Fyzikální motivace pro výuku
matematiky
Břetislav Fajmon
Jitka Panáčová
Email: fajmon@ped.muni.cz,
panacova@ped.muni.cz
Pedagogická fakulta Masarykovy univerzity, Brno 2018
1
Obsah
1 Měření fyzikálních veličin, převody jednotek 3
2 Přímočarý pohyb 6
2.1 Pohyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Poloha a posunutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Průměrná rychlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Okamžitá rychlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Zrychlení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Pohyb rovnoměrně zrychlený/zpomalený - klasické odvození . . . . . . . . 28
2.7 Pohyb rovnoměrně zrychlený - odvození pomocí diferenciálního a integrálního
počtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8 Svislý vrh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9 Elementární částice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.10 Otázky k opakování kapitoly 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Vektory 44
3.1 Vektorové veličiny = vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem - grafický přístup . . . . . . . 46
3.2.1 Sčítání vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2 Násobení vektoru skalárem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.3 Úhel dvou vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Rozklad vektoru na součet vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.1 Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové . . . . . . . . . . 55
3.3.2 Rozšířená definice funkcí sinus a kosinus . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 Souřadnice vektoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5 Sčítání vektorů a násobení vektorů skalárem - algebraický přístup . . . . . 71
3.6 Skalární a vektorový součin vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6.1 Skalární součin vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6.2 Vektorový součin vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.7 Otázky k opakování kapitoly 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4 Dvojrozměrný a trojrozměrný pohyb 87
4.1 Dvojrozměrný a trojrozměrný pohyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 Poloha a posunutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3 Průměrná a okamžitá rychlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.4 Průměrné a okamžité zrychlení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5 Otázky k opakování kapitoly 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2
Úvod
Řada partií matematiky vyučovaných na střední a vysoké škole obsahuje systémy metod
vhodných na úlohy z praxe – například z reality fyzikálního světa. Na druhé straně řada
otázek a zpracování dat z fyzikálního světa přináší další témata, která je potřeba při jejich
popisu matematicky zpracovat.
Se zřetelem na tuto vzájemnou souhru matematiky a fyziky je utvářen i tento text,
který bude sloužit jako výukový text v předmětu Fyzikální motivace pro výuku matematiky
01 (kód předmětu MA 0034) na Pedagogické fakultě Masarykovy univerzity od
roku 2019, ovšem je psán elementárním způsobem, takže doplněním o cvičení (které bude
časem k textu připojeno) by jej bylo možné používat i při výuce matematiky a fyziky na
střední škole, když ne jako výchozí metodický materiál, tak aspoň jako zdroj některých
• informací z fyziky, které odpovídají na otázky typu „k čemu nám to bude? studentů
matematiky;
• informací z matematiky, které odpovídají na otázky typu „odkud ten učitel vyčaroval
tento vzorec? studentů fyziky.
Celý předmět Fyzikální motivace pro výuku matematiky 01 (a navazující předmět 02
v následujícím semestru) je veden v seznamu předmětů jako volitelný předmět a klade si
za cíl seznámit budoucí absolventy učitelského studia matematiky s některými základními
příklady využití matematických metod ve fyzice – je tedy určen zejména pro ty studenty,
kteří si nevybrali fyziku jako druhý předmět svého studia.
Nicméně i studenti učitelského oboru matematika–fyzika by mohli z výuky tohoto
předmětu něco získat, a sice přístupy didaktického zaměření, které se zabývají otázkou,
jakým způsobem provázat výuku matematiky a fyziky (zejména na střední škole), aby to
bylo prospěšné studentům obou předmětů.
Cílem tohoto textu a předmětu je obrátit pozornost studentů ke vzájemné souhře
matematiky a fyziky – obnovit pohled na to, že matematika, i když v jistém smyslu
královna, je velkou pomocnicí pro fyziku, pro popis i porozumění světu kolem nás. I tento
matematický popis nás obohacuje a pomáhá nám v tomto světě žít.
autoři, prosinec 2018
3
1 Měření fyzikálních veličin, převody jednotek
Fyzika se zabývá popisem zákonitostí viditelného i neviditelného světa kolem nás na základě
veličin (= proměnných), které můžeme opakovaně měřit – např. veličin délky, času,
hmotnosti, hustoty hmoty, apod. (v tomto krátkém úvodu se zaměříme pouze na veličiny
uvedené v tabulce 1.1, tj. hmotnost, čas a délku – s dalšími veličinami se budeme postupně
seznamovat při studiu fyziky).
Matematika na druhé straně není věda spojená výlučně s fyzikou. Někdy bývá označována
za nástroj nebo jazyk fyziky, jindy o matematice mluvíme zase jako o královně věd
– jako o způsobu logického uvažování a přesného vyjadřování, přístupu k životu. Podobný
cíl – naučit jistému způsobu uvažování – si ovšem kladou i jiné předměty, například technická
výchova nebo právě i fyzika, a mnoho dalších. Nemá smysl se tedy přít, která věda
nebo obor lidského zkoumání a studia je nejdůležitější – podobně jako smyslem mezilidských
vztahů je být si navzájem oporou a pomocí, i jednotlivé vědy a disciplíny studia
jsou těmi nejlepšími králi a královnami, pokud současně slouží těm ostatním a berou si
z nich inspiraci a témata ke studiu, aby spolu mohly vzájemně existovat v tomto světě a
přispívat jedna druhé.
V tomto předmětu se budeme zabývat pouze vztahem mezi dvěma obory, a sice vztahem
matematiky a fyziky. Kdybychom se zaměřili zatím pouze na jedinou veličinu, a sice
délku, už u ní lze vypozorovat rozdíly v přístupu fyziky či matematiky při jejím popisu.
Cílem tohoto textu bude upozorňovat na to, že tato vzájemná rozdílnost je důležitá, ale
současně se budeme zaměřovat i na vzájemnou souhru matematiky a fyziky.
Fyzika při zkoumání délky objektů okolního světa klade důraz na jednotky – někdy nás
budou zajímat objekty dlouhé několik desítek kilometrů (planety, hvězdy), jindy nás zajímá
objekt délky 1,92 metru (člověk), a občas (při popisu tzv. mikrosvěta) se zaměřujeme
na popis malých částic a organismů, které nedosahují ani délky jednoho milimetru. Jinými
slovy, pro studium fyziky není důležitá jen veličina neboli proměnná, ale také velikost jednotky,
kterou zrovna vynášíme na osu x našeho grafu funkce – zda je tato jednotka velká
1 kilometr, 1 metr nebo 1 milimetr. Proto je důležité používat ustálené označení těchto
jednotek délky ve vztahu k té základní jednotce délky – délce jednoho metru. Přehled
těch nejčastěji užívaných jednotek délky (a jejich označení) najdete v tabulce 1.2.
Na druhé straně, matematiku jednotky nezajímají až tolik – vynese na osu x jednotku
a napíše k ní číslo 1, a napsat k této ose, jakou veličinu měříme, popřípadě v jakých
jednotkách, někdy zapomene a jindy nepovažuje za důležité a záměrně nepíše. Zabývá
se spíše tím, aby studenty naučila poznat, že při změně veličiny x na vodorovné ose je
veličina y na svislé ose rostoucí či klesající, pro jistou hodnotu veličiny x nabývá veličina
y (která je na veličině x závislá) svého lokálního maxima či lokálního minima, apod.
Musíme si přiznat, že on ten konflikt zájmů mezi matematikou a fyzikou nastává už
při označení vodorovné osy zmiňované kartézské soustavy souřadnic v rovině: Fyzika by
ji ráda označila písmenem t, jež tradičně označuje veličinu času – zajímá ji totiž velmi
často, jak se veličina vynášená na svislé ose mění v závislosti na čase. Matematika by
velmi ráda označila vodorovnou osu písmenem x a svislou osu písmenek y – nechce se
totiž neustále soustředit na to, jakým písmenem označit kterou z os. Její cíl je jiný – chce
naučit studenty, zda např. číslo 5 přečetli z grafu funkce na vodorovné ose (a jedná se tedy
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 4
o hodnotu veličiny x), nebo na svislé ose (a jedná se o hodnotu veličiny y).Chce naučit
studenty „číst z grafu funkce .
A nyní je asi čestné říci, že i při mírných konfliktech zájmů matematiky a fyziky
např. při popisu počtu ujetých kilometrů auta v závislosti na čase je důležitá i souhra
těchto oborů: fyzika poskytne matematice názvy, velikosti a označení proměnných času
a délky, a co je nejdůležitější, také funkci představující vztah (získaný z měření) polohy
auta (= počtu ujetých kilometrů) na čase. Matematika se pokusí závislost polohy auta
na čase popsat vzorcem – pokud se jí to podaří a jedná se o vzorec spojité funkce, je
schopna dokonce vypočíst okamžitou rychlost auta v libovolném okamžiku uvažované
dráhy (pokud si tedy vztáhne teoretický pojem derivace reálné funkce na vztah mezi
polohou a rychlostí auta), nebo naopak pokud zná počáteční polohu a rychlost auta v
každém okamžiku, vyjádřit i polohu auta v každém okamžiku (pokud jí není zatěžko
vztáhnout teoretický pojem určitého integrálu na tentýž vztah mezi polohou auta a jeho
rychlostí, když nyní naopak místo aby znala dráhu v každém okamžiku, zná jen rychlost
v každém okamžiku uvažovaného časového intervalu). Jinými slovy, matematika a fyzika
spolupracují na popisu pohybu auta v závislosti na rychlosti – každý z oborů dodává jiné
kompetence (= jiné dovednosti).
Nutno říci, že tuto spolupráci výpočtů a fyzikální interpretace vykazovali v historii
významní vědci označovaní dnes za fyziky – Kepler, Newton a Galilei při popisu pohybu
nebeských těles. Až později se některé technické části tohoto popisu pohybu dostaly do
oboru matematiky. To určitě přispělo tomu, že tyto technické otázky a metody přesného
matematického popisu mohly být dále rozvíjeny, nicméně v průběhu historie se
některé z motivací pro existenci jistých matematických metod z výuky matematiky ztratily.
To dneska vede ke smutné, až paradoxní skutečnosti, že řada studentů (i absolventů)
oboru matematiky nezná žádné souvislosti některých matematických metod a objektů s
reálným světem – například neví, kde při popisu našeho světa se využívají poznatky z
matematického studia kvadratické funkce, jejímž grafem je (v nedegenerovaném případě
y = ax2
+ bx + c, kde a = 0) parabola.
Fyzika tedy popisuje svět pomocí tzv. fyzikálních veličin, některé základní fyzikální
veličiny s příslušnými jednotkami uvádí, jak bylo již výše zmíněno, tabulka 1.1:
Poznámka 1.1 POZOR! - kolize v označení:
m - označení jednotky metr
m - označení veličiny hmotnost
Předpona před jednotkou pak usnadňuje samotný zápis fyzikální veličiny, příklad pro
veličinu délky je ilustrován v tabulce 1.2:
5
Tabulka 1.1: Fyzikální veličiny
označení veličiny veličina název jednotky označení jednotky
l (= length) délka metr m
t (= time) čas sekunda s
m (= mass) hmotnost kilogram kg
Tabulka 1.2: Předpony jednotek pro veličinu délky
1 Tm = 1 terametr = 1012
m = 1 000 000 000 000 m
1 Gm = 1 gigametr = 109
m = 1 000 000 000 m
1 Mm = 1 megametr = 106
m = 1 000 000 m
1 km = 1 kilometr = 103
m = 1 000 m
1 hm = 1 hektometr = 102
m = 100 m
1 dam = 1 dekametr = 101
m = 10 m
1 dm = 1 decimetr = 10−1
m = 0,1 m
1 cm = 1 centimetr = 10−2
m = 0,01 m
1 mm = 1 milimetr = 10−3
m = 0,001 m
1 µm = 1 mikrometr = 10−6
m = 0,000 001 m
1 nm = 1 nanometr = 10−9
m = 0,000 000 001 m
1 pm = 1 pikometr = 10−12
m = 0,000 000 000 001 m
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 6
2 Přímočarý pohyb
Motivační úloha:
V roce 1977 vytvořila Kitty O´Neilová rekord v závodech dragsterů. Za pouhých 3,72 s
dosáhla rychlosti 628,85 km/h. V roce 1958 vytvořil jiný rekord Eli Beeding při jízdě na
saních s raketovým pohonem. Po startu dosáhly saně za dobu 0,04 s rychlosti 116 km/h.
Lze vůbec nějakým způsobem porovnat tyto dva výkony, abychom měli představu, který z
nich mohl přinést jezdci větší vzrušení nebo strach? Máme srovnávat dosaženou rychlost,
dobu jízdy nebo nějakou jinou veličinu?
2.1 Pohyb
Kinematika je část fyziky, která se zabývá popisem pohybu těles. Při jeho zkoumání se
nejdříve zaměříme na tzv. přímočarý pohyb, kterým rozumíme pohyb tělesa po přímce,
ať už svislé (např. pád kamene) nebo vodorovné (např. jízda automobilu po přímé dálnici).
Pokud se všechny části tělesa pohybují stejnou rychlostí a stejným směrem, nahradíme
těleso tzv. hmotným bodem, přičemž uvažujeme jeho hmotnost, ale zanedbáme jeho
rozměry.
2.2 Poloha a posunutí
Polohu hmotného bodu určujeme pomocí souřadnic vždy vzhledem k určitému vztažnému
bodu, kterým je nejčastěji počátek souřadnicové osy x viz obrázek 2.1. Za kladný
směr osy x považujeme směr rostoucí souřadnice, na obrázku 2.1 je kladný směr orientován
vpravo; opačný směr nazýváme záporný.
Obr. 2.1: Souřadnicová osa x.
Posunutí chápeme jako změnu polohy z bodu o souřadnici x1 do bodu o souřadnici
x2 (značíme x). Znak bude většinou znamenat změnu dané veličiny:
x = x2 − x1 (2.1)
7
Posunutí1
může být kladné, resp. záporné, pokud se odehrálo v kladném směru osy
x (doprava), resp. záporném směru osy x (doleva). Posuneme-li například hmotný bod z
polohy x1 = 2 do polohy x2 = −3, získáme záporné posunutí
x = −3 − 2 = −5.
Kontrola 1: Tři různá posunutí jsou dána následujícími počátečními a koncovými polohami
na ose x
a) x1 = −3 m, x2 = 5 m,
b) x1 = −3 m, x2 = −7 m,
c) x1 = 7 m, x2 = −3 m.
Která z uvedených posunutí jsou záporná?
2.3 Průměrná rychlost
Informace o pohybu tělesa lze získat z grafu závislosti jeho polohy x(t) na čase t.
Například graf na obrázku 2.2 popisuje králíka (nahradili jsme jej hmotným bodem),
který sedí v poloze x = −1 m, a nehýbá se.
Obr. 2.2: Pohyb králíka v klidu. Obr. 2.3: Pohyb králíka daný funkcí
x(t).
Graf funkce osy x na obrázku 2.3 popisuje pohyb králíka, který se
• v čase t = 0 s nachází v poloze x = −5 m,
• v čase t = 1 s nachází v poloze x = −4 m,
1
Posunutí je příklad vektorové veličiny, neboť je jako každý vektor charakterizováno velikostí a
směrem. Vektorům je věnována kapitola 3. V tuto chvíli stačí si uvědomit, že posunutí po přímce má
dvě charakteristiky: (1) velikost, tj. vzdálenost mezi počátečním a koncovým bodem, a (2) směr určený
souřadnicovou osou orientovaný od počáteční ke koncové poloze a vyjádřený znaménkem plus nebo minus.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 8
• pak se pohybuje směrem k počátku soustavy souřadnic x = 0, kterým proběhl v čase
t = 3 s a pokračoval v běhu v kladném směru osy x.
Pohyb králíka podél osy x je zaznamenán na obrázku 2.4.
Graf funkce x(t) na obrázku 2.3 ilustrující pohyb králíka je jistě zajímavější než obrázek
2.4, neboť obsahuje více informací o jeho poloze. Jednou z těchto informací je průměrná
neboli střední rychlost, označení ¯v (z anglického velocity = rychlost; pruh označuje průměrnou
hodnotu rychlosti), kterou definujeme jako podíl posunutí x v určitém časovém
intervalu t a délky tohoto intervalu:
¯v = x
t
= x2−x1
t2−t1
. (2.2)
Veličina ¯v udává, jakou průměrnou rychlostí se králík pohyboval v časovém intervalu
od okamžiku t1 do okamžiku t2.
Obr. 2.4: Pohyb králíka podél osy x. Obr. 2.5: Pohyb králíka v časovém intervalu
od okamžiku t1 = 1 do t2 = 4.
Například v časovém intervalu od t1 = 1 s do t2 = 4 s, viz graf funkce x(t) na obrázku
2.5, je průměrná rychlost králíka
¯v =
2 − (−4)
4 − 1
=
6 m
3 s
= 2 ms−1
,
tj. 2 metry za sekundu.
Daná přímka p z obrázku 2.5 se nazývá sečna grafu funkce x(t), protože jej protíná
v alespoň dvou bodech [t1, x1], [t2, x2], v našem případě se jedná o body A = [4; 2],
B = [1; −5].
9
Uvažujme pravoúhlý trojúhelník ABC (u vrcholu C je pravý úhel = úhel o velikosti
90◦
), viz obrázek 2.6. Dále uvažujme pravoúhlé trojúhelníky ABC, AED, AGF, které
jsou podobné, tj. úhly trojúhelníků při jejich vrcholech po řadě B, E, G, resp. C, D, F
jsou shodné, přičemž trojúhleníky ABC, AED, AGF mají společný vrchol v bodě A.
Obr. 2.6: Podobné pravoúhlé trojúhelníky ABC, AED, AGF.
Odpovídající poměr délek dvou stran v každém z uvažovaných pravoúhlých trojúhelníků
ABC, AED, AGF s pevně daným úhlem α ∈ (0, 90◦
) při vrcholu A, je vždy stejný:
a)
|BC|
|AB|
=
|DE|
|AE|
=
|FG|
|AG|
=
délka odvěsny protilehlé úhlu α
délka přepony
.
Výše uvedený poměr délek pravoúhlého trojúhelníka závisí pouze na velikosti úhlu
α a označuje se sin α (čti sinus alfa).
b)
|AC|
|AB|
=
|AD|
|AE|
=
|AF|
|AG|
=
délka odvěsny přilehlé úhlu α
délka přepony
.
Výše uvedený poměr délek pravoúhlého trojúhelníka závisí pouze na velikosti úhlu
α a označuje se cos α (čti kosinus alfa).
c)
|BC|
|AC|
=
|DE|
|AD|
=
|FG|
|AF|
=
délka odvěsny protilehlé úhlu α
délka odvěsny přilehlé úhlu α
.
Výše uvedený poměr délek pravoúhlého trojúhelníka závisí pouze na velikosti úhlu
α a označuje se tg α (čti tangens alfa).
Ze základní školy víme, že v každém pravoúhlém trojúhelníku ABC platí Pythagorova
věta:
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 10
a2
+ b2
= c2
,
kde a = |BC|, b = |AC| jsou délky odvěsen a c = |AB| je délka přepony pravoúhlého
trojúhelníka ABC. Celou tuto rovnici vydělíme členem c2
a získáme rovnost
a2
c2
+
b2
c2
= 1,
kterou lze pomocí výše definovaného označení přepsat na
sin2
α + cos2
α = 1.
V uvažovaném pravoúhlém trojúhelníku ABC platí rovnost:
tg α =
|BC|
|AC|
=
|BC|
|AB|
|AC|
|AB|
=
sin α
cos α
.
Poznámka 2.1 V uvažovaném pravoúhlém trojúhelníku ABC se definuje i tzv. kotangens
úhlu α:
cotg α =
délka odvěsny přilehlé úhlu α
délka odvěsny protilehlé úhlu α
.
Z uvedeného je patrno, že cotg α = 1
tg α
.
Následující text je věnován rovnici přímky ve směrnicovém tvaru: Na přímce p
v rovině (viz obrázek 2.7) leží body o souřadnicích [t, x]. Každou přímku p v rovině, která
není rovnoběžná s osou x, lze vyjádřit ve tvaru
x = a · t + b ,
kde a, b ∈ R, bod [0, b] je průsečík přímky p s osou x a a = tg α. Hodnota a se nazývá
směrnice přímky p; α je úhel, který svírá přímka p s kladným směrem osy t v kladném
smyslu. Říkáme rovněž, že úhel α udává směr (nebo také sklon) přímky p vzhledem k
soustavě souřadnic.
Vrátíme-li se k našemu popisu pohybu králíka, vidíme, že
¯v =
x
t
=
|AC|
|BC|
= tg α,
kde tg α je směrnice přímky p. Průměrná rychlost ¯v pohybu králíka od okamžiku t1 = 1
s do t2 = 4 s je rovna směrnici sečny grafu zachycujícího pohyb králíka z obrázku 2.5, která
prochází body [t1, x1], [t2, x2] ležícími na přímce p ve směrnicovém tvaru p : x = 2 · t − 6.
Z uvedeného je tedy patrno, že průměrná rychlost pohybu tělesa má svůj geometrický
význam.
11
Obr. 2.7: Přímka ve směrnicovém tvaru p : x = a · t + b.
Příklad 2.1 Nákladní dodávka jede po přímé silnici stálou rychlostí 86 km/h. Po ujetí
10,4 km náhle dojde palivo. Řidič pokračuje pěšky v původním směru. Po 27 minutách (=
0,45 h) dojde k čerpací stanici, vzdálené od odstavené dodávky 2,4 km. Jaká je průměrná
rychlost řidiče od chvíle, kdy vyjel s dodávkou z výchozího místa až do okamžiku příchodu
k čerpací stanici? Řešte výpočtem i graficky.
Řešení:
a) výpočtem: Při práci s vektorovou veličinou ¯v si musíme nejprve uvědomit, který směr
pohybu je kladný. Za kladný směr v tomto případě volíme směr jízdy. Celková dráha
pohybu je 10,4 + 2,4 = 12,8 km. Celkový čas jízdy dodávky neznáme a určíme jej
pomocí vztahu 2.2:
t =
x
¯v
=
10, 4
86
= 0, 121 h.
Celková doba cesty řidiče (jízdy i chůze) je tedy
t = 0, 121 h + 0, 45 h = 0, 571 h.
Do rovnice 2.2 dosadíme hodnoty x a t a získáme průměrnou rychlost ¯v
¯v =
x
t
=
12, 8 km
0, 571 h
= 22, 4 km/h.
b) graficky: Počátek pohybu umístíme do počátku soustavy souřadnic O = [0, 0], tj.
t1 = 0, x1 = 0, kdy směr pohybu dodávky bude kladný směr osy x, viz obrázek 2.8.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 12
Poloha čerpací stanice na takto zvolené ose je x2 = 10, 4 km + 2, 4 km = 12, 8 km.
Pro zjištění průměrné rychlosti ¯v narýsujeme graf funkce x(t). Výchozí bod grafu
splývá s počátkem a koncový bod je označen P = [0, 571 h; 12, 8 km]. Průměrná
rychlost je směrnicí přímky procházející body O, P a má hodnotu ¯v = 12,8 km
0,571 h
.
=
22, 4 km/h.
