KAPITOLA 3
Neurčitý integrál
Obsah
3.1. Primitivní funkce a neurčitý integrál 13
3.2. Vlastnosti neurčitého integrálu 14
3.3. Výpočet neurčitého integrálu 14
3.3.1. Využití diferenciálu 15
3.3.2. Tabulky základních integrálů 15
3.3.3. Metoda per partes 16
3.3.4. Substituce 17
3.3.5. Zavedení do diferenciálu 18
3.4. Příklady vypočtu neurčitého integrálu 19
3.4.1. Integrály, pro něž je vhodné využit metodu per partes 19
3.4.2. Integrál racionální lomené funkce 20
3.4.3. Univerzální trigonometrická substituce 21
3.4.4. Některé integrály obsahující kvadratický polynom 23
3.4.5. Různé příklady 29
§ 3.1. Primitivní funkce a neurčitý integrál
Mějme funkci f definovanou na nějakém intervalu (a, b). Pojmy primitivní
funkce a neurčitého integrálu slouží pro zodpovězení otázky: derivací čeho je výraz
f(x)?
Definice 3.1. Primitivní funkce k funkci f na intervalu (a, b) je taková funkce
F, že pro každé x z (a, b) platí F′
(x) = f(x).
Např. funkce F(x) = 5
3
x3
je primitivní funkcí k f(x) = 5x2
, neboť F′
(x) =
5
3
· 3x2
= 5x2
= f(x). Navíc všechny primitivní funkce pro f(x) = 5x2
mají tvar
F(x) = 5
3
x3
+ C, kde C je libovolná konstanta (toto platí i obecně).
Definice 3.2. Výraz
f(x) dx = F(x) + C, x ∈ (a, b), (3.1)
kde F je primitivní funkce k f a C je libovolná konstanta, se nazývá neurčitým
integrálem funkce f.
13
14 3. NEURČITÝ INTEGRÁL
Symbol je označován jako integrační znak, funkce f se nazývá integrandem a
formální symbol „dx“ slouží k označení proměnné, podle níž daný výraz integrujeme.
Zápis čteme takto: „integrál z f(x) podle x“.
Neurčitý integrál (3.1) zodpovídá otázku: jak vypadají všechny možné výrazy,
které po zderivování vzhledem k proměnné x se promění na f(x)? Platí tedy, že
f(x) dx
′
= f(x),
a také
F′
(x) dx = F(x) + C, (3.2)
kde C je libovolná konstanta.1
Operace derivování a nalezení neurčitého integrálu
jsou navzájem inverzní. Konstanta C se nazývá integrační konstantou.
Věta. Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu
funkce primitivní a tudíž má funkce neurčitý integrál.
§ 3.2. Vlastnosti neurčitého integrálu
Základní vlastností neurčitého integrálu je (3.2), tj. neurčitý integrál z derivace
jakéhokoliv výrazu je rovný tomuto výrazu plus konstanta.
Vzhledem k § 4.1 a vlastnostem derivace pro libovolnou konstantu k platí
kf(x) dx = k kf(x) dx,
(f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx,
tj. konstantu lze vždy vytknout před znak integrálu a integrál součtu (rozdílu)
dvou výrazů je součtem (rozdílem) příslušných integrálů.
Neexistují smysluplné vzorce, které by vyjadřovaly f(x)g(x) dx nebo f(x)
g(x)
dx
přes f(x) dx a g(x) dx!
§ 3.3. Výpočet neurčitého integrálu
Derivace konkrétních funkcí vždy vypočítáme podle známých pravidel derivování,
tj. výsledek je svým způsobem garantován a k jeho dosažení stačí jen
znát základní vlastnosti derivace a tabulku derivací elementárních funkcí. Situace
je odlišná v případě integrování: může se totiž stát, že neurčitý integrál nějaké
1Tj. integrál z derivace funkce je samotná ta funkce plus konstanta.
3.3. VÝPOČET NEURČITÉHO INTEGRÁLU 15
funkce zásadně „nejde vypočítat“. Toto znamená, že existují elementární funkce,
jejichž primitivní funkce již mezi elementární funkce nepatří. Je tomu tak např. pro
f(x) = e−x2
, f(x) = sin(x2
) apod.; jsou to funkce pro něž nelze integrál f(x) dx
žádným způsobem vyjádřit přes funkce elementární (tj. mocninné, exponenciální,
trigonometrické, polynomiální, racionální lomené).
„Výpočtem“ integrálu se rozumí jeho vyjádření přes nějakou kombinaci elementárních
funkcí, např: (x2
+ 5e3x
) dx = x3
3
+ 5
3
e3x
+ C, kde C je libovolná
konstanta.2
Na rozdíl od derivací, pro integrál platí, že:
(1) ne každý neurčitý integrál „jde vypočítat“;
(2) i pokud daný neurčitý integrál vypočítat lze, je potřeba nalézt způsob jak
to udělat. Obecně platná metoda pro výpočet libovolných integrálu neexis-
tuje.
§ 3.3.1. Využití diferenciálu. Nehledě na to, že „dx“ v zápisu integrálu
je pouze formální symbol, jenž značí proměnnou, podle níž se integruje, v praxi
je pohodlné (a z hlediska výpočtů také vhodné) tlumočit výraz „f(x) dx“ jako
„f(x) · dx“ („f(x) krát dx“). Píšeme tedy např. 1
x
dx = dx
x
.
§ 3.3.2. Tabulky základních integrálů. Přečtením tabulky známých derivací
elementárních funkcí v opačném směru přirozeně vzniká užitečná tabulka
základních integrálů (viz tabulka 3.1).3
xn
dx =
xn+1
n + 1
(n = −1)
dx
x
= ln |x| (3.3)
ex
dx = ex
ax
dx =
ax
ln a
(a = 1) (3.4)
cos x dx = sin x sin x dx = − cos x (3.5)
dx
1 + x2
= arctg x
dx
√
1 − x2
= arcsin x (3.6)
Tabulka 3.1. Integrály některých elementárních funkcí.
2Kontrola zderivováním: x3
3 + 5
3 e3x
+ C
′
= 1
3 3x2
+ 5
3 e3x
3 = x2
+ 5e3x
.
3Pro lepší přehlednost v této tabulce vynecháváme libovolnou aditivní konstantu, která tam
samozřejmě patří. Druhý vzorec v (3.3) chápeme jako přehlednou, avšak neúplné přesnou podobu
vzorce (3.7) (viz pozn. 4, str. 16).
16 3. NEURČITÝ INTEGRÁL
1
√
A2 − x2
dx = arcsin
x
A
+ C (|x| < A) (3.8)
1
√
x2 ± B
dx = ln x +
√
x2 ± B + C (3.9)
1
A2 + x2
dx =
1
A
arctg
x
A
+ C (3.10)
1
A2 − x2
dx =
1
2A
ln
A + x
A − x
+ C (3.11)
Tabulka 3.2. Další často využívané integrály.
Vskutku máme (xm
)′
= mxm−1
a pak pro m = 0 platí xm−1
= (xm)′
m
= xm
m
′
,
tj. F(x) = xm
m
je primitivní funkcí k f(x) = xm−1
. Dále platí (ex
)′
= ex
, (sin x)′
=
cos x, (cos x)′
= − sin x, (arctg x)′
= 1
1+x2 atd. Podobným způsobem se odvodí
integrály řády dalších známých funkcí, které nalezneme v příslušné literatuře.4
Další často využívané integrály nalezneme v tabulce 3.2.
Tyto „tabulkové“ integrály bezprostředně v uvedené podobě zpravidla nepotkáme
a u konkretních integrálů je potřeba vymyslet vhodné úpravy.
Příklad 3.1. Integrál cos2
x dx snadno vypočítáme pomocí vzorce pro cosinus
dvojitého uhlu, jenž nám umožní mocninu snížit:
cos2
x dx =
1
2
(1 + cos 2x) dx =
x
2
+
1
4
d (sin 2x) =
x
2
+
1
4
sin 2x + C.
§ 3.3.3. Metoda per partes. Mějme dvě funkce u a v, pro něž lze vypočítat
derivace. Pak (uv)′
= uv′
+ u′
v, odkud uv′
= (uv)′
− vu′
a proto
u(x)v′
(x) dx = (u(x)v(x))′
dx − v(x)u′
(x) dx. (3.12)
Podle (3.2) platí5
(u(x)v(x))′
dx = u(x)v(x) a proto z (3.12) obdržíme
4 V tabulce 3.1 je třeba okomentovat jen druhý vzorec v (3.3) vyjadřující dx
x . I když tento
vzorec běžně potkáváme v této zkrácené podobě, jeho matematicky precizním zněním je
dx
x
=
ln (−x) + C1 pro x < 0,
ln x + C2 pro x > 0,
(3.7)
kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty. Konstanty integrování zde tedy mohou být různé na levé
a pravé poloose. Důvodem je fakt, že ln |x| není v bodě x = 0 definován a tak se definiční obor
této funkce dělí na dvě části, na nichž se výraz 1
x integruje zvlášť.
5Můžeme zde vzít konstantu integrování rovnou 0, protože se v součtu (3.13) vyskytuje další
neurčity integrál obsahující konstantu integrování.
3.3. VÝPOČET NEURČITÉHO INTEGRÁLU 17
u(x)v′
(x) dx = u(x)v(x) − v(x)u′
(x) dx. (3.13)
Způsobu výpočtu integrálů, jenž se zakládá na vzorci (3.13), se říká metoda
per partes, neboli po částech.
Tuto metodu je vhodné použit, jestliže bude integrál v(x)u′
(x) dx jednodušší
než u(x)v′
(x) dx (tj. zderivování u při současném zintegrování v′
zpět na v situaci
zlepšuje).
Mějme, např. x cos x dx. Víme, že (sin x)′
= cos x, pak cos x = v′
(x) pro
v(x) = sin x. Vezme-li u(x) = x, platí u′
(x) = 1 a z (3.13) obdržíme
x cos x dx = x (sin x)′
dx = x · sin x − 1 · sin x dx = x sin x − sin x dx.
Integrál sin x dx je tabulkový: sin x dx = − cos x + konstanta (viz (3.5)) a proto
x cos x dx = x sin x − sin x dx = x sin x + cos x + C.
§ 3.3.4. Substituce. Tzv. substituční metoda je založená na vzorci
f(h(x))h′
(x)dx = F(h(x)) + C,
kde F je primitivní funkce pro f. Jinými slovy,
f(h(x))h′
(x)dx = f(t)dt,
kde t = h(x). Toto znamená, že pokud má integrand tvar f(h(x))h′
(x) pro ně-
jakou6
funkci h, potom je výsledek jednoduše integrálem z f z dosazeným místo
argumentu výrazem h(x), tj. stačí odvodit integrál z f.
Postup si lépe vysvětlíme, když s jeho použitím vypočteme konkretní integrál.
Mějme např. integrál dx
4+x2 . V tabulce vidíme vzorec pro jiný, avšak podobný
integrál:
dx
1 + x2
= arctg x. (3.14)
Zkusme původní integrál upravit tak, aby se dal použit vzorec (3.14). Máme:
dx
4 + x2
=
dx
4 1 + x2
4
=
1
4
dx
1 + x2
4
=
1
4
dx
1 + x
2
2 . (3.15)
6Zde se nesoustředíme na přesné formulace a příslušné podmínky explicitně neuvádíme.
18 3. NEURČITÝ INTEGRÁL
Diferenciálem funkce f v bodě x se nazývá výraz
df(x) = f′
(x) dx. (3.16)
Z hlediska výpočtů je zde pohodlné tlumočit výraz „f′
(x) dx“ jako „f′
(x) · dx“
(„f′
(x) krát dx“). Připomíná to také alternativní (starší) označení pro derivaci:
f′
(x) = df(x)
dx
, odkud obdržíme (3.16) formálním vynásobením výrazem dx (jemuž
se říká diferenciál nezávisle proměnné).
