Růžena Blažková, Irena Budínová: Objemy a povrchy těles
1
OBJEMY A POVRCHY TĚLES
Metodický materiál do semináře MA SDM 3
Růžena Blažková, Irena Budínová
KOMOLÝ JEHLAN
Objem komolého jehlanu
Pro zjednodušení odvodíme vztahy pro komolý jehlan, jehož podstavami jsou čtverce.
Označení: Délka hrany dolní podstavy …………….a1
Délka hrany horní podstavy …………… a2
Výška jehlanu ………………………… v
Výška jehlanu doplňkového ………….. v1
Objem komolého jehlanu vypočítáme jako rozdíl objemů dvou jehlanů V = V1 –V2, kde V1 je
objem jehlan doplněného a V2 je objem jehlanu doplňkového. Pro objemy každého z jehlanů
platí:
V1 = )(
3
1
1
2
1 vva +
V2 = 1
2
2
3
1
va
Výšku v1 vypočítáme z podobnosti trojúhelníků ∆VS1N a ∆VS2L:
V
S1
S2
N
L
Růžena Blažková, Irena Budínová: Objemy a povrchy těles
2
22
2
1
1
1
a
v
a
vv
=
+
v1 =
21
2
aa
va
−
Pak
V = )(
3
1
1
2
1 vva + - 1
2
2
3
1
va
V = ( )1
2
21
2
1
2
1
3
1
vavava −+
Dosazením za v1 a úpravou dostaneme
V = )(
3
1 2
221
2
1 aaaav ++
Obecně pro objem komolého jehlanu s podstavami o obsahu S1 a S2 platí:
V = )(
3
1 2
221
2
1 SSSSv ++
Povrch komolého jehlanu
Síť komolého jehlanu (čtyřbokého):
a
a
b
b
h
Pro pravidelný komolý jehlan s podstavami tvaru čtverce platí:
S = S1 + S2 + Spl
S = a1
2
+ a2
2
+ 4
2
)( 21 haa +
kde h je stěnová výška, 2
21
2
)( aavh −+=
Růžena Blažková, Irena Budínová: Objemy a povrchy těles
3
KOMOLÝ KUŽEL
Označení: Poloměr dolní podstavy ……………….. r1
Poloměr horní podstavy ……………….. r2
Výška kužele ………………………….. v
Výška doplňkového kužele …………… v1
Objem komolého kužele
Odvození pomocí podobnosti – prostředky žáka základní školy
v s
r1
Objem komolého kužele vypočítáme jako rozdíl objemů dvou kuželů V = V1 - V2, kde V1
je objem doplněného kužele a V2 je objem kužele doplňkového. Pro objemy každého z kuželů
platí:
V1 = )(
3
1
1
2
1 vvr +π
V2 = 1
2
2
3
1
vrπ
Výšku v1 určíme z podobnosti trojúhelníků ∆VS1A a ∆ VS2B:
V
S1
S2
A
B
Růžena Blažková, Irena Budínová: Objemy a povrchy těles
4
2
1
1
1
r
v
r
vv
=
+
21
2
1
rr
vr
v
−
=
Pak
V = )(
3
1
1
2
1 vvr +π - 1
2
2
3
1
vrπ
Dosazením za v1 a úpravami dostaneme:
V = )(
3
1 2
221
2
1 rrrrv ++π
Názorně můžeme žákům demonstrovat, že objem kužele je roven jedené třetině objemu válce,
který má stejnou podstavu i výšku jako kužel. Zvolíme model válce (např. plechovku), podstava
má poloměr r, výška válce je v. Vybereme vhodný model kužele (např. nálevku) tak, aby měl
také poloměr r a výšku v jako válec. Naléváním vody zjistíme, že do válce můžeme nalít tři
nálevky vody.
Odvození pomocí integrálního počtu
Nejprve uvedeme vztah pro výpočet objemu kužele s podstavou o poloměru r a výškou v.
r
v x
y
O
A
B
Tento kužel získáme rotací pravoúhlého trojúhelníku OAB kolem osy x. Souřadnice bodů
v kartézské soustavě souřadnic: O[0,0], A[v,0], B[v,r], v>0, r>0.
Funkce: f(x) = x
v
r
Objem rotačního tělesa je dán vztahem: V = ∫
b
a
dxxf )(2
π
Objem kužele:
V = vr
x
v
r
dxx
v
r
dxx
v
r
vvv
2
0
3
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
3
1
3
ππππ =