Obr. 2.8: Grafické řešení příkladu 2.1.
Příklad 2.2 Návrat k dodávce trvá řidiči 35 minut. Musí nést nádobu s palivem, a proto
jde pomaleji. Jaká je průměrná rychlost řidiče na celé trati od okamžiku výjezdu z výchozího
místa až po návrat od čerpací stanice?
Řešení: Protože řidič se pěšky vracel v záporném směru pohybu, dostáváme
x = 10, 4 − 0 = 10, 4 km,
t = 0, 121 + 0, 45 + 0, 583 = 1, 154 h, tj.
¯v = 10,4 km
1,154 h
= 9, 01 km/h.
Průměrná rychlost řidiče na celé trati je tedy 9, 01 km/h.
Kontrola 2: Po doplnění paliva se dodávka vrací zpět do bodu, odkud vyjela, rychlostí
80 km/h. Jaká je průměrná rychlost na celé cestě? [ x = 0 km, tj. ¯v = 0 km/h]
Kromě průměrné rychlosti v daném kladném směru se zavádí ještě průměrná absolutní
rychlost ¯vabs, která udává průměrnou rychlost bez ohledu na směr pohybu (tzn.
dosazují se do ní jen nezáporné hodnoty):
¯vabs =
délka celkové uražené dráhy
délka celkové doby pohybu (2.3)
13
Příklad 2.3 Určete průměrnou absolutní rychlost z předchozích příkladů 2.1 a 2.2.
Řešení: Dosazením zadaných i získaných hodnot z příkladů 2.1 a 2.2 do vzorce 2.3 do-
stáváme
¯vabs = 10,4+2,4+2,4
0,121+0,45+0,583
= 13, 17 km/h.
Všechny členy v čitateli i jmenovateli se při výpočtu ¯vabs uvažují s kladným znaménkem,
tj. průměrná absolutní rychlost je vždy nezáporná.
Poznámka 2.2
1. Při výpočtech je důležité dosazovat odpovídající jednotky - např. počítáme-li rychlost
v km/h, musíme dosazovat vzdálenosti v kilometrech a čas v hodinách.
2. Je důležité dobře číst z grafů - na vodorovnou osu jsme nanášeli čas (jeho hodnoty rostou
směrem doprava), na svislou osu jsme nanášeli polohu hmotného bodu vzhledem
k počátku soustavy souřadnic. Body grafu [t, x] uvádějí, že v okamžiku t se sledovaný
hmotný bod vyskytuje v poloze x.
2.4 Okamžitá rychlost
Vraťme se k našemu popisu pohybu králíka (obrázek 2.5). Budeme-li časový interval t,
měřený od okamžiku t, zmenšovat bez omezení k nule, s poklesem hodnoty t se bude
průměrná rychlost ¯v měřená v intervalu od t do t+ t blížit k jisté limitní hodnotě, která
definuje rychlost v okamžiku t. Tuto rychlost nazýváme okamžitou rychlostí v, což je
veličina, která udává, jak rychle a jakým směrem se králík pohybuje v daném okamžiku.
Toto zkracování časového intervalu t k nule se označuje jedním z následujících dvou
zápisů:
v = lim t→0
x
t
= dx(t)
dt
(2.4)
Označení lim t→0
x
t
čteme: limita pro t jdoucí k nule z výrazu x
t
.
Označení dx(t)
dt
čteme: derivace funkce x(t) vzhledem k proměnné t.
Poznámka 2.3 Chceme-li zjistit okamžitou rychlost králíka v čase t = 2 s, sestrojujeme
sečny protínající graf runkce x(t) zachycující pohyb králíka v bodě [2, x(2)] a [2+ t, x(2+
t)] pro stále menší t (viz obrázek 2.9 pro t = 1 a 2.10 t = 0, 5).
Matematicky je okamžitá rychlost v čase t rovna směrnici tečny ke grafu funkce x(t)
v bodě [t, x(t)] (viz obrázek 2.11). Pro t = 2 s je tedy v(2) = tg α ms−1
, kde α je úhel,
který svírá tečna ke grafu funkce x(t) s osou t. Popsanou situaci chápeme jako geometrický
význam derivace funkce x(t) pro t = 2 s.
Derivace funkce x(t) pro t = 2 s je tedy směrnicí tečny ke grafu funkce x(t) v bodě
[2, x(2)], tedy dx
dt
(2) = v(2) = tg α. Okamžitá rychlost králíka v čase t = 2 s je rovna
derivaci funkce x(t) pro t = 2 s.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 14
Obr. 2.9: Sečna a trojúhelník pro výpočet
průměrné rychlosti na intervalu
2; 3 .
Obr. 2.10: Sečna a trojúhelník pro výpočet
průměrné rychlosti na intervalu
2; 2,5 .
V následujícím textu uvedeme několik důležitých postřehů k pojmu derivace funkce.
Pokud existuje k funkci F(t) její derivace pro každé t ∈ R (viz obrázek 2.12), lze sestrojit
tečnu ke grafu funkce F(t) v bodě [t, F(t)] pro každé t: dF
dt
(1) = tg α, dF
dt
(2) = tg β;
obecně tedy v každém bodě t: dF
dt
(t) = tg ω.
Obr. 2.11: Tečna ke grafu funkce x(t) v bodě [2, x(2)].
Jinými slovy libovolné hodnotě t ∈ R lze k funkci F(t) přiřadit derivaci dF
dt
(t). Toto
přiřazení je rovněž funkce, označíme ji f(t) a zapíšeme vztahem:
f(t) = dF
dt
(t) .
Funkci f(t) nazýváme derivace funkce F(t). Ze souvislosti textu by mělo být vždy jasné,
15
zda hovoříme o derivaci funkce pro jedinou hodnotu t (např. dF
dt
(t) v bodě t = 2) nebo
máme na mysli celou funkci dF
dt
(t) (definovanou pro různé hodnoty proměnné t ∈ R).
Proces, který pro funkci F(t) najde její derivaci f(t), se nazývá derivování. Opačný
proces, který k funkci f(t) najde funkci F(t) tak, že dF
dt
(t) = f(t), se nazývá integrování
(integrace). Zapisujeme
F(t) = f(t)dt
a říkáme, že funkce F(t) je neurčitý integrál z funkce f(t). Pro ilustraci je na obrázku
2.12 zakreslen vzájemný vztah mezi oběma procesy, tj. derivováním a integrováním.
Vraťme se nyní k pojmu derivace - při jejím výpočtu využíváme analytického zápisu
vzorce s následujícím postupem: zapíšeme směrnici sečny x
t
ke grafu funkce F(t). Hodnotu
t snižujeme až k nule a sledujeme, k jaké hodnotě se blíží celý podíl x
t
. Tomuto
procesu ”přibližování” t k jisté hodnotě, který byl již popsán výše, se říká limitní proces
a nalezená hodnota se nazývá limita z výrazu x
t
pro t jdoucí k nule.
Lze tedy konstatovat, že derivace funkce x(t) pro t = 2 je rovna limitě směrnice sečny
x
t
pro t jdoucí k nule, tj. ”sečna pro t jdoucí k nule přešla v tečnu”. Tedy
dx
dt
(t) = lim
t→0
x
t
= lim
t→0
x(t + t) − x(t)
t
,
kdy směrnice sečny je dána vztahem tg α = |AC|
|BC|
viz obrázek 2.13.
Příklad 2.4 Vypočtěte derivaci funkce x(t) = t2
v obecném bodě t.
Řešení:
dx
dt
(t) = lim
t→0
(
x(t + t) − x(t)
t
) = lim
t→0
(
(t + t)2
− t2
t
) =
= lim
t→0
(
t2
+ 2t · t + ( t)2
− t2
t
) = lim
t→0
(2t + t) = 2t.
Podobně by se spočítaly derivace následujících funkcí:
1. x(t) = tn
: d
dt
(tn
) = n · tn−1
(D1)
2. x(t) = c, kde c ∈ R je konstanta (x(t) = c je konstantní funkce): d
dt
(c) = 0 (D0)
tj. derivací konstanty je nula. Konstantu při derivování můžeme vytknout (před derivaci):
d
dt
(c · x(t)) = c · dx(t)
dt
(V1)
3. Součet funkcí derivujeme člen po členu:
d
dt
(x(t) + y(t)) = dx(t)
dt
+ dy(t)
dt
(V2)
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 16
Obr. 2.12: Vztah mezi derivováním a integrováním.
Vzorce pro derivace dalších funkcí nebudeme vypisovat (lze je najít v tabulkách a
budou uvedeny ve cvičení). Vzhledem k tomu, že integrování funkcí je proces opačný k
derivování, vzorce pro integrování lze odvodit ze vzorců pro derivování, např.
tn−1
dt = tn
n
+ c , kde c ∈ R. (D1´)
V následujícím textu shrneme dosavadní matematické významy týkající se pojmu de-
rivace:
17
Obr. 2.13: Okamžitá rychlost králíka - směrnice sečny grafu funkce x(t).
1. Albebraický význam derivace: derivace je limita z jistého výrazu,
2. Geometrický význam derivace: derivace je tangens jistého úhlu (= směrnice tečny ke
grafu dané funkce),
3. Fyzikální význam derivace: derivace je okamžitá rychlost změny jisté veličiny.
Příklad 2.5 Je dána funkce
x(t) =



0 : t ≤ 1
t2
− 2t + 1 : 1 < t ≤ 3
4t : 3 < t ≤ 8
−2t2
+ 36t − 136 : 8 < t ≤ 9
udávající polohu kabiny výtahu v metrech. Kabina nejprve stojí v dolním patře, pak se
začíná pohybovat vzhůru (v kladném směru svislé osy) a opět se zastaví. Nakreslete graf
udávající závislost rychlosti v(t) kabiny na čase t.
Řešení: Na obrázku 2.14 je zakreslen graf funkce x(t) s krajními body zadaných intervalů:
bod A: x(1) = 0,
bod B: x(3) = 4,
bod C: x(8) = 24,
bod D: x(9) = 26.
Podle výše popsané teorie lze rychlost v(t) výtahu v okamžiku t spočítat jako derivaci
dráhy x(t) podle proměnné t:
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 18
Obr. 2.14: Graf funkce x(t) udávající polohu výtahu.
v(t) =
dx(t)
dt
=



0 : t ≤ 1,
2t − 2 : 1 < t ≤ 3 rychlost roste,
4 : 3 < t ≤ 8 rychlost je konstantní,
−4t + 36 : 8 < t ≤ 9 rychlost klesá.
Závislost rychlosti v(t) na čase t je zachycena na obrázku 2.15.
Obr. 2.15: Závislost rychlosti v(t) na
čase t.
Obr. 2.16: Situace na intervalu 3; 8 .
Kdybychom neznali funkci dráhy x(t), ale znali funkci rychlosti v(t), mohli bychom
řešit ”opačnou” úlohu, viz následující příklad 2.6:
Příklad 2.6 Jakou dráhu výtah urazí v okamžiku t = 0 s do okamžiku t = 9 s s ohledem
na minulý příklad 2.5?
Řešení:
- situace na intervalu 0; 1 : vzhledem k tomu, že v(t) = 0, výtah zůstává na
místě.
19
- situace na intervalu 3; 8 : výtah se zde pohybuje rychlostí v(t) = 4 ms−1
po
dobu 5 sekund a urazí dráhu 20 m. V tomto případě stojí za povšimnutí, že
velikost uražené dráhy výtahu je rovna velikosti obsahu S2 obdélníka EBCF
viz obrázek 2.16 (velikost obsahu S2 obdélníka EBCF je rovna 4 · 5 = 20 m2
).
- situace na intervalu 1; 3 : rychlost výtahu se rovnoměrně zvyšuje z hodnoty
v = 0 ms−1
v čase t = 1 na hodnotu v = 4 ms−1
v čase t = 3. Ověříme,
že velikost uražené dráhy výtahu je rovna velikosti obsahu S1 pravoúhlého
trojúhelníka AEB viz obrázek 2.17:
Obr. 2.17: Situace na intervalu 1; 3 . Obr. 2.18: Situace na intervalu 8; 9 .
Velikost obsahu pravoúhlého trojúhelníka AEB je polovinou obsahu obdélníka
AEBG, tj. S1 = 1
2
(2 · 4) = 4 m2
, tzn. velikost uražené dráhy výtahu je rovna
4 m.
- situace na intervalu 8; 9 : rychlost výtahu v = 4 ms−1
se během jedné sekundy
rovnoměrně zpomaluje na v = 0 ms−1
. Uražená dráha výtahu činí 2 m, což
je opět velikost obsahu S3 pravoúhlého trojúhelníka CFD viz obrázek 2.18
(S3 = 1
2
(1 · 4) = 2 m2
).
- Součtem velikostí obsahů jednotlivých útvarů získáme: S1 +S2 +S3 = 4+20+
2 = 26 m2
. Celkem tedy uražená dráha výtahu je rovna 26 m.
Nabízí se otázka, jak by se spočítal obsah S vybarveného útvaru na obrázku 2.19
(útvar omezený grafem funkce v(t), osou t a přímkami t = a, t = b), kdyby funkce v(t)
byla složitější.
Tento obsah S označujeme symbolem
b
a
v(t)dt, jenž udává dráhu uraženou od
okamžiku t1 = a do okamžiku t2 = b. Symbol
b
a
v(t)dt nazýváme určitý integrál z
funkce v(t) v mezích od a do b.
V následujícím textu budeme uvažovat určitý integrál z funkce f(x), která je
spojitá a nezáporná na intervalu a; b , tj. 0 ≤ f(x) pro každé x ∈ a; b 2
.
2
Připomeňme několik základních pojmů diferenciálního a integrálního počtu:
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 20
Obr. 2.19: Závislost rychlosti v(t) na čase t.
Určitý integrál ze spojité a nezáporné funkce f(x) na intervalu a; b pak určíme jako
limitu výrazu:
V (a, b) = n
i=1 f(ci) · (xi − xi−1) ,
kde
= b−a
n
je délka každého z intervalů xi−1; xi , na které rozdělíme interval a; b pro
i = 1, ..., n,
Body x0 = a, x1 = x0 + , x2 = x0 + 2 , ..., xn = b nazýváme dělicí body intervalu
a; b ,
ci ∈ xi−1; xi je libovolně zvolený bod z každého příslušného intervalu.
S ohledem na obrázek 2.20 tedy platí:
= xi − xi−1 pro i = 1, ..., n,
f(ci) ... výška i-tého obdélníku s délkou ,
f(ci) · (xi − xi−1) ... obsah i-tého obdélníku,
n
i=1 f(ci) · (xi − xi−1) ... součet obsahů všech n obdélníků.
1. Funkce f(x) je spojitá na intervalu a; b , pokud je spojitá v každém bodě x0 ∈ (a; b) a v bodě a
je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva. (Jednoduše řečeno, grafem spojité funkce na intervalu
a; b je ”nepřerušená” křivka, tj. křivka, kterou lze nakreslit do obrázku jedním tahem.)
2. Funkce f(x) je spojitá v bodě a, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu f(a) existuje takové
okolí bodu a, že pro všechna x0 z tohoto okolí bodu a patří hodnoty f(x0) do zvoleného okolí bodu
f(a).
3. Okolím bodu a rozumíme interval (a − δ; a + δ), kde δ ∈ R a δ > 0.
21
Obr. 2.20: Obsah útvaru omezeného osou x, přímkami x = a, x = b a grafem funkce
f(x).
Určitým Riemannovým integrálem z funkce f(x) na intervalu a; b nazveme
limitu
lim
n→∞
n
i=1
f(ci) · (xi − xi−1) =
b
a
f(x)dx,
pokud tato limita existuje a nezávisí na výběru reprezentantů ci z intervalů xi−1; xi .
Zobecnění geometrického názoru: výraz
b
a
f(x)dx udává obsah útvaru, který je ohraničen
přímkami x = a, x = b a grafy funkcí f(x), g(x), kde f(x) je nezáporná funkce a
g(x) = 0 na intervalu a; b . Obecně g(x) může být libovolná Riemanovsky integrovatelná
funkce tak, že platí:
g(x) ≤ f(x)
pro x ∈ a; b . Pak obsah útvaru omezeného přímkami x = a, x = b a grafy funkcí
f(x), g(x) je roven určitému integrálu
b
a
(f(x) − g(x))dx viz obrázek 2.21 (výška i-tého
obdélníčku při odvození není rovna f(ci), ale je rovna hodnotě f(ci) − g(ci)).
V 17. století pánové Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz objevili vztah mezi
určitým integrálem a teorií derivací:
b
a
f(x)dt = F(b) − F(a) , (2.5)
kde dF
dx
(x) = f(x), resp. F(x) = f(x)dx. Tento vztah se nazývá Newton-Leibnizova
formule. Tato formule říká, že změnu veličiny F lze určit jako určitý integrál (= obsah
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 22
Obr. 2.21: Obsah útvaru omezeného přímkami x = a, x = b a grafy funkcí f(x) a g(x).
plochy rovinného útvaru) funkce f, která je její derivací (toto platí, pokud funkce f(x)
je spojitá na intervalu a; b ). Díky této formuli (= vzorci) můžeme počítat jako obsah
plochy nejen změnu polohy x(t), ale změnu jakékoli veličiny, pokud známe její derivaci.
K pojmu určitého integrálu shrnujeme:
1. Algebraický význam určitého integrálu: zápis
b
a
f(x)dx představuje limitu z jistého
výrazu (”součet nekonečně mnoha nekonečně malých veličin”),
2. Geometrický význam určitého integrálu: zápis
b
a
f(x)dx představuje obsah plochy
rovinného útvaru, který je ohraničen přímkami x = a, x = b, grafem funkce f(x) a
osou x,
3. Fyzikální význam určitého integrálu: zápis
b
a
v(t)dt = x(b) − x(a) značí integrál z
rychlosti v(t) změny veličiny x(t) a je roven rozdílu hodnot veličiny x(t) v okamžicích
t2 = b a t1 = a.
Vraťme se nyní k příkladu 2.5. Kdybychom znali rychlost v(t), ale neznali polohu x(t),
byli bychom schopni počítat rozdíly polohy x(b) − x(a) pro různé časové intervaly a; b ,
ale nemůžeme nakreslit graf polohy x(t). Ke konstrukci grafu x(t) potřebujeme znát kromě
v(t) ještě přesnou polohu x(t) v alespoň jednom bodě t (zpravidla t = 0). Pak
x(t) = x(0) +
t
0
v(u)du , (2.6)
kde x(t) je poloha v obecném čase t, x(0) je poloha v čase t = 0 a
t
0
v(u)du je posun
(= změna) polohy mezi okamžikem t = 0 a obecným okamžikem t. Jedná se vlastně o
Newton-Leibnizův vzorec 2.5, kde x(0) je převedeno na opačnou stranu rovnosti.
23
Příklad 2.7 Poloha hmotného bodu, který se pohybuje po ose x, je dána vztahem
x(t) = 7, 8 + 9, 2t − 2, 1t3
.
Určete jeho rychlost v okamžiku t = 3, 5 s. Je jeho rychlost stálá nebo se spojitě mění?
Řešení: Vyjádřeme rychlost v(t) podle vztahu 2.4 jako derivaci polohy x(t):
v(t) =
dx(t)
dt
= 0 + 9, 2 − 2, 1 · 3 · t2
= 9, 2 − 6, 3 · t2
.
Vidíme, že ve vztahu v(t) = 9, 2−6, 3·t2
se vyskytuje proměnná t, tedy rychlost v(t)
se mění v závislosti na parametru t. V okamžiku t = 3, 5 s se hmotný bod pohybuje
rychlostí
v(3, 5) = 9, 2 − 6, 3 · 3, 52 .
= −68 ms−1
.
Záporné znaménko výsledku naznačuje, že pohyb hmotného bodu se děje v záporném
směru osy x.
Kontrola 3: Pro t > 0 je poloha částice dána vztahem
a) x = 3t − 2 metrů
b) x = −4t2
− 2 metrů
c) x = 2
t2 metrů
d) x = −2 metrů
Čas t je zadán v sekundách. Ve kterém z uvedených případů je rychlost hmotného
bodu
1) konstantní?
2) záporná?
3) kdy se pohyb hmotného bodu zpomaluje?
2.5 Zrychlení
Pokud se mění rychlost hmotného bodu, říkáme, že dochází ke zrychlení. Můžeme tak
hovořit o zrychlení průměrném a okamžitém.
Průměrné zrychlení ¯a(t) (označení pro zrychlení je převzato z anglického acceleration
= zrychlení) za časový interval t je dáno vztahem:
¯a(t) = v(t)
t
= v(t2)−v(t1)
t2−t1
(2.7)
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 24
Okamžité zrychlení a(t) v okamžiku t se opět získá jako směrnice tečny (derivace)
vztahem
a(t) = dv(t)
dt
(2.8)
Spojením rovnic 2.4 a 2.8 dostáváme vztah mezi zrychlením a(t) a polohou x(t):
a(t) = dv(t)
dt
= d
dt
(dx(t)
dt
) = d2x(t)
dt2 (2.9)
Zrychlení (okamžité) hmotného bodu je dáno druhou derivací polohy x(t) podle času.
Jednotkou zrychlení je m·s−1
s
= m·s−2
(čti: metr sekunda na méně druhou). Tuto jednotku
lze převádět i do jiných rozměrů, ale vždy se jedná o ”délku × čas−2
” (např. km · h−2
).
Vraťme se k příkladu 2.5 pohybu výtahu a přemýšlejme zde o zrychlení. Pro názornost
si zopakujme jednotlivé grafy polohy x(t) a rychlosti v(t). Z obrázku 2.22 jsou zřejmé
hodnoty polohy x(t) v bodech A, B, C, D:
- bod A: x(1) = 0 m,
- bod B: x(3) = 4 m,
- bod C: x(8) = 24 m,
- bod D: x(9) = 26 m.
Obr. 2.22: Závislost polohy x(t) na čase
t.
Obr. 2.23: Závislost rychlosti v(t) na
čase t.
Z obrázku 2.23 jsou zřejmé hodnoty rychlosti v(t) v jednotlivých úsecích:
- úsek AB: rychlost v(t) roste,
- úsek BC: rychlost v(t) je konstantní; v(t) = 4 ms−1
,
- úsek CD: rychlost v(t) klesá.
25
Obr. 2.24: Závislost zrychlení a(t) na čase t.
Z obrázku 2.24 vidíme, že pro zrychlení a(t) v jednotlivých úsecích platí:
- úsek AB: za 1 sekundu výtah zrychlil z 0 ms−1
na 2 ms−1
, tj. a(t) = 2 ms−2
,
- úsek BC: rychlost je konstantní, tj. a(t) = 0 ms−2
,
- úsek CD: za 1 sekundu výtah zpomalil z rychlosti 4 ms−1
na 0 ms−1
, tj. a(t) = −4
ms−2
(říkáme, že zrychlení je záporné).
Jak výmluvně napovídají postavičky na obrázku 2.24, v úseku AB jsme ve výtahu
”tlačeni k zemi”, v úseku CD ”máme žaludek v krku”. Pokud se výtah pohybuje konstatní
rychlostí (úsek BC), nic zvláštního nepociťujeme. Na bezprostřední prožívání člověka
působí zrychlení, nikoli rychlost - například při jízdě autem stálou rychlostí 90 km/h
nebo letadlem stálou rychlostí 900 km/h si naše tělo pohyb vůbec neuvědomuje.
