Konstrukce oboru integrity celých čísel (ℤ, +, . )


Na kartézském součinu ℕ x ℕ definujeme binární relaci   ~  (tzv.„ekvivalenci uspořádaných dvojic
přirozených čísel“):

[a,b] ~ [c,d]     a + d  =  b + c


Tato relace je reflexivní, symetrická a tranzitivní na množině ℕ x ℕ (dokažte).

Je tedy relací ekvivalence na ℕ x ℕ a vytváří rozklad množiny ℕ x ℕ na třídy navzájem
ekvivalentních dvojic přirozených čísel.


Rozklad množiny ℕ x ℕ vytvořený relací ~ nazýváme množinou všech celých čísel, ozn. ℤ.

Třídy rozkladu nazýváme  celá čísla.


Poznámka:

Celá čísla, tj. třídy rozkladu ℕ x ℕ, budeme označovat velkými tiskacími písmeny A, B, ..., nebo
pomocí kterékoli dvojice, která do této třídy patří:

Např.   A =  = {[0,1], [1,2], [2,3], .... , [10,11], ......} =  = ...

Můžeme též psát  [1,2]  A



Sčítání a násobení celých čísel:

Nechť celá čísla A, B jsou reprezentována uspořádanými dvojicemi [a,b], [c,d], tj.

A =  a  B = . Pak

- součet celých čísel A, B definujeme: A + B =  +  =

- součin celých čísel A, B definujeme: A ∙ B  =  ∙  =

Součet ani součin celých čísel nezávisí na volbě reprezentantů.


Algebraická struktura  (ℤ, +, ∙)  je obor integrity s jednotkovým prvkem.


Vlastnosti (ℤ, + , ∙ ) :

+  :  ND, A, K, ZR, EN, EI

∙   :  ND, A, K, EN

       ∙ D +

neexistují vlastní dělitelé nulového prvku


Nulový prvek (neutrální prvek vzhledem ke sčítání): O =  =  = {[0,0], [1,1], [2,2],....}

Jednotkový prvek (neutrální prvek vzhledem k násobení): J = = = {[1,0], [2,1], [3,2],...}


Opačné číslo  k celému číslu A = :    - A  =


Rozdíl A – B dvou celých čísel  A, B je celé číslo  X, pro které platí  A = B + X.

Je-li  A = ,  B = ,   je  X = .


USPOŘÁDÁNÍ  V MNOŽINĚ  VŠECH  CELÝCH  ČÍSEL


Kladná a záporná celá čísla


Definice: Celé číslo A =  nazveme

a)  kladným celým číslem, právě když    a > b,

b)  záporným celým číslem, právě když  a < b.



Označíme:      ℤ^ + -  množinu všech kladných celých čísel

                        ℤ^ -  -  množinu všech záporných celých čísel


Věta 1.

Pro každé celé číslo A nastane právě jedna ze tří možností:

A  je     -   kladné,  tj.  A  ℤ^ +

             -  záporné,  tj.  A  ℤ^ -

              - nulové,  tj.  A = O = .

Důkaz:

Tvrzení plyne z vlastnosti uspořádání přirozených čísel: Pro každá dvě přirozená čísla a, b nastane
právě jedna ze tří možností: a > b,  a = b,  a < b.


Množiny ℤ^ +,  ℤ^ - ,  {O} tedy vytvářejí rozklad množiny ℤ.



Věta 2.

a)      Součet libovolných dvou kladných celých čísel je kladné celé číslo.

b)      Součin libovolných dvou kladných celých čísel je kladné celé číslo.

^

Věta 3.

a)      Je-li   A  kladné celé číslo, pak číslo opačné  (-A) je záporné celé číslo.

b)      Je-li   A  záporné celé číslo, pak číslo opačné  (-A) je kladné celé číslo.


Pomocí vět 1. – 3. lze dokázat další vlastnosti kladných a záporných celých čísel.



Přirozené uspořádání množiny všech celých čísel – porovnávání celých čísel


Definice: Pro libovolná celá čísla A, B platí:   A > B    A – B  C^+  .


Tato relace je AS, T, SO, AR, tzn. je lineárním ostrým uspořádáním na množině C.

(důkaz viz učebnice s. 179)