ARITMETIKA 1
Jaroslav Beránek
0. Úvod
Tento text je určen pro studenty učitelství pro 1. stupeň základní školy. Jelikož se jedná o
doplněk k základní studijní literatuře [1], nejsou v tomto textu uváděny důkazy jednotlivých
tvrzení. Pro studium textu je nutno předpokládat znalosti základů algebry (množinové operace
a jejich vlastnosti, binární relace a jejich vlastnosti, relace uspořádání a uspořádané množiny,
relace ekvivalence a rozklad množiny, binární algebraické operace a jejich vlastnosti,
algebraické struktury a jejich homomorfismy). Standardní je rovněž označení základních
číselných množin:
N – množina všech přirozených čísel (samozřejmě včetně čísla nula)
Z – množina všech celých čísel
Q – množina všech racionálních čísel
R – množina všech reálných čísel
V učebnici [1] je množina všech celých čísel označována C, my se však přidržíme tradičního
označení množiny celých čísel jako Z.
1. Přirozená čísla
Úmluva: Všude v dalším budeme mezi přirozená čísla počítat i číslo nula, byť to odporuje
současné normě. Pro účel Vašeho studia je však nutné, abychom nulu za přirozené číslo
považovali.
Úvod 1.0. Přirozená čísla se vyvíjela v myšlení lidí od nepaměti. Bylo by jistě velmi zajímavé
studovat představy pravěkých lovců nebo např. občanů antického Řecka o pojetí množství a
vyjádření počtu věcí či objektů, to však není účelem Vašeho studia. Objevuje se však
problém, jak teoreticky vybudovat přirozená čísla a dokázat jejich vlastnosti (již víte
z dřívějška, že množina N s operacemi sčítání a násobení tvoří komutativní polookruh
s neutrálním prvkem). Teoreticky nejčastěji se přirozená čísla zavádějí pomocí Peanových
axiomů jako prvky tzv. Peanovy množiny. Tento způsob je v matematické literatuře vždy
využíván, je však zcela formální. Proto bývají k zavedení množiny N užívány i dva modely
Peanovy množiny, tj. kardinální čísla konečných množin a ordinální čísla dobře uspořádaných
konečných množin. Budeme tedy mluvit o třech možnostech zavedení přirozených čísel:
Kardinální čísla, ordinální čísla a prvky Peanovy množiny. Výklad zahájíme Peanovou
množinou.
Axiomy Peanovy množiny P
Jednou ze základních charakteristik množiny všech přirozených čísel je to, že každé
přirozené číslo má svého bezprostředního následovníka (pro každé n N je to číslo n + 1).
Tento „fakt“ znají už žáci na 1. stupni ZŠ a je často didakticky využíván při výuce. Existence
následovníka využijeme při teoretickém zavedení množiny přirozených čísel. Nejprve
axiomaticky definujeme tzv. Peanovu množinu a potom ukážeme, že tato množina je
univerzálním modelem množiny všech přirozených čísel.
(A1) Ke každému prvku x množiny P existuje jeho následovník, který budeme označovat x\ .
(A2) V množině P existuje prvek e P, který není následovníkem žádného prvku množiny P.
(A3) Různé prvky mají různé následovníky.
(A4) Axiom úplné indukce. Nechť M  P. Jestliže platí:
a) e M ,
b) ( x P) x M  x\  M , pak M = P.
Věta 1.1. Nechť x P, pak platí:
(1) x  x\ ,
(2) x  e  ( u P) x = u\.
Část (1) předchozí věty říká, že každý prvek je různý od svého následovníka. Ze druhé
části pak plyne, že každý prvek x Peanovy množiny s výjimkou prvku e je následovníkem
nějakého prvku u P. Tento prvek u budeme nazývat předchůdce prvku x a značit /x.
Věta 1.2. Peanova množina je nekonečná množina.
Definice 1.3: Nechť a P je libovolný prvek. Nechť množina U(a)  P je pro každý prvek
a P definována takto:
(1) a  U(a),
(2) Jestliže existuje /a, pak /a  U(a),
(3) x U(a)  /x U(a) (pokud /x existuje).
Pak množinu U(a) budeme nazývat úsek Peanovy množiny příslušný k prvku a .
Poznámka 1.4. Je zřejmé, že pro každé a P je příslušný úsek U(a) konečná množina.
Poznámka 1.5. Z předchozího plyne, že Peanovu množinu můžeme považovat za teoretický
model množiny přirozených čísel. V tomto případě prvek e je roven číslu 0, následovník x\ je
roven číslu x + 1 a modely úseků příslušných ke každému přirozenému číslu chápanému jako
prvek množiny P si lze představit takto: U(1) = {0}, U(2) = {0, 1}, U(3) = {0, 1, 2}, U(4) =
{0, 1, 2, 3} atd. Je zřejmé, že počet prvků každého úseku je určen přirozeným číslem, jemuž
daný úsek přísluší. Proto i v dalším textu je možné představit si porovnávání prvků Peanovy
množiny (relaci uspořádání v množině P) a následně i operace sčítání a násobení v množině P
pomocí množiny přirozených čísel. I když teoretický postup je opačný (z obecné teorie
v množině P plynou speciální vlastnosti v množině přirozených čísel), je pro pochopení
podstaty vhodné už na tomto místě využít množiny přirozených čísel jako modelu Peanovy
množiny P. Poznamenejme dále, že existuje i možnost vybudovat axiomaticky Peanovu
množinu tak, že prvek e je roven číslu 1. V tom případě je samozřejmě nutné všechny definice
a tvrzení přeformulovat.
