KARDINÁLNÍ   ČÍSLA

Definice.
Třídu, do které patří množina A z neprázdného systému množin M  a všechny množiny z tohoto systému, které jsou s množinou A ekvivalentní, nazveme kardinální číslo množiny A.  Kardinální číslo množiny A budeme značit:   |A|

Poznámka:
Pro kardinální číslo množiny se užívá také pojmu mohutnost množiny.

Příklad:
V příkladu v minulé lekci relace ekvivalence množin rozložila zadaný systém množin 
A = {1, 2, 3},   B = {a, b, c},   C = {t, u},   D = {1, a, x, y},   E ={a},   F = {o, ×},   
G = {x, y, z},    N = {1, 2, 3, 4, .... },   P = {5, 10, 15, 20, ...},  H = {[t, t], [t, u]},   K = {o}.
na následující třídy: 
T1 = {A, B, G},     T2 = {C, F, H},      T3 = {E, K},     T4 = {D},     T5 = {N, P}.
Třída T1 je kardinálním číslem každé z množin A, B, G.  Můžeme psát T1 = |A| = |B| = |G|.
K označení třídy, tj. kardinálního čísla, si můžeme vybrat kteroukoli z množin patřících do této třídy. Každá z těchto množin dané kardinální číslo (danou třídu rozkladu) reprezentuje.
Třída T2 je kardinálním číslem množin C, F, H, tedy T2 = |C| = |F| = |H|.
T3 = |E|,  T5 = |N| = |P|,  atd.

Pro každé dvě množiny X, Y platí:  Kardinální čísla množin X, Y  se rovnají, právě když jsou množiny X, Y ekvivalentní.    |X| = |Y|   X ~ Y

Úkol:
Uvažujte systém všech množin M. 
a)	Zapište výčtem prvků alespoň dvě množiny, které mají stejné kardinální číslo jako množina D z předchozího příkladu.
b)	Zapište výčtem prvků množinu R tak, aby |R| = |L|, kde množina L = {t, u, v, x, y}.

Definice:
Kardinální čísla konečných množin nazveme  přirozenými čísly. 

Poznámka:
Kardinální číslo množiny L tedy nazveme „pět“ a označíme  |L| = 5.
Z uvedených příkladů je zřejmé, že kardinální číslo konečné množiny vyjadřuje společnou vlastnost této množiny a všech množin, které mají stejně prvků jako tato množina, tj. jsou stejně početné.

Definice.
Jestliže |A|  |B|  a množina A je ekvivalentní s vlastní podmnožinou množiny B, říkáme, že kardinální číslo množiny A je menší než kardinální číslo množiny B, píšeme  |A| |B|.

Příklad:
	Uvažujme množiny z minulého příkladu, 

tj. A = {1, 2, 3},   B = {a, b, c},   C = {t, u},   D = {1, a, x, y},   E ={a},   F = {o, ×},   
G = {x, y, z},    N = {1, 2, 3, 4, .... },   P = {5, 10, 15, 20, ...},  H = {[t, t], [t, u]},   K = {o}.
Platí např. |C| |B|, protože |C|  |B|  a  C je ekvivalentní např. s množinou {a, b}, což je pravá podmnožina množiny B.
|H| |D|, protože |D|  |H|  a  H ~ D*, D* D,  např. D* = {x, y}.

Ale pozor:  I když  P je pravou podmnožinou množiny N, je  |P| = |N|, protože  P ~ N. 

Sčítání a násobení kardinálních čísel

V dalším textu budeme pracovat se systémem množin M, který obsahuje prázdnou množinu, jednoprvkovou množinu, s každými dvěma množinami A, B i jejich sjednoceni AB a jejich kartézský součin A×B a také s každými dvěma množinami A,B  i množinu B*, která je s množinou B ekvivalentní (B ~ B*) a s množinou A disjunktní (AB =  Ø)

Definice.
Jestliže pro množiny A, B ze systému množin  M  platí A B =  Ø , pak 
součtem kardinálních čísel  |A|, |B|  rozumíme kardinální číslo sjednocení množin A, B,
 tj.   |A|  +  |B|  =  |AB| .

Příklad:
Vypočtěte součet kardinálních čísel 
a)	množin A, B, kde  A = {a, b, c},   B = {1, 2},
b)	množin A, B, kde  A = {a, b, c},   B = {a, x}.

Řešení:
a)	A B =  Ø,  tedy  |A|  +  |B|  =  |AB|, tj.  |A|  +  |B|  =  |{a, b, c, 1, 2}|   
 Srovnejte: |A| = 3,   |B| = 2,   3 + 2 = 5 = |AB|.
b)	A B  Ø, množiny A, B mají společný prvek. K určení součtu kardinálních čísel si tedy musíme zvolit jiného reprezentanta jednoho z kardinálních čísel, např. místo množiny B zvolíme jinou množinu, která je s ní ekvivalentní (tedy také má stejné kardinální číslo s B) a která je současně s tou druhou množinou (tedy s A) disjunktní (nemá s ní společné prvky):
Např. zvolíme  C =  .    Platí  C ~ B  a  AC =  Ø.
Pak |A| + |B|  =  |A| + |C|  =  |AC| , tj.
||  +  ||  =  ||  +  ||  =  | |  =  || . 
Srovnejte: |A| = 3,   |B| = |C| = 2,   3 + 2 = 5 = |AC|.

Definice.
Součinem kardinálních čísel  |A|, |B|  rozumíme kardinální číslo kartézského součinu množin A, B,  tj.  |A| ∙ |B|  =  |AB| .

Příklad:
Vypočtěte součet kardinálních čísel množin A, B,  kde  A = {a, b, c},   B = {a, x}.

Řešení:
|A| ∙ |B|  =  |AB|, tj.  |A| · |B|  =  |{[a,a], [a,x], [b,a], [b,x],[c,a], [c,x]}|    
Srovnejte: |A| = 3,   |B| = 2,   3 · 2  =  6  =  |AB| .
.