Konstrukční úlohy
Růžena Blažková, Irena Budínová
Milé studentky, milí studenti,
• zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce,
• u každé konstrukční úlohy proveďte:
rozbor - obsahuje náčrtek, jako by byla úloha vyřešena a podmínky pro neznámé body
postup konstrukce - posloupnost kroků, jak budete postupovat při vlastní konstrukci
ověření, zda narýsovaný útvar odpovídá zadání
diskusi o počtu řešení v případě parametrického zadání úlohy.
• V rámci jedné z úloh máte vždy za úkol provést základní konstrukci jednoho z prvků.
• Rozlišujte úlohy polohové a nepolohové.
Zadání č. 1
1. Je dána úsečka BC, |BC| = 8 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, je-li dále dáno Vb = 4,5 cm, ta = 3 cm.
2. Sestrojte obecný čtyřúhelník ABCD, je-li dáno: |AB| =VH0 cm, |AC| = 11 cm, |BD| = 10 cm, a = 30°, p = 60°.
Proveďte a popište základní konstrukci úsečky délky VllO cm.
Zadání č. 2
1. Je dána úsečka AB, její délka je 7 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, je-li dále dáno: y = 60° , va = 6,5 cm.
Proveďte a popište konstrukci oblouku, z něhož je vidět úsečku pod daným úhlem.
2. Sestrojte lichoběžník ABCD se základnami AB a CD, jestliže je dána délka úsečky |AB| = 8 cm, délka úsečky |CD| = 4 cm a velikosti obou úhlopříček lichoběžníku |AC| = 6 cm, |BD| = 7,5 cm.
Zadání č. 3
1. Je dána úsečka LM, |LM| = 7 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky KLM, pro které je dále Vk = 4,5 cm, ti = 6 cm.
2. Sestrojte obdélník ABCD, jestliže jedna jeho strana má délku 5 cm a úhlopříčky svírají úhel 70°.
Proveďte a popište základní konstrukci dvou různoběžných přímek, které svírají daný úhel.
Růžena Blažková, Irena Budínová: Konstrukční úlohy
Zadání č. 4
1. Je dána úsečka AK, |AK| = 6 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, ve kterých je úsečka AK těžnicí ke straně a a pro které je dále b = 6 cm, c = 7 cm.
2. Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno: délka úsečky AB, délka úhlopříčky AC a velikost výšky ke straně AB.
Proveďte a popište základní konstrukci dvou rovnoběžných přímek. Zadání č. 5
1. Je dána úsečka AP, |AP| = 7 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je AP výškou ke straně a, délka strany c= 8 cm, výška ke straně b má délku Vb =4,5 cm. Proveďte a popište základní konstrukci Thaletovy kružnice.
2. Sestrojte lichoběžník ABCD se základnami AB, CD, je-li dáno: b = 6,5 cm, c = 4 cm, a = 70°, \BD\ = 10 cm.
Zadání č. 6
1. Je dána úsečka AB, |AB| = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, je-li dále dáno: y = 52°, vc = 3 cm.
2. Sestrojte lichoběžník ABCD se základnami AB, CD, je-li dáno: a = ^|32 cm, v = 4 cm, e = 9 cm,f= 12 cm (výška a délky obou úhlopříček).
Proveďte a popište základní konstrukci úsečky délky V32 cm.
Zadání č. 7
1. Je dána úsečka AP, |AP| = 45 mm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je AP výškou ke straně BC a dále je dáno c = 5 cm, tb = 6 cm.
2. Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnami AB a CD, je-li dáno: |AB| = 9,5 cm, a = 60°, úhel ACB je pravý.
Proveďte a popište základní konstrukci pravého úhlu.
Zadání č. 8
1. Je dána úsečka OP, |OP| = 75 mm. Sestrojte všechny trojúhelníky OPR, pro které dále platí: velikost úhlu POR je 50°, výška na stranu PR má délku 6,5 cm.