Relace uspořádání v množině P
Definice 1.6: Nechť a, b  P. Pak platí: a  b  a  U(b) .
Poznámka 1.7. Je zřejmé, že relace  z definice 1.6. je antireflexivní, antisymetrická a
tranzitivní, jedná se tedy skutečně o ostré uspořádání v množině P. Pro každé dva různé prvky
a, b množiny P vždy platí právě jeden ze vztahů a U(b), b U(a), proto je uspořádání 
lineární.
Věta 1.8. Nechť a, b  P. Pak platí:
(1) ( a  P) a  a\;
(2) Mezi prvky a, a\ neexistuje žádný prvek x množiny P s vlastností a  x  a\ );
(3) Množina (P,  ) je dobře uspořádaná množina.
Operace sčítání v množině P
Věta 1.9. Na množině P existuje právě jedna operace + taková, že pro každou dvojici x, y
prvků množiny P platí:
(1) x + e = x ,
(2) x + y\ = (x + y)\ .
Definice 1.10. Operace + z předchozí věty se nazývá operace sčítání v množině P.
Věta 1.11. Operace + je v množině P asociativní a komutativní.
Věta 1.12. V grupoidu (P, +) platí pro každé tři prvky x, y, z množiny P implikace
x + y = x + z  y = z .
Věta 1.13. Nechť x, y  P. Pak nastane právě jeden z následujících tří případů:
(1) x = y ,
(2) existuje p  P s vlastností x = y + p ,
(3) existuje q  P s vlastností y = x + q .
Operace sčítání je spojena s relací uspořádání řadou vztahů. Některé jsou uvedeny
v následující větě. Povšimněte si, že tyto vztahy odpovídají běžně známým vztahům,
užívaným při výpočtech.
Věta 1.14. Nechť x, y, z, u, v  P. Pak platí:
(1) x  y  x + z  y + z ,
(2) x  y, u  v  x + u  y + v,
(3) x  y  x\  y .
Operace násobení v množině P
Věta 1.15. Na množině P existuje právě jedna operace  taková, že pro každou dvojici x, y
prvků množiny P platí:
(1) x  e = e ,
(2) x  y\ = x  y + x .
Definice 1.16. Operace  z předchozí věty se nazývá operace násobení v množině P.
Poznámka 1.17. Pokud v zápise početních operací v množině P nepoužijeme závorky, má
operace násobení přednost před operací sčítání. Rovněž se v zápisech velmi často vynechává
označení  operace násobením tj. místo x  y píšeme jenom xy.
Věta 1.18. Operace  je v množině P asociativní, komutativní, má neutrální prvek (prvek e) a
s operací sčítání je svázána distributivním zákonem:
 x, y, z  P: x  (y + z) = x  y + x  z .
Operace násobení je spojena s relací uspořádání řadou vztahů. Některé jsou uvedeny
v následující větě (zajímavá je analogie s obdobnými vztahy pro sčítání).
Věta 1.19. Nechť x, y, z, u, v  P, z  e. Pak platí:
(1) x  y  x  z  y  z
(2) x  z = y  z  x = y
(3) x  y, u  v  x  u  y  v.
Věta 1.20. Algebraická struktura (P, +, ) je komutativní polookruh s neutrálním prvkem.
Poznámka 1.21. Z definice množiny P a popsaných vlastností relace uspořádání a operací
sčítání a násobení v této množině vyplývá, že polookruh všech přirozených čísel (N, +, ) je
jedním z možných modelů polookruhu (P, +, ). Roli prvku e hraje číslo 0, následovníkem
čísla x je číslo x + 1, úsek množiny N příslušný číslu n obsahuje všechna přirozená čísla od
čísla 0 po číslo n − 1 atd. Je samozřejmé, že provádění operací sčítání a násobení podle vět
1.9. a 1.15. se nikde v praxi nepoužívá. O tom pojednáme v části o kardinálních číslech.
Poznámka 1.22. Jako problémová se jeví otázka, kolik modelů polookruhu (P, +, ) existuje,
tzn. zda jsou přirozená čísla určena jednoznačně, resp. zda vůbec nějaký model množiny P
existuje. Existenci modelu množiny P a tím i existenci přirozených čísel lze snadno ukázat;
jde o kardinální čísla konečných množin. Těm se budeme věnovat v dalším textu. Odpovědí
na otázku počtu modelů Peanovy množiny je tvrzení, že těchto modelů je nekonečně mnoho,
všechny jsou ale navzájem izomorfní. Proto lze tvrdit, že přirozená čísla lze definovat až na
izomorfismus jediným možným způsobem.
Přirozená čísla jako kardinální čísla konečných množin
V této části se omezíme pouze na konečné množiny. I když v obecné teorii množin jsou
studována i kardinální čísla nekonečných množin, pro účely konstrukce oboru všech
přirozených čísel se nekonečnými množinami nemusíme zabývat.
