MASARYKOVA UNIVERZITA
PEDAGOGICKÁ FAKULTA
Katedra matematiky
Soustavy lineárních rovnic a jejich řešení
na různých stupních škol
Bakalářská práce
Brno 2022
Vedoucí práce: Autor práce:
Mgr. Irena Budínová, Ph.D. Andrea Danešová
2
Bibliografický záznam
Danešová, A. (2022). Soustavy lineárních rovnic a jejich řešení na různých stupních škol.
Brno: Masarykova univerzita, Fakulta pedagogická, Katedra matematiky. 71 s. Vedoucí
práce: Mgr. Irena Budínová, Ph.D.
3
Anotace
Bakalářská práce se zabývá soustavami lineárních algebraických rovnic s důrazem na
představení různých metod jejich řešení. První část shrnuje teoretické poznatky
o maticích, determinantech a soustavách lineárních algebraických rovnic. Druhá, stěžejní
část se věnuje popisu metod používaných k řešení soustav na základních, středních
a vysokých školách. Všechny metody jsou demonstrovány na řešených příkladech.
Klíčová slova
soustava lineárních rovnic, matice, determinant, řešení soustavy
4
Annotation
This bachelor thesis focuses on systems of linear algebraic equations with emphasis on
introducing various solving processes. The first part summarizes theoretical knowledge
about matrices, determinants and systems of linear algebraic equations. The second and
pivotal part describes algorithms for solving the systems at lower and upper secondary
schools and universities. All the algorithms are demonstrated on solved problems.
Keywords
system of linear equations, matrix, determinant, solution of a linear system
5
Čestné prohlášení
Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci Soustavy lineárních rovnic a jejich řešení na
různých stupních škol zpracovala samostatně, s využitím pouze citovaných pramenů,
dalších informací a zdrojů v souladu s Disciplinárním řádem pro studenty Pedagogické
fakulty Masarykovy univerzity a se zákonem č. 121/2000 Sb., o právu autorském,
o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský
zákon), ve znění pozdějších předpisů.
V Brně dne 20. dubna 2022 …………………
Andrea Danešová
6
Poděkování
Na tomto místě bych ráda poděkovala Mgr. Ireně Budínové, Ph.D. za odborné vedení,
cenné rady, příjemnou spolupráci a vstřícnost při tvorbě bakalářské práce.
7
Obsah
Úvod.................................................................................................................................. 8
1. Matice ......................................................................................................................... 10
1.1 Základní pojmy ..................................................................................................... 10
1.2 Speciální druhy matic............................................................................................ 11
1.3 Základní operace s maticemi................................................................................. 11
1.4 Hodnost matice a elementární úpravy matice ....................................................... 13
1.5 Inverzní matice...................................................................................................... 14
2. Determinanty .............................................................................................................. 18
2.1 Pořadí a permutace................................................................................................ 18
2.2 Determinanty a jejich vlastnosti............................................................................ 19
2.3 Výpočet inverzní matice pomocí determinantu .................................................... 25
3. Soustavy lineárních rovnic.......................................................................................... 27
3.1 Ekvivalentní úpravy soustav lineárních rovnic..................................................... 28
3.2 Řešitelnost soustav lineárních rovnic.................................................................... 29
4. Řešení soustav lineárních rovnic na základní škole.................................................... 32
4.1 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými ....................................... 32
4.2 Metoda dosazovací................................................................................................ 32
4.3 Metoda sčítací ....................................................................................................... 36
4.4 Metoda porovnávací.............................................................................................. 38
4.5 Grafické řešení ...................................................................................................... 39
4.6 Slovní úlohy .......................................................................................................... 43
5. Řešení soustav lineárních rovnic na střední škole ...................................................... 49
5.1 Soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými.............................................. 49
5.2 Gaussova eliminační metoda................................................................................. 54
6. Řešení soustav lineárních rovnic na vysoké škole...................................................... 60
6.1 Gaussova a Jordanova eliminační metoda ............................................................ 60
6.2 Cramerovo pravidlo .............................................................................................. 62
6.3 Řešení soustav pomocí inverzní matice ................................................................ 66
Závěr ............................................................................................................................... 68
Použitá literatura............................................................................................................. 69
Seznam obrázků.............................................................................................................. 71
8
Úvod
Bakalářská práce se věnuje soustavám lineárních algebraických rovnic a metodám jejich
řešení. Jedná se o důležité téma, jelikož se prolíná téměř všemi stupni škol a o schopnost
řešit soustavy lineárních rovnic se opírají i další oblasti matematiky. S řešením těchto
soustav se můžeme setkat i v různých situacích běžného života a v oborech jako jsou
ekonomie, chemie a fyzika. Zájem autorky o téma je podmíněn přáním okusit profesi
učitele jak na druhém stupni základní školy, tak na střední škole, přičemž řešení soustav
lineárních rovnic je součástí učiva na obou těchto stupních.
Hlavním zaměřením práce je popis možných způsobů řešení soustav lineárních
algebraických rovnic, tak jak jsou probírány na jednotlivých stupních škol. Cílem práce
je tedy poskytnout ucelený přehled metod, které se používají k řešení soustav lineárních
algebraických rovnic na základních, středních a vysokých školách.
První část práce obsahuje tři kapitoly shrnující teoretické poznatky nejen o soustavách
lineárních rovnic, ale také o maticích a determinantech. Soustavy lineárních rovnic jsou
s maticemi neoddělitelně svázány, proto je jim v práci věnována značná pozornost.
Kapitola o determinantech je zařazena zejména z důvodu jejich použití v rámci jedné
popisované metody řešení soustav a také možnosti využití pro určení počtu řešení
soustav.
Druhá část práce se skládá ze tří kapitol a popisuje různé metody používané k řešení
soustav lineárních rovnic. Možných způsobů řešení je mnoho, práce se věnuje těm, které
jsou běžně vyučovány na jednotlivých stupních škol. Čtvrtá kapitola popisuje metody,
které se žáci učí používat na druhém stupni základních škol, pátá kapitola metody
vyučované na středních školách. Tyto kapitoly jsou psány tak, aby jim porozuměli
a mohli je použít jako studijní materiál žáci těchto stupňů škol. Z důvodu možného
využití jako studijní materiál je v rámci kapitoly o řešení soustav na základních školách
zařazena i podkapitola o slovních úlohách řešených pomocí soustav lineárních rovnic.
Šestá kapitola popisuje metody řešení soustav, které jsou probírány na vysokých školách.
Tato kapitola se ve velké míře opírá právě o poznatky uvedené v prvních třech
teoretických kapitolách.
9
Práce může být využita jako studijní materiál studenty, kteří se chtějí věnovat studiu
matic, determinantů a soustav, zejména však těm, kteří mají zájem naučit se, zopakovat
si nebo pořádně porozumět různým metodám řešení soustav lineárních rovnic.
10
1. Matice
První tři kapitoly shrnují teoretické poznatky o maticích, determinantech a soustavách
lineárních algebraických rovnic. Dále již budeme používat pouze označení soustavy
lineárních rovnic, ovšem po celou dobu budeme mít na mysli lineární algebraické rovnice.
Vycházíme zejména z publikací Lineární algebra (Bečvář, 2005), Lineární algebra
a geometrie (Bican, 2009) a Lineární algebra. Učební text (Horák & Janyška, 2022). Dále
jsou poznatky čerpány z Úvodu do algebry, zejména lineární (Olšák, 2013) a publikace
Matematika – lineární algebra (Černá, 2007). Kompletní seznam literatury je uveden na
konci práce.
1.1 Základní pojmy
Definice 1.1: Maticí typu 𝑚 × 𝑛 nad tělesem 𝑇, kde 𝑚, 𝑛 jsou přirozená čísla, rozumíme
obdélníkové schéma tvaru
𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 ⋯ 𝑎 𝑚𝑛
),
kde 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑇 pro každé 𝑖 = 1, … , 𝑚 a 𝑗 = 1, … , 𝑛. Čísla 𝑎𝑖𝑗 se nazývají prvky matice 𝐴,
které leží v jejím 𝑖-tém řádku a 𝑗-tém sloupci. Matici můžeme také označovat
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑚×𝑛 nebo jen 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗).
Jestliže 𝑚 ≠ 𝑛, pak hovoříme o obdélníkové matici. Jestliže 𝑚 = 𝑛, pak se jedná o matici
čtvercovou. O čtvercové matici, která má 𝑛 řádků a 𝑛 sloupců pak říkáme, že je to matice
řádu nebo též stupně 𝑛.
Matice 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) a 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) se rovnají, jsou-li stejného typu 𝑚 × 𝑛, tedy mají stejný
počet řádků a sloupců, a jestliže 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 pro všechna 𝑖 = 1, … , 𝑚 a 𝑗 = 1, … , 𝑛.
Prvky matice 𝐴 typu 𝑚 × 𝑛 𝑎11, 𝑎22, 𝑎33, … , 𝑎 𝑘𝑘, kde 𝑘 = min⁡( 𝑚, 𝑛) tvoří hlavní
diagonálu matice. Prvky čtvercové matice 𝐴 řádu 𝑛 𝑎1𝑛, 𝑎2,𝑛−1, 𝑎3,𝑛−2, … , 𝑎 𝑛1 tvoří
vedlejší diagonálu matice.
11
1.2 Speciální druhy matic
Definice 1.2: Matice 𝐴, která se sestává ze samých nul, tj. 𝑎𝑖𝑗 = 0 pro všechna
𝑖 = 1, . . . , 𝑚 a 𝑗 = 1, … , 𝑛, se nazývá nulová matice.
Definice 1.3: Matice 𝐴, jejíž všechny prvky, které neleží na hlavní diagonále, jsou rovny
nule, se nazývá diagonální matice.
Definice 1.4: Čtvercová matice 𝐴, jejíž všechny prvky ležící na hlavní diagonále jsou
rovny jedné a všechny ostatní prvky jsou rovny nule, se nazývá jednotková matice.
Jednotkovou matici označujeme 𝐸.
Definice 1.5: Matice 𝐴 je ve schodovitém tvaru, jestliže každý její nenulový řádek začíná
větším počtem nul než řádek předcházející. Všechny prvky pod hlavní diagonálou jsou
tedy rovny nule. Takovéto matici se říká také horní trojúhelníková matice.
Definice 1.6: Matice 𝐴 se nazývá dolní trojúhelníková matice, jestliže má nad hlavní
diagonálou samé nuly.
Definice 1.7: Matice, která vznikne z matice 𝐴 vzájemnou výměnou řádků za sloupce, se
nazývá transponovaná matice k matici 𝐴. Transponovanou matici označujeme 𝐴 𝑇
.
Definice 1.8: Čtvercová matice 𝐴 se nazývá symetrická, jestliže 𝐴 = 𝐴 𝑇
.⁡
Definice 1.9: Čtvercová matice 𝐴 se nazývá antisymetrická, jestliže 𝐴 = −𝐴 𝑇
.
1.3 Základní operace s maticemi
V této kapitole popíšeme základní operace s maticemi. Nejprve definujme součet a rozdíl
matic, které je možné provádět pouze s maticemi stejného typu. Operace provádíme po
složkách.
Definice 1.10: Nechť 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) a 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) jsou matice stejného typu 𝑚 × 𝑛 nad
tělesem 𝑇. Součtem matic 𝐴 a 𝐵 rozumíme matici 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗) téhož typu 𝑚 × 𝑛, pro kterou
platí 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 pro všechna 𝑖 = 1, … , 𝑚 a 𝑗 = 1, … , 𝑛.
Rozdílem matic 𝐴 a 𝐵 rozumíme matici 𝐷 = (𝑑𝑖𝑗) téhož typu 𝑚 × 𝑛, pro kterou platí
𝑑𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗 pro všechna 𝑖 = 1, … , 𝑚 a 𝑗 = 1, … , 𝑛.
12
Příklad 1.1: 𝐴 = (
3 1
0 2
) , 𝐵 = (
1 0
2 3
)
𝐴 + 𝐵 = (
3 + 1 1 + 0
0 + 2 2 + 3
) = (
4 1
2 5
) 𝐴 − 𝐵 = (
3 − 1 1 − 0
0 − 2 2 − 3
) = (
2 1
−2 −1
)
Dále můžeme definovat násobení matice libovolným reálným číslem.
Definice 1.11: Nechť 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) je matice typu 𝑚 × 𝑛 a 𝑘 je libovolné reálné číslo.
Násobením matice 𝐴 číslem 𝑘 získáme matici 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗), pro kterou platí 𝑏𝑖𝑗 = 𝑘 ∙ 𝑎𝑖𝑗⁡pro
všechna 𝑖 = 1, … , 𝑚 a 𝑗 = 1, … , 𝑛.
Příklad 1.2: 𝐴 = (
2 1
0 3
)
2 ∙ 𝐴 = (
2 ∙ 2 2 ∙ 1
2 ∙ 0 2 ∙ 3
) = (
4 2
0 6
)
Poslední operací je součin matic, který je možné provádět pouze s maticemi specifického
typu, a to takovými, že první matice má stejný počet sloupců jako druhá matice řádků.
Definice 1.12: Nechť 𝐴 = (𝑎𝑖𝑠) je matice typu 𝑚 × 𝑛 a 𝐵 = (𝑏𝑠𝑗) je matice typu 𝑛 × 𝑝
nad tělesem 𝑇. Součinem matic 𝐴 a 𝐵 rozumíme matici 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗) typu 𝑚 × 𝑝, kde
𝑐𝑖𝑗 = ∑ 𝑎𝑖𝑠 𝑏𝑠𝑗
𝑛
𝑠=1 pro všechna 𝑖 = 1, … , 𝑚 a 𝑗 = 1, … , 𝑝.
Příklad 1.3: 𝐴 = (
1 4
2 3
) , 𝐵 = (
2 0 3
0 1 2
)⁡⁡
𝐴 ∙ 𝐵 = (
1 ∙ 2 + 4 ∙ 0 1 ∙ 0 + 4 ∙ 1 1 ∙ 3 + 4 ∙ 2
2 ∙ 2 + 3 ∙ 0 2 ∙ 0 + 3 ∙ 1 2 ∙ 3 + 3 ∙ 2
) = (
2 4 11
4 3 12
)⁡
Věta 1.1: Pro sčítání a násobení matic platí následující vlastnosti:
1. Sčítání matic je asociativní a komutativní.
2. Násobení matic je asociativní.
3. Násobení matic není komutativní.
4. Násobení matic je distributivní vzhledem ke sčítání.
Důkaz:
1. Nechť 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗), 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗), 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗) jsou matice stejného typu, pak platí:
(𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) a 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴. Tyto vlastnosti vyplývají
13
z asociativního a komutativního zákona pro operaci sčítání v tělese 𝑇. Prvky na
místě 𝑖𝑗 v maticích v první rovnosti jsou rovny: (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗) + 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 +
+⁡(𝑏𝑖𝑗 + 𝑐𝑖𝑗) a v druhé rovnosti: 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 + 𝑎𝑖𝑗.
2. Nechť 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) je matice typu 𝑚 × 𝑛, 𝐵 = (𝑏𝑗𝑟) je matice typu 𝑛 × 𝑝
a 𝐶 = (𝑐 𝑟𝑠)⁡je matice typu 𝑝 × 𝑞. Pak typ matice 𝐴 ∙ 𝐵 je 𝑚 × 𝑝 a typ matice
(𝐴 ∙ 𝐵) ∙ 𝐶 je 𝑚 × 𝑞. Typ matice 𝐵 ∙ 𝐶 je 𝑛 × 𝑞 a potom typ matice 𝐴 ∙ (𝐵 ∙ 𝐶) je
𝑚 × 𝑞. Matice (𝐴 ∙ 𝐵) ∙ 𝐶 a 𝐴 ∙ (𝐵 ∙ 𝐶) jsou tedy stejného typu, musíme ještě
dokázat, že jejich prvky na týchž pozicích jsou si rovny. Matice (𝐴 ∙ 𝐵) ∙ 𝐶 má na
místě 𝑖𝑠 prvek ∑ (∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑗𝑟
𝑛
𝑗=1 )𝑐 𝑟𝑠
𝑝
𝑟=1 a matice 𝐴 ∙ (𝐵 ∙ 𝐶) má na místě 𝑖𝑠 prvek
∑ 𝑎𝑖𝑗(∑ 𝑏𝑗𝑟 𝑐 𝑟𝑠
𝑝
𝑟=1 )𝑛
𝑗=1 . Podle distributivního zákona pro operace sčítání
a násobení v tělese 𝑇 platí: ∑ (∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑗𝑟
𝑛
𝑗=1 )𝑐 𝑟𝑠
𝑝
𝑟=1 = ∑ 𝑎𝑖𝑗(∑ 𝑏𝑗𝑟 𝑐 𝑟𝑠
𝑝
𝑟=1 )𝑛
𝑗=1 .
Dohromady tedy (𝐴 ∙ 𝐵) ∙ 𝐶 = 𝐴 ∙ (𝐵 ∙ 𝐶).
3. Např. pro matice 𝐴 = (
1 2
0 3
) a 𝐵 = (
0 3
2 1
) je 𝐴 ∙ 𝐵 = (
4 5
6 3
)
a 𝐵 ∙ 𝐴 = (
0 9
2 7
), obecně tedy 𝐴 ∙ 𝐵 ≠ 𝐵 ∙ 𝐴. Existují ovšem matice, pro které
se oba součiny rovnají, takové matice nazýváme záměnné nebo komutující.
4. Nechť 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) je matice typu 𝑚 × 𝑛, 𝐵 = (𝑏𝑗𝑟) je matice typu 𝑛 × 𝑝
a 𝐶 = (𝑐𝑗𝑟) je matice typu 𝑛 × 𝑝. Prvek 𝑑𝑖𝑟⁡matice 𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐶) na místě 𝑖𝑟 je
roven ∑ 𝑎𝑖𝑗(𝑏𝑗𝑟 + 𝑐𝑗𝑟) =𝑛
𝑗=1 ∑ (𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑗𝑟 + 𝑎𝑖𝑗 𝑐𝑗𝑟) =𝑛
𝑗=1 ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑗𝑟 + ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑐𝑗𝑟
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑗=1 .
Přičemž ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑗𝑟 + ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑐𝑗𝑟
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑗=1 je rovno také prvku matice 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶 na
místě 𝑖𝑟. Tedy platí rovnost: 𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐶) = ⁡𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶. ∎
Věta 1.2: Nechť 𝐸 je jednotková matice řádu 𝑛, pak pro každou matici 𝐴 typu 𝑛 × 𝑚
platí 𝐸 ∙ 𝐴 = 𝐴 a pro každou matici 𝐵 typu 𝑚 × 𝑛 platí 𝐵 ∙ 𝐸 = 𝐵.
Tato vlastnost plyne přímo z definic jednotkové matice a součinu matic.