Zrychlení někdy vyjadřujeme v tzv. jednotkách ”g”, kde:
1 g = 9, 80665 ms−2 .
= 9, 8 ms−2
. (2.10)
Jednotka 1 g (pravděpodobně z anglického gravitation = gravitace) je tzv. normální
tíhové zrychlení, což udává rychlost tělesa volně padajícího v blízkosti zemského povrchu
(v severní zeměpisné šířce 45◦
na úrovni mořské hladiny)3
.
Příklad 2.8 4
a) Kitty O´Neilová vytvořila rekord v závodech dragsterů, když dosáhla nejvyšší rychlosti
628,85 km/h v nejkratším čase 3,72 s. Jaké bylo průměrné zrychlení jejího auta?
3
Jednotka 1 g přijata na 2. generální konferenci pro váhy a míry v roce 1901.
4
Jedná se o motivační úlohu z počátku kapitoly 2.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 26
b) Jaké bylo průměrné zrychlení saní Eliho Beedinga ml., který dosáhl rychlosti 116 km/h
za 0,04 s?
Řešení:
a) Dosazením zadaných hodnot do vztahu 2.7 získáme rovnost
¯a =
v
t
=
(628, 85 − 0) km/h
(3, 72 − 0) s
=
174, 68 ms−1
3, 72 s
= 47 ms−2 .
= 4, 8 g
Průměrné zrychlení auta Kitty O´Neilové bylo přibližně 4,8 g.
b) Dosazením zadaných hodnot do vztahu 2.7 získáme rovnost
¯a =
v
t
=
116 km/h
0, 04 s
=
32, 22 ms−1
0, 04 s
= 806 ms−2 .
= 82, 1 g
Průměrné zrychlení saní Eliho Beedinga ml. bylo 82,1 g.
Protože lidské tělo vnímá zrychlení, nikoli rychlost, mnohem větším výkonem je
zrychlení 82,1 g Eliho, i když dosáhl menší rychlosti (kdyby zrychlení, kterému byl
vystaven, trvalo delší dobu, bylo by smrtelné).
Mohlo by se zdát, že když je a(t) kladné, tak těleso zrychluje, a když je záporné, tak
zpomaluje. Ale to vždy nemusí být pravda. Pokud je například v(t) záporné (těleso se
pohybuje v záporném směru osy x) a a(t) také záporné, znamená to, že těleso se stále
rychleji pohybuje v záporném směru osy x.
Správnou interpretaci znaménka zrychlení lze tedy shrnout v následující poučce:
• Pokud mají hodnoty veličin v(t), a(t) stejná znaménka, těleso v čase t zrychluje.
• Pokud mají hodnoty veličin v(t), a(t) různá znaménka, těleso v čase t zpomaluje.
Kontrola 4: Pes běží podél osy x. Jaké znaménko má jeho zrychlení, pohybuje-li se pes
a) v kladném směru osy x a zrychluje?
b) v kladném směru osy x a zpomaluje?
c) v záporném směru osy x a zrychluje?
d) v záporném směru osy x a zpomaluje?
Příklad 2.9 Poloha částice pohybující se podél osy x je dána vztahem x(t) = 4−27t+t3
metrů.
a) Určete v(t), a(t).
b) Je v některém okamžiku rychlost částice nulová?
c) Popište pohyb částice pro t ≥ 0.
27
Řešení:
a) Vyjádřeme rychlost v(t) podle vztahu 2.4 jako derivaci polohy x(t):
v(t) =
dx(t)
dt
= −27 + 3t2
ms−1
.
Vyjádřeme zrychlení a(t) podle vztahu 2.8 jako druhou derivaci polohy x(t):
a(t) =
dv(t)
dt
= 6t ms−2
.
b) Položíme výslednou rovnost z bodu a) rovnu nule:
−27 + 3t2
= 0
3t2
= 27
t = ±3 ... rychlost částice je nulová pro t = −3 a pro t = 3.
c) Proveďme rozbor závislosti x(t), v(t), a(t):
• časový okamžik t = 0 s:
poloha částice v daném časovém okamžiku je x(0) = 4 m,
v(0) = −27 ms−1
... částice se pohybuje v záporném směru,
a(0) = 0 ms−2
... zrychlení částice je nulové.
• časový interval 0 s < t < 3 s, dosaďme například t = 2 sekundy:
x(2) = −42 m ,
v(2) = −27 + 3 · 22
= −15 ms−1
,
a(2) = 6 · 2 = 12 ms−2
.
V tomto časovém intervalu se částice stále pohybuje v záporném směru,
avšak zpomaluje (v(t), a(t) mají rozdílná znaménka).
• okamžik t = 3 s: v b) jsme určili, že v(3) = 0, tj. částice má nulovou rychlost.
x(3) = −50 m ... částice právě dosáhla nejvzdálenějšího bodu v záporném
směru,
a(3) = 18 ms−2
... zrychlení částice je kladné a roste.
• okamžik t > 3: v(t) i a(t) jsou kladné a rostou, částice se stále rychleji pohybuje
v kladném směru osy x.
Pro naši představu lze nakreslit grafy funkcí x(t), v(t), a(t) viz obrázky 2.25, 2.26,
2.27.
Poznámka 2.4
a) pro t = 2 s je tečna p1 ke grafu x(t) klesající ⇒ v(2) je záporná (viz obrázek 2.25),
b) pro t = 4 s je tečna p2 ke grafu x(t) rostoucí ⇒ v(4) je kladná (viz obrázek 2.25),
c) zrychlení a(t) stále roste; nejprve to vede ke zpomalování pohybu částice v záporném
směru, pak ke zrychlujícímu se pohybu v kladném směru.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 28
Obr. 2.25: Graf funkce x(t). Obr. 2.26: Graf funkce v(t).
Obr. 2.27: Graf funkce a(t).
2.6 Pohyb rovnoměrně zrychlený/zpomalený - klasické odvození
O rovnoměrně zrychleném (zpomaleném) pohybu jsem se už zmínili v příkladu 2.5, kde
výtah při rozjíždění rovnoměrně zrychloval, resp. při zastavování rovnoměrně zpomaloval
(zrychlení zde nabývalo kladné, resp. záporné hodnoty).
Odvodíme nyní obecně rovnice pro rychlost v(t) a polohu x(t) tělesa při rovnoměrně
zrychleném pohybu. Vyjdeme z následujícího označení:
x0 ... poloha tělesa v čase t = 0 s,
v0 ... rychlost tělesa v čase t = 0 s,
x(t) ... poloha tělesa v obecném čase t,
v(t) ... rychlost tělesa v obecném okamžiku t,
t ... obecný časový okamžik (t > 0),
a ... zrychlení (zpomalení), které je v časovém intervalu 0, t konstantní.
Klasický postup odvození vztahů pro veličiny x(t), v(t):
29
1) Při rovnoměrně zrychleném pohybu je okamžité zrychlení rovno průměrnému
zrychlení, tj. přepsáním vzorce 2.7 získáme vztah:
a =
v(t) − v0
t − 0
,
ze kterého vyjádříme v(t):
v(t) = v0 + a · t . (2.11)
2) Vztah 2.2 pro průměrnou rychlost má při našem označení tvar
¯v =
x(t) − x0
t − 0
,
odkud vyjádříme x(t):
x(t) = x0 + ¯v · t . (2.12)
3) Z rovnice 2.11 je vidět, že grafem funkce v(t) = v0 + a · t je přímka (v0, a jsou
konstanty; rychlost rovnoměrně roste) ⇒ v takovém případě pro průměrnou
rychlost ¯v na daném intervalu platí, že ji získáme jako průměr počáteční a
koncové rychlosti časového intervalu 0, t :
¯v = v0+v(t)
2
. (2.13)
4) Pokud do 2.13 dosadíme za v(t) ze vztahu 2.11, dostáváme
¯v = v0
2
+ 1
2
(v0 + a · t) = v0 + 1
2
a · t . (2.14)
5) A konečně do 2.12 dosadíme za ¯v ze vztahu 2.14 a získáme
x(t) = x0 + (v0 +
1
2
a · t) · t,
což lze psát ve tvaru
x(t) − x0 = v0 · t + 1
2
a · t2
. (2.15)
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 30
Shrnutí: Pro lepší orientaci v odvozování výše uvedených vztahů je potřeba si uvědomit,
že naším cílem bylo získat:
• rovnici 2.11 ... vztah pro rychlost v(t),
• rovnici 2.15 ... vztah pro polohu x(t).
Tyto dvě rovnice obsahují veškeré dostupné informace o rovnoměrně zrychleném
přímočarém pohybu.
Poznámka 2.5 Je zajímavé, že vztah 2.11 získáme jako derivací vztahu 2.15, tj. rychlost
v(t) je derivací polohy x(t).
2.7 Pohyb rovnoměrně zrychlený - odvození pomocí diferenciálního
a integrálního počtu
Postup odvození vztahů pro rovnoměrně zrychlený pohyb:
1. Vyjdeme z definičního vztahu 2.8 pro zrychlení a(t) = dv(t)
dt
. Tento vztah zintegrujeme
od nuly do t podle Newton-Leibnizovy formule 2.5:
t
0
a(t)dt =
t
0
dv(t).
a) Při rovnoměrně zrychleném pohybu je zrychlení a(t) rovno konstantě a,
kterou můžeme vytknout před integrál:
a ·
t
0
dt =
t
0
dv(t).
b) Integrací získáme:
a · (t − 0) = v(t) − v0.
• pro součin a · (t − 0) na levé straně výše uvedené rovnosti platí:
1 = t0
= t1
1
= t ... viz vzorec (D1´).
Podle Newton - Leibnizovy formule 2.5 platí:
t
0
dt = t − 0.
• pro rozdíl v(t)−v0 na pravé straně výše uvedené rovnosti platí: integrál
a derivace se navzájem ”vyruší”, protože to jsou inverzní operace:
dv(t) = v(t).
Podle Newton - Leibnizovy formule 2.5 platí:
t
0
dv(t) = v(t) − v(0), kde v(0) = v0 dle našeho označení.
31
Získáváme tedy
v(t) = v0 + a · t ,
což je vztah 2.11.
2. Vyjdeme z definičního vztahu 2.4 pro rychlost: v(t) = dx(t)
dt
, který zintegrujeme
od 0 do t:
a) Nejprve dosadíme ze vztahu 2.11 za v(t), získáme:
v0 + a · t =
dx(t)
dt
.
Tento vztah zintegrujeme od 0 do t:
t
0
(v0 + a · t)dt =
t
0
dx(t).
b) Integrací dostáváme:
v0 ·
t
0
dt + a ·
t
0
tdt =
t
0
dx(t),
• kde tdt = t1
dt = t2
2
podle vzorce (D1´) ,
•
t
0
dx(t) - derivace a integrál se navzájem ”vyruší”.
Následně získáme
v0 · (t − 0) + a · (
t2
2
−
02
2
) = x(t) − x0,
úpravou pak
x(t) = x0 + v0 · t + 1
2
· a · t2
.
Dospěli jsme tak ke vztahu 2.15.
Z výše uvedeného je patrno, že jsme odvodili tytéž vztahy 2.11 a 2.15 jako v
oddílu 2.6.
Kontrola 5: Které z funkcí popisují polohu při pohybu rovnoměrně zrychleném?
a) x(t) = 3t − 4,
b) x(t) = −5t3
+ 4t2
+ 6,
c) x(t) = 2
t2 3t − 4
t
,
d) x(t) = 5t2
− 3.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 32
Pro popis polohy x(t) a rychlosti v(t) rovnoměrně zrychleného pohybu jsou tedy
důležité rovnice 2.11 a 2.15. V těchto rovnicích se vyskytují následující hodnoty:
x(t), x0, v0, v(t), t, a.
Abychom byli schopni spočítat konkrétní příklad, musíme čtyři z těchto hodnot znát
- po dosazení do 2.11 a 2.15 pak dostaneme dvě rovnice o dvou neznámých, které
vyřešíme.
Příklad 2.10
a) Řidič spatří policejní vůz a začne brzdit. Na dráze 88 m zpomalí z rychlosti 75 km/h
na rychlost 45 km/h. Určete konstantu zrychlení (resp. zpomalení) automobilu a
dobu brzdění, pokud brzdění bylo rovnoměrné.
b) Řidič dále brzdí se stejným zrychlením a = −1, 58 ms−2
. Za jak dlouho od začátku
brzdění se automobil zcela zastaví a jakou celkovou dráhu od začátku brzdění ujede
do úplného zastavení?
c) Při další jízdě řidič opět potřebuje zastavit. Zpomaluje s konstantním zrychlením a =
−1, 58 ms2
a úplně zastaví na dráze 200 m. Počáteční rychlost v0 neznáme. Jak
dlouho trvalo brzdění?
Řešení:
a) Známe
v0 = 75 kmh−1
= 20, 83 ms−1
,
v(t) = 45 kmh−1
= 12, 5 ms−1
,
x0 = 0 m ... počátek soustavy souřadnic umístíme do okamžiku, kdy auto
začalo brzdit,
x(t) = 88 m.
Známé hodnoty dosadíme do rovnic 2.11 a 2.15:
12, 5 = 20, 83 + a · t,
88 = 0 + 20, 83 · t + 1
2
a · t2
.
Tyto dvě rovnice o dvou neznámých a, t vyřešíme například tak, že z první rovnice
vyjádříme proměnnou a:
a = 12,5−20,83
t
= −8,33
t
.
Vyjádřenou proměnnou a nyní dosadíme do druhé rovnice a získáme rovnici o jedné
neznámé t, kterou následně vyřešíme:
33
88 = 0 + 20, 83 · t + 1
2
· −8,33
t
· t2
.
88 = t(20, 83 − 8,33
2
)
88 = t · 16, 665
t = 5, 28 s
Zpětně vypočteme zrychlení a: a = −8,33
t
= −8,33
5,28
.
= −1, 58 ms−2
.
Automobil při konstantním zrychlení a = −1, 58 ms−2
snížil rychlost ze 75 km/h
na 45 km/h za 5,28 s.
b) Známe
x0 = 0 ... stejný jako v bodě a),
v0 = 75 kmh−1
= 20, 83 ms−1
,
v(t) = 0 ms−1
... řidič zcela zastaví,
a = −1, 58 ms−2
.
Známé hodnoty dosadíme do rovnic 2.11 a 2.15:
0 = 20, 83 − 1, 58 · t
x(t) = 0 + 20, 83 · t − 1
2
· 1, 58 · t2
Vidíme, že z první rovnice můžeme vypočítat t a dosadit do druhé rovnice:
t = 20,83
1,58
= 13, 18 s.
Po dosazení získáváme
x(13, 18) = 20, 83 · 13, 18 −
1
2
· 1, 58 · 13, 182
= 137, 31 m.
Řidič zcela zastaví za 13,18 sekund od začátku brzdění a urazí přitom dráhu 137,31
metrů.
c) Známe
x0 = 0 m ... zde opět volíme počátek soustavy souřadnic,
x(t) = 200 m,
v(t) = 0 ms−1
,
a = −1, 58 ms−2
.
Známé hodnoty dosadíme do vztahů 2.11 a 2.15:
0 = v0 − 1, 58 · t,
200 = 0 + v0 · t − 1
2
· 1, 58 · t2
.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 34
Tyto dvě rovnice o dvou neznámých vyřešíme například vyjádřením proměnné v0 z
první rovnice:
v0 = 1, 58 · t.
Vyjádřenou proměnnou v0 dosadíme do druhé rovnice a získáme rovnici o jedné
neznámé t, kterou vyřešíme:
200 = 1, 58 · t2
− 1,58
2
· t2
200 = t2
· (1, 58 − 1,58
2
)
200 = t2
· 0, 79
200
0,79
= t2
⇒ t = 200
0,79
= 15, 91 s
Získanou hodnotu dosadíme do první rovnice:
v0 = 1, 58 · 15, 91 = 25, 1378 ms−1
= 90, 5 kmh−1
.
Brzdění trvalo 15,91 sekund a počáteční rychlost automobilu byla 90,5 kmh−1
.
Poznámka 2.6 Pokud se chceme ujistit, že jsme odvodili dobře danou rovnici, můžeme
provést tzv. rozměrovou zkoušku, tzn. ověřit, zda každý člen rovnice má stejnou jednotku.
Například u rovnice
x − x0 = v0 · t + 1
2
· a · t2
je výraz na levé straně uveden v metrech, a také
• v0 · t má jednotku m · s−1
· s = m
• 1
2
· a · t2
má jednotku m · s−2
· s2
= m,
čili i na pravé straně rovnice sčítáme veličiny stejných jednotek (tedy metry). Rozměrová
zkouška tedy ověřuje, že každý člen dosazený do rovnice má stejnou fyzikální jednotku.
2.8 Svislý vrh
• Zabývejme se nyní popisem jistého rovnoměrně zrychleného pohybu, kterému se říká
svislý vrh, tj. těleso vrháme svisle vzhůru nebo svisle dolů, přičemž při popisu
pohybu zanedbáme vliv odporu prostředí (např. odpor vzduchu,...).
• Zvláštním případem svislého vrhu je volný pád, tj. vrh tělesa svisle dolů s nulovou
pořáteční rychlostí (těleso volně pustíme z ruky a ono padá).
• Ve skutečnosti je vliv odporu vzduchu důležitý. Kdybychom pouštěli ze stejné výšky
jablko a pírko ve vakuu (je vyčerpán vzduch), padají stejně rychle. V běžné atmosféře
pírko padá pomaleji než jablko, protože vzduchový odpor u pírka je větší.
Zatím se při popisu svislého vrhu omezíme na zanedbání odporu vzduchu. Přesné
výpočty s odporovou silou provedeme až v kapitole 6, která se více zabývá působením
sil na těleso.
35
• V tomto oddílu budeme uvažovat pouze sílu gravitační, která pohyb padajícího tělesa
neustále zrychluje a udílí mu tzv. tíhové zrychlení g = 9, 80665 ms−2
(viz 2.10).
• Při popisu svislého vrhu je důležité si stanovit orientaci osy x, podél které těleso vrháme.
Počátek souřadné osy umístíme zpravidla do místa, odkud těleso vrháme. Kladný
směr osy x budeme uvažovat svisle vzhůru, záporný směr osy x svisle dolů viz
obrázek 2.28.
Obr. 2.28: Svislá osa x, podél které těleso vrháme.
Tímto způsobem budeme vždy uvažovat osu x, ať už těleso vrháme z polohy 0
nahoru nebo dolů (tzn. kladné hodnoty polohy se budou vyskytovat nad úrovní
počátku soustavy souřadnic, záporné hodnoty pod úrovní počátku soustavy souřad-
nic).
• Vzhledem k orientaci svislé osy x působí gravitační síla v záporném směru a udílí tělesu
konstantní zrychlení a = −g. Pak rovnice popisující tento rovnoměrně zrychlený
pohyb můžeme psát ve tvaru
v(t) = v0 − g · t, (2.16)
x(t) = x0 + v0 · t −
1
2
g · t2
. (2.17)
Příklad 2.11 Opravář upustil klíč do výtahové šachty vysokého domu (jedná se o volný
pád).
a) Jaká bude poloha klíče za 1,5 sekund?
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 36
b) Jaká bude rychlost klíče v okamžiku t = 1, 5 s?
Řešení:
a) Známe
x0 = 0 m ... počátek souřadné soustavy volíme v bodě puštění klíče,
v0 = 0 ms−1
... opravář klíč volně upustil, nehodil jím,
a = −g = −9, 80665 ms−2
,
t = 1, 5 s.
Chceme určit x(1, 5), dosadíme tedy do vzorce 2.17:
x(1, 5) = 0 + 0 · 1, 5 −
1
2
· 9, 80665 · 1, 52 .
= −11 m.
Za 1,5 sekundy klíč spadne 11 metrů svisle dolů pod bod spuštění.
b) Využijeme vztah 2.16:
v(1, 5) = 0 − 9, 80665 · 1, 5
.
= −14, 7 ms−1
.
Za 1,5 sekundy klíč nabyde rychlosti -14,7 ms−1
. Rychlost klíče je záporná, protože
padá v záporném směru osy x.
Podobně lze určit hodnoty veličin x(t), v(t), a(t) pro okamžiky t = 1, t = 2, t = 3,
t = 4:
t = 0 x = 0 m v = 0 ms−1
a = −9, 80665 ms−2
t = 1 x = −4, 9 m v = −9, 80665 ms−1
a = −9, 80665 ms−2
t = 2 x = −19, 6 m v = −19, 6 ms−1
a = −9, 80665 ms−2
t = 3 x = −44, 1 m v = −29, 4 ms−1
a = −9, 80665 ms−2
t = 4 x = −78, 5 m v = −39, 2 ms−1
a = −9, 80665 ms−2
Příklad 2.12 (podle události z roku 1939) Hráč basebalu se pokouší překonat rekord v
chytání basebalového míčku při pádu z co největší výšky. Z vrtulníku byl z výšky 240 m
upuštěn míček (odpor vzduchu zanedbáme při popisu).
a) Určete dobu letu míčku.
b) Jaká byla rychlost míčku při dopadu?
Řešení:
a) Známe
x0 = 0 m ... umístíme do bodu spuštění míčku,
37
x(t) = −240 m ... při dopadu se míček dostal 240 m ”pod úroveň” bodu
spuštění (x0),
a = −g = −9, 80665 ms−2
,
v0 = 0 ms−1
.
Dosadíme do rovnice 2.15 a dostáváme:
−240 = 0 + 0 · t −
1
2
· 9, 80665 · t2
48, 95 = t2
t = ±7... zajímá nás řešení t = 7 s, protože míček dopadl na zem až poté, co byl vypuš
Doba letu míčku, než dopadl na zem, činila 7 sekund.
b) Dosadíme t = 7s do rovnice 2.11 a dostáváme:
v(7) = 0 − 9, 80665 · 7 = −68, 65 ms−1
.
Rychlost míčku při dopadu činila −68, 65 ms−1
.5
Příklad 2.13 Nadhazovač vyhodí basebalový míč svisle vzhůru rychlostí 12 m/s, viz
obrázek 2.29.
a) Za jak dlouho dosáhne míč maximální výšky?
b) Jaká je maximální výška letu?
c) Za jak dlouho po vyhození dosáhne míč výšky 5 m?
Řešení:
a), b) Situace a), b) popisují jednu pozici letu míčku (pozici v maximální výšce), proto
je budeme řešit najednou. Zvolíme
x0 = 0 m ... poloha míčku, kdy opouští ruku nadhazovače,
v(t) = 0 ms−1
... v nejvyšším bodě je rychlost míčku nulová,
v0 = 12 ms−1
,
a = −g = −9, 80665 ms−2
... jako vždy u svislého vrhu.
Dosadíme do rovnic 2.11, 2.15 a získáváme:
0 = 12 − 9, 80665 · t,
x(t) = 0 + 12 · t − 1
2
· 9, 80665 · t2
5
Ve skutečnosti byla rychlost míčku vlivem odporu vzduchu menší, ale i přesto byl náraz tak obrovský,
že ruka s rukavicí hráče udeřila do tváře, zlomila mu horní čelist na dvanácti místech, vyrazila pět zubů
a hráč upadl do bezvědomí.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 38
Obr. 2.29: Dráha vyhozeného míče.