Víme, že dvě množiny jsou ekvivalentní, jestliže existuje bijekce (vzájemně jednoznačné
zobrazení) jedné na druhou, což u konečných množin znamená, že obě ekvivalentní množiny
mají stejný počet prvků. Tato relace ekvivalence na systému všech konečných množin ℳ
(označujeme ji ∼) je ekvivalencí v relačním smyslu (zřejmě je reflexivní, symetrická a
tranzitivní). Proto generuje jednoznačným způsobem rozklad ℳ∼ na systému všech
konečných množin ℳ. Třídy rozkladu ℳ∼ se nazývají kardinální čísla. Kardinálním číslem
konečné množiny M tedy rozumíme třídu rozkladu ℳ∼, která obsahuje množinu M a všechny
množiny s ní ekvivalentní. Místo označení kardinální číslo množiny M se často užívá též
pojmu mohutnost množiny M (píšeme  M  ). Nyní definujeme přirozená čísla jako kardinální
čísla konečných množin.
Popíšeme-li výše uvedenou konstrukci populárně (a matematicky ne zcela přesně), pak
kardinální číslo konečné množiny M je systém množin, který kromě dané množiny M
obsahuje všechny množiny (nekonečně mnoho), které mají tentýž počet prvků jako množina
M. Tato jediná společná vlastnost všech těchto množin, tj. stejný počet prvků, je vyjádřena
přirozeným číslem, které je kardinálním číslem množiny M definováno. Ve školské
matematice na ZŠ proto říkáme, že přirozená čísla vyjadřují počty prvků konečných množin.
Přechod od struktury (P, +, ) k jejímu modelu (N, +, ) lze popsat takto: Nechť n  P je
libovolný prvek Peanovy množiny. Úsek množiny P příslušný k prvku n je množina
U(n) = {e, e\, e\\, e\\\, ... , /n}. Tato množina je konečná, proto jistě náleží do některé třídy
rozkladu ℳ∼. Tato třída rozkladu je kardinálním číslem konečné množiny U(n) a
odpovídající přirozené číslo je číslo n. Lze tedy tvrdit, že úsek U(n) obsahuje právě n prvků.
Odtud prvku e odpovídá číslo 0, prvku e\ číslo 1, prvku e\\ číslo 2 atd. Uspořádání
přirozených čísel lze pak definovat ve shodě s definicí porovnávání prvků Peanovy množiny
(každé číslo náležející do U(n) je menší než číslo n).
Jiná situace je u definice obou základních operací sčítání a násobení. I když lze tyto
operace definovat stejným způsobem jako v abstraktní Peanově množině, z metodických
důvodů se obě operace zavádějí odlišně, na základě množinových operací.
Definice 1.23. (Sčítání kardinálních čísel)
Nechť A, B jsou konečné množiny, nechť platí A  B = . Pak definujeme
 A  +  B  =  A  B  .
Definice 1.24. (Násobení kardinálních čísel)
Nechť A, B jsou konečné množiny. Pak definujeme
 A    B  =  A  B  .
Definice 1. 25. (Porovnávání kardinálních čísel)
Nechť A, B jsou konečné množiny. Pak definujeme A    B , právě když množina A je
ekvivalentní s vlastní podmnožinou množiny B.
Poznámka 1.26. Lze ukázat, že obě operace definované definicemi 1.24. a 1.25. mají všechny
vlastnosti, které očekáváme od operací sčítání a násobení přirozených čísel. Povšimněme si
nyní omezující podmínky A  B =  v definici 1.24. V případě jejího vypuštění bude pro
součet kardinálních čísel množin A, B platit vztah  A  +  B    A  B , přičemž číslo na
levé straně této neostré nerovnosti je obecně větší než číslo na pravé straně o počet prvků
průniku obou množin. Platí tedy rovnost
 A  +  B  −  A  B  =  A  B .
Z teoretického hlediska se jedná o princip inkluze a exkluze pro n = 2. Pokud jsou tedy
množiny A, B disjunktní, pak A  B= 0 a předchozí rovnost přejde v definici sčítání
kardinálních čísel podle definice 1.24.
Přirozená čísla jako ordinální čísla konečných množin
Teorii ordinálních čísel uvedeme pouze populární formou. Tato teorie je svým formálním
matematickým popisem velmi komplikovaná a nepřehledná, přičemž její důležitost ve
srovnání s kardinální teorií je nesrovnatelně menší. Půjde pouze o to, abyste intuitivně
pochopili, o čem se v ordinální teorii jedná. Podrobné formulace naleznete v učebnici [1].
Opět se budeme zabývat pouze konečnými množinami. Poznamenejme úvodem, že teorie
ordinálních čísel je „aplikace teorie kardinálních čísel na uspořádané množiny“. Víme již, že
množina je ostře lineárně uspořádaná, jestliže je na ní definována relace antireflexivní,
antisymetrická, tranzitivní a souvislá. Pro každou konečnou ostře lineárně uspořádanou
množinu pak platí, že každý její prvek má jednoznačně určené pořadí (jako např. ve frontě
osob u pokladny v supermarketu). Lze tedy vždy označit první (nejmenší) a poslední
(největší) prvek této množiny. Každá ostře lineárně uspořádaná konečná množina je též
současně dobře uspořádaná (každá její neprázdná podmnožina má první prvek). Na systému G
všech konečných dobře uspořádaných množin je definována relace podobnost  (jde o
analogii relace ekvivalence množin z teorie kardinálních čísel). Tato relace  je reflexivní,
symetrická a tranzitivní, je to tedy rovněž relace ekvivalence. Populárně lze konstatovat, že
dvě konečné dobře uspořádané množiny jsou podobné, mají-li stejný počet prvků. Lze tedy
analogicky definovat rozklad G  systému G určený ekvivalencí  . Třídy rozkladu G  se
nazývají ordinální čísla. Ordinálním číslem konečné dobře uspořádané množiny M tedy
rozumíme třídu rozkladu G  , která obsahuje množinu M a všechny množiny s ní podobné.