1.4 Hodnost matice a elementární úpravy matice
Důležitým pojmem, souvisejícím s maticemi, je jejich hodnost. Na definici se dá nahlížet
z více pohledů, pro účely této práce se nejvíce hodí tato:
14
Definice 1.13: Hodnost matice 𝐴 je takové číslo, které udává největší počet lineárně
nezávislých řádků matice. Hodnost matice 𝐴 označujeme ℎ(𝐴) nebo též ℎ𝑜𝑑(𝐴).
Řádky 𝑟1, … , 𝑟𝑘 matice 𝐴 jsou lineárně nezávislé, pokud žádný z nich není možné vyjádřit
jako lineární kombinaci ostatních řádků. Přičemž řádek je lineární kombinací ostatních
řádků, pokud existují 𝑐1, … , 𝑐 𝑘 ∈ 𝑇 takové, že 𝑟𝑖 = 𝑐1 𝑟1 + ⋯ + 𝑐𝑖−1 𝑟𝑖−1 + 𝑐𝑖+1 𝑟𝑖+1 +
+ ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑟𝑘. V opačném případě se jedná o lineárně závislé řádky.
Poznámka: Hodnost matice lze definovat také jako největší počet jejích lineárně
nezávislých sloupců. Počet lineárně nezávislých řádků a lineárně nezávislých sloupců
matice je tedy stejný.
Chceme-li určit hodnost matice, převedeme ji do schodovitého tvaru pomocí
elementárních řádkových úprav, které nemění hodnost matice. Hodnost matice je pak
rovna počtu nenulových řádků matice ve schodovitém tvaru.
Definice 1.14: Elementárními řádkovými úpravami matice 𝐴 nad tělesem 𝑇 se rozumí
následující úpravy:
1. libovolná záměna pořadí řádků,
2. vynásobení libovolného řádku nenulovým číslem z 𝑇,
3. přičtení jednoho řádku vynásobeného libovolným číslem z 𝑇 k jinému řádku.
Poznámka: Tytéž úpravy lze provádět také se sloupci matice 𝐴, pak hovoříme
o elementárních sloupcových úpravách matice 𝐴.
Definice 1.15: Čtvercová matice 𝐴 řádu 𝑛 se nazývá regulární, pokud ℎ(𝐴) = 𝑛.
Čtvercová matice 𝐴 řádu 𝑛 se nazývá singulární, pokud ℎ(𝐴) < 𝑛.
1.5 Inverzní matice
Později se v této práci budeme zabývat metodami, pomocí kterých se řeší soustavy
lineárních rovnic. Jedna z metod, které představíme, využívá inverzní matici, proto tento
pojem nyní definujeme a popíšeme, jakým způsobem inverzní matici nalezneme.
Definice 1.16: Nechť 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) je čtvercová matice řádu 𝑛. Inverzní maticí k matici 𝐴
rozumíme matici 𝐴−1
, pro kterou platí: 𝐴 ∙ 𝐴−1
= 𝐴−1
∙ 𝐴 = 𝐸.
15
Věta 1.3: Pokud k matici 𝐴 existuje inverzní matice, pak je tato inverzní matice určena
jednoznačně.
Důkaz: Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že k matici 𝐴 existují dvě inverzní
matice 𝐴1
−1
a 𝐴2
−1
, přičemž 𝐴1
−1
≠ 𝐴2
−1
. Z definice pro tyto matice platí: 𝐴 ∙ 𝐴1
−1
=
= 𝐴1
−1
∙ 𝐴 = 𝐸 a 𝐴 ∙ 𝐴2
−1
= 𝐴2
−1
∙ 𝐴 = 𝐸. Odtud 𝐴1
−1
= 𝐴1
−1
∙ 𝐸 = 𝐴1
−1
∙ (𝐴 ∙ 𝐴2
−1) =
= (𝐴1
−1
∙ 𝐴) ∙ 𝐴2
−1
= 𝐸 ∙ 𝐴2
−1
= 𝐴2
−1
. Dostali jsme rovnost 𝐴1
−1
= 𝐴2
−1
, což je spor
s původním tvrzením. ∎
Věta 1.4: Ke čtvercové matici 𝐴 řádu 𝑛 existuje inverzní matice právě tehdy, když
ℎ(𝐴) = 𝑛 (tedy právě tehdy, když 𝐴 je regulární matice).
Důkaz této věty vyžaduje znalosti o determinantech, proto jej na tomto místě nebudeme
provádět, ovšem vrátíme se k němu v kapitole 2.3.
Na základě věty 1.4 můžeme vyslovit větu o součinu regulárních matic.
Věta 1.5: Nechť matice 𝐴 a 𝐵 jsou čtvercové regulární matice řádu 𝑛. Pak také matice
𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 je regulární matice řádu 𝑛.
Důkaz: Matice 𝐶 je čtvercová matice řádu 𝑛, což plyne z definice součinu matic.
V souladu s větou 1.4 existují k maticím 𝐴 a 𝐵 inverzní matice 𝐴−1
a 𝐵−1
. Ukážeme, že
k matici 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 existuje inverzní matice, která má tvar 𝐵−1
∙ 𝐴−1
:
(𝐵−1
∙ 𝐴−1) ∙ (𝐴 ∙ 𝐵) = 𝐵−1
∙ (𝐴−1
∙ 𝐴) ∙ 𝐵 = 𝐵−1
∙ 𝐸 ∙ 𝐵 = 𝐵−1
∙ 𝐵 = 𝐸,
(𝐴 ∙ 𝐵) ∙ (𝐵−1
∙ 𝐴−1) = 𝐴 ∙ (𝐵 ∙ 𝐵−1) ∙ 𝐴−1
= 𝐴 ∙ 𝐸 ∙ 𝐴−1
= 𝐴 ∙ 𝐴−1
= 𝐸.
Matice tvaru 𝐵−1
∙ 𝐴−1
je skutečně inverzní maticí k matici 𝐴 ∙ 𝐵. Na základě věty 1.4 je
tedy matice 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 regulární. ∎
K nalezení inverzní matice slouží metoda eliminace. Než metodu popíšeme, je potřeba
objasnit, že všechny elementární řádkové úpravy matice 𝐴 je možné reprezentovat
vynásobením matice zleva jistou regulární maticí. Tato skutečnost vychází z principu
násobení matic. Matici 𝐵1, která je shodná s maticí 𝐴, pouze má prohozený 𝑖-tý a 𝑗-tý
řádek, získáme vynásobením matice 𝐴 zleva maticí 𝑃1, která má podobu jednotkové
matice, pouze má prohozený 𝑖-tý a 𝑗-tý řádek.
16
Příklad 1.4: (
1 0 0
0 0 1
0 1 0
) ∙ (
1 0 2
2 1 0
0 0 3
) = (
1 0 2
0 0 3
2 1 0
)
Matici 𝐵2, která je shodná s maticí 𝐴, pouze má 𝑖-tý řádek vynásobený číslem 𝑐, získáme
vynásobením matice 𝐴 zleva maticí 𝑃2, která má podobu jednotkové matice, jen má 𝑖-tý
řádek vynásobený číslem 𝑐.
Příklad 1.5: (
4 0 0
0 1 0
0 0 1
) ∙ (
1 0 2
2 1 0
0 0 3
) = (
4 0 8
2 1 0
0 0 3
)
Matici 𝐵3, která je shodná s maticí 𝐴, ovšem na místě 𝑖-tého řádku má jeho součet s 𝑐násobkem
𝑗-tého řádku, získáme vynásobením matice 𝐴 zleva maticí 𝑃3, která má podobu
jednotkové matice, pouze má na 𝑖-tém řádku v 𝑗-tém sloupci číslo 𝑐.
Příklad 1.6: (
1 0 0
0 1 0
0 2 1
) ∙ (
1 0 2
2 1 0
0 0 3
) = (
1 0 2
2 1 0
4 2 3
)
Věta 1.6: Nechť matice 𝐵 vznikne z matice 𝐴 konečným počtem elementárních
řádkových úprav (označujeme 𝐴⁡~⁡𝐵). Pak existuje regulární čtvercová matice 𝑃 taková,
že 𝐵 = 𝑃 ∙ 𝐴.
Důkaz: Výše jsme uvedli, že jednotlivé elementární řádkové úpravy matice lze
reprezentovat vynásobením matice jistou regulární maticí zleva. Matice 𝐵 vznikla
z matice 𝐴 po 𝑘 elementárních řádkových úpravách, proto existují regulární matice
𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑘, takové, že 𝐵 = 𝑃𝑘 ∙ (𝑃𝑘−1 ∙ … ∙ (𝑃2 ∙ (𝑃1 ∙ 𝐴)) … ) = (𝑃𝑘 ∙ 𝑃𝑘−1 ∙ … ∙ 𝑃2 ∙
∙ 𝑃1) ∙ 𝐴 = 𝑃 ∙ 𝐴. Výsledná matice 𝑃 je regulární, jelikož všechny matice 𝑃1, … , 𝑃𝑘 jsou
regulární a součinem regulárních matic je opět matice regulární. ∎
Poznámka: Elementární sloupcové úpravy lze taktéž reprezentovat násobením matice
jistou regulární maticí, a to násobením zprava. Větu 1.6 lze tedy přeformulovat takto:
Nechť matice 𝐵 vznikne z matice 𝐴 konečným počtem elementárních sloupcových úprav.
Pak existuje regulární čtvercová matice 𝑄 taková, že 𝐵 = 𝐴 ∙ 𝑄.
Nyní přistoupíme k větě, která popisuje vztah pro určení inverzní matice. Budeme
pracovat s rozšířenou maticí, což je matice, kterou získáme, když vedle prvků jedné
matice napíšeme prvky druhé matice se stejným počtem řádků a prvky obou matic
oddělíme pro přehlednost svislou čárou. Rozšířenou matici vytvořenou z matic 𝐴 a 𝐵
17
označujeme jako (𝐴|𝐵). Veškeré řádkové úpravy pak provádíme s touto maticí jako
celkem.
Věta 1.7: Nechť 𝐴 je regulární matice a konečným počtem elementárních řádkových
úprav rozšířené matice (𝐴|𝐸) získáme matici (𝐸|𝐵), pak 𝐵 = 𝐴−1
.
Důkaz: Podle věty 1.6 existuje čtvercová matice 𝑃 taková, že ⁡(𝐸|𝐵) = (𝑃 ∙ 𝐴|𝑃 ∙ 𝐸).
Pro matici 𝑃 platí: 𝑃 ∙ 𝐴 = 𝐸. Matice 𝐴 je regulární, tudíž k ní dle věty 1.4 existuje
inverzní matice 𝐴−1
. Vynásobením rovnice 𝑃 ∙ 𝐴 = 𝐸 touto inverzní maticí zprava
dostaneme: (𝑃 ∙ 𝐴) ∙ 𝐴−1
= 𝐸 ∙ 𝐴−1
, pak 𝑃 ∙ (𝐴 ∙ 𝐴−1) = 𝐴−1
, tj. 𝑃 = 𝐴−1
. Matice 𝑃 je
tedy inverzní maticí k matici 𝐴. Matice 𝐵 je dána vztahem: 𝐵 = 𝑃 ∙ 𝐸, tedy 𝐵 = 𝑃, proto
je matice 𝐵 inverzní maticí k matici 𝐴. ∎
Na základě věty 1.7 můžeme shrnout postup výpočtu inverzní matice 𝐴−1
k regulární
matici 𝐴. Do rozšířené matice napíšeme napravo od matice 𝐴 jednotkovou matici 𝐸
a pomocí elementárních řádkových úprav převedeme matici (𝐴|𝐸) na matici, která má na
levé straně matici 𝐸, tedy na (𝐸|𝐵). Matice 𝐵, která vznikne na pravé straně rozšířené
matice, je inverzní maticí k matici 𝐴.
18
2. Determinanty
Následující kapitola se zabývá determinanty. Než však přistoupíme k jejich definici
a vlastnostem, vymezme nejprve pojmy pořadí a permutace.
2.1 Pořadí a permutace
Definice 2.1: Nechť 𝑀 = {1, 2, … , 𝑛} je konečná množina o 𝑛 prvcích. Pak libovolná
uspořádaná 𝑛-tice utvořená ze všech prvků množiny 𝑀 se nazývá pořadí z 𝑛 prvků
1, 2, … , 𝑛.
Definice 2.2: Nechť 𝑅 = (𝑟1, … , 𝑟𝑛) je libovolné pořadí. Inverzí v pořadí rozumíme
každou dvojici přirozených čísel 𝑟𝑖, 𝑟𝑗 v pořadí 𝑅 takovou, pro kterou platí 𝑖 < 𝑗
a současně 𝑟𝑖 > 𝑟𝑗. Inverze v pořadí je tedy taková dvojice čísel, ve které větší číslo
předchází menšímu.
Pořadí 𝑅 se nazývá sudé, jestliže celkový počet jeho inverzí je sudé číslo. Pořadí 𝑅 se
nazývá liché, jestliže celkový počet jeho inverzí je liché číslo. Při rozhodování, zda je
pořadí liché nebo sudé, určujeme paritu pořadí.
Definice 2.3: Nechť 𝑀 = {1, 2, … , 𝑛} je konečná množina o 𝑛 prvcích. Permutací
množiny 𝑀 rozumíme bijektivní zobrazení 𝑃 množiny 𝑀 na sebe sama.
Permutaci 𝑃, definovanou předpisem 𝑃(𝑖) = 𝑗𝑖 pro každé 𝑖 = 1, … , 𝑛, budeme zapisovat
ve tvaru tabulky
𝑃 = (
1 2 ⋯ 𝑛
𝑗1 𝑗2 ⋯ 𝑗 𝑛
),
kde horní i dolní řádek představují vždy nějaké pořadí z 𝑛 prvků. Permutaci lze uvést
i v takovém tvaru, kde horní čísla nejsou uvedena vzestupně podle velikosti. Zápis, kde
horní čísla uspořádána vzestupně jsou, nazýváme základní tvar.
Z kombinatoriky je známo, že celkový počet permutací 𝑛-prvkové množiny je 𝑛!.
Množinu všech permutací 𝑛-prvkové množiny budeme značit 𝑆 𝑛.
Permutace 𝑃 se nazývá sudá, jestliže součet počtu inverzí v horním a dolním řádku je
sudé číslo. Permutace 𝑃 se nazývá lichá, jestliže součet počtu inverzí v horním a dolním
řádku je liché číslo. V tomto případě hovoříme o paritě nebo též znaménku permutace.
19
Znaménko permutace budeme značit 𝑠𝑔𝑛⁡𝑃 a platí pro něj: 𝑠𝑔𝑛⁡𝑃 = (−1)𝑖𝑛⁡𝑃
, kde 𝑖𝑛⁡𝑃
představuje právě celkový počet inverzí v dané permutaci.
2.2 Determinanty a jejich vlastnosti
Definice 2.4: Nechť 𝐴 je čtvercová matice řádu 𝑛 nad tělesem 𝑇. Determinantem matice
𝐴 rozumíme prvek z 𝑇 definovaný vztahem
det 𝐴 = ∑ 𝑠𝑔𝑛⁡𝑃 ∙ 𝑎1𝑗1
∙
𝑃∈𝑆 𝑛
𝑎2𝑗2
∙ … ∙ 𝑎 𝑛𝑗 𝑛
.
Determinant matice 𝐴 se také označuje |𝐴| nebo |
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛
|.
Determinant matice 𝐴 je tedy součet 𝑛! součinů přes všechny možné permutace na
množině indexů {1, 2, … , 𝑛}, přičemž v každém součinu vystupuje 𝑛 činitelů takových,
že z každého řádku a každého sloupce matice 𝐴 je vybrán právě jeden prvek. Součin je
opatřen kladným znaménkem v případě, kdy daná permutace řádkových a sloupcových
indexů je sudá, nebo záporným v případě, kdy je daná permutace lichá.
Popišme nyní, jak vyčíslit determinanty jednotlivých řádů, přičemž řádem determinantu
rozumíme řád příslušné matice, jejíž determinant počítáme.
Determinant řádu 1 získáváme okamžitě:
det 𝐴 = |𝑎11| = 𝑎11.
Determinant řádu 2 získáme jako součin prvků na hlavní diagonále minus součin prvků
na vedlejší diagonále. Tomuto postupu se říká křížové pravidlo. Tedy:
det 𝐴 = |
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
| = 𝑎11 ∙ 𝑎22 − 𝑎12 ∙ 𝑎21.
Determinant řádu 3 získáme z definice takto:
det 𝐴 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
| = 𝑎11 ∙ 𝑎22 ∙ 𝑎33 + 𝑎12 ∙ 𝑎23 ∙ 𝑎31 + 𝑎13 ∙ 𝑎21 ∙ 𝑎32 − 𝑎13 ∙
∙ 𝑎22 ∙ 𝑎31 − 𝑎11 ∙ 𝑎23 ∙ 𝑎32 − 𝑎12 ∙ 𝑎21 ∙ 𝑎33.
20
Jednotlivé členy si není nutné pamatovat nazpaměť. Když první dva sloupce napíšeme za
matici, pak determinant získáme jako součet součinů prvků spojených čarami na
následujícím schématu:
Obrázek 1: Sarrusovo pravidlo. Zdroj: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sarrus_rule.png.
Součiny prvků ve směru hlavní diagonály budou opatřeny na základě počtu permutací
kladným znaménkem a součiny prvků ve směru vedlejší diagonály budou opatřeny
znaménkem záporným. Tomuto postupu pro výpočet determinantu matice řádu 3 se říká
Sarrusovo pravidlo.
Determinanty vyšších řádů již nepočítáme přímo z definice, jelikož vypsat všechny členy
by bylo velmi pracné. Pro zjednodušení výpočtu tedy využíváme vlastností determinantu
či převodu na výpočet determinantů nižších řádů.
Věta 2.1: Nechť prvky 𝑖-tého řádku čtvercové matice 𝐴 řádu 𝑛 mají tvar: 𝑎𝑖1 = 𝑏𝑖1 + 𝑐𝑖1,
𝑎𝑖2 = 𝑏𝑖2+⁡𝑐𝑖2, …⁡, 𝑎𝑖𝑛 = 𝑏𝑖𝑛 + 𝑐𝑖𝑛 a nechť matice 𝐵, resp. 𝐶 vznikne z matice 𝐴
nahrazením jejího 𝑖-tého řádku řádkem 𝑏𝑖1, 𝑏𝑖2, … , 𝑏𝑖𝑛, resp. 𝑐𝑖1, 𝑐𝑖2, … , 𝑐𝑖𝑛. Potom pro
determinant matice 𝐴 platí: det 𝐴 = det 𝐵 + det 𝐶 .