Proveďte a popište základní konstrukci Thaletovy kružnice.
2. Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li |AB| = 7,5 cm, |AD| = 3,5 cm, p = 108°.
Růžena Blažková, Irena Budínová: Konstrukční úlohy
Zadání č. 9
1. Je dána úsečka BC, |BC| = 55 mm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, je-li dále |AB| = ycm,y = 75°.
3 8
Proveďte a popište základní konstrukci úsečky délky — cm.
2. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, je-li dáno: |AB| = |AD| = 6 cm, |BC| = 4,5 cm, |AC| = 7 cm, y = 105°.
Zadání č. 10
1. Je dána úsečka AB, |AB| = 7,5 cm. Sestrojte všechny rovnoběžníky ABCD, pro které va = 3 cm a velikost úhlu AEB je 45°. Bod E je průsečík úhlopříček rovnoběžníku.
2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: ta = 4,5 cm, tb = 1,5 cm, tc = 4,5 cm. Proveďte a popište základní konstrukci rozdělení úsečky v daném poměru.
Zadání č. 11
1. Je dána úsečka AP, její délka je 35 mm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, ve kterých je AP výškou ke straně a a dále je dáno: b = 4 cm, c = 5 cm.
24
2. Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dána velikost jeho výšky v = — cm a jedné jeho úhlopříčky |AC| = 8 cm.
24
Proveďte a popište základní konstrukci úsečky délky — cm. Zadání č. 12
1. Je dána úsečka BP, její délka je 4 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, ve kterých je BP výškou ke straně b a dále je dáno: a = 5,5 cm, c = 7 cm.
Proveďte a popište základní konstrukci dvou kolmých přímek bez pravítka s ryskou.
2. Sestrojte pravoúhlý lichoběžník ABCD se základnami AB a CD a s pravým úhlem při vrcholu A, jestliže |AB| = 8 cm, |BC| = 75 mm, |AD| = 55 mm.
Zadání č. 13
1. Je dána úsečka AB, |AB| = 7 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, jestliže znáte velikost úhlu a a poloměr kružnice trojúhelníku opsané.
Proveďte a popište konstrukci trojúhelníku podle věty sss.
2. Sestrojte rovnoběžník ABCD, jestliže znáte velikost strany AB, velikost úhlu DAB velikost úhlopříčky AC. Velikosti úseček si zvolte tak, aby úloha měla řešení.
Růžena Blažková, Irena Budínová: Konstrukční úlohy
Zadání č. 14
1. Je dána úsečka AB, |AB| = 5,8 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je P = 105°, tc = 4 cm.
Proveďte a popište konstrukci úhlu velikosti 105° bez použití úhloměru.
2. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, je-li dáno: a = 8 cm, d = 6 cm, e = 9 cm (úhlopříčka AC), a = 45°, y = 90°.
Zadání č. 15
1. Je dána úsečka BL, |BL| = 6 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je BL těžnicí ke straně b a dále je a = 8 cm, b = 9 cm.
2. Sestrojte rovnoběžník ABCD, jestliže a = 4 cm, a= 60°, e = 5,5 cm (e je úhlopříčka AC).
Proveďte a popište konstrukci úhlu o velikosti 60° pomocí pravítka a kružítka. Zadání č. 16
1. Je dána úsečka AB, |AB| = 7,5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je dále tb = 4,5 cm, a = 30°.
2. Sestrojte obdélník MNOP, je-li dáno: velikost strany NO a velikost úhlu MSP, kde bod S je průsečík úhlopříček obdélníku.
Proveďte a popište základní konstrukci osy úhlu.
Zadání č. 17
1. Je dána úsečka BC, |BC| = 9,5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, je-li dále Vb = 9 cm a poloměr kružnice trojúhelníku vepsané p = 36 mm.
Proveďte a popište základní konstrukci osy úsečky.
2. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, je-li dáno: a = 5 cm, b = 7 cm, c = 7,5 cm, d = 3,5 cm, S = 120°.
Zadání č. 18
1. Je dána úsečka AC, |AC| = 5,5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, je-li dále dáno Vb = 3 cm, řa = 5,5 cm.
2. Sestrojte obdélník EFGH, jestliže poloměr kružnice opsané r = 5,5 cm, \EH\ = Vl2 cm.
Proveďte a popište základní konstrukci úsečky délky Vl2 cm.
Růžena Blažková, Irena Budínová: Konstrukční úlohy
Zadání č. 19
1. Je dána úsečka UV, |UV| = 7 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky TUV, je-li dále dáno: velikost úhlu UTV a velikost výšky ke straně UV. Velikosti úsečky a úhlu si zvolte tak, aby úloha měla řešení.
2. Sestrojte čtverec ABCD, který je vepsán do kružnice o poloměru r = 3,5 cm. Proveďte a popište základní konstrukci úhlu o velikosti 45° bez použití úhloměru.
Zadání č. 20
1. Je dána úsečka BC, |BC| = 72 mm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, je-li dále dáno y = 75°, tc = 8 cm.
2. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, je-li dáno: poloměr kružnice opsané r = 3 cm, a = 4,5 cm, d = 5 cm, p = 105°.
Proveďte a popište základní konstrukci úhlu o velikosti 105° bez použití úhloměru. Zadání č. 21
1. Je dána úsečka XP, |XP| = 7,1 cm. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky XYZ, pro které je úsečka XP výškou ke straně YZ.
Proveďte a popište základní konstrukci zobrazení úsečky v osové souměrnosti.
2. Sestrojte rovnoběžník KLMN, jestliže úhlopříčka KM má délku 6 cm, úhel LKM má velikost 32° a úhel KML má velikost 36°.
Zadání č. 22
1. Je dána úsečka BC, její délka je 6,2 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, je-li dále dán poloměr kružnice trojúhelníku opsané a velkost úhlu p. Velikosti poloměru a úhlu si zvolte tak, aby úloha měla řešení.
2. Sestrojte lichoběžník ABCD, je-li a = 6 cm, c = 4 cm, e = 5,5 cm, / = 6,4 cm (základny a úhlopříčky).
Proveďte a popište základní konstrukci grafického součtu dvou úseček. Zadání č. 23
1. Je dána úsečka BC, |BC| = 51 mm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, jestliže dále znáte velikost výšky ke straně a a velikost úhlu a. Velikosti zvolte tak, aby úloha měla řešení.
Proveďte a popište konstrukci oblouku, ze kterého je vidět úsečku pod daným úhlem.
2. Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnami AB a CD, je-li dáno: a = 7 cm, c = 3 cm, r = 4,5 cm (r je poloměr kružnice lichoběžníku opsané).
Růžena Blažková, Irena Budínová: Konstrukční úlohy
Zadání č. 24
1. Je dána úsečka BC, |BC| = 68 mm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, je-li dále dána velikost výšky ke straně b a velikost úhlu a. Velikosti volte tak, aby úloha měla řešení.
2. Sestrojte lichoběžník ABCD se základnami AB a CD, je-li dáno: a = 8,5 cm, c = 4 cm, v = 3,2 cm, a velikost úhlu ABC je 60°.
Proveďte a popište základní konstrukci grafického rozdílu dvou úseček.
Zadání č. 25
1. Je dána úsečka AC, |AC| = 6,2 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, jestliže dále znáte velikosti úhlů P a y. Velikosti volte tak, aby úloha měla řešení.
2. Sestrojte kosočtverec KLMN, je-li dána jeho výška v = 6,2 cm a velikost úhlopříčky KM: e = 6,8 cm.
Proveďte a popište základní konstrukci středu úsečky.
Růžena Blažková, Irena Budínová: Konstrukční úlohy