Ordinální číslo množiny M budeme označovat ord (M).
Popíšeme-li výše uvedenou konstrukci populárně (a matematicky ne zcela přesně), pak
ordinální číslo konečné dobře uspořádané množiny M je systém dobře uspořádaných množin,
který kromě dané dobře uspořádané množiny M obsahuje všechny dobře uspořádané množiny
(nekonečně mnoho), které mají tentýž počet prvků jako množina M. Tato jediná společná
vlastnost všech těchto množin, tj. stejný počet prvků, je vyjádřena přirozeným číslem, které je
ordinálním číslem množiny M definováno. Lze tedy říci, že přirozená čísla vyjadřují počty
prvků konečných dobře uspořádaných množin.
Porovnávání ordinálních čísel a operace s nimi se na ZŠ takřka nepoužívají, proto je na
tomto místě neuvádíme. Lze je nalézt v učebnici [1].
Přirozená čísla a jejich vlastnosti
Existují tři možnosti zavedení přirozených čísel: jako čísla kardinální, čísla ordinální a prvky
formálně zavedené Peanovy množiny. V praxi na školách je nejdůležitější a nejrozšířenější
zavedení přirozených čísel jako čísel kardinálních, kdy přirozená čísla vyjadřují počty prvků
konečných množin. Ve smyslu ordinálních čísel vyjadřují přirozená čísla počty prvků
konečných dobře uspořádaných množin, zatímco přirozená čísla jako prvky Peanovy množiny
jsou pouze symboly (nevyjadřují počet prvků). Tato poslední možnost se sice často vyskytuje
v praxi (telefonní čísla, čísla občanských průkazů, bankovních kont, označení vozidel MHD,
tažená čísla ve Sportce apod). Při zavádění přirozených čísel na 1. stupni ZŠ však důsledně
zavádíme přirozená čísla jako počty prvků konečných množin, tzn. jako kardinální čísla.
Některé základní vlastnosti přirozených čísel nyní uvedeme (jde pouze o výběr).
Definice 1. 27. (dělení se zbytkem v množině přirozených čísel)
Pro každá dvě přirozená čísla a, b (b  0) existuje jediná dvojice přirozených čísel q, z (z  b)
s vlastností a = b  q + z. Číslo a se nazývá dělenec, číslo b se nazývá dělitel, číslo q se nazývá
neúplný podíl a číslo z se nazývá zbytek.
Definice 1. 28. Nechť a, b jsou libovolná přirozená čísla. Nechť existuje přirozené číslo x
s vlastností a = b + x. Potom přirozené číslo x nazveme rozdílem přirozených čísel a, b a
píšeme x = a − b.
Definice 1. 29. Nechť a, b jsou libovolná přirozená čísla. Nechť existuje přirozené číslo x
s vlastností a = b  x. Potom přirozené číslo x nazveme podílem přirozených čísel a, b a
píšeme x = a : b.
2. Celá čísla
Motivace 2.0. Známe již polookruh všech přirozených čísel a známe tedy všechny jeho
vlastnosti a pravidla pro počítání s přirozenými čísly. Problémem ale je, že v oboru
přirozených čísel nelze neomezeně odčítat ani dělit. Problém s odečítáním vyřešíme
zavedením celých čísel. Obor celých čísel musí mít tedy následující vlastnosti:
1. Musí v něm platit všechna pravidla a vlastnosti operací jako v oboru přirozených čísel.
2. Musí být zajištěno neomezené odčítání každých dvou celých čísel.
3. Přirozená čísla musí být součástí (podmnožinou) celých čísel. Matematicky říkáme, že
polookruh přirozených čísel lze izomorfně vnořit do oboru integrity celých čísel.
Konstrukce 2.1. Při konstrukci oboru integrity celých čísel postupujeme takto:
Vyjdeme z kartézského součinu N  N, na kterém definujeme pro každé dvě dvojice [a, b],
[c, d] N  N relaci ∼ vztahem:
[a, b] ∼ [c, d] = a + d = b + c.
Tato relace je ekvivalence (je reflexivní, symetrická a tranzitivní), existuje tedy rozklad
kartézského součinu N  N na třídy; tento rozklad budeme označovat N N ∼ .
Definice 2.2. Třídy rozkladu N N ∼ kartézského součinu N N určeného ekvivalencí ∼ se
nazývají celá čísla. Celá čísla jsou tedy třídy navzájem ekvivalentních uspořádaných dvojic
přirozených čísel.