Důkaz: Můžeme pro jednoduchost předpokládat, že první řádek matice 𝐴 lze vyjádřit jako
𝑎1𝑗 = 𝑏1𝑗 + 𝑐1𝑗 pro každé 𝑗 = 1, … , 𝑛. Potom:
det 𝐴 = ∑ 𝑠𝑔𝑛⁡𝑃 ∙ 𝑎1𝑗1
∙
𝑃∈𝑆 𝑛
𝑎2𝑗2
∙ … ∙ 𝑎 𝑛𝑗 𝑛
=
= ∑ 𝑠𝑔𝑛⁡𝑃 ∙ (𝑏1𝑗1
+ 𝑐1𝑗1
) ∙
𝑃∈𝑆 𝑛
𝑎2𝑗2
∙ … ∙ 𝑎 𝑛𝑗 𝑛
=
= ∑ 𝑠𝑔𝑛⁡𝑃 ∙ 𝑏1𝑗1
∙
𝑃∈𝑆 𝑛
𝑎2𝑗2
∙ … ∙ 𝑎 𝑛𝑗 𝑛
+ ∑ 𝑠𝑔𝑛⁡𝑃 ∙ 𝑐1𝑗1
∙
𝑃∈𝑆 𝑛
𝑎2𝑗2
∙ … ∙ 𝑎 𝑛𝑗 𝑛
=
= det 𝐵 + det 𝐶 . ∎
21
Tvrzení lze indukcí zobecnit na libovolný počet sčítanců.
Věta 2.2: Základní vlastnosti determinantu:
1. Determinant matice 𝐴 se jejím transponováním nezmění, tj. det 𝐴 = det 𝐴 𝑇
.
Jako důsledek této vlastnosti platí všechny následující vlastnosti formulované pro
řádky také pro sloupce.
2. Nechť matice 𝐵 vznikne z matice 𝐴 vynásobením jednoho řádku číslem 𝑐 ∈ 𝑇,
potom det 𝐵 = 𝑐 ∙ det 𝐴.
3. Nechť matice 𝐵 vznikne z matice 𝐴 záměnou dvou libovolných řádků, potom
det 𝐵 = − det 𝐴.
4. Nechť se v matici 𝐴 jeden řádek sestává ze samých nul, potom je det 𝐴 = 0.
5. Nechť jsou v matici 𝐴 dva různé řádky shodné, potom je det 𝐴 = 0.
6. Nechť je v matici 𝐴 jeden řádek násobkem jiného řádku, potom je det 𝐴 = 0.
7. Nechť je v matici 𝐴 jeden řádek lineární kombinací ostatních řádků, potom je
det 𝐴 = 0.
8. Nechť matice 𝐵 vznikne z matice 𝐴 přičtením k jednomu řádku libovolného
násobku jiného řádku, pak se hodnota determinantu nezmění, tj. det 𝐵 = det 𝐴.
9. Nechť matice 𝐵 vznikne z matice 𝐴 přičtením k nějakému řádku libovolné
lineární kombinace ostatních řádků, pak se hodnota determinantu nezmění,
tj. det 𝐵 = det 𝐴.
10. Nechť je matice 𝐴 horní (dolní) trojúhelníková matice, potom je její determinant
roven součinu prvků na hlavní diagonále.
Důkaz:
1. Nechť (𝑗1, 𝑗2, … , 𝑗 𝑛) je libovolné pořadí z 𝑛 prvků. Pak z definice determinantu
plyne, že součin 𝑎1𝑗1
∙ 𝑎2𝑗2
∙ … ∙ 𝑎 𝑛𝑗 𝑛
se vyskytuje právě jednou v det 𝐴, ale také
v det 𝐴 𝑇
. Tento součin bude v det 𝐴 vynásoben číslem (−1) 𝑟
a v det 𝐴 𝑇
číslem
(−1) 𝑠
, kde 𝑟 značí celkový počet inverzí v permutaci (
1 2 ⋯ 𝑛
𝑗1 𝑗2 ⋯ 𝑗 𝑛
)
22
a 𝑠 celkový počet inverzí v permutaci (
𝑗1 𝑗2 ⋯ 𝑗 𝑛
1 2 ⋯ 𝑛
). Zřejmě však 𝑟 = 𝑠.
Odtud už det 𝐴 = det 𝐴 𝑇
.
2. Vynásobíme-li 𝑖-tý řádek matice 𝐴 prvkem 𝑐 ∈ 𝑇 získáme matici, kterou
označíme 𝐵. Potom:
det 𝐵 = ∑ 𝑠𝑔𝑛⁡𝑃 ∙ 𝑎1𝑗1
∙
𝑃∈𝑆 𝑛
𝑎2𝑗2
∙ … ∙ (𝑐 ∙ 𝑎𝑖𝑗𝑖
) ∙ … ∙ 𝑎 𝑛𝑗 𝑛
=
= 𝑐 ∙ ∑ 𝑠𝑔𝑛⁡𝑃 ∙ 𝑎1𝑗1
∙
𝑃∈𝑆 𝑛
𝑎2𝑗2
∙ … ∙ 𝑎𝑖𝑗𝑖
∙ … ∙ 𝑎 𝑛𝑗 𝑛
= 𝑐 ∙ det 𝐴.
3. Zaměníme-li v matici 𝐴 𝑖-tý a 𝑗-tý řádek, kde 𝑖 ≠ 𝑗, zůstanou součiny v det 𝐴
a det 𝐵 stejné, ovšem budou mít vždy opačné znaménko, jelikož záměna dvou
různých řádků změní paritu permutace. Tedy det 𝐵 = − det 𝐴.
4. Jestliže má matice 𝐴 nulový řádek, pak každý součin 𝑎1𝑗1
∙ 𝑎2𝑗2
∙ … ∙ 𝑎 𝑛𝑗 𝑛
je roven
nule, tedy det 𝐴 = 0.
5. Zaměníme-li v matici 𝐴 dva shodné řádky, matice 𝐴 se zřejmě nezmění. Na
základě vlastnosti 3 však musí platit det 𝐴 = − det 𝐴, což platí pouze v případě,
kdy je det 𝐴 = 0.
6. Předpokládejme, že např. první řádek je 𝑐-násobkem druhého řádku, potom podle
vlastností 2 a 5 platí: det(𝑐 ∙ 𝑟2, 𝑟2, … , 𝑟𝑛) = 𝑐 ∙ det(𝑟2, 𝑟2, … , 𝑟𝑛) = 0.
7. Determinant matice 𝐴 lze podle zobecnění věty 2.1 rozepsat jako součet
determinantů, z nichž však každý obsahuje řádek, který je násobkem jiného řádku.
Z vlastnosti 6 je každý z těchto determinantů roven nule, tedy i det 𝐴 = 0.
8. Předpokládejme, že např. k prvnímu řádku přičteme 𝑐-násobek druhého řádku,
potom dle věty 2.1 a vlastností 2 a 5 platí: det(𝑟1 + 𝑐 ∙ 𝑟2, 𝑟2, … , 𝑟𝑛) =
= det(𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑛) + 𝑐 ∙ det(𝑟2, 𝑟2, … , 𝑟𝑛) = det(𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑛).
9. Obdobně jako vlastnost 8 plyne z věty 2.1 (jejího zobecnění na více sčítanců)
a vlastností 2 a 5.
23
10. Jestliže je matice 𝐴 horní (dolní) trojúhelníková matice, pak všechny součiny
𝑎1𝑗1
∙ 𝑎2𝑗2
∙ … ∙ 𝑎 𝑛𝑗 𝑛
jsou rovny nule kromě součinu sestaveného z prvků na hlavní
diagonále. Odtud tedy det 𝐴 = 𝑎11 ∙ 𝑎22 ∙ … ∙ 𝑎 𝑛𝑛. ∎
Zejména vlastnosti 8 a 9 lze využít pro zjednodušení výpočtu determinantu z definice.
Matici upravíme na takový tvar, který obsahuje co největší počet nul, jelikož pak bude
většina součinů v sumě nulových, či přímo na schodovitý tvar, ze kterého determinant
získáme jako součin prvků na hlavní diagonále.
Druhou možností zjednodušení výpočtu determinantu řádu 𝑛 je, jak již bylo dříve
naznačeno, převod na výpočet 𝑛 determinantů řádu 𝑛 − 1, což uvádí následující věta.
Věta 2.3: Věta o rozvoji determinantu: Nechť 𝐴 je čtvercová matice řádu 𝑛 (𝑛 > 1). Pro
každé 𝑖 = 1, … . , 𝑛 platí:
det 𝐴 = ∑ (−1)𝑖+𝑗
𝑎𝑖𝑗 ∙ det 𝐴𝑖𝑗,
𝑛
𝑗=1
det 𝐴 = ∑ (−1)𝑖+𝑗
𝑎𝑗𝑖 ∙ det 𝐴𝑗𝑖,
𝑛
𝑗=1
kde 𝐴𝑖𝑗 je matice řádu 𝑛 − 1, která vznikne z matice 𝐴 vypuštěním jejího 𝑖-tého řádku
a 𝑗-tého sloupce.
Uvedený vztah se nazývá Laplaceův rozvoj determinantu podle 𝑖-tého řádku, resp. 𝑖-tého
sloupce.
Důkaz: Plyne z definice determinantu a jeho vlastností. Platí:
det 𝐴 =
|
|
𝑎11 ⋯ 𝑎1,𝑗−1 𝑎1𝑗 𝑎1,𝑗+1 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑖1 ⋯ 𝑎𝑖,𝑗−1 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑖,𝑗+1 ⋯ 𝑎𝑖𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛,𝑗−1 𝑎 𝑛𝑗 𝑎 𝑛,𝑗+1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛
|
|
=
= ∑
|
|
𝑎11 ⋯ 𝑎1,𝑗−1 𝑎1𝑗 𝑎1,𝑗+1 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 ⋯ 0 𝑎𝑖𝑗 0 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛,𝑗−1 𝑎 𝑛𝑗 𝑎 𝑛,𝑗+1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛
|
|𝑛
𝑗=1
=
24
= ∑ 𝑎𝑖𝑗 ∙
|
|
𝑎11 ⋯ 𝑎1,𝑗−1 𝑎1𝑗 𝑎1,𝑗+1 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 ⋯ 0 1 0 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛,𝑗−1 𝑎 𝑛𝑗 𝑎 𝑛,𝑗+1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛
|
|𝑛
𝑗=1
.
Dále platí:
|
|
𝑎11 ⋯ 𝑎1,𝑗−1 𝑎1𝑗 𝑎1,𝑗+1 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 ⋯ 0 1 0 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛,𝑗−1 𝑎 𝑛𝑗 𝑎 𝑛,𝑗+1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛
|
|
=
= (−1)𝑖−1
∙ (−1) 𝑗−1
|
1 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0
𝑎1𝑗 𝑎11 ⋯ 𝑎1,𝑗−1 𝑎1,𝑗+1 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎 𝑛𝑗 𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛,𝑗−1 𝑎 𝑛,𝑗+1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛
| =
= (−1)𝑖−1+𝑗−1
∙ |
1 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0
𝑎1𝑗 𝑎11 ⋯ 𝑎1,𝑗−1 𝑎1,𝑗+1 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎 𝑛𝑗 𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛,𝑗−1 𝑎 𝑛,𝑗+1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛
| =
= (−1)𝑖+𝑗
∙ |
1 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0
𝑎1𝑗 𝑎11 ⋯ 𝑎1,𝑗−1 𝑎1,𝑗+1 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎 𝑛𝑗 𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛,𝑗−1 𝑎 𝑛,𝑗+1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛
| = (−1)𝑖+𝑗
∙ det 𝐴𝑖𝑗.
Dohromady tedy det 𝐴 = ∑ (−1)𝑖+𝑗
∙ 𝑎𝑖𝑗 ∙ det 𝐴𝑖𝑗
𝑛
𝑗=1 . Platnost druhé rovnosti pro rozvoj
podle 𝑖-tého sloupce je dána vztahem det 𝐴 = det 𝐴 𝑇
. ∎
Dodejme, že prvek (−1)𝑖+𝑗
𝐴𝑖𝑗 z věty o rozvoji determinantu se nazývá algebraický
doplněk prvku 𝑎𝑖𝑗 a budeme jej značit 𝐷𝑖𝑗. Determinant čtvercové matice 𝐵, která vznikne
z matice 𝐴 vypuštěním libovolných řádků a sloupců, se nazývá minor nebo též
subdeterminant matice 𝐴.
Také při výpočtu determinantu pomocí Laplaceova rozvoje se vyplatí nejprve matici
upravit tak, aby jeden řádek nebo sloupec obsahoval co největší počet nul. Když pak
provedeme Laplaceův rozvoj podle takového řádku nebo sloupce, můžeme počítat pouze
algebraické doplňky prvků, které nejsou rovny nule.
25
2.3 Výpočet inverzní matice pomocí determinantu
Na závěr kapitoly o determinantech uvedeme druhý způsob, jak nalézt inverzní matici,
a to právě pomocí determinantů. Nejprve však vyslovme větu o součinu determinantů.
Věta 2.4: Cauchyova věta o součinu determinantů: Nechť 𝐴, 𝐵 jsou čtvercové matice řádu
𝑛. Pak platí: det 𝐴 ∙ det 𝐵 = det(𝐴 ∙ 𝐵).
Důkaz: Matici 𝐴 lze elementárními řádkovými úpravami převést na matici 𝐴′, která je ve
schodovitém tvaru. Převedení lze provést takovými úpravami, které nemění determinant
podle vlastností ve větě 2.2 (případné prohození řádků sice mění znaménko determinantu,
ovšem vynásobením řádku konstantou −1 se opět vrátíme na znaménko původní), bude
tedy platit det 𝐴 = det 𝐴′. Na základě věty 1.6 existuje čtvercová matice 𝑃 taková, že
𝐴′ = 𝑃 ∙ 𝐴.
Matici 𝐵 převedeme elementárními sloupcovými úpravami na matici 𝐵′, která je také ve
schodovitém tvaru, takže det 𝐵 = det 𝐵′. Na základě poznámky u věty 1.6 existuje
čtvercová matice 𝑄 taková, že 𝐵′ = 𝐵 ∙ 𝑄.
Platí tedy det 𝐴 ∙ det 𝐵 = det 𝐴′ ∙ det 𝐵′. Dále jelikož matice 𝐴′ a 𝐵′ jsou ve schodovitém
tvaru, tak matice 𝐴′ ∙ 𝐵′ bude také ve schodovitém tvaru, což vyplývá z principu násobení
matic, a pro její diagonální prvky 𝑐𝑖𝑖 bude zřejmě platit 𝑐𝑖𝑖 = 𝑎′𝑖𝑖 ∙ 𝑏′𝑖𝑖. Determinant
matice ve schodovitém tvaru se rovná součinu prvků na její hlavní diagonále, odtud
dostáváme rovnost det 𝐴′ ∙ det 𝐵′ = det(𝐴′ ∙ 𝐵′).
Provedeme-li na matici 𝐴 ∙ 𝐵 stejné řádkové a sloupcové úpravy, jako jsme provedli na
matici 𝐴, resp. matici 𝐵, dostaneme matici 𝐴′ ∙ 𝐵′: 𝑃 ∙ (𝐴 ∙ 𝐵) ∙ 𝑄 = (𝑃 ∙ 𝐴) ∙ (𝐵 ∙ 𝑄) =
= 𝐴′ ∙ 𝐵′. Provedené úpravy nemění determinant, takže matice 𝐴 ∙ 𝐵 a 𝐴′ ∙ 𝐵′ mají
determinant stejný. Dohromady tedy získáváme rovnost:
det 𝐴 ∙ det 𝐵 = det 𝐴′ ∙ det 𝐵′ = det(𝐴′ ∙ 𝐵′) = det(𝐴 ∙ 𝐵). ∎
Definice 2.5: Nechť 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) je čtvercová matice řádu 𝑛. Pak matice 𝐴̅ = (𝑎̅𝑖𝑗), kde
𝑎̅𝑖𝑗 = 𝐷𝑗𝑖 je algebraický doplněk prvku 𝑎𝑗𝑖 v matici 𝐴, se nazývá adjungovaná matice
k matici 𝐴. Označujeme ji také 𝑎𝑑𝑗⁡𝐴.
26
V kapitole 1.4 jsme pomocí hodnosti matice definovali pojmy regulární a singulární
matice. Nyní můžeme definici formulovat pomocí pojmu determinant. Vraťme se také
k větě, kterou jsme již dříve uvedli jako větu 1.4, a dokažme na tomto místě její platnost.
Definice 2.6: Čtvercová matice 𝐴 řádu 𝑛 se nazývá regulární, je-li det 𝐴 ≠ 0. Čtvercová
matice 𝐴 se nazývá singulární, pokud det 𝐴 = 0.
Věta 2.5: Ke čtvercové matici 𝐴 řádu 𝑛 existuje inverzní matice právě tehdy, když 𝐴 je
regulární matice.
Důkaz: Nechť nejprve k matici 𝐴 existuje inverzní matice 𝐴−1
. Pak platí 𝐴 ∙ 𝐴−1
= 𝐸.
Když přejdeme k determinantům, pak dle věty 2.4 platí: 1 = det 𝐸 = det(𝐴 ∙ 𝐴−1) =
= det 𝐴 ∙ det 𝐴−1
. Odtud musí det 𝐴 ≠ 0, tedy matice 𝐴 je regulární.
Nyní nechť 𝐴 je regulární matice, takže det 𝐴 ≠ 0. Sestrojme matici 𝑋 =
1
det 𝐴
∙ 𝐴̅
a dokažme, že 𝑋 je inverzní maticí k matici 𝐴. Označme 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝑋. Pak prvek 𝑐𝑖𝑗 matice
𝐶 získáme jako: 𝑐𝑖𝑗 =
1
det 𝐴
∙ (𝑎𝑖1 ∙ 𝐷𝑗1 + 𝑎𝑖2 ∙ 𝐷𝑗2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 ∙ 𝐷𝑗𝑛).
Užitím věty o rozvoji determinantu dostáváme:
- pro 𝑖 = 𝑗: 𝑐𝑖𝑖 =
1
det 𝐴
∙ (𝑎𝑖1 ∙ 𝐷𝑖1 + 𝑎𝑖2 ∙ 𝐷𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 ∙ 𝐷𝑖𝑛) =
1
det 𝐴
∙ det 𝐴 = 1,
- pro 𝑖 ≠ 𝑗: 𝑐𝑖𝑗 =
1
det 𝐴
∙ (𝑎𝑖1 ∙ 𝐷𝑗1 + 𝑎𝑖2 ∙ 𝐷𝑗2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 ∙ 𝐷𝑗𝑛) =
1
det 𝐴
∙ 0 = 0.
Zjišťujeme tedy, že matice 𝐶 je jednotková matice. Platí rovnost 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐸. Analogicky
by se dokázalo, že platí i rovnost 𝑋 ∙ 𝐴 = 𝐸. Matice 𝑋 =
1
det 𝐴
∙ 𝐴̅ je skutečně inverzní
maticí k matici 𝐴. ∎
Věta 2.6: Nechť 𝐴 je regulární matice. Pak 𝐴−1
=
1
det 𝐴
∙ 𝐴̅.
Platnost tohoto tvrzení byla dokázána v druhé části důkazu věty 2.5. Na základě
uvedeného vztahu získáváme druhý způsob, jak lze vypočítat inverzní matici k matici 𝐴.
