní látky. Především kolik má bodů přímka? Osa číselná měla M bodů; ty body byly reálná Čísla. A každá jiná přímka má zrovna tolik bodů. Jako v analytické geometrii si totiž na naši přímce zvolíme jakýsi bod za počátek i jakousi délku za jednotku měřítka (na př. cm). Každý bod napravo od počátku označíme Číslem se znaménkem plus, které nám udává, o kolik cm je vzdálen od počátku. A každý bod nalevo od počátku označíme též jeho vzdáleností od počátku, ale se znaménkem minus. A počátek označíme 0. Situace je stejná jako na ose číselné v obr. 11. Body naší přímky jsou očíslovány reálnými čísly. Tedy: Přímka má N bodů. A teď kolik bodů má rovina ? J ako v analytické geometrii si nakreslíme v naší rovině dvě kolmice, t. zv. osy, řekněme „jednu vodorovnou a jednu svislou". A pro každý bod P naší roviny si určíme jakousi uspořádanou dvojici reálných Čísel. Říká se jim „souřadnice bodu P". První souřadnice značí vzdálenost od svislé osy; má znaménko plus, je-li P od svislé osy napravo; je-li nalevo, má znaménko minus. Druhá souřadnice značí vzdálenost od vodorovné osy; znaménko má plus či mínus podle toho, je-li náš bod od vodorovné osy nahoru, či dolů. (Viz obr. 18.) Body roviny jsou tak očíslovány uspořádanými dvojicemi reálných čísel. Je jich tedy tolik co těch dvojic, t. j. N2=8. Obr. 18. Tedy: 48 Rovina má také M bodu, A kolik bodů má prostor? Zvolíme si v našem prostora tři roviny na sebe kolmé: vodorovnou (rovinu n) a dvě svislé (roviny ra/t), A body prostom si očíslujeme uspořádanými trojicemi reálných Čísel; ta Čísla se jmenují zase souřadnice. První 7 Obr. 19. značí vzdálenost od roviny fi (napravo plus, nalevo minus), druhá značí vzdálenost od roviny v (dopředu plus, dozadu minus) a třetí značí vzdálenost od roviny n (nahoru plus, dolů minus). Body našeho prostoru se tedy dají očíslovat uspořádanými trojicemi reálných čísel. Je jich tedy M* = H. Tedy prostor má K bodů. Vidíme tedy, že přímka, rovina i prostor maji stejný počet bodů. St. 48—4 49 Starší matematika užívala k počítáni nekonečných množin symbolů oo— oo1, ooa, oo3,.Říkalo se, že přímka má 00=oo1 bodů, že rovina má oo2 bodů, že prostor má oo3 bodů. Na druhé straně přirozených čísel bylo také oo, racionálních čísel též oo. Uspořádaných dvojic přirozených čísel bylo oo8 a podobně. Nám ale vyšlo něco zcela jiného. Na rozdíl od staré matematiky jsme napočítali, že přímka, rovina i prostor mají stejný počet bodů. Naproti tomu racionálních čísel je méně, ale je jich stejně mnoho jako na př. uspořádaných dvojic přirozených čísel. To počítání po stáru, pokud má vůbec smysl, má smysl zcela jiný než naše. Nemá vůbec co dělat s počtem prvků, jak se snad někteří při logické nejasnosti pojmů domnívali. Pokud se přirozených čísel, uspořádaných dvojic přirozených čísel a pod. týče, má oo, oo2 atd. amysl dosti pochybný. Naproti tomu symbolům 00=oo1, oo2 atd. pro přímku, rovinu, prostor a vůbec v geometrii možno přikládat rozumný význam, který však s počtem prvků nemá co dělat. Exponent 1, 2 a 3 pro přímku, rovinu a prostor mají názorný význam dimense. Přímka je jednorozměrná, rovina dvojrozměrná, prostor trojrozměrný. Přímka a rovina mají stejný počet bodů; to znamená: každému bodu roviny lze přiřadit určitý bod přímky a to tak, že různým bodům jsou přiřazeny různé body a rovina i přímka se tím vyčerpají. To je pravda, ale takové přiřazení (očíslování) je vždy velmi nenázorné. Že takové očíslování existuje, jsme vyčetli z formule Ha = M, která byla odvozena z diskontinua a ne z roviny a přímky. To proto, že autor nepřišel na žádný způsob, jak přímo očíslovat body přímky pomocí bodů roviny, který by byl tak jednoduchý, aby jej bylo vhodno vykládat v populární knížce. Takové přiřazení s jednoduchými vlastnostmi geometrickými totiž žádné není. B) Úlohy v nápledujících odstavcích 8 hvězdičkami maji vyložit názornd bez logicko precisace, oc vlastne jde, mluví-li se o oo1, oo1, oo8 atp. Netýkají se vlastního predmetu knížky a maji za úkol 50 objasnit čtenáři, že při co1, oos,... jde o nčco zcela jiného než o nôj akou Skálu nekonečna. * Požadujme na našem přiřazeni, aby bylo spojité. T. j. dvěma blízkým bodům v rovině přiřazené body na přímce jsou zase blízké, spojitým pohybům v rovině odpovídají spojité pohyby na přímce. Pak souvislá množina (která se skládá jen z jednoho kusu) v rovině dá na přímce zase souvislou množinu. Teď z naší roviny odstraníme bod. Ta rovina se nerozpadne. Tomu odstraněnému bodu v rovině patří na přímc3 jakýsi bod. A ten bod patřil jenom tomu vynechanému bodu *v rovině, takže ochuzení naší roviny o jeden bod nutně ochudí o příslušný bod i přímku. Ale přímka odnětím bodu přestane býti souvislou, ačkoli rovina bez jednoho bodu souvislou zůstala. Tedy souvislé množině je přiřazena množina nesouvislá. Nemůže být tedy naše přiřazení spojité. To znamená: * Při očíslování přímky body roviny jistým blízkým bodům jsou nutně přiřazeny body vzdálené, to očíslování je vždy „nepořádné"; spojitým pohybům v rovině odpovídají skoky na přímce. * Požaduje-li se na číslování, aby bylo spojité, nedá se už přímka očíslovat rovinou. Přímka a rovina jsou sice ekvivalentní s hlediska theorie množin (jak jsme o ekvivalenci mluvili v odst. 1,3), ale dají se rozeznat pomocí pojmů spojitého Číslování. Nauka, která se zabývá spojitými přiřazeními, se nazývá topologie. Tedy přímka a rovina se dají rozeznat topologicky. Rovněž i prostor se dá od nich topologicky rozeznat, ač s hlediska theorie množin, t. j. staráme-li se jen o počet prvků, jen o očíslování, aniž klademe požadavky spojitosti, je s oběma ekvivalentní. * Ve školách se učí, že trojúhelník je určen třemi na sobě nezávislými údaji a žádným jiným počtem nezávislých údajů. (Údaje jsou kladná čísla.) Vzhledem k tomu se říká, že je co9 trojúhelníků. V této formě to ale není vůbec pravda. Tvrdím, 51 Že trojúhelník je určen takovým jediným údajem, nebo také sedmnácti zcela na sobě nezávislými údaji; ba dokonce možno trojúhelníky určovat (tedy nekonečně mnoha) údaji, které jsou na sobě naprosto nezávislé. Spočteme si totiž, kolik je trojúhelníků. Každý trojúhelník má tři strany; napišme si jejich délky podle velikosti za sebou (největší napřed). Tím jsme každému trojúhelníku přiřadili uspořádanou trojici kladných čísel. Tedy množina uspořádaných trojic kladných čísel je částečně očíslována pomocí trojúhelníku. Tedy je trojúhelníků nanejvýš tolik, co takových trojic, t. j. nanejvýš M3 = M. Na druhé straně každému kladnému číslu c přiřaďme trojúhelník, jehož všecky strany jsou c. Tím jsme trojúhelníky částečně očíslovali kladnými čísly. Je tedy trojúhelníků aspoň tolik, co těch Čísel, tedy aspoň tt. Celkem tedy: Trojúhelníků je přesné M. Možno tedy trojúhelníky „určovať* (přesně očíslovat) kladnými čísly. Takový jediný údaj (kladné číslo) určí přesně trojúhelník (který je tím číslem očíslován) a ten trojúhelník urči to Číslo. Tedy trojúhelník je určen jediným údajem (kladným číslem). Pro každé přirozené číslo n jsme však měli rovnici N" = H. Na př. tedy X17 = K. Avšak H17 je počet uspořádaných sedm-náctic kladných čísel (neboť M je počet kladných čísel) a tedy je trojúhelníků právě tolik co uspořádaných sedmnáctio kladných čísel. Možno tedy trojúhelníky „určovat" (přesně očíslovat) uspořádanými sedmnácticemi kladných čísel. Každými takovými sedmnácti údaji je určen zcela určitý trojúhelník. A změní-li se ta sedmnáctice, t. j. změní-li se některý z těch 17 údajů, změní se i náš trojúhelník. Každý z těch sedmnácti údajů můžeme zvlášť a zcela libovolně změnit; změní se tím prostě ta sedmnáctice a náš trojúhelník. Trojúhelník je určen sedmnácti zcela nezávislými na sobě údaji (kladnými Čísly). 62 Číslo 17 jsme vzali jen jako příklad. Ať je n zcela libovolně přirozené Číslo, jest 8* = H a tedy trojúhelník je určen n zcela na sobě nezávislými údaji (kladnými Čísly). Trojúhelníky je možno určovat dvěma nebo stotisíci nezá* Vislými údaji stejně dobře jako třemi. Dokonce jest »*• = N. Tedy je trojúhelník určen také Nq, kdy nekonečné mnoho na sobě zcela nezávislými údaji (kladnými čisly). Ale zase nevykládám, jakých je těch 17 či Kg údajů. To proto, že ty údaje nemají nijaký „názorný" smysl. Že trojúhelník je určen třemi a žádným jiným počtem „názorných" údajů, není však žádný matematický výrok: „Názornost" není logický pojem. * Mají smysl výroky: Trojúhelník je určen třemi stranami, stranou a oběma přilehlými úhly a podobně. Kdo nám ale za-ručí, že při určování trojúhelníka těžnicemi, výškami atp. ne* vyjde počet nezávislých určovacích prvků jiný? O tom se sice přesvědčujeme případ od případu (ač ne zcela přesně, neboť někdy ty úlohy jsou víceznačné, tedy ne zcela určené a zase naopak — dokonce při určení třemi stranami — někdy nevyjde vůbec žádný trojúhelník), ale obecná formulace problému a jeho řešení ve staré geometrii chybí. * Přesto lze výroku, že je oo3 trojúhelníků, dát rozumný smysl. V topologii se totiž pojem prostoru přenáší i tam, kde na to nejsme zvyklí. Z množiny všech trojúhelníků si uděláme také jakýsi „prostor"; jeho „body" jsou trojúhelníky. Aby to byl prostor, musí mezi body být jisté vztahy; musíme vědět, co to znamená, že dva body jsou blízko sebe. Na př. v našem případě to bude znamenat, že strany jednoho z obou trojúhelníků se málo liší od stran druhého. Říkáme, že jsme do množiny trojúhelníků zavedli topologii. A teď se dá zcela obdobně jako u přímky, roviny a obyčejného prostoru zavést pojem dimense. (Topologům se to podařilo zcela obecně.) A tu nám vyjde, že ten prostor trojúhelníků má dimensi 3. 53 A to je výklad výroku, že „trojúhelníků je oos", či že trojúhelník je určen pravé třemi nezávislými údaji." * Ale s dimensemi do tří nikterak nevystačíme. Prostor, jehož body jsou přímky v obyčejném prostoru, je čtyrrozměrný, je oo4 přímek v obyčejném prostoru. Prostor všech elips v rovině je pětirozměrný, těch elips je oo5. (Blízké jsou patrně dvě elipsy tehdy, když ke každému bodu na jedné z nich možno najiti blízký bod na druhé.) O prostoru s takovouto topologií, jehož body jsou elipsy v rovině, jest dokázat, že má dimensi 5 ve smyslu topologické theorie dimense. Tím teprv nabudeme oprávnění tvrdit, že je těch elips oo6. Při tom všem je počet přímek v prostoru, jakož i počet elips v rovině zase H. * Celkem tedy lze říci, že symbolům oo1, oo2, oo8,... možno přisoudit v geometrii jistý rozumný smysl, ale že nikterak nesouvisí s počtem nějakých věcí. Ty exponenty 1,2, atd. udávají dimensi, což je pojem patřící do topologie. Útvary různých dimensí nerozeznávají se pomocí číslování. Rozeznávají se teprve topologicky, t. j. když na číslování klademe požadavky spojitosti: A teď další příklady z geometrie. Úsečka je, jak známo, množina bodů na přímce, které jsou mezi dvěma různými body, t. zv. koncovými body té úsečky. Při tom ty koncové body buď k úsečce čítáme a mluvíme o úsečce uzavřené, nebo nečítáme a mluvíme o úsečce otevřené* nebo k úsečce čítáme jen jeden z těch koncových bodů a mluvíme o úsečce polootevřené. Především tvrdím, že všecky otevřené úsečky maji stejný počet bodů. A\_X_r Bt Á-*-f-& Obr. 20. 