Určování vlastností operací
I. Určených předpisem – přímým výpočtem
II. Určených tabulkou:
ND – tabulka zcela vyplněna prvky množiny M
K – tabulka souměrná podle hlavní diagonály
A – kromě výjimek nelze z tabulky přímo poznat – viz dále
EN – existuje řádek a sloupec shodný se záhlavím tabulky
EI – v každém řádku a každém sloupci tabulky je neutrální prvek
ZR – v každém řádku i sloupci tabulky jsou všechny prvky množiny M
Užitečné vztahy: K  ND, A  ND, EI  EN (užívají se v obměněném
tvaru), A  (EI  ZR).
Určování asociativnosti z tabulek:
1. Pohledem (velmi zřídka)
2. Ověřením všech možných trojic prvků (s využitím cvičení 9 – 13, s. 123
– 124) (těžkopádné a zdlouhavé)
3. Využitím obměny implikace A  ND a implikace A  (EI  ZR)
4. Podle tvrzení: „ Operace, která splňuje EN  EI  ZR a současně není
asociativní, existuje na množině o nejméně pěti prvcích“.
Užití na příkladech:
ad 1. Např.
o a b c
a
b
c
a a a
a a a
a a a
ad 2. V písemných pracích se zpravidla nevyskytuje.
ad 3. Nejčastější případ – rozbor implikace A  (EI  ZR). Je-li u EI a
ZR rozdílná pravdivostní hodnota, pak operace není asociativní. Jsouli
u EI a ZR pravdivostní hodnoty 1, pak postupujeme podle bodu 4
(v písemných pracích jsou zadávány tabulky o maximálně čtyřech
prvcích). Jsou-li u EI a ZR pravdivostní hodnoty 0, pak je nutno
postupovat podle bodu 1 nebo 2. Zpravidla jde o bod 1, kdy určíme
asociativnost přímo z tabulky.
Př. Rozhodněte a zdůvodněte, které z vlastností ND, A, K, EN, EI, ZR má
v množině M =  cba ,, operace určená tabulkou:
⁕ a b c ○ a b c □ a b c ■ a b c
a a b a b a c a c a a a a b c
b a b c b c b a b c b b b a c
c b c b c a c b c a b c c c b a
⁕: ND  K  A  EN  EI  ZR
○: ND  K  A  EN  EI  ZR
□: ND  K  A  EN  EI  ZR
■: ND  K  A  EN  EI  ZR
Př. V množině M =  cba ,, definujte tabulkou aspoň jednu binární operaci, která
má vlastnosti:
a) K  EN b) ND K  EN c) ND EN EI d) A  ZR
e) K  EN  EI f) EI  ZR g) ND  A  EI  ZR
a) a b c b) a b c c) a b c d) a b c
a c c b a b a a a b a a a a a a
b a b c b c b b b a c b b a a a
c b c b c a b c c a b c c a a a
e) a b c f) a b c g) a b c
a a b a a b c a c a a
b a b c b b c a b a c b
c c c a c c a b c a b c