Inverzní matici 𝐴−1
můžeme spočítat vynásobením adjungované matice k matici 𝐴
převrácenou hodnotou determinantu matice 𝐴.
27
3. Soustavy lineárních rovnic
Definice 3.1: Soustavou 𝑚 lineárních algebraických rovnic o 𝑛 neznámých nad tělesem
𝑇 budeme rozumět soustavu rovnic tvaru
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1
⁡𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ +⁡ 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎 𝑚1 𝑥1 + 𝑎 𝑚2 𝑥2 + ⋯ +⁡ 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑚,
kde koeficienty 𝑎11, ⁡𝑎12, … , ⁡𝑎 𝑚𝑛⁡ a absolutní členy 𝑏1, ⁡𝑏2, … , ⁡𝑏 𝑚⁡jsou prvky tělesa 𝑇.
Soustava se nazývá homogenní, jestliže 𝑏𝑖 = 0 pro všechna 𝑖 = 1, … , 𝑚. V opačném
případě se soustava nazývá nehomogenní, tedy když 𝑏𝑖 ≠ 0 alespoň pro jedno 𝑖.
Matice
𝐴 = (
𝑎11 … 𝑎1𝑛
𝑎21 … 𝑎2𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎 𝑚1 … 𝑎 𝑚𝑛
), 𝑏 = (
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏 𝑚
) , (𝐴|𝑏) = (
𝑎11 … 𝑎1𝑛
𝑎21 … 𝑎2𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎 𝑚1 … 𝑎 𝑚𝑛
|
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏 𝑚
)
nazýváme po řadě matice soustavy, sloupec pravých stran a rozšířená matice soustavy.
Soustavu můžeme zapsat také maticově ve tvaru: 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵, kde 𝑋 = (
𝑥1
⋮
𝑥 𝑛
), 𝐵 = (
𝑏1
⋮
𝑏 𝑚
).
Definice 3.2: Řešením soustavy 𝑚 lineárních rovnic o 𝑛 neznámých je každá uspořádaná
𝑛-tice 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛) prvků tělesa 𝑇, pro kterou platí všech 𝑚 uvedených rovností.
Z hlediska počtu řešení soustavy musí nastat právě jeden ze tří případů:
1. soustava nemá žádné řešení,
2. soustava má jediné řešení,
3. soustava má nekonečně mnoho řešení.
Pakliže existuje alespoň jedno řešení, soustava se nazývá řešitelná. V případě, že žádné
řešení neexistuje, se soustava nazývá neřešitelná.
Řešit soustavu lineárních rovnic znamená nalézt všechna její řešení, tedy určit jistou
podmnožinu 𝑇 𝑛
všech řešení soustavy.
28
Poznámka: Množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic tvoří vektorový
podprostor, u nehomogenní soustavy pak afinní podprostor. Tímto pojetím se z důvodu
zaměření práce na metody řešení soustav lineárních rovnic nebudeme zabývat.
3.1 Ekvivalentní úpravy soustav lineárních rovnic
Definice 3.3: Dvě soustavy lineárních rovnic o 𝑛 neznámých se nazývají ekvivalentní
soustavy, jestliže mají stejné množiny řešení.
Provádíme-li se soustavou lineárních rovnic takovou úpravu, po které získáme soustavu
s ní ekvivalentní, jedná se o ekvivalentní úpravu dané soustavy lineárních rovnic. Výčet
ekvivalentních úprav uvádí následující věta.
Věta 3.1: Nechť je dána soustava 𝑚 lineárních rovnic o 𝑛 neznámých nad tělesem 𝑇. Pak
následující úpravy jsou ekvivalentními úpravami této soustavy:
1. libovolná záměna pořadí rovnic,
2. vynásobení libovolné rovnice nenulovým číslem z 𝑇,
3. přičtení lineární kombinace jiných rovnic k jedné rovnici,
4. vypuštění rovnice, která je lineární kombinací ostatních rovnic.
Důkaz:
1. Řešením soustavy je taková uspořádaná 𝑛-tice, pro kterou platí všech 𝑚 rovností,
tudíž nezáleží na pořadí, ve kterém jsou rovnice uvedeny. Soustavy lišící se pouze
pořadím rovnic jsou zřejmě ekvivalentní.
2. Pokud (𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡 𝑛) je řešením soustavy lineárních rovnic, pak je řešením každé
její rovnice. Proto při dosazení do 𝑖-té rovnice získáváme platnou rovnost:⁡𝑎i1 𝑡1 +
+⁡𝑎i2 𝑡2 + ⋯ +⁡ 𝑎𝑖𝑛 𝑡 𝑛 = 𝑏𝑖. Vynásobíme-li tuto rovnici nenulovým 𝑐 ∈ 𝑇, zřejmě
odtud také platí: c ∙ (𝑎i1 𝑡1 + 𝑎i2 𝑡2 + ⋯ + +⁡𝑎𝑖𝑛 𝑡 𝑛) = 𝑐 ∙ 𝑏𝑖. Stejně tak pokud
platí druhá uvedená rovnost, tak z ní zřejmě vyplývá platnost první uvedené
rovnosti. Tedy soustava, která vznikne vynásobením libovolné rovnice původní
soustavy nenulovým číslem z 𝑇 je s ní ekvivalentní.
3. Mějme soustavu 𝑚 lineárních rovnic o 𝑛 neznámých (1):
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1
⁡𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ +⁡ 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎 𝑚1 𝑥1 + 𝑎 𝑚2 𝑥2 + ⋯ +⁡ 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑚
29
a přičtěme např. k jejímu prvnímu řádku druhý řádek vynásobený číslem 𝑐 ∈ 𝑇.
Dostáváme soustavu (2):
𝑎11 𝑥1 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑐 ∙ (⁡𝑎21 𝑥1 + ⋯ +⁡ 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛) = 𝑏1 + 𝑐 ∙ 𝑏2
⁡𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ +⁡ 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎 𝑚1 𝑥1 + 𝑎 𝑚2 𝑥2 + ⋯ +⁡ 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑚.
Nechť (𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡 𝑛) je řešením soustavy (1), pak platí: 𝑎11 𝑡1 + 𝑎12 𝑡2 + ⋯ +
+⁡𝑎1𝑛 𝑡 𝑛 = 𝑏1 a také: 𝑐 ∙ (𝑎21 𝑡1 + 𝑎22 𝑡2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑡 𝑛) = 𝑐 ∙ 𝑏2. Odtud: 𝑎11 𝑡1 +
+⁡𝑎12 𝑡2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑡 𝑛 + 𝑐 ∙ (⁡𝑎21 𝑡1 + 𝑎22 𝑡2 + ⋯ +⁡ 𝑎2𝑛 𝑡 𝑛) = 𝑏1 + 𝑐 ∙ 𝑏2,
všechny ostatní rovnice jsou stejné, tedy (𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡 𝑛) je řešením soustavy (2).
Naopak nechť (𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡 𝑛) je řešením soustavy (2), pak z první rovnice platí:
𝑎11 𝑡1 + 𝑎12 𝑡2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑡 𝑛 + 𝑐 ∙ (⁡𝑎21 𝑡1 + 𝑎22 𝑡2 + ⋯ +⁡ 𝑎2𝑛 𝑡 𝑛) = 𝑏1 + 𝑐 ∙ 𝑏2.
Z druhé rovnice platí: 𝑎21 𝑡1 + 𝑎22 𝑡2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑡 𝑛 = 𝑏2. Tudíž po dosazení
a odečtení v první rovnici získáváme: 𝑎11 𝑡1 + 𝑎12 𝑡2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑡 𝑛 = 𝑏1. Řešení
(𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡 𝑛) je řešením soustavy (1). Soustavy (1) a (2) jsou ekvivalentní.
4. Uvažujme soustavu, jejíž první rovnice je lineární kombinací ostatních rovnic (3):
𝑐2 ∙ (⁡𝑎21 𝑥1 + ⋯ +⁡ 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛) + ⋯ + 𝑐 𝑚 ∙ (𝑎 𝑚1 𝑥1 + ⋯ +⁡ 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛) = 𝑐2 ∙ 𝑏2 + ⋯ + 𝑐 𝑚 ∙ 𝑏 𝑚
⁡𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ +⁡ 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎 𝑚1 𝑥1 + 𝑎 𝑚2 𝑥2 + ⋯ +⁡ 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑚,
kde 𝑐2, … , 𝑐 𝑚 ∈ 𝑇. Dále uvažme soustavu (4), která vznikne ze soustavy (3)
vypuštěním první rovnice:
⁡𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ +⁡ 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎 𝑚1 𝑥1 + 𝑎 𝑚2 𝑥2 + ⋯ +⁡ 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑚.
Je zřejmé, že (𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡 𝑛) je řešením soustavy (3) právě tehdy, když
(𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡 𝑛) je řešením soustavy (4). Jinak řečeno, soustavy (3) a (4) jsou
ekvivalentní. ∎
3.2 Řešitelnost soustav lineárních rovnic
Jedním z úkolů při řešení soustavy lineárních rovnic je rozhodnout o její řešitelnosti.
Základní vztah, který určuje, zda je soustava řešitelná, popisuje Frobeniova věta.
30
Věta 3.2: Frobeniova věta, resp. Kronecker-Capelliho věta: Soustava 𝑚 lineárních rovnic
o 𝑛 neznámých je řešitelná právě tehdy, když hodnost matice této soustavy je rovna
hodnosti rozšířené matice této soustavy, tedy ℎ(𝐴) = ℎ(𝐴|𝑏).
Důkaz: Nechť soustava lineárních rovnic má řešení (𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡 𝑛). Pak platí:
𝑎11 𝑡1 + 𝑎12 𝑡2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑡 𝑛 = 𝑏1
⁡𝑎21 𝑡1 + 𝑎22 𝑡2 + ⋯ +⁡ 𝑎2𝑛 𝑡 𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎 𝑚1 𝑡1 + 𝑎 𝑚2 𝑡2 + ⋯ +⁡ 𝑎 𝑚𝑛 𝑡 𝑛 = 𝑏 𝑚
neboli
𝑡1 ∙ (
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎 𝑚1
) + 𝑡2 ∙ (
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎 𝑚2
) + ⋯ + 𝑡 𝑛 ∙ (
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮
𝑎 𝑚𝑛
) = (
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏 𝑚
),
to znamená, že sloupec pravých stran je lineární kombinací sloupců matice 𝐴. To platí
právě tehdy, když ℎ(𝐴) = ℎ(𝐴|𝑏). ∎
Z Frobeniovy věty vyplývá, že homogenní soustava lineárních rovnic je řešitelná vždy.
Sloupec pravých stran obsahuje samé nuly, jeho připojením ke sloupcům matice 𝐴 se tedy
nezmění hodnost, proto vždy platí ℎ(𝐴) = ℎ(𝐴|𝑏).⁡ Homogenní soustava může mít buď
právě jedno řešení, kterým je uspořádaná 𝑛-tice (0, 0, … ,0) nazývaná nulové řešení, nebo
má nekonečně mnoho řešení (zahrnující také nulové řešení).
Dále uveďme větu, která popisuje, jak v případě řešitelné soustavy určit, zda má jediné
řešení, nebo jich má nekonečně mnoho.
Věta 3.3: Soustava 𝑚 lineárních rovnic o 𝑛 neznámých má jediné řešení, pokud matice
soustavy a rozšířená matice soustavy mají stejnou hodnost, která se rovná počtu
neznámých soustavy, tedy ℎ(𝐴) = ℎ(𝐴|𝑏) = 𝑛.
Důkaz: Soustavu lineárních rovnic můžeme zapsat maticově ve tvaru: 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵. Matice
𝐴 je regulární (pokud zpočátku nebyla čtvercová, stačí vynechat lineárně závislé řádky),
takže k ní podle věty 2.5 existuje inverzní matice 𝐴−1
.⁡ Vynásobíme-li původní maticový
zápis soustavy inverzní maticí 𝐴−1
zleva, dostáváme 𝐴−1
∙ 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐴−1
∙ 𝐵. Odtud
dostáváme vztah pro řešení soustavy: 𝑋 = 𝐴−1
∙ 𝐵. Jelikož inverzní matice je určena
jednoznačně, jedná se o jediné řešení dané soustavy. ∎
31
Hodnost matice nemůže být větší, než je počet sloupců matice, který je stejný jako počet
neznámých. Proto pokud je soustava řešitelná a zároveň nenastává rovnost z věty 3.3,
musí nutně ℎ(𝐴) = ℎ(𝐴|𝑏) = 𝑟 < 𝑛, kde 𝑛 je počet neznámých. V takovém případě má
soustava nekonečně mnoho řešení, které závisí na (𝑛 − 𝑟) parametrech.
Uvedené poznatky o řešitelnosti soustavy shrnuje následující schéma:
Obrázek 2: Řešitelnost soustav lineárních rovnic.
Řešení obsahující parametry se nazývá obecné řešení soustavy lineárních rovnic.
Dosadíme-li za parametry konkrétní čísla, dostáváme jedno řešení, které nazýváme
partikulární řešení. Vzhledem k těmto pojmům můžeme popsat vztah mezi řešením
nehomogenní a homogenní soustavy lineárních rovnic takto: obecné řešení nehomogenní
soustavy rovnic je rovno součtu partikulárního řešení této nehomogenní soustavy
a obecného řešení příslušné homogenní soustavy.
Nyní víme, jak určit počet řešení soustavy lineárních rovnic na základě hodnosti matice
soustavy a hodnosti rozšířené matice soustavy. Řešit soustavu znamená nalézt všechna
její řešení, k čemuž slouží metody, které popíšeme ve zbývajících kapitolách.
Soustava 𝑚 lineárních
rovnic o 𝑛 neznámých
ℎ 𝐴 = ℎ 𝐴 𝑏
soustava má řešení
ℎ 𝐴 = ℎ 𝐴 𝑏 = 𝑛
soustava má jediné řešení
ℎ 𝐴 = ℎ 𝐴 𝑏 = 𝑟 < 𝑛
soustava má nekonečně mnoho řešení
závislých na (𝑛 − 𝑟) parametrech
ℎ 𝐴 ≠ ℎ 𝐴 𝑏
soustava nemá řešení
32
4. Řešení soustav lineárních rovnic na základní škole
Žáci se obvykle s tématem soustav lineárních rovnic poprvé setkávají v učebnicích pro
9. ročníky základních škol, případně pro kvarty na víceletých gymnáziích. V tomto
období jsou řešeny pouze soustavy dvou rovnic se dvěma neznámými, obvykle
označovanými jako 𝑥 a 𝑦. Nezbytným předpokladem pro pochopení učiva je dobrá
znalost práce s rovnicemi.
4.1 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými
Definice 4.1: Soustava
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2,
kde 𝑎1, 𝑎2, 𝑏1, 𝑏2, 𝑐1, 𝑐2 ∈ 𝑅 se nazývá soustava dvou lineárních rovnic se dvěma
neznámými 𝑥, 𝑦.
Množinu řešení této soustavy rovnic tvoří všechny takové uspořádané dvojice [𝑥; ⁡𝑦],
které jsou řešením obou rovnic. Soustava dvou rovnic se dvěma neznámými může mít
právě jedno řešení, nekonečně mnoho řešení nebo nemít řešení žádné.
Všechny metody používané k hledání řešení soustavy rovnic využívají ekvivalentní
úpravy rovnic a jejich soustav. Jedná se o úpravy, při jejichž použití zůstane zachována
stejná množina řešení.
4.2 Metoda dosazovací
První metodou, která se používá k řešení soustav dvou lineárních rovnic se dvěma
neznámými, je metoda dosazovací nebo též substituční.
Při použití dosazovací metody začneme vyjádřením jedné neznámé z jedné rovnice
soustavy. Vyjádřenou neznámou následně dosadíme do druhé rovnice. Tím získáme
jednu rovnici o jedné neznámé, kterou vyřešíme. Spočítanou hodnotu jedné neznámé pak
dosadíme do původního vyjádření, a tím získáme i hodnotu druhé neznámé.
Postup si nyní ukážeme na příkladech.
33
Příklad 4.1: Dosazovací metodou řešte soustavu dvou rovnic se dvěma neznámými 𝑥 a 𝑦
(Odvárko & Kadleček, 2019, s. 12):
𝑥 + 7𝑦 = 13
3𝑥 − 7 = −5𝑦
Řešení: Druhá rovnice soustavy není v základním tvaru 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐. Do tohoto tvaru
bychom ji mohli snadno upravit, ovšem pro výpočet příkladu to není potřeba, můžeme
tedy ihned začít řešit.
V prvním kroku z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou. Jelikož máme čtyři
možnosti, je vhodné si v tomto kroku vždy rozmyslet, která volba je nejvýhodnější.
V tomto případě bude nejlepší vyjádřit z první rovnice soustavy neznámou 𝑥, jelikož je
u ní koeficient 1, takže díky této volbě nebudeme pracovat se zlomky:
𝑥 + 7𝑦 = 13⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−7y
𝑥 = −7𝑦 + 13
Získaný výraz dosadíme za 𝑥⁡do druhé rovnice:
3 ∙ (−7𝑦 + 13) − 7 = −5𝑦
Získáváme jednu rovnici s jednou neznámou 𝑦, jejíž hodnotu z ní vypočítáme:
−21𝑦 + 39 − 7 = −5𝑦
−21𝑦 + 32 = −5𝑦⁡⁡⁡⁡⁡⁡/+5𝑦 − 32
−16𝑦 = −32⁡⁡⁡⁡⁡⁡/∙ (−
1
16
)
𝑦 = 2
Spočítanou hodnotu 𝑦 dosadíme do výrazu vyjadřujícího 𝑥 z první rovnice a vypočítáme
hodnotu neznámé 𝑥:
𝑥 = −7 ∙ 2 + 13
𝑥 = −14 + 13
𝑥 = −1
Soustava má jedno řešení, a to uspořádanou dvojici [−1; 2]. Řešení zapíšeme jako
množinu: 𝐾 = {[−1; 2]}.
Pro kontrolu správnosti výsledku se na základních školách běžně provádí zkouška
spočívající v dosazení výsledku do obou rovnic a porovnání stran:
34
𝐿1([−1; 2]) = −1 + 7 ∙ 2 = 13 𝑃1([−1; 2]) = 13 𝐿1 = 𝑃1
𝐿2([−1; 2]) = 3 ∙ (−1) − 7 = −10 𝑃2([−1; 2]) = −5 ∙ 2 = −10 𝐿2 = 𝑃2
V obou rovnicích soustavy se po dosazení řešení pravé a levé strany rovnají, ověřili jsme
tedy správnost uvedeného řešení.
Právě vyřešená soustava byla příkladem soustavy s jedním řešením. Uvedeme ještě
příklad soustavy, která nemá žádné řešení, a soustavy, která má naopak řešení nekonečně
mnoho.