Z první rovnice získáme t = 12
9,80665
= 1, 22 s, které dosadíme do druhé rovnice a
dostáváme:
x(1, 22) = 0 + 12 · 1, 22 − 1
2
· 9, 80665 · 1, 222
= 7, 34 m.
Míček tedy vystoupá do výšky 7,34 metrů za dobu 1,22 sekund.
c) Pokud x(t) = 5 m, určíme t z rovnice 2.15:
5 = 0 + 12 · t −
1
2
· 9, 80665 · t2
,
ve které převedeme všechny členy na levou stranu rovnice a získáme:6
9, 80665
2
· t2
− 12 · t + 5 = 0,
tj.
t1,2 =
+12±
√
122−4· 1
2
·9,80665·5
2· 1
2
·9,80665
= +12±
√
45,9335
9,80665
, tedy
6
Připomeňme, že kořeny kvadratické rovnice a · t2
+ b · t + c = 0 určíme ze vzorce t1,2 = −b±
√
b2−4·a·c
2·a .
39
t1
.
= 0, 53 s a t2
.
= 1, 91 s.
Míček prochází polohou x(t) = 5 m dvakrát. Jednou v okamžiku t = 0, 53 s při letu
nahoru, podruhé při letu dolů v okamžiku t = 1, 91 s.
Kontrola 6: Jaké je znaménko posunutí míče v příkladu 2.13
a) při vzestupu míče?
b) při pádu míče?
Jaké je zrychlení v jeho nejvyšším bodu letu?
2.9 Elementární částice
Až doposud jsme se zabývali popisem pohybu auta, míčku, králíka, výtahu apod. V historii
se lidé pustili také do studia mikrosvěta, tj. světa objektů a částic, které jsou tak malé,
že je nelze spatřit pouhým okem.
Položili si tak otázku, jaká je nejmenší částečka hmoty. Už kolem počátku letopočtu
Řek Démokritos nazval jisté malé částečky atomy (atomos = nedělitelný). Později bylo
zjištěno, že název ”atom” neodpovídá obsahu, protože uvnitř něj existují ještě menší
částice: atom je uvnitř tvořen jádrem, ve kterém se vyskytují protony a neutrony, a
kolem jádra se rozprostírá elektronový obal, ve kterém se vyskytují elektrony.
Vědci se začali zabývat zkoumáním těchto malých částeček uvnitř atomu a snažili se
objevit další druhy těchto mikročástic mechanickým rozbíjením atomů a mikroskopickým
pozorováním. Soudržnost atomu je zajištěna vzájemným elektrickým přitahováním záporných
elektronů (značíme ) v elektronovém obalu s kladnými protony (značíme ⊕)
obsaženými v jádře. Vzhledem k tomu, že protony se svými kladnými náboji navzájem
odpuzují, jsou v jádru potřebné ještě neutrální neutrony, tj. bez náboje, aby se jádro
nerozpadlo (popsaná situace obsahu atomu je znázorněna na obrázku 2.30).
Elektrony jsou jedním ze šesti typů částic tzv. leptonů. Vedle elektronů patří mezi
leptiny ještě: miony, tauony, neutrino elektrony, neutrino miony, neutrino tauony. Ke
každému z leptonů existuje tzv. antičástice. Antičástice k elektronu se nazývá pozitron
(značíme e+
). Podle současných poznatků (výzkumy z r. 2000) se protony a neutrony od
elektronů a dalších leptonů liší tím, že mají opět jistou vnitřní strukturu (proton i neutron
se skládá ze tří tzv. kvarků):
neutron = D + D + U
proton = D + U + U
Byly objeveny kvarky šesti typů:
D = down (dole)
U = up (nahoře)
C = charm (půvabný)
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 40
Obr. 2.30: Znázornění struktury atomu.
S = strange (podivný)
T = top (vršek)
B = bottom (spodek)
Ke každému ze šesti typů kvarků dále existuje ještě antičástice.
Fyzikové se zajímali o roztřídění atomů do různých skupin - tak vznikly chemické
prvky (různé prvky se liší počtem protonů v jádře) - viz periodická soustava prvků.
U každého prvku pak existují tzv. izotopy (různé izotopy téhož prvku se liší počtem
neutronů v jádře). K některým otázkám souvisejícím s uvedenými částicemi mikrosvěta
se ještě vrátíme.
2.10 Otázky k opakování kapitoly 2
Otázka 2.1 Co je to kinematika?
Otázka 2.2 Co je to hmotný bod?
Otázka 2.3 Kdy můžeme při popisu pohybu těleso nahradit hmotným bodem?
Otázka 2.4 Co je to poloha hmotného bodu?
Otázka 2.5 Co je to posunutí a jak se počítá? (2.1)
Otázka 2.6 Co je to průměrná rychlost a jak se vypočítá? (2.2)
41
Otázka 2.7 Co je to sečna ke grafu funkce f(x)?
Otázka 2.8 Co jsou to podobné trojúhelníky?
Otázka 2.9 Co je odvěsna a přepona v trojúhelníku?
Otázka 2.10 Jak definujeme v pravoúhlém trojúhelníku sin α, cos α, tg α?
Otázka 2.11 Dokažte vztah sin2
α + cos2
α = 1.
Otázka 2.12 Co je to rovnice přímky ve směrnicovém tvaru?
Otázka 2.13 Jaký je význam konstanty b v rovnici přímky p : y = a · x + b?
Otázka 2.14 Co je to směrnice přímky a jaký je její geometrický význam?
Otázka 2.15 Jaký je vztah mezi průměrnou rychlostí a směrnicí přímky?
Otázka 2.16 Co je to průměrná absolutní rychlost a jak se spočítá? (2.3)
Otázka 2.17 Co je to okamžitá rychlost a jak se spočítá? (2.4)
Otázka 2.18 Jak čteme výraz lim t→0
x
t
?
Otázka 2.19 Jak se čte výraz dx(t)
dt
?
Otázka 2.20 Co je to tečna ke grafu funkce f(x) v daném bodě?
Otázka 2.21 Jaký je vztah mezi okamžitou rychlostí a směrnicí přímky?
Otázka 2.22 Co je to derivování? (nakreslete obrázek pro obecný bod t ... F(t), f(t))
Otázka 2.23 Co je to integrování? Co je to neurčitý integrál z funkce f(t)?
Otázka 2.24 Jaký je fyzikální význam derivace funkce F(t) v bodě t?
Otázka 2.25 Jaký je geometrický význam derivace funkce F(t) v bodě t?
Otázka 2.26 Jaký je algebraický význam derivace funkce F(t) v bodě t?
Otázka 2.27 Prostřednictvím limity vypočtěte derivaci funkce F(t) = 1
t
.
Otázka 2.28 Jaká je derivace funkcí F1(t) = c1, F2(t) = t2
? (D0), (D1)
Otázka 2.29 Jaký je neurčitý integrál z funkcí f1(t) = 0, f2(t) = tn−1
?
(D0´), (D1´)
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 42
Otázka 2.30 Jak se čte výraz
b
a
f(t)dt a co udává? Vysvětlete geometrický význam určitého
integrálu včetně obrázku.
Otázka 2.31 Jak se vypočítá
b
a
f(t)dt pomocí limity? Vysvětlete algebraický význam
určitého integrálu včetně obrázku.
Otázka 2.32 Jaký je vztah mezi určitým a neurčitým ingegrálem? (Newton-Leibnizova
formule, 2.5)
Otázka 2.33 Jaký je fyzikální význam Newton-Leibnizovy formule? Vysvětlete fyzikální
význam určitého integrálu. (2.6)
Otázka 2.34 Co je to průměrné zrychlení a jak se počítá? (2.7)
Otázka 2.35 Co je to okamžité zrychlení a jak se počítá? (2.8)
Otázka 2.36 Jaký je vztah mezi okamžitým zrychlením a(t) a polohou x(t)? (2.9)
Otázka 2.37 Jaká je jednotka rychlosti a jednotka zrychlení?
Otázka 2.38 Co to je normální tíhové zrychlení a jak jej vyjadřujeme? (2.10)
Otázka 2.39 Znamená záporné zrychlení vždy zpomalení?
Otázka 2.40 Co je to rovnoměrně zrychlený pohyb a kterých šest veličin (hodnot) vystupuje
při jeho popisu?
Otázka 2.41 Odvoďte rovnice pro popis rovnoměrně zrychleného pohybu bez použití diferenciálního
počtu. (2.11 - 2.15)
Otázka 2.42 Odvoďte rovnice 2.11 a 2.15 užitím diferenciálního a integrálního počtu:
a) definiční vztah pro zrychlení zintegrumeme od 0 do t podle 2.5:
a =
dv(t)
dt
⇒ a(t − 0) = v(t) − v0 ⇒ v(t) = v0 + a · t 2.11
b) do definičního vztahu pro rychlost dosadíme 2.11 a zintegrujeme od 0 do t:
v0 + a · t =
dx(t)
dt
⇒ v0(t − 0) + a(
t2
2
−
02
2
) = x(t) − x0 ⇒
x(t) = x0 + v0 · t +
1
2
· a · t2
2.15
Otázka 2.43 Co ověřuje rozměrová zkouška?
Otázka 2.44 Co je to svislý vrh a volný pád?
43
Otázka 2.45 Jak volíme orientaci osy x při svislém vrhu?
Otázka 2.46 Jaké jsou rovnice pro x(t), v(t) při svislém vrhu? (2.16, 2.17)
Otázka 2.47 Jaká je struktura atomu?
Otázka 2.48 Jak se liší atomy různých chemických prvků?
Otázka 2.49 Co je to izotop?
Otázka 2.50 Jaké máme druhy kvarků?
Otázka 2.51 Jaké známe druhy leptonů?
Otázka 2.52 Co je to pozitron?
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 44
3 Vektory
Speleologové se pohybují v jeskyni. Lze nějak jednoduše charakterizovat vzájemnou polohu
startu a cíle jejich cesty, aniž bychom podrobně popisovali celou spletitou trasu?
3.1 Vektorové veličiny = vektory
Ve fyzice často u některých veličin potřebujeme zjistit jak její velikost, tak její směr.
Budeme-li například na těleso působit nějakou silou, je pro výsledný pohyb tělesa podstatný
směr, kterým síla na těleso působí. Proto síly znázorňujeme úsečkami, u nichž
je určen počáteční a koncový bod - orientovanými úsečkami. Graficky znázorňujeme
orientovanou úsečku jako úsečku opatřenou šipkou u koncového bodu, viz obrázek 3.31.
Mezi orientované úsečky počítáme i úsečky, které mají totožné počáteční a koncové body
a nazýváme je nulovými orientovanými úsečkami.
Fyzikálním veličinám, které jsou určeny velikostí a směrem říkáme vektorové veličiny.
Vektorová veličina je ve fyzice popsána vektorem, který je matematicky definován jako
množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost a stejný směr. Nulový
vektor je pak množina všech nulových orientovaných úseček. Vektory budeme zapisovat
malými písmeny, která budou při písemném zápisu opatřena šipkou, např. u, v,... Každá
orientovaná úsečka určuje nějaký vektor, tedy i této úsečce budeme připisovat označení
vektoru. Určuje-li orientovaná úsečka s počátečním bodem A a koncovým bodem B vektor
u, zapisujeme u = AB.
K fyzikálním veličinám, které mohou být popsány vektory, patří:
a) posunutí v prostoru ... veličina, která popisuje přesun částice v prostoru z bodu
A do bodu B; lze ji znázornit orientovanou úsečkou (viz obrázek 3.31), jejíž směr
udává, že došlo k přesunu částice z bodu A do bodu B (vektor posunutí značíme
r, rovněž také AB).
Obr. 3.31: Orientovaná úsečka s počátečním bodem A a koncovým bodem B, taktéž
posunutí z bodu A do bodu B.
b) rychlost pohybu částice nebo tělesa v prostoru ... lze ji znázornit orientovanou úsečkou,
jejíž směr udává směr, ve kterém se v daném okamžiku částice pohybuje (vektor
rychlosti značíme v).
c) síla působící na těleso ... lze ji znázornit orientovanou úsečkou, jejíž směr udává směr,
ve kterém síla na těleso působí (vektor síly značíme F).
45
V této kapitole a v dalším studiu fyziky se seznámíme ještě s mnohými dalšími vektorovými
veličinami. Mnohé fyzikální veličiny naopak vektorové nejsou, protože jim nelze přiřadit
žádný směr (např. teplota, hmotnost,...). Veličinám, které jsou jednoznačně určeny pouze
velikostí (a nikoli směrem), říkáme skalární veličiny (= skaláry).
Příklad 3.1 Skupina speleologů, která v roce 1972 objevila spojení mezi Mamutí jeskyní
a jeskyním systémem Flint Ridge, ušla od Austinova vstupu 2,6 km západním směrem,
3,9 km na jih a vystoupila o 25 m svisle vzhůru. Jaký vektor posunutí odpovídá této
cestě?
Řešení: Nejprve zjistíme velikost posunutí ve vodorovném (= horizontálním) směru: Z
pravoúhlého trojúhelníka ABC, viz obrázek 3.32, kde |AC| = 2, 6 km, |BC| = 3, 9
km, můžeme určit délku jeho přepony |AB| pomocí Pythagorovy věty:
|AB| = |AC|2 + |BC|2 = 2, 62 + 3, 92 .
= 4, 68722 km
Pro přesný popis je užitečné zjistit také velikost úhlu ϕ, který svírají vektory posunutí
AB a AC, pro který platí:
Obr. 3.32: Velikost posunutí ve vodorovném směru.
tg ϕ =
délka odvěsny protilehlé úhlu ϕ
délka odvěsny přilehlé úhlu ϕ
=
|BC|
|AC|
=
3, 9
2, 6
= 1, 5.
Z rovnosti tg ϕ = 1, 5 určíme velikost úhlu ϕ:7
ϕ = arctg 1, 5
.
= 56, 3◦
.
7
kalkulačka musí být přepnuta na DEG (degres = anglicky ”stupně”), abychom získali výsledek ve
stupních.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 46
Z ”bočního” pohledu určíme svislé (= vertikální) posunutí pomocí Pythagorovy
věty analogickým způsobem jako v předchozím případě: trojúhelník ADB je také
pravoúhlý (viz obrázek 3.33) s pravým úhlem při vrcholu B a délkami odvěsen
|AB| = 4, 68722 km a |BD| = 0, 025 km.
Obr. 3.33: Velikost posunutí ve svislém směru.
Tedy
|AD| = |AB|2 + |BD|2 = 0, 0252 + 4, 687222 .
= 4, 68722 km
Pro přesný popis je užitečné zjistit také úhel α, který svírají vektory posunutí AB
a AD (úhel stoupání):
tg α =
0, 025
4, 68722
= 0, 0053.
Tedy
α = arctg 0, 0053
.
= 0, 3◦
.
Můžeme tedy uzavřít celkový popis posunutí: vektor posunutí r, určující změnu
polohy speleologické skupiny,
- má velikost | r| = |AD| = 4, 68729 km,
- svírá se směrem ”východ → západ” úhel ϕ = 56◦
a od vodorovné roviny je
odkloněn směrem vzhůru o úhel α = 0, 3◦
.
Nutno dodat, že vektor posunutí r v předchozím příkladu nemusí přesně popisovat
skutečnou trasu cesty. Vektorem je zadán pouze vztah mezi počáteční a koncovou polohou
cesty - její skutečná trasa by mohla být ”klikatější”, jak ilustruje například obrázek 3.34.
3.2 Sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem - grafický pří-
stup
3.2.1 Sčítání vektorů
Uvažujme částici, která se pohybuje nejprve z bodu A do bodu B, a pak z bodu B do
bodu C viz obrázek 3.35.
47
Obr. 3.34: Příklad skutečné trasy částice
Pak vektor celkového posunutí s z bodu A do bodu B uvažované částice je dán součtem
vektorů dílčích posunutí a = AB, b = BC. Vztah mezi vektory zapisujeme tzv. vektorovou
rovnicí
a + b = s (3.1)
Uvedený obrázek 3.35 je současně i návodem, jak sečíst vektory a, b graficky:
Obr. 3.35: Pohyb částice z bodu A do bodu B a následně z bodu B do bodu C.
1. nakreslíme vektor a ve správné velikosti a směru,
2. nakreslíme vektor b tak, aby jeho počáteční bod byl současně koncovým bodem vektoru
a,
3. výsledný vektor s součtu vektorů a, b je spojnicí počátečního bodu A vektoru a s
koncovým bodem C vektoru b.
Z obrázku 3.35 je rovněž zřejmé, že výsledné posunutí s lze rovněž zapsat vektorovou
rovnicí:
AB + BC = AC (3.2)
Právě definovaný součet vektorů má 4 důležité vlastnosti:
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 48
1. Komutativní zákon: výsledek součtu dvou libovolných vektorů nezávisí na pořadí
sčítanců. Matematicky tuto skutečnost zapíšeme: pro každé dva vektory a, b platí
a + b = b + a . (3.3)
O platnosti tohoto pravidla se lze přesvědčit graficky, viz obrázek 3.36:
Obr. 3.36: Dva vektory a, b lze sčítat v libovolném pořadí.
Stejný vektor s dostaneme, pokud nejprve z bodu A nakreslíme vektor a a pak k
jeho koncovému bodu B přidáme vektor b, nebo pokud nejprve z bodu A nakreslíme
vektor b a pak k jeho koncovému bodu D přidáme vektor a. Uvedenému pravidlu
se někdy říká pravidlo rovnoběžníka, protože počáteční a koncové body A, B, C, D
vytváří rovnoběžník.
2. Asociativní zákon: při sčítání více než dvou libovolných vektorů nezáleží na pořadí,
v jakém jednotlivé operace ”součtu dvou dílčích vektorů” provádíme, neboli je lhostejné,
jak při sčítání více než dvou vektorů tyto vektory seskupíme. Matematický
zápis tohoto pravidla je následující: pro každé tři vektory a, b, c platí
(a + b) + c = a + (b + c) . (3.4)
O platnosti zákona se lze přesvědčit z grafického názoru na obrázku 3.37:
Když sčítáme
nejprve a + b = AC
a pak AC + c = s,
dostáváme stejný výsledek jako v případě, kdy sčítáme
nejprve b + c = BE
a pak a + BE = s.
49
Obr. 3.37: Vektory a, b, c lze při sčítání libovolně seskupit.
Jinými slovy, protože ve vztahu 3.4 nezáleží na pořadí uzávorkování, lze psát součet
s bez závorek:
s = a + b + c.
3. Existence neutrálního prvku: Nelze přehlédnout, že sčítání vektorů splňuje některá
základní pravidla stejná jako sčítání reálných čísel. To však není samozřejmá věc v
matematice a fyzice totiž existují i operace, u kterých neplatí ve výsledku stejné
vlastnosti, které u sčítání vektorů a reálných čísel splněny jsou.
Nyní zkoumejme podobnost sčítání vektorů a sčítání reálných čísel dále: množina
všech reálných čísel R obsahuje číslo 0. Výsledkem součtu čísla 0 s libovoným daným
reálným číslem a je opět dané reálné číslo a8
. O čísle 0 pak hovoříme jako o
neutrálním prvku množiny R vzhledem ke sčítání. Otázkou je, zda něco podobného
platí i u vektorů.
U vektorů jsme již výše zavedli nulový vektor o, jehož
• velikost je rovna nule,
• směr není definován!!
Z hlediska vektorové veličiny posunutí je nulový vektor celkem logický: posunutí je
rovno nulovému vektoru, pokud koncový bod posunutí je totožný s jeho počátečním
bodem. Nulový vektor má tedy mezi vektory stejné postavení jako číslo 0 mezi
reálnými čísly, tj. pro každý vektor b platí
b + o = o + b = b . (3.5)
8
Tedy ∀a ∈ R : a + 0 = 0 + a = a.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 50
4. Existence inverzního prvku: Připomeňme, že v množině R existuje ke každému
a ∈ R reálné číslo opačné −a ∈ R tak, že
a + (−a) = (−a) + a = 0.
Otázkou zůstává, zda platí něco podobného i u vektorů.
Pro vektory platí, že ke každému vektoru b existuje vektor −b, který má
• stejnou velikost jako b,
• opačný směr jako b.
Tomuto vektoru −b se říká opačný vektor k vektoru b (viz obrázek 3.38) a platí
b + (−b) = (−b) + b = o . (3.6)
Obr. 3.38: Vektor b a k němu opačný vektor −b.
Existenci opačného vektoru užijeme k definici operace odčítání vektorů:
d = a − b = a + (−b). (3.7)
Vektor d pak nazýváme rozdílem vektorů a a (b).
Pokud tedy máme realizovat odčítání vektorů a − b, nakreslíme vektor (−b) tak,
aby počáteční bod vektoru (−b) byl koncovým bodem vektoru a. Pak provedeme
grafický součet vektorů a a (−b), viz obrázek 3.38, jak již známe z předchozího textu.
Obr. 3.39: Rozdíl vektorů a a b.
51
Kontrola 7: Dvě posunutí dané vektory a a b mají velikosti |a| = 3 m, |b| = 4 m.
Označme a + b = c. Jak je třeba volit úhel obou posunutí, aby velikost vektoru c
byla
a) co největší?
b) co nejmenší?
V obou případech určete velikost vektoru c.
Příklad 3.2 Při branném závodě je úkolem soutěžícího vzdálit se co možná nejvíce od
startu třemi postupnými přímočarými přesuny:
a) první přesun je dán vektorem a, kde |a| = 2 km, směrem na východ,
b) druhý přesun je dán vektorem b, kde |b| = 2 km, severovýchodně pod úhlem 30◦
k
místní rovnoběžce,
c) třetí přesun je dán vektorem c, kde |c| = 1 km, směrem na západ.
Pořadí přesunů může závodník volit a kterýkoliv z přesunů b, c může zaměnit přesunem
opačným. Do jaké největší vzdálenosti od startu se lze tímto způsobem dostat?
Řešení: Ve shodném měřítku (1 km odpovídá 1 cm) nakreslíme vektory a, b, c, (−b),
(−c), viz obrázek 3.40:
Vektor a nás navádí k tomu, abychom se ”vydali” co nejdále východním směrem:
dostáváme vektor d = b+a−c (na pořadí a uzávorkování sčítanců přitom vzhledem
ke komutativitě a asociativitě operace sčítání vektorů nezáleží). Změříme-li délku
vektoru d z obrázku 3.41 a použijeme daného měřítka, dostaneme vzdálenost d v
kilometrech:
|d| = 4, 8 km.
Závodník dosáhne největší vzdálenosti od startu, zvolí-li pro přesun trojici vektorů
a, b a −c.
Obr. 3.40: Vektory a, b a c pro výběr
povolené trojice posunutí.