54 Koncové body těch úseček budou A&Bu jedné a u druhé A' a B\ (K otevřeným úsečkám jich nečítáme.) Jsou-li ty úsečky stejně dlouhé, pak je položíme na sebe a body obou si přesně odpovídají. (Obr. 20.) Když jsou různě dlouhé, pak si je položme podle obr. 21, spojme bod AbA\BbB'b>z průsečíku P promítejme jednu tu úsečku na druhou. Pak jsme bod X promítli do X\ bod Y do Y* atd. A tím jsme body X, 7, atd. očíslovali pomocí bodů X\ Y',... Je tedy těch bodů obojích stejně mnoho. Abychom tedy spočítali, kolik bodů má otevřená úsečka, stačí si vybrat zcela určitou otevřenou úsečku, ty ostatní mají bodů také tolik. Vybereme si na oso číselné úsečku U s koncovými body — 1 a +2. (Obr. 22.) Diskontinuum D leží na téže úsečce (leží totiž mezi body 0 a +1). A D má H bodů, takže naše úsečka U má aspoň M bodů. Ale víc než N bodů mít nemůže, protože celá osa Číselná má - j "Q ^ ^"+2 jenom M bodů. Tedy U a vůbec každá jiná otevřená úsečka má H Obr. 22. bodů. Je-li úsečka polootevřená, má o jeden bod víc, jeden z konců totiž k ní čítáme. Má tedy M + 1 bodů; avšak H + 1 = S. Tedy i polootevřená úsečka má N bodů. Uzavřená úsečka má o dva koncové body víc než otevřená tísečka; má tedy K + 2 body; avšak H + 2 = H. Tedy i uzavřená úsečka má H bodů. 65 Celkem máme výsledek: Každá úsečka má H bodů. Kolik bodů má čtverec (bez obvodu)? Strana čtverce je (otevřená) úsečka U a čtverec sám je vlastně množina ř7a = UxU. *--—JA 1 ' ! ' U ' *----* Obr. 23. Obr. 24. Bod A ve Čtverci (obr. 23) si můžeme totiž myslet označen jako uspořádanou dvojici {Ax \ ^42}, kde Ax je bod „základny" Ut A2 je bod „výšky" U. A U má K bodů, tedy náš čtvereo U2 má M2 bodů; avšak Ka = H, tedy čtverec má M ôoáá. Obvod čtverce se skládá ze čtyř otevřených úseček (zatím totiž vrcholy nečítáme) a mimo to Čtyř vrcholů. Každá z těch úseček má N bodů a tedy ten obvod má 4 . M + 4 body. Avšak 4 . N = N, tedy 4.« + 4 = K + 4 = ». Tedy obvod čtverce má M bodu. * Kolik má bodů kružnice? Narýsujme si kružnici o poloměru r a o středu 8 a opišme jí čtvereo (o straně 2r). Zvolím-li 56 na naší kružnici bod 7', pak se 7' promítne do bodu 7 na obvodu čtverce. Body na obvodu čtverce se promítají do bodů kružnice a naopak, ty body si přesně odpovídají. Tedy má kružnice stejně mnoho bodů jako obvod čtverce, t. j. kružnice má H bodů. (Obr. 24.) Podobně si můžeme vypočíst počet bodů jiných geometrických útvarů. Povrch krychle se skládá ze šesti stěn, což jsou čtverce, z 12 hran (otevřených úseček) a osmi vrcholů. Má tedy 6 . K + 12 . M + 8 bodů. A to je » bodů. Tedy povrch krychle má M bodů. * A povrch koule má také M bodů. Možno totiž té kouli opsat krychli a ze středu povrch koule promítnout na povrch té krychle (jako u kružnice a čtverce). Vidíme, že povrch koule a povrch krychle mají stejně mnoho, tedy H bodů. Povrch krychle, povrch koule, kružnice atd. měly M bodů bez ohledu na velikost. Cvičeni. Kolik bodů má plná krychle? (K3 = »). Kolik bodů má plná koule? (Také M, neboť jí lze vepsat i opsat krychli. Má tedy aspoň i nejvýš tolik bodů co krychle.) Kolik bodů má trojúhelník, plný kruh, obvod šestiúhelníka, povrch válce (promítej na krychlil), vnitřek válce (opiš a vepiš krychli!) (Vesměs M bodů.) 1,8. Nekonečných kardinálních čísel Je mnoho. Dosud jsme poznali dvě nekonečná kardinální čísla, totiž Mo a M. To první značilo počet přirozených čísel 1, 2, 3,to druhé značilo řekněme počet bodů v rovině. Teď si všimněme, kolik je všech částí roviny; uvidíme, že jejich počet t bude větší než počet bodů v rovině, t. j. t bude větší než K a ovšem také než Mo* Především body roviny jsou též jejími částmi. Je tedy Částí roviny aspoň tolik jako bodů roviny, t. j. t ^ M. Abychom dokázali, že t > M, stačí tedy zjistit, že není pravda t = M, t. j. že není možno Části roviny očíslovat body roviny 57 (tak aby nic nezbylo). Budeme to dokazovat zase nepřímo. Budeme (nesprávně) předpokládat, že všecky části roviny je možno očíslovat body roviny. Jde jen o to dokázat rozpor. Tu část roviny, která je očíslována bodem P, označíms č{P). A ted přijde úsudek úplně obdobný nám známé methodě diagonály. Sestrojíme si jím jakousi část 6 roviny. Ta část Č bude určena, budeme-b* vědět o každém bodě roviny, jestli do E patří nebo ne. Bude to takto. Je-li P bod roviny, pak se může stát, že P patří do 6(P); pak bod P do £ nedáme. Stane-li se však naopak, že P nepatří do č( P), pak bod P dáme do Č. Ted ale všecky části byly očíslovány body; tedy i naše č byla očíslována jakýmsi bodem Q. Tedy 6= č(Q). A ted mohou nastat dva případy: I. Q patří do č{Q). Avšak bodyP, které patřily do č(P)t jsme do 6 nedali; tedy ani Q jsme do č nedali. Tedy Q přece jen do č(Q) nepatří. V prvém případě jsme už kýžený rozpor dostali. II. Q nepatří do č(Q). Avšak body P, které nepatřily do Č(P), jsme do č dali; tedy zvláště jsme do 6 dali náš bod Q. Tedy Q přece jen do č(Q) patří. I v tomto případě máme rozpor. V každém případě, ať už Q do č(Q) patří či ne, jsme dospěli k rozporu, který ukazuje nesprávnost našeho předpokladu, že by totiž bylo možno všecky Části roviny očíslovat jejími body. Tedy to možno není, t. j. rovina má jiný počet částí než bodů, t se nerovná X. Ježto však 11> H, je nutně i větší než tf: Tak jsme získali nové nekonečné kardinální Číslo t, které je větší než obě nám již známá, totiž ^ a N. Způsob jak jsme postupovali je vlastně zase methoda diagonály. Vtip je úplně stejný jako při důkazu existence nespočetných množin. Čtenář, který má smysl pro abstrakci, si toho všimne. 68 Teď si můžeme sestrojit kardinální číslo, které je ještě větší než t. Postupujeme takto: Především si opatříme nějakou množinu M, která má t prvků. (Je to na př. množina všech částí roviny.) Je-li nyní u počet všech částí množiny M, pak u > t. Je to úplně stejné jako prve. Především prvky množiny M jsou také jejími Částmi a tedy počet těch částí je aspoň roven počtu prvků, t. j. u ^ t. Kdyby bylo u = t, mohli bychom zase Části množiny M očíslovat jejími prvky; č(p) budiž zase část očíslovaná prvkem p. A zase bychom si sestrojili č a našli prvek množiny q u množiny M takový, že č=č(q) a dospěli ke stejnému rozporu jako prve. Čtenář si to sám provede; stačí si prostě přečíst hořejší úvahu. (Místo roviny a jejích bodů přijde prosto množina M a její prvky.) A úplně stejně bychom i k číslu u našli číslo ještě větší. A obecně: Ke každému kardinálnímu číslu se dá najít číslo jeStČ větší. Úvaha je vždycky úplně stejná. Možno to také říci takto: Re každé množině se dá najít množina, která má ještě víc prvků. Tedy je nekonečných kardinálních čísel velká spousta; k danému číslu lze vždy nacházet stále větší a větší a ke konoi nedojdeme. Je jich rozhodně nekonečně mnoho. Je jich mnohem více než čísel konečných (těch je Kq); o tom, jak strašně mnoho je nekonečných kardinálních čísel, se dočte čtenář na konoi odst. 2,12 v druhé části. Bylo by sice lze to vyložit už tady, ale nechci čtenáři poplést představy, které si sotva ujasnil. 1,9. K čemu potřebujeme tak mnoho reálných čísel. Řekli jsme, že daleko nejdůležitější nekonečná čísla jsou Nq a N. Proč je číslo Ko tak důležité ? Prostě proto, že přirozená řada čísel je to hlavní nejen v matematice, ale ve všem myšlení vůbec; slavný matematik Kronecker řekl: „Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk." (Celá Čísla otvoril Pán Bůh, všecko ostatní vymyslili lidé.) A ta tak 60 důležitá přirozená řada čísel má Nq prvků, proto je často Kq tak důležité. A teď prosím, racionálních čísel je také Hq. A když počítáme, tak se vždy nutně omezíme na konečný počet cifer za desetinnou čárkou; místo ]J2 píšeme jen +14 nebo +1,41 nebo +1,414..., místo ti píšeme + 3,14 nebo + 3,14159 a podobně, prostě z technických důvodů, ač víme, že je to jen přibližné. Prakticky počítáme jen s racionálními čísly, kterých je Ho* K čemu tedy zavádět i ostatní, neracionálnl, reálná čísla? Nač si zbytečně počet Čísel zvyšovat na x? Má to mnoho velmi závažných důvodů, proč je to zcela nezbytné. Především má být věda objektivní, t. j. vyhovovat všem. Není vhodné, aby každý měl svou zvláštní matematiku. Může, pravda, ten, kdo počítá jen na tři cifry, místo j/2 vzít 1,41 a místo n vzít +3,14. ,To ale už nevyhovuje tomu, kdo počítá přesně na čtyři cifry. Je pravda, že v počítání nutno se vždy omezit na určitou přesnost. Ale objektivně všem vyhovující matematika musí řešit otázky pro každého, ať si přesnost počítání jakkoliv předepíše. Řekněme, že by poloměr nějaké kružnice byl + 5 (pro jednoduchost přesně). Pak její obvod pro toho, kdo počítá přesně na tři cifry je + 31,4. Pro toho, kdo počítá přesně na šest cifer, je ten obvod + 31,4159 atd. Matematika ale říká, že ten obvod je (+2a). .(+5). Tento výrok znamená: Podle jakýchsi pravidel se čísla + 2n a +5 znásobí, výsledek je jakési reálné číslo. Ten kdo chce počítat na tři cifry, vezme z toho čísla první tři cifry a to, co mu vyjde, bude pro něho hledaný obvod; vyjde mu + 31,4. Ten, kdo počítá na šest cifer, vezme číslo (+2n). . (+ 5) na Šest cifer a to, co mu vyjde, bude pro něho hledaný obvod; vyjde mu +31,4159. Vzorec (+2?r).(+5) vyhoví každému, ať si počítá na kolik chce cifer. Ty příslušné cifry se dokonce dají vypočíst, aniž bychom hledali ostatní pro nás nepotřebné cifry; dokonce už v daných číslech + 2ti a + 6 se 60 omezíme na vhodný počet cifer; v našem případě na tolik cifer, na kolik chceme mít přesný výsledek. Někdy je však nutno znát daná Čísla přesněji, na více cifer než na kolik chceme mít přesný výsledek. Reálná čísla s nekonečnými (a zcela nepravidelnými jako u ]/2 a n) rozvoji nám vystihují racionální čísla, s nimiž prakticky počítáme, vždy, ať počítáme sebe přesněji. Místo abychom říkali: obvod naší kružnice je + 31,4 při počítání na tři místa, +31,4159 při počítání na Šest míst atd., místo abychom pro každý počet cifer musili udávat zvlášť výsledek, řekneme jednoduše, že náš obvod je roven jakémusi reálnému číslu (+2tt) . (+5). A ten jediný výrok už vše vystihuje. K tomu tedy zavádí se reálná čí pla, jichž je X. A ještě je jiný důvod, proč je zcela nutno zabývat se množinami, které mají více než Mo prvků. Vynechme z osy číselné jeden bod (na př. 0). Pak na vynechaném místě vznikne t. zv. mezera. To znamená: naše přímka se rozpadne ve dva kusy Kx a K2 (to, co je před vynechaným bodem, a to, co je za ním), při tom oba ty kusy jsou otevřené. To znamená, že nemají žádných koncových bodů. Skutečně v prvním z těch kusů Kx (což je množina všech záporných čísel) zvolme libovolně bod p\ máme ukázat, že to není koncový bod prvního kusu. Ten bod je jakési záporné číslo. ZvětŠíme-li o jednu cifru před desetinnou čárkou, dostaneme číslo, které leží před p. Tedy není p levým koncovým bodem. A mezi p a 0 je, jak víme, také nějaké číslo q a, to q (protože je před 0) patří do našeho kusu Kx a je za p. Tedy p není ani pravým koncovým bodem našeho kusu Kv Stejně je tomu s kusem K2t ani ten nemá koncových bodů. Při tom celý jeden kus (totiž EL) je před druhým kusem (před K2). Tomu právě říkáme, že mezi Kx a K% je mezera. Přímka je uspořádaná množina (když ji probíráme v určitém směru). V geometrii se žádá, aby pllmka byla souvislá, 61 abychom se spojitě dostali na ni z jednoho bodu do druhého. To znamená dvě věci. Především na ní nesmějí být t. zv. skoky (obr. 25): <-1 i-» Obr. 25. t. j. mezi každými dvěma body musí ležet nějaké body, přímka musí být hustá. Na to by stačilo ovšem No bodů. Neboť jsme viděli, že racionálních čísel je jenom Nq a přes to jsou hustá, mezi každými dvěma leží zase nějaká. Za druhé však žádáme, aby na přímce nebylo mezer. A k tomu, abychom splnili oba dva ty požadavky, už nikterak nevystačíme s Nq body, jak si dokážeme v druhé části. K tomu, aby přímka byla souvislá, je naprosto nutno, aby měla více než H0 bodů. Dokonce nesmí mít o nic méně než N bodů. Stejně je tomu s rovinou a prostorem; kdyby měly méně než N bodů, nebylo by možno dostat se spojitě z jednoho bodu do druhého, což by se zcela příčilo našim geometrickým představám. Viděli jsme tedy, že s číslem N0 nevystačíme ani v aritmetice ani v geometrii. Ale s číslem M už úplně vystačíme: reálných čísel je N, bodů v prostoru je M. Ostatně si aritmetika a geometrie přesně odpovídají; přímka a osa číselná je v podstatě totéž. (To je základní myšlenka analytické geometrie.) 