Poznámka 2.3. Z definice relace ekvivalence ∼ plyne, že všechny navzájem ekvivalentní
uspořádané dvojice přirozených čísel mají tentýž rozdíl mezi první a druhou složkou. Tento
rozdíl určuje celé číslo, danou třídou definované. V dalším textu o celých číslech je proto
nutno rozlišovat mezi případem, kdy [a, b] bude označovat tuto jednu konkrétní uspořádanou
dvojici přirozených čísel a případem, kdy bude hrát roli reprezentující dvojice nějakého celého
čísla. V tomto druhém případě budeme užívat tučného označení [a, b]. Platí tedy např. [4, 2] =
{[2, 0], [3, 1], [4, 2], [5, 3], [6, 4], ...}. Celé číslo je vždy reprezentováno nekonečnou
množinou navzájem ekvivalentních uspořádaných dvojic přirozených čísel. Podle
dohodnutého označení je nutno také rozlišovat následující vztahy: Např. pro uspořádané
dvojice [5, 3], [6, 4] platí [5, 3]  [6, 4], [5, 3] ∼ [6, 4], pro dvě celá čísla [5, 3], [6, 4] ale
platí rovnost [5, 3] = [6, 4], protože obě tyto dvojice jsou reprezentanty téže třídy rozkladu
systému N  N ∼. Poznamenejme, že v dalším textu budeme pro zjednodušení označovat celá
čísla velkými tučnými písmeny, např. A, B, .... Toto označení není v rozporu s uvedenou
konstrukcí; vždy lze přejít k reprezentaci pomocí uspořádaných dvojic, např. A = [a, b], B =
[c, d], ....
Věta 2.4. Vnoření  : N → Z grupoidu N do grupy Z je definováno takto pro každý prvek
n  N předpisem
 (n) = {[n, 0]; n N}.
Operace s celými čísly a jejich vlastnosti
Definice 2.5. Sčítání na množině celých čísel je definováno předpisem
[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d].
Věta 2.6. Operace + z předchozí definice je komutativní, asociativní, má neutrální prvek 0
reprezentovaný dvojicí [n, n] pro libovolné n N a ke každému celému číslu A = [a, b]
existuje právě jedno opačné číslo − A = [b, a].
Věta 2.7. Algebraická struktura (Z, +) je komutativní grupa, ve které jsou řešitelné základní
rovnice, tj rovnice A + X = B má vždy řešení v množině Z pro každá dvě celá čísla A, B.
Věta 2.8. V grupě (Z, +) existuje právě jedna inverzní operace k operaci sčítání. Tato operace
se nazývá odčítání a je definována vztahem A − B = A + (−B).
Poznámka 2.9. Z předchozí věty a věty 2.6. lze odvodit početní pravidlo pro operaci odčítání:
[a, b] − [c, d] = [a + d, b + c].
Povšimněme si, že v definici odčítání vystupují na pravé straně pouze součty přirozených
čísel, tzn. operace odčítání je neomezeně definovaná a tedy algebraická struktura (Z, −) je
grupoid. Tento grupoid není pologrupou, protože operace odčítání zřejmě není asociativní ani
komutativní.
Definice 2.10. Na množině Z definujme binární operaci  následujícím způsobem:
[a, b]  [c, d] = [ac + bd, ad + bc].
Tuto operaci nazveme násobením v množině celých čísel. Tato operace je v množině
Z neomezeně definovaná, struktura (Z, ) je tedy grupoid.
Věta 2.11. Grupoid (Z, ) je asociativní, komutativní a má neutrální prvek 1 reprezentovaný
dvojicí [n+1, n] pro libovolné n N .
Věta 2.12. V grupoidu (Z, ) pro každá tři celá čísla x, y, z, x  0 platí implikace
x  y = x  z  y = z .
Věta 2.13. Operace násobení je v množině celých čísel svázána s operací sčítání
distributivním zákonem, tj.
A, B, C  Z: A  (B + C) = A  B + A  C.
Věta 2.14. Algebraická struktura (Z, +, ) je komutativní okruh s neutrálním prvkem, který
není tělesem. V tomto okruhu neexistují vlastní dělitelé nuly, je to tedy obor integrity.
Poznámka 2.15. V oboru integrity všech celých čísel (Z, +, ) platí řada tvrzení, běžně
užívaných při výpočtech. Uveďme některé příklady.
Věta 2.16. Nechť A, B, C  Z. Pak platí:
(1) −(−A) = A;
(2) −(A + B) = (−A) + (−B);
(3) −(A − B) = B − A;
(4) (A − (B − C) = (A + C) − B;
(5) (−A)  B = A  (−B) = −(A  B).
Poznámka 2.17. Operace dělení není v množině Z neomezeně definované, proto nemůže
existovat obecný vzorec pro výpočet podílu každých dvou celých čísel. Chceme-li zjistit podíl
dvou celých čísel A : B = X, je nutno postupovat podle definice podílu. Vztah A : B = X
přepíšeme na tvar A = B  X , dosadíme za A, B reprezentující uspořádané dvojice a řešíme
součin A = B  X jako rovnici. V případě, že podíl existuje, je možno ho tímto postupem určit.
Relace uspořádání v množině celých čísel
Definice 2.18. Nechť A = [a, b] je celé číslo. Řekneme, že toto číslo je kladné a píšeme
A  0, právě když platí a  b. Je-li a = b, pak číslo A = 0 ; ve zbývajícím případě pro a  b
říkáme, že celé číslo A je záporné a píšeme A  0.
Poznámka 2.19. Je zřejmé, že jeden z předchozích případů vždy musí nastat. Každé celé číslo
je tedy buďto kladné nebo záporné nebo je rovno nule. Existuje tedy rozklad množiny všech
celých čísel na čísla kladná, nulu a čísla záporná. Ve shodě s běžnou terminologií zavádíme i
označení A  0 a říkáme, že číslo A je nekladné, resp. v případě A  0 je toto číslo nezáporné.
Definice 2.20. Nechť A, B jsou celá čísla. Řekneme, že A  B, právě když platí A − B  0.
Je-li A − B = 0, pak A = B ; ve zbývajícím případě pro A − B  0 pak platí A  B.