Z diferenciály se pracuje stejné jako s odpovídajícími derivacemi.
Zavedeme v (3.15) novou proměnnou
t =
x
2
. (3.17)
Pak dle (3.16) dt = d(1
2
x) = (1
2
x)′
dx = 1
2
dx, tj. dt = 1
2
dx, odkud
dx = 2 dt. (3.18)
Dosaďme (3.17) a (3.18) do (3.15):
dx
4 + x2
=
1
4
dx
1 + x
2
2 =
1
4
2 dt
1 + t2
=
2
4
dt
1 + t2
=
1
2
dt
1 + t2
a s využitím (3.14), (3.17) ihned obdržíme výsledek:
dx
4 + x2
=
1
2
dt
1 + t2
=
1
2
arctg t + C =
1
2
arctg
x
2
+ C.
Můžeme si také všimnout, ze výsledek je speciálním případem vzorce (3.10).
§ 3.3.5. Zavedení do diferenciálu. Jde pouze o poněkud jinou podobu
vypočtu dle § 4.4.2, když se substituce provádí implicitně (nezapisujeme ji).
Mějme např. (2x − 7)3
dx.
Podle (3.16) platí d(2x − 7) = (2x − 7)′
dx = 2 dx, potom dx = 1
2
d(2x − 7).
Dosazením tohoto výrazu do integrálu obdržíme:7
(2x − 7)3
dx = (2x − 7)3 1
2
d(2x − 7) =
1
2
(2x − 7)3
d(2x − 7)
=
1
2
1
4
(2x − 7)4
+ C =
1
8
(2x − 7)4
+ ˜C ( ˜C =
1
2
C).
Tímto způsobem např. výpočet integrálu (3.15) (§ 4.4.2, str. 36) zapíšeme
takto:
dx
4 + x2
=
1
4
dx
1 + x
2
2 =
1
4
· 2
d x
2
1 + x
2
2 =
1
2
arctg
x
2
+ C,
7Kontrola: 1
8 (2x − 7)4
+ ˜C
′
= 1
8 · 4(2x − 7)3
· 2 = (2x − 7)3
.
3.4. PŘÍKLADY VYPOČTU NEURČITÉHO INTEGRÁLU 21
Příklad 3.4. Integrál
dx
1 − x2
snadno vypočítáme rozkladem integrandu na parciální zlomky (§ 3.4.2). Rozklad
polynomu ve jmenovateli na součin kořenových činitelů je −(x − 1)(x + 1) a proto
1
1 − x2
= −
1
(x − 1)(x + 1)
=
A
x − 1
+
B
x + 1
,
přičemž pro všechna x má platit −1 = A(x + 1) + B(x − 1). Dosadíme-li do této
rovnosti kořeny x = 1 a x = −1, obdržíme 1 = −2A, 1 = 2B, odkud A = −1
2
,
B = 1
2
a tudíž platí
dt
1 − x2
= −
1
2
dx
x − 1
+
1
2
dx
x + 1
= −
1
2
ln |x − 1| +
1
2
ln |x + 1| + C
=
1
2
ln
x + 1
x − 1
+ C. (3.19)
Koeficienty vždy můžeme nalézt tak, že přirovnáme koeficienty u jednotlivých
mocnin na obou stranách rovnosti (v případe, kdy polynom ve jmenovateli má
komplexní kořeny, se tomu nevyhneme; viz např. příklad 3.5).
§ 3.4.3. Univerzální trigonometrická substituce. Je-li integrand racionální
funkcí výrazů cos x a sin x, je možné pro výpočet integrálu použit univerzální
trigonometrickou substituci
t = tg
x
2
, (3.20)
kde t značí novou proměnnou. Pak, samozřejmě,
x = 2 arctg t (3.21)
a pro diferenciál obdržíme dx = 2
t2+1
dt. Vzhledem k tomu, že platí
cos x =
cos2 x
2
− sin2 x
2
cos2 x
2
+ sin2 x
2
=
1 − tg2 x
2
1 + tg2 x
2
, sin x =
2 sin x
2
cos x
2
cos2 x
2
+ sin2 x
2
= 2
tg x
2
1 + tg2 x
2
,
integrál tak převedeme na integrál racionální lomené funkce, a to pomocí následujících
vzorců.
Vzorce pro vykonání univerzální trigonometrické substituce t = tg x
2
:
cos x =
1 − t2
1 + t2
, sin x =
2t
1 + t2
, dx =
2 dt
t2 + 1
. (3.22)
22 3. NEURČITÝ INTEGRÁL
Z (3.22) ihned plyne, že10
tg x = 2t
1−t2 , ctg x = 1−t2
2t
, sec x = 1+t2
1−t2 a csc x =
1+t2
2t
, tj. po zavedení substituce (3.20) pomocí (3.20) převedeme všechny výskyty
trigonometrických funkcí v integrandu na racionální lomené funkce proměnné t,
přičemž podobný výraz vznikne i po přepočtu diferenciálu. Po vypočtu upraveného
integrálu použijeme (3.20) a vrátíme se k původní proměnné x.
Příklad 3.5. Vypočtěme
sin x − 1
cos x + 2
dx.
Použijeme-li substituci (3.20), ze vzorců (3.20) obdržíme
sin x − 1
cos x + 2
dx =
2t
1+t2 − 1
1−t2
1+t2 + 2
2
t2 + 1
dt = 2
2t − (1 + t2
)
1 − t2 + 2(1 + t2)
1
t2 + 1
dt
= −2
t2
− 2t + 1
3 + t2
1
t2 + 1
dt = −2
t2
− 2t + 1
(t2 + 1)(t2 + 3)
dt.
V integrandu je ryze lomená funkce, již můžeme dále rozložit na součet příslušných
parciálních zlomků (§ 2.4.2):
t2
− 2t + 1
(t2 + 1)(t2 + 3)
=
At + B
t2 + 1
+
Ct + D
t2 + 3
=
(At + B)(t2
+ 3) + (Ct + D)(t2
+ 1)
(t2 + 1)(t2 + 3)
.
Potřebujeme tedy, aby pro libovolné t platilo
(At + B)(t2
+ 3) + (Ct + D)(t2
+ 1) = t2
− 2t + 1.
Přirovnáním koeficientů u t0
, t1
, t2
a t3
obdržíme podmínky11
3B + D = 1, 3A + C = −2, B + D = 1, A + C = 0,
odkud vypočítáme A = −1, B = 0, C = −1, D = 1. Pak
−2
t2
− 2t + 1
(t2 + 1)(t2 + 3)
dt = −2
−t
t2 + 1
dt − 2
t + 1
t2 + 3
dt
=
2t
t2 + 1
dt −
2t
t2 + 3
dt − 2
dt
t2 + 3
.
Máme dt
t2+3
= 1
3
arctg t√
3
, 2t
t2+1
dt = d(t2+1)
t2+1
= ln(t2
+1), 2t
t2+3
dt = ln(t2
+3),
až na aditivní konstantu, jíž k výsledku přidáme později. Potom
−2
t2
− 2t + 1
(t2 + 1)(t2 + 3)
dt = ln(t2
+ 1) − ln(t2
+ 3) −
2
√
3
arctg
t
√
3
= ln
t2
+ 1
t2 + 3
−
2
√
3
arctg
t
√
3
. (3.23)
10Připomeňme, že funkce sekans a kosekans se definují vzorci sec x = 1
cos x , csc x = 1
sin x .
11První podmínku, jež odpovídá koeficientům u t0
, lze vždy odvodit také dosazením hodnoty
t = 0.
3.4. PŘÍKLADY VYPOČTU NEURČITÉHO INTEGRÁLU 23
Teď již zbývá jenom dosadit do (3.23) vyjádření t přes x ze substituce (3.20) a
přidat integrační konstantu:12
sin x − 1
cos x + 2
dx = ln
tg2 x
2
+ 1
tg2 x
2
+ 3
−
2
√
3
arctg
1
√
3
tg
x
2
+ K. (3.25)
Použití univerzální substituce (3.20) je zpravidla spojeno s pracnějším výpočtem
proto je vždy vhodné si rozmyslet, zda není možné integrál vypočítat snadněji.
Často je užitečná následující poznámka: je-li integrál ve tvaru
R(cos x, sin x) dx,
kde R je racionální lomená funkce dvou argumentů mající jednu z vlastnosti
R(−u, v) = −R(u, v), R(u, −v) = −R(u, v), R(−u, −v) = R(u, v)
pro všechna (u, v), pak lze použit jednu ze substitucí t = sin x, t = cos x resp.
t = tg x.
Jestli např. R(u, v) = u2
v3
, pak je R lichá podle v a tudíž použijeme t = cos x:
cos2
x sin3
x dx = cos2
x sin2
x sin x dx = − cos2
x (1 − cos2
x) d (cos x)
atd.
§ 3.4.4. Některé integrály obsahující kvadratický polynom. Uveďme
několik často se vyskytujících integrálu, kde v integrandu je přítomen kvadratický
polynom. Některé z nich se obvykle uvádí v tabulkách integrálů (příklady 3.6, 3.7,
3.8).
Příklad 3.6. Mějme
dx
√
x2 − a2
.
kde a > 0. Definičním oborem integrandu je množina {x : |x| > a}.
12Často se stává, že výsledky integrace při použiti poněkud odlišných úprav se zdánlivě liší.
Např. všimneme-li si, že dle (3.20) t2
+ 1 = tg2 x
2 + 1 = 1
cos2 x
2
, obdržíme
ln
tg2 x
2 + 1
tg2 x
2 + 3
= ln
1
cos2 x
2
1
cos2 x
2
+ 2
= ln
1
1 + 2 cos2 x
2
= ln 1 − ln 1 + 2cos2 x
2
= − ln(cos x + 2)
a proto lze (3.25) přepsat do tvaru
sin x − 1
cos x + 2
dx = − ln(cos x + 2) −
2
√
3
arctg
1
√
3
tg
x
2
+ K. (3.24)
24 3. NEURČITÝ INTEGRÁL
Řešení 3.6.1. Funkce je sudá; uvažujme x > a. Vykonejme substituci x =
a sec t, kde t ∈ (0, π
2
) (připomeňme, že sec t = 1
cos t
a 0 < cos x < 1 pro t ∈ (0, π
2
)).
Pak
√
x2 − a2 =
√
a2 sec2 t − a2 =
a2
cos2 t
− a2 = a 1 + tg2
t − 1 = a tg t
(pro t ∈ (0, π
2
) je tg t > 0) a dx = −−a sin t
cos2 t
dt = a tg t
cos t
dt,
dx
√
x2 − a2
=
1
a tg t
a tg t
cos t
dt =
dt
cos t
.
Jelikož tg2
t + 1 = 1
cos2 t
a dle substituce 1
cos x
= x
a
, platí tg t = 1
cos2 t
− 1 =
1
a
√
x2 − a2. Pro dt
cos t
využijme výsledek příkladu 3.13, řešení 3.13.1; pak obdržíme
dx
√
x2 − a2
=
dt
cos t
= ln
1
cos t
+ tg t + C
= ln
x
a
+
1
a
√
x2 − a2 + C = ln x +
√
x2 − a2 + K,
kde K (K = C − ln a) je libovolná konstanta. Tento vzorec jsme dokázali pro
x > a.
Jelikož funkce v integrandu je sudá, pro x < −a místo F(x) = ln x+
√
x2 − a2
její primitivní funkce bude13
−F(−x) = − ln −x+
√
x2 − a2 . Úpravou obdržíme:
−F(−x) = − ln −x +
√
x2 − a2 = ln 1 − ln −x +
√
x2 − a2
= ln
1
√
x2 − a2 − x
= ln
√
x2 − a2 + x
x2 − 1 − x2
= ln(−x −
√
x2 − a2)
Sjednocením dvou posledních rovností obdržíme vzorec platný pro všechna x s
|x| > a:
dx
√
x2 − a2
= ln x +
√
x2 − a2 + K.