1,10. Co Jsou to t.zv. veličiny nekonečně malé. Čísla j^, n a pod., o kterých jsme dosud mluvili, jsou nekonečně veliká. Mnohdy se slyší, že derivace je podíl nekonečně malých veličin, že integrál je součet nekonečně mnoha nekonečně malých veličin ä pod. Zvláště dříve byly tyto fráze v oblibě. Takové výroky mají tu nectnoct, že u laiků vzbuzují nesprávné představy a někdy vedou i k chybnému počítání. Je chyba si myslit, že by derivace skutečně byla podílem jakýchsi „čísel". Ty fráze mají smysl spíše obrazný. Jak jest jim rozumět, vyložím pro úplnost v této kapitole. 62 Myslím si, Že se automobil pohybuje po silnici. Silnice má v různých místech různé stoupáni; automobil jede do kopce pomaleji. Pohyb automobilu není rovnomerný. Průměrnou rychlost automobilu v jisté době, na př. mezi 9. a 11. hodinou vypočteme tak, že v té době ujetou dráhu dělíme příslušnou dobou. Ujel-li automobil od 9. do 11. hodin 72 km, je jeho průměrná rychlost za tu dobu 72 km : 2 hod. = 36 km za hod. Teď počítejme jeho průměrnou rychlost mezi 9. a 10. hodinou. Ujcl-li v té době 37,5 km, je to průměrná rychlost 37,5 km : 1 hod.=37,5 km za hod. Mezi 9 hod. 15 min. a 9 hod. 45 min. ujel náš automobil třebas 18,5 km. Průměrná jeho rychlost v té půlhodině je 18,5 km: £ hod.=37 km za hodinu. Teď se ptejme, jak rychle jel náš automobil o půl desáté. Jak to zjistíme? Změříme dráhu za jistou dobu kolem půl desáté a dělíme ji tou dobou. Může nám vyjít ovšem leccos. Dělili jsme to třikráte a vyšlo nám pokaždé něco jiného; po prvé 36, po druhé 37,5, po třetí 37 km za hodinu. To proto, že jsme brali ty doby kolem půl desáté různé a automobil jel nerovnoměrně. Ta první doba byla 2 hodiny, to je příliš mnoho. Poslední výsledek-j e asi nej spolehlivější. Budou-li různí lidé měřit tu rychlost automobilu o půl desáté, vyjde jim (i když předpokládáme theoreticky naprostou přesnost měření) každému něco jiného, prostě proto, že měřili dráhu za různé doby. Ale ty výsledky všecky mají tu pozoruhodnou vlastnost, že se „hromadí" všecky kolem jistého čísla, více či méně se od nčho lišíce. To číslo je t. zv. okamžitá rychlost našeho automobilu o piil desáté. Ta okamžitá rychlost sice obecně nikomu z měření nevyjde, ale všecky výsledky měření aproximuje. Ať si předepíši sebe menší přípustné chyby, řekněme menší než e, které si libovolně předem zvolím, vždycky se bude naměřená průměrná rychlost od té okamžité rychlosti lišit o méně než £, jen když časové intervaly kolem půl desáté volím dost krátké, řekneme kratší než ó. Čím větší přesnost vyžaduji, t. j. Čím menší e předepíši, tím ovšem musím volit kratší Časové intervaly, menší ô. 63 To právě, oo jsem popsal, se vyjadřuje výrokem: okamžitá rychlost je „nekonečně krátká dráha dělená příslušnou nekonečně krátkou dobou". Ale ta okamžitá rychlost není vůbec žádný podíl. Průměrné rychlosti v časových intervalech kolem půl desáté jsou aproximovány právě tou okamžitou rychlostí a to s libovolnou přesnosti, jen když ty intervaly často volíme dost krátké. A výrokem o podílu nekonečně malých čísel se má právě vyjádřit, že se aproximují skutečné podíly a to s přesností libovolně se zvyšující, když ty intervaly časové a tedy i příslušné dráhy se volí kratší a kratší, aniž bychom kdy dosáhli naprosté přesnosti. Naprosté přesnosti bychom dosáhli (t. j. chybu e stlačili na nulu), kdyby bylo možno i ty intervaly časové a příslušné dráhy stlačit na nulu, což ovšem nejde: podíl dvou nul není nic rozumného. Ta představa právě, že okamžitá rychlost je to, co bychom v tomto nemožném případě měli dostat, vedla k tomu způsobu vyjadřování o podílu nekonečně malé dráhy a nekonečně krátkého času. Vděčíme Newtonovi a Leibnizovi za methodu, která dovoluje vypočíst takové „podíly nekonečně malých čísel". Je to t. zv. počet diferenciální. Každému číslu t přiřaďme číslo s(t); na př. může t značit čas, a(t) vzdálenost našeho automobilu od pevného bodu na silnici (měřeno po silnici). Mezi okamžiky ^ a t2 uplynula doba ía — íj a ujetá dráha jest s(t2) — s^). Průměrná rychlost mezi okamžiky ^ a t2 jest ct» t. = W2) — : (h — h)- Když teď v je okamžitá rychlost v okamžiku íj, pak, ať si zvolím e sebe menší, vždy najdu ô takové, že ctittt se rovná v s chybou menší než e, jen když jsem okamžiky íjaít volil k t0 blíže než o ô. Ve fysice i v technické praxi se vyskytuji na každém řádku příklady podobného druhu, kde t obecně nemusí být Čas a 3 nemusí být vzdálenost. Číslo v, jež určíme, není ovšem obeo- 64 ně rychlost; v se nazývá derivace veličiny a podle t v „bodě" t^. Je tedy okamžitá rychlost v čase t0 rovna derivaci dráhy a podle času t v okamžiku t0. Derivace nejsou žádné podíly; jsou podíly jen aproximovány. A pravidla pro počítání s derivacemi mnohdy jsou obdobná s příslušnými pravidly pro podíly. Nesmíme se však tím dát svést a o každém takovém pravidle, chceme-li ho užívat, musíme vědět zvlášť, že pro derivace platí. Obr. 26. Teď zas něco jiného. Počítejme obsah plochy ohraničené silně vytaženým obrysem. (Obr. 26.) Obsah plochy je přibližně roven obsahu plochy tečkovaných obdélníků. Obsah prvního z nich je základna krát výška vlt obsah druhého je za. t?2 atd. Celkem je ten přibližný obsah roven součtu všech obsahů %joi% t. j. Teď místo na čtyři dílky můžeme rozdělit úsečku ob na 13 dílků, vesměs třeba kratších než byly předchozí. Zase si 60 v těch dílcích zvolíme nôjak body Cj, c2, ... a sestrojíme obdélníky jako prve. (Obr. 27.) Vyjde nám zase jiný přibližný obsah. Ten závisí na počtu dílků, na tom, jaké jsou, na tom, kde volíme body Cj, c2,... Ale co pak je to skutečný obsah našeho obrazce? Je.to ta^ kové Číslo P, které je všemi těmi přibližnými výsledky aproximováno. Ať přípustná chyba je jakkoliv malá, menší než předem zvolené e, vždycky se nám podaří P aproximovat Obr. 27. s chybou menší než e témi přibližnými plochami EzfV<, které mají dílky z*, dost malé, menší než jakési ô. Čim jsou dílky z{ menší, tím je jich ovšem víc. Přesný výsledek ale nikdy nedostaneme, obsah P se žádnému z těch součtů nerovná. Je však aproximován tím lépe, čím jsou dílky zť menší (a čím je jich tedy víc). Říkává se, že obsah P je součet nekonečně mnoha nekonečně malých plošek z&i. Tím se chce říci, že aproximace by byla přesná (t. j. chyba sražena na nulu), kdyby dílky byly přímo nulové a bylo jich za to nekonečně mnoho; ovšem sou- 60, Čet nekonečně mnoha nul, myšlený v této frázi, nic rozumného není. Je-li f(x) výška křivky v bodě x (obr. 28); pak na př. n = /(«*) a naše součty Ezív, jsou L/fo) . zť. Známe-li f(x) v každém bodě x, známe naši křivku. To číslo, které součty S/(cť) Zi aproximují, t. j. náš obsah P, se označuje b //(*) dx, a což se čte „integrál od a do 6 funkce f(x)". Integrál je apro- >f(x) a x b Obr. 28. ximován součty E/(c,) z*, sám však součtem není. Platí pro něj některá pravidla jako pro součty; avšak mnohá pravidla platná pro součty jsou pro integrály prostě nesprávná. Integrální počet pochází též od Newtona a Leibnize. Není úkolem této knížky se tím podrobněji zabývat. Upozorňuji znovu na to, že s derivacemi a integrály nesmíme počítat jako s podíly a součty, pokud nánťo užívaných pravidlech není o každém zvlášť známo, že pro derivace a integrály platí. 67 Poznámka ke konci první části. Ještě s jiného druhu „nekonečnem" se setkáváme. My jsme si všímali nekonečného počtu prvků množiny. Odedávna však lidé uvažovali o tom, je-li prostor, v němž žijí, konečný či nekonečný. Při tom se nikterak neptali snad na to, kolik má bodů; je předem jasno, že má nekonečně mnoho bodů. Otázka po nekonečnosti prostoru se týká něčeho jiného, totiž jeho rozlohy. Prostor je nekonečný, když vzdálenosti jeho bodů jsou jakkoliv veliké. Zvolím-li si libovolný bod A a libovolně velikou délku ó, pak se vždycky dá najít takový bod B, který je od A vzdálen o délku ještě větší než <3. To se tedy míní nekonečností prostoru. Prostor eukleidovský, kterým se zabýváme na školách, je nekonečný. Moderní fysika však leckdy měří vzdálenosti takovým způsobem, že se náš prostor „zkroutí", přestane být eukleidovský. Při měření běžných „malých" délek do pouhých milionů kilometrů se ta nová míra liší od eukleidovské neuvěřitelně málo. „Zakřivení" se objeví až při větších vzdálenostech. A jaký je ten zkroucený prostor, zda je konečný nebo nekonečný, je věcí měření a ne úvah, jako jsou věcí měření rozměry naší ložnice. Abstraktní theorie neopřená o měření nám nemůže říci nic o rozměrech konkrétní ložnice, ani o rozměrech konkrétního prostoru, v němž žijeme. Zakřivení trojrozměrného prostoru lze si snad těžko představit. Ale naše představa je to poslední, čím lze ověřovat pravdu. Je zcela myslitelný trojrozměrný prostor sám o sobě uzavřený asi tak, jako ve dvou dimensích je sám o sobě uzavřen povrch koule. A tak zakřivený prostor je konečný (a nemá okraje). Zakřivení a rozměry prostoru se počítají podle rozložení hmoty, které nutno zjišťovat měřením. Definitivně uspokojivou odpověď, jak velký je náš prostor, dosud nemáme a dohady nepopularisuji. 68 DRUHÁ CAST PŘEHLED DRUHÉ ČÁSTI Tento přehled má podat čtenáři myšlenkový běh druhé Části. U formálně psaných úvah se laikům stává, že vidí sice, Že vše klape, dovedou si vše zkontrolovat, ale uniká jim souvislost. Proto nechť si čtenář pročte tento přehled a před čtením každého odstavce druhé části nechť si z přehledu zopakuje vše, co se týká odstavců dřívějších i toho, který hodlá Číst. Po zavedení základních pojmů a označení v odst. 2,1 definují v odst. 2,2 t. zv. čítání množin. Některé množiny, t. zv. spočetné, je možno Čítat po jednom prvku tak, že vycházejíce od jakéhosi prvního prvku Čítáme dál a dál nové a nové prvky, až 60 celá množina vyčerpá. Takovým čítáním se množina uspořádá a to tak, že prvek později Čítaný je za prvkem Čítaným dříve: věta 2,1. To uspořádání je velmi důležité a je studováno v odst. 2,2. Při čítání dané množiny se mohou stát dvě věci: Buďto dojdeme k poslednímu prvku anebo nikdy k žádnému poslednímu prvku nedojdeme. V prvním případě říkáme, že naše množina je konečná, ve druhém případě je nekonečná. Je arciť možno danou množinu čítat všelijak, ale podle věty 4,2 do-jdeme-li při jednom Čítání ke konci, stane se tak při každém jiném čítaní také. Při rozhodování, je-li množina konečná, tedy nezáleží nikterak na tom, které Čítání jsme si vyvolili. Odstavec 2,4 obsahuje základní věty o konečných množinách. Množina N přirozených čísel je nekonečná spočetná množina. Je-li M konečná množina (neprázdná), pak se M dá očíslovat jistou množinou N(n). [N(n) je množina všech přirozených Čísel až do n včetně.] To n je zcela určeno množinou M a je to počet prvků množiny M. Je-li M nekonečná spočetná, pak se dá očíslovat množinou N, t. j. všemi přirozenými Čísly. Je-li 09 dáno jisté čítání množiny M, pak je tím určeno zcela určité očíslování množiny M množinou N(n) či množinou N: věta 5,3. („Čítáním" žáků ve třídě podle abecedy je už dáno očíslování v katalogu. „Čítáním" podle velikosti jsou už dána pořadová čísla v tělocviku a pod.) Dále jsou v odst. 2,5 zavedeny početní úkony s přirozenými čísly. Odstavec 2,6 obsahuje základní věty o spočetných množinách. Na př. součet a kartézský součin spočetných množín je spočetná množina; srovnej odst. 1 a 3 první části. V sedmém odstavci zavádím kladné zlomky, t. j. kladná .racionální čísla. Je jich spočetně mnoho a jsou hustě uspořádána: mezi dvěma kladnými zlomky je vždy ještě jiný kladný zlomek a před a za každým kladným zlomkem je vždy ještě nějaký jiný kladný zlomek. (Srovnej s odst. 1,4.) Mám-li nyní zcela libovolnou spočetnou množinu A, která je uspořádána hustě, pak podle věty 7,3 to vlastně není zase nic jiného než množina kladných zlomků. Prvky množiny A odpovídají úplně kladným zlomkům tak, že se i uspořádání úplně zachová. Avšak v množině kladných zlomků jsou mezery. Zaplněním těch mezer v odst. 2,8 dostaneme všecka lrla-HnA čísla; mezery jsou zaplněny čísly irracionálními. (Srovnej odst. 2,9 první Části.) Množina kladných Čísel už nemá mezer a obsahuje hustou spočetnou část (totiž kladné zlomky); říkáme, že je to kontinuum. A teď přijde důležitá věta 8,5: Je v podstatě jediné kontinuum. Každá dvě kontinua jsou si totiž podobná. A dokonce víc platí. Každé z daných kontinuí Q a Q obsahuje hustou spočetnou část Ax a A2. Teď si část Ax očíslujeme pomocí části Ajj tak, aby uspořádání množin A1 a Ag si při tom očíslování odpovídalo. Pak jsme tím určili automaticky jedno zcela určité očíslování celé množiny Q množinou C2 takové, že si uspořádání obou množin zase přesně odpovídají a při tom prvky množiny At jsou očíslovány tak jako dříve (množinou A2). Pamatujme si tedy, že chceme-li očíslovat kontinuum Cx kontinuem Cg (aby se uspořádání zachovalo), stačí 70 se omezit na číslováni jakýchsi hustých spočetných částí. To je základ pro očíslování kladných čísel pomocí desetinných rozvojů. Zavedouce totiž v odst. 2,9 arabské číslice pro označování přirozených čísel, definujeme v odst. 2,10 kladné číslice; na př. číslice pro číslo n začíná 3,14159... Ty číslice tvoří kontinuum C^. A máme jimi očíslovat kladná Čísla, která tvoří kontinuum Cv K tomu stačí očíslovat jistou hustou spočetnou část kontinua Cx pomocí jisté husté spočetné části Ag kontinua C2. A jak to zařídíme, je nasnadě. Je-li d rovno desíti, pak Aj budou čísla %A2 znaky mající za desetinnou 365 Čárkou skoro same nuly. A na př. číslo -—r- bude očíslováno 87006 znakem 0,365000..., číslo — — znakem 870,06000 . 