Příklad 4.2: Určete kolik řešení má soustava rovnic (Herman et al., 1999, s. 92):
6𝑥 + 5𝑦 = 15
2𝑥 +
5
3
𝑦 = 3
Řešení: Začneme opět tím, že z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou. V tomto
případě není žádná varianta výrazně výhodnější než ostatní, vyjádříme tedy z první
rovnice neznámou 𝑥:
6𝑥 + 5𝑦 = 15⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−5y
6𝑥 = −5𝑦 + 15⁡⁡⁡⁡⁡⁡/∙
1
6
𝑥 = −
5
6
𝑦 +
15
6
Toto vyjádření 𝑥 dosadíme do druhé rovnice a nově vzniklou rovnici o jedné neznámé
vyřešíme:
2 ∙ (−
5
6
𝑦 +
15
6
) +
5
3
𝑦 = 3
−
5
3
𝑦 +
15
3
+
5
3
𝑦 = 3⁡⁡⁡⁡⁡⁡/∙ 3
−5𝑦 + 15 + 5𝑦 = 9
0𝑦 + 15 = 9⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−15
0 = −6
Docházíme k neplatné rovnosti, 0 ≠ −6, což znamená, že neexistuje žádná uspořádaná
dvojice čísel, která by byla současně řešením obou rovnic ze zadání. Soustava tedy nemá
řešení, množina řešení je prázdná: 𝐾 = ∅.
O tom, že soustava rovnic nemá řešení, se můžeme přesvědčit ještě jiným způsobem.
Vrátíme se znovu k původní soustavě a vynásobíme druhou rovnici číslem 3, abychom
35
získali v obou rovnicích stejný koeficient před neznámou 𝑥. Provádíme pouze
ekvivalentní úpravu. Soustava, která vznikne má tedy stejné řešení jako soustava ze
zadání, a vypadá takto:
6𝑥 + 5𝑦 = 15
6𝑥 + 5𝑦 = 9
Levé strany obou rovnic jsou stejné, ale absolutní členy na pravých stranách se liší. Najít
takovou uspořádanou dvojici ⌈𝑥; 𝑦⌉, aby se výraz 6𝑥 + 5𝑦 rovnal současně 15 i 9 není
možné, rovnice tedy opravdu nemá řešení. Poznatky z tohoto příkladu můžeme
formulovat do obecně platného závěru: Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma
neznámými nemá žádné řešení, pokud si rovnice odporují.
Příklad 4.3: Určete, kolik řešení má soustava rovnic (Herman et al., 1999, s. 92):
−𝑥 + 4 = 7𝑦
40 − 10𝑥 = 70𝑦
Řešení: Budeme postupovat stejným způsobem jako v předcházejících dvou příkladech.
Začneme tedy vyjádřením jedné neznámé z jedné rovnice. V tomto případě bude
nejvýhodnější vyjádřit z první rovnice neznámou 𝑥, jelikož je před ní koeficient −1, díky
čemuž opět nebudeme muset řešit rovnici se zlomky:
−𝑥 + 4 = 7𝑦⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−4
−𝑥 = 7𝑦 − 4⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/∙ (−1)
𝑥 = −7𝑦 + 4
Získaný výraz dosadíme do druhé rovnice a rovnici vyřešíme:
40 − 10 ∙ (−7𝑦 + 4) = 70𝑦
40 + 70𝑦 − 40 = 70𝑦⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−70𝑦
0 = 0
Došli jsme k platné rovnosti 0 = 0. To znamená, že soustava rovnic má nekonečně
mnoho řešení.
Stejně jako v předchozím příkladě, i tady obecně popíšeme, pro jakou dvojici rovnic má
soustava nekonečně mnoho řešení. Vraťme se k původní soustavě a upravme ji do
základního tvaru s neznámými na levé straně a absolutními členy na pravé. První rovnici
vynásobíme číslem −10 a druhou číslem −1, aby byly před neznámou 𝑥 stejné
koeficienty. Dostáváme tuto soustavu:
36
10𝑥 + 70𝑦 = 40
10𝑥 + 70𝑦 = 40
Po této úpravě jsou obě rovnice naprosto stejné, tudíž vypovídají totéž. Řešením soustavy
jsou tedy všechny uspořádané dvojice [𝑥; 𝑦], které jsou řešením lineární rovnice se dvěma
neznámými 10𝑥 + 70𝑦 = 40, a těch je nekonečně mnoho.
Přestože řešení soustavy je nekonečně mnoho, nejsou to všechny dvojice reálných čísel.
Hodnotu jedné neznámé můžeme vždy volit libovolně, ovšem druhou musíme určit
v závislosti na první tak, aby platila rovnost. Řešení získáme takovým způsobem, že jednu
neznámou zvolíme za parametr 𝑡 a druhou neznámou vyjádříme z rovnice právě pomocí
tohoto parametru. V této soustavě to bude vypadat takto:
𝑦 = 𝑡
10𝑥 + 70𝑦 = 40⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−70𝑦
10𝑥 = −70y + 40⁡⁡⁡⁡⁡⁡/∙
1
10
𝑥 = −7𝑦 + 4
𝑥 = −7𝑡 + 4
Všechna řešení dané soustavy vyjádříme jako množinu: 𝐾 = {[−7𝑡 + 4; 𝑡], 𝑡 ∈ 𝑅⁡}.
Toto vyjádření vypovídá, že za hodnotu 𝑡 můžeme dosadit libovolné reálné číslo
a dopočítáním 𝑥 získáme uspořádanou dvojici, která je řešením dané soustavy. Jelikož
reálných čísel je nekonečně mnoho, je nekonečně mnoho i řešení dané soustavy.
Kdybychom zvolili za parametr neznámou 𝑥, dostali bychom sice jiné vyjádření, ovšem
výsledná množina řešení by byla totožná.
Chceme-li opět formulovat obecný závěr týkající se počtu řešení soustavy, můžeme ho
vyjádřit takto: Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými má nekonečně
mnoho řešení, pokud rovnice vypovídají totéž.
4.3 Metoda sčítací
Druhou metodou probíranou na základních školách je metoda sčítací. Při použití této
metody je potřeba upravit rovnice tak, aby alespoň u jedné neznámé byly koeficienty
opačná čísla. Pokud tato podmínka není splněna již v zadání, násobíme jednu či obě
rovnice vhodným nenulovým číslem. Následně obě rovnice sečteme, čímž získáme jednu
37
rovnici o jedné neznámé. Jejím vyřešením získáme hodnotu jedné neznámé, pomocí které
pak po dosazení do jedné z původních rovnic určíme i hodnotu druhé neznámé.
Příklad 4.4: Sčítací metodou řešte soustavu dvou rovnic se dvěma neznámými 𝑥 a 𝑦
(Herman et al., 1999, s. 89):
27𝑥 + 4𝑦 = −58
3𝑥 − 5𝑦 = −1
Řešení: Koeficienty u stejných neznámých se v rovnicích liší, proto musíme začít
úpravou rovnic. Možností, jak je vynásobit, aby koeficienty před jednou z neznámých
byly opačná čísla, je více. Zvolíme tu, že druhou rovnici vynásobíme číslem −9:
3𝑥 − 5𝑦 = −1⁡⁡⁡⁡⁡/∙ (−9)
−27𝑥 + 45𝑦 = 9
Získáme tuto soustavu:
27𝑥 + 4𝑦 = −58
−27𝑥 + 45𝑦 = 9
Koeficienty před neznámou 𝑥 jsou opačná čísla, sečteme tedy obě rovnice a dostaneme
rovnici o jedné neznámé, kterou vyřešíme:
0𝑥 + 49𝑦 = −49⁡⁡⁡⁡⁡/∙
1
49
𝑦 = −1
Spočítanou hodnotu 𝑦 dosadíme do jedné z rovnic soustavy a vypočítáme hodnotu
neznámé 𝑥:
3𝑥 − 5𝑦 = −1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/+5𝑦
3𝑥 = 5𝑦 − 1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/∙
1
3
𝑥 =
5
3
𝑦 −
1
3
𝑥 =
5
3
∙ (−1) −
1
3
𝑥 = −2
Soustava má jedno řešení: 𝐾 = {[−2; −1]}. Zkouška by se prováděla stejným způsobem
jako u příkladu 4.1 v kapitole 4.2.
38
V kroku, kdy se sčítají upravené rovnice, by u některých soustav mohlo dojít k tomu, že
se odečtou obě neznámé. V případě, že bychom pak po úpravě došli k rovnosti 0 = 0, by
to znamenalo, že má soustava nekonečně mnoho řešení. Pakliže bychom došli k neplatné
rovnosti, že jakékoliv číslo různé od nuly se rovná nule, znamenalo by to, že soustava
nemá řešení žádné.
4.4 Metoda porovnávací
Řešíme-li soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými metodou porovnávací,
vyjádříme nejprve z obou rovnic stejnou neznámou pomocí druhé neznámé. Tato
vyjádření porovnáme, čímž dostaneme jednu rovnici o jedné neznámé. Rovnici vyřešíme,
čímž získáme hodnotu této neznámé. Jejím dosazením do jednoho z původních
vyjádřeních získáme i hodnotu neznámé druhé.
Příklad 4.5: Porovnávací metodou řešte soustavu dvou rovnic se dvěma neznámými 𝑥
a 𝑦 (Herman et al., 1999, s. 81):
3𝑥 − 𝑦 = −3
2𝑥 + 𝑦 = −2
Řešení: Nejprve vyjádříme z obou rovnic jednu neznámou. V tomto kroku je opět vhodné
vybrat neznámou tak, aby následně nebylo nutné počítat se zlomky. V tomto případě
budeme vyjadřovat neznámou 𝑦, jelikož je před ní koeficient −1 v první rovnici a 1
v rovnici druhé. Vyjádřením neznámé 𝑦 z obou rovnic tedy obdržíme:
3𝑥 − 𝑦 = −3⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−3𝑥
2𝑥 + 𝑦 = −2⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−2𝑥⁡⁡
−𝑦 = −3𝑥 − 3⁡⁡⁡⁡/∙ (−1)
𝑦 = −2𝑥 − 2
y = 3𝑥 + 3⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
𝑦 = −2𝑥 − 2
Hledáme takovou hodnotu 𝑥, pro kterou mají oba výrazy vyjadřující 𝑦 stejnou hodnotu.
Tu určíme tak, že dáme obě vyjádření do rovnosti a vzniklou rovnici vyřešíme:
3𝑥 + 3 = −2𝑥 − 2⁡⁡⁡⁡⁡/+2𝑥 − 3
5𝑥 = −5⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/∙
1
5
𝑥 = −1
39
Když známe hodnotu 𝑥, spočítáme pomocí ní hodnotu 𝑦 tak, že ji dosadíme do jednoho
z původních vyjádření:
𝑦 = 3 ∙ (−1) + 3
𝑦 = 0
Množina řešení obsahuje jedinou uspořádanou dvojici: 𝐾 = {[−1; 0]}.
Kdyby soustava měla nekonečně mnoho řešení, pak bychom v kroku, ve kterém
porovnáváme vyjádření téže neznámé z každé z rovnic, dospěli k rovnosti 0 = 0. Pokud
by soustava neměla řešení žádné, pak bychom v tomtéž kroku dospěli k neplatné rovnosti,
že se jakékoli reálné číslo různé od nuly rovná nule.
4.5 Grafické řešení
Poslední metodou řešení, kterou se žáci učí používat na základních školách, je metoda
grafického řešení soustav dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. S touto metodou se
seznamují v rámci probírání učiva o funkcích.
Grafické řešení spočívá v tom, že z obou rovnic vyjádříme, jak 𝑦 závisí na 𝑥. Tím získáme
předpisy dvou lineárních funkcí, jejichž grafem jsou přímky. Obě funkce nakreslíme do
jedné kartézské soustavy souřadnic a zjišťujeme, pro které 𝑥 nabývají obě funkce stejné
hodnoty 𝑦. O těchto bodech totiž platí, že leží zároveň na obou přímkách, jsou řešením
obou rovnic, a jsou tedy řešením dané soustavy.
Na grafickém řešení lze názorně ukázat, v jakých případech mají soustavy rovnic jedno,
žádné a nekonečně mnoho řešení. V případě, že jsou narýsované přímky různoběžné, pak
se protínají v jednom bodě, a právě tento bod je jediným řešením soustavy. Pokud jsou
přímky rovnoběžné, pak neexistuje žádné 𝑥, pro které by funkce nabývaly stejné hodnoty,
soustava tedy nemá řešení žádné. Poslední možností je, že grafy obou lineárních funkcích
jsou totožné přímky. Pak jsou všechny body na těchto přímkách řešením dané soustavy,
řešení je tedy nekonečně mnoho (Herman et al., 2000).
Všechny tyto možnosti ukážeme na řešených příkladech.
Příklad 4.6: Řešte početně i graficky soustavu rovnic (Herman et al., 2000, s. 86):
3𝑥 − 2𝑦 − 10 = 0
2𝑥 + 𝑦 − 9 = 0
40
Řešení: Začneme tím, že z obou rovnic vyjádříme neznámou 𝑦 pomocí 𝑥. Tím získáme
předpisy dvou lineárních funkcí, které můžeme označit 𝑓 a 𝑔:
𝑓:⁡𝑦 =
3
2
𝑥 − 5, 𝑔:⁡𝑦 = −2𝑥 + 9
Nyní, když známe předpisy funkcí, přistoupíme k nakreslení jejich grafů. Jelikož grafem
lineární funkce je přímka, stačí pro každou funkci najít dva body, kterými prochází,
protože ty určí celou přímku:
𝑓:⁡𝑦 =
3
2
𝑥 − 5, 𝑔:⁡𝑦 = −2𝑥 + 9
𝑥 0 2 𝑥 0 2
𝑦 −5 −2 𝑦 9 5
Obrázek 3: Různoběžné přímky.
Z obrázku zjišťujeme, že se přímky protnou v bodě [4; 1], což je tedy řešení dané
soustavy rovnic.
Zadání požadovalo, aby byla soustava řešena početně i graficky. Provedeme tedy
i početní řešení, které zároveň poslouží jako kontrola.
Již dříve jsme z obou rovnic vyjádřili neznámou 𝑦, čehož lze využít při porovnávací
metodě. Obě vyjádření tudíž porovnáme, čímž získáme jednu rovnici, z které vypočteme
hodnotu 𝑥:
41
3
2
𝑥 − 5 = −2𝑥 + 9⁡⁡⁡⁡⁡/+2𝑥 + 5
7
2
𝑥 = 14⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/∙
2
7
𝑥 = 4
Dosazením vypočtené hodnoty 𝑥 do jednoho z původních vyjádření získáme hodnotu 𝑦:
𝑦 = −2 ∙ 4 + 9
𝑦 = 1
Početním řešením docházíme k totožnému výsledku. Zapíšeme řešení: 𝐾 = {[4; 1]}.⁡
Příklad 4.7: Grafickou metodou zdůvodněte, proč daná soustava nemá řešení (Herman
et al., 2000, s. 84):
3𝑥 − 2𝑦 = 4
9𝑥 − 6𝑦 = 6
Řešení: Ze zadání víme, že soustava rovnic nemá žádné řešení. Pro zdůvodnění však
budeme postupovat stejně jako v předchozím příkladě. Začneme tím, že z každé rovnice
vyjádříme 𝑦, čímž získáme předpisy dvou lineárních funkcí:
𝑓:⁡𝑦 =
3
2
𝑥 − 2, 𝑔:⁡𝑦 =
3
2
𝑥 − 1
Již z tohoto vyjádření je zřejmé, že grafy obou funkcí budou rovnoběžné, jelikož
koeficient před 𝑥 určuje sklon přímky, a ten je u obou funkcí stejný. Přesvědčíme se však
pomocí sestrojení grafů funkcí.
𝑓:⁡𝑦 =
3
2
𝑥 − 2, 𝑔:⁡𝑦 =
3
2
𝑥 − 1
𝑥 0 2 𝑥 0 2
𝑦 −2 1 𝑦 −1 2
42
Obrázek 4: Rovnoběžné přímky.
Grafy obou funkcí jsou skutečně rovnoběžné přímky, což vysvětluje, proč soustava nemá
žádné řešení. Rovnoběžné přímky nemají žádný společný bod, tudíž ani daná soustava
rovnic nemá žádné řešení. Neexistuje totiž žádná uspořádaná dvojice [𝑥; 𝑦] taková, která
by ležela zároveň na obou přímkách, a tedy byla současně řešením obou rovnic.
Příklad 4.8: Potvrďte graficky, že daná soustava má nekonečně mnoho řešení (Herman
et al., 2000, s. 82):
𝑥 − 2𝑦 = 1
3𝑥 − 6𝑦 = 3
Řešení: Opět začneme tím, že z obou rovnic vyjádříme 𝑦 a následně nakreslíme do
jednoho obrázku grafy obou lineárních funkcí, které tímto vyjádřením získáme.
𝑓:⁡𝑦 =
1
2
𝑥 −
1
2
, 𝑔:⁡𝑦 =
1
2
𝑥 −
1
2
Oba funkční předpisy jsou stejné, přímky jsou tedy totožné.
𝑓:⁡𝑦 =
1
2
𝑥 −
1
2
𝑥 0 2
𝑦
−
1
2
1
2
43
Obrázek 5: Totožné přímky.
To, že jsou přímky totožné, znamená, že každý bod, který leží na jedné z přímek, leží
současně i na druhé, tedy je řešením dané soustavy. Takovýchto bodů je nekonečně
mnoho, proto i řešená soustava má nekonečně mnoho řešení.
4.6 Slovní úlohy
Kromě toho, že se žáci v devátých třídách poprvé seznamují s metodami řešení soustav
dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými, učí se následně tyto poznatky využít
k řešení slovních úloh. U nich je navíc vyžadováno, aby žáci dokázali interpretovat údaje
ze zadání a sami soustavu rovnic sestavili, než mohou přistoupit k jejímu řešení.
Slovní úlohy řešené pomocí soustav lineárních rovnic mohou být velmi různorodé.
Odvárko a Kadleček (2019) zařazují ve své učebnici k této látce úlohy o směsích,
roztocích a pohybu.
Příklad 4.9: Třídní pokladník Jarda bude objednávat vstupenky na divadelní představení
Jehla v kupce sena. Cena dražších vstupenek je 110 Kč, levnější stojí 90 Kč. Jarda vybral
celkem 2620 Kč od 26 zájemců. Nezapsal si ale, kolik z nich si předplatilo dražší
vstupenky a kolik vstupenky lacinější. Dokážeš to vypočítat? (Odvárko & Kadleček,
2019, s. 16)
Řešení: Nejprve uděláme stručný zápis zadání, ze kterého následně určíme, jak bude
vypadat soustava rovnic.