== ∫∫
Růžena Blažková, Irena Budínová: Objemy a povrchy těles
5
v x
y
O
A
B
C
Komolý kužel získáme rotací pravoúhlého lichoběžníku OABC kolem osy x.
Souřadnice bodů v kartézské soustavě souřadnic: O[0,0], A[v,0], B[v,r1], C[r2,0], v>0, r1>0 ,
r2>0.
Funkce: f(x) = 2
21
rx
v
rr
+
−
V= ∫ ∫ ∫ ∫ =+
−
+




 −
=+
−
v v v v
dxrxdx
v
rr
rdxx
v
rr
dxrx
v
rr
0 0 0 0
2
2
21
2
2
2
2
212
2
21
2
)(
)( πππππ
( )2
221
2
1
0
2
2
2
21
2
3
2
2
21
3
1
2
2
3
)(
rrrrvxr
x
v
rr
r
x
v
rr
v
++=





+⋅
−
+⋅
−
π
Povrch komolého kužele
Nejdříve uvedeme vztah pro výpočet kužele s poloměrem podstavy r a výškou v.
Jak narýsujeme síť kužele (přibližně): Do kruhu vepíšeme pravidelný mnohoúhelník
(alespoň dvanáctiúhelník) a na oblouk se středem v bodě V a poloměru s naneseme postupně
úsečky (tětivy), abychom získali alespoň přibližně délku oblouku 2πr. Jestliže chceme získat
přesnější konstrukci pláště kužele, musíme vypočítat velikost středového úhlu kruhové výseče.
Povrch kužele je roven součtu obsahů podstavy a pláště. Podstavou je kruh, plášť je
kruhová výseč. Obsah kruhové výseče můžeme vypočítat jako obsah trojúhelníku se základnou
2πr a výškou v.
S = Sp + Spl
S = πr2
+ 2πrs
Kde s je strana kužele, s = 22
rv + .
Povrch komolého kužele je roven součtu obsahů obou podstav komolého kužele a pláště
komolého kužele. Obsah pláště můžeme vypočítat jako obsah rovnoramenného lichoběžníku se
základnami 2πr1 a 2πr2 a výškou s.
Růžena Blažková, Irena Budínová: Objemy a povrchy těles
6
S = S1 + S2 + Spl
S = s
rr
rr
2
22 212
2
2
1
ππ
ππ
+
++
kde s je strana kužele, 2
21
2
)( rrvs −+=
KOULE
Povrch koule
Prostředky žáka základní školy:
Představme si, že kulovou plochu rozdělíme na 4 shodné části (např. jako když loupeme
pomeranč). Těmito částmi pokryjeme 4 kruhy o poloměru shodném s poloměrem koule.
Tedy jedna část má obsah πr2
a povrch celé koule je S = 4 πr2
.
Pomocí integrálního počtu:
y= x2 2-r
Koule vznikne rotací půlkruhu kolem osy x. Obecná rovnice kružnice o poloměru r je
x2
+y2
= r2
Derivace podle x: 2x + 2yy´ = 0
y´=
y
x
−
Obsah pláště rotačního tělesa, které vznikne rotací křivky kolem osy x je dám vztahem:
S = [ ]∫ +
b
a
dxxfxf
2
)´(1)(2π
Dosazením:
Růžena Blažková, Irena Budínová: Objemy a povrchy těles
7
S = ∫−
+⋅
r
r
dx
y
x
y 2
2
12π
Úpravou:
S = ∫∫∫ −−−
==+
r
r
r
r
r
r
dxrdxrdxyx πππ 222 222
S = 2 ⋅rπ 2r = 4 2
rπ
Objem koule
Prostředky žáka základní školy
Představme si, že na kouli můžeme rozdělit na jehlany, které mají podstavu na kulové
ploše a vrchol ve středu koule. Součet objemů všech takových jehlanů je roven objemu koule.
V = 32
3
4
4
3
1
rrr ππ =⋅⋅
Pomocí integrálního počtu:
Necháme-li rotovat půlkruh kolem osy x, dostaneme kouli.
Rovnice kružnice o poloměru r: x2
+y2
= r2
, pak 22
xry −=
V = ∫−
r
r
dxxf )(2
π =
2
22
)(∫−
−
r
r
xrπ dx = =− ∫∫ −−
dxxdxr
r
r
r
r
22
π
[ ] 3
4
333
333
33
3
2 rrr
rr
x
xr
r
r
r
r
π
πππ =





−−+=





−
−
−
Koule má tedy objem V = 3
3
4
rπ .
K výpočtu objemu koule můžeme využít i jiných postupů, např. pomocí trojného integrálu a
sférických souřadnic.
Literatura:
Kuřina, F., Hávová, J.: Matematika pro 9. ročník základní školy. Fortuna, Praha 1991