30705 Číslo —-— znakem 0,0030705000... Pak už sama sebou jsou všecka kladná čísla očíslována kladnými znaky. V odst. 2,11 jsou definována reálná čísla (i záporná). Početní úkony jsou zavedeny přímo jen pro racionální čísla. A úkony početní pro reálná čísla se definují pomocí nioh. Máme-li na př. sečíst reálná čísla a a b, pak si počínáme takto: Součet a + b nepočítáme přesně. Počítejme s chybou menší než £, řekněme. To uděláme tak, že si místo a a b vezmeme racionální čísla ď a b' a počítáme a' + b'. Když čísla a' a V byla zvolena dostatečně blízká číslům a a b (když se od nich lišila o méně než vhodné Ô) pak a' + b' nám aproximuje hledaný součet a + b dostatečně přesně, s chybou menší než e. Součet a + b je tím zcela přesně definován (cvičení 11,27): žádné jiné číslo se nám nepodaří součty aproximovat libovolně přesně. Jedině při počítání součtu a + b možno přípustnou chybu e zvolit zcela libovolně malou. Tak se skutečně sečítá: čísla zaokrouhlíme na vhodný počet cifer a výsledek vyjde s požadovanou přesností (srovnej odst. 1,9). 71 Odst. 2,12 obsahuje základni věty o kardinálních číslech, najmě v první části chybějící důkaz věty: Je-li a < b a b < M, pak také a < M. Z ní plyne: máme-li dokazovat, Že množina A má a prvků, stačí dokázat dvě věci a to, že A má aspoň a prvků a za druhé, že A má nejvýše a prvků (t. j. že nemá víc než a prvků). Tím způsobem jsme počítali, kolik mají množiny prvků, většinou už v první části. Každá uspořádaná spojitá množina (bez mezer a bez skoků) obsahuje podle cvičení 8,20 kontinuum. Kontinuum má ale M bodů a tedy každá spojitá množina musí mít aspoň M bodů (cvičení 12,19). Srovnej odst. 9 první části. Zvláštní postavení má dosud přehlížený odst. 2,3. Obsahuje t. zv. princip indukce. Má-li se něco definovat pro všecka přirozená čísla, stačí to umět přímo definovat pro jedničku a pak pro každé jiné Číslo už jenom za předpokladu, že jsme definici pro všecka menší čísla už provedli. Důležitost toho principu se znova a znova ukazuje v dalších kapitolách. Je to jeden z hlavních principů v matematice. 2.1. Základní pojmy. Základní pojem je množina. Patří-li věc a do množiny A, t. j. je-li a prvek množiny A, píšeme a e A. Není-li x prvek množiny A, píšeme x non e A. Dvě množiny A a B jsou si rovny: A = B, když a jen když mají stejné prvky, t. j. z x € A plyne x e B a naopak z x e B plyne x e k. Jestliže z z e A plyne xeB(a£užzxcB plyne r € A nebo ne), říkáme, že A je část (Teilmenge, sous-ensemble nebo partie, subset) množiny B; píšeme A C B. Zvláště A C A. Je-li A C B a při tom A =J= B (t. j. nikoliv A = B), říkáme, že A je pravá část (echte Teilmenge, vrai sous-ensemble n. partie aliquote) množiny B. Cvičení 1,1. Je-li A C B a B C C, pak také A C C. 1.2. A = B, když a jen když A C B a zároveň B C A. Sjednocení čili součet A + B množin A a B je množina takto definovaná: x € A -f B znamená, že buďto x e A anebo 72 x e B (anebo obojí zároveň). Obecně necht 3 J° množina, jejíž prvky jsou množiny. Abychom neříkali „množina množin", říkáme, že 3 Je aystém nebo třída množín. Pak sjednocení Čili součet třídy 3 Je množina £(3) všech věcí, které patří do některé množiny, po př. do některých množin z třídy 3* Průnik A . B Čili prostě AB množin A a B je množina takto definovaná: z e AB znamená, že x € A a zároveň x e B. Obecně průnik II (3) třídy 3 j© množina těch věcí, které patří zároveň do všech množin třídy 3- A— B je množina těch věcí, které patří do A a při tom nepatří do B. {a} je množina, jejíž jediný prvek je a, t. j. x e {a} znamená x — a. 0 značí t. zv. prázdnou množinu, která nemá vůbec prvků. Je-li A B = 0, jsou množiny A a B disjunktní [(elemente) fremd, disjoint, disjoint n. disjoined n. disjunct]. Cvičeni 1,3. Dokažte (A + B) + C = A + (B + C), A + B = B + A, (AB) C = A (BC), AB = BA, A (B + C) = AB + AC, A + BC = (A + B) (A + C). [Na vzor dokáži poslední rovnici. Máme dokázat dvě věci. Za prvé, že každý prvek levé strany je prvkem pravé strany. Za druhé, že každý prvek pravé strany je prvkem levé strany. Buď tedy za prvé x e A + BC. Pak buďto x e A anebo x e BC. V případě xe A jest x e A + B, jakož i x e A + C, tedy vskutku jest x e (A + B) (A + C). V případě xe BC jest x e B a tedy x e A + Ba zároveň je x e C a tedy x e A + + C, tedy zase x e (A + B) (A + C). Nechť za druhé xe (A + B) (A + C). Pak buďto xe A, v kterémžto případě x e A + BC. Anebo x non e A. Pak 73 z j; c A -f B plyne g c B a ovšem z z e A + C plyne x e C, tedy x e BC, tedy opět x e A + BC] Dále dokažte: Jsou-li 3i a 3a třídy množin, pak s(3i + Zz) = s(3a) + s(32), S{A} = A. ({A} je třída obsahující jenom množinu A.) Další základní pojem je vypořádaná dvojice, stručně pár {a; 6}. Má první člen a a druhý člen 6. Rovnice {a; 6} = {c; d} značí, že a = c a zároveň b = d. Cvičení 1,4. Je-li a 4= 6 (t. j. nikoliv a = 6), pak {a; 6} 4= # {6; a). Musí se tedy páry {a; 6} a {6; a) dobře rozeznávat. Množinu všech párů {a; b}, při čemž a e A & b e Bt označujeme A X B. (Neplést s A . B — A B!) Je to t. zv. kartézský součin množin A a B. Cvičení 1,5. Ax(B + C) = AxB + AxC Ax(BC) = (AxB) (AxC) A x (B — C) = (AxB)-(AxC). DalŠí základní pojem je zobrazení množiny A do množiny B (in, dans, onto a part of B). Takové zobrazení / je pravidlo, které každému a e A přiřazuje zcela určitý prvek f (a) množiny B. /(C) označujeme množinu všech prvků /(c), kde c e AC. Je-li /(A) = B, je / zobrazení množiny A na B. Jestliže / různým prvkům množiny A přiřazuje různé prvky množiny B t: j. když ze vztahů % € A, aa e A, Oj # plyne /(<*i) # t(aú> Hkáme, že zobrazení / je prosté n. jednoznačné. Příkladem prostého zobrazení / množiny A na A je t. zv. zobrazení identické, které každému a ť A přiřazuje zase a : f(a) = a. Cvičení 1,6. /(C) = /(AC). 1.7. / je zobrazení množiny A na /(A). 1.8. / je zobrazení množiny A na B, když a jen když každý prvek množiny B je přiřazen některému prvku (případně některým prvkům) množiny A. 74 1,9. / je prosté, když a jen když každý prvek z /(A) je přiřazen jednomu jedinému prvku z A. Je-li / prosté zobrazeni množiny A na B, pak podle 1,9 každý prvek b množiny B je přiřazen jednomu jedinému prvku množiny A : b = f (a). Ten prvek a označujeme f-Hb). Cvičení 1,10. /-1 je prosté zobrazení množiny B na A. Je to t. zv. zobrazení inversní k /. [* Sinus j e zobrazení množiny A všech úhlů do množiny R všech (reálných) čísel, nikoliv však na množinu R. Neboť (je-li f(x) = sin x) /(A) není rovna R, /(A) obsahuje jen Čísla mezi —1 a + 1 (včetně). Sinus není funkce prostá, neboť na pr. 0° * 180° a přesto sin 0° = sin 180° (obojí je 0). Je-li R množina všech reálných čísel, pak pro f(x) = x2 jest / zobrazení množiny R do R, nikoliv na R, neboť záporná Čísla do /(R) nepatří. Není to zobrazení prosté, neboť — 5 =1= 5 a přesto /(—5) = /(+ 5) (obojí je 25). Je-li však P množina kladných čísel, f(x) = #2, pak / je zobrazení množiny P na P. Neboť každé kladné číslo je druhou mocninou jistého kladného Čísla (své druhé odmocniny). A je to zobrazení prosté, neboť dvě různá kladná čísla mají různé druhé mooniny (to větší z nich má větší druhou mocninu). Inversní zobrazení f—1 k našemu / je druhá odmocnina (se znaménkem +), /~a(a;) = + ]/x. Nechť / je zobrazení množiny R všech reálných Čísel do množiny R, f(x) = xz. Pak / je zobrazení množiny R na R a to 8 _ prosté. Jest /—1(a:) = J/x.] Nechť/je zobrazení množiny A do B a nechť g je zobrazení množiny B do C. Je-li nyní dán libovolný prvek a množiny A, pak mu je přiřazen v množině B určitý prvek f (a) — b. A tomu prvku B je zase přiřazen určitý prvek g(b) = c množiny C. Tím způsobem jsme ke každému prvku a množiny A našli určitý prvek c množiny C. Označíme-li e — h(a)t pak h 75 je zobrazeni množiny A do C; říkáme mu zobrazení složené z / a g a označujeme je gf. [* Na př. sinus úhlů tupých je zobrazení množiny těchto úhlů do množiny čísel a logaritmus je zobrazení množiny čísel do množiny Čísel (logaritmus čísla je zase jakési Číslo) do které jsme přidali symbol — oo (neboť log 0 = — oo). Z nich složené zobrazení log sin je zobrazení množiny tupých úhlů do množiny Čísel doplněné symbolem — oo. A vypočte se tak, že k danému tupému úhlu se najde sinus a k tomu sinu loga* ritmus.] Cvičení,},11. Zobrazení složené z prostých je prosté. 1.12. Je-li / zobrazení množiny A na B a g zobrazení množiny B na C, pak g f je zobrazení množiny A na C. 1.13. Je-li / prosté, pak je identické. Říkáme, že A je ekvivalentní k B (nebo s B), když je možno udati nějaké prosté zobrazení množiny A na B; píšeme A ^ B. 1.14. Užívajíce postupně zobrazení identického, inversního a složeného, dokažte: (reflexivita) A ^ A; (symetrie) je-li A ^ B, pak také B ~ A; (transitivita) je-li A ^ B a zároveň B ~ C, pak také A~C. Označme BA množinu všech zobrazení množiny A do B. 1.15. Za předpokladu, že A ~ A' a B ~ B', dokažte: Je-li AB = 0 a A'B' = 0, pak A + B ~ A' + B', A x B ~ A'x B'ř BA ~ B'*\ 1.16. (A + B) + C ~ A + (B + C); mimo to z AB = = AC = BC = 0plyne (A + B) C = 0, jakoži A (B + C) = 0. 1.17. A + B ~ B + A; mimo to z AB = 0 plyne BA = 0. 1.18. (AxB)xC~Ax(BxC). 1.19. AxB~BxA. 1.20. {a}xA~A. 1.21. Ax(B + C)~(AxB) + (AxC);mimotoz BC=0 plyne (Ax B) (AxC) = 0. 