- 1 -
Čtyřúhelníky
Irena Budínová
Jsou dány v rovině čtyři různé body A, B, C, D, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce.
Čtyřúhelník ABCD je sjednocení trojúhelníků ABD a BDC, právě když jejich průnikem je
úsečka BD.
Obr. 1
Klasifikace čtyřúhelníků: Konvexní, nekonvexní
Obr. 2
Klasifikace čtyřúhelníků:
Čtyřúhelníky
S různoběžnými stranami alespoň jedna dvojice rovnoběžných stran
Různoběžník právě jedna dvojice rovnoběž. stran dvě dvojice rovnoběž. stran
(např. deltoid) lichoběžník rovnoběžník
Obr. 3 sousední strany jsou kolmé nejsou kolmé
pravoúhelník kosoúhelník
Sousední strany jsou shodné nejsou shodné
Čtverec Obdélník kosočtverec kosodélník
Rovnoběžníky
Rovnoběžník je čtyřúhelník, který má dvě dvojice protějších stran rovnoběžných.
AB || CD BC|| AD.
Věta 1. Protější strany rovnoběžníku jsou shodné.
AB || CD  BC|| AD  AB  CD  BC AD
- 2 Důkaz:
Obr. 4
Sestrojíme úsečku BD a dokážeme shodnost trojúhelníků ABD a CDB (usu).
Věta 2. Protější úhly rovnoběžníku jsou shodné.
Důkaz: Viz V1.
Věta 3. Úhlopříčky rovnoběžníku se půlí.
Důkaz. Obr. 5
Dokážeme shodnost trojúhelníků ABS a CDS (usu).
Věta 4. Součet vnitřních úhlů čtyřúhelníku je úhel plný (součet velikosti vnitřních úhlů
čtyřúhelníku je 360 °).
Důkaz: Součty vnitřních úhlů trojúhelníků ABD a CDB – každého z nich je 180°.
Všechny rovnoběžníky jsou středově souměrné.
Obdélník
Obdélník je rovnoběžník, jehož sousední strany jsou na sebe kolmé a nejsou shodné.
Platí V 1 – V4 a navíc:
Věta 5. Úhlopříčky obdélníku jsou shodné.
Důkaz: Obr. 6
shodnost trojúhelníků ABD a ABC (sus)
Obdélníku lze opsat kružnici. Obdélník má dvě osy souměrnosti.
- 3 -
Čtverec
Čtverec je rovnoběžník, jehož sousední strany jsou shodné a na sebe kolmé.
Platí V 1 – V 5 a navíc
Věta 6. Úhlopříčky čtverce jsou na sebe kolmé.
Důkaz: Obr. 7
shodnost trojúhelníků ABS a BCS (sss), vedlejší úhly shodné, tedy pravé.
Čtverci lze opsat i vepsat kružnici. Čtverec má 4 osy souměrnosti.
Lichoběžník
Lichoběžník je čtyřúhelník, který má jednu dvojici protějších stran rovnoběžné a jednu dvojici
protějších stran různoběžné.
Obr. 8
Základní pojmy: AB|| CD - základny (a, c) , BC, AD – ramena (b, d)
Vnitřní úhly – grafický součet vnitřních úhlů na témž rameni lichoběžníku je úhel přímý.
Výška – vzdálenost přímek, na kterých leží základy (kolmice k základnám)
Střední příčka – úsečka, jejímiž krajními body jsou středy ramen s =
2
ca 
Druhy lichoběžníků: pravoúhlý, rovnoramenný
Čtyřúhelník tečnový - čtyřúhelník, kterému lze vepsat kružnici, strany jsou tečnami.
Čtyřúhelník je tečnový právě tehdy, jestliže součty délek jeho protilehlých stran sobě rovnají,
a + c = b + d.
- 4 obr.
9
Čtyřúhelník tětivový – čtyřúhelník, jemuž lze opsat kružnici, strany jsou tětivami.
Čtyřúhelník je tětivový právě tehdy, jestliže součet velikostí dvou protějších úhlů je 180°.
Obr. 10
Čtyřúhelník dvojstředový – čtyřúhelník, kterému lze kružnici opsat i vepsat.
Obvody a obsahy
Obvod čtyřúhelníku
Obvod obdélníku
Obvod čtverce
Obsah obdélníku
Obsah čtverce
Obsah rovnoběžníku
Obsah lichoběžníku