Poznámka 2.21. Je zřejmé, že i v předchozí definici jeden z případů vždy musí nastat. Relace
uspořádání všech celých čísel je tedy lineární. I zde se běžně užívá neostrá nerovnost A  B
pro případ A − B  0 a analogicky A  B pro případ A − B  0.
Věta 2.22. Nechť A je celé číslo. Pak platí:
(1) A  0  − A  0.
(2) A  0  − A  0.
Věta 2.23. Nechť A, B jsou kladná celá čísla. Potom jejich součet A + B i součin A  B jsou
také kladná celá čísla.
Poznámka 2.24. Výše definovaná relace uspořádání v množině všech celých čísel je spojena
s operacemi v této množině řadou vztahů. Uveďme alespoň některé.
Věta 2.25. Nechť A, B, C, D jsou libovolná celá čísla. Pak platí:
(1) Jestliže A  B a C  0, potom AC  BC;
(2) Jestliže A + C  B + C, potom A  B;
(3) Jestliže AC  BC a C  0, potom A  B;
(4) Jestliže AC  BC a C  0, potom A  B;
(5) Jestliže A  B a C  D, potom A + C  B + D;
(6) Jestliže A  B a C  D a C  0 a B  0, potom A  C  B  D .
Věta 2.26. Nechť A, B jsou libovolná celá čísla, přičemž B  0. Pak existuje jednoznačně
určená dvojice celých čísel Q, R (přičemž 0  R  B) s vlastností A = B  Q + R. Číslo A
se nazývá dělenec, číslo B dělitel, číslo Q je podíl (někdy též neúplný podíl) a číslo R je
zbytek. Proces nalezení čísel Q, R se nazývá dělení se zbytkem v množině celých čísel.
Definice 2.27. Absolutní hodnotu A  celého čísla A definujeme takto:
(1) Je-li A  0, pak A = A ;
(2) Je-li A  0, pak A = −A.
Věta 2.28. Nechť A, B jsou libovolná celá čísla, pak platí:
(1) A = −A;
(2) A  A;
(3) A2
= A2
;
(4) A  B = A B;
(5) A + B  A+ B;
(6) A − B  A− B.
Poznámka 2.29. Vnoření  : N → Z grupoidu N do grupy Z je definováno pro každý prvek
n  N předpisem (n) = {[n,0]; n N}. Každé celé kladné (tj. přirozené) číslo n je tedy
reprezentováno dvojicí [n, 0], číslo nula je reprezentováno dvojicí [0, 0] a každé celé záporné
číslo − n je reprezentováno dvojicí [0, n].
3. Racionální čísla
Motivace 3.0. Známe již obor integrity všech celých čísel a známe tedy všechny jeho
vlastnosti a pravidla pro počítání s celými čísly. Problémem ale je, že v oboru celých čísel
nelze neomezeně dělit. Problém s dělením vyřešíme zavedením racionálních čísel. Obor
racionálních čísel musí mít tedy následující vlastnosti:
1. Musí v něm platit všechna pravidla a vlastnosti operací jako v oboru celých čísel.
2. Musí být zajištěno neomezené dělení každých dvou racionálních čísel (kromě dělení nulou).
3. Celá čísla musí být součástí (podmnožinou) racionálních čísel. Matematicky říkáme, že
obor integrity celých čísel lze izomorfně vnořit do tělesa racionálních čísel.
Konstrukce 3.1. Při konstrukci tělesa racionálních čísel postupujeme takto:
Vyjdeme z kartézského součinu Z  Z − {0}, na kterém definujeme pro každé dvě dvojice
[a, b], [c, d] Z  Z − {0} relaci ∼ vztahem:
[a, b] ∼ [c, d] = a  d = b  c.
Tato relace je ekvivalence (je reflexivní, symetrická a tranzitivní), existuje tedy rozklad
kartézského součinu Z  Z − {0} na třídy; tento rozklad budeme označovat Z  Z − {0}∼ .
Definice 3.2. Třídy rozkladu Z  Z − {0}∼ kartézského součinu Z  Z − {0} určeného
ekvivalencí ∼ se nazývají racionální čísla. Racionální čísla jsou tedy třídy navzájem
ekvivalentních uspořádaných dvojic celých čísel.
Poznámka 3.3. V dalším budeme kartézský součin Z  Z − {0} označovat M a nazývat
množina všech zlomků. Protože se racionální čísla běžně vyjadřují pomocí zlomků, budeme
uspořádané dvojice z množiny M zapisovat jako zlomky, tedy místo [a, b] budeme psát
b
a
.
Odtud je také zřejmé, proč se v množině M pro druhé složky všech dvojic nepřipouští číslo
nula.
Poznámka 3.4. Racionální čísla jsou podle této konstrukce třídami rozkladu M ∼, tedy
třídami navzájem ekvivalentních zlomků. Vnoření  : Z → Q okruhu Z do tělesa Q je
definováno pro každý prvek z  Z předpisem
 (z) = {
x
xz 
; x Z− {0}}.
Poznámka 3.5. Analogicky jako u celých čísel budeme rozlišovat jeden konkrétní zlomek od
racionálního čísla. Tučným označením
b
a
budeme označovat stav, kdy tento zlomek bude
reprezentovat racionální číslo, zatímco běžným způsobem
b
a
budeme označovat tento jeden
konkrétní zlomek. Platí tedy např.