Obr. 3.41: Výsledný vektor posunutí
d = b + a − c.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 52
3.2.2 Násobení vektoru skalárem
Představme si, že částice A1 je třikrát rychlejší než částice A2. Obě částice se pohybují
stejným směrem. Pak za časový interval t dojde k posunutí částice A1 o vektor a a
částice A2 o vektor b. Pro vektory a, b platí vztah b = 3 · a (viz obrázek 3.42). Jedná se o
příklad posunutí, ze kterého je možné vypozorovat následující vlastnosti násobení vektoru
reálným číslem r ∈ R (= skalárem):
- směr vektoru b, kde b = r · a, je
- stejný jako směr vektoru a pro r > 0,
- opačný než směr vektoru a pro r < 0,
- velikost vektoru |b|, kde b = r · a, je rovna
|b| = |r| · |a|,
kde |r| je absolutní hodnota reálního čísla r a |a| je velikost vektoru a.
Pro r = 0 získáme 0 · b = o, tj. násobením vektoru číslem nula získáme nulový vektor.
Obr. 3.42: Násobení vektoru skalárem.
3.2.3 Úhel dvou vektorů
Uvažujme dva nenulové vektory a, b, které jsme umístili do úseček OA, OB. Pak velikost
konvexního úhlu AOB se nazývá úhel vektorů a, b. Jsou-li přímky OA, OB kolmé,
říkáme, že i vektory a, b jsou kolmé a zapisujeme a ⊥ b. Úhel dvou vektorů, z nichž alespoň
jeden je nulový, nezavádíme. Na obrázku 3.43 jsou vyznačeny možné polohy vektorů a, b
a jejich úhel ϕ.
3.3 Rozklad vektoru na součet vektorů
V předcházejícím oddíle jsme se zabývali zejména operací součtu dvou vektorů - pro dva
dané vektory x, y jsme hledali vektor s, který byl jejich součtem (tj. x + y = s). Nyní se
budeme zabývat postupem v jistém smyslu opačným - je zadán jeden vektor v a naším
úkolem je nalézt dva vektory a, b tak, že zadaný vektor v je jejich součtem (tj. v = a+b).
Této operaci se říká rozklad vektoru v na součet vektorů a, b.
Následující text ukáže situaci, ve které je potřeba hledat vektory a, b, když známe jejich
53
Obr. 3.43: Možné polohy vektorů a, b a jejich úhel ϕ.
Obr. 3.44: Na těleso působíme silou F kolmo proti stěně.
součet v = a + b. Představme si, že je potřeba posunout skříň podél stěny o 3 metry dále,
než se zrovna nachází (tj. z bodu A do bodu A viz obrázek 3.44).
Pokud na skříň budeme tlačit silou danou vektorem F9
(označení z anglického force
= síla) kolmo ke stěně, skříň se nepohne podél stěny ani o centimetr, z čehož vyplývá, že
práce vykonaná při posunutí skříně kolmo proti stěně, je nulová. Z uvedeného je patrno,
že pro efektivní posunutí skříně z bodu A do bodu A musí síla F působit ”podél stěny”,
nikoliv kolmo proti stěně. Uvažujme tedy situaci na obrázku 3.45:
Obr. 3.45: Na těleso působíme silou F šikmo proti stěně.
Síla F působí v šikmém směru na roh skříně a lze ji chápat jako výslednici součtu
9
V dalším textu budeme hovořit již jen o síle F.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 54
dvou sil daných vektory a, b, tj.
F = a + b,
kde
a je síla působící kolmo proti stěně (síla hloupého pomocníka, který nevykoná žádnou
práci),
b je síla působící rovnoběžně se stěnou (síla chytrého pomocníka, který působí v tom
nejvhodnějším směru).
Uvažujme, že síla F je konstantní po celou dobu posunutí skříně z bodu A do bodu
A .
Práci potřebnou na posunutí skříně vypočteme jako součin délky posunutí
daného vektorem AA a velikosti síly dané vektorem b působící ve směru po-
sunutí:
W = |AA | · |b| , (3.8)
kde veličina W označuje práci (označení z anglického work = práce). Výše uvedený
vztah 3.8 osvětluje důvod rozkladu vektoru F - nezajímá nás ani tak přímo síla F, ani
vektor a (protože jím vykonaná práce je nulová), ale je pro nás důležítý vektor b, pomocí
něhož výslednou práci vypočteme.
Překresleme výše popsanou situaci do obrázku 3.46, ze kterého je možno dedukovat následující
poznatky:
Obr. 3.46: F = a + b.
- vektory a, b jsou navzájem kolmé,
- z pravoúhlého trojúhelníka lze vyjádřit velikosti vektorů a, b pomocí vektoru F:
|a| = |F| · sin α, |b| = |F| · cos α , (3.9)
kde α je úhel, který svírají vektory F, b.
55
Obr. 3.47: Obrázek ke Kontrole 8.
Kontrola 8: Který z následujících obrázků 3.47 představuje správný rozklad vektoru v
na součet vektorů a, b?
Příklad 3.3 Malé letadlo odstartovalo za nevlídného počasí. Později bylo spatřeno ve
vzdálenosti 215 km od letiště v severovýchodním směru, svírajícím s místním poledníkem
úhel 22◦
. Jaká byla jeho vzdálenost od letiště v severním směru a vzdálenost od letiště ve
východním směru?
Řešení: Vektorem v označme vektor posunutí letadla z letiště do místa jeho aktuální
polohy. Známe skutečnou vzdálenost letadla od letiště |v| = 215 km, pro určení
”severní” a ”východní” vzdálenosti letadla od letiště vyjdeme z obrázku 3.48:
”Severní” vzdálenost letadla od letiště je dána: |b| = |v| · cos 22◦ .
= 199, 3 km,
”Východní” vzdálenost letadla od letiště je dána: |a| = |v| · sin 22◦ .
= 80, 5 km.
3.3.1 Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové
V následujícím textu se budeme věnovat problematice úhlů, stupňů, volbě DEG a RAD
na kalkulačkách, neboť s tím velmi úzce souvisí vlastnosti funkcí sin x, cos x, tg x, cotg x
a osvětlíme je na tzv. stupňové a obloukové míře velikosti úhlů:
Uvažujeme jednotkovou kružnici k se středem S a poloměrem 1. Délka této kružnice je
2π, viz obrázek 3.49. Z následujícího obrázku 3.50 je pak patrné, že délka oblouku AB
kružnice k, kde velikost úhlu ASB je 1 stupeň, je 2π
360
neboli π
180
.
Jestliže velikost úhlů zapisujeme ve stupních, říkáme, že užíváme stupňovou míru
úhlů, ve které se kromě jednotky 1 stupeň (zkratka 1◦
) používají i menší jednotky 1
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 56
Obr. 3.48: v = a + b.
Obr. 3.49: Jednotková kružnice k. Obr. 3.50: Velikost úhlu ASB je 1◦
.
minuta (zkratka 1 ) pro jednu šedesátinu stupně a 1 vteřina (zkratka 1 ) pro jednu
šedesátinu minuty. Oproti tomu radián je jednotkový úhel v tzv. obloukové míře, přesněji
středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku o délce 1, viz obrázek
3.51.
Následujícím textem směřujeme k pojmu orientovaný úhel, k jehož pochopení předpokládáme
znalost pojmu úhel, konvexní i nekonvexní, vrchol úhlu, ramena úhlu, vnitřek
úhlu a vnějšek úhlu10
. Dosavadní znalosti o konvexním a nekonvexním úhlech však nevystačí
v matematice a technické praxi, tento nedostatek odstraníme zavedením orientovaného
úhlu:
Uspořádaná dvojice polopřímek V A, V B se společným počátkem V se nazývá orientovaný
úhel AV B, který zapisujeme symbolem ˆAV B. Polopřímka V A, resp. V B se
nazývá počáteční, resp. koncové rameno orientovaného úhlu ˆAV B, bod V vrchol
orientovaného úhlu ˆAV B. Orientovaný úhel si takto můžeme představit jako počáteční
a koncovou polohu polopřímky, která se otáčí kolem svého počátku v jednom ze dvou
navzájem opačných smyslů, tedy proti pohybu hodinových ručiček, resp. po směru ho-
10
Úhel konvexní i nekonvexní chápeme jako jistou podmnožinu množiny všech bodů dané roviny, kde
pořadí ramen v tomto úhlu je nepodstatné
57
Obr. 3.51: Velikost úhlu ASC je 1 rad.
dinových ručiček, kdy mluvíme o kladném smyslu, resp. záporném smyslu otáčení.
Tato představa otáčení polopřímky je postačující k zavedení velikosti orientovaného úhlu
ˆAV B. Polopřímky V A, V B rozdělí rovinu na dva úhly α, β, viz obrázek 3.52, přičemž
jejich velikosti označíme též α, β. Z obrázku 3.52 je pak zřejmé, že platí β = 2π − α,
resp. β = 360◦
− α (polopřímka při svém otočení z počátečního ramene V A do koncového
ramene V B opíše právě jeden z těchto úhlů α, β.) Velikost toho z úhlů α, β, který opíše
polopřímka při otočení z počátečního ramene V A do koncového ramene V B v kladném
smyslu, se nazývá základní velikost orientovaného úhlu ˆAV B. Z obrázku 3.52 je
rovněž zřejmé, že základní velikostí orientovaného úhlu ˆAV B, resp. ˆBV A je úhel α, resp.
β.
Obr. 3.52: Orientovaný úhel ˆAV B, resp. ˆBV A.
Tuto situaci znázorňujeme graficky tak, jak je uvedeno na obrázcích 3.53, resp. 3.54.
Obloukem se šipkou je vyznačeno, že jde o orientovaný úhel, přičemž α, resp. β udává
jeho základní velikost.11
Pro základní velikost α každého orientovaného úhlu je 0 ≤ α < 2π, resp. 0◦
≤ α <
360◦
. Při svém otáčení z počátečního ramene V A do koncového ramene V B nemusí polo-
11
V případě, že polopřímka V A je totožná s polopřímkou V B, hovoříme o nulovém orientovaném
úhlu ˆAV B - jeho základní velikost pokládáme rovnu 0 (rad), resp. 0◦
.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 58
Obr. 3.53: Orientovaný úhel ˆAV B. Obr. 3.54: Orientovaný úhel ˆBV A.
přímka opsat jen úhel α, ale může se otáčet dále kolem vrcholu V v témž smyslu (lze si
představit jako pohyb hmotného bodu po kružnici). Otočení polopřímky znázorněné na
obrázku 3.55 přiřadíme velikost α + 2π (”plné otočce” je přiřazeno kladné číslo 2π, neboť
jde o otáčení v kladném smyslu). Po každé další ”plné otočce” polopřímky v kladném
smyslu budeme příslušným otočením přiřazovat velikosti α + 4π, α + 6π, α + 8π, atd.
Jestliže polopřímka opíše z polohy V A do polohy V B úhel β, viz obrázek 3.56, tj. otáčí
se v záporném smyslu, přiřadíme tomuto otáčení velikost −β, čili α − 2π. Polopřímka
na obrázku 3.56 opsala kolem bodu V úhel β a dále vykonala jednu ”plnou otočku”
v záporném smyslu. Velikost otočení pak vyjádříme číslem −β − 2π, což je totéž jako
α−4π. Po dalších ”plných otočkách” budeme přiřazovat příslušným otočením polopřímky
velikosti −β − 4π, resp. −β − 6π, resp. −β − 8π atd neboli α − 6π, resp. α − 8π, resp.
α − 10π atd.
Velikostí orientovaného úhlu ˆAV B, jehož základní velikost v obloukové míře, resp. ve
stupňové míře je α, se nazývá každé číslo α + k · 2π, resp. α + k · 360◦
, kde k je libovoné
celé číslo. Každému orientovanému úhlu tedy přísluší nekonečně mnoho velikostí. Přitom
každé dvě velikosti daného orientovaného úhlu se liší o celistvý násobek 2π, resp. 360◦
.
Obr. 3.55: Velikost orientovaného úhlu
ˆAV B je α + 2π.
Obr. 3.56: Velikost orientovaného úhlu
ˆBV A je −β, čili α − 2π.
Vzhledme k tomu, že oblouková míra je hodně důležitá pro práci s funkcemi sin α,
cos α, tg α, cotg α, jsou v následující tabulce 3.3 uvedeny některé důležité úhly v obou
úhlových mírách. Přitom:
α = 1 rad ... úhel, jehož délka oblouku je rovna 1,
59
Tabulka 3.3: Převodní tabulka mezi úhlovými mírami
stupně 0◦
30◦
45◦
60◦
90◦
180◦
270◦
360◦
radiány 0 π
6
π
4
π
3
π
2
π 3π
2
2π
β = π rad ... tzv. přímý úhel (= ramena úhlu leží v jedné přímce),
γ = 2π rad ... tzv. plný úhel (tj. 360◦
= 2π rad).
Ze vztahu pro plný úhel ve stupňové i obloukové míře plynou vzorce pro převod12
:
1◦
= ( 2π
360
) rad, 1 rad = (360
2π
)◦
(3.10)
3.3.2 Rozšířená definice funkcí sinus a kosinus
Na obrázku 3.57 je v kartézské soustavě souřadnic zakreslena jednotková kružnice k se
středem v počátku soustavy souřadnic O. Dále je zde vyznačen pravoúhlý trojúhelník
ABC, v němž velikost vnitřního úhlu při vrcholu A je α. Následující text směřuje k
vyjádření sin α a cos α pomocí souřadnic b1, b2 bodu B = [b1, b2], viz obrázek 3.57.
Obr. 3.57: Jednotková kružnice v kartézské souřadné soustavě.
V souřadné soustavě Oxy sestrojíme jednotkovou kružnici k se středem O. Uvažujme
orientované úhly, jejichž vrchol je bod O a počáteční rameno kladná poloosa x, tj. polopřímka
OJ, viz obrázek 3.57. Uvažujme orientovaný úhel ˆJOK, jehož počáteční rameno je
OJ a jedna z jeho velikostí je α. Koncové rameno úhlu ˆJOK protne jednotkovou kružnici
12
Kalkulačka počítá v radiánech, pokud ji máme přepnutou na volbu RAD. Každá kalkulačka obsahuje
obvykle funkci převádějící stupňovou hodnotu úhlu na radiánovou a naopak.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 60
v bodě B = [b1, b2]. Tímto způsobem přiřadíme každému reálnému číslu α jednoznačně
určené číslo b1, resp. b2, tj. první, resp. druhou souřadnici bodu B. Funkce sinus, resp.
kosinus je funkce na množině všech reálných čísel, která každému α ∈ R přiřadí číslo b2,
resp. b1.
Při práci s nově zavedenými funkcemi sinus a kosinus budeme používat zápisy sin α, resp.
cos α případně sin x, resp. cos x.
Z pravoúhlého trojúhelníka ABC na obrázku 3.57 tedy platí:
• sin α = |BC|
|AB|
= |BC|
1
= |BC| = b2 ... tj. sin α je y - ová souřadnice bodu B,
• cos α = |AC|
|AB|
= |AC|
1
= |AC| = b1 ... tj. cos α je x - ová souřadnice bodu B.
Z uvedeného vyplývá, že B = [cos α, sin α].
Výše uvedeným způsobem jsme rozšířili definici funkcí sin α, cos α pro jakýkoli úhel
α ∈ R.
Toto rozšíření definice funkcí sin α, cos α provedl již Leonard Euler (1707 - 1783)13
.
V dalším textu uvedeme některé základní vlastnosti zmíněných funkcí v jejich rozšířené
definici (při nákresech jednotlivých funkcí je vhodné používat pravítko pro kreslení funkcí).
funkce f : y = sin x
S ohledem na rozšířenou definici (hodnota sin x udává hodnotu y-ové souřadnice bodu
B ležícího na jednotkové kružnici, viz obrázek 3.57) se hodnoty funkce f : y = sin x
periodicky opakují a kolísají v rozmezí intervalu −1, 1 . Graf funkce f : y = sin x
je uveden na obrázku 3.58.
Obr. 3.58: Graf funkce f : y = sin x.
• D(f) = R ... definiční obor funkce f : y = sin x je množina všech reálných
čísel, tj. sin x je definováno pro každé x ∈ R.
• H(f) = −1, 1 ... obor funkčních hodnot funkce f : y = sin x je množina
všech hodnot intervalu −1, 1 , kterých může funkce sin x nabývat.
• Funkce f : y = sin x je lichá, tj. pro každé x ∈ R platí:
sin(−x) = − sin x , (3.11)
např. −1 = sin(−π
2
) = − sin(+π
2
) = −1.
13
S prvním fyzikálním využitím této rozšířené definice se setkáme v kapitole 4 při popisu rovnoměrného
pohybu tělesa po kružnici.
61
• Funkce f : y = sin x je periodická, tj. její funkční hodnoty se periodicky
opakují do nekonečna a pro každé x ∈ R a pro každé k ∈ Z platí:
sin x = sin(x + k · 2π),
kde 2π je délka nejmenší periody. Odtud vyplývá, že na základě studia funkce
sinus na intervalu 0, 2π) získáme dostatečný přehled o průběhu těchto funkcí
na celém jejím definičním oboru, tj. na množině R. Stačí tedy, abychom dále
sledovali jen funkci f : y = sin x pro x ∈ 0, 2π).
• V některých případech známe funkční hodnoty y funkce f : y = sin x a potřebujeme
určit x, pro které y = sin x. Například pro y = 1
2
hledáme x, pro které
platí 1
2
= sin x. Z obrázku 3.59 je patrno, že hledaných x je nekonečně mnoho,
z nichž uvedeme následující:
Obr. 3.59: Graf funkce f : y = sin x, hodnoty x pro y = 1
2
.
1
2
= sin x1 = sin(−7π
6
)
1
2
= sin x2 = sin π
6
1
2
= sin x3 = sin 5π
6
atd.
Všechna uvedená řešení jsou správná, ovšem kalkulačka najde pouze
jedno z nich, a sice úhel x2 z intervalu −π
2
, π
2
. Tento úhel je označován
π
6
= x2 = arcsin 1
2
(čteme: arkussinus jedné poloviny).
• Funkce f−1
: x = arcsin y se nazývá inverzní funkcí k funkci f : y = sin x14
.
Platí tedy:
D(f−1
) = −1, 1
H(f−1
) = −π
2
, π
2
.
14
Připomeňme pojem inverzní funkce k funkci f:
• Inverzní funkce k prosté funkci f je funkce f−1
, pro kterou platí
1. Df−1 = Hf ,
2. Každému y ∈ Df−1 je přiřazeno právě to x ∈ Df , pro které je f(x) = y.
• Funkce f se nazývá prostá právě tehdy, když pro všechna x1, x2 ∈ Df platí: Je-li x1 = x2, pak
f(x1) = f(x2).
.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 62
funkce f : y = cos x
S ohledem na rozšířenou definici (hodnota cos x udává hodnotu x-ové souřadnice bodu
B ležícího na jednotkové kružnici viz obrázek 3.57) se funkční hodnoty funkce f :
y = cos x periodicky opakují a kolísají v rozmezí intervalu −1, 1 . Graf funkce
f : y = cos x je uveden na obrázku 3.60.
Obr. 3.60: Graf funkce f : y = cos x.
• D(f) = R ... definiční obor funkce f : y = cos x je množina všech reálných
čísel, tj. cos x je definováno pro každé x ∈ R.
• H(f) = −1, 1 ... obor hodnot funkce f : y = cos x je množina všech hodnot
intervalu −1, 1 , kterých může funkce cos x nabývat. (Oproti funkci sin x jsou
funkční hodnoty funkce cos x ”posunuty”, tj. sin 0◦
= 0, cos 0◦
= 1, ale sin π
2
=
1). Grafy funkcí sin x, cos x jsou vůči sobě posunuty ve směru osy x o π
2
, tj.
cos x = sin(x + π
2
) . (3.12)
• Funkce f : y = cos x je sudá, tj. pro každé x ∈ R platí
cos(−x) = cos x , (3.13)
např. 0 = cos(−π
2
) = cos(π
2
) = 0.
• Funkce f : y = cos x je periodická, tj. její funkční hodnoty se periodicky
opakují do nekonečna a pro každé x ∈ R a pro každé k ∈ Z platí:
cos x = cos(x + k · 2π),
kde 2π je délka nejmenší periody. Analogicky jako v případě funkce f : y = sin x
tedy stačí, abychom dále sledovali jen funkci f : y = cos x pro x ∈ 0, 2π).
• V některých případech známe funkční hodnoty y funkce f : y = cos x a potřebujeme
určit x, pro které y = cos x. Například pro y = 1
2
hledáme x, pro které
platí 1
2
= cos x. Z obrázku 3.61 je patrno, že hledaných x je nekonečně mnoho,
z nichž uvedeme následující:
1
2
= cos x1 = cos(−π
3
)
1
2
= cos x2 = cos π
3
63
Obr. 3.61: Graf funkce f : y = cos x, hodnoty x pro y = 1
2
.
1
2
= cos x3 = cos 5π
3
atd.
Všechna uvedená řešení jsou správná, ovšem kalkulačka najde pouze jedno z
nich, a sice úhel x2 z intervalu 0, π . Tento úhel je označován π
3
= x2 = arccos 1
2
(čteme: arkuskosinus jedné poloviny).
• Funkce f−1
: x = arccos y je inverzní funkcí k funkci f : y = cos x, platí tedy:
D(f−1
) = −1, 1
H(f−1
) = 0, π .
funkce f : y = tg x
Podobně jako u funkcí sin x, cos x lze využít rozšířenou definici funkce f : y = tg x:
tg x =
sin x
cos x
.
Z uvedeného vztahu je patrno, že pro cos x = 0 není funkce f : y = tg x definována.
Tedy na rozdíl od funkcí sin x, cos x není tg x definováno např. v bodech −π
2
, π
2
, 3π
2
,
atd. Graf funkce f : y = tg x je uveden na obrázku 3.62.
• D(f) = R − {π
2
+ k · π}, kde k ∈ Z. Funkce f : y = tg x není tedy definována
v bodě π
2
a v každém bodě, který se od π
2
liší o celočíselný násobek periody π.
• H(f) = R ... obor hodnot funkce f : y = tg x je množina všech reálných čísel.
• Funkce f : y = tg x je lichá, tj. pro každé reálné číslo x = (2k + 1)π
2
, kde
k ∈ Z, platí
tg (−x) = −tg x . (3.14)
Tuto skutečnost ověříme: tg (−x) = sin(−x)
cos(−x)
= − sin(x)
cos(x)
= −sin(x)
cos(x)
= −tg x.
• Funkce f : y = tg x je periodická, tj. její funkční hodnoty se periodicky
opakují do nekonečna a pro každé reálné číslo x = (2k + 1)π
2
, a pro každé
k ∈ Z, platí:
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 64
Obr. 3.62: Graf funkce f : y = tg x.
tg x = tg (x + k · π),
kde π je délka nejmenší periody funkce f : y = tg x.
• V některých případech známe funkční hodnoty y funkce f : y = tg x a potřebujeme
určit x, pro které y = tg x. Například pro y = 1 hledáme x, pro které
platí 1 = tg x. Z obrázku 3.62 je patrno, že hledaných x je nekonečně mnoho,
z nichž uvedeme následující:
1 = tg x1 = tg (π
4
− π)
1 = tg x2 = tg π
4
1 = sin x3 = tg (π
4
+ π)
atd.
Všechna uvedená řešení jsou správná, ovšem kalkulačka najde pouze jedno z
nich, a sice úhel x2 = π
4
z intervalu (−π
2
, π
2
). Tento úhel je označován π
4
= x2 =
arctg 1 (čteme: arkustangens jedné).