13Zde využijeme takovou větu:
Věta. Buďte f sudá funkce a F její primitivní funkce na [0, +∞). Pak je funkce ˜F(x) =
−F(−x), x ≤ 0, primitivní funkcí pro f na (−∞, 0].
Důkaz. Vskutku, pro x ≤ 0 máme ˜F′
(x) = − d
dx F(−x) = −F′
(−x) = −f(−x) = f(x).
3.4. PŘÍKLADY VYPOČTU NEURČITÉHO INTEGRÁLU 25
Řešení 3.6.2. Funkce v integrandu je sudá a tudíž se můžeme omezit případem,
kdy x je kladné, tj. x > a. Vzhledem k vlastnostem hyperbolických funkci14
(viz
(3.26)) je zde vhodné provést substituci
x = a cosh t, (3.27)
pak
√
x2 − a2 = a2 cosh2
t − a2 = a cosh2
t − 1 = a
√
sinh2
t = a sinh t a diferenciál
bude dx = a sinh t dt :
dx
√
x2 − a2
=
1
a sinh t
a sinh t dt = dt = t.
Zbývá tedy jen vykonat inverzní substituci a vrátit se k původní proměnné x.
Vztah x = a cosh t znamená (viz pozn. 14), že x = a
2
(et
+e−t
), tj. e2t
− 2x
a
et
+1 =
0, což je kvadratická rovnice s2
− 2x
a
s + 1 = 0 pro s = et
. Vyřešíme-li tuto rovnici,
obdržíme s = x
a
± 1
a
√
x2 − a2, kde vezmeme znaménko „+“, protože s = et
a tudíž
musí být s > 0 (navíc uvažujeme x > a). Jelikož t = ln x, obdržíme
t = ln
x
a
+
1
a
√
x2 − a2 = ln x +
√
x2 − a2 − ln a
a proto
dx
√
x2 − a2
= ln x +
√
x2 − a2 + C. (3.28)
Příklad 3.7. Mějme
dx
√
x2 + a2
.
kde a > 0.
Připomeňme si vzorec tg2
x + 1 = 1
cos2 x
a zaveďme substituci x = a tg t, t ∈
(−π
2
, π
2
). Pak
√
x2 + a2 = a2tg2
t + a2 = a tg2
t + 1 = a
cos t
a dx = a
cos2 t
dt, odkud
dx
√
x2 + a2
=
1
a
cos t
a
cos2 t
dt =
dt
cos t
.
Integrál dt
cos t
lze vypočítat různými způsoby (§ 3.4.5, příklad 3.13). Zde je
pohodlné využit řešení 3.13.3
dt
cos t
= ln
1
cos t
+ tg t + K = ln 1 + tg2
t + tg t + K
a tudíž
dx
√
x2 + a2
= ln 1 +
x2
a2
+
x
a
+ K = ln
x
a
+
1
a
√
x2 + a2 + K
14Připomeňme, že hyperbolické kosinus a sinus (§ 1.1) se definují jako cosh x = 1
2 (ex
+ e−x
),
sinh x = 1
2 (ex
− e−x
) a platí (sinh x)′
= cosh x, (cosh x)′
= sinh x,
cosh2
x − sinh2
x = 1. (3.26)
.
26 3. NEURČITÝ INTEGRÁL
= ln x +
√
x2 + a2 + C, (3.29)
kde C = K − ln a.
Z (3.28) a (3.29) obdržíme tabulkový integrál (3.9):
dx
√
x2 ± a2
= ln x +
√
x2 ± a2 + C. (3.30)
Příklad 3.8. Mějme
√
x2 − a2 dx,
kde a > 0.
Zde lze použit výsledek (3.30) z příkladu 3.7. Aplikujme metodu per partes s
u(x) =
√
x2 − a2, v′
(x) = 1 a vzorec (3.30):
I(x) :=
√
x2 − a2 dx = x
√
x2 − a2 − x
x
√
x2 − a2
dx
= x
√
x2 − a2 −
x2
− a2
+ a2
√
x2 − a2
dx
= x
√
x2 − a2 −
√
x2 − a2 dx − a2 1
√
x2 − a2
dx
= x
√
x2 − a2 − I(x) − a2
ln |x +
√
x2 − a2| ,
odkud nalezneme I(x) a obdržíme
√
x2 − a2 dx =
1
2
x
√
x2 − a2 −
a2
2
ln |x +
√
x2 − a2| + C. (3.31)
Příklad 3.9. Mějme
√
x2 + a2 dx,
kde a > 0. Vypočítejme tento integrál různými způsoby.
Řešení 3.9.1. Daný integrál lze vypočítat metodou per partes podobně příkladu
3.8 s volbou u(x) =
√
x2 + a2, v′
(x) = 1 a využitím vzorce (3.30):
I(x) :=
√
x2 + a2 dx = x
√
x2 + a2 − x
x
√
x2 + a2
dx
= x
√
x2 + a2 −
x2
+ a2
− a2
√
x2 + a2
dx
= x
√
x2 + a2 −
√
x2 + a2 dx + a2 1
√
x2 + a2
dx
= x
√
x2 + a2 − I(x) + a2
ln |x +
√
x2 − a2| .
3.4. PŘÍKLADY VYPOČTU NEURČITÉHO INTEGRÁLU 27
Poslední vztah je rovnicí pro nalezení I(x), proto
√
x2 − a2 dx =
1
2
x
√
x2 − a2 +
a2
2
ln |x +
√
x2 − a2| + C. (3.32)
Řešení 3.9.2. Vzhledem k vlastnostem hyperbolických kosinu a sinu (§ 1.1.1)
lze zavést substituci
x = a sinh t, (3.33)
pak dx = a cosh t dt. Jelikož dle (1.4) cosh2
t = sinh2
t+1, cosh 2t = cosh2
t+sinh2
t,
cosh2
t = 1
2
(cosh(2t) + 1) a sinh t dt = cosh t, máme
√
x2 + a2 dx = a a2 sinh2
t + a2 cosh t dt = a2
a sinh2
t + 1 cosh t dt
= a2
cosh2
t dt =
a2
2
(cosh(2t) + 1) dt =
a2
4
sinh(2t) +
a2
2
t,
kde integrační konstantu přidáme až na konci výpočtů. S využitím vzorce (1.6)
pro inverzní funkci arsinh = sinh−1
z (3.33) obdržíme
t = arsinh
x
a
= ln


x
a
+
x
a
2
+ 1

 = ln x +
√
x2 + a2 − ln a
a proto dle vzorce pro sinh dvojitého uhlu (1.4) a vztahu a2
cosh2
t = a2
sinh2
t+a2
a2
4
sinh(2t) +
a2
2
t =
a2
4
2 sinh t cosh t +
a2
2
t =
1
2
a sinh t · a cosh t +
a2
2
t
=
1
2
a sinh t · a2 sinh2
t + a2 +
a2
2
t
=
1
2
x
√
x2 + a2 +
a2
2
ln x +
√
x2 + a2 −
a2
2
ln a.
Obdrželi jsme tedy vzorec
√
x2 + a2 dx =
1
2
x
√
x2 + a2 +
a2
2
ln x +
√
x2 + a2 + C, (3.34)
Sjednocením rovností (3.31) a (3.32) obdržíme vzorec
√
x2 ± a2 dx =
1
2
x
√
x2 ± a2 ∓
a2
2
ln |x +
√
x2 ± a2| + C. (3.35)
Velmi často je vhodné vyjádřit kvadratický polynom ve tvaru (x − c)2
± d2
.
28 3. NEURČITÝ INTEGRÁL
Příklad 3.10. Uvažujme integrál
√
4x2 − 4x − 7 dx.
Jelikož 4x2
− 4x − 7 = (2x)2
− 2 · 2x · 1 + 1 − 8 = (2x − 1)2
− 8, platí
√
4x2 − 4x − 7 dx = (2x − 1)2
− 8 dx =
1
2
(2x − 1)2
− 8 d (2x − 1)
= (2x − 1)2
− (
√
8)2 dx,
odkud substitucí 2x−1 = t obdržíme integrál tvaru
√
t2 − a2 dt (viz příklad 3.8).
Příklad 3.11. Mějme integrál
dx
√
3 + 2x − x2
. (3.36)
Jelikož pro polynom ve jmenovateli platí vyjádření
3 + 2x − x2
= −(x2
− 2x − 3) = −(x2
− 2 · 1 · x + 1 − 1 − 3)
= −((x − 1)2
− 4) = 4 − (x − 1)2
(3.37)
obdržíme
dx
√
3 + 2x − x2
=
dx
4 − (x − 1)2
=
1
2
dx
1 − (x−1)2
4
=
d x−1
2
1 − x−1
2
2
= arcsin
x − 1
2
+ C.
Příklad 3.12. Pro integrál
dx
√
x2 − 2x − 3
,
jenž se liší od (3.36) pouze znaménkem polynomu, dle (3.37) obdržíme integrál
typu (3.30):
dx
√
x2 − 2x − 3
=
dx
(x − 1)2 − 4
=
d (x − 1)
(x − 1)2 − 4
= ln x − 1 + (x − 1)2 − 4 + C
= ln x − 1 +
√
x2 − 2x − 3 + C.
3.4. PŘÍKLADY VYPOČTU NEURČITÉHO INTEGRÁLU 29
§ 3.4.5. Různé příklady.
Příklad 3.13. Vypočtěme integrál
dx
cos x
.
Uveďme tři způsoby řešení (všimněme si různých tvarů výsledků).
Řešení 3.13.1. Integrand je racionální funkcí výrazu cos x a tudíž lze využit
obecnou trigonometrickou substituci t = tg x
2
(§ 3.4.3). Dle vzorců (3.22) obdržíme
dx
cos x
=
1 + t2
1 − t2
2
t2 + 1
dt = 2
dt
1 − t2
.
Integrál dt
1−t2 byl vypočítán v příkladu 3.4, použijme proto již odvozený vzorec
(3.19):
dx
cos x
= 2
1
2
ln
t + 1
t − 1
+ C = ln
tg x
2
+ 1
tg x
2
− 1
+ C = ln
sin x
2
+ cos x
2
sin x
2
− cos x
2
+ C
= ln
sin x
2
+ cos x
2
2
sin2 x
2
− cos2 x
2
+ C = ln
sin2 x
2
+ cos2 x
2
+ 2 sin x
2
cos x
2
cos2 x
2
− sin2 x
2
+ C
= ln
1 + sin x
cos x
+ C = ln
1
cos x
+ tg x + C.
Řešení 3.13.2. Po vynásobení čitatele a jmenovatele členem cos x lze zavést
substituci s = sin x:
dx
cos x
=
cos x
cos2 x
dx =
cos x
1 − sin2
x
dx =
d (sin x)
1 − sin2
x
=
ds
1 − s2
.
Pro poslední integrál použijme (3.19):
dx
cos x
=
1
2
ln | sin x − 1| −
1
2
ln | sin x + 1| + C =
1
2
ln
sin x − 1
sin x + 1
+ C.
Řešení 3.13.3. Jiný způsob je založen na vzorcích 1
cos x
′
= −− sin x
cos2 x
= sin x
cos2 x
a
(tg x)′
= 1
cos2 x
:
dx
cos x
=
1
cos x
1
cos x
+ tg x
1
cos x
+ tg x
dx =
1
cos2 x
+ sin x
cos2 x
1
cos x
+ tg x
dx
=
d 1
cos x
+ tg x
1
cos x
+ tg x
= ln
1
cos x
+ tg x + C = ln | sec x + tg x| + C.
Příklad 3.14. Vypočtěme integrály
I(x) = sin (ln x) dx, J(x) = cos (ln x) dx.
30 3. NEURČITÝ INTEGRÁL
Vzhledem k definičnímu oboru logaritmu má smysl integrály uvažovat pouze pro
x > 0, což nadále předpokládáme.