76 ] ,22. Je-li AB = 0, pak CA+B ~ CAX CB, 1.23. CBxA~(CB)A. 1.24. Cía} ~ C. [Na vzor naznačím důkaz pro 1,22 a 1,23. Ostatek je velmi Ad 1,22. Nechť /€CA+B; označme fx (resp. /2) zobrazení množiny A (resp. B) do C takové, že pro x e A (resp. x e B) jest /-(*) = /(«) (resp. /,(*) = /(*)). Nechť &(/) = {/,;/,). CAxCB (za předpokladu AB = 0). Ad 1,23. / c CBxA značí, že / je zobrazení množiny párů {&; a}, kde b € B a a e A, do C. Nechť h(f) je zobrazení množiny A do CB, které prvku a e A přiřazuje zobrazení fa množiny B do C takové, že fa(b) = f ({b; a}). Jde o to ukázat, že h je prosté zobrazení množiny CBxA na (CB)A.] Cvičení 1,25. Nechť A ~ B B = Bj + Ba s disjunktními sčítanci. Pak možno psáti A = Ax + Ag s disjunktními sčítanci Aj /-w Bj A^<—' B2. Je-li / proste zobrazení množiny B na A stačí klást A2 = = /(BJ, a Aj = /(B2). Analogicky pro víc sčítanců. Cvičení 1,26. Je-li AB = 0 A' C A B' C B A' + B' = = A + B, pak A' = A a B' = B. 2,2. Čítání. Obvyklé definice konečných množin mají tu nevýhodu, že nejsou prostou formalisací toho, co má normálni Člověk na mysli, mluví-li o konečné množině. Hodlám zde postupovat způsobem, který co nejtěsněji sleduje vývoj představ od dětství. Bude to formalisace genetického vývoje matematických pojmů. Normální člověk rozumí konečnou množinou takovou, kterou může „čítať*, přebírat po jednom prvku a při tom se dostane na konec, nastane okamžik, kdy už celou množinu přebral. Jakým způsobem Čítáme množinu M? Takto: lehký. zobrazení množiny CA+B na 77 (A) Zvolíme výchozí prvek a; ten čítáme jako- první. (B) Ke každému již Čítanému prvku x množiny M, pokud tojeětějde, t. j. pokud jsme celou M ještě nevyčerpali, zvolíme v M-,,následovníka" v(x)} kterého čítáme hned po x. Při tom ovšem (C) výchozí prvek a není následovníkem žádného prvku z M; (D) žádný prvek nečítáme dvakrát, tedy různé prvky mají různé následovníky a konečně (E) naším Čítáním musíme vyčerpat celou množinu M; nesmí zbýt nic nečítaného, t. j. přechodem od a k v(a) a pak vůbec od každého x k v(x) proběhneme celou M. Jinými slovy: Když hodíme do nádoby líí především prvek a a za každým x hodíme do ITT také následovníka v(x), tož nakonec jsme naházeli do nádoby ITT celou množinu M. Formalisujeme: Čítání množiny M je určeno dvěma věcmi a a v, které hoví těmto pravidlům: (A) a je prvek množiny M. (B) v je pravidlo, které některým (ne však nutně všem) prvkům x množiny M přiřazuje jakési prvky v(x) množiny M. Prvek x určuje jednoznačně prvek v(x). Množinu všech x, kterým jsou nějaké prvky v(x) přiřazeny, označíme r^. (C) a se nerovná žádnému v(x). (D) Jsou-li x a y dva různé prvky množiny vM) pak také v(x) a v(y) jsou dva různé prvky. (E) III necht je množina, která obsahuje prvek a a mimo to, když UT obsahuje nějaký prvek x množiny vM, pak vždycky tíl obsahuje též příslušný prvek v(x). Za těchto předpokladů ÍTÍ obsahuje všechny prvky množiny M. Čítání množiny M určené prvkem a a pravidlem v označujeme vždycky M(a, v). 78 Uvidíme později, že jsou množiny, ke kterým se žádné Čítání vůbec nalézt nedá, které se čítat nedají; jsou to t. zv. množiny nespočetné. Dá-li se k množině M nalézt vůbec nějaké čítání, říkáme, že množina M je spočetná. Je zvykem počítat prázdnou množinu 0 také mezi spočetné množiny. Taková spočetná množina je na př. množina všech přirozených čísel: za a zvolíme číslo 1 a pro každé přirozené číslo x označíme v(x) = x + 1. Čtenář si za cvičení uvědomí, že pravidla (A) až (E) jsou splněna; na př. (E) vyslovuje t. zv. princip úplné indukce. [Uvádím tento příklad, protože je všem běžný. Později ale budu precisovat pojem přirozeného Čísla a definovat x + 1. Budiž mi odpuštěno, že jsem pro jasnost výkladu předběhl.] Vidíme tedy, že spočetné množiny mohou být nekonečné; naproti tomu všecky konečné množiny jsou spočetné, neboť pravidla (A) až (E) jsme dělali podle konečných množin. Otázka, kdy je množina konečná, zůstává ještě otevřena; precisaci pojmu konečnosti musíme zatím poodlo-žit a promluvit si trochu víc o čítání. Uspořádání množiny M je pravidlo <, které určuje pro každé dva prvky x a, y množiny M, je-li či není „x před y při uspořádání což píšeme x < y. Při tom požadujeme splnění těchto dvou pravidel {xty&z jsou prvky množiny M): 1. Zákon trichotomie: Je buďto z < y anebo x = y anebo y < x. Při tom žádné dva z oněch případů nemohou nastat současně. 2. Zákon transitivity: Jestliže x < y a zároveň y < z, pak také platí x < z. Říkáme též, že M je uspořádaná (geordnet, ordonné, ordered) množina. Je-li W C M, pak pravidlo < je také uspořádáním množiny W: pro WayeWje vztah x < y definován, neboť xeMa^Ma oba zákony pro uspořádání ovšem platí ve W, platily-li dokonce ve větší množině M. Bude-li řeč o uspořádané množině, pak její části budeme automaticky považovat za uspořádané týmž pravidlem. Místo a < b se psává též b > a. Někdy, abychom vyznačili uspořádání < množiny M, budeme psát M(<). 79 Jsou-li < a ^ dvě uspořádáni a je-li x < y přesně tehdy, když x ^ y, pak považujeme uspořádáni < a za sobě rovna, x^y znamená že buďto x = y anebo x < y. V dalším budiž pevně dána spočetná množina M a její čítání M(a,v). Víta 2,1. Existuje jedno jediné uspořádáni < množiny M takové, že pro každý prvek x množiny vn platí x < v{z). Jest (1) 0 ^ n pro každé n e M (2) je-li m e Vm, n e M, m < n pak v{m) <^ n. Důkaz bude poněkud obtížnější, ale to je málo platné. To další půjde pak už docela hravě. Především ukážeme, že (3) pro každé n € jest n různé od v(n). Za tím účelem označme P množinu těch n e vM, pro která n so nerovná v(n). Položme IÍT = P + (M — rM). Především a € IÍT, neboť buďto a e M — vn; anebo a e rM, v kterémžto případě jest a různé od v(a) podle (C) a tedy a € P. Je-li za druhé x e tľt, pak buďto x e M — vm anebo x e? čili z # v(x). Buďto y(x)eM—vM; anebo v^je^a v tomto případě z různosti prvků x a v(x) podle (D) vyplývá různost prvků v(x) a v[v(x)], čili v(x) € P. Tedy jest a € IÍT a je-li a; c Htf x e rM, pak také v(x) e 2TT- Podle (E) tedy M C KT. Tedy každý prvek n množiny vM patří také do ITT, tedy do P (neboť do M — vM nepatří), čili pro každý prvek n množiny Vn jest n r(n) a to jsme chtěli dokázat. Budiž nyní n pevný prvek množiny M. Označíme na okamžik K třídu všech částí L množiny M takových Že (a') n e L (b') je-li x€Vm, v(x) e L, pak také x c L. Čtenář si za cvičení uvědomí, že taková L skutečně existuji (na př. L = M) a že průnik M(n) = I1(K) třídy K hoví témto podmínkám: (a) ncM(n), 80 (b) je-li x e ?Mt v(x) e M (n), pak také x e M (n), (c) je-li L část množiny M, která splňuje (a') a (b'), pak M (n) C L. Možno říci prostě, že M (n) je nej menší z množín L, které splňují (a') a (b'). Pomoci (C) si dále čtenář dokáže, že (4) M(a) = {a}. Nyní si dokážeme: (5) Je-li m€Vn, pak M[r(m)] = M(m) + {v(m)}t při černí v{m) není prvkem množiny M (m). Především podle (a) v(m) € M[y(m)] a za druhé L = M[v(*n)] podle (b), kde klademe x = mt splňuje (a') a podle (b) L splňuje (b') a tedy podle (c) jest M(m) C L * celkem M(m) + {v{m)} C M[v(m)]. Naopak si čtenář uváží, že L = M {m) + {v(m)} splňuje (a') a (b')i kde n = v(m) a tedy podle (c) M[v(m)] C M(m) + {v(m)}. Celkem tedy skutečně M[v(m)] = M (m) + {v(m)}. Buď nyní P množina těch í»evM, pro která není v(m) € € M(m). Buď ITC = P + (M — i>M). Buďto ae M — rM anebo a c Vm a pak podle (3) a 4= v (a) a na druhé straně podle (4) M(a) = {a} a tedy není v(a) € M(a), t. j. a e P. V každém případě tedy a e ITT. Buď nyní x e MI, x e ?m; pak a; c P a tedy není v(x) c M(x). Buďto v(x) e M — vM anebo v(x) e v^. V tomto druhém případě není v[v(x)] e M (s). [Kdyby totiž bylo v[v(a?)] e M (z), pak by podle (b) bylo v(x) € M(x).] Podle (3) jest v[v(x)] 4= v(x) a tedy není v[v(x)] e M(x) + {v(x)} = M[v(x)]. Tedy v(x) e P a z x e tľt, x € rM obecně plyne v(x) e JIT. Podle (E) tedy M C C MT a tedy pro m c i>m jest m € Iľt, tedy m e P, z čehož vychází i druhá část tvrzení (5). Bv. 48—o 81 A teď budeme definovat pravidlo <. Vztah x < y bnde nám značit (pro xe M, y e M), že M(x) C M(2/) a při tom M(x) 4= M(y)- Především jde o to, že pravidlo < je uspořádání, t. j. že splňuje zákon trichotomie a transitivity. Relace x < v(x) pro všechna x € vm plyne ihned z (5) a zákon transitivity je zřejmý, jak čtenář uváží. I trichotomie plyne z (5), ale trochu složitěji. Nejdříve si musíme dokázat (1) a (2). (1) platí: Buď totiž ÍTÍ množina takových n, pro která (1) je splněno. Zřejmě a c Iľt. Je-li x € ttt, z € vm, pak a ^ x a ovšem s < v(x) a tedy podle zákona transitivity a < v(x), tedy y(x) € ŽIT. Podle (E) tedy M CIH, což je právě tvrzení (1). (2) platí: m a pak podle (2) jest v(x) <1 n. Podle (E) jest tedy M C Iľt, tedy pro každé dva prvky x a y e M je buďto x ^ y anebo y < x. Ty vztahy se vylučují, sic by z nich a ze zákona transitivity plynulo x < x, tedy zvláště M(x) =|= M(x). Jde nyní jen o to, že uspořádání < je požadavkem x < < v(x) jednoznačně určeno. Mějme tedy ještě jedno uspořádání H množiny M; pro všechna x £ rM budiž x^v(x). Buď dán prvek m množiny M a označme P množinu všech takových x e M, pro která mm je r(m) podle (2) první prvek množiny M — M (m). Zvláště tedy byl prvek a čítáním M (a, v) jednoznačně určen podle (1). Jiné jednoznačné určení prvku a obsahuje Veta 2,6. Ke každému prvku n e M vyjma a existuje m e M, n = v(m). Důkaz. Buď P množina všech v(m), m e M, VCi = {a} + P. Podle (E) jest M C Hl a tedy pro a 4= n e M jest n € P, tedy n = v(m). Že a činí výjimku, plyne z (C). Cvičení 2,3. Prvek m ve větě 2,6 je prvkem n přesně určen. Každý prvek ncM vyjma a má tedy zcela určitého „předchůdce" m, t. j. prvek m € M, pro který n = v(m). Cvičení 2,4. Je-li m předchůdce prvku n, pak k < n, když a jen když k e M (m). Tedy zvláště m < n. Podle věty 2,4 je nejvýš jeden prvek množiny M, který není prvkem množiny vM. Jsou případy, že vůbec takového prvku není; na př. je-li M množina přirozených Čísel, a = 1, v(n) = n + 1. Buď nyní U C M, U =f= M a nechť z v{x) e U plyne a; c U. Takové množiny budeme nazývat úseky množiny M. Uvidíme, že U (a, v) je Čítání množiny U a že U (4= 0) má vždy poslední prvek, tedy podle věty 2,4 prvek, který není v v\j. 85 Především definujme úseky jinak a to pomocí uspořádání <: Víta 2,7. Neprázdné úseky množiny M jsou pravé ty neprázdné její Části U #= M, pro které z n e U, x < n plyne, x c U. Neprázdné úseky množiny M jsou pravé množiny M (n), n € M. Tedy každý neprázdny úsek množiny M má poslední prvek. Důkaz. Je-li U 4= 0 úsek, pak M — U =}= 0 a tedy podle věty 2,3 jest v M — U první prvek m. Buď za prvé m = a, ITT = M — U; pak z (E) plyne M C Hl, t.-j. U = 0, což není. Tedy m # a a podle věty 2,6 lze psáti m ve tvaru m = v(n). Podle definice prvku w jest M(n) C U. Kdyby M(n) + U, pak by podle věty 2,3 v množině U — M(n) byl první prvek u různý od a podle (1), tedy u = v(v) podle věty 2,6. Pak ale v e U, v < u a tedy t; e M(n), tedy r ^ n. Kdyby v — nt pak by u = v(v) = m c M — U. Tedy v < n a podle (2) i* € M(»), což je spor. Tedy U = M(»). Je-li nyní U neprázdná část množiny M, U 4= M, buď m první prvek množiny M — U. Jestliže z n € U, x t. j. sx(y) = t(y)t to znamená s(y) = t (y) pro' y e F je množinou A přesně určeno. 3,6. Jestliže je F dobře uspořádána, WCF,W + F, když z yeW plyne Ftf C W, pak existuje volte první prvek množiny F—W.] Trichotomie pro typy. Jsou-li Wt a W8 dobře uspořádané množiny, pak buďto typ < typ Wa anebo typ Wa < < typ Wx anebo typ W1 = typ W2 a žádné dva z těchto případů nemohou nastat současně. Důkaz. Označme M = Wl5 F = Wa; bud a, resp. p první prvek množiny M, resp. F. Je-li z zobrazení množiny M{(ř e M) do F, pak budto z(Mt) = ř9 pro jisté