4
3
= { ...,
28
21
,
12
3
,
8
6
,
4
3
−
−
}. Poznamenejme, že v dalším
textu budeme pro zjednodušení označovat racionální čísla velkými tučnými písmeny, např. A,
B, .... Toto označení není, tak jako u celých čísel, v rozporu s uvedenou konstrukcí; vždy lze
přejít k reprezentaci pomocí uspořádaných dvojic, např. A =
2
1
a
a
, B =
2
1
b
b
, ....
Věta 3.6. Operace sčítání v množině všech racionálních čísel je definována vztahem
bd
bcad
d
c
b
a +
=+ . Tato operace je komutativní, asociativní, má neutrální prvek, ke každému
racionálnímu číslu existuje právě jedno číslo opačné a jsou řešitelné základní rovnice.
Algebraická struktura (Q, +) je tedy komutativní grupa.
Poznámka 3.7. V grupě (Q, +) platí analogické vlastnosti a vztahy jako v grupě (Z, +), není
tedy nutné je na tomto místě znovu uvádět. Poznamenejme jen, že neutrálním prvkem je číslo
0 reprezentované třídou
b
0
a opačným racionálním číslem k číslu
b
a
je číslo −
b
a
, které lze
reprezentovat buďto třídou
b
a−
nebo třídou
b
a
−
.
Poznámka 3.8. Analogicky jako pro celá čísla lze zavést operaci odčítání jako přičtení
opačného prvku, tedy A − B = A + (−B). Takto lze snadno odvodit běžně užívaný vztah pro
odčítání zlomků:
bd
bcad
d
c
b
a −
=− .
Poznámka 3.9. Operace odčítání má v množině všech racionálních čísel tytéž vlastnosti jako
v množině celých čísel (tj. není komutativní ani asociativní).
Věta 3.10. Operace násobení v množině všech racionálních čísel je definována vztahem
bd
ac
d
c
b
a
= . Tato operace je v množině Q komutativní, asociativní a má neutrální prvek.
Tímto neutrálním prvkem je číslo 1 reprezentované třídou zlomků
a
a
. Algebraická struktura
(Q, ) je komutativní pologrupa s neutrálním prvkem. Operace násobení je distributivní
vzhledem k operaci sčítání v množině všech racionálních čísel.
Poznámka 3.11. Budeme-li zkoumat i existenci inverzních prvků a řešitelnost základních
rovnic vzhledem k operaci násobení v množině Q, snadno zjistíme, že jediným prvkem, který
neumožňuje platnost těchto vlastností, je číslo 0. Po jeho odstranění z množiny Q můžeme
vyslovit následující větu.
Věta 3.12. (1) Algebraická struktura (Q − {0}, ) je komutativní grupa.
(2) Algebraická struktura (Q ,+, ) je komutativní těleso.
Poznámka 3.13. Inverzním prvkem k racionálnímu číslu
b
a
je číslo
a
b
. Toto číslo vždy
jednoznačně existuje (b  0 podle konstrukce racionálních čísel a a  0 podle předpokladu
z poznámky 3.11. a věty 3.12.), nazývá se převrácené číslo k číslu
b
a
a označuje
1
b
a
−






. Při
označení racionálního čísla A se převrácené číslo kromě zápisu A−1 zapisuje též
A
1
.
V množině Q − {0} jsme nyní připraveni k definici operace dělení.
Definice 3.14. Dělení v množině Q − {0} je definováno jako násobení převráceným číslem, tj.
A : B = A  B−1 . Vyjádřeno pomocí definice operace násobení a převráceného čísla dostáváme
bc
ad
d
c
:
b
a
= .
Poznámka 3.16. Připomeňme znovu, že existence převráceného čísla i operace dělení jsou
neomezeně definovány v množině Q − {0}, tedy že skutečně nemůže dojít k „dělení nulou“.
Pro operace dělení a násobení platí rovněž řada vlastností, z nichž uvedeme např.:
Věta 3.17. Nechť A, B, C  Q. Pak platí:
(1) (A−1)−1
= A;
(2) (A  B)−1 = A−1  B−1;
(3) (A  B−1)−1
= B  A−1;
(4) (A  B−1)  C −1 = A  (B  C)−1;
(5) A  (B  C −1)−1
= (A  C)  B−1.
Relace uspořádání v množině racionálních čísel
Definice 3.18. Nechť A =
b
a
je racionální číslo. Řekneme, že toto číslo je kladné a píšeme
A  0, právě když platí a i b jsou buďto obě současně kladná celá čísla nebo obě současně
záporná celá čísla. Je-li a = 0, pak číslo A = 0 ; ve zbývajícím případě (jedno z čísel a, b je
kladné celé číslo a jedno záporné) říkáme, že racionální číslo A je záporné a píšeme A  0.
Poznámka 3.19. Je zřejmé, že jeden z předchozích případů vždy musí nastat. Každé
racionální číslo je tedy buďto kladné nebo záporné nebo je rovno nule. Existuje tedy rozklad
množiny všech racionálních čísel na čísla kladná, nulu a čísla záporná. Ve shodě s běžnou
terminologií zavádíme i označení A  0 a říkáme, že číslo A je nekladné, resp. v případě
A  0 je toto číslo nezáporné.
Definice 3.20. Nechť A, B jsou racionální čísla. Řekneme, že A  B, právě když platí
A − B  0. Je-li A − B = 0, pak A = B ; ve zbývajícím případě pro A − B  0 pak platí
A  B.