44
Neznámé budou v tomto případě počty zájemců o různě drahé vstupenky:
Počet zájemců o dražší vstupenky … 𝑥
Počet zájemců o levnější vstupenky … 𝑦
Počet zájemců celkem … 26
Dále zapíšeme, co platí o částkách vybraných na koupi vstupenek:
Částka vybraná na koupi dražších vstupenek … 110 ∙ 𝑥 Kč
Částka vybraná na koupi levnějších vstupenek … 90 ∙ 𝑦 Kč
Celková vybraná částka … 2620 Kč
Celkový počet zájemců se musí rovnat počtu zájemců o dražší vstupenky a počtu zájemců
o levnější vstupenky dohromady. To zapíšeme do rovnice, čímž získáme jednu rovnici
soustavy. Zároveň celková vybraná částka se musí rovnat částkám vybraným na koupi
dražších a levnějších vstupenek dohromady, což dává druhou rovnici soustavy:
𝑥 + 𝑦 = 26
110𝑥 + 90𝑦 = 2620
Soustava je sestavená, přejdeme k jejímu řešení. K tomu můžeme využít kteroukoliv
z dříve popsaných metod. Použijeme metodu sčítací. Vynásobíme první rovnici číslem
−11 a druhou rovnici číslem
1
10
, aby byly koeficienty před 𝑥 opačná čísla:
𝑥 + 𝑦 = 26⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/∙ (−11)
110𝑥 + 90𝑦 = 2620⁡⁡⁡⁡⁡/∙
1
10
Získáváme tuto soustavu:
−11𝑥 − 11𝑦 = −286⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
11𝑥 + 9𝑦 = 262
Sečteme obě rovnice a spočítáme hodnotu 𝑦:
−2𝑦 = −24⁡⁡⁡⁡⁡⁡/∙ (−
1
2
)
𝑦 = 12
45
Dosazením do jedné z původních rovnic dopočítáme hodnotu 𝑥:
𝑥 + 𝑦 = 26⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−y
𝑥 = −𝑦 + 26
𝑥 = −12 + 26
𝑥 = 14
Spočítaná hodnota 𝑥 odpovídá počtu zájemců o dražší vstupenky a 𝑦 počtu zájemců
o levnější vstupenky. Řešení slovní úlohy je vhodné ověřit zkouškou. Nejprve ověříme
správnost řešení soustavy:
𝐿1([14; 12]) = 14 + 12 = 26 𝑃1([14; 12]) = 26 𝐿1 = 𝑃1
𝐿2([14; 12]) = 110 ∙ 14 + 90 ∙ 12 = 2620 𝑃2([14; 12]) = 2620 𝐿2 = 𝑃2
Následně provedeme zkoušku údajů ze zadání: 14 + 12 = 26,
110 ∙ 14 + 90 ∙ 12 = 2620.
Zkouška potvrdila správnost řešení. Můžeme napsat odpověď: Dražší vstupenky si
předplatilo 14 zájemců a levnější vstupenky si předplatilo 12 zájemců.
Příklad 4.10: Chceme připravit 200 gramů 30% kyseliny dusičné. Máme k dispozici
dostatek 12% a 60% této kyseliny. Kolik které z nich budeme potřebovat? (Odvárko
& Kadleček, 2019, s. 17)
Než začneme s řešením úlohy, je potřeba vyjasnit, co znamenají údaje v zadání.
V učebnici je uvedeno, že mluvíme-li o 30% kyselině, máme na mysli roztok, ve kterém
je na 100 g roztoku obsaženo 30 g kyseliny a 70 g vody. Obdobně u 12% a 60% kyseliny.
S touto informací jsme již schopni příklad vyřešit pomocí soustavy dvou lineárních rovnic
se dvěma neznámými.
Řešení: V této slovní úloze budou neznámé představovat hmotnosti 12% a 60% roztoku
kyseliny, které použijeme k přípravě 30% roztoku:
Hmotnost roztoku 12% kyseliny ve výsledném roztoku … 𝑥 g
Hmotnost roztoku 60% kyseliny ve výsledném roztoku … 𝑦 g
Celková hmotnost výsledného roztoku … 200 g
Dále popíšeme, jakou hmotnost ve výsledném roztoku zaujme pouze samotná kyselina
z použitého 12% a 60% roztoku:
46
Hmotnost kyseliny z 12% roztoku ve výsledném roztoku …0,12 ∙ 𝑥 g
Hmotnost kyseliny z 60% roztoku ve výsledném roztoku … 0,60⁡ ∙ 𝑦 g
Celková hmotnost kyseliny ve výsledném roztoku … 0,30 ∙ 200 g
Na základě zápisu vytvoříme soustavu. První rovnice vypovídá o tom, že součet
hmotností použitého 12% roztoku a 60% roztoku se musí rovnat celkové hmotnosti
výsledného roztoku. Druhá představuje informaci, že součet hmotností kyseliny z 12%
a 60% roztoku se musí rovnat celkové hmotnosti kyseliny ve výsledném roztoku.
Sestavíme tedy soustavu rovnic a vyřešíme ji pomocí dosazovací metody:
𝑥 + 𝑦 = 200
0,12𝑥 + 0,6𝑦 = 0,3 ∙ 200
Z první rovnice vyjádříme neznámou 𝑥:
𝑥 + 𝑦 = 200⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−𝑦
𝑥 = −𝑦 + 200
Vyjádření dosadíme za 𝑥 do druhé rovnice a dopočítáme hodnotu 𝑦:
0,12 ∙ (−𝑦 + 200) + 0,6𝑦 = 0,3 ∙ 200
−0,12𝑦 + 24 + 0,6𝑦 = 60⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−24
0,48𝑦 = 36⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/∙
25
12
𝑦 = 75
Dosazením do vyjádření 𝑥 určíme hodnotu druhé neznámé:
𝑥 = −75 + 200
𝑥 = 125
Soustava je vyřešena. Hodnota 𝑥 odpovídá hmotnosti v gramech 12% roztoku kyseliny
a 𝑦 hmotnosti v gramech 60% roztoku kyseliny použitého k přípravě 30% roztoku.
Provedeme zkoušku správnosti řešení soustavy:
𝐿1([125; 75]) = 125 + 75 = 200 𝑃1([125; 75]) = 200 𝐿1 = 𝑃1
𝐿2([125; 75]) = 0,12 ∙ 125 + 0,6 ∙ 75 = 60 𝑃2([125; 75]) = 0,3 ∙ 200 = 60 𝐿2 = 𝑃2
Následně ověříme, že spočítané údaje vyhovují zadání: 125 + 75 = 200,
0,12 ∙ 125 + 0,6 ∙ 75 = 60; ⁡60 ∶ 200 = 0,3.
47
Ověřili jsme správnost řešení. Napíšeme odpověď: Budeme potřebovat 125 gramů 12%
kyseliny dusičné a 75 gramů 60% kyseliny dusičné.
Příklad 4.11: Cesta od Adama k Evě je dlouhá 4 km. Adam si s Evou dojednal schůzku
a vyrazil za ní rychlostí 6 km/h. Eva v témž okamžiku vyšla Adamovi naproti rychlostí
4 km/h. Kolik kilometrů ujde Adam k místu setkání a kolik ujde Eva? Za jak dlouho se
setkají? (Odvárko & Kadleček, 2019, s. 20)
Řešení: Opět uděláme stručný zápis, který využijeme při sestavování soustavy rovnic.
Tentokrát jako neznámé 𝑥 a 𝑦 označíme počet kilometrů, které ujdou Adam a Eva:
Vzdálenost, kterou ujde Adam … 𝑥 km
Vzdálenost, kterou ujde Eva … 𝑦 km
Celková vzdálenost … 4 km
Dále popíšeme, jak dlouho Adam a Eva půjdou, než se setkají, k čemuž využijeme údajů
o tom, jakou jdou rychlostí:
Doba chůze Adama …
𝑥
6
h
Doba chůze Evy …
𝑦
4
h
Součet vzdáleností, kterou ujde Adam a Eva se musí rovnat celkové vzdálenosti, kterou
je potřeba ujít. Vzhledem k tomu, že Adam a Eva vyšli ve stejný okamžik
a předpokládáme, že oba půjdou tak dlouho, dokud se nesetkají, budou se doby jejich
chůze rovnat. Z těchto údajů sestavíme soustavu:
𝑥 + 𝑦 = 4
𝑥
6
=
𝑦
4
K řešení použijeme tentokrát porovnávací metodu, proto nejprve z obou rovnic vyjádříme
neznámou 𝑥:
𝑥 + 𝑦 = 4⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−𝑦
𝑥
6
=
𝑦
4
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/∙ 6
𝑥 = −𝑦 + 4
𝑥 =
3
2
𝑦
48
Obě vyjádření porovnáme a dopočítáme hodnotu 𝑦:
−𝑦 + 4 =
3
2
𝑦⁡⁡⁡⁡⁡/−
3
2
𝑦 − 4
−
5
2
𝑦 = −4⁡⁡⁡⁡⁡⁡/∙ (−
2
5
)
𝑦 =
8
5
𝑦 = 1,6
Dosazením do jednoho z vyjádření 𝑥 dopočítáme druhou neznámou:
𝑥 = −1,6 + 4
𝑥 = 2,4
Vyřešením soustavy jsme získali odpověď na otázku, kolik kilometrů ujde Adam a kolik
ujde Eva k místu setkání. V zadání se dále ptají, za jak dlouho se setkají. Označme tuto
dobu jako 𝑡. Doba, za kterou se setkají, odpovídá době chůze Adama a Evy, kterou jsme
vyjádřili hned na začátku, takže ji můžeme spočítat dosazením do jednoho z vyjádření:
𝑡 =
𝑥
6
𝑡 =
2,4
6
𝑡 = 0,4
Vyjádření doby je v hodinách, proto údaj převedeme na minuty: 0,4 h odpovídá 24
minutám.
Provedeme zkoušku správnosti řešení soustavy:
𝐿1([2,4; 1,6]) = 2,4 + 1,6 = 4 𝑃1([2,4; 1,6]) = 4 𝐿1 = 𝑃1
𝐿2([2,4; 1,6]) =
2,4
6
= 0,4 𝑃2([2,4; 1,6]) =
1,6
4
= 0,4 𝐿2 = 𝑃2
Ověříme, že spočítané údaje vyhovují zadání: 2,4 + 1,6 = 4, 0;⁡
2,4
0,4
= 6;⁡⁡
1,6
0,4
= 4.⁡
Zkouška potvrdila správnost řešení, takže napíšeme odpověď: Adam ujde k místu setkání
2,4 km a Eva ujde k místu setkání 1,6 km. Setkají se za 24 minut.
49
5. Řešení soustav lineárních rovnic na střední škole
Při probírání tématu soustav lineárních rovnic na středních školách se obvykle začíná
opakováním dříve probrané látky. Žáci si tak nejprve připomínají možnosti řešení soustav
dvou rovnic se dvěma neznámými. Následně však přecházejí k řešení soustav tvořených
více rovnicemi s větším počtem neznámých. Látka se obvykle vysvětluje a procvičuje na
soustavách tří rovnic se třemi neznámými. Znalosti je možné následně aplikovat i na větší
soustavy.
5.1 Soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými
Soustavu tří lineárních rovnic se třemi neznámými definujeme stejně, jako jsme
definovali soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými, pouze v definici
přidáváme jednu rovnici a v každé rovnici přibývá jeden sčítanec s reálným násobkem
třetí neznámé. Neznámé budeme odteď označovat jako 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3. Řešením jsou potom
všechny uspořádané trojice [𝑥1;⁡𝑥2;⁡𝑥3] takové, že když je dosadíme do každé ze tří
rovnic, dostaneme platnou rovnost.
Řešení můžeme nalézt metodami, které jsme využívali při řešení soustav dvou lineárních
rovnic se dvěma neznámými. Při použití dosazovací, sčítací a porovnávací metody
nejprve převedeme soustavu na soustavu dvou rovnic se dvěma neznámými, kterou pak
dořešíme kteroukoliv z těchto metod. Užití těchto tří metod ukážeme na příkladech.
Příklad 5.1: Řešte soustavu rovnic (Janeček, 1995, s. 95):
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 0
2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 1
4𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = 0
Řešení: Soustavu vyřešíme pomocí dosazovací metody. Nejprve vyjádříme z jedné
rovnice jednu neznámou. Nejvhodnější je vyjadřovat z první rovnice, jelikož absolutní
člen je roven 0 a zároveň koeficienty u neznámých jsou rovny 1, respektive −1.
Vyjádříme tedy z této rovnice neznámou 𝑥1:
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−𝑥2 + 𝑥3
𝑥1 = −𝑥2 + 𝑥3
50
Vyjádření dosadíme do zbývajících rovnic, které upravíme:
2 ∙ (−𝑥2 + 𝑥3) + 𝑥2 − 𝑥3 = 1
4 ∙ (−𝑥2 + 𝑥3) + 2𝑥2 − 3𝑥3 = 0
−2𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥3 = 1
−4𝑥2 + 4𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = 0
−𝑥2 + 𝑥3 = 1
−2𝑥2 + 𝑥3 = 0
Získáváme soustavu dvou rovnic se dvěma neznámými, kterou budeme dál řešit
dosazovací metodou. Vyjádříme z první rovnice neznámou 𝑥3 a dosadíme ji do druhé
rovnice:
−𝑥2 + 𝑥3 = 1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/+𝑥2
𝑥3 = 𝑥2 + 1
−2𝑥2 + 𝑥2 + 1 = 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
−𝑥2 = −1⁡⁡⁡⁡⁡⁡/∙ (−1)
𝑥2 = 1
Hodnotu 𝑥2 dosadíme do vyjádření neznámé 𝑥3 a dopočítáme její hodnotu. Následně
dosazením do vyjádření 𝑥1 dopočítáme i tuto neznámou:
𝑥3 = 1 + 1
𝑥3 = 2
𝑥1 = −1 + 2
𝑥1 = 1
Získáváme řešení, které zapíšeme jako množinu: 𝐾 = {[1; 1; 2]}.
Při provádění zkoušky musíme ověřit, že po dosazení řešení dostaneme platnou rovnost
ve všech třech rovnicích:
𝐿1([1; 1; 2]) = 1 + 1 − 2 = 0 𝑃1([1; 1; 2]) = 0 𝐿1 = 𝑃1
𝐿2([1; 1; 2]) = 2 ∙ 1 + 1 − 2 = 1 𝑃2([1; 1; 2]) = 1 𝐿2 = 𝑃2
𝐿3([1; 1; 2]) = 4 ∙ 1 + 2 ∙ 1 − 3 ∙ 2 = 0 𝑃3([1; 1; 2]) = 0 𝐿3 = 𝑃3
Zkouška ověřila správnost spočítaného řešení soustavy.
51
Příklad 5.2: Řešte soustavu rovnic (Janeček, 1995, s. 95):
𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −8
−3𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 10
2𝑥1 − 3𝑥2 + 2𝑥3 = 5
Řešení: Soustavu budeme řešit metodou sčítací. Rovnice musíme upravit tak, abychom
po sečtení eliminovali jednu neznámou. Vynásobíme první rovnici číslem 3 a sečteme ji
s druhou rovnicí soustavy:
𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −8⁡⁡⁡⁡⁡/∙ 3⁡⁡⁡⁡
−3𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 10
3𝑥1 + 6𝑥2 − 9𝑥3 = −24
−3𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 10
7𝑥2 − 7𝑥3 = −14
Vynásobíme první rovnici číslem −2 a sečteme ji s třetí rovnicí soustavy:
𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −8⁡⁡⁡⁡⁡/∙ (−2)
2𝑥1 − 3𝑥2 + 2𝑥3 = 5
−2𝑥1 − 4𝑥2 + 6𝑥3 = 16⁡
2𝑥1 − 3𝑥2 + 2𝑥3 = 5
−7𝑥2 + 8𝑥3 = 21⁡⁡
Získáváme soustavu dvou rovnic se dvěma neznámými. Koeficienty před neznámou 𝑥2
jsou opačná čísla, můžeme tedy soustavu dále řešit sčítací metodou a rovnice okamžitě
sečíst:
7𝑥2 − 7𝑥3 = −14
−7𝑥2 + 8𝑥3 = 21
𝑥3 = 7
Vzniklou rovnici již nemusíme nijak upravovat, získali jsme ihned hodnotu neznámé 𝑥3.
Jejím dosazením do jedné ze dvou rovnic se dvěma neznámými dopočítáme hodnotu
neznámé 𝑥2 a následně dosazením do jedné z původních rovnic soustavy dopočítáme
i hodnotu neznámé 𝑥1:
52
7𝑥2 − 7𝑥3 = −14⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/+7𝑥3
7𝑥2 = 7𝑥3 − 14⁡⁡⁡⁡⁡/∙
1
7
⁡
𝑥2 = 𝑥3 − 2
𝑥2 = 7 − 2
𝑥2 = 5
𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −8⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−2𝑥2 + 3𝑥3
𝑥1 = −2𝑥2 + 3𝑥3 − 8
𝑥1 = −2 ∙ 5 + 3 ∙ 7 − 8
𝑥1 = 3
Množina řešení dané soustavy obsahuje jednu uspořádanou trojici: 𝐾 = {[3; 5; 7]}.
Správnost řešení by opět ověřila zkouška, která by se prováděla stejným způsobem jako
v příkladu 5.1.
Příklad 5.3: Řešte soustavu rovnic (Janeček, 1995, s. 95):
𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 = 0
𝑥1 − 𝑥2 − 8𝑥3 = 0
3𝑥1 + 5𝑥2 + 4𝑥3 = 4
Řešení: Soustavu budeme řešit pomocí porovnávací metody. V prvním kroku vyjádříme
ze všech tří rovnic stejnou neznámou. Můžeme vybrat kteroukoliv, vyjádřeme neznámou
𝑥1:
𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 = 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−𝑥2 + 2𝑥3
𝑥1 − 𝑥2 − 8𝑥3 = 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/+𝑥2 + 8𝑥3
3𝑥1 + 5𝑥2 + 4𝑥3 = 4⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−5𝑥2 − 4𝑥3
𝑥1 = −𝑥2 + 2𝑥3
𝑥1 = 𝑥2 + 8𝑥3
3𝑥1 = −5𝑥2 − 4𝑥3 + 4⁡⁡⁡⁡⁡⁡/∙
1
3
𝑥1 = −𝑥2 + 2𝑥3
𝑥1 = 𝑥2 + 8𝑥3
𝑥1 = −
5
3
𝑥2 −
4
3
𝑥3 +
4
3
Z těchto tří vyjádření sestavíme dvě rovnice tak, že porovnáme vždy dvě vyjádření. Není
podstatné, jaké dvojice zvolíme, pouze musíme využít všechna vyjádření:
53
−𝑥2 + 2𝑥3 = 𝑥2 + 8𝑥3
−𝑥2 + 2𝑥3 = −
5
3
𝑥2 −
4
3
𝑥3 +
4
3
Získáváme soustavu dvou rovnic se dvěma neznámými. Setrváme u porovnávací metody
a soustavu dořešíme. Z obou rovnic vyjádříme neznámou 𝑥2 a jejich porovnáním získáme
jednu rovnici s jednou neznámou, ze které dopočítáme hodnotu 𝑥3:
−𝑥2 + 2𝑥3 = 𝑥2 + 8𝑥3⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−𝑥2 − 2𝑥3
−𝑥2 + 2𝑥3 = −
5
3
𝑥2 −
4
3
𝑥3 +
4
3
⁡⁡⁡⁡⁡/+
5
3
𝑥2 − 2𝑥3
−2𝑥2 = 6𝑥3⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/∙ (−
1
2
)
2
3
𝑥2 = −
10
3
𝑥3 +
4
3
⁡⁡⁡⁡⁡/∙
3
2
𝑥2 = −3𝑥3
𝑥2 = −5𝑥3 + 2
−3𝑥3 = −5𝑥3 + 2⁡⁡⁡⁡⁡/+5𝑥3
2𝑥3 = 2⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/∙
1
2
𝑥3 = 1
Když známe hodnotu neznámé 𝑥3, můžeme jejím dosazením do jednoho z vyjádření 𝑥2
dopočítat hodnotu této neznámé. Následně dosazením do jednoho z vyjádření 𝑥1
dopočítáme i hodnotu poslední neznámé:
𝑥2 = −3 ∙ 1
𝑥2 = −3
𝑥1 = −3 + 8 ∙ 1
𝑥1 = 5
Soustava je vyřešena, zapíšeme množinu řešení: 𝐾 = {[5; −3; 1]}.
Soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými je tedy možné řešit pomocí metod,
které se užívají při řešení soustav dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými. Jejich
použití u větších soustav by však již bylo nevhodné a zdlouhavé, proto se obvykle
počínaje řešením soustav tří rovnic se třemi neznámými žáci na středních školách učí
používat metodu nazvanou Gaussova eliminační metoda, kterou popíšeme v následující
kapitole.
54
5.2 Gaussova eliminační metoda
Při použití Gaussovy eliminační metody převedeme soustavu pomocí ekvivalentních
úprav na soustavu se specificky rozmístěnými koeficienty. Nová soustava musí mít
v případě soustavy tří rovnic:
• v první rovnici nenulový koeficient u první neznámé,
• v druhé rovnici nulový koeficient u první neznámé a nenulový koeficient u druhé
neznámé,
• v třetí rovnici nulový koeficient u první a druhé neznámé a nenulový koeficient
u třetí neznámé.
Ostatní koeficienty mohou být libovolné. Ve zvláštních případech soustavu nepůjde
upravit na tento tvar, a tak se bude vyskytovat nulový koeficient i u druhé neznámé
v druhé rovnici nebo u třetí neznámé ve třetí rovnici. Bude tomu tak u soustav, které mají
nekonečně mnoho řešení, nebo nemají řešení žádné.
Popsaného odstupňovaného tvaru soustavy dosáhneme tím, že nejprve seřadíme rovnice
tak, aby v první byl nenulový koeficient u první neznámé. Pak ke druhé a třetí rovnici
přičteme nebo od nich odečteme takové násobky první rovnice, aby se v nich eliminovala
první neznámá. Následně seřadíme druhou a třetí rovnici tak, aby druhá rovnice měla
nenulový koeficient u druhé neznámé a přičteme nebo odečteme takový její násobek od
třetí rovnice, aby se v třetí rovnici eliminovala druhá neznámá. Z takto upravené soustavy
zpětným dosazením dopočítáme hodnoty všech neznámých.
Častější přístup k řešení je takový, že soustavu přepíšeme do matice. Na levou stranu
matice napíšeme koeficienty od všech neznámých, na pravou stranu napíšeme absolutní
členy, které od zbytku matice oddělíme svislou čárou. Tím získáme rozšířenou matici
soustavy. Tuto matici pak elementárními úpravami převedeme na schodovitý tvar
stejným způsobem, jako jsme popsali v předchozím odstavci. Z toho pak návratem
k rovnicím dopočítáme hodnoty neznámých. Jedná se o totožné postupy, ovšem práce
s maticemi může být přehlednější a rychlejší než přepisování celých rovnic.
55
Příklad 5.4: Řešte soustavu rovnic (Charvát et al., 1999, s. 115):
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 1
𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 2
2𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 3
Řešení: Začneme tím, že soustavu přepíšeme do matice. Píšeme pouze koeficienty před
neznámými na levou stranu matice a absolutní členy na stranu pravou. Každý řádek
v matici zastupuje jednu rovnici a je třeba kontrolovat, že jsou koeficienty stejných
neznámých v matici zapsány pod sebou:
(
1 1 1
1 2 2
2 2 1
|
1
2
3
)
Nyní začneme matici upravovat do schodovitého tvaru. Nejprve potřebujeme vytvořit 0
v prvním sloupci druhého a třetího řádku. Od druhého řádku odečteme řádek první a od
třetího řádku dvojnásobek prvního řádku:
(
1 1 1
1 2 2
2 2 1
|
1
2
3
) −𝑟1
−2𝑟1
⁡~ (
1 1 1
0 1 1
0 0 −1
|
1
1
1
)
Pod diagonálou jsou okamžitě samé nuly, matice je tedy ve schodovitém tvaru a my z ní
můžeme zpětným dosazením dopočítat řešení tak, že se na jednotlivé řádky opět díváme
jako na rovnice s původními neznámými:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 1
𝑥2 + 𝑥3 = 1
−𝑥3 = 1
Z poslední rovnice získáme hodnotu neznámé 𝑥3:
−𝑥3 = 1⁡⁡⁡⁡⁡/∙ (−1)
𝑥3 = −1
Dosazením za 𝑥3 do druhé rovnice dopočítáme hodnotu neznámé 𝑥2:
𝑥2 + 𝑥3 = 1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−𝑥3
𝑥2 = −⁡𝑥3 + 1
𝑥2 = −1 ∙ (−1) + 1
𝑥2 = 2
56
Nakonec dopočítáme hodnotu neznámé 𝑥1, čímž získáme kompletní řešení soustavy
lineárních rovnic:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−𝑥2 − 𝑥3
𝑥1 = −𝑥2 − 𝑥3 + 1
𝑥1 = −2 − 1 ∙ (−1) + 1
𝑥1 = 0
Množina řešení soustavy vypadá takto: 𝐾 = {[0; 2;⁡−1]}.
Právě vyřešená soustava rovnic měla jedno řešení. Uvedeme ještě dva příklady, na
kterých vysvětlíme, jak při řešení soustavy pomocí Gaussovy eliminační metody z matice
poznáme, že soustava má nekonečně mnoho řešení nebo nemá řešení žádné.
Příklad 5.5: Řešte soustavu rovnic (Charvát et al., 1999, s. 115):
𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 2
𝑥1 + 2𝑥2 − 2𝑥3 = 3
6𝑥1 − 3𝑥2 + 8𝑥3 = 13
Řešení: Nejprve soustavu přepíšeme do matice:
(
1 −1 2
1 2 −2
6 −3 8
|
2
3
13
)
Začneme matici upravovat do schodovitého tvaru. V prvním kroku odečítáme od druhého
a třetího řádku nenulové násobky řádku prvního tak, aby se v prvních sloupcích v těchto
řádcích vyskytovala 0.⁡ Od druhého řádku tedy odečteme první řádek a od třetího řádku
odečteme šestinásobek prvního řádku:
(
1 −1 2
1 2 −2
6 −3 8
|
2
3
13
) −𝑟1
−6𝑟1
~ (
1 −1 2
0 3 −4
0 3 −4
|
2
1
1
)
V dalším kroku provádíme takovou úpravu, aby v druhém sloupci třetího řádku byla 0.
Toho dosáhneme odečtením druhého řádku od řádku třetího:
(
1 −1 2
0 3 −4
0 3 −4
|
2
1
1
)
−𝑟2
~ (
1 −1 2
0 3 −4
0 0 0
|
2
1
0
)
Jelikož druhý a třetí řádek byly naprosto stejné, vznikl v matici po tomto odečtení nulový
řádek. To znamená, že třetí rovnice soustavy byla nadbytečná, vypovídala totéž, co první
57
a druhá rovnice. Když se nyní vrátíme k rovnicím, ze kterých budeme dopočítávat řešení,
budeme mít soustavu pouze dvou rovnic:
𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 2
3𝑥2 − 4𝑥3 = 1
Nová soustava je tvořena dvěma rovnicemi, které ale mají tři neznámé. To, že je rovnic
méně než neznámých, určuje, že soustava má nekonečně mnoho řešení. Chceme-li tato
řešení vyjádřit, zvolíme za jednu neznámou parametr 𝑡 a zbylé neznámé vyjádříme
pomocí tohoto parametru:
𝑥3 = 𝑡⁡⁡⁡⁡⁡𝑡 ∈ 𝑅
3𝑥2 − 4𝑥3 = 1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/+⁡4𝑥3⁡
3𝑥2 = 4𝑥3 + 1⁡⁡⁡⁡⁡/∙
1
3
𝑥2 =
1
3
+
4
3
𝑥3
𝑥2 =
1
3
+
4
3
𝑡⁡⁡⁡⁡⁡𝑡 ∈ 𝑅
𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 2⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/+𝑥2 − 2𝑥3⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
𝑥1 = 𝑥2 − 2𝑥3 + 2
𝑥1 =
1
3
+
4
3
𝑡 − 2𝑡 + 2
𝑥1 =
7
3
−
2
3
𝑡⁡⁡⁡⁡⁡𝑡 ∈ 𝑅
Řešení soustavy je nekonečně mnoho a mají tvar: 𝐾 = {[
7
3
−
2
3
𝑡;
1
3
+
4
3
𝑡; 𝑡] , 𝑡 ∈ 𝑅}.
Pokud po úpravě matice na schodovitý tvar zůstane v matici méně nenulových řádků, než
je počet neznámých v soustavě rovnic, a žádný řádek nemá na levé straně matice samé
nuly a současně na pravé číslo různé od nuly, soustava má nekonečně mnoho řešení.
Příklad 5.6: Řešte soustavu rovnic (Charvát et al., 1999, s. 115):
5𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 = 2
3𝑥1 + 4𝑥2 − 3𝑥3 = 1
−2𝑥1 − 𝑥2 − 4𝑥3 = 0
Řešení: Přepíšeme soustavu do matice:
(
5 5 1
3 4 −3
−2 −1 −4
|
2
1
0
)
58
Nejprve opět vytváříme nuly v prvním sloupci druhého a třetího řádku. Začneme tím, že
vynásobíme druhý a třetí řádek matice číslem 5. Od druhého řádku pak odečteme
trojnásobek prvního řádku a k třetímu řádku přičteme dvojnásobek prvního:
(
5 5 1
3 4 −3
−2 −1 −4
|
2
1
0
) ∙ 5
∙ 5
~ (
5 5 1
15 20 −15
−10 −5 −20
|
2
5
0
) −3𝑟1
+2𝑟1
~ (
5 5 1
0 5 −18
0 5 −18
|
2
−1
4
)
Pro dokončení schodovitého tvaru potřebujeme vytvořit 0 v druhém sloupci třetího řádku.
Odečteme tedy od třetího řádku řádek druhý:
(
5 5 1
0 5 −18
0 5 −18
|
2
−1
4
)
−𝑟2
~ (
5 5 1
0 5 −18
0 0 0
|
2
−1
5
)
Získáváme schodovitý tvar matice, můžeme z něj číst řešení. V tomto případě jsou na
posledním řádku na levé straně samé nuly a na pravé straně číslo 5, tedy číslo různé od
0. Při přepisu tohoto řádku do rovnice dostáváme:
0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 = 5
Žádná uspořádaná trojice [𝑥1; 𝑥2; 𝑥3], která by splňovala tuto rovnost však neexistuje.
Množina řešení soustavy je prázdná: 𝐾 = ∅.
Vždy, když při úpravě matice na schodovitý tvar vznikne řádek, který má na levé straně
samé nuly a na pravé straně číslo různé od nuly, soustava nemá řešení.
Při řešení soustav více lineárních rovnic s více neznámými Gaussovou eliminační
metodou je postup totožný, pouze je většinou potřeba udělat více kroků, než je matice
upravena do schodovitého tvaru.
Příklad 5.7: Řešte soustavu rovnic se čtyřmi neznámými 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 (Charvát et al.,
1999, s. 115):
𝑥1 − 2𝑥3 + 𝑥4 = 3
2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 5
𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥4 = 1
2𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 = −3
Řešení: Postup řešení bude totožný jako v předcházejících příkladech. Můžeme tedy
soustavu přepsat do matice a tentokrát již bez komentování upravit na schodovitý tvar:
59
(
1 0 −2 1
2 −1 1 0
1 −1 0 −2
0 2 1 −1
|
3
5
1
−3
)
−2𝑟1
−𝑟1
~ (
1 0 −2 1
0 −1 5 −2
0 −1 2 −3
0 2 1 −1
|
3
−1
−2
−3
)
−𝑟2
+2𝑟2
~⁡⁡⁡
~ (
1 0 −2 1
0 −1 5 −2
0 0 −3 −1
0 0 11 −5
|
3
−1
−1
−5
)
∙ 3
~⁡(
1 0 −2 1
0 −1 5 −2
0 0 −3 −1
0 0 33 −15
|
3
−1
−1
−15
)
+11𝑟3
~
~ (
1 0 −2 1
0 −1 5 −2
0 0 −3 −1
0 0 0 −26
|
3
−1
−1
−26
)
Matice je ve schodovitém tvaru, dopočítáme řešení:
−26𝑥4 = −26⁡⁡⁡⁡⁡/∙ (−
1
26
)
𝑥4 = 1
−3𝑥3 − 𝑥4 = −1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/+𝑥4
−3𝑥3 = 𝑥4 − 1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/∙ (−
1
3
)
𝑥3 = −
1
3
⁡𝑥4 +
1
3
𝑥3 = −
1
3
∙ 1 +
1
3
𝑥3 = 0
−𝑥2 + 5𝑥3 − 2𝑥4 = −1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/−5𝑥3 + 2𝑥4
−𝑥2 = −5𝑥3 + 2𝑥4 − 1⁡⁡⁡⁡⁡/∙ (−1)
𝑥2 = 5𝑥3 − 2𝑥4 + 1⁡
𝑥2 = 5 ∙ 0 − 2 ∙ 1 + 1
𝑥2 = −1
𝑥1 − 2𝑥3 + 𝑥4 = 3⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡/+2𝑥3 − 𝑥4
𝑥1 = 2𝑥3 − 𝑥4 + 3
𝑥1 = 2 ∙ 0 − 1 + 3
𝑥1 = 2
Množina řešení obsahuje jednu uspořádanou čtveřici: 𝐾 = {[2;⁡−1; 0; 1]}.
60
6. Řešení soustav lineárních rovnic na vysoké škole
6.1 Gaussova a Jordanova eliminační metoda
Základní metodou využívanou k řešení soustav lineárních rovnic je i v rámci
vysokoškolského učiva Gaussova eliminační metoda, která byla již popsána v kapitole
o řešení soustav lineárních rovnic na středních školách. Při této metodě vycházíme
z poznatku, že ekvivalentní úpravy soustavy lineárních rovnic nemění množinu jejích
řešení. Zapíšeme rozšířenou matici soustavy, kterou následně pomocí ekvivalentních
úprav převedeme na schodovitý tvar. Z takto upravené rozšířené matice soustavy nejprve
na základě Frobeniovy věty rozhodneme o počtu řešení a v případě, že soustava má
řešení, toto řešení, případně nekonečně mnoho řešení, zpětnou substitucí určíme.
Obdobnou metodou, jako je Gaussova eliminační metoda, je Jordanova metoda úplné
eliminace. Principem této metody je úprava levé strany rozšířené matice soustavy do
tvaru jednotkové matice. Po takovéto úpravě dostáváme na pravé straně rozšířené matice
přímo hodnoty neznámých.
Příklad 6.1: Řešte soustavu lineárních rovnic (Černá, 1997, s. 86):
𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 = 0
2𝑥1 + 5𝑥2 − 3𝑥3 + 3𝑥4 = 0
𝑥1 + 2𝑥3 − 2𝑥4 = 9
2𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 + 9𝑥4 = 3
Řešení: Nejprve napíšeme rozšířenou matici soustavy (𝐴|𝑏):
(
1 3 −2 1
2 5 −3 3
1 0 2 −2
2 −1 4 9
|
0
0
9
3
)
Tuto matici začneme postupně upravovat tak, abychom na levé straně získali jednotkovou
matici. Nejprve na levé straně vytvoříme matici ve schodovitém tvaru:
(
1 3 −2 1
2 5 −3 3
1 0 2 −2
2 −1 4 9
|
0
0
9
3
)
−2𝑟1
−𝑟1
−2𝑟1
~ (
1 3 −2 1
0 −1 1 1
0 −3 4 −3
0 −7 8 7
|
0
0
9
3
)
−3𝑟2
−7𝑟2
⁡~
61
~ (
1 3 −2 1
0 −1 1 1
0 0 1 −6
0 0 1 0
|
0
0
9
3
)
−𝑟3
~ (
1 3 −2 1
0 −1 1 1
0 0 1 −6
0 0 0 6
|
0
0
9
−6
)
Nyní začneme vytvářet nuly nad hlavní diagonálou. Postup bude totožný, jako když jsme
vytvářeli schodovitý tvar, pouze tentokrát budeme postupovat odspodu:
(
1 3 −2 1
0 −1 1 1
0 0 1 −6
0 0 0 6
|
0
0
9
−6
)
∙
1
6
~ (
1 3 −2 1
0 −1 1 1
0 0 1 −6
0 0 0 1
|
0
0
9
−1
)
−𝑟4
−𝑟4
+6𝑟4
~
~ (
1 3 −2 0
0 −1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
|
1
1
3
−1
)
+2𝑟3
−𝑟3
~ (
1 3 0 0
0 −1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
|
7
−2
3
−1
)
+3𝑟2
~
~ (
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
|
1
−2
3
−1
)
Matice je upravena tak, že na levé straně je diagonální matice. V posledním kroku úprav
pouze vynásobíme jednotlivé řádky takovým reálným číslem, aby byly na hlavní
diagonále samé jedničky. Vynásobíme druhý řádek číslem −1:
(
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
|
1
−2
3
−1
)
∙ (−1)
~ (
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
|
1
2
3
−1
)
Z takto upravené matice určíme řešení. Hodnost matice 𝐴 se rovná hodnosti rozšířené
matice soustavy i počtu neznámých, soustava má tedy právě jedno řešení. Toto řešení
čteme přímo z pravé strany rozšířené matice soustavy:
𝑥1 = 1
𝑥2 = 2
𝑥3 = 3
𝑥4 = −1
Řešení zapíšeme jako množinu: 𝐾 = {[1; 2; 3; −1]}.
62
6.2 Cramerovo pravidlo
Další možností řešení soustav lineárních rovnic na vysokoškolské úrovni je využití
Cramerova pravidla. To vyžaduje znalost pojmu determinant a postup jeho výpočtu.
Princip pravidla popisuje následující věta.