Vykonejme substituci ln x = t; pak x = et
(uvažujeme kladná x) a dx = et
dt:
sin (ln x) dx = et
sin t dt, cos (ln x) dx = et
cos t dt.
Použijeme-li teď výsledky příkladu 3.3, obdržíme
sin (ln x) dx =
1
2
et
(sin t − cos t) + C =
x
2
(sin (ln x) − cos (ln x)) + C,
cos (ln x) dx =
1
2
et
(sin t + cos t) + C =
x
2
(sin (ln x) + cos (ln x)) + C.
KAPITOLA 4
Určitý integrál
Obsah
4.1. Neurčitý integrál – opakování 31
4.2. Zavedení určitého integrálu 32
4.2.1. Plocha pod křivkou 32
4.2.2. Newton-Leibnizův vzorec 33
4.3. Vlastnosti určitého integrálu 34
4.4. Výpočet určitého integrálu 34
4.4.1. Metoda per partes 34
4.4.2. Substituce 36
4.5. Příklady vypočtu určitých integrálů 39
4.5.1. Racionální lomené funkce 39
4.5.2. Univerzální trigonometrická substituce 39
4.5.3. Různé příklady 43
4.6. Geometrické aplikace určitého integrálu 43
4.6.1. Plochy ohraničené křivkami 43
4.6.2. ... 52
Mějme reálnou funkci f jedné reálné proměnné definovanou na nějakém ohraničeném
intervalu (a, b). Dále předpokládáme, že je funkce f na (a, b) spojitá (nebo
po částech spojitá1
). Pro takovouto funkci lze hovořit o jejím integrálu neurčitém
a následně o integrálu určitém.
§ 4.1. Neurčitý integrál – opakování
Připomeňme si, že neurčitý integrál f(x) dx vzniká jako odpověď na otázku
jak vypadají všechny možné výrazy, které po zderivování podle proměnné x se
promění na f(x). Integrál f(x) dx se definuje rovností
f(x) dx = F(x) + C,
1Tím se myslí, že (a, b) lze vyjádřit jako sjednoceni konečně mnoha intervalů, z nichž na
každém je funkce spojitá.
31
32 4. URČITÝ INTEGRÁL
kde F je primitivní funkce2
k funkci f na intervalu (a, b) a C je libovolná konstanta,
a se určuje vlastnostmi
f(x) dx
′
= f(x), F′
(x) dx = F(x) + C. (4.1)
Pojem neurčitého integrálu se tedy zavadí jako operace inverzní k operaci vypočtu
derivace.
§ 4.2. Zavedení určitého integrálu
Pojem určitého integrálu se zavádí buď s použitím integrálu neurčitého (tj. přes
primitivní funkci) nebo přímo přes tzv. integrální součty. V posledním případě se
jedná o způsob, jímž se obdrží vzorec pro výpočet obsahu jistého křivočarého
lichoběžníku, tj. plochy ležící pod křivkou a ohraničenou zleva a zprava svislými
čarami.3
§ 4.2.1. Plocha pod křivkou. Mějme funkci f nabývající na [a, b] nezáporných
hodnot.
Zašrafujeme-li geometrický útvar, jež ohraničují křivka s rovnici y = f(x), osa
x a svislé přímky s rovnicemi x = a, x = b (viz schematický obrázek 4.1a), určitý
integrál funkce f na intervalu (a, b) (značí se b
a f(x) dx) udává obsah plochy tohoto
útvaru.
Myšlenka vedoucí na způsob výpočtu velikosti plochy pod libovolnou křivkou
spočívá v její přibližném nahrazení jednodušším tvarem s lehce vypočitatelnou
plochou, a sice sjednocením malých obdélníků.4
Rozdělme interval [a, b] na menší intervaly [x0, x1], [x1, x2], . . . , [xn−1, xn] zadáním
n − 1 libovolných bodů x1, x2,. . . , xn−1 (definujme také x0 = a, xn = b).
Vezmeme-li v každém z intervalů [xi, xi+1] libovolný bod ξi, u každého z těchto intervalů
můžeme sestrojit obdélník šířky xi+1 − xi a výšky f(ξi) (viz obrázek 4.1b).
Pak hledanou plochu je přirozené přibližně nahradit součtem ploch zmíněných obdélníků,
což je
n−1
i=0
f(ξi)(xi+1 − xi).
Když je n velké (tj. zvolených bodů a odpovídajících subintervalů je hodně),
všechny veličiny xi+1 −xi jsou malé a proto sestrojené obdélníky dostatečně dobře
kopírují tvar původní plochy. Je logicky očekávat, ze by se „kvalita“ aproximace
měla zlepšovat při zvětšení počtu subintervalů. Určitým integrálem b
a f(x) dx pak
2Jakákoliv primitivní funkce. Připomeňme si také, že primitivní funkce se určuje jednoznačně
až na aditivní konstantu.
3Leibniz a Newton, XVII st. Přesná formulace vznikla v rámci Riemannova integrálu v XIX
st. Současně se matematicky precizně vyjasní plochy jakých figur lze v rámci tohoto integrálu
vypočítat (existuji totiž „exotické“ případy, když určitý integrál neexistuje — podrobněji na toto
téma zde hovořit nebudeme).
4Touto cestou vzniká definice toho, co je to obsah plochy obecného tvaru.
34 4. URČITÝ INTEGRÁL
§ 4.3. Vlastnosti určitého integrálu
Vzhledem k Newton-Leibnizovu vzorci (4.2) a vlastnostem neurčitého integrálu
pro libovolnou konstantu k platí
b
a
kf(x) dx = k
b
a
kf(x) dx,
b
a
(f(x) ± g(x)) dx =
b
a
f(x) dx ±
g
a
(x) dx,
tj. konstantu lze vždy vytknout před znak integrálu a integrál součtu (rozdílu) dvou
výrazů je součtem (rozdílem) příslušných integrálů. Toto jsou stejné vlastnosti
linearity, jež má integrál neurčitý. Dále platí
a
b
f(x) dx = −
b
a
f(x) dx. (4.3)
Z (4.3) je zřejmé, že ve speciálním případě, když a = b (tj. horní a dolní meze
integrování se shodují), platí
a
a
f(x) dx = 0.
Nakonec, je-li c libovolný bod ležící mezi a a b, pak
b
a
f(x) dx =
c
a
f(x) dx +
b
c
f(x) dx. (4.4)
Tato vlastnost se nazývá aditivita vzhledem k intervalu, neboť (4.4) znamená, že
integrál funkce na sjednocení navzájem disjunktních7
intervalů je součtem integrálů
z též funkce na jednotlivých intervalech. Je to vlastnost velmi přirozená vzhledem
k tomu, že určitý integrál má význam plochy geometrického útvaru.
§ 4.4. Výpočet určitého integrálu
Základními nástroji jsou tzv. substituční metoda a metoda per partes.
§ 4.4.1. Metoda per partes. Metoda integrování per partes (tj. po částech)
pro určitý integrál se formuluje téměř stejným způsobem jako v případě integrálu
neurčitého.
Buďte u a v funkce, jež mají spojité derivace. Pak (uv)′
= uv′
+ u′
v, odkud
uv′
= (uv)′
− vu′
a proto
b
a
u(x)v′
(x) dx =
b
a
(u(x)v(x))′
dx −
b
a
v(x)u′
(x) dx. (4.5)
Funkcí primitivní k derivaci součinu (uv)′
je, samozřejmě, součin uv. Vzhledem
k Newton-Leibnizovu vzorci (4.2) pro libovolnou funkci g se spojitou derivaci platí
b
a
g′
(x) dx = g(b) − g(a) (4.6)
7Tj. takových, jejichž průnik je prázdny.
4.4. VÝPOČET URČITÉHO INTEGRÁLU 35
nebo, což je totéž,
b
a
dg(x) = g(b) − g(a). (4.7)
Proto
b
a
(u(x)v(x))′
dx = u(b)v(b) − u(a)v(a) (4.8)
a z (4.5) obdržíme
b
a
u(x)v′
(x) dx = u(b)v(b) − u(a)v(a) −
b
a
v(x)u′
(x) dx. (4.9)
Metoda integrování per partes pro určitý integrál spočívá v užití vzorce (4.9), jenž
se často zapisuje ve zkráceném tvaru
b
a
u(x)v′
(x) dx = u(x)v(x)|b
a −
b
a
v(x)u′
(x) dx. (4.10)
Tuto metodu je vhodné použit, jestliže bude integrál v(x)u′
(x) dx jednodušší
než u(x)v′
(x) dx (tj. zderivování u při současném zintegrování v′
zpět na v situaci
zlepšuje).
Vzpomeneme-li si teď na pojem diferenciálu funkce,8
pro lepší zapamatování
můžeme rovnost (4.10) zapisovat ve tvaru
b
a
u(x) dv(x) = u(x)v(x)|b
a −
b
a
v(x) du(x). (4.11)
Příklad 4.1. Mějme např.
π
2
0 x sin x dx. Jelikož (cos x)′
= − sin x, pak sin x =
v′
(x) pro v(x) = − cos x. Vezmeme-li dále u(x) = x, platí u′
(x) = 1 a podle vzorce
(4.10) obdržíme
π
0
x sin x dx = −
π
0
x (cos x)′
dx = (x cos x)
π
0
−
π
0
1 · (− cos x) dx
= π cos π − 0 cos 0 +
π
0
cos x dx = −π +
π
0
cos x dx
= −π +
π
0
(sin x)′
dx = −π + sin x |π
0 = −π + sin π − sin 0 = −π.
Příklad 4.2. Vypočtěme integrál
1
1
2
ln x dx. (4.12)
8Viz pozn. 10, str. 37
4.4. VÝPOČET URČITÉHO INTEGRÁLU 37
pro každou spojitou na [a, b] funkci f platí
b
a
f(x) dx =
β
α
f(h(s))h′
(s) ds. (4.14)
V praxi výpočty provádíme nejčastěji tak, ze vzorec explicitně nevypisujeme a
přecházíme přímo k zaměně proměnné. Přitom vykonáme následující kroky:
(1) vyšetříme výraz pod integrálem a zkusíme nalézt vhodnou substituci;
(2) zavedeme novou proměnnou, dosadíme do integrandu a vyloučíme proměnnou
původní;
(3) vypočítáme nové meze integrování.
Příklad 4.3. Mějme integrál
3
−1
x dx
√
x + 2
.
Integrand obsahuje dva lineární členy: x a x + 2, oba dva mají stejný diferen-
ciál.10
Proto zavedeme substituci x + 2 = t. Pak x = t − 2 a dt = d(x + 2) = dx.
Jelikož se proměnná x mění v mezích od −1 k 3, potom t = x + 2 se mění od
−1 + 2 = 1 k 3 + 2 = 5:
3
−1
x dx
√
x + 2
=
5
1
(t − 2) dt
√
t
=
5
1
t dt
√
t
− 2
5
1
dt
√
t
=
5
1
t
1
2 dt − 2
5
1
t− 1
2 dt
=
t
1
2
+1
1
2
+ 1
5
1
− 2
t− 1
2
+1
−1
2
+ 1
5
1
=
5
3
2 − 1
3
2
− 2
5
1
2 − 1
1
2
=
2
3
(
√
5)3
− 4
√
5 +
10
3
.
