KARDINÁLNÍ   ČÍSLA



Definice.

Třídu, do které patří množina A z neprázdného systému množin M  a všechny množiny z tohoto systému,
které jsou s množinou A ekvivalentní, nazveme kardinální číslo množiny A.  Kardinální číslo množiny
A budeme značit:   |A|


Poznámka:

Pro kardinální číslo množiny se užívá také pojmu mohutnost množiny.


Příklad:

V příkladu v minulé lekci relace ekvivalence množin rozložila zadaný systém množin

A = {1, 2, 3},   B = {a, b, c},   C = {t, u},   D = {1, a, x, y},   E ={a},   F = {o, ×},

G = {x, y, z},    N = {1, 2, 3, 4, .... },   P = {5, 10, 15, 20, ...},  H = {[t, t], [t, u]},   K =
{o}.

na následující třídy:

T[1] = {A, B, G},     T[2] = {C, F, H},      T[3] = {E, K},     T[4] = {D},     T[5] = {N, P}.

Třída T[1] je kardinálním číslem každé z množin A, B, G.  Můžeme psát T[1] = |A| = |B| = |G|.

K označení třídy, tj. kardinálního čísla, si můžeme vybrat kteroukoli z množin patřících do této
třídy. Každá z těchto množin dané kardinální číslo (danou třídu rozkladu) reprezentuje.

Třída T[2] je kardinálním číslem množin C, F, H, tedy T[2] = |C| = |F| = |H|.

T[3] = |E|,  T[5] = |N| = |P|,  atd.


Pro každé dvě množiny X, Y platí:  Kardinální čísla množin X, Y  se rovnají, právě když jsou
množiny X, Y ekvivalentní.    |X| = |Y|   X ~ Y


Úkol:

Uvažujte systém všech množin M.

a)      Zapište výčtem prvků alespoň dvě množiny, které mají stejné kardinální číslo jako množina D
z předchozího příkladu.

b)      Zapište výčtem prvků množinu R tak, aby |R| = |L|, kde množina L = {t, u, v, x, y}.


Definice:

Kardinální čísla konečných množin nazveme  přirozenými čísly.


Poznámka:

Kardinální číslo množiny L tedy nazveme „pět“ a označíme  |L| = 5.

Z uvedených příkladů je zřejmé, že kardinální číslo konečné množiny vyjadřuje společnou vlastnost
této množiny a všech množin, které mají stejně prvků jako tato množina, tj. jsou stejně početné.



Definice.

Jestliže |A|  |B|  a množina A je ekvivalentní s vlastní podmnožinou množiny B, říkáme, že
kardinální číslo množiny A je menší než kardinální číslo množiny B, píšeme  |A|  |B|.


Příklad:

            Uvažujme množiny z minulého příkladu,



tj. A = {1, 2, 3},   B = {a, b, c},   C = {t, u},   D = {1, a, x, y},   E ={a},   F = {o, ×},

G = {x, y, z},    N = {1, 2, 3, 4, .... },   P = {5, 10, 15, 20, ...},  H = {[t, t], [t, u]},   K =
{o}.

Platí např. |C|  |B|, protože |C|  |B|  a  C je ekvivalentní např. s množinou {a, b}, což je pravá
podmnožina množiny B.

|H|  |D|, protože |D|  |H|  a  H ~ D^*, D^*  D,  např. D^* = {x, y}.


Ale pozor:  I když  P je pravou podmnožinou množiny N, je  |P| = |N|, protože  P ~ N.





Sčítání a násobení kardinálních čísel


V dalším textu budeme pracovat se systémem množin M, který obsahuje prázdnou množinu, jednoprvkovou
množinu, s každými dvěma množinami A, B i jejich sjednoceni A B a jejich kartézský součin A×B a
také s každými dvěma množinami A,B  i množinu B^*, která je s množinou B ekvivalentní (B ~ B^*) a
s množinou A disjunktní (A B =  Ø)


Definice.

Jestliže pro množiny A, B ze systému množin  M  platí A  B =  Ø , pak

součtem kardinálních čísel  |A|, |B|  rozumíme kardinální číslo sjednocení množin A, B,

 tj.   |A|  +  |B|  =  |A B| .



Příklad:

Vypočtěte součet kardinálních čísel

a)      množin A, B, kde  A = {a, b, c},   B = {1, 2},

b)      množin A, B, kde  A = {a, b, c},   B = {a, x}.


Řešení:

a)      A  B =  Ø,  tedy  |A|  +  |B|  =  |A B|, tj.  |A|  +  |B|  =  |{a, b, c, 1, 2}|

 Srovnejte: |A| = 3,   |B| = 2,   3 + 2 = 5 = |A B|.

b)      A  B  Ø, množiny A, B mají společný prvek. K určení součtu kardinálních čísel si tedy
musíme zvolit jiného reprezentanta jednoho z kardinálních čísel, např. místo množiny B zvolíme
jinou množinu, která je s ní ekvivalentní (tedy také má stejné kardinální číslo s B) a která je
současně s tou druhou množinou (tedy s A) disjunktní (nemá s ní společné prvky):

Např. zvolíme  C =  .    Platí  C ~ B  a  A C =  Ø.

Pak |A| + |B|  =  |A| + |C|  =  |A C| , tj.

| |  +  | |  =  | |  +  | |  =  |   |  =  | | .

Srovnejte: |A| = 3,   |B| = |C| = 2,   3 + 2 = 5 = |A C|.










Definice.

Součinem kardinálních čísel  |A|, |B|  rozumíme kardinální číslo kartézského součinu množin A, B,
tj.  |A| ∙ |B|  =  |A B| .




Příklad:

Vypočtěte součet kardinálních čísel množin A, B,  kde  A = {a, b, c},   B = {a, x}.


Řešení:

|A| ∙ |B|  =  |A B|, tj.  |A| · |B|  =  |{[a,a], [a,x], [b,a], [b,x],[c,a], [c,x]}|

Srovnejte: |A| = 3,   |B| = 2,   3 · 2  =  6  =  |A B| .

.