Věta 6.1: Cramerovo pravidlo: Nechť je dána soustava 𝑛 lineárních rovnic o 𝑛
neznámých, jejíž matice soustavy 𝐴 je regulární. Pak má tato soustava jediné řešení
(𝑥1, … , 𝑥 𝑛) přičemž platí:
𝑥𝑗 =
det 𝐴 𝑗
det 𝐴
pro 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛,
kde matice 𝐴𝑗 je matice vzniklá z matice 𝐴 nahrazením j-tého sloupce sloupcem pravých
stran.
Důkaz: Soustavu lineárních rovnic můžeme zapsat maticově ve tvaru: 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵, kde
𝑋 = (
𝑥1
⋮
𝑥 𝑛
), 𝐵 = (
𝑏1
⋮
𝑏 𝑛
). Matice 𝐴 je z předpokladu regulární, takže k ní existuje inverzní
matice 𝐴−1
.⁡ Touto inverzní maticí vynásobíme zleva rovnost 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵, čímž dostáváme
𝐴−1
∙ 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐴−1
∙ 𝐵. Odtud 𝑋 = 𝐴−1
∙ 𝐵, což je jediné řešení dané soustavy.
Pro inverzní matici platí: 𝐴−1
=
1
det 𝐴
∙ 𝐴̅ =
1
det 𝐴
∙
(
𝐷11 𝐷21 ⋯ 𝐷 𝑛1
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝐷1𝑗 𝐷2𝑗 ⋯ 𝐷 𝑛𝑗
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝐷1𝑛 𝐷2𝑛 ⋯ 𝐷 𝑛𝑛)
. Dosazením
do 𝑋 = 𝐴−1
∙ 𝐵 dostáváme:
(
𝑥1
⋮
𝑥𝑗
⋮
𝑥 𝑛)
=
1
det 𝐴
∙
(
𝐷11 𝐷21 ⋯ 𝐷 𝑛1
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝐷1𝑗 𝐷2𝑗 ⋯ 𝐷 𝑛𝑗
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝐷1𝑛 𝐷2𝑛 ⋯ 𝐷 𝑛𝑛)
∙
(
𝑏1
⋮
𝑏𝑗
⋮
𝑏 𝑛)
.
Z této maticové rovnice vyjádříme neznámou 𝑥𝑗:
𝑥𝑗 =
1
det 𝐴
∙ (𝐷1𝑗 ∙ 𝑏1 + 𝐷2𝑗 ∙ 𝑏2 + ⋯ + 𝐷 𝑛𝑗 ∙ 𝑏 𝑛) =
63
=
1
det 𝐴
∙ ||
𝑎11 ⋯ 𝑎1,𝑗−1 𝑏1 𝑎1,𝑗+1 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 ⋯ 𝑎2,𝑗−1 𝑏2 𝑎2,𝑗+1 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛,𝑗−1 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛,𝑗+1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛
||
Užitím Laplaceovy věty o rozvoji determinantu skutečně dostáváme: 𝑥𝑗 =
det 𝐴 𝑗
det 𝐴
pro
každé 𝑗 = 1, … , 𝑛. ∎ (Horák & Janyška, 2022)
Příklad 6.2: Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla (Horák, 1998,
s. 132):
3𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 10
5𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 29
−4𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 2
Řešení: Začneme spočítáním determinantu matice soustavy pomocí Sarrusova pravidla:
det 𝐴 =⁡|
3 −1 1
5 1 2
−4 1 2
| = 3 ∙ 1 ∙ 2 + (−1) ∙ 2 ∙ (−4) + 1 ∙ 5 ∙ 1 − 1 ∙ 1 ∙ (−4) − 3 ∙ 2 ∙
∙ 1 − (−1) ∙ 5 ∙ 2 = 6 + 8 + 5 + 4 − 6 + 10 = 27
Determinant je různý od nuly, matice je tedy regulární. Přistoupíme k počítání dílčích
determinantů matic, které vzniknou nahrazením 𝑗-tého sloupce v matici 𝐴 sloupcem
pravých stran:
det 𝐴1 =⁡|
10 −1 1
29 1 2
2 1 2
| = 10 ∙ 1 ∙ 2 + (−1) ∙ 2 ∙ 2 + 1 ∙ 29 ∙ 1 − 1 ∙ 1 ∙ 2 − 10 ∙ 2 ∙ 1 −
−(−1) ∙ 29 ∙ 2 = 20 − 4 + 29 − 2 − 20 + 58 = 81⁡
det 𝐴2 =⁡|
3 10 1
5 29 2
−4 2 2
| = 3 ∙ 29 ∙ 2 + 10 ∙ 2 ∙ (−4) + 1 ∙ 5 ∙ 2 − 1 ∙ 29 ∙ (−4) − 3 ∙ 2 ∙
∙ 2 − 10 ∙ 5 ∙ 2 = 174 − 80 + 10 + 116 − 12 − 100 = 108
det 𝐴3 =⁡|
3 −1 10
5 1 29
−4 1 2
| = 3 ∙ 1 ∙ 2 + (−1) ∙ 29 ∙ (−4) + 10 ∙ 5 ∙ 1 − 10 ∙ 1 ∙ (−4) −
−3 ∙ 29 ∙ 1 − (−1) ∙ 5 ∙ 2 = 6 + 116 + 50 + 40 − 87 + 10 = 135⁡
64
Spočítané determinanty dosadíme do vzorce 𝑥𝑗 =
det 𝐴 𝑗
det 𝐴
:
𝑥1 =
det 𝐴1
det 𝐴
=
81
27
= 3
𝑥2 =
det 𝐴2
det 𝐴
=
108
27
= 4
𝑥3 =
det 𝐴3
det 𝐴
=
135
27
= 5
Množina řešení je tedy: 𝐾 = {[3; ⁡4; ⁡5]}.
Cramerovo pravidlo popisuje řešení soustavy lineárních rovnic v případě, kdy je matice
soustavy regulární a soustava má právě jedno řešení, jak bylo řečeno ve větě 6.1. Obecně
lze však vzorec z Cramerova pravidla použít i tehdy, kdy matice soustavy není regulární,
ovšem platí ℎ(𝐴) = ℎ(𝐴|𝑏) = 𝑟⁡a 𝑟 < 𝑛, kde 𝑛 je počet neznámých, tedy u soustavy,
která má nekonečně mnoho řešení. Z matice soustavy vybereme libovolný nenulový
subdeterminant řádu 𝑟. Na základě této volby přepíšeme soustavy rovnic tak, že
ponecháme pouze ty rovnice, jejichž koeficienty byly obsaženy ve vybraném nenulovém
subdeterminantu, a které jsou tedy lineárně nezávislé. Ostatní rovnice jsou lineárně
závislé na ponechaných rovnicích, tudíž je můžeme vypustit, aniž bychom změnili
množinu řešení. Současně u ponechaných rovnic převedeme 𝑛 − 𝑟 neznámých, jejichž
koeficienty nebyly obsaženy ve vybraném subdeterminantu, na pravou stranu soustavy
tak, že na levé straně zůstane regulární matice. Na tyto neznámé se dále díváme jako na
parametry, které můžeme volit libovolně. Získáváme soustavu, jejíž množina řešení je
stejná jako množina řešení původní soustavy. Tato soustava má regulární matici, takže ji
lze vyřešit pomocí Cramerova pravidla (Bican, 2009).
Příklad 6.3: Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla (Černá, 1997,
s. 87):
𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 4
2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 3
4𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 11
Řešení: Začneme spočítáním determinantu matice 𝐴:
det 𝐴 =⁡|
1 −2 1
2 3 −1
4 −1 1
| = 3 + 8 − 2 − 12 − 1 + 4 = 0
65
Determinant matice soustavy je roven 0, což znamená, že matice obsahuje lineárně
závislé řádky. Závislost lze v tomto případě určit, aniž bychom matici upravovali na
schodovitý tvar. Zatímco první dva řádky jsou lineární nezávislé, třetí lze získat jako
součet dvojnásobku prvního řádku s druhým řádkem. Totéž platí i o rozšířené matici
soustavy, tedy ℎ(𝐴) = ℎ(𝐴|𝑏) = 2 < 𝑛. Soustava má nekonečně mnoho řešení.
Nyní vybereme libovolný nenulový subdeterminant řádu 2, např. det 𝐴33 získaný
vynecháním třetího řádku a třetího sloupce matice soustavy:
det 𝐴33 = |
1 −2
2 3
| = 3 + 4 = 7
Na základě této volby upravíme soustavu tak, že ponecháme první dvě rovnice, které jsou
lineárně nezávislé, a neznámé 𝑥3 převedeme na pravou stranu:
𝑥1 − 2𝑥2 = 4 − 𝑥3
2𝑥1 + 3𝑥2 = 3 + 𝑥3
Takto upravenou soustavu, kde 𝑥3 je parametr, vyřešíme pomocí Cramerova pravidla:
det 𝐴1 = |
4 − 𝑥3 −2
3 + 𝑥3 3
| = 12 − 3𝑥3 + 6 + 2𝑥3 = 18 − 𝑥3
det 𝐴2 = |
1 4 − 𝑥3
2 3 + 𝑥3
| = 3 + 𝑥3 − 8 + 2𝑥3 = −5 + 3𝑥3
𝑥1 =
det 𝐴1
det 𝐴33
=
18
7
−
1
7
𝑥3
𝑥2 =
det 𝐴2
det 𝐴33
= −
5
7
+
3
7
𝑥3
Soustava má nekonečně mnoho řešení: 𝐾 = {[
18
7
−
1
7
𝑥3;⁡−
5
7
+
3
7
𝑥3; 𝑥3⁡] , 𝑥3 ∈ 𝑅}
Řešení soustav lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla je poměrně pracné, zejména
u soustav s větším počtem neznámých. V praxi se proto příliš často nepoužívá. Obvykle
je upřednostňována Gaussova eliminační metoda.
66
6.3 Řešení soustav pomocí inverzní matice
U soustavy lineárních rovnic, jejíž matice je regulární, lze k nalezení řešení použít
metodu využívající inverzní matici. Se vztahem pro řešení soustavy, který metoda
využívá, jsme se již setkali v rámci důkazu Cramerova pravidla.
Je-li matice 𝐴 soustavy lineárních rovnic regulární, pak k ní existuje inverzní matice 𝐴−1
a pro řešení soustavy platí:
𝑋 = 𝐴−1
∙ 𝐵
Příklad 6.4: Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí inverzní matice (Černá, 1997,
s. 86):
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = −1
4𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = −2
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = −4
Řešení: Začneme ověřením, že je matice 𝐴 regulární. Spočítáme její determinant:
det 𝐴 =⁡|
1 1 2
4 1 4
2 −1 2
| = 2 + 8 − 8 − 4 + 4 − 8 = −6
Determinant je různý od 0, matice je regulární, což je nutný předpoklad pro použití této
metody. Přistoupíme k nalezení inverzní matice 𝐴−1
. Vytvoříme matici (𝐴|𝐸), kterou
budeme ekvivalentními úpravami upravovat tak, aby na levé straně vznikla jednotková
matice 𝐸. Pomocí těchto úprav zároveň získáme na pravé straně inverzní matici 𝐴−1
:
(
1 1 2
4 1 4
2 −1 2
|
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) −4𝑟1
−2𝑟1
~ (
1 1 2
0 −3 −4
0 −3 −2
|
1 0 0
−4 1 0
−2 0 1
)
−𝑟2
~
~ (
1 1 2
0 −3 −4
0 0 2
|
1 0 0
−4 1 0
2 −1 1
)
−𝑟3
+2𝑟3~ (
1 1 0
0 −3 0
0 0 2
|
−1 1 −1
0 −1 2
2 −1 1
) ∙ 1 3⁄ ⁡~
~ (
1 1 0
0 −1 0
0 0 2
|
−1 1 −1
0 − 1 3⁄ 2 3⁄
2 −1 1
)
+𝑟2
~ (
1 0 0
0 −1 0
0 0 2
|
−1 2 3⁄ − 1 3⁄
0 − 1 3⁄ 2 3⁄
2 −1 1
) ∙ (−1)
∙ 1 2⁄
⁡~
(
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
−1 2 3⁄ − 1 3⁄
0 1 3⁄ − 2 3⁄
1 − 1 2⁄ 1 2⁄
)
67
Našli jsme inverzní matici 𝐴−1
. Řešení rovnice nyní získáme, když vynásobíme inverzní
matici a matici 𝐵, jenž je tvořena sloupcem pravých stran soustavy:
(
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = (
−1 2 3⁄ − 1 3⁄
0 1 3⁄ − 2 3⁄
1 − 1 2⁄ 1 2⁄
) ∙ (
−1
−2
−4
) = (
1
2
−2
)
Řešení zapíšeme jako množinu: 𝐾 = {[1; 2;⁡−2]}.
Stejně jako užití Cramerova pravidla i metoda řešení soustavy lineárních rovnic pomocí
inverzní matice má především teoretický význam. Při hledání inverzní matice nejprve
upravujeme matici soustavy na schodovitý tvar. Tento postup provádíme také při
Gaussově eliminační metodě, v jejímž případě po této úpravě přecházíme rovnou
k vyjadřování řešení. U metody řešení pomocí inverzní matice pokračujeme úpravou na
jednotkovou matici, přičemž po celou dobu upravujeme současně dvě matice. Na závěr
provádíme násobení matic. Tato metoda je tedy numericky i časově podstatně náročnější.
68
Závěr
Bakalářská práce se zabývala soustavami lineárních algebraických rovnic a metodami
jejich řešení. Cílem práce bylo poskytnout ucelený přehled metod, které se k řešení těchto
soustav používají na základních, středních a vysokých školách.
První část práce byla tvořena třemi kapitolami shrnujícími teoretické poznatky o maticích,
determinantech a soustavách lineárních rovnic. Byly v nich uvedeny základní definice,
věty a vlastnosti, ze kterých poté vycházely metody řešení soustav, jež byly uvedeny
v následujících kapitolách.
Zbývající kapitoly se v souladu s cílem práce zaobíraly popisem konkrétních metod
řešení soustav lineárních rovnic. Všechny metody byly předvedeny na řešených
příkladech. Čtvrtá kapitola byla věnována metodám řešení, které jsou užívány na
základních školách. V tomto období se studenti učí řešit soustavy dvou lineárních rovnic
se dvěma neznámými. K řešení se používá dosazovací, sčítací a porovnávací metoda
a grafické řešení. Součástí kapitoly byly rovněž ukázky slovních úloh řešených pomocí
soustav dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými.
Pátá kapitola byla věnována metodám užívaným k řešení soustav na středních školách.
Studenti zde opět používají metody, které se naučili na základní škole, tentokrát převážně
při řešení soustav tří lineárních rovnic se třemi neznámými. Také se však poprvé
seznamují s Gaussovou eliminační metodou, která je pro řešení větších soustav, počínaje
právě soustavami tří rovnic se třemi neznámými, vhodnější.
Poslední kapitola byla věnována metodám řešení, které jsou vyučovány na vysokých
školách jakožto součást lineární algebry. Tato kapitola značně vycházela z teoretických
poznatků, které byly uvedeny v prvních třech kapitolách. Také na vysokoškolské úrovni
je obvykle nejpoužívanější metodou Gaussova eliminační metoda. Kromě ní lze použít
podobnou metodu nazvanou Jordanova metoda úplné eliminace. Další užívanou metodou
je Cramerovo pravidlo, které k výpočtu řešení užívá determinanty. Poslední popsaná
metoda umožňuje najít řešení soustavy pomocí inverzní matice k matici soustavy.
Práci je možné použít jako studijní materiál pro zájemce o získání nových poznatků nebo
prohloubení znalostí o maticích, determinantech, soustavách lineárních rovnic a převážně
o metodách, které se používají k řešení těchto soustav.
69
Použitá literatura
Bečvář, J. (2005). Lineární algebra [online]. 3. vyd. Praha: MatfyzPress. Dostupné z:
https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~halas/becvar_-_linearni_algebra.pdf.
Bican, L. (2009). Lineární algebra a geometrie. 2. vyd. Praha: Academia.
Černá, B. (1997). Cvičení z lineární algebry. Brno: Mendelova zemědělská a lesnická
univerzita v Brně.
Černá, B. (2007). Matematika – lineární algebra. 4. vyd. Brno: Mendelova zemědělská
a lesnická univerzita v Brně.
Fajmon, B. (2021). Algebra 2 (MA 0005) [online]. Brno: Katedra matematiky PEDF
MUNI. Dostupné z: https://is.muni.cz/auth/el/ped/jaro2022/MA0011/um/algebra2.pdf.
Hašek, R. (2018). Lineární algebra – KMA/LA [online]. České Budějovice: Pedagogická
fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích. Dostupné z:
http://home.pf.jcu.cz/~hasek/lalgebra/LA_TextyPrednasek_ZS18_1.pdf.
Hefferon, J. (2020). Linear algebra [online]. 4. vyd. Colchester, Vermont USA: Saint
Michael's College. Dostupné z: https://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/book.pdf.
Herman, J., Chrápavá, V., Jančovičová, E., & Šimša, J. (1999). Matematika pro nižší
ročníky víceletých gymnázií: Rovnice a jejich soustavy. Praha: Prometheus.
Herman, J., Chrápavá, V., Jančovičová, E., & Šimša, J. (2000). Matematika pro nižší
ročníky víceletých gymnázií: Funkce. Dotisk 1. vyd. Praha: Prometheus.
Horák, P. (1998). Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vyd. Brno: Masarykova
univerzita, Přírodovědecká fakulta.
Horák, P., Janyška, J. (2022). Lineární algebra. Učební text [online]. Brno: Masarykova
univerzita. Dostupné z: https://www.math.muni.cz/~janyska/LA_CELE.pdf.
Charvát, J., Zhouf, J., & Boček, L. (1999). Matematika pro gymnázia – Rovnice
a nerovnice. Dotisk 3. vyd. Praha: Prometheus.
Janeček, F. (1995). Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: Výrazy, rovnice,
nerovnice a jejich soustavy. Dotisk 5. vyd. Praha: Prometheus.
70
Marval, M. (2001). Determinanty [online]. Opava: Matematický ústav Slezské univerzity
v Opavě. Dostupné z: https://www.slu.cz/math/cz/knihovna/docs/algebra1/7.-
determinanty/.
Odvárko, O., & Kadleček, J. (2019). Matematika pro 9. ročník základní školy, 1. díl.
Soustavy rovnic, funkce, lomené výrazy. Dotisk 3. přeprac. vyd. Praha: Prometheus.
Olšák, P. (2013). Úvod do algebry, zejména lineární. 2. přeprac. vyd. Praha: České
vysoké učení technické v Praze.
71
Seznam obrázků
Obrázek 1: Sarrusovo pravidlo. ...................................................................................... 20
Obrázek 2: Řešitelnost soustav lineárních rovnic........................................................... 31
Obrázek 3: Různoběžné přímky. .................................................................................... 40
Obrázek 4: Rovnoběžné přímky. .................................................................................... 42
Obrázek 5: Totožné přímky. ........................................................................................... 43