• Funkce f−1
: x = arctg y se nazývá inverzní funkcí k funkci f : y = tg x a
platí:
D(arctg y) = R
H(arctg y) = (−π
2
, π
2
).
funkce f : y = cotg x
Funkci f : y = cotg x definujeme vztahem:
cotg x =
cos x
sin x
.
Z uvedeného vztahu je patrno, že pro sin x = 0 není funkce f : y = cotg x definována.
Tedy na rozdíl od funkcí sin x, cos x není cotg x definováno např. v bodech −π, 0,
π, 2π, atd. Graf funkce f : y = cotg x je uveden na obrázku 3.63.
65
Obr. 3.63: Graf funkce f : y = cotg x.
• D(f) = R − k · π, kde k ∈ Z. Funkce f : y = cotg x není tedy definována v
bodě π a v každém bodě, který se od π liší o celočíselný násobek periody π.
• H(f) = R ... obor hodnot funkce f : y = cotg x je množina všech reálných
čísel.
• Funkce f : y = cotg x je lichá, tj. pro každé reálné číslo x = k · π, kde k ∈ Z,
platí
cotg (−x) = −cotg x . (3.15)
Tuto skutečnost ověříme: cotg (−x) = cos(−x)
sin(−x)
= − cos(x)
sin(x)
= −cos(x)
sin(x)
= −cotg x.
• Funkce f : y = cotg x je periodická, tj. její funkční hodnoty se periodicky
opakují do nekonečna a pro každé reálné číslo x = k · π, a pro každé k ∈ Z,
platí:
cotg x = cotg (x + k · π),
kde π je délka nejmenší periody funkce f : y = cotg x.
• Funkce f−1
: x = arccotg y (čteme: arkuskotangens) se nazývá inverzní funkcí k funkci
f : y = cotg x a platí:
D(arccotg y) = R
H(arccotg y) = (0, π).
Funkce sin x, cos x, tg x a cotg x se nazývají goniometrické funkce, k nim inverzní
funkce arcsin y, arccos y, arctg y a arccotg y se nazývají cyklometrické funkce.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 66
3.4 Souřadnice vektoru
V následujícím textu si popíšeme způsob zavedení souřadnic vektoru určeného orientovanou
úsečkou AB v rovině, zkráceně vektoru AB. Uvažujme, že je v rovině zavedena
kartézská soustava souřadnic s počátkem v bodě P a souřadnými osami x, y, které prochází
bodem P a jsou na sebe kolmé (orientace souřadných os je pravotočivá). V zadané
souřadné soustavě popíšeme vektor AB tím, že mu přiřadíme souřadnice. Tento krok
lze provést v rovině třemi způsoby:
a) Chceme určit souřadnice vektoru AB, viz obrázek 3.64, kde A = [3, 1], B = [5, 4].
Obr. 3.64: Určení souřadnic vektoru AB v rovině.
Úsečku AB doplníme na rovnoběžník ABCP, kde P je počátek souřadné soustavy,
a vektory AB a PC mají stejný směr i velikost, tj. AB = PC. Pak souřadnice
vektoru AB jsou stejné jako souřadnice vektoru PC a tudíž stejné, jako souřadnice
bodu C = [2, 3]. Tedy AB = (2, 3).
Z výše popsaného zavedení souřadnic vektoru AB plyne:
- Stejnými souřadnicemi popisujeme všechny vektory, které mají stejnou velikost
a směr jako vektor PC, tj. souřadnice vektoru závisí na jeho poloze vzhledem
ke zvolené kartézské souřadné soustavě.
- Na souřadnice v rovině lze pohlížet dvojím způsobem:
- hranatými závorkami určujeme souřadnice bodu, např. souřadnice bodu
C = [2, 3],
- kulatými závorkami určujeme souřadnice vektoru, např. souřadnice vektoru
PC = (2, 3).
Tedy uspořádané dvojice (obecně n-tice) popisují jak body, tak vektory v rovině,
přičemž popis jednotlivých objektů rozlišujeme pouze závorkami.
b) Následující způsob zavedení souřadnic vektoru AB využívá jednotkového vektoru
ve směru souřadné osy. Jednotkové vektory i, resp. j určují kladné směry souřadnicových
os x, resp. y, jsou navzájem kolmé a mají jednotkovou velikost:
67
i = (1, 0) ... jednotkový vektor v kladném směru osy x,
j = (0, 1) ... jednotkový vektor v kladném směru osy y.
Pomocí kolmých jednotkových vektorů i, j můžeme snadno vyjádřit každý další
vektor, tedy i vektor AB = (a, b):
AB = a · i + b · j.
Pro konkrétní příklad z obrázku 3.65 vyplývá, že AB = 2·i+3·j, tj. AB = (a, b) =
(2, 3).
Obr. 3.65: Určení souřadnic vektoru AB v rovině prostřednictvím jednotkových vektorů
i, j.
c) Z výše uvedených úvah je zřejmé, že oba předchozí způsoby zavedení souřadnic vektoru
jsou ekvivalentní, tj. souřadnice vektoru AB se odlišnými přístupy jejich zavedení
nemění. Třetí způsob zavedení souřadnic vektoru AB je následující:
Je-li vektor u určen orientovanou úsečkou AB, kde A = [a1, a2], B = [b1, b2], viz
obrázek 3.64, jsou čísla a = b1 − a1, b = b2 − a2 v rovině nazývána sořadnicemi
vektoru AB, přičemž tuto skutečnost zapisujeme:
A = [a1, a2], B = [b1, b2] ⇒ AB = (b1 − a1, b2 − a2) = (a, b) . (3.16)
Z výše popsaného vyplývá, že souřadnice vektoru AB jsou dány rozdílem souřadnic
koncového a počátečního bodu vektoru AB. Pro A = [3, 1], B = [5, 4] je tedy
AB = (b1−a1, b2−a2) = (5−3, 4−1) = (2, 3). Zápis souřadnice vektoru pomocí bodů
vede k tomu, že vektor u určený orientovanou úsečkou AB zapisujeme symbolicky
ve tvaru u = B − A a bod B zapisujeme symbolicky ve tvaru B = A + u.
d) Předchozí tři přístupy můžeme využít pro zavedení souřadnic vektoru v prostoru.
Uvažujme, že je v trojrozměrném prostoru zavedena kartézská soustava souřadnic
s počátkem v bodě P a souřadnými osami x, y, z, které prochází bodem P a jsou
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 68
na sebe navzájem kolmé (orientace souřadných os je pravotočivá, tj. díváme-li se z
bodu B, který leží v kladné části osy z, jak se otáčí osa x směrem k ose y, vidíme
otáčení v kladném smyslu, tj. proti směru hodinových ručiček, viz obrázek 3.66).
V trojrozměrném prostoru platí pro vektor daný orientovanou úsečkou UV vztah
analogický vztahu 3.16:
U = [u1, u2, u3], V = [v1, v2, v3] ⇒ UV = (v1 − u1, v2 − u2, v3 − u3) . (3.17)
Například pro U = [2, 1, 0], V = [3, 3, 2] máme UV = (3 − 2, 3 − 1, 2 − 0) = (1, 2, 2)
viz obrázek 3.67.
Obr. 3.66: Pravotočivý souřadný systém.
Uvažujme v trojrozměrném prostoru jednotkové vektory i, resp. j, resp. k určující
kladné směry souřadnicových os x, resp. y, resp. z, které jsou navzájem kolmé a
mají jednotkovou velikost:
i = (1, 0, 0) ... jednotkový vektor v kladném směru osy x,
j = (0, 1, 0) ... jednotkový vektor v kladném směru osy y,
k = (0, 0, 1) ... jednotkový vektor v kladném směru osy z.
Pomocí kolmých jednotkových vektorů i, j, k můžeme snadno v trojrozměrném
prostoru vyjádřit každý další vektor, tedy i vektor daný orientovanou úsečkou UV =
(a, b, c) takto:
UV = a · i + b · j + c · k,
kde a = v1 − u1, b = v2 − u2, c = v3 − u3, viz obrázek 3.68. Z obrázků 3.67 a 3.68 je
patrno, že UV = 1 · i + 2 · j + 2 · k = (1, 2, 2).
69
Obr. 3.67: Určení souřadnic vektoru
UV v prostoru.
Obr. 3.68: Určení souřadnic vektoru
UV v prostoru prostřednictvím jednotkových
vektorů i, j, k.
Poznámka 3.1 Souřadnice vektoru nemusí být vždy celočíselné. Vraťme se k příkladu
3.1 a zvolme soustavu souřadnic tak, aby
- její počátek P splýval s počátečním bodem A cesty,
- směrem jižním uvažujeme jednotkový vektor i,
- směrem východním uvažujeme jednotkový vektor j,
- směrem svislým uvažujeme jednotkový vektor k,
viz obrázek 3.69. Potom |i| = |j| = |k| = 1 km a
d = AD = AC + CB + BD = a · j + b · i + c · k,
kde
a = −2, 6 ... hodnota a je záporná, protože vektor AC má opačný směr než jednotkový
vektor j,
b = 3, 9 ... hodnota b je kladná, protože vektor CB má stejný směr jako jednotkový
vektor i,
c = 0, 025 ... hodnota c je kladná, protože vektor BD má stejný směr jako jednotkový
vektor k.
Vektor d = AD je tedy dán souřadnicemi
d = a · j + b · i + c · k = −2, 6 · j + 3, 9 · i + 0, 025 · k = (3, 9; −2, 6; 0, 025).
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 70
Obr. 3.69: AD = AC + CB + BD.
Pojem souřadnice vektoru bude v následujícím textu využit pro objasnění vztahu mezi
velikostí vektoru a jeho souřadnicemi. Velikostí vektoru v rozumíme velikost jakékoli
orientované úsečky AB určující vektor v. Velikost vektoru v označujeme symbolicky |v|.
Jestliže |v| = 1, hovoříme o jednotkovém vektoru.
a) pro velikost |v| vektoru v = (v1, v2) v rovině platí:
|v| = v2
1 + v2
2 (3.18)
Obr. 3.70: Velikost vektoru v v rovině.
Tento vztah vyplývá z Pythagorovy věty, viz obrázek 3.70: posuneme-li počáteční
bod A vektoru v do počátku soustavy souřadnic, velikosti souřadnic v1, v2 vektoru
v jsou délky odvěsen v pravoúhlém trojúhelníku ABC.
b) pro velikost |v| vektoru v = (v1, v2, v3) v prostoru platí analogicky:
|v| = v2
1 + v2
2 + v2
3 (3.19)
Tento vztah rovněž plyne z Pythagorovy věty, viz obrázek 3.71, kterou v tomto
případě použijeme dvakrát:
71
Obr. 3.71: Velikost vektoru v v prostoru.
Pro pravoúhlý trojúhelník ABC, kde AC = (v1, v2, 0), platí:
|AC| = v2
1 + v2
2
Pro pravoúhlý trojúhelník ACD, kde v = AD = (v1, v2, v3) a CD = (0, 0, v3),
platí:
|AD| = |AC|2 + |CD|2 = v2
1 + v2
2 + v2
3,
což je hledaný vztah pro velikost vektoru v = (v1, v2, v3).
3.5 Sčítání vektorů a násobení vektorů skalárem - algebraický
přístup
Algebraický přístup sčítání vektorů a + b a násobení vektoru skalárem t · a, kde t ∈ R,
vychází ze znalosti jejich souřadnic (není třeba pak vektory graficky sestrojovat). Pro
libovolné vektory a = (ax, ay, az), b = (bx, by, bz) a libovolné t ∈ R platí:
a + b = (ax + bx, ay + by, az + bz) (3.20)
t · a = (t · ax, t · ay, t · az) . (3.21)
Kontrola 9:
a) Jaká znaménka mají x-ové souřadnice vektorů d1, d2 na obrázku 3.72?
b) Jaká znaménka mají y-ové souřadnice vektorů d1, d2 na obrázku 3.72?
c) Jaká jsou znaménka x-ové a y-ové souřadnice vektoru d1 +d2 na obrázku 3.72?
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 72
Obr. 3.72: Vektory d1, d2 a d1 + d2.
Příklad 3.4 Trasa mototuristické soutěže je vymezena následujícími pokyny: ”Od místa
startu P jeďte po nejbližší silnici ke kontrolnímu stanovišti A, které je od startu vzdáleno
36 km východním směrem. Další kontrola B leží 42 km severně od A. Cíl C je od stanoviště
B vzdálen 25 km na severozápad.
a) Vyjádřete vektor posunutí d = (dx, dy) z místa startu P na stanoviště C pomocí
souřadnic dle obrázku 3.73.
b) Určete velikost a směr vektoru posunutí d (směrem vektoru d rozumíme úhel θ, který
svírá vektor d s kladným směrem osy x) dle obrázku 3.74.
Obr. 3.73: Souřadnice vektoru d. Obr. 3.74: Velikost a směr vektoru d.
Řešení:
a) Souřadnice vektoru d = PC = (dx, dy) určíme pro zvolenou kartézskou souřadnou
soustavu s počátkem P (v místě startu) a souřadnými osami x, y znázorněnými na
obrázku 3.73 (jednotka = 1 km).
Souřadnici dx vektoru d určíme:
73
dx = 36 + 0 − 25 · cos 45◦
= 36 + 0 − 17, 68 = 18, 32 km.
Podobně určíme souřadnici dy vektoru d:
dy = 0 + 42 + 25 · sin 45◦
= 0 + 42 + 17, 68 = 59, 68 km.
Výsledný vektor je d = (18, 32; 59, 68).
b) Z obrázku 3.74 je patrno, že
|d| = |PC| = d2
x + d2
y = 18, 322 + 59, 682 = 62, 43 km,
tg θ =
dx
dy
=
59, 68
18, 32
= 3, 26 ⇒ θ = arctg 3, 26 = 72, 9◦
= 1, 27 rad.
Příklad 3.5 V souřadnicové rovině xy jsou dány vektory
a = 4, 2 · i − 1, 6 · j,
b = −1, 6 · i + 2, 9 · j,
c = −3, 7 · j.
Určete vektor r = a + 2 · b + 3 · c.
Řešení: Grafický přístup by byl v tomto případě zdlouhavý, takže s výhodou využijeme
toho, že jednotlivé vektory jsou zadány prostřednictvím jednotkových vektorů:
r = a + 2 · b + 3 · c =
= 4, 2 · i − 1, 6 · j + 2 · (−1, 6 · i + 2, 9 · j) + 3 · (−3, 7 · j) =
= (4, 2 − 2 · 1, 6 + 3 · 0) · i + (−1, 6 + 2 · 2, 9 − 3 · 3, 7) · j = i − 6, 9 · j.
Tedy r = (1; −6, 9).
3.6 Skalární a vektorový součin vektorů
3.6.1 Skalární součin vektorů
Skalární součin vektorů má zcela jiný význam než násobení vektoru a skalárem t ∈ R. Při
násobení vektoru a skalárem t ∈ R (viz 3.2 a 3.5) je výsledkem vektor t · a. Výsledkem
skalárního součinu dvou vektorů a a b je reálné číslo r ∈ R. Skalární součin dvou vektorů
zapisujeme a · b. Skutečnost, že výsledkem skalárního součinu dvou vektorů je reálné
číslo r, zapisujeme a · b = r. Základní vlastnosti skalárního součinu dvou vektorů jsou
následující:
Pro každé vektory a, b, c (v rovině nebo prostoru) a každé reálné číslo t platí:
1. a · b = b · a,
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 74
2. (ta) · b = t(a · b),
3. c · (a + b) = c · a + c · b.
V případě vlastnosti a · b = b · a hovoříme o tom, že pro skalární součin vektorů platí
komutativní zákon.
V následujícím textu nastíníme princip skalárního součinu vektorů a a b. Vektory a a
b svírají úhel ϕ viz obrázek 3.75. Pro objasnění skalárního součinu nejdříve najdeme
pravoúhlý průmět vektoru a do směru vektoru b (tj. promítneme vektor a do směru
vektoru b) viz obrázek 3.76:
Obr. 3.75: Vektory a a b svírají úhel ϕ.
a) vektor a rozložíme na součet vektorů u, v (tj. a = u + v) tak, aby
u ⊥ b, tj. vektor u je kolmý na vektor b,
vektor v je násobkem vektoru b, tedy pravoúhlý průmět vektoru a do směru
vektoru b.
Obr. 3.76: Pravoúhlý průmět vektoru a do směru vektoru b.
Pro skalární součin navzájem kolmých vektorů u a b platí: u·b = 0. Pokud vektory v
a b mají stejný směr, platí pro jejich skalární součin: v ·b = |v|·|b|, tj. jejich skalární
součin je roven součinu jejich velikostí.
Pro skalární součin vektorů a a b tedy dostáváme:
75
a · b = (u + v) · b = u · b + v · b = v · b = |v| · |b|.
Z pravoúhlého trojúhelníka ABC platí: cos ϕ = |v|
|a|
, tedy |v| = |a| · cos ϕ. Vztah pro
skalární součin vektorů a a b je následující:
a · b = |a| · |b| · cos ϕ , (3.22)
kde ϕ je úhel, který svírají vektory a a b.
b) Výsledek skalárního součinu dvou vektorů a a b nezávisí na vektoru z dané dvojice,
v jehož směru hledáme pravoúhlý průmět. V případě, že budeme hledat pravoúhlý
průmět vektoru b ve směru vektoru a (tj. promítneme vektor b do směru vektoru
a), výsledek skalárního součinu vektorů a a b bude stejný. Vektor b nyní rozložíme
na součet vektorů k, l, tj. b = k + l tak, aby
l ⊥ a, tj. vektor l je kolmý na vektor a,
vektor k je násobkem vektoru a, tedy pravoúhlý průmět vektoru b do směru
vektoru a
Pro skalární součin navzájem kolmých vektorů l a a platí: l · a = 0. Pokud vektory
k a a mají stejný směr, platí pro jejich skalární součin: k · a = |k| · |a|, tj. jejich
skalární součin je roven součinu jejich velikostí.
Pro skalární součin vektorů a a b tedy dostáváme:
a · b = a · (k + l) = a · k + a · l = a · k = |a| · |k|.
Z pravoúhlého trojúhelníka OPQ dle obrázku 3.77 platí: cos ϕ = |k|
|b|
, tedy |k| =
|b| · cos ϕ. Znovu získáváme vztah
a · b = |a| · |b| · cos ϕ
kde ϕ je úhel, který svírají vektory a a b.
• Vztahu 3.22 považujeme za definici skalárního součinu vektorů a a b. Je z něj patrné
využití skalárního součinu ve fyzice. S promítáním jednoho vektoru do směru vektoru
druhého jsme se setkali již při výpočtu práce: Uvažujme situaci, že posouváme těleso
ve směru daném vektorem d z místa A do místa B a působíme na něj silou F. Pro
zjištění velikosti práce W při tomto posunutí nalezneme pravoúhlý průmět vektoru
F do směru posunutí vektoru d viz obrázek 3.78, přičemž platí
W = F · d = |F| · |d| · cos ϕ , (3.23)
kde F = u + v, u ⊥ v, |v| = |F| · cos ϕ; vektor u je kolmý na směr posunutí daného
vektorem d a nemá vliv na vykonanou práci W, vektor v je kolmý průmět vektoru
F do směru d.
S dalšími oblastmi využití skalárního součinu se seznámíme v pozdějších kapitolách.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 76
Obr. 3.77: Pravoúhlý průmět vektoru b do směru vektoru a.
Obr. 3.78: F = u + v.
• Dosud byl skalární součin představen pouze z pozice velikosti a směru vektorů. V následujícím
textu si přiblížíme určení skalárního součinu vektorů a, b v prostoru daných
souřadnicemi a = (ax, ay, az), b = (bx, by, bz). Pro odvození skalárního součinu vektorů
a, b daných souřadnicemi využijeme jednotkových vektorů i, j, k ve směru
souřadných os x, y, z kartézské souřadné soustavy. Ze vztahů
a = ax · i + ay · j + az · k,
b = bx · i + by · j + bz · k
vyplývá
a · b = (ax · i + ay · j + az · k) · (bx · i + by · j + bz · k) =
ax · bx · i · i + ax · by · i · j + ax · bz · i · k +
ay · bx · j · i + ay · by · j · j + ay · bz · k · j +
az · bx · k · i + az · by · k · j + az · bz · k · k.
Jednotkové vektory jsou navzájem kolmé, tedy platí: i · j = i · k = j · k = 0.
Dosadíme-li tento vztah do předchozí rovnosti, získáme vztah pro skalární součin
vektorů a = (ax, ay, az), b = (bx, by, bz) v prostoru v závislosti na jejich souřadnicích.
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz . (3.24)
77
Pro jednotkové vektory dále platí i · i = j · j = k · k = 1, tj. |i| = |j| = |k| = 1.
Kontrola 10: Jsou dány velikosti vektorů |c| = 3, |d| = 4. Jaký úhel tyto vektory svírají,
jestliže pro jejich skalární součin platí:
a) c · d = 0,
b) c · d = 12,
c) c · d = −12?
Příklad 3.6 Jaký úhel svírají vektory a = 3 · i − 4 · j, b = −2 · i + 3 · k v prostoru?
Řešení: Využijeme dvojího způsobu výpočtu skalárního součinu a · b:
a) Určíme nejdříve skalární součin vektorů a·b daných souřadnicemi a = (3, −4, 0),
b = (−2, 0, 3):
a · b = 3 · (−2) − 4 · 0 + 0 · 3 = −6
b) V dalším kroku určíme velikost vektorů a a b daných souřadnicemi
a = (3, −4, 0), b = (−2, 0, 3) dle 3.18:
|a| = 32 + (−4)2 + 02 =
√
25 = 5
|b| = (−2)2 + (0)2 + 32 =
√
13
Výsledné hodnoty pak dosadíme do vztahu 3.22 a získáme:
a · b = |a| · |b| · cos ϕ = 5 ·
√
13 · cos ϕ
c) Platí a·b = −6. Dosazením do rovnosti viz výše dostáváme −6 = 5·
√
13·cos ϕ,
tj.
ϕ = arccos(
−6
5 ·
√
13
) = arccos(−0, 3328) = 1, 91 rad = 109, 44◦
Vektory a, b svírají úhel 1, 91 rad, což je 109, 44◦
.
Poznámka 3.2 Pod úhlem, který vektory svírají, máme vždy na mysli menší z úhlů ϕ,
ψ (viz obrázek 3.79). Kalkulačka vždy pro funkci arccos nalezne menší z hodnot, neboť
vybírá hodnoty z intervalu 0, 180◦
, tj. z 0, π .
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 78
Obr. 3.79: Vektory a, b svírají úhel ϕ.
3.6.2 Vektorový součin vektorů
Seznámili jsme se v předchozím textu se skalárním součinem dvou vektorů - pravidlem,
které každým dvěma vektorům přiřadilo číslo (skalár). Nyní zavedeme vektorový součin,
který každým dvěma vektorům v prostoru přiřadí opět vektor v prostoru. Vektorový součin
zavedeme pomocí geometrických vlastností a později si ukážeme, jak se jeho souřadnice
vypočítají ze souřadnic uvažovaných vektorů.