Z vykonaných výpočtů můžeme odvodit, že by bylo lepší rovnou zavést substi-
tuci
√
x + 2 = s. Pak x = s2
− 2 a proto dx = 2s ds.11
Dále, jelikož −1 ≤ x ≤ 3,
pak 1 ≤ x + 2 ≤ 5 a vzhledem k monotonnosti funkce x →
√
x + 2 platí 1 ≤√
x + 2 ≤
√
5. Dosazením do integrálu obdržíme, samozřejmě, stejný výsledek:
3
−1
x dx
√
x + 2
=
√
5
1
(s2
− 2) · 2s ds
s
= 2
√
5
1
(s2
− 2) ds = 2
√
5
1
s2
ds − 4
√
5
1
ds
10Zde využijeme pojmu diferenciálu funkce jedné proměnné. Diferenciálem funkce f v bodě
x se nazývá výraz
df(x) = f′
(x) dx, (4.15)
kde „f′
(x) dx“ tlumočíme jako „f′
(x) · dx“. Připomíná to také označení pro derivaci ve tvaru
f′
(x) = df(x)
dx , odkud obdržíme (4.15) formálním vynásobením výrazem dx (jemuž se říká diferenciál
nezávisle proměnné). S diferenciály se pracuje stejné jako s odpovídajícími derivacemi.
11Mohli bychom také odvodit ds = d(
√
x + 2) = 1
2
√
x+2
dx, pak dx = 2
√
x + 2 ds = 2s ds.
38 4. URČITÝ INTEGRÁL
= 2
s3
3
√
5
1
− 4(
√
5 − 1) =
2
3
(
√
5)3
− 4
√
5 +
10
3
.
Příklad 4.4 (substituce a integrace per partes). Vypočtěme
2
0
x5
ex3
dx.
Můžeme si všimnout, že platí d(x3
) = 3x2
dx a proto je přirozené zavést sub-
stituci
t = x3
. (4.16)
Potom dt = 3x2
dx a tudíž x2
dx = 1
3
dt. Dále, jelikož se x mění v mezích od 0 k
2, pak t podle (4.16) je v mezích 0 a 23
= 8:
2
0
x5
ex3
dx =
2
0
x3
ex3
· x2
dx =
2
0
x3
ex3
·
1
3
d(x3
) =
1
3
8
0
tet
dt. (4.17)
Pro 8
0 tet
dt použijeme metodu per partes:
8
0
tet
dt =
8
0
t(et
)′
dt = (tet
)
8
0
−
8
0
1 · et
dt
= 2e2
− 0e0
−
8
0
et
dt = 2e2
− et 8
0
= 2e2
− (e8
− e0
) = 2e2
− e8
+ 1.
Dosazením tohoto výrazu do (4.17) obdržíme
2
0
x5
ex3
dx =
2e2
− e8
+ 1
3
.
Příklad 4.5. Vypočtěme
2
−1
x(2 − x2
)7
dx.
Jedná se, samozřejmě, o integraci polynomu stupně 15, s čímž po vykonání
příslušných úprav žádné potíže nebudou. Pro usnadnění výpočtů si zde můžeme
všimnout, že se ten nejsložitější výraz (2 − x2
)7
zjednoduší, zavedeme-li novou
proměnnou t = 2 − x2
. Pak bude (2 − x2
)7
= t7
a dt = −2x dx. Navíc vzhledem
k přítomnosti členu „x“, jenž můžeme k diferenciálu přiřadit, není potřeba
vypočítávat dx (dx = − dt
2x
, x2
= 2 − t) a stačí použít vztah x dx = −1
2
dt.
Vypočtěme nové meze integrovaní: x = −1 ⇒ t = 2 − x2
= 1, x = 2 ⇒
t = 2 − x2
= 2 − 4 = −2.12
Pak obdržíme
2
−1
x(2 − x2
)7
dx =
2
−1
(2 − x2
)7
· x dx =
−2
1
t7
· −
1
2
dt = −
1
2
−2
1
t7
dt
= −
1
2
t8
8
−2
1
= −
1
16
((−2)8
− 1) = −
255
16
.
12Nové meze integrovaní 1 a −2 vychází opačně uspořádané: dolní mez je vetší než ta horní,
1 > −2. Není to chyba; důvodem je, že na intervalu (−1, 2) je funkce x → 2 − x2
klesající.
4.5. PŘÍKLADY VYPOČTU URČITÝCH INTEGRÁLŮ 39
§ 4.5. Příklady vypočtu určitých integrálů
Výpočet určitých integrálů provádíme pomocí Newton-Leibnizova vzorce (4.2).
Je důležité předem ověřit vlastnosti integrandu a ujistit se, že určitý integrál na
daném intervalu je korektně definován.
§ 4.5.1. Racionální lomené funkce. Pro integraci racionální lomené funkce
vypočítáme její rozklad na součet parciálních zlomků, pro něž neurčité integrály
buď známe nebo nalezneme v tabulkách.
Příklad 4.6. Uvažujme integrál
1
0
x3
− 1
x3 + x2 + 4x + 4
.
V integrandu je neryze lomená funkce, již převedeme na ryze lomenou funkci dělením
polynomů. Rozklad na parciální zlomky pak bude
x3
− 1
x3 + x2 + 4x + 4
= 1 −
2
5
1
x + 1
−
1
5
3 x + 17
x2 + 4
.
Zde stačí okomentovat jen poslední člen, kde pro integraci rozložíme čitatel na
součet dvou výrazů a v jednom z nich vydělíme v čitateli diferenciál jmenovatele
d(x2
+ 4) = 2x dx:13
−
1
5
1
0
3 x + 17
x2 + 4
dx = −
3
5
1
0
x
x2 + 4
dx −
17
5
1
0
1
x2 + 4
dx
= −
3
10
1
0
d(x2
+ 4)
x2 + 4
dx −
17
10
arctg
x
2
.
Výpočtem pak obdržíme
1
0
x3
− 1
x3 + x2 + 4x + 4
= 1 +
1
5
ln 2 −
3
10
ln 5 −
17
10
arctan
1
2
.
§ 4.5.2. Univerzální trigonometrická substituce. Je-li integrand racionální
funkci výrazů cos x a sin x, je možné pro výpočet integrálu použit univerzální
trigonometrickou substituci
t = tg
x
2
. (4.18)
Pak x = 2 arctg t a dx = 2
t2+1
dt. Vzhledem k tomu, že platí
cos x =
cos2 x
2
− sin2 x
2
cos2 x
2
+ sin2 x
2
=
1 − tg2 x
2
1 + tg2 x
2
, sin x =
2 sin x
2
cos x
2
cos2 x
2
+ sin2 x
2
= 2
tg x
2
1 + tg2 x
2
,
integrál tak převedeme na integrál racionální lomené funkce, a to pomocí následujících
vzorců.
13Takto integrujeme obecně výrazy typu Ax+B
ax2+bx+c .
40 4. URČITÝ INTEGRÁL
Obrázek 4.2. Graf funkce x → cos x pro π
3
≤ x ≤ π
2
.
Vzorce pro vykonání univerzální trigonometrické substituce t = tg x
2
:
cos x =
1 − t2
1 + t2
, sin x =
2t
1 + t2
, dx =
2 dt
t2 + 1
.
x = a ⇒ t = tg
a
2
, x = b ⇒ t = tg
b
2
.
(4.19)
Příklad 4.7. Vypočtěme integrál
π
2
π
3
dx
3 − 5 cos x
. (4.20)
Funkce x → 1
3−5 cos x
je spojitá v bodech x = arccos 3
5
+ 2πn, n = 0, ±1, . . . .
Žádný z těchto bodů neleží v intervalu [π
3
, π
2
] (viz obr. 4.2) a tak se jedná o integrál
spojité funkce, jenž je korektně definován.
Zavedeme-li v (4.20) trigonometrickou substituci (4.18), meze integrace pro
novou proměnnou t budou t = tg 1
2
π
3
= tg π
6
= 1
2
(
√
3
2
)−1
= 1√
3
(místo x = π
3
) a
t = tg 1
2
π
2
= tg π
4
= 1 (místo x = π
2
). Pak dle (4.19) se integrál (4.20) přepise
takto:14
π
2
π
3
dx
3 − 5 cos x
=
1
1√
3
1
2 − 1−t2
1+t2
2t
t2 + 1
dt = 2
1
1√
3
1
3(t2 + 1) − 5(1 − t2)
dt
=
1
1√
3
1
4t2 − 1
dt =
1
2
1
1√
3
1
2t − 1
dt −
1
2
1
1√
3
1
2t + 1
dt
14Provedli jsme rozklad podílu 1
4t2−1 na součet parciálních zlomků (§ 4.5.1): 1
4t2−1 =
1
(2t−1)(2t+1) = A
2t−1 + B
2t−1 , kde pro všechna t musí platit A(2t + 1) + B(2t − 1) = 1. Pak
A + B = 0, A − B = 1, tj. A = 1
2 , B = −1
2 .
4.5. PŘÍKLADY VYPOČTU URČITÝCH INTEGRÁLŮ 41
=
1
4
1
1√
3
d(2t − 1)
2t − 1
−
1
4
1
1√
3
d(2t + 1)
2t + 1
=
1
4
ln |2t − 1|
1
1√
3
−
1
4
ln |2t + 1|
1
1√
3
(4.21)
=
1
4
ln 1 − ln
2
√
3
− 1 −
1
4
ln 3 − ln
2
√
3
+ 1
=
1
4
ln
2 +
√
3
2 −
√
3
−
ln 3
4
.
Poznamenejme, že v (4.21) nebyla potřeba přepočítávat integrační meze, neboť
při zavedení do diferenciálu jsme ponechali proměnnou t, jež se mění v původních
mezích 1√
3
a 1 (tj. substituce typu s = 2t ± 1 jsme explicitně nevykonávali).
Příklad 4.8. Vypočtěme
π
−π
sin x − 1
cos x + 2
dx. (4.22)
V příkladu 3.5 jsme pomocí trigonometrické substituce (4.18) odvodili neurčity
integrál sin x−1
cos x+2
dx, pro nějž platí (3.24):
sin x − 1
cos x + 2
dx = − ln(cos x + 2) −
2
√
3
arctg
1
√
3
tg
x
2
+ C. (4.23)
Jelikož −1 ≤ cos x ≤ 1, jmenovatel v (4.22) je vždy odlišný od 0. Integrand je
tedy spojitou funkcí na [−π, π] a stačí jen použit Newton-Leibnizův vzorec (4.2),
tj. dosadit do (4.23) integrační meze:15
π
−π
sin x − 1
cos x + 2
dx = −(ln(cos x + 2))|π
−π −
2
√
3
arctg
1
√
3
tg
x
2
π
−π
= −
2
√
3
arctg
1
√
3
tg
π
2
+
2
√
3
arctg −
1
√
3
tg
π
2
= −
4
√
3
arctg
1
√
3
= −
4
√
3
π
6
= −
2π
√
3
3
.
Příklad 4.9. Vypočtěme
π
4
0
dx
cos x
a
π
3
π
6
dx
sin x
. Ihned poznamenejme, že cos x = 0
pro x ∈ [0, π
4
] a sin x = 0 pro x ∈ [π
6
, π
3
], integrandy jsou tedy na příslušných
intervalech spojité a integrály existují. Tyto integrály lze převést na integrály racionálních
lomených funkcí obecnou trigonometrickou substituci (4.18); v daném
případe však je pohodlnější to udělat jinak.
15Připomeňme si, že funkce x → tg x a x → arctg x jsou liché.
42 4. URČITÝ INTEGRÁL
Řešení 4.9.1. V integrálu dx
cos x
vykonejme substituci sin x = t, pak dt =
cos x dx a tudíž
dx
cos x
=
cos x dx
cos2 x
=
cos x dx
1 − sin2
x
=
dt
1 − t2
.