přesně určeno. V tomto případě položíme g(z) = e F, pak /(f) = p. Bud VcM a z feV nechť plyne jednak M$ C V, jednak /(M,) = F/(f). (*) Buďto /(V) = F anebo /(V) = F7, 99 c F. Buď totiž x € ř, z y, y e /(V). [Uspořádání množiny M i množiny F označuji stejně: -Š; k omylu nedojde.] Pak lze psát y e f(rj), r\ e V. Jest dále M^CV, tedy /(M,)C/(V) a /(M,) = řfiv) = Fr Avšak x€ Fy, tedy x e/(V). Z y c /(V) tedy plyne Fj,m 4= M, avšak při nějakém jiném čítání M(a', vr) téže množiny by bylor'm = M. To však vylučuje věta 4,2. Je-li vM = M nebo vM 4= M, totiž podle ní vůbec nezávisí na tom kterém čítání M (a, v). Je to při všech čítáních stejné a závisí to jenom na tom, je-li či není M ekvivalentní s nějakou svou pravou částí. Vzhledem k tomu lze definovat: Množina M nazývá se konečná (endlich, fini, finite), je-li spočetná a jestliže při nějakém čítání M (a, v) množiny M jest vm 4= M. Při tom nezáleží na tom, jak bylo zvoleno čítání M (a, v). Vzhledem k větě 4,2 možno též říci: Množina nazývá se konečná, je-li spočetná a není-li ekvivalentní s žádnou svou pravou částí. Při tom prázdnou množinu počítáme mezi konečné množiny. Není-li spočetná množina konečná, říkáme, že je nekonečná (unendlich, infini, mfinite). 94 Cvičeni 4,1. Množina ekvivalentní se spočetnou je spočetná. 4,2. Množina ekvivalentní s konečnou je konečná. Věta 4,3. Každá množina M(%) je konečná. Důkaz plyne z věty 2,7, koroláru na konci kapitoly 2 a vety 4,L Cvičení 4,3. Každá množina M2 pro x e M je úsek množiny M. Je to pravá část množiny M a podle věty 2,7 existuje y c M takové, že Ma = M(y). Věta 4,4. Každá část konečné množiny je konečná množina. Důkaz. Buď M konečná, C C M. Kdyby typ M < typ C, pak by M byla ekvivalentní (srv. cvičení 3,1) s jistou svou pravou Částí Cx. Tedy podle trichotomie pro typy typ C ^ ^ typ M a tedy je buď C = M, nebo C je ekvivalentní s jistou množinou M*. je úsek množiny M a tedy podle věty 2,7 jest = M(y) pro jisté y e M. Tedy C je ekvivalentní s množinou M (y), která je podle věty 4,3 konečná. Je tedy C konečná. Věta 4,5. Každé uspořádání konečné množiny je dobré. Důkaz. Je-li totiž M konečná, jest 4= M při uspořádání < z věty 2,1, má tedy podle věty 2,4 množina M poslední prvek n, t. j. M = M (n). A naše tvrzení plyne z věty 2,2. Věta 4,6. Každá dvě uspořádáni téže konečné množiny jsou si podobná. Důkaz. M1 a M2 budiž naše množina; M1 a Ma se liší leda uspořádáním. Kdyby typ M1 4= typ Ma, pak by podle 4,5 a trichotomie pro typy bylo na př. typ M1 < typ Ma. Množina M1 by byla ekvivalentní s jakousi pravou částí Mx2 množiny Ma, tedy se svou pravou částí a nebyla by konečná. Dvě uspořádání téže konečné množiny se tedy od sebe liší jen „permutací" prvků. 95 Veta 4,7. Dvě konečné množiny jsou si podobné, když a jen když jsou ekvivalentní. Důkaz. Z podobnosti plyne ekvivalence podle cvičení 3,1. Jsou-li Mi a M2 konečné ekvivalentní množiny, zvolme prosté zobrazení / množiny M2 na Mx. Je-li Mx uspořádáno pravidlem ^aM2 pravidlem -š2, označme M3 množinu M2 uspořádanou pravidlem -š3 takto: pro z c M3 a y e M8 značí z y, Že f (z) f(y). Čtenář uváží, že to je uspořádání a že / je podobnost množin M3 a Mx. Tedy typ M8 = typ Mx a podle včty 4,6 typ Ms = typ M2, tedy vskutku typ Mx = typ M2. Cvičení 4,4. Je-li -4 uspořádání množiny M a značí-li z -?* y totéž co y z, pak -?* je uspořádání množiny M, t. zv. inversní k -š. 4.5. Inversní uspořádání k je -4. 4.6. První (poslední) prvek množiny C C M při uspořádání Je JeJí poslední (první) prvek při uspořádání -S*. Vita 4,5 bis. Je-li M uspořádaná konečná množina, 0 4= 4= C C M, pak C má poslední prvek. Důkaz. Inversní uspořádání množiny M je podle věty 4,5 dobré a C má tedy při něm první prvek, což je její poslední prvek při daném uspořádání. Věta 4,8. Jsou-li A a B konečné množiny, pák množiny A + B, Ax B a BA jsou konečné. Je-li M konečná třída konečných množin, pak S(M) je konečná množina. Důkaz. Položme A = M;*) pak podle věty 2,4 je možno psáti M = M (n). Je-li ľľl množina všech m € M s konečnou M (m) + B, ukažme, že a e Ut a že z m e v^lttl plyne v(m) e IÍT. Pak bude zvláště w e lít a tedy iM(n)+B = A+ B konečná. Podle (4) a (5) věty 2,1 s^ačí ukázat, že přidáním jednoho *) Toto M nemá nie spolefiného s M v druhé fiásti vaty. 96 prvku ke konečné množině se dostane konečná množina. Je-li ten prvek už v původní množině, není co dokazovat. Buď tedy M konečná množina, s čítáním M (a, v), M = M(») podle věty 2,4. Je-li p nový prvek, M' = M + {p}y v'(x) = v(x) pro x € vm, v'(n) = py pak si čtenář snadno zverifikuje, že platí (A) až (E), kde místo M a r se píše M' a v'. Tedy v' je Čítání množiny M' a při tom M' 4= /M', neboť p nemá následovníka při čítání v'. Tedy je M' skutečně konečná. Buď ITT množina těch m, pro která M(m)x B je konečná. Podle 2,1 (4) jest M(o) x B = {a} x B, tedy ekvivalentní s B (cvičení 1,20), tedy konečná, t. j. a e ITT. Podle věty 2,1 (5) a cvičení 1,5 jest M0(m)l x B (M(m) x B) + ({v{m)} x B). Poslední množina je zase (podle cvičení 1,20) ekvivalentní s B a tedy konečná. Tedy z dokázaného již tvrzení o součtu plyne: Je-li M(m) x B konečná, je i M[v(w)] x B konečná, t. j. z m c JXlvn plyne v(m) e ITT, tedy podle (E) jest M C ITT, tedy n € HT, tedy M(n) xB = A x B konečná. Stejně je tomu s BA. Především je BMťa> podle 1,24 konečná. Dále podle věty 2,1 (5) a 1,22 jest Druhý součinitel napravo je podle 1,24 ekvivalentní s B a tedy konečný. Je-li tedy BMÍW*> konečná, je podle dokázaného iiž tvrzení o součinu také a tedy i BM[Kw*J konečná. Tedy, je-li ITT množina všech m s konečnou BMím>, jest a € HT a z m e ITIvm plyne v(m) € ITT ä tedy podle (E) jest M C ITT, tedy n e HT, tedy BM(*> = BA konečná. Konečně pišme M = M(n) ve shodě s větou 2,4. Prvky xe M jsou konečné množiny. Buď ITT množina těch m c M, Sv. 48—7 97 pro která E(M(m)) je konečná. Podle 2,1 (4) a cvičeni 1,9 jest 2(M(a)) = S({a}) = a e M, tedy je to konečná množina a a e XÍT. Je-li m f XTIvm, pak podle 2,1 (5) a 1,3: £(M|>(m)]) = S(M(m)) + 2({v(m)}) = S(M(m)) + v(m). Oba sčítanci jsou vSak konečné množiny, první proto, že tn e ITT, druhý proto, že patří do M. Tedy je i součet 2(M|V(m)]) konečný, t. j. v(m) e lít. Podle (E) tedy též S(M(n)) = S(M) je konečná. Cvičeni 4,7. Buď / zobrazení spočetné množiny A na B. A si můžeme myslet dobře uspořádanou. Označíme-li g(b) (b c B) první takový prvek a množiny A, pro který /(o) = 6, pak g je prosté zobrazení množiny B do A. Cvičeni 4,8. Dá-li se množina prostě zobrazit do konečné množiny, je konečná. (Je totiž ekvivalentní s částí konečné množiny.) Věta 4,9. Existuje-li zobrazení konečné množiny A na B, pak je B konečná. Důkaz. Plyne z cvičení 4,7 a 4,8. Cvičení 4,9. Je-li Z konečná množina párů {£, rj}t pak množina P prvních členů f (Q druhých členů tj) je konečná. (Neboť Z možno zobrazit na P: /({f, rj}) = f a podobně na Q.) Také P + Q je konečná. Platí to zvláště, když existuje zobrazeni z nějaké množiny na Z. 4,10. Je-li A nekonečná, K konečná, pak A — K je nekonečná. 2,5. Přirozená čísla. Podle vět 2,1 a 2,5 si čítání M (a, v) a příslušné uspořádání < spočetné množiny M přesně a jedno jednoznačně odpovídají. Je tedy jedno vycházet od čítání nebo od příslušného uspořádání. Definujeme na př.: Čítání dvou množin jsou si podobná y jsou-li si podobná příslušná uspořádání. 98 Veta 5,1. Jsou-li množiny Mx a M2 nekonečné spočetné množiny, pak každé Čítání množiny Mx je podobné každému čítáni množiny M2. Při tom množiny Mt a M2 mohou být různé nebo si rovny. Důkaz. Kdyby totiž si podobné nebyly, t. j. typ Mx =|= =1= typ Ma, pak z 2,3 a trichotomie pro typy by plynulo na př. typ Mx < typ M2, t. j. typ M2 = typ pro jisté x e M2. Avšak podle cvičení 4,3 by bylo možno psát Mw= M2(y) a množina Mt by byla ekvivalentní s konečnou množinou M2(y) (srv. větu 4,3) a tedy konečná. Korolár 5,1. Každá dvě čítání dané množiny jsou si podobná. Důkaz. Je-li ta množina konečná, plyne to z věty 4,6. Je-li nekonečná, plyne to z věty 5,1 pro Mj = M2 rovnou naší množině. Korolár 5,2. Každá nekonečná spočetná množina je ekvivalentní 8 M. Důkaz. Neboť při uspořádání podle věty 2,1 je vzhledem k 5,1 podobná množině M. Označme nyní N jakousi zcela libovolnou, ale jednou pro vždy pevně zvolenou nekonečnou spočetnou množinu, N(l, v) pevné čítání množiny N. N nazveme množinou přirozených čísel, její prvky budou t. zv. přirozená čísla. Místo v(x) budeme psát x 4- 1. Podle věty 2,1 existuje přesně jedno uspořádání < množiny N takové, že x < x + 1 pro každé x € N; je to t. zv. přirozené uspořádáni množiny N. Ve volbě množiny N a jejího čítání byla, zdá se, značná libovůle. Vzhledem k větě 5,1 to však není tak zlé. Kdybychom provedli jinou volbu, pak by vše zůstalo podobné, t. j. vše by se krylo, až na „označení". Se stanoviska abstraktní matematické theorie nelze takové dvě volby jednu od druhé rozeznat. Na př. Čech říká prvkům množiny N: jeden, dva, tři atd., Němec volí za množinu výrazů: eins, zwei, drei atd., což s hlediska matematiky je jedno. Podle věty 5,1 každá 99 jiná volba množiny N se liší od jmenovaných zase jen „filologicky". Možno tedy považovat přirozená čísla i jejich přirozené uspořádání za přesně a jednoznačně definované pojmy. Existence množiny N se nedá dokázat. Je to základní předpoklad matematiky, přirozená čísla jsou od Boha. (Srovnej citát z Kroneckera.) Z toho plyne existence konečných množin a to „nekonečně mnoho". Podle vety 4,3 jsou totiž ninožiny N(n) konečné a pro různá n jsou i množiny IM(w-) různé. Je jich tolik co prvků n ninoižiny N, která je nekonečná. Přirozených Čísel užíváme k počítání prvků množin a jejich číslování. Podkladem toho jsou následující dvě věty. Veta 5,2. Necht M*=t=0 je konečná množina; pak existuje přesně jedno ne N takové, Že M ^ N(»). (Říkáme, že M má n prvků, n je počet prvků množiny M. Zvláště N(w-) má n prvků). Důkaz. Množinu M si vzhledem k větám 2,1, 2,3 můžeme myslet dobře uspořádanou. Kdyby typ N ^ typ M, pak by N byla (podobná a tedy) ekvivalentní s částí konečné množiny M, tedy podle věty 4,4 konečná. Tedy trichotomie pro typy dá typ M < typ N, t. j. typ M = typ pro jisté xy čili typ M = typ N(») podle cvičení 4,3. Tedy M je ekvivalentní s N(n). Kdyby M byla ekvivalentní s N(nl) i s N^) a na př. nx < n2, pak by N(n2) byla ekvivalentní se svou pravou částí N^), což odporuje větě 4,3. Tedj' n je vztahem M ~ N(n) přesně určeno. Je-li M konečná, M ~ N(n), označíme M množinu N(w). Je-li M spočetná nekonečná, označíme M množinu N. Váta 5,3. M (a, v) buď Čítání množiny M. Pak existuje jedno jediné zobrazení f množiny M do M takové, že f(l) = a a f(m + 1) = v[f{m)] pro m -j- 1 e M. / je jediná podobnost množin M a M. 100 [Při tom, dáno-li Čítání množiny, míníme její uspořádání podle věty 2,1. Čítání množin H(n) je podle cvičení 2,5 indukováno čítáním množiny N a příslušné uspořádání je stejné jako v N.] Důkaz. Množiny M a M jsou si podobné. Pro konečnou M to plyne z věty 4,7, pro nekonečnou M z věty 5,1. Za / volme podobnost množin MaM. Pro všecka m e M jest 1 <1 m, tedy /(l) ^ f(m). Ježto f(m) vyčerpá všecky prvky množiny M, je /(l) první prvek M, tedy /(l) = a podle věty 2,1 (1). Za druhé jest m}. Množiny Bf"* a B^(m)^ jsou podle 1,24 ekvivalentní s B a tedy spočetné. Je-li tedy BMťOT> spočetná, je podle věty 6,4 také EjM[ť(m)] spočetná. OznaČíme-li tedy lít množinu všech m §e spočetnou BM, jest a e ITC a z mc ÍRvm plyne v(m) e lit. Podle (E) tedy n e ITT, t. j. BMín> = BA je spočetná. Kdyby A byla nekonečná spočetná, pak by BA byla nespočetná i kdyby B byla konečná (s víc než jedním prvkem). Věta 6,6. Existuje-li zobrazení spočetné množiny A na B, pak je B spočetné. Důkaz. Plyne ze cvičení 4,7 a 6,9. 2,7. Hustá uspořádáni spočetných množín. Začneme příkladem. Budu definovat kladné zlomky a čtenář bude sledovat, jak formalisuji to, co o tom ví ze Školy. Malá písmena jsou přirozená čísla. a Označíme — množinu všech párů {c; d} takových, že ad = bc. ftíkáme, že-^- je kladný zlomek. Označíme ^ množinu všech kladných zlomků. 108 Cvičení 7,1. {a; 6} c 7.2. Je-li = pak ad = 6c. (Neboť {c; d} € -^-.) 7.3. Je-li ad = bc, jest — = —. (Jest ady = 6cy, tedy a b d z {#; y} t —, t. j. ay = bx plyne bdx = bcyt dx = cy. {x\ y] € ^ a naopak.) a c Tedy — = — znamená totéž jako ad = bc. V tom už o d čtenář poznává zlomky. Teď ty zlomky uspořádáme pra vid- lem <. Nerovnost^ 4 bude znamenat totéž jako od < 6c. o d Je v tom jeden háček; týž zlomek lze psát více způsoby (na př. ^ = f, neboť 1 .4 = 2.2). Musíme se přesvědčit, že nerovnosti mezi zlomky nezávisí na tom speciálním způsobu a a' c c' a c psaní. Je-li tedv — = — > ~r = — a — < —, dlužno uká- '6 o a do d a c zat, že také — < —. Předpoklady možno psát jinak, totiž o d ob' = a'by cď = c'dt ad < bc. Z toho postupně plyne: cd' . . a'b = c'd . a'b = c'd . ob' = ad . c'b' < bc . c'6'. Tedy 6c . a c . a'ď < 6c . c'6', tedy a'ď < c'6', tedv skutečně — < —. b d Cvičení 7,4. < je uspořádání množiny ^. (Je-li na př. a c a — < — <—, jest ad < 6c, cf < de tedy ad/ < 6c/ < 6ae, b d f tedy af < be, z toho transitivita.) Cvičení. 