Vektorový součin dvou vektorů, které leží na jedné přímce, je nulový vektor. Vektorový
součin dvou vektorů u, v neležících na jedné přímce je vektor w, který má následující
vlastnosti:
1. vektor w je kolmý k oběma vektorům u, v,
2. vektory u, v, w tvoří pravotočivou bázi,
3. |w| = |u| · |v| · sin α, kde α je úhel vektorů u, v. Vektorový součin w vektorů u, v
značíme w = u × v.
Výše uvedená definice vektorového součinu je uvedena z pohledu matematického. Následující
motivující případ vysvětlí tento pojem z fyzikálního hlediska.
Obr. 3.80: Síla F působí v rovině dveří.
Uvažujme těleso, které se otáčí kolem své osy - například dveře, které se otáčí kolem
svých pantů. Dveře jsou otevřené a chceme je zavřít, viz obrázek 3.80. Položme si následující
otázku: ”Co se stane, pokud budeme do dveří působit silou F přímo směrem k ose
otáčení, tj. síla F bude působit v rovině dveří?” Odpověď se v tomto případě jeví zřejmá:
nestane se nic, ač působíme směrem k ose otáčení silou hodně velkou. Jinými slovy, dveře
se nepohnou, neboť schopnost síly F dveřmi otočit (= moment síly vzhledem k otáčení)
79
Obr. 3.81: Síla F působí mimo rovinu dveří.
je nulová. Aby došlo k pootočení dveří, musí síla F působit nikoli směrem k ose otáčení,
ale mimo rovinu dveří.
Uvažujme situaci na obrázku 3.81. Síla daná vektorem F působí rovnoběžně s podlahou
(tj. v rovině ρ, která je kolmá na osu otáčení) na dveře mimo směr osy otáčení. Sílu F
uvažujeme jako výslednici součtu dvou sil daných vektory a, b, kde
• vektor b reprezentuje sílu působící v rovině ρ směrem k ose otáčení, tj. v rovině dveří
(vektor b je pravoúhlým průmětem síly F do směru kolmého na osu otáčení v rovině
dveří); otáčivý moment síly b je nulový,
• vektor a reprezentuje sílu působící v rovině ρ, který je kolmý na vektor b; síla daná
vektorem a dává dvěřím největší otáčivý moment.
Z obrázku 3.81 je navíc zřejmé, že |a| = |F| · sin α, což vyplývá z pravoúhlého trojúhelníka
PQR, v němž orientované úsečky PQ, resp. PR, resp. QR reprezentují vektory
sil b, resp. F, resp. a a α je úhel při vrcholu P, který svírají vektory sil b, F.
Následující text směřuje k formulaci momentu síly vzhledem k ose otáčení. Vyjděme
z obrázku 3.82, na kterém je vyobrazen bod P, který se volně otáčí v rovině ρ kolem pevné
osy kolmé k rovině ρ. Na bod P působí v rovině ρ síla F. Rovina ρ protíná osu otáčení
v bodě S. Vektor s počátečním bodem S a koncovým bodem P označíme r. Vektory r a
F svírají úhel α. Uvažujme dále vektor síly F jako součet dvou vektorů a a b v rovině ρ,
kde b je kolmý průmět vektoru F do směru vektoru r (tzv. radiální složka síly F) a vektor
a je kolmý na vektor b (tzv. tečná složka síly F, která způsobí otáčení bodu P okolo
osy). Schopnost síly F otáčet bodem P závisí na velikosti tečné složky síly F, ale i na
vzdálenosti bodu P od bodu S. Vektorová veličina, která bere oba tyto vlivy v úvahu se
nazývá moment síly M vzhledem k ose otáčení. Velikost momentu síly |M| definujeme
vztahem:
|M| = |r| · |a| = |r| · |F| · sin α , (3.25)
kde |a| = |F| · sin α. Zároveň platí, že čím je větší vzdálenost bodu P od osy otáčení,
tím je větší i moment síly M (z toho důvodu se klika dveří umisťuje co nejdále od osy
otáčení).
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 80
Obr. 3.82: Moment síly M.
Umístíme-li vektory r, a do stejného počátečního bodu P (obrázek 3.83), můžeme psát
|M| = |r| · |F| · sin ϕ,
kde ϕ je úhel, který svírají vektory r, F.
Obr. 3.83: Vektory r, F svírají úhel ϕ.
Poznámka 3.3 V následujícím textu uvedeme důležité pravidlo:
směr vektoru M je rovnoběžný s osou otáčení a je orientován tak,
aby vektory r, F, M tvořily tzv. pravotočivý systém.
V tomto případě záleží na pořadí vektorů r, F, M, jejichž počáteční bod je bod P,
viz obrázek 3.84. Díváme-li se z koncového bodu vektoru M, musíme pozorovat otáčení
od 1. vektoru (r) k 2. vektoru (F) v kladném smyslu.
Zjednodušeně řečeno, pokud se osa otáčí v kladném, resp. záporném smyslu, vektor
M směřuje nahoru, resp. dolů.
Definici momentu síly vzhledem k ose otáčení z 3.25 lze zapsat i ve tvaru vektorového
součinu:
M = r × F. (3.26)
Směr momentu síly jako vektorové veličiny je podle 3.26 kolmý k rovině vektorů r, F.
Jeho velikost je dána vztahem 3.25 a orientaci určuje pravidlo pravé ruky.
81
Obr. 3.84: Vektory r, F, M tvoří pravotočivý systém.
• Z výše uvedeného je patrno, že vektorový součin vektorů u, v záleží na jejich pořadí.
Šipky na obrázku 3.85 a 3.86 ukazují směr otáčení od prvního vektoru ke druhému.
Obr. 3.85: Otočení vektoru u směrem k
vektoru v.
Obr. 3.86: Otočení vektoru v směrem k
vektoru u.
Zaměníme-li pořadí vektorů ve vektorovém součinu, velikost výsledku zůstává stejná,
ale změní se směr výsledného vektoru. Na rozdíl od skalárního součinu dvou vektorů
neplatí pro vektorový součin dvou vektorů tzv. komutativní zákon, tedy
u × v = v × u.
A obecně platí:
u × v = −u × v.
• Výpočet vektorového součinu u×v, jsou-li vektory u, v trojrozměrného prostoru zadány
v kartézské souřadné soustavě souřadnicemi u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), je
následující:
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 82
u × v =
i j k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
.
Výrazu na pravé straně rovnosti se obecně říká determinant řádu n (v našem případě
se determinant skládá ze tří řádků a tří sloupců, hovoříme tedy o determinantu
řádu 3). V tuto chvíli se nebudeme zabývat samotným pojmem determinantu a jeho
využití, uvedeme si však pravidlo pro výpočet determinantu 3. řádu, tzv. Sarusovo
pravidlo:
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
= a1 · b2 · c3 + a2 · b3 · c1 + a3 · b1 · c2 − a3 · b2 · c1 − a1 · b3 · c2 − a2 · b1 · c3.
Sarusovo pravidlo použijeme pro výpočet vektorového součinu vektorů
u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3):
u×v =
i j k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
= i·u2 ·v3 +j ·u3 ·v1 +k·u1 ·v2 −v1 ·u2 ·k−v2 ·u3 ·i−v3 ·u1 ·j.
Na pravé straně rovnosti vytkneme jednotkové vektory a získáme
i · u2 · v3 + j · u3 · v1 + k · u1 · v2 − v1 · u2 · k − v2 · u3 · i − v3 · u1 · j =
i · (u2 · v3 − v2 · u3) + j · (u3 · v1 − v3 · u1) + k · (u1 · v2 − v1 · u2).
Je potřeba si zde uvědomit, že získané hodnoty v závorkách z předchozího vztahu,
tj. u2 · v3 − v2 · u3, u3 · v1 − v3 · u1, u1 · v2 − v1 · u2, jsou reálná čísla. Do posledně
uvedeného vztahu dosadíme za jednotkové vektory jejich souřadnice i = (1, 0, 0),
j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) a získáváme:
i · (u2 · v3 − v2 · u3) + j · (u3 · v1 − v3 · u1) + k · (u1 · v2 − v1 · u2) =
(1, 0, 0) · (u2 · v3 − v2 · u3) + (0, 1, 0) · (u3 · v1 − v3 · u1) + (0, 0, 1) · (u1 · v2 − v1 · u2) =
(u2 · v3 − v2 · u3, u3 · v1 − v3 · u1, u1 · v2 − v1 · u2).
Nyní ještě shrneme všechny předchozí poznatky do vztahu:
u × v =
i j k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
= (u2 · v3 − v2 · u3, u3 · v1 − v3 · u1, u1 · v2 − v1 · u2) (3.27)
Kontrola 11: Jsou dány vektory c, d, kde |c| = 3, |d| = 4. Jaký úhel svírají vektory c,
d, je-li dáno
83
a) c × d = o,
b) |c × d| = 12.
Příklad 3.7 Na obrázku 3.87 je dána kartézská souřadná soustava s navzájem kolmými
osami x, y, z, které reprezentují jednotkové vektory i, j, k. V rovině dané osami x a y je
dán vektor a, který s kladným směrem osy x svírá úhel 250◦
a |a| = 18 jednotek. Dále je
dán vektor b, který je násobkem jednotkového vektoru k reprezentujícího osu z a |b| = 12
jednotek. Vypočtěte
a) a · b,
b) a × b.
Obr. 3.87: Ilustrace k příkladu 3.7.
Řešení:
a) Vzhledem k tomu, že vektory a a b jsou kolmé, platí a · b = 0.
b) Označme a × b = c. Musí platit
|c| = |a| · |b| · sin 90◦
= 18 · 12 · 1 = 216 jednotek.
Vektor c musí být kolmý na rovinu určenou vektory a, b (zejména b ⊥ c, tj. vektor
c bude ležet v rovině určené osami x, y a svírat s kladným směrem osy x úhel o 90◦
menší než svírá vektor a.
Pro odlišný způsob výpočtu využijeme souřadnic:
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 84
ax = |a| · cos 250◦
= 18 · (−0, 342)
.
= −6, 156,
ay = |a| · sin 250◦
= 18 · (−0, 939)
.
= −16, 914,
az = 0 ... vektor a totiž leží v rovině určené osami x, y ⇒
a = (−6, 156; −16, 914; 0), b = (0, 0, 12).
Pak
a) a · b = −6, 156 · 0 − 16, 914 · 0 + 0 · 12 = 0
b)
a × b =
i j k
−6, 156 −16, 914 0
0 0 12
= −i · 12 · −16, 914 + o + o − o − o − j · 12 · (−6, 156) =
(12 · 16, 914; 12 · 6, 156; 0) = (202, 968; 78, 72; 0)
Příklad 3.8 Určete vektorový součin c = a×b vektorů a, b v prostoru, kde a = 3·i−4·j,
b = −2 · i + 3 · k
Řešení: a = (3, −4, 0), b = (−2, 0, 3), tj.
c = a × b =
i j k
3 −4 0
−2 0 3
= −12 · i + o + o − 8 · k − o − 9 · j = (−12; −9; −8).
Jiný možný způsob zápisu je c = −12 · i − 9 · j − 8 · k.
3.7 Otázky k opakování kapitoly 3
Otázka 3.1 Jaký je rozdíl mezi vektorem a skalárem?
Otázka 3.2 Uveďte příklady vektorových a skalárních veličin.
Otázka 3.3 Jak lze graficky sečíst vektory a, b?
Otázka 3.4 Jaký je princip komutativního zákona pro sčítání vektorů? 3.3
Otázka 3.5 Jaký je princip asociativního zákona pro sčítání vektorů? 3.4
Otázka 3.6 Jak lze graficky provést odčítání vektorů a − b?
Otázka 3.7 Jak lze graficky vynásobit vektor a skalárem s?
Otázka 3.8 Jak se spočítá práce potřebná na posunutí skříně podél stěny? 3.8
Otázka 3.9 Vyjádřete práci z předchozí úlohy, pokud F svírá se stěnou úhel α. 3.9
85
Otázka 3.10 Co je to kartézská soustava souřadnic v rovině, resp. v prostoru?
Otázka 3.11 Uveďte rozšířenou definici funkcí sin x, cos x (v úhlové nebo obloukové
míře).
Otázka 3.12 Co je to plný a přímý úhel? Jakou má velikost v úhlové i v obloukové míře?
Otázka 3.13 Co je jednotkou stupňové, resp. obloukové míry?
Otázka 3.14 Jak lze převést stupně na radiány a naopak? (3.10)
Otázka 3.15 Nakreslete graf funkce sin x.
Otázka 3.16 Uveďte některé vlastnosti funkce sin x (D(f), H(f), sin(−x),...).
Otázka 3.17 Uveďte vlastnosti inverzního procesu funkce arcsin y (D(f), H(f), obrá-
zek,...).
Otázka 3.18 Nakreslete graf funkce cos x.
Otázka 3.19 Uveďte některé vlastnosti funkce cos x (D(f), H(f), cos(−x),...).
Otázka 3.20 Uveďte vlastnosti inverzního procesu funkce arccos y (D(f), H(f), obrá-
zek,...).
Otázka 3.21 Nakreslete graf funkce tg x.
Otázka 3.22 Uveďte některé vlastnosti funkce tg x (D(f), H(f), tg (−x),...).
Otázka 3.23 Uveďte vlastnosti inverzního procesu funkce arctg y (D(f), H(f), obrá-
zek,...).
Otázka 3.24 Nakreslete graf funkce cotg x.
Otázka 3.25 Uveďte některé vlastnosti funkce cotg x (D(f), H(f), cotg (−x),...).
Otázka 3.26 Uveďte vlastnosti inverzního procesu funkce arccotg y (D(f), H(f), obrá-
zek,...).
Otázka 3.27 Jakým způsobem definujeme souřadnice vektoru v dané kartézské soustavě?
(3.16)
Otázka 3.28 Co jsou to jednotkové vektory i, j, k?
Otázka 3.29 Jak se počítá velikost vektoru a = (a1, a2, a3)? (3.18)
Otázka 3.30 Jak provedeme algebraicky sčítání dvou vektorů a, b?
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 86
Otázka 3.31 Jak provedeme algebraicky násobení vektoru a skalárem t ∈ R?
Otázka 3.32 Jak definujeme skalární součin vektorů a, b (pomocí úhlu ϕ, který vektory
a, b svírají)? (3.22)
Otázka 3.33 Jak lze určit práci při posunutí skříně pomocí skalárního součinu vektorů
a, b? (3.23)
Otázka 3.34 Je skalární součin vektorů a, b komutativní operace?
Otázka 3.35 Jak lze spočítat skalární součin vektorů a, b, jsou - li zadány jejich souřadnice,
tj. a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3)? (3.24)
Otázka 3.36 Jak lze určit úhel, který svírají vektory a, b?
Otázka 3.37 Jak lze určit moment síly F vzhledem k ose otáčení?
Otázka 3.38 Jak definujeme vektorový součin vektorů u, v?
Otázka 3.39 Je vektorový součin vektorů u, v komutativní operací?
Otázka 3.40 Jak vypočteme determinant 3. řádu pomocí Sarusova pravidla?
Otázka 3.41 Odvoďte vektorový součin u × v. (3.27)
Otázka 3.42 Jak lze určit moment síly pomocí vektorového součinu?
87
4 Dvojrozměrný a trojrozměrný pohyb
Jeden z cirkusových kousků rodiny Zacchiniových spočíval v tom, že se jeden z nich nechal
vystřelit z děla, přeletěl tři ruská kola v zábavním parku a překonal vzdálenost 68,6 m.
Nabízí se otázka, jak mohl Emanuel Zacchini vědět,
- že dosáhne takové výšky, aby ruská kola přeletěl?
- kam umístit záchrannou síť?
4.1 Dvojrozměrný a trojrozměrný pohyb
V kapitole 2 jsme se zabývali popisem přímočarého pohybu - nyní rozšíříme tyto úvahy
a pojmy na popis pohybu částice v rovině nebo prostoru. Nejdůležitější pojmy, které
se pohybu částice týkají, jsou: poloha, rychlost a zrychlení. Tyto pojmy převezmeme z
kapitoly 2, ovšem pro jejich rozšíření ve vícerozměrných prostorech využijeme vektorové
algebry z kapitoly 3, která je umožňuje přehledně popsat.
4.2 Poloha a posunutí
Při pohybu hmotného bodu (částice) po přímce jsme využívali pro popis jeho polohy v
čase t funkci x(t). Polohu hmotného bodu při obecném pohybu v prostoru popisujeme jeho
polohovým vektorem r, který spojuje předem zvolený vztažný bod (obvykle počátek
souřadné soustavy) s tímto hmotným bodem. V kartézské souřadné soustavě pak vektor
r zapisujeme ve tvaru
r = xi + yj + zk,
kde xi, yj, zk jsou kolmé průměty vektoru r do souřadných os a hodnoty x, y, z jsou
jeho souřadnice. Koeficienty x, y, z tedy udávají polohu hmotného bodu vzhledem ke
zvolené souřadné soustavě zadané počátkem a souřadnými osami. Řekneme také, že částice
nacházející se v určitém čase v bodě P má kartézské souřadnice x, y, z a zapisujeme
P = [x, y, z].
Při pohybu hmotného bodu po trajektorii (= dráze) se v čase mění i jeho polohový
vektor r. Koncový bod vektoru r se pohybuje spolu s hmotným bodem a počáteční bod
splývá trvale s počátkem soustavy souřadnic. Za účelem popisu pohybu hmotného bodu
zavedeme vektorovou funkci r(t) jako polohu hmotného bodu v čase t, která zároveň udává
polohu hmotného bodu vzhledem k počátku soustavy souřadnic.
Označme
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) . (4.1)
Protože poloha hmotného bodu se s časem t mění, jednotlivé souřadnice x(t), y(t), z(t)
vektoru r(t) se také mění. Hodnoty x(t), y(t), z(t) polohového vektoru jsou tedy funkcemi
času a polohový vektor r = r(t) je vektorovou funkcí času. Na obrázku 4.88 je částice v
čase t0 v bodě P = [−3, 2, 5], tedy r(t0) = (−3, 2, 5). Oproti kapitole 2 budeme hmotný
bod popisovat pomocí tří funkcí x(t), y(t), z(t) proměnné t.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 88
Obr. 4.88: Částice v čase t0 v bodě P.
Vektor polohy r(t) se také nazývá průvodič (z anglického radius = poloměr kulové
plochy se středem v počátku, na níž leží daný bod). Průvodič tedy spojuje pohybující se
částici s počátkem soustavy souřadnic.
Je-li poloha hmotného bodu v okamžiku t1 dána průvodičem r(t1) = (x1, y1, z1) a v
následujícím okamžiku t2 dána průvodičem r(t2) = (x2, y2, z2) , je posunutí r hmotného
bodu v časovém intervalu t2 − t1 dáno rozdílem
r = r(t2) − r(t1) . (4.2)
Dosazením souřadnic jednotlivých průvodičů do vztahu 4.2 dostáváme
r = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) . (4.3)
Tedy i posunutí v prostoru je vektorovou veličinou. V souladu s kapitolou 2 budeme
označovat
x = x2 − x1,
y = y2 − y1,
z = z2 − z1,
t = t2 − t1, tedy r = ( x, y, z).
Příklad 4.1 Určete posunutí částice v časovém intervalu od t1 do t2, je-li počáteční
poloha částice dána polohovým vektorem
r(t1) = −3 · i + 2 · i + 5 · k,
89
a koncová poloha částice je dána polohovým vektorem
r(t2) = 9 · i + 2 · i + 8 · k.
Řešení: Zapíšeme vektory r(t1) a r(t2) pomocí souřadnic r(t1) = (−3, 2, 5), r(t2) =
(9, 2, 8). Pak podle vztahu 4.3
r = (9 − (−3), 2 − 2, 8 − 5) = (12, 0, 3).
Situace je znázorněna na obrázku 4.89, z něhož je patrno, že vektor r nezobrazuje
skutečnou trajektorii, pouze informuje o posunutí částice z bodu P1 do P2. Pojem
posunutí je přirozený: vektor posunutí r má počáteční bod P1 (poloha částice v
okamžiku t1) a koncový bod P2 (poloha částice v okamžiku t2).
Obr. 4.89: Posunutí r spojuje koncové body vektorů r(t1) a r(t2).
Přímka procházející body P1 a P2 je daná směrovým vektorem r a je rovnoběžná se
souřadnicovou rovinou xz (y - ová souřadnice vektoru r je rovna 0).
Kontrola 12:
a) Netopýr vyletěl z místa daného bodem o souřadnicích P1 = [−2, 4, −3] a po
chvíli usedl v místě daném bodem o souřadnicích P2 = [6, −2, −3]. Vyjádřete
vektor r pomocí jednotkových vektorů i, j, k.
b) Zjistěte, zda přímka daná směrovým vektorem r je rovnoběžná s některou
souřadnicovou rovinou nebo osou.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 90
4.3 Průměrná a okamžitá rychlost
Při přímočarém pohybu (jednorozměrném případě) jsme definovali průměrnou rychlost
částice vztahem 2.2:
¯v =
x
t
=
x2 − x1
t2 − t1
.
V případě pohybu v trojrozměrném prostoru získáme vztah podobný.
Průměrnou rychlost částice v časovém intervalu t1, t2 , kde t1 = t2, t = t2 −t1, označme
v; částici v časovém intervalu t1, t2 přísluší vektor posunutí r. Průměrnou rychlost
částice pak určíme ze vztahu
v = r
t
. (4.4)
Protože posunutí je vektorová veličina, i průměrná rychlost je vektorová veličina.
Dosadíme-li do vztahu 4.4 souřadnice vektoru r = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1), získáváme
v = 1
t2−t1
· (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) . (4.5)
• Ve vztazích 4.4 a 4.5 se jedná o násobení vektoru reálným číslem (= skalárem), výsledkem
je tedy vektor v, jehož souřadnice jsou dány vztahem:
v = (
x2 − x1
t2 − t1
,
y2 − y1
t2 − t1
,
z2 − z1
t2 − t1
).15
• Ze vztahů 4.4 a 4.5 lze vypozorovat, že hodnota 1
t2−t1
je vždy kladná (t2 > t1), tedy
vektor průměrné rychlosti v je kladným násobkem (přesněji skalárním násobkem)
vektoru posunutí r. To znamená, že oba vektory v a r mají stejný směr, viz
obrázek 4.90.
Obr. 4.90: Vektory v a r mají stejný směr.
Uvažujme následující situaci:
P1 je bod zachycující polohu částice v rovině xy v okamžiku t1 = 1,
91
P2 je bod zachycující polohu částice v rovině xy v okamžiku t2 = 5.
Z uvedeného vyplývá, že t = t2 − t1 = 4, tedy
v = 1
5−1
· r = 1
4
· r,
tj. vektor průměrné rychlosti v má stejný směr jako vektor posunutí r, ale je
”čtyřikrát kratší” (vektor r je čtyřnásobkem vektoru v).
• Z obrázku 4.90 je dále patrno, že stejně jako v případě přímočarého pohybu zde můžeme
uvažovat přímku p procházející body P1, P2, která je sečnou grafu zachycujícího trajektorii
pohybu částice. Tato skutečnost nám může připomenout situaci přímočarého
pohybu, kdy sečna protínala graf funkce polohy x(t) v závislosti na čase t (králík se
pohyboval po souřadné ose x). Podobně vektor průměrné rychlosti v má směr sečny
grafu určujícího trajektorii pohybu částice.