Rozklad výrazu 1
1−t2 na parciální zlomky je 1
1−t2 = 1
2
1
1+t
+ 1
2
1
1−t
, proto16
dt
1 − t2
=
1
2
dt
1 + t
+
1
2
dt
1 − t
=
1
2
d(1 + t)
1 + t
−
1
2
d(1 − t)
1 − t
=
1
2
ln |1 + t| −
1
2
ln |1 − t| =
1
2
ln
1 + t
1 − t
,
odkud zpětným dosazením t = sin x obdržíme
dx
cos x
=
1
2
ln
1 + sin x
1 − sin x
=
1
2
ln
1 + sin x
1 − sin x
= ln
1 + sin x
1 − sin x
(4.24)
a
π
4
0
dx
cos x
= ln
1 + sin x
1 − sin x
π
4
0
= ln
1 + sin π
4
1 − sin π
4
− ln
1 + sin 0
1 − sin 0
= ln
1 + 1√
2
1 − 1√
2
− ln 1 = ln
√
2 + 1
√
2 − 1
= ln
(
√
2 + 1)2
2 − 1
= ln(
√
2 + 1).
Řešení 4.9.2. Podobně předchozímu pro t = cos x máme dt = − sin x dx,
dx
sin x
=
sin x dx
sin2
x
=
sin x dx
1 − cos2 x
= −
dt
1 − t2
= −
1
2
ln
1 + t
1 − t
=
1
2
ln
1 − t
1 + t
=
1
2
ln
1 − cos x
1 + cos x
= ln
1 − cos x
1 + cos x
a
π
3
π
6
dx
sin x
= ln
1 − cos x
1 + cos x
π
3
π
6
= ln
1 − cos π
3
1 + cos π
3
− ln
1 − cos π
6
1 + cos π
6
= ln
1 − 1
2
1 + 1
2
− ln
1 −
√
3
2
1 +
√
3
2
= ln
1
√
3
− ln
1 −
√
3
2
2
1
4
= − ln
√
3 − ln
1 −
√
3
2
1
2
= −
1
2
ln 3 − ln(2 −
√
3).
16Integrační konstanty pro přehlednost vynecháváme
44 4. URČITÝ INTEGRÁL
§ 4.6.1.1. Plocha geometrického útvaru ležícího mezi grafem a osou x. Je-li
potřeba určit obsah plochy S rovinného útvaru ohraničeného grafem funkce f,
osou x a svislými přímkami s rovnicemi x = a, x = b, jsou možné následující
případy schematicky zobrazené na obrazcích 4.3a, 4.3b a 4.3c:
4.3a: funkce f je na [a, b] nezáporná, její graf leží nad osou x, integrál je
nezáporný a plocha uvazovaného útvaru je S = b
a f(x) dx;
4.3b: funkce f je na [a, b] nekladná, její graf leží pod osou x, integrál je nekladný
a S = − b
a f(x) dx;
4.3c: funkce f na [a, b] střída znaménko, proto plocha uvazovaného útvaru
je rovna součtu integrálů z |f| na jednotlivých intervalech, kde má f konstantní
znaménko (je kladná nebo záporná).
Integrál funkce střídající znaménko může být jak kladným tak i záporným číslem
(nemluvíme-li o nule). Odlišnosti v postupu v případech 4.3a, 4.3b, 4.3c přirozeně
vznikají vzhledem k znaménku funkce na odpovídajících množinách. Např.
v 4.3b je funkce na celém intervalu záporná a tudíž pro výpočet plochy pomocí
integrálu musíme počítat integrál z absolutní hodnoty funkce.
Příklad 4.11. Vypočtěme obsah plochy S rovinného útvaru ohraničeného grafem
funkce f(x) = x3
− 6x2
+ 11x, osou x a přímkami x = 0, x = 3.
Graf této funkce je znázorněn na obrázku 4.3a. Funkce je na [0, 3] nezáporná a
tudíž
S =
3
0
f(x) dx =
3
0
(x3
− 6x2
+ 11x) dx
=
3
0
x3
dx − 6
3
0
x2
dx + 11
3
0
x dx =
34
4
− 6
33
3
+ 11
32
2
=
63
4
. (4.25)
Příklad 4.12. Vypočtěme obsah plochy S rovinného útvaru ohraničeného grafem
funkce f(x) = x3
− 6x2
+ 11x − 7, osou x a přímkami x = 0, x = 3.
Graf této funkce je znázorněn na obrázku 4.3b. Funkce je na [0, 3] nekladná a
tudíž dle (4.25), kde jsme již vypočetli 3
0 (x3
− 6x2
+ 11x) dx, platí
S = −
3
0
f(x) dx = −
3
0
(x3
− 6x2
+ 11x − 7) dx
= −
3
0
(x3
− 6x2
+ 11x) dx + 7
3
0
dx = −
63
4
+ 21 =
21
4
.
Příklad 4.13. Vypočtěme obsah plochy S útvaru ohraničeného grafem funkce
f(x) = x3
− 6x2
+ 11x − 6, osou x a přímkami x = 0, x = 3.
Graf této funkce je znázorněn na obrázku 4.3c. Funkce na [0, 3] střída znaménko
v bodech 1, 2 a 3, přičemž 3 je již krajní bod intervalu. Funkce je kladná na
intervalu (1, 2) a záporná na (0, 1) a (2, 3), proto je plocha rovna
S = −
1
0
f(x) dx +
2
1
f(x) dx −
3
2
f(x) dx =
11
4
.
4.6. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 45
§ 4.6.1.2. Plochy ohraničené dvěma grafy. Určeni obsahu plochy ohraničené
dvěma grafy se provádí podobným způsobem jako v § 4.6.1.1. Máme-li dvě funkce
f a g, pro něž platí17
f(x) ≥ g(x), x ∈ (α, β), (4.26)
a jejichž grafy se navzájem protínají pro x = α a x = β tak, že v rovině vymezují
jistou ohraničenou plochu, pak obsah plochy S jednoduše vypočteme přes určitý
integrál. Vskutku je situace taková jako na schematickém obrázku 4.4a a je zřejmé,
že obsah barevně zvýrazněné plochy je roven rozdílu obsahů dvou ploch, jež ohraničují
grafy funkcí f a g spolu s osou x a přímkami x = α, x = β. Dle § 4.6.1.1
obsahy těchto ploch udávají integrály β
α f(s) dx a β
α f(s) dx, pak je
S =
β
α
f(x) dx −
β
α
f(s) dx, (4.27)
nebo, což je totéž, S = β
α (f(x) − g(x)) dx. Integrál od funkce s „horním“ grafem
se v (4.27) vyskytuje se znaménkem „+“ a ten odpovídající „dolnímu“ grafu —
se znaménkem „−“.
Poznamenejme, pro výpočet obsahu plochy pomocí vzorce (4.27) není nutné,
aby obě dvě funkce nabývaly na (α, β) kladných hodnot (viz obrázky 4.4a, 4.4b),
neboť v případe když tomu tak není (obrázek 4.4c) vždy můžeme grafy posunout
nahoru přidáním k funkcím f, g nějakého dostatečně velkého čísla A, což situaci
převede na případ 4.4a nebo 4.4b. Rozdíl funkcí, a tudíž i obsah plochy se přitom
nezmění, protože (f + A) − (g + A) = f − g.
V případě když je se grafy protínají tak, že vzniká uzavřený rovinný útvar
sestavený z několika částí (obrázek 4.5), obsah jeho plochy bude součtem ploch
jednotlivých útvarů vypočtených podle výše uvedeného.
V případě, když se křivky protínají ve více bodech a tudíž máme ne jeden
interval (α, β) ale několik, je potřeba si dávat pozor na uspořádaní grafů (tj. na
nerovnost (4.26)). Muže se totiž stát, že po průsečíku už bude původně „horní“ graf
niž. V takových případech počítáme integrály zvlášť na každém z intervalů (α, β)
odpovídajících průsečíkům grafů, přičemž (4.27) používáme tak, aby se znaménkem
„+“ byl vždy integrál z funkce, jež na (α, β) odpovídá „hornímu“ grafu.
Příklad 4.14. Vypočtěme obsah plochy S uzavřeného rovinného útvaru ohraničeného
grafy funkcí f(x) = cos x, g(x) = sin x v intervalu (0, 2π).
Načrtněme grafy (viz obrázek 4.6a). Potřebný geometrický útvar (na obrázku 4.6a
barevně zvýrazněný) je určen dvěma body, v nichž se grafy protínají, a ty jsou kořeny
rovnice
sin x = cos x (4.28)
17Takové funkce se nazývají dobře uspořádané na daném intervalu.
46 4. URČITÝ INTEGRÁL
(a) (b) (c)
Obrázek 4.4. Rovinná plocha ležící mezi grafy dvou funkcí: posun
grafů ve svislém směru obsah plochy nemění
(a) (b) (c)
Obrázek 4.5. Plocha mezi grafy dvou funkcí sestavená více útvary
v intervalu (0, 2π). V intervalu (0, 2π) (4.28) platí pro body π
4
a π
4
+ π = 5π
4
.
Znázorněme si graficky plochy ohraničené grafy funkcí f(x) = cos x, g(x) =
sin x, osou x a svislými přímkami x = π
4
, x = 5π
4
(obrázek 4.6a). Všude na intervalu
(π
4
, 5π
4
) leží graf sinu nad grafem kosinu, tj. sin x > cos x pro x ∈ (π
4
, 5π
4
). Velikost
plochy S je tedy podle § 4.6.1.1 rovna rozdílu integrálů
5π
4
π
4
sin x dx a
5π
4
π
4
cos x dx:
S =
5π
4
π
4
sin x dx −
5π
4
π
4
cos x dx. (4.29)
Jelikož
5π
4
π
4
sin x dx = −
5π
4
π
4
d(cos x) = − cos x
5π
4
π
4
= cos
π
4
− cos
5π
4
=
1
√
2
− −
1
√
2
=
√
2,
5π
4
π
4
cos x dx =
5π
4
π
4
d(sin x) = sin x
5π
4
π
4
= sin
5π
4
− sin
π
4
= −
1
√
2
−
1
√
2
= −
√
2,
4.6. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 47
z (4.29) obdržíme výsledek S =
√
2 − (−
√
2) = 2
√
2.
Všimněme si, že druhý integrál v (4.29) vychází záporný:
5π
4
π
4
cos x dx = −
√
2.
Ten však sám o sobě žádnou plochu neudává; obsah dané plochy je roven rozdílu
dvou integrálů a tudíž je to logicky v pořádku. Zde je situace typu znázorněného
na obrázku 4.3c, kde uvažovaná plocha protíná osu x a proto jistá její část leží pod
osou a odpovídá záporným funkčním hodnotám. Jak již bylo zmíněno, přičtením
vhodné konstanty takový případ můžeme vždy převést na 4.3a nebo 4.3b (stačí
jen o tom vědět; pokaždé vykonávat takový posun, samozřejmě, nemusíme). Pro
tento příklad je zřejmé, že, definujeme-li
˜f(x) = cos x + 1, ˜g(x) = sin x + 1,
pak jsou funkce ˜f a ˜g na intervalu [π
4
, 5π
4
] nezáporné (viz obrázek 4.6b) a ohraničují
plochu téhož obsahu, neboť ˜g − ˜f = f − g a proto
5π
4
π
4
˜g(x) dx −
5π
4
π
4
˜f(x) dx = S.
(a) f(x) = cos x, g(x) = sin x
(b) ˜f(x) = cos x + 1, ˜g(x) = sin x + 1
Obrázek 4.6. Grafy funkcí z příkladu 4.14 v intervalu (0, 2π): posun
útvaru ve svislém směru
48 4. URČITÝ INTEGRÁL
Příklad 4.15. Vypočtěme plochu S uzavřeného geometrického útvaru ohraničeného
grafy funkcí f(x) = (x − 1)2
, g(x) = x
2
+ 1 v intervalu (−1, 3).
Po načrtnutí schematického grafu (viz obrázek 4.7) zjistíme, že se potřebný
útvar určuje kořeny rovnice
(x − 1)2
=
x
2
+ 1 (4.30)
nebo, což je totéž,
x2
−
5
2
x = 0. (4.31)
Kořeny rovnice (4.31) jsou 0 a 5
2
. V intervalu (0, 5
2
) leží graf funkce g nad grafem
funkce f. Proto plocha rovinného útvaru jimi ohraničeného je rovna
5
2
0
x
2
+ 1 dx −
5
2
0
(x − 1)2
dx =
1
2
5
2
0
x dx +
5
2
0
dx −
5
2
0
(x − 1)2
d(x − 1)
=
1
2
x2
2
5
2
0
+
5
2
−
(x − 1)3
3
5
2
0
=
65
16
−
35
24
=
125
48
.