7,5. Je-li — =-■ —, jest b — c. b c a c Je-li — = —, jest a = c. o 6 109 Zvolme za m první přirozené číslo, pro které — = — o n s vhodným n. Podle cvičení 7,4 je tím i n přesně určeno. Čísla man jsou oharakterisována tím, že pro — = — nutně b n m ^ a, n ^ Ô. (w bylo tak už voleno. Kdyby < n, pak by i i* ^ ^ . m a . m . bylo 6m < mn< an, tedy 6m < an, t. j. — < —.) — je — a m non t. zv. „zkrácený tvar" zlomku — = —. on Víta 7,1. 5 ?e spočetná množina. Důkaz. Zlomky pišme vesměs ve zkráceném tvaru. Bud /[ — | = {m; n}. Je-li — ={= —, pak ovšem {m^; nj 4= {m^n2}. \nf w! na Tedy / je prosté zobrazení množiny £ do N X N, tedy podle věty 6,4 a cvičení 6,9 je ^ spočetná. Uspořádání < množiny A nazývá se husté (dicht, dense, dense) a husté uspořádaná, když pro každé dva prvky z t A, y € A, z < y existují prvky r, s, t množiny A takové, že r pak Xx{a} je uspořádána předpisem: {x; a} < {y\ a) pro x < y. Jest typ (X x {a}) = typ X. Máme-li dokazovat typ X = typ Y možno tedy předpokládat XY = 0; neboť místo X a Y možno vzít Xx{l}aYx{2}. Ve cvičeních 7,13 a 7,14 bude P' = P + {k}, Q' =Q + + {u}. P' a Q' budou konečné uspořádané množiny (uspořádání <),jz podobnost množin P a Q. 7.13. Buď ä: non e P, a poslední prvek e P, pro který a < kt b první, pro který k < 6, n(a) < u < n(b). Pak u non e Q. Pro ieP bud n'(x) = n(x), n'(k) = u. Pak n* je podobnost množín P' a Q'. (Není-li prvku a nebo by mysleme si vynecháno vše, co se ho týká.) (Je-li ar c P, x < fc, pak množina všech prvků z P, které jsou e ^, budiž tt ~ w; z hustoty množiny A plyne existence prvku kc A takového, že ?r~l(a) < ^ < ?i~x(b). Volme k tak, aby #(k) bylo co nej menší. 112 Podle cvičení 7,13 a 7,14 v každém případě fcnonc P a u non e Q. Dále, klademe-li n'(x) = n(x) pro x c P a n(k) = = je n podobnost množin P' = P + {k} a Q' = Q -J- + {»}. Tím jsme získali methodu, jak podobnost množin P a Q rozšířit na větší množiny P' a Q'. F bude množina všech podobností konečných částí množiny A s částmi množiny Pro každé y < x (x e N) mějme již definovánu takovou podobnost z(y). Pro x > 1 možno psát .r = m -f- 1. Máme tedy zvláště definovánu jakousi podobnost n = z(m) konečných množin P C A a Q C 5- Abychom mohli definovat indukcí, nutno říci, co to je g(z) v F. Naše g(z) bude podobnost ti množin P' a Q' sestrojená svrchu. Podle (E) (pro M = N) existuje tedy zobrazení / množiny N do F takové, že /(l) = p a f[x) = g(fx) pro 1 < x € N. f(x) € F a tedy /(a*) je podobnost^ jakési konečné ?x C A a jakési konečné C (0) Je-li jr = 3rm, P — Pm, Q = Qm, pak ;rro+i = n\ P«+i = P', Qm+i = Q' Tedy Pm C PM f i, QmCQ«+i a ^m+i(s) = 7r(z) pro x € Pm. [Položme x — m + 1, z = fx. Jest jr = 7tw = /(m) = = /*(»») = z(m). Tedy g(z) - ti'. Avšak 0(2) - ^(/^J =-- f (z) — = tedy vskutku jt' = 77^ = 7im^i.] (1) Je-li m < n, jest Pm C P*, QmCQ»a pro x e Pm jest 7tn(x) = ,Tm(a:). [Dostane-li se n z m přičteními jedničky 1, platí to podle (0).] Položme obecně n = m -\- v. Buď ITT množina všech v takových, že (1) platí pro n = = m -f- v. Pak, jak jsme řekli, I e ITT. Buď v € HT. Pak PmC Stejně QmCQm+ zobrazení množiny P na Q. (2) (ú je podobnost množin P a (Q. [Buď x e P, y € P, x < y a na př. z e Pm a y e Pft. Buď r = m + n; pak r>war>na tedy podle (1) Pm C Pr» P» C Pr, tedy x c Pr, y e Pr. Jest o>(ít) = ?rr(a:) a co(y) = 7tr(y). Ježto 3Er je podobnost, jest 7Zf(x) < jzf(y), tedy a)(x) < ct)(y). Tedy co je podobnost.] A teď nám už zbývá dokázat, že p = A, Q =f ^ a budeme mít podobnost m množin A a j. Ježto P C A, (Q C j> stačí podle cvičení 1,26 dokázat jen , (3) p + *(f) < r. A podle volby čísla r jest pro taková f vždy f e P + Q, tedy f e Pm nebo c Qn» pro jisté m = w(f). m je zobrazení množiny těch f na jistou množinu čísel: na množinu všech m(f), která je podle věty 4,9 konečná (neboť množina těch f je konečná). Má tedy množina těch 77i(£) podle věty 4,7 poslední prvek 7i. Jest tedy vždy m(f) ^ n, tedy podle (1) P^ C P« a Q^y C Q*. Tedy všecka naše f (pro která «({) < r) patří do Pn 4- Qn. Je tedy h takový prvek, že h non € Pn + Qn a to s co nej menším 8(k). (Je-li s(h) = 1, není takových f; tu volíme n libovolně.) Buď x = n + 1; je-li ti = 7in> P = PÄ, Q = Q„, pak podle (0) jest P* + Q* = P' + Q', w byl prvek množiny A + ^, w non e eP + Q = Pft+Qftsco nejmenším a(w). To je ale charakteristické pro prvek A. Tedy w = h. Avšak w e P' 4- Q'> t. j. podle (0) h e Px + Qa a tedy přece jenom A e p + d} proti předpokladu.] Tím jsme důkaz věty 7,3 dokončili. 114 Cvičeni 7,16, Je-li A podobná množině j (t. j. typ A = = typ j), pak A je spočetná hustě uspořádaná; A nemá prvního ani posledního prvku. Cvičení 7,17. Je-li A uspořádaná spočetná, pak existuje Q C S taková, že typ A = typ zobrazení množiny P na množinu <£ všech cx\ je tedy podle věty 4,9 £ konečná a podle 4,8 je konečná i P' = P + (<£ + {d})t která vznikne z P přidáním prvků cz a d. Je-li z(y) € F pro y < x, a;e N, definuji g(z) takto: Položíme x = m + 1 a z(m) = P; pak g(z) = P'. Označme p libovolnou část množiny C, pozůstávající ze dvou (různých) prvků. A / budiž zobrazení množiny N do F takové, že /(l) = = p a f{x) = g(fx). Existuje podle (£). Označme f(x) = Px. (1) Je-li m < n, jest Pm C Pní Pw+i = P'm. (Nebot pro n = m + 1, z = fn jest Pn == f(n) = g(fn) = g(z) = P', kde P = z(m) - fn(m) = f(m) = Pm. Tedy Pm+1 = P'm, tedy Pm C PmH.i a podle cvičení 7,17 obecně Pm C P«0 115 Je-li 3 třída všech f(n)> pak / je zobrazení množiny N na 3) tedy podle věty 6,6 3 spočetná a podle věty 6,3 A = 2(3) spočetná. Jest A C C. Podle věty 7,3 jde jen o to, že A j c hustě uspořádaná. A obsahuje aspoň dva prvky, neboť p C A. Bud xcA, y c A, x < y. Jest na př. x e Pw, y e Pn, tedy pro r = m + n podle (1) x € Pr, y e Pr. Označme Pr = P; jest x < x* y a, d < x < cx < y < Cb\ při tom prvky d, cs a patří do P', což je podle (1) rovno Pr-n ■ Tedy patří i do A. 2,8. Kontinuum. [Každé Číslo a na ose číselné je přesně určeno, víme-li, která racionální čísla (t. j. zlomky s celým čitatelem a jmenovatelem) jsou < x racionální, je také x e A. Množina A neobsahuje všecka racionální čísla. (Jsou racionální čísla >.Je tedy p hustě uspořádaná. Důkaz. Pišme x = #(X), y = ot(Y), kde X a Y jsou oddíly množiny £. Jest X C Y, X 4= Y. Volme r c X, s\ e Y — X, s'2 c Y, s\ < s'2, ť € $ — Y. Podle cvičení 8,6 a 8,7 jest r < 117 < x ^ s\ < a'2 < y ŕ', tedy a'a < ř'. Z hustého uspořádání množiny j plyne tedy existence prvků s a t takových, že ä'í < s < í'a a «'2 < í' < ŕ. Pak skutečně r < a; < ä < i i X—l g' = 2f(i) *—' + (/(*) + i) <**»-*. t Podle cvičení 9,4 je v každém případě g' = /' 4- 1. A teď přijde věta, která nás poučí o „místním" významu cifer v arabské číslici. Veta 9,2. Bud z přirozené číslo, g = q>(x) příslušná číslice; necht g má m = 7t(g) cifer. Pak m x = J^gii) <*"•-■'. i (Stručně: x — g\ kde g = (x) — {y). A podle věty 9,2 jest y = m* = 2£^*^fi,*^, = x- Tedy g* = r (a). Toho užijte ve cvičení 10,7. Buďte a a b dva různé rozvoje. Je-li b e <8, pak: a < by když a jen když a ^ r(b); je-li a €} pro všechna 5 € 2Í. Je-li tedy f = Sv. 48—• 129 pak x^ a + 1. Je-li X množina všeoh x, pro která existuje £ e 2t, $ = {x,..,}, pak je tedy 0 4= X C C N(a + 1) a tedy X konečná množina C N0. Má tedy X poslední prvek r. V principu definice indukci položme M = N, F = D. Bud množina všech £ = {r,...} e 21; ježto r e X, tak taková; existují a QL =t= 0. Podle cvičení 10,12 buď p nej větší z prvních cifer rozvojů e ®x. Je-li x c N a z(y) c D pro y < x, označme 1. Buď a = = {r, f}. Tvrdím: a = supr 21. Stačí tedy dokázat: (1) Je-li £ e 21, pak £ <^ a. (2) Je-li y < a, pak existuje £ e 2t, Y < f « (3) a e P8^ 6 o © ba — b _ — < — a —---—i—' nám dává právo ve jme- a novateli jedničku vynechávat a psát prosté a místo —.] Ted si rozšíříme obor Čísel. Každému kladnému číslu oc bude odpovídat určité t. z v. záporné číslo —oc; pro zřetelnost se místo oc psává +oc. Reálná čísla jsou jednak kladná čísla, jednak záporná čísla, jednak číslo 0 = + 0 = — 0. Číslo 0 má rozvoj 0,u (v(x) = 0 pro všecka x). Označme H množinu reálných čísel a IX množinu záporných čísel; p je množina kladných Čísel. Početní operace si zavedeme nejdříve pro racionálni čísla; jsou to čísla + oc a — oc, kde oc je kladný zlomek, oc e mimo to číslo 0. Množinu všech racionálních čísel označíme Bac. [Jsou-li oc a P kladné zlomky nebo nula, pak definujeme: i. (+ *) + (+!») = + (*+ P); (— *) + (—0 = = — (*+£); je-li 0<*,pak (+ oc) + (—/?) = (—/») + + (+«)= + <* —/J), a (-*) + (+ p) = (+/») + (— «) = = -(*-£); 2- (± *) - (+ Pí = (± *) + (- P); (± *) -(-/?) = = (± *) + (+«; 3. (+ oc) .(+p) = (— oc). (— p) = + ocp; (+ x). (~p) = = {—oc).(+p)--ocp; 4. (+ *) : (+ P) = (- oc):(—P)= + { r. Cvičení 11,4. JtacQRac. Množiny ^Rac a Rac jsou spočetné a husté v H. 11,5. H je kontinuum. (Každá shora ohraničená část má horní hranici.) Každé reálné a 4= 0 se dostane z určitého kladného a, tak, že opatříme znaménkem + či —. To 1 a užívejme označení minulého odstavce. Buď d~x = 1 : dx. Ke každému e € p možno nalézt r e N takové, že d—r < e. Pro r < x jest d-* < d-f, tedy d~x < e. (Buď r\ kladný zlomek < e, 1 : r\ = x,\; pak 1 : y\ < x + H- 2 = u. Kdyby ď" < u pro všecka r, pak by jedno d* bylo nej větší (poslední), což není možné, neboť ůF < df\ když r < r'. Tedy pro jisté r jeBt w <_ ď", tedy 1 : rj < dr, tedy 11,9. Ke každému a e H a ^ e p možno nalézt racionální a a a taková, že a < a < a, a — a < í;. (Pišme a = ± s,f I označme a, = aj,f, kde f'(y) = f(y) pro y <^ 5, f'(y) = 0 pro y > s. Možno psát oc9 = ajl—9, a9 e N0. Jest a/l—* <^ oc <^ (a9 + 1) d—*; * = |a| = a;,f. BudcM" < rj, r > 1, * =. r — 1, a' = (M — 1) d-^, a* = [(a, + 1) d + + 1] d~r. Pak a' a a" jsou racionální, ď < oc < a", a" — — a' < d8^ < r\. Je-li a kladné nebo nula, volme a = a', a = a*; je-li a záporné, volme a = — a", a = — a'.) [Malá řecká písmena budou vždy kladná čísla a malá německá budou reálná čísla.] j je mezi a a b, když buďto a<*£_^b anebo bSjSa. Říkáme, že a /« rovno b s chybou menší ne£e a píšeme a = = b(< e), když čísla a a b jsou obě mezi dvěma racionálními čísly a' a V takovými, že |a' — b'| < e: -1—I-1-1---- a' a b b' <-■ - - —-- ■■ --» e 139 Cvičeni 11,10. Jsou-li a a b racionálni, pak a = b(< e), když a jen když \a — b\ < e. (Je-li \a — b| < c, volme a' = a, B' = B a vyjde a s = b(< e). A je-li naopak a = b(< e) a např. a' _^ a ^ B b*«e). Cvičeni 11,12. a = a(< 7?) pro každé r\. (a je mezi a a a podle cvičení 11,9.) ~~ Je-li a = B(< r}), pak také b s= a(< tj); je-li f/t < ife, a = B(< í7x)t pak a B« í^). Buďte ^ a t]2 kladné zlomky; je-li a = B( a), když pro dost velká x jsou členy f(x) libovolně blízko k a, t. j. když pro libovolně zvolené e platí f(x) = a(< e) pro dost velká x. Cvičení 11,14. Když je / konvergentní, pak množina /(N) je (shora i zdola) ohraničená. (Kdyby nebyla shora ohraničená, pak by ke každému n bylo možné najiti xn tak, aby n < f(xn). Pro dost velká x a y, řekneme včtši než r, jest f(x) = f(y) (< 1). Buď /(r + 1) < < m. Volme n > r + m. Jest /(r + 1)< m < n < f(xn); je-li xn > r, pak f(r + 1) = /(xn) (< 1), tedy m = n« 1), což není možné. Tedy pro n>r + m jest xn _J r. Tedy věech xn je jen konečně mnoho: jsou to jednak xn pro n ^ r + m, jednak jakási x„ ^ r. Tedy i členů f(xn) je jen konečné mnoho. Je-li f(xm) nej větší z nich, pak volme k > /(xm); pak /(xm) < k < f(xjr) a to je spor. Obdobně se vidí, že/(N) je zdola ohraničená. Existuje kladný zlomek fi takový, že 1/(^)1 a, pak pro dost velká x jest /<*) < a*. [Lze tedy říci, že / a znamená toto: A t zvolíme a' a a" jakkoliv, a' < a < a", pak pro dost velká z jest a' < f(x) < a*. (Je-li /(x) a, pak to plyne z právě dokázaného. Nechť naopak jest a' < f (z) < ď* pro skoro všecka x, ai zvolím 141 a' a a* jakkoliv, a' < a < a*. Dáno-li e, volme a' = a, a" = a podle cvičeni 11,9 pro rj = a. Pak a a /(x) je obojí mezi a a a a tedy /(x) = a(< e) pro dost velká x, tedy / a.) Cvičeni 11,16. Posloupnost má nejvýš jednu limitu. (Bud ai < o* / <*i> aa; volme a', a1 p, \b'\ > 0, je a : b =s ď : b' « *(e + í?) : /P). [Plyne ihned z cvičení 11,10 a 11,7: a = a' (< e) značí |a — <ť| < e, b = b' (< tj) značí |b — b'| < t]t tedy |(a ± b) — (a' ± b')| /? P1^ ji9^ racionální j3 a všechna x. [Ukáže se podobně jako ve cvičení 11,14.] Budiž e libovolné, e* < e, e' racionální. Pak /(*) = f(y) « e'P* : (2*)), g(x) . g(y) « : : (2a)) pro dosti velká x, y a tedy dle cvičení 11,16 bis f(x) : : g(x) s f(y) : g(y) (< e') tedy f O g je konvergentní. Cvičení 11,17. Každé přirozené číslo se dá psát přesně jedním způsobem ve tvaru 2k (pak se mu říká sudé) nebo 2k — 1 (pak je liché), hN. (Z věty 7,1 plyne tvar 2k* a 2k* + 1, kde Jfe' e N0, ale Jfcř=0 se nehodí dobře, neboť 2.0 — 0. Tedy místo k* vezmeme h = k' + 1; to už bude k e N a 2k = 2 (*' + 1) a 2k — 1 = = 2Jfc' + 1.) Veta 11,3. Necht racionálni posloupnosti / a f maji stejnou limitu; nechť racionálni posloupnosti gag' mají stejnou limitu; pak posloupnosti f o g a /' o g' mají stejnou limitu. Důkaz. Z posloupností / a /' sestrojme novou posloupnost /* takto: f"(2k) = f(k), f"(2k — 1) = f(k). Je-li /-► a, /' a, pak tvrdím: /' ->■ a. [Pro Jfc>r buď f(k) = a« e) a /'(Jfc) = a(< c). Je-li x > 2r, pak x = 2k nebo x = 2& — l,&>ra tedy /'(a) = = a(< e).] Obdobně buď g"(2k) = ?