Základy matematiky — prověrka c — verze 04
Ze 40 bodů získejte co nejvíce, a určitě aspoň 20
1. a) (4 body) Nakreslete graf funkce f(x), která splňuje všechny následující vlastnosti současně: 1) Df = R — {0}; 2) / má lokální minimum pro x0 = 2; 3) / je lichá; 4) / není shora ohraničená na (0; 3), ale je zdola ohraničená na (0; 3); 5) /(l) = — 1; 6) pro x jdoucí do nekonečna se funkční hodnoty blíží k číslu 2.
b)   (4 body) Znázorněte šrafovaním v kartézském souřadném systému R x R relaci
x
p = {[x;y]:   cosx>y  A  y > —  A  x > 0}.
2. a)   (4 body) Nakreslete graf funkce f(x) =        určete Df, Hf.
b)   (4 body) Pro funkci / z části (a) najděte vzorec inverzní funkce / 1, určete Df 1, Hf 1
3. a)   (4 body) Najděte vzorec ROSTOUCÍ exponenciální funkce modifikované nějakými konkrétními konstantami, jejíž D f = R, H f = (—oo; 1):
/(*) =
b)   (4 body) Pro funkci / z části (a) nalezněte vzorec funkce inverzní, určete Df~ľ, Hf~ľ.
4. a)   (4 body) Nakreslete graf funkce f(x) = 0,5 • cos(0,5 • x + |) + 1, určete její Df, Hf a délku nejmenší periody.
b)   (4 body) V R řešte rovnici: cotgrr = —y/Š.
5. a)   (4 body) Dokončete symbolickým zápisem bez českých slov: Funkce / je prostá, když ...
b)   (4 body) Negujte co možná nejpodrobněji pomocí symbolického zápisu vlastnost z otázky (a): Funkce / není prostá, když ...
Základy matematiky — prověrka c — verze 05
Ze 40 bodů získejte co nejvíce, a určitě aspoň 20
1. a) (4 body) Nakreslete graf funkce f(x), která splňuje všechny následující vlastnosti současně: 1) D f = R; 2) / má lokální minimum pro x0 = 1; 3) / je sudá; 4) / není zdola ohraničená na (0;3); 5) pro x jdoucí do nekonečna se funkční hodnoty blíží k číslu 0.
b)   (4 body) Znázorněte šrafovaním v kartézském souřadném systému R x R relaci
p = {[x;y]:   tgx > y  A  y<2 — x  A y>0}.
2. a)   (4 body) Najděte vzorec mocninné funkce, jejíž Df = R — { — 1}, H f = R — {2}.
b)   (4 body) Pro funkci / z části (a) najděte vzorec inverzní funkce        určete Df~ľ, Hf~ľ.
3. a)   (4 body) Pro f {x) = 2 • log05(x — 1) nakreslete graf, určete D f, H f.
b)   (4 body) Pro funkci / z části (a) nalezněte vzorec funkce inverzní, určete D f 1, H f 1 a nakreslete graf.
4. a)   (4 body) Nakreslete graf funkce f(x) = 2 • sin(4x — |), určete Df, Hf a lokální minima funkce /.
b)   (4 body) Pokud byste chtěli vytvořit funkci inverzní k funkci z části(a), na který interval musíte omezit Df? VYJÁDŘETE TUTO INVERZNÍ FUNKCI VZORCEM.
5. a)   (4 body) Dokončete symbolickým zápisem bez českých slov: Funkce / je shora ohraničená, když ...
b)   (4 body) Negujte co možná nejpodrobněji pomocí symbolického zápisu vlastnost z otázky (a): Funkce / není shora ohraničená, když ...