Obrázek 4.7. Grafy funkcí f(x) = (x − 1)2
, g(x) = x
2
+ 1 a jimi
ohraničena plocha
Příklad 4.16. Vypočtěme plochu S rovinného útvaru ohraničeného grafy
funkcí f(x) = x5
, g(x) = x.
Grafy funkcí se protínají v bodech [−1, −1], [0, 0] a [1, 1], přičemž v bodě [0, 0]
se mění znaménko rozdílu f − g a proto vpravo od 0 leží graf f pod grafem g
(„šedá“ plocha), kdežto vlevo od 0 je tomu naopak („červená“ plocha)). Proto je
plocha rovna
S = −
0
−1
(g(x) − f(x)) dx +
1
0
(g(x) − f(x)) dx
4.6. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 49
Obrázek 4.8. Plocha ohraničená grafy funkcí f(x) = x5
a g(x) = x
= −
0
−1
(x − x5
) dx +
1
0
(x − x5
) dx = −
x2
2
−
x6
6
0
−1
+
x2
2
−
x6
6
1
0
=
1
3
+
1
3
=
2
3
.
Zde bychom si mohli také všimnout, že obě dvě funkce f a g jsou liché; pak je
ihned zřejmé, že je S = 2 1
0 (g(x) − f(x)) dx.
Poznamenejme, že kdybychom zde pro výpočet obsahu plochy nesprávně použili
vzorec (4.27) s jedním integrálem v mezích α = −1 a β = 1, obdrželi bychom
absurdní výsledek S = 1
−1(f(x) − g(x)) dx = 1
−1(x5
− x) dx = 0.
Postupujeme stejným způsobem i v případech, když se grafy křivek protínají
ve více bodech a změna uspořádaní větví grafů nastává několikrát.
Příklad 4.17. Vypočtěme plochu S rovinného útvaru ohraničeného grafy
funkcí f(x) = x3
− 6x2
+ 45
4
x − 6 a g(x) = x
4
v intervalu (0, 4).
Je potřeba určit průsečíky grafů těchto funkcí; ty jsou kořeny rovnice
x3
− 6x2
+
45
4
x − 6 =
x
4
. (4.32)
Rovnici (4.32) úpravami převedeme na tvar
x3
− 6x2
+ 11x − 6 = 0. (4.33)
Polynom v (4.33) má celé koeficienty. Použitím Hornerova schematu nalezneme
kořeny rovnice (4.33); ty jsou 1, 2 a 3.
Průsečíky grafu funkci f a g v intervalu (0, 4) se tedy nachází v bodech, jejichž
souřadnice na ose x jsou
α1 = 1, α2 = 2, α3 = 3.
Grafy jsou znázorněné na obrázku 4.9.
50 4. URČITÝ INTEGRÁL
Obrázek 4.9. Plocha ohraničená grafy funkcí f(x) = x3
− 6x2
+
45
4
x − 6 a g(x) = x
4
v intervalu (0, 4)
Potřebná plocha se skládá z několika částí zabarvených šedě a červeně, přičemž
v „šedých“ částech (intervaly (0, α1) a (α2, α3)) leží graf přímky g nad grafem
funkce f a v „červených“ částech (intervaly (α1, α2) a (α3, 4)) je tomu naopak.
Proto v daném případě pro určení obsahu plochy je potřeba sečíst integrály z
funkce g − f na intervalech (0, α1), (α2, α3) a integrály z funkce f − g na (α1, α2)
a (α3, 4):
S =
α1
0
(g(x) − f(x)) dx +
α3
α2
(g(x) − f(x)) dx
+
α2
α1
(f(x) − g(x)) dx
4
α3
(f(x) − g(x)) dx. (4.34)
Jelikož se v integrálech čtyřikrát vyskytuje stejný výraz, je vhodné vypočítat neurčitý
integrál
(f(x) − g(x)) dx = x3
− 6x2
+
45
4
x − 6 −
x
4
dx
= x3
− 6x2
+ 11x − 6 dx =
x4
4
−
12x3
3
+
11x2
2
− 6x
a následně dosadit odpovídající meze:
α1
0
(g(x) − f(x)) dx = −
α1
0
(f(x) − g(x)) dx
= −
x4
4
−
12x3
3
+
11x2
2
− 6x
1
0
4.6. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 51
= −
1
4
+
12
3
−
11
2
+ 6 =
9
4
,
α3
α2
(g(x) − f(x)) dx = −
x4
4
−
12x3
3
+
11x2
2
− 6x
3
2
=
1
4
,
α2
α1
(f(x) − g(x)) dx =
x4
4
−
12x3
3
+
11x2
2
− 6x
2
1
=
1
4
,
4
α3
(f(x) − g(x)) dx =
x4
4
−
12x3
3
+
11x2
2
− 6x
4
3
=
1
4
−
12
3
+
11
2
− 6 =
9
4
,
a z (4.34) obdržíme
S =
9
4
+
1
4
+
1
4
+
9
4
= 2 ·
10
4
= 5.
Příklad 4.18 (parametricky zadaná křivka). Vypočtěme obsah plochy ohraničené
elipsou s poloosami a a b.
Rovnice takové elipsy je
x
a
2
+
y
b
2
= 1, (4.35)
pro daný účel je však pohodlnější její parametrické zadání:
x = a cos t, y = b sin t, (4.36)
kde 0 ≤ t ≤ 2π. Z obr. 4.10a je zřejmé, že vzhledem k souměrnosti je hledaná
plocha S rovna 4S0, kde S0 značí plochu sektoru ležícího v prvním kvadrantu. Pro
S0 platí
S0 =
a
0
y dx, (4.37)
kde y značí odpovídající funkci proměnné x, jež tento úsek grafu popisuje (tj. y jako
funkci nezávisle proměnné x). Abychom nemuseli vyjádření této funkce explicitně
zapisovat, použijme raději parametrické rovnice (4.36); pak v integrandu vyhází
y dx = −b sin t d(a cos t) = −ab sin2
t dt. Přepočítejme integrační meze: pro x = 0
obdržíme cos t = 0, t = π
2
; pro x = a je cos t = 1, tj. t = 0. Pak obdržíme18
S0 =
a
0
y dx = −
0
π
2
b sin t d(a cos t) = −ab
0
π
2
sin2
t dt = ab
π
2
0
sin2
t dt
=
1
2
ab
π
2
0
(1 − cos 2t) dt =
1
4
πab −
1
2
π
2
0
cos 2t dt =
1
2
ab −
1
4
π
2
0
d (sin 2t)
=
1
4
πab,
odkud S = 4S0 = πab.
18Použijeme vzorec sin2
x = 1
2 (1 − cos 2x).
52 4. URČITÝ INTEGRÁL
(a)
Obrázek 4.10. Příklady rovinných ploch
Poznamenejme, že v případe bezprostředního využití vzorce (4.37) bychom
museli z rovnice (4.35) vyjádřit
y = ±b 1 −
x2
a2
,
což by vedlo na integrál
S0 = b
a
0
1 −
x2
a2
dx = ab
1
0
√
1 − s2 ds.
Zavedeme-li substituci s = sin φ, máme ds = cos φ dφ, pro s = 0 je t = 0, pro
s = 1 je t = π
2
a pak bude
ab
1
0
√
1 − s2 ds = ab
π
2
0
1 − sin2
φ cos φ dφ = ab
π
2
0
cos2
φ dφ
=
1
2
ab
π
2
0
(1 + cos 2φ) dφ =
1
4
πab +
1
2
ab
π
2
0
cos 2φ dφ
=
1
4
πab,
odkud obdržíme stejný výsledek19
S = πab.
§ 4.6.2. ... [...]
19Poznamenejme, že pro b = a obdržíme πa2
, tj. plochu kruhu o poloměru a.
KAPITOLA 5
Nevlastní integrály
Existence určitého integrálu a jeho hodnota podstatně závisí na vlastnostech
funkce na daném intervalu. Může se stát, že primitivní funkci známe, avšak určitý
integrál na daném intervalu je nekonečny nebo vůbec neexistuje. Takové případy
vyžadují upřesnění pojmu integrálu a úpravu technik práce s nim.
§ 5.1. Motivace
Uveďme několik motivačních příkladů.
Příklad 5.1. Vypočtěme integrál
2
1
dx
x3
.
Jelikož příslušný neurčity integrál je
dx
x3
= x−3
dx = −
1
2
x−2
+ C, (5.1)
využitím Newton-Leibnizova vzorce (4.2) snadno obdržíme
2
1
dx
x3
= −
1
2x2
2
1
= −
1
2
1
4
− 1 =
3
8
.
Obsah plochy znázorněné na obr. 5.1a je tedy rovný 3
8
.
Příklad 5.2 (integrál neexistuje). Uvažujme integrál
1
−1
dx
x3
.
Dosadíme-li výraz (5.1) do Newton-Leibnizova vzorce (4.2), obdržíme 1
−1
dx
x3 =
− 1
2x2 |1
−1 = −1
2
(1 − 1) = 0. Tento výsledek je však chybný, protože interval (−1, 1)
obsahuje bod 0, v němž má funkce singularitu (mimo jiné, je narušena její spojitost)
a nebyli jsme oprávněni Newton-Leibnizův vzorec použit.
Tento integrál neexistuje a odpovídající geometrický útvar obsah nemá. Vskutku,
pro libovolná kladná ε1 a ε2 platí −ε1
−1
dx
x3 = − 1
2x2 |−ε1
−1 = 1
2
(1 − 1
ε2
1
) a 1
ε2
dx
x3 =
− 1
2x2 |1
ε2
= 1
2
( 1
ε2
2
−1). Budeme-li v těchto vzorcích hodnoty ε1 a ε2 neomezeně zmenšovat,
vychází
lim
ε→0+
−ε
−1
dx
x3
=
1
2
lim
ε→0+
1 −
1
ε2
= −∞, (5.2)
53
54 5. NEVLASTNÍ INTEGRÁLY
(a) 2
1
dx
x3 = 3
8 (b) 1
− 1
2
dx
x3 neexistuje
Obrázek 5.1. Integrál z 1
x3 na různých intervalech
lim
ε→0+
1
ε
dx
x3
=
1
2
lim
ε→0+
1
ε2
− 1 = +∞ (5.3)
a pro 1
−1
dx
x3 , což by dle (4.4) mělo být součtem 0
−1
dx
x3 a 1
0
dx
x3 , tak obdržíme
1
−1
dx
x3
= ∞ − ∞.
Tomuto neurčitému výrazu však nemůžeme smysluplným způsobem přiřadit hodnotu
ani kdybychom integrálem 1
−1
dx
x3 rozuměli limitu součtu −ε1
−1
dx
x3 + 1
ε2
dx
x3 pro
ε1, ε2 → 0+, neboť taková limita neexistuje.
Vskutku, buďte ε1 = 1
n2 a ε2 = 1
n
, kde n = 1, 2, . . . . Pak
− 1
n2
−1
dx
x3 = 1
2
(1 − n2
) a
1
1
n
dx
x3 = 1
2
(n − 1), odkud máme
− 1
n2
−1
dx
x3
+
1
1
n
dx
x3
=
1
2
(1 − n2
) +
1
2
(n − 1) = −
1
2
n(n − 1) → −∞, n → +∞.
Vezmeme-li naopak ε1 = 1
n
a ε2 = 1
n2 , obdržíme
− 1
n
−1
dx
x3
+
1
1
n2
dx
x3
=
1
2
n(n − 1) → +∞, n → +∞.