(£), flf*(2Jfe — 1) = g'(k). Je-li 0 -> b, f/' -> b, pak zase též g" —> b. Označíme-li A = / O g, h' = /' O g', A" = /" O pak podle věty 11,2 jest A* konvergentní. Jest ovšem A*(2ifc) = = Ä(Jfc), A"(2fc — 1) = h'(k). Označíme c = lim A*. Dáno-li s, pak pro jisté r platí: je-li x > r, jest Ä*(x) = c(< e). Pro x> r je tedy A(x) = A"(2x) === c(< e) (neboť 2x > r) a podobně A'(x) = A*(2x— 1) = c« e) (neboť 2x — 1 > r) a tedy A -> c a A' c. Tedy A a A' mají stejnou limitu. 144 Cvakni 11,18. Je-li a = lim / racionálni, b = lim g racionální, / a g racionální, pak / o g a O b. (/' buď posloupnost, jejíž všecky Členy jsou a; p' buď posloupnost, jejíž všecky členy jsou b. Pak /' O g' má všecky členy rovny a O b. Jest /' a, g' -> b, /' O gf' a O b a tedy podle věty 11,3 též / o g -> a O b.) Cvičení 11,19. Ke každému a se dá najít racionální posloupnost /—>-a; možno voliti všecky členy f(x) +0. Dokonce tu posloupnost lze volit tak, aby f(x) c &Ract (Ke každému Ô existuje ď € Jlac takové, že o! = a(< ô).) (Ke každému rj = d—* volme a a a podle cvičení 11,13. Mezi a a a volme od nuly různé racionální číslo a to označme «*).)" To nás vede k možnosti zavést početní úkony pro všeoka reálná čísla. K a a b zvolíme racionální posloupnosti / a, g-+a% g{x) =t= 0 (k vůli dělení). Podle věty 11,1 a 11,2 má / O g limitu a tu označíme a O b. Podle cvičení 11,18 to souhlasí se starou definicí pro racionální a a b. Nአpřítel si zvolí místo / a g jiné posloupnosti /' -> a a g' —> a a pro něho a O b bude limita posloupnosti /' O g'\ podle věty 11,3 mu ale vyjde totéž jako nám. Cvičení 11,20. Platí pravidla ze cvičení 11,2, i když a, b a c jsou libovolná reálná čísla. (Volme / -> a, g b, h c; f, g, h racionální. Pak na př. (/ + 9) + h = / + Í9 + h) podle cvičení 11,2 a v limitě (ci + b) + c = a + (b + c). Atd.) 11.21. Je-li a < b, jest b — a kladné a a — b záporné. (Vol a a, g->b, f(x) < c < < 9(x) Pro všecka x; g(x) — f (x) > 0 a limita b — a tedy nemůže být záporná. A nula to též není, sic by bylo a = b.) Jest a < b, když a jen když existuje kladné u takové, že b = a + u. 11.22. Platí cvičení 11,7 pro libovolná reálná a a b. Sv. 48—10 145 11,Ž3. Jest,a = b{< e), když a jen když |a — b| < e. (Je-li \a — b| < e a na př. a < b; buďí? = \ . (e — (b — a)); bud ď < aa a jr->b, pak /o^aob. (Srovnej cvičení 11,18.) [To, co jsme nahoře mohli dělat jen pro racionální čísla, umíme už udělat pro libovolná reálná a to stejnou methodou, protože pravidla ze cvičení 11,2, 11,6 a 11,7 zůstala v platnosti.] Princip aproximace. Dána reálná čísla a a b a kladné číslo e. Pak lze najít kladné ô takové, že pro každá dvě čísla a'=a(«5)ab' = í)(<<5) jest ď o b' = a O b« e). Důkaz. Nechť tomu tak není. Je-li ô = volme a' = = a(< <5) a b' = b(< ô) tak, aby a' O V nebylo rovno a O b s chybou menší než e a označme f(x) = a', g(x) = b\ Pak / -> a a g -> b. [Dáno-li totiž iqy pak pro dost velká x jest dr* < r\ a tedy f(x) = a« rj) a,g(x) == b« ??).] Tedy / o g -> a O b. Pro dost velká x tedy /(a) 00(3) = a O b(< e), tedy přece jen a'ob' = aob(<6). A to je důležitá věc. Abychom vypočetli a O b přibližně, a to s chybou menší než dané e, nemusíme znát a a b přesně. Stačí místo a a b vzít jakási jiná čísla a! a b' lišící se od a a b o méně než jakési ô. Místo a O b vypočteme prostě ďob'. Chyba, které jsme se tím dopustili, je menší než e.Ato přibližná čísla a' a b', možno volit racionální anebo dokonce tak, 146 aby za desetinnou čárkou měla od jistého místa počínaje samé nuly. (Viz cvičení 11,19.) A to je obvyklý způsob počítání. Výsledek chceme jen na jistý počet desetinných míst; a v daných číslech se omezujeme také na jistý počet míst. Stejně při měření. Jistou veličinu chceme znát s chybou menší než e; počítáme ji z naměřených veličin. K tomu e si určíme napřed ô, které nám udává, jak přesně musíme dané veličiny naměřit, aby počítaná veličina byla zatížena chybou menší než s. Cvičení 11,27. Princip aproximace nám může a o b definovat: Buď s číslo takové, že pro každé e existuje ô takové, že je-li ď = a{<ô), b' = b«<5), pak <ť O b' == 5« e); pH tom a' a b' bereme z Rae (nebo *Roc). Pak s = a O b. (Volme / -> a, g -> b, f {x) a g(x) e Bac (nebo aRac); pak se dokáže, že / o g s a tedy vskutku s = a G b.) Tedy a O b je to jediné číslo, které je aproximováno součty a' O b'. 2,12. Kardinálni čísla. U konečných množin jsme si už počet prvků definovali. Bylo to přirozené číslo (nebo 0 pro množinu 0). Teď budem mluvit o počtu prvků i ostatních, t. j. nekonečných množin. Stejný počet prvků budou mít dvě množiny, když budou ekvivalentní, což u konečných množin klape podle cvičení 5,2 a 5,3: Buď a počet prvků množiny A, b počet prvků množiny B. Pak a = b, když a jen když A ~ B. Cvičení 12,1. Tato rovnost splňuje všecky požadavky na rovnost kladené: (reflexivita) a = a; (symetrie) je-li a = b, pak také b = a; (transitivita) je-li a = b a b = c, pak také a = c. Symbolům a říkáme kardinální čísla. [Malá německá písmena budou značit kardinální čísla.] 147 Nechť A má a prvků (t. j. počet prvků množiny A je a); nechť B má b prvků. Je-li A B = 0, pak počet prvků množiny A +B označíme a + b. a . b = ab je počet prvků množiny A x B. b° je počet prvků množiny BA. Cvičeni 12,2. Čísla a + b, a . b a b4 jsou Čísly a a b přesně určena. (Můj přítel, který užívá k jich výpočtu jiných množin A a B než já, přec jen dostane stejné výsledky. Srovnej cvičení 5,4, 5,5 a 5,6.) 12.3. Ke každým dvěma kurdmálTifm a a b skutečně čísla a + b, a . b a ba lze nalézt. Jsou to zas kardinální čísla. (Má-li A' a prvků a B' a prvků, volme A = A'x{l}, B = = B'x{2}; srovnej cvičení 5,3.) 12.4. Volíce A a B jako ve 12,3 a C = C x {3}, kde C má c prvků, odvodíme jako ve cvičeni 5,8: (a + b) + c = a + (b + c), a + b = b + a, (ab) c - a(bc), ab — ba, 1. a = at a (b + c) = ab + ac, ctt+b = c0 . c* = (c*)« ' a dále 0 + a = a, 0 . a = 0. Dále definujme nerovnost a < b takto: Především a ={=b, za druhé, má-li B b prvků, pak existuje A C B, která má a prvků. Cvičeni 12,5. Je-li B ~ B', A C B, pak existuje A' ~ A, A' C B'. Tedy k rozhodnutí, zda a < b, možno užít libovolné množiny B s b prvky. 148 12.6. Nechť A má a prvků; nechť B má b prvků. Pak a < b znamená: A není ekvivalentní s B, ale A je ekvivalentní s jistou částí množiny B. a^b pak znamená: A je ekvivalentní s jistou částí množiny B. Je-li zvláště A C B, jest a^ b. Má-H B b prvků, pak a <í b znamená, že jistá část množiny B má a prvků. 12.7. Nechť A má a prvků; nechť B má b prvků. Pak a <1 B znamená: Existuje prosté zobrazení množiny A do B. Ze cvičení 8,20 tedy plyne: Necht spojitě uspořádaná B má b prvků, pak N <1 b, kde M je počet prvků kontinua p. Transitivita. Je-li a prosté zobrazení množiny C na A. Ježto A 4= B a B 4= C, jsou množiny ct^ = A, ojt = B — A, a)fc = C—B neprázdné (a^ proto, že A~C). Aplikujeme princip definice indukcí. F bude množina všech částí množiny C. Buď z(y) e F pro y < x. Označíme g(z) = 2 a a)g, dostáváme zobrazení fly f2 a /, množiny N do F takové, že (t = 1,2,3). (1) A(l) = oh, h(x) = g. Nechť (2) už platí pro dané x. Podle cvičení 1,25 z toho plyne rtM* -1)] = 9>[/i<*>] + rtW*)] + rtAtol 149 se sčítanci po dvou disjunktními. Podle (1) tedy fi(* + 1 — 1) = A(* + 1) + h(x + 1) + h(x + 1). Tedy podle (E) platí (2) všeobecně. (3) Každé dvě z množin f2(m) a fs(n) jsou disjunktní. [Jest vždy podle (2): £(» + 1) C/iM a tedy pro u = 1 platí (3') + u) C pro každé n. Platí-li teď (3') pro jisté ut pak /t(n + 1 + u)Cfi(n + 1) C C AM podle (2), t. j. fi(n + w + 1) C Tedy podle principu indukce (E) platí (3') pro každé u. Pro m — n jest /a(w&). /3(n) = 0 podle (2). Je-li na př. n(2) = q>(x).y>je zobrazení množiny C do C. Označím-li U = n(Jx) + S(J2), pak ovšem: (7) y(U) = U. Je-li xe S(Ja), na př. tedy xef3(n), pak y>(x) = q>(x)e c (&) jsou právě prvky množin /3(n + 1), t. j. množin /3(m), kde wi > 1. Buď J'3 systém takových f9(m). Jest 150 (S) v(S(J3)) = sď,). Tedy z (5), (7) a (8) plyne (9) y>(C) = U + S(J'3). Dále jest podle (2) ^(1) ./3(1) = 0 a podle (31) tedy fz(m). . /3(1) = 0 pro m > 1. Tedy 2(J'3). /8(1) = 0 a Z(J3) = = +tedy Z(j'3) = S(J3)-/3(l). Podle (9) tedy y(C) = U + [S(J3) - /a(l)] = C — /3(1) = B. Je tedy y> zobrazení množiny C na B. A \p je zobrazení prosté. Neboť je-li y>{x) = ip(y) = z, je buďto z e U a pak z = x = y. Anebo z e £(J'8), a pak z = — 2). Je-li f e CN, označme je prosté zobrazeni množiny CN do p. (9? je prosté proto, že rozvoje l,ff kde f(x) jsou nuly a „devítky" d — 1, jsou jednoznačné: Při přechodu k jinému rozvoji téhož čísla se některá cifra f (z) změní o 1 a to už za předpokladu d > 2 nebude ani 0 ani d — 1.) 12.12. Bud / prosté zobrazení množiny N na j. Je-li oc € p, pak buď g = y>(oc) e CN a to g(a?) = 0, když f(x) < oc; jinak g (x) = d — 1. Pak y> je prosté zobrazení množiny p naCN. (yj je prosté vzhledem k hustotě množiny Je-li oc < oc', g/ = rp(oc'), pak je jisté racionální f(x) taková, že oc < f(x) < < oc'; pak g(ar) = d — la g'(a;) = 0, tedy g' =|= g.) p má M prvků, CN má 2* prvků; tedy z 12,11 a 12,12 plyne: [Nechť A, B, A', B' mají vždy resp. a, b, a', b'prvků; neehť A' C A, B' C B.] Cvičení 12,13. (1) Je-li AB = 0, pak A'B' = 0 a A' + + B' C A + B. (2) A'xB'C AxB. (3) Existuje prosté zobrazení tp množiny B'A' do BA. (Je-li /' € B'A', buď f= má^prvků, tedyH0" = «0pro»€ N. 152 Z toho plyne (ne N): [Pro n > 1 platí totiž nerovnosti ^; kdyby někde platila ostrá nerovnost <, bylo by N0 < «on proti cvičení 12,14. Pro n = 1 se nic nového neříká.] Podobně 8=l+N = 7i + H = No + X = H + N = ».K = [Pro » > 1 zase platí nerovnosti Kdyby někde bylo <, pak by » < HM\ Avšak = (2*) * = 2*-* = 2* = N. Pro n = 1 se nic nového neříká.] Pro n I> 2 jest 2*' = = Ko^ = K*°. [Platí zas nerovnosti kdyby někde bylo <, pak by 2*' < S8*, což není možné, nebo t obě ta čísla jsou rovna N.] Cw&ní 12,15. Vždy jest a < 2<*. (A měj a prvků. Je-li o c A, buď q>(a) — fae N(2)A, /a(a) = 1 a jinak fa(x) = 2. Pak tp je prosté zobrazení množiny A do N(2)A, tedy a £ 2«. Kdyby a = 2a, pak by existovalo prosté zobrazení

(x) jsou prvky množiny N(2)A; jsou to tedy zobrazení množiny A do N(2). Buď / e N(2)\ f(x) = 1, když pro fx = q>(x) jest fx(x) = 2 a buď f(x) = 2, když = 1. Jest / =