Analogicky jako u přímočarého pohybu částice budeme zkracovat časový interval
t. Při poklesu délky časovéhi intervalu t k nule si můžeme všimnout následujícího
chování vektorů charakterizujících pohyb částice: vektor r2 se přibližuje k vektoru
r1 a r vektoru nulovému a směr vektoru r a s ním i směr průměrné rychlosti v
se sklánějí ke směru tečny k trajektorii v bodě P1 a konečně průměrná rychlost v
se blíží k okamžité rychlosti v. Pro t → 0 je v → v. Vektor okamžité rychlosti v
je tedy tečný k trajektorii v bodě P1. Popsaná situace je vyobrazena na obrázcích
4.91 a 4.92. Okamžitá rychlost částice v má vždy směr tečny k trajektorii, přičemž
platí:
v = lim t→0
r
t
= dr
dt
(4.6)
Obr. 4.91: Sečna trajektorie v bodech
P1, P2.
Obr. 4.92: Tečna trajektorie v bodě P1.
Okamžitá rychlost v je tedy stejně jako u přímočarého pohybu derivací polohy částice
podle času. Protože r(t) je polohový vektor, i okamžitá rychlost v(t) je vektor
určený
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 92
- směrem, tj. udává, v jakém směru se částice v daném okamžiku pohybuje,
- velikostí, tj. udává rychlost pohybu částice.
Vektor okamžité rychlosti v(t) má směr tečny k trajektorii r(t) v okamžiku t.
Označme souřadnice vektoru v(t):
v(t) = (vx(t), vy(t), vz(t)) . (4.7)
Ze vztahu 4.6 dostáváme pro r(t) = (x(t), y(t), z(t)) následující rovnost:
v(t) =
d
dt
(x(t), y(t), z(t)) = (
dx(t)
dt
,
dy(t)
dt
,
dz(t)
dt
),
čili platí
vx(t) = dx(t)
dt
, vy(t) = dy(t)
dt
, vz(t) = dz(t)
dt
. (4.8)
Souřadnice vektoru okamžité rychlosti dostaneme derivací souřadnic polohového
vektoru r(t).
• Vraťme se k obrázkům 4.91 a 4.92. V rovině xy mají vektory polohy r(t) a okamžité
rychlosti v(t) dvě souřadnice:
r(t) = (x(t), y(t)),
v(t) = (vx(t), vy(t)).
Jak bylo naznačeno v kapitole 3, souřadnice vx(t) a vy(t) vektoru v(t) mají také
svůj geometrický význam. Vektor okamžité rychlosti v(t) částice určené bodem P
lze totiž zapsat jako součet násobků jednotkových vektorů, tj. lze jej zapsat jako
rozklad do složek vx(t) · i, vy(t) · j:
v(t) = vx(t) · i + vy(t) · j = vx(t) · (1, 0) + vy(t) · (0, 1).
S ohledem na výše uvedený vztah zavedeme terminologii, kterou budeme v dalším
textu používat:
- reálné hodnoty vx, resp. vy jsou x-ová, resp. y-ová souřadnice vektoru v,
- vektory vx · i, resp. vy · j jsou x-ová, resp. y-ová složka vektoru v (= vektor),
- vektor v = vx · i + vy · j lze zapsat jako součet dvou složek (= vektorů).
Na obrázku 4.93 je zakreslena rychlost částice P a její rozklad do složek.
Upozornění: Někdy se pojem složky a souřadnice zaměňuje, význam těchto pojmů
je však rozdílný.
Kontrola 13: Částice se pohybuje po kružnici
a) ve směru otáčení hodinových ručiček,
93
Obr. 4.93: Rozklad vektoru v do složek vx · i, vy · j.
Obr. 4.94: Pohyb po kružnici.
b) proti směru otáčení hodinových ručiček.
V jistém okamžiku má částice rychlost v = (2 ms−1
, −2 ms−1
). Určete, ve kterém
bodě na kružnici k na obrázku 4.94 se částice v daném okamžiku nachází.
Na tomto místě bude užitečné se zmínit o tzv. parametrickém a obecném vyjádření
přímky v rovině. V kapitole 2 jsme se seznámili se směrnicovým tvarem přímky
p : x = a · t + b v rovině s proměnnými t, x, kde a, b ∈ R, viz obrázek 4.95. V rovině s
proměnnými x, y uvažujeme tvar přímky p : y = a · x + b, kde a, b ∈ R, viz obrázek 4.96.
Parametrické vyjádření přímky v rovině
Víme, že každé dva různé body A, B jednoznačně určují přímku, kterou označíme
p. Přímka p je rovněž jednoznačně určena jediným svým bodem A = [a1, a2]a vektorem
u = B−A = AB, který nazýváme směrový vektor přímky p, viz obrázek 4.97. Rovnice
X = A + t · u,
kde t ∈ R a bod X je libovolný bod ležící na přímce p, se nazývá parametrické vyjádření
přímky p určené bodem A a směrovým vektorem u. Proměnná t se nazývá parametr.
Uvažujme souřadnice vektoru u = (u1, u2). Parametrické vyjádření souřadnic bodu X =
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 94
Obr. 4.95: Přímka daná směrnicovým
tvarem x = a · t + b.
Obr. 4.96: Přímka daná směrnicovým
tvarem y = a · x + b.
[x, y] ∈ p je následující:
x = a1 + t · u1, y = a2 + t · u2
Směrový vektor přímky p lze uvažovat libovolný nenulový násobek vektoru u. Z uvedeného
vyplývá, že pro jednu přímku existuje více navzájem různých parametrických vyjádření.
Obr. 4.97: Přímka p daná bodem A a směrovým vektorem u
K dané přímce p existuje její jednoznačné vyjádření ve směrnicovém tvaru, např.
p : y = 2x − 5. Parametrických vyjádření přímky p, která prochází současně body A, B,
C, D však existuje nekonečně mnoho. Z obrázku 4.98 jich lze určit hned několik:
a) body A = [0, −5] a B = [1, −3] určují přímku p. Přímka p je rovněž určena bodem
A = [0, −5] a vektorem AB = (1 − 0, −3 + 5) = (1, 2). Parametrické vyjádření
přímky p pak získáme ve tvaru
x = 0 + t · 1,
y = −5 + t · 2,
kde t ∈ R.
b) body A = [0, −5] a C = [2, −1] rovněž určují přímku p. Přímka p je tedy také určena
bodem A = [0, −5] a vektorem AC = (2−0, −1+5) = (2, 4). Parametrické vyjádření
95
Obr. 4.98: Přímka p procházející současně body A, B, C, D.
přímky p pak získáme ve tvaru
x = 1 + t · 2,
y = −3 + t · 4,
kde t ∈ R.
Směrové vektory AB a AC přímky p v různých parametrických vyjádřeních přímky
p se liší o násobek, v našem případě AC = 2 · AB.
Obecné vyjádření přímky v rovině
Přímku p můžeme také určit jedním bodem P a nenulovým vektorem n, který je kolmý
ke směrovému vektoru u přímky p, tj. n ⊥ u. Vektor n = (a, b) nazýváme normálový
vektor přímky p (obrázek 4.99).
Obr. 4.99: Přímka p a její normálový vektor n.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 96
Pro každé dva body X = [x, y] a P = [p1, p2] ležící na přímce p platí, že vektory n,
PX jsou kolmé, tj. jejich skalární součin lze zapsat:
n · PX = 0
(a, b) · (x − p1, y − p2) = 0
a · x − a · p1 + b · y − b · p2 = 0.
Označíme-li c = −ap1 − bp2, dostáváme obecné vyjádření neboli obecná rovnice
přímky p:
ax + by + c = 0 .
Z obecného vyjádření přímky p je patrno, že koeficienty a, b u neznámých x, y jsou zároveň
souřadnice normálového vektoru n přímky p.
V následujícím textu popíšeme způsob, jakým se určí obecná rovnice přímky p v rovině
procházející body A = [1, 3], B = [−2, 1].
1) určíme směrový vektor u přímky p: u = AB = (−3, −2),
2) určíme normálový vektor n přímky p. Víme, že n · u = 0 (pro rychlé určení souřadnic
vektoru n zaměníme pořadí souřadnic vektoru u a u libovolné z nich změníme znaménko).
Získáme n = (2, −3), tj. obecná rovnice přímky p je tvaru 2x − 3y + c = 0,
3) určíme konstantu c z poslední rovnosti dosazením souřadnic libovolného bodu přímky
p do rovnice 2x − 3y + c = 0. Uvažujme například bod A = [1, 3] ∈ p. Dosadíme-li
souřadnice bodu A do rovnice 2x − 3y + c = 0 přímky p, získáváme rovnost:
2 · 1 − 3 · 3 + c = 0 ⇒ c = 7,
tj. obecná rovnice přímky p je dána vztahem p : 2x − 3y + 7 = 0. Obecná rovnice
přímky p je však rovněž dána vztahem p : 4x − 6y + 14 = 0. Z uvedeného vyplývá,
že obecná rovnice libovolné přímky p je určena jednoznačně až na svůj násobek.
4.4 Průměrné a okamžité zrychlení
Podobně jako u přímočarého pohybu budeme definovat pojmy průměrné zrychlení a
okamžité zrychlení.
Předpokládejme, že v průběhu časového intervalu od t1 do t2 dojde ke změně rychlosti
částice z v1 na v2. Podíl
a = v
t
= v2−v1
t2−t1
, (4.9)
kde t = t2 − t1, nazveme průměrným zrychlením v tomto časovém intervalu.
Zavedeme-li souřadnice vektorů v1 = (v1x, v1y, v1z) a v2 = (v2x, v2y, v2z), dostaneme
vyjádření průměrného zrychlení
a = v
t
= 1
t2−t1
· (v2x − v1x, v2y − v1y, v2z − v1z) . (4.10)
97
Při přechodu t → 0 se průměrné zrychlení blíží svému limitnímu případu, takzvanému
okamžitému zrychlení a:
a = lim t→0
v
t
= dv
dt
= (dvx(t)
dt
, dvy(t)
dt
, dvz(t)
dt
) . (4.11)
Tedy u obecného pohybu v prostoru jsou okamžité zrychlení i průměrné zrychlení zastoupeny
vektory. Označíme-li u okamžitého zrychlení
a = (ax, ay, az) , (4.12)
z předchozích vztahů 4.11 a 4.12 plyne
ax(t) = dvx(t)
dt
, ay(t) = dvy(t)
dt
, az(t) = dvz(t)
dt
. (4.13)
V následujícím textu zmíníme konkrétní případy vektoru okamžitého zrychlení a jeho
rozkladu do složek.
Příklad 4.2 Králík vběhl na parkoviště, kde si předtím hrály děti a nakreslily zde křídou
dvě kolmé přímky (lze je považovat za souřadné osy x, y). Okamžitá poloha králíka
vzhledem ke zvolené soustavě souřadnic daná vektorem r(t) = (x(t), y(t)) je popsána
následujícím vztahem:
x(t) = −0, 31t2
+ 7, 2t + 28,
y(t) = 0, 22t2
− 9, 1t + 30.
Čas t je měřen v sekundách a souřadnice x(t), y(t) v metrech.
a) Určete velikost a směr polohového vektoru r(t) v okamžiku t = 15 s,
b) určete polohu králíka v okamžicích t = 0 s, 5 s, 10 s, 20 s a 25 s a schematicky
zakreslete jeho trajektorii.
Řešení:
a) Hodnotu t = 15 s dosadíme do zadaných vztahů pro souřadnice vektoru r(t) a získáme
r(15) = (66, 25; −57). Odtud pak určíme velikost vektoru r(15), tj.
|r(15)| = 66, 252 + (−57)2 .
= 87, 4 m.
Z pravoúhlého trojúhelníka ABC, viz obrázek 4.100, získáme vztah pro výpočet
úhlu θ při vrcholu A:
tg θ = |BC|
|AC|
= 57
66
= 0, 864.
Úhel θ je však v záporném smyslu vzhledem k ose x, tedy θ = −40, 8◦
.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 98
Obr. 4.100: Směr polohového vektoru r(t) v okamžiku t = 15 s.
Tabulka 4.4: Hodnoty t, x(t), y(t).
t x(t) y(t)
0 28 30
5 56,25 -10
10 69 -39
15 66,25 -57
20 48 -64
25 14,25 -60
Obr. 4.101: Trajektorie pohybu králíka v zadaných časových okamžicích t.
99
b) Dosazením zadaných časových okamžiků za t analogicky jako v případě a) získáme
souřadnice vektoru r(t). Tyto hodnoty jsou uvedené v tabulce 4.4:
Pro každý ze zadaných časových okamžiků t nalezneme koncové body
X = [x(t), y(t)] vektoru r(t). Tyto získané koncové body určují přibližnou
trajektorii pohybu králíka (obrázek 4.101).
Příklad 4.3 Určete velikost a směr
a) vektoru rychlosti v(t) pohybu králíka z příkladu 4.2 v okamžiku t = 15 s.
b) vektoru zrychlení a(t) pohybu králíka z příkladu 4.2 v okamžiku t = 15 s.
Řešení:
a) Podle vztahu 4.8 dostaneme souřadnice vektoru rychlosti v(t) v závislosti na parametu
t:
v(t) =
d
dt
r(t) =
d
dt
(x(t), y(t)) = (
dx(t)
dt
,
dy(t)
dt
) =
= (
d
dt
(−0, 31t2
+ 7, 2t + 28),
d
dt
(0, 22t2
− 9, 1t + 30)) =
= (−0, 62 · t + 7, 2; 0, 44 · t − 9, 1).
Pro t = 15 máme
v(15) = (−0, 62t + 7, 2; 0, 44t − 9, 1) = (−2, 1 ms−1
, −2, 5 ms−1
),
tedy vx(15) = −2, 1 ms−1
, vy(15) = −2, 5 ms−1
. Výše uvedený výsledek bychom
mohli interpretovat tak, že ve směru osy x, resp. y je rychlost králíka −2, 1 ms−1
,
resp. −2, 5 ms−1
. Rychlost v králíka v okamžiku t = 15 s má směr tečny AB k
trajektorii v místě, kde se králík právě nachází (v bodě A). Celou situaci interpretuje
obrázek 4.102, kde je rovněž zakreslen vektor rychlosti v = AB v okamžiku t = 15
s a jeho složky.
Velikost úhlu θ vektoru v(15) (směrový vektor tečny AB) od kladného směru osy x
určíme jedním z následujících dvou způsobů:
(i) Pro úhel θ platí vztah
tg θ =
vy(15)
vx(15)
=
−2, 5
−2, 1
= 1, 19,
tedy θ = −130, 03◦
.
(ii) z pravoúhlého trojúhelníka ABC, viz obrázek 4.102, určíme nejprve úhel ϕ
ϕ = arctg
|BC|
|AC|
= arctg
2, 1
2, 5
= 40, 03◦
.
Úhel θ je v záporném smyslu vzhledem k ose x, tj.
θ = −90◦
− ϕ = −90◦
− 40, 03◦
= −130, 03◦
.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 100
Obr. 4.102: Vektor rychlosti v = AB v okamžiku t = 15 s a jeho rozklad na složky.
Upozorňujeme zde na skutečnost, že souřadnice vektoru v(15) mají jiné jednotky
(ms−1
) než osy x, y (m).
Velikost vektoru v(15) určíme pomocí jeho souřadnic:
|v(15)| = (−2, 1)2 + (−2, 5)2 = 3, 26 ms−1
.
Králík se tedy v okamžiku t = 15 pohybuje rychlostí 3, 26 ms−1
směrem θ =
−130, 03◦
vzhledem k souřadnicové ose x.
b) Podle vztahu 4.11 pro vektor zrychlení a(t) platí:
a(t) =
d
dt
v(t) = (
d
dt
(−0, 62t + 7, 2);
d
dt
(0, 44t − 9, 1)) =
= (−0, 62 ms−2
; 0, 44 ms−2
),
tedy ax(15) = −0, 62 ms−2
, vy(15) = 0, 44 ms−2
. Výše uvedený výsledek bychom
mohli interpretovat tak, že ve směru osy x, resp. y je zrychlení −0, 62 ms−2
, resp.
0, 44 ms−2
. Z výsledku vidíme, že zrychlení a(t) nezávisí na čase, je konstatntní pro
každé t. Celou situaci interpretuje obrázek 4.103.
(i) Směr zrychlení a králíka v okamžiku t = 15 s je dán úhlem θ, pro který platí:
tg θ =
ay
ax
=
0, 44
−0, 62
= −0, 710,
tedy θ = 144, 64◦
.
101
Obr. 4.103: Vektor zrychlení a v okamžiku t = 15 s.
(ii) Z pravoúhlého trojúhelníka ABC, viz obrázek 4.103 určíme nejprve úhel ϕ:
ϕ = arctg
|AC|
|BC|
= arctg
0, 62
0, 44
= 54, 64◦
.
Pak θ = 90◦
+ ϕ = 144, 64◦
.
Velikost vektoru a určíme snadno pomocí souřadnic:
|a| = (−0, 62)2 + 0, 442 = 0, 76 ms−2
.
Králík má při svém pohybu konstatní zrychlení 0, 76 ms−2
ve směru θ =
144, 64◦
vzhledem k souřadnicové ose x.
Kontrola 13: Následující vztahy popisují možnosti pohybu hokejového kotouče po ledové
ploše ležící v souřadnicové rovině xy (poloha kotouče je zadána v metrech):
a) x = −3t2
+ 4t − 2, y = 6t2
− 4t
b) x = −3t2
− 4t, y = −5t2
+ 6
c) r = 2t2
· i − (4t + 3) · j
d) r = (4t3
− 2t) · i + 3 · j
V jednotlivých případech rozhodněte, zda je některá ze složek vektoru zrychlení a
konstantní. Je v některém z nich konstantní vektor zrychlení a?
Příklad 4.4 Částice se pohybuje v souřadnicové rovině xy s konstantním zrychlením
a = (ax, ay). Vektor zrychlení a má velikost 3 ms−2
a svírá s kladným směrem osy x úhel
θ = 130◦
. V okamžiku t0 = 0 se částice pohybuje rychlostí v0 = −2 · i + 4 · j (v metrech
za sekundu). Určete
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 102
a) vektor a pomocí souřadnic ax, ay,
b) rychlost částice v(t) v okamžiku t = 2 s vyjádřete pomocí jednotkových vektorů i, j,
c) určete velikost a směr rychlosti částice v(t).
Řešení: Celou situaci interpretuje obrázek 4.104. Určíme nejdříve
a) - souřadnici ax vektoru a:
ax = |a| cos θ = 3 · cos 130◦
= −1, 92 ms−2
,
- souřadnici ay vektoru a:
ay = |a| sin θ = 3 · sin 130◦
= 2, 31 ms−2
.
Obr. 4.104: Ilustrace k příkladu 4.4 a).
Souřadnice vektoru a = (−1, 92; 2, 31).
b) V kapitole 2 jsme řešili analogické příklady pro pohyb částice po přímce. V našem
případě se nyní sice jedná o pohyb v rovině, ale ten lze rozložit na pohyb ve směru
osy x a na pohyb ve směru osy y. Budeme vycházet ze vztahu 2.11
v(t) = v0 + a · t
a využijeme jej pro každou souřadnici vektoru v zvlášť:
- Pohyb částice ve směru osy x pro t = 2 s:
vx(t) = v0x + ax · t
vx(2) = −2 − 1, 92 · 2 = −5, 84 ms−1
.
103
- Pohyb částice ve směru osy y pro t = 2 s:
vy(t) = v0y + ay · t
vy(2) = 4 + 2, 31 · 2 = 8, 62 ms−1
.
Získali jsme tedy souřadnice rychlosti částice v(t) pro t = 2 s ve směrech
souřadných os x, y, tj. v(2) = −5, 84 · i + 8, 62 · j.
c) Pro určení směru rychlosti v(2) využijeme jednoho ze dvou způsobů:
(i) Pro směr rychlosti v(2) platí
tg θ =
vy
vx
=
8, 62
−5, 84
= −1, 458,
tedy θ = 124, 12◦
.
(ii) s využitím pravoúhlého trojúhelníka ABC viz obrázek 4.105:
ϕ = arctg
|BC|
|AB|
= arctg
5, 84
8, 62
= arctg 0, 68 = 34, 12◦
.
Tedy θ = 90◦
+ ϕ = 90◦
+ 34, 12◦
= 124, 12◦
.
Obr. 4.105: Ilustrace k příkladu 4.4 c).
Velikost vektoru v(2) získáme ze vztahu: |v(2)| = (−5, 84)2 + 8, 622 .
=
10, 41 ms−1
. Částice se ve směru úhlu θ = 124, 12◦
pohybuje rychlostí
10, 41 ms−1
.
Kontrola 14: Poloha kuličky je zadána vektorem r(t) = (4t3
− 2t; 3). Čas je zadán v
sekundách, poloha v metrech. V jakých jednotkách jsou zadány koeficienty 4, -2, 3?
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 104
4.5 Otázky k opakování kapitoly 4
Otázka 4.1 Jak se definuje poloha hmotného bodu v prostoru? (vztah 4.1)
Otázka 4.2 Co je to posunutí? (vztahy 4.2 a 4.3)
Otázka 4.3 Jak se definuje průměrná rychlost? (vztahy 4.4 a 4.5) Jaký je její geometrický
význam vzhledem k trajektorii?
Otázka 4.4 Jaký je vztah mezi vektorem průměrné rychlosti a vektorem posunutí?
Otázka 4.5 Jak se definuje okamžitá rychlost v prostoru? (vztahy 4.6, 4.7 a 4.8) Jaký je
její geometrický význam vzhledem k trajektorii?
Otázka 4.6 Uveďte příklad parametrického vyjádření přímky v rovině a vysvětlete význam
všech konstant a proměnných v tomto vyjádření.
Otázka 4.7 Parametrické vyjádření přímky v rovině není určeno jednoznačně - co musí
splňovat dvě různá parametrická vyjádření téže přímky?
Otázka 4.8 Uveďte příklad obecného vyjádření přímky v rovině a vysvětlete význam všech
koeficientů u proměnných x, y.
Otázka 4.9 Najděte obecné i parametrické vyjádření přímky v rovině zadané dvěmi různými
body.
Otázka 4.10 Jak se definuje průměrné a okamžité zrychlení? (vztahy 4.9, 4.11, 4.12 a
4.13)
Otázka 4.11 Co je to kvadrant a jakým způsobem kvadranty číslujeme?
Otázka 4.12 Jak najdeme úhel průvodiče určeného bodem X = [x, y] podle toho, v jakém
kvadrantu se nachází?
105
Literatura
[1] Halliday, D., Resnick, R., Walker, J. Fyzika. Mechanika. Brno: VUT v Brně, VUTIUM,
2000.
[2] Odvárko, O. Matematika pro gymnázia. Goniometrie. Praha: Prometheus, 2016.
[3] Kočandrle, M., Boček, L. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie. Praha:
Prometheus, 2017.
[4] Hrubý, D., Kubát, J. Matematika pro gymnázia. Diferenciální a integrální počet.
Praha: Prometheus, 2015.