Chování výrazu −ε1
−1
dx
x3 + 1
ε2
dx
x3 pro ε1, ε2 → 0+ tudíž podstatně závisí na rychlosti
s jakou se ε1 a ε2 blíží k 0 a o limitě při ε1, ε2 → 0+ proto nelze mluvit. Integrál
1
−1
dx
x3 tedy neexistuje ani v tomto smyslu.1
1Rovnosti (5.2), (5.3) znamenají, že pro nevlastní integrály
0
−1
dx
x3 a
1
0
dx
x3 platí
0
−1
dx
x3 =
−∞,
1
0
dx
x3 = +∞. Podíváme-li se na obrázek 5.1b, vzniká intuitivní představa, že „velikost“
nekonečna je v obou dvou případech stejná (plochy pod (−1, 0) a nad (0, 1) jsou sobě rovné) a
5.1. MOTIVACE 55
Příklad 5.3 (nekonečný obsah plochy). Vypočtěme obsah plochy ohraničené
křivkou s rovnici y = tg x, osou x a přímkami x = 1, x = π
2
.
Požadovaný obsah plochy udává určitý integrál
π
2
1 tg x dx, který však konečnou
hodnotu nemá.
Vskutku máme (cos x)′
= − sin x, odtud d(cos x) = − sin x dx a sin x dx =
− d(cos x) a proto (implicitně provádíme substituci cos x = t a používáme (4.7))
π
2
1
tg x dx =
π
2
1
sin x
cos x
dx =
π
2
1
1
cos x
sin x dx = −
π
2
1
1
cos x
d(cos x)
= −
π
2
1
d(ln cos x) = − ln cos x
π
2
1
(5.4)
= − lim
x→ π
2
−
ln cos x + ln cos 1. (5.5)
Zde výraz ln cos 1 má smysl, protože cos 1 ≈ 0.54 > 0. Avšak cos π
2
= 0, tudíž
limx→ π
2
ln cos x neexistuje a limx→ π
2
− ln cos x = limt→0+ ln t = −∞. Odtud vzhledem
k (5.5) obdržíme2
π
2
1
tg x dx = +∞. (5.6)
Poznamenejme, že funkce x → tg x není v bodě π
2
spojitá. Geometricky vztah (5.6)
znamená, že plocha znázorněná na obr. 5.2a má nekonečný obsah.
Příklad 5.4 (integrál neexistuje). Uvažujme integrál
2
1
tg x dx.
Víme, že tg x dx = ln |cos x| + C a může se zdát, že stačí jen použit NewtonLeibnizův
vzorec (4.2), tj. v (5.4) místo |
π
2
1 dosadit meze |2
1; pro 2
1 tg x dx by nám
tak vyšla hodnota − ln cos x|2
1 = ln cos 1−ln cos 2. Poslední výraz však nemá smysl,
neboť cos 2 ≈ −0.42 < 0. V čem je problém? Z obrázku 5.2b vidíme, že interval
integrování (1, 2) obsahuje bod π
2
, v němž se narušuje spojitost funkce (a není
funkce vůbec definována). Vzorec (4.2) zde použit nesmíme, navíc integrál ani
neexistuje; argumentovat lze podobně příkladu 5.2.
Příklad 5.5 (integrace per partes, singularita v konci intervalu). Vypočtěme
integrál
1
0
ln x dx.
že by přece mohlo platit
1
−1
dx
x3 = 0, definujeme-li tento integrál nějak jinak. Ze vztahů (5.2),
(5.3) plyne, že skutečně bude tomu tak, rozumíme-li tento nevlastní integrál ve smyslu Cauchyho
hlavní hodnoty, tj.
1
−1
dx
x3 = limε→0+
−ε
−1
dx
x3 +
1
ε
dx
x3 .
2Tento integrál je tzv. nevlastní : funkce x → tg x je spojitá všude na otevřeném intervalu
(1, π
2 ) a není vůbec definována v jeho pravém koncovém bodě π
2 . Proto integrál
π
2
1
tg x dx můžeme
chápat pouze ve smyslu limity limb→ π
2 −
b
1
tg x dx; ta však, jak jsme již zjistili, je nekonečná.
56 5. NEVLASTNÍ INTEGRÁLY
(a)
π
2
0 tg x dx = +∞ (b) 2
0 tg x dx neexistuje
Obrázek 5.2. Integrál z tg x na různých intervalech
Stejně jako v příkladu 4.2 použijeme integraci per partes:
1
0
ln x dx = (x ln x)|1
0 −
1
0
x d(ln x) = (x ln x)|1
0 −
1
0
x
1
x
dx
= (x ln x)|1
0 −
1
0
dx = ln 1 − lim
x→0+
x ln x − 1 = −1. (5.7)
Rozdíl je však v tom, že dosazeni meze 0 v (x ln x)|1
0 vyžadovalo použití jednostranné
limity, protože hodnota ln 0 není definována a limx→0+ ln x = −∞. Zde
jsme odvodili limx→0+ x ln x = limx→0+
ln x
1
x
= 0 podle l’Hôpitalova pravidla; hodnota
limity je 0, neboť limx→0+
(ln x)′
( 1
x
)′ = limx→0+
1
x
− 1
x2
= − limx→0+ x = 0.
Z (5.7) lze rovněž odvodit, že plocha rovinného útvaru ohraničeného křivkou
s rovnici y = ln x, osou x a přímkami x = 0, x = 1 (viz obr. 5.3b) je rovna
1
0 | ln x| dx = 1, kde kvůli nespojitosti funkce x → ln x v okolí 0 určitý integrál
musíme tlumočit v tzv. nevlastním smyslu: 1
0 | ln x| dx = limε→0+
1
ε | ln x| dx.
§ 5.2. Zavedení nevlastního integrálu
Myšlenky použité při analýze uvedených příkladů vedou na přirozené definice
nevlastních integrálů.
§ 5.2.1. Nevlastní integrál s nekonečnými mezemi. Buď f funkce, jež
je definována na intervalu [a, +∞), kde a ∈ R. Nechť integrál b
a f(x) dx existuje
pro libovolně velké b > a.
5.2. ZAVEDENÍ NEVLASTNÍHO INTEGRÁLU 57
(a) 1
1
2
ln x dx = 1
2 (ln 2 − 1) (b) 1
0 ln x dx = −1 (nevlastní!)
Obrázek 5.3. Integrál z ln x na různých intervalech
Definice 5.1. Existuje-li limita integrálů b
a f(x) dx při b → +∞, pak hodnota
této limity se nazývá integrálem funkce f v mezích od a do +∞:
+∞
a
f(x) dx = lim
b→+∞
b
a
f(x) dx.
Toto je nevlastní integrál s nekonečnou horní mezí. Je-li limita konečná, říká
se, že integrál konverguje (v opačném případě, tj. když limita je nekonečna nebo
neexistuje, integrál diverguje).
Podobným způsobem zavádíme integrál b
−∞ f(x) dx, kde je f definována na
intervalu (−∞, b]. Existují-li integrály +∞
c f(x) dx a c
−∞ f(x) dx pro nějaké c ∈ R,
jejich součtem definujeme nevlastní integrál
+∞
−∞
f(x) dx =
+∞
c
f(x) dx +
c
−∞
f(x) dx.
Integrály z příkladů 5.1 a 5.2 jsou nevlastními integrály ve smyslu definice 5.1.
Příklad 5.6. Integrál
+∞
1
dx
xα
konverguje pro α > 1 a diverguje v opačném případě.
Nechť α = 1. Pak
lim
b→+∞
b
1
dx
xα
= lim
b→+∞
x1−α
1 − α
b
1
= lim
b→+∞
1
1 − α
b1−α
− 1 . (5.8)
58 5. NEVLASTNÍ INTEGRÁLY
Z (5.8) plyne, že limb→+∞
b
1
dx
xα = 1
α−1
pro α > 1 a limb→+∞
b
1
dx
xα = +∞ pro
α < 1. Nakonec pro α = 1 platí
lim
b→+∞
b
1
dx
x
= lim
b→+∞
(ln b − ln 1) = +∞.
§ 5.2.2. Nevlastní integrál z neomezené funkce. Buď f funkce definovaná
na intervalu (a, b) (−∞ < a < b < +∞), neomezená v pravém okolí3
bodu a a
omezena na každém intervalu (a + ε, b), kde ε > 0 je libovolně male kladné číslo.
Definice 5.2. Existují-li všechny integrály b
a+ε f(x) dx pro libovolně malá ε,
integrálem b
a f(x) dx rozumíme jednostrannou limitu těchto integrálů pro ε → 0+:
b
a
f(x) dx = lim
ε→0+
b
a+ε
f(x) dx.
V případě existence konečné limity integrál konverguje, jinak integrál diverguje.
Bod a, kde není funkce f omezená, nazývá se singulárním bodem této funkce.
Podobným způsobem definujeme integrál b
a f(x) dx v případě, kdy je f neomezená
v okolí bodu b:
b
a
f(x) dx = lim
ε→0+
b−ε
a
f(x) dx.
Jestliže obě meze a a b jsou pro f singulárními body, zavádíme integrál rovností
b
a
f(x) dx =
c
a
f(x) dx +
b
c
f(x) dx, (5.9)
kde c je nějaký bod intervalu (a, b) a integrály c
a f(x) dx a b
c f(x) dx chápeme
v uvedeném výše smyslu. Říkáme, že integrál (5.9) konverguje, jestliže konvergují
oba integrály součtu (v opačném případě integrál diverguje).
Nakonec, má-li funkce f singularitu v nějakém bodě c ∈ (a, b) a existujíli
nevlastní integrály c
a f(x) dx a b
c f(x) dx, definujeme pak nevlastní integrál4
b
a f(x) dx rovností (5.9).
Integrály z příkladů 5.2, 5.3, 5.4, 5.5 jsou nevlastními integrály z neomezených
funkcí.
Příklad 5.7. Integrál
1
0
dx
xα
konverguje pro α < 1 a diverguje v opačném případě.
Nechť α = 1. Pak
lim
a→0+
1
a
dx
xα
= lim
a→0
1
1 − α
1 − a1−α
.
3Tj. neomezená na (a, a + ε), kde ε je malé kladné číslo
4Zde je možné uvažovat i možnosti, kdy a = −∞ nebo b = +∞ (viz § 5.2.3); v takových
případech se na pravé straně rovnosti (5.9) objeví integrály s nekonečnou mezí, jež chápeme ve
smyslu § 5.2.1.
5.2. ZAVEDENÍ NEVLASTNÍHO INTEGRÁLU 59
a tudíž lima→0+
1
a
dx
xα = 1
1−α
pro α < 1 a lima→0+
1
a
dx
xα = +∞ pro α > 1. Pro
α = 1 obdržíme
lim
a→0+
1
a
dx
x
= lim
a→0+
(ln 1 − ln a) = +∞.
§ 5.2.3. Nevlastní integrál z neomezené funkce s nekonečnými mezemi.
Tento druh nevlastních integrálů vzniká kombinací integrálů dvou předchozích
typů.
Definice 5.3. Je-li funkce f : (a, +∞) → R neomezená v pravém okolí bodu
a, integrálem +∞
a f(x) dx rozumíme součet
+∞
a
f(x) dx =
c
a
f(x) dx +
+∞
c
f(x) dx,
kde c je nějaký bod5
intervalu (a, +∞).
Integrály typu +∞
a f(x) dx, kde f je neomezená v okolí nějakého bodu b > a,
zavadíme rovností
+∞
a
f(x) dx =
b
a
f(x) dx +
+∞
b
f(x) dx,
kde b
a f(x) dx a +∞
b f(x) dx rozumíme ve smyslu definicí 5.1 a 5.3.
Příklad 5.8. Z příkladů 5.6 a 5.7 plyne, že integrál
+∞
0
dx
xα
diverguje pro libovolné α.
5Pak se dokáže, že na volbě bodu c výsledek nezávisí.