Poznámka 3.21. Je zřejmé, že i v předchozí definici jeden z případů vždy musí nastat. Relace
uspořádání všech racionálních čísel je tedy lineární. I zde se běžně užívá neostrá nerovnost
A  B pro případ A − B  0 a analogicky A  B pro případ A − B  0.
Poznámka 3.22. Pro relaci uspořádání v množině racionálních čísel a její spojení s operacemi
v množině Q platí analogické vztahy jako v množině celých čísel, stejně je definována i
absolutní hodnota racionálního čísla. Vzhledem k tomu, že (Q ,+, ) je komutativní těleso,
nemá smysl v množině racionálních čísel zavádět dělení se zbytkem. Platí však zajímavá
vlastnost relace uspořádání racionálních čísel, která v množinách přirozených ani celých čísel
platit nemohla.
Definice 3.23. Uspořádání v množině racionálních čísel je husté, tzn.
 x, y  Q, x  y;  z Q: x  z  y .
Poznámka 3.24. Definice hustého uspořádání říká, že „mezi každá dvě různá racionální čísla
lze vložit další racionální číslo“.
Desetinné rozvoje racionálních čísel
Poznámka 3.25. Je zřejmé, že racionální čísla nevyjadřujeme výlučně ve tvaru zlomku, např.
velmi často se setkáváme s jejich vyjádřením pomocí desetinných rozvojů.
Věta 3.26. Každé racionální číslo lze vyjádřit pomocí desetinného rozvoje, přičemž tento
desetinný rozvoj je buďto ukončený nebo je periodický. Ukončený je právě tehdy, je-li dané
racionální číslo tvaru qp
52
a

, tj. obsahuje-li rozklad jeho jmenovatele na prvočinitele pouze
prvočísla 2 nebo 5.
Poznámka 3.27. Převod zápisu racionálního čísla ze zlomku na desetinný rozvoj provádíme
dělením čitatele jmenovatelem; opačný převod buďto přechodem na desetinný zlomek a
úpravou (v případě konečného rozvoje) nebo přímým výpočtem, popř. užitím součtu
konvergentní geometrické řady.
4. Reálná čísla
Poznámka 4.1. Podle definice 3.23 a poznámky 3.24 se „laickým pohledem“ zdá, že každý
bod číselné osy je obrazem racionálního čísla. To však neplatí. Snadno lze dokázat, že na
číselné ose jsou „mezery“; např. 2 je číslo, které zcela jistě existuje (délka úhlopříčky
čtverce o straně 1), avšak není racionální (nelze ho vyjádřit pomocí zlomku).
Definice 4.2. Každá mezera v uspořádané množině (Q,  ) určuje právě jedno iracionální
číslo. Označíme-li množinu všech iracionálních čísel I , pak pro množinu všech reálných čísel
R platí R = Q  I .
Věta 4.3.
(1) Lineárně uspořádaná množina (R,  ) je spojitě uspořádaná (neobsahuje mezery).
(2)  x, y  R, x  y;  z Q: x  z  y .
(3) Desetinný rozvoj iracionálních čísel je nekonečný a nikdy není periodický.
(4) Algebraická struktura (R,+, ) je komutativní těleso.
Poznámka 4.4. Protože lineárně uspořádaná množina (R, ) neobsahuje mezery, lze
konstatovat, že každý bod číselné osy je obrazem právě jednoho reálného čísla a naopak,
každé reálné číslo lze jednoznačně znázornit na číselné ose.
Poznámka 4.5. Problém důkazu existence iracionálních čísel je velmi starý. Již v antickém
Řecku se objevila tzv. první krize matematického myšlení, která se týkala „nesouměřitelnosti
úseček“. V tehdejší matematice byla známá racionální čísla i to, že jakékoliv racionální číslo
lze přesnou geometrickou konstrukcí zobrazit na číselné ose. Společně se znalostí hustoty
uspořádání racionálních čísel byl tehdy všeobecně přijímán názor, že jiná čísla než racionální
neexistují, že každé číslo lze vyjádřit zlomkem a že každý bod číselné osy je obrazem
nějakého racionálního čísla. Objev faktu, že v jakémkoliv čtverci jsou jeho strana a úhlopříčka
tzv. nesouměřitelné a že délku úhlopříčky nelze vyjádřit zlomkem (má-li strana čtverce délku
a, má úhlopříčka délku 2 a), způsobil v tehdejší době doslova pozdvižení, neboť nebylo
známo, jak vzniklý problém vyřešit. Z teorie už víme, že princip nesouměřitelnosti znamená
to, že lineárně uspořádaná množina racionálních čísel obsahuje mezery. Vyřešení problému
nesouměřitelnosti, tj. zavedení iracionálních čísel, mohlo být úspěšně teoreticky ukončeno až
mnohem později.
5. Číselné soustavy
Poznámka 9.1. Problematika zápisů čísel provází lidstvo už od starověku. Je známá řada
poznatků o způsobech numerace během historického vývoje, např. numerace ve starém
Egyptě a Mezopotámii, numerace antického Řecka a Říma nebo numerace starých Mayů.
Jedná se o velmi zajímavé otázky, kterými se však na tomto místě nemůžeme zabývat.
Konstatujme pouze, že během vývoje se vykrystalizovaly dva typy číselných soustav, a to
poziční a nepoziční. Základní rozdíl je v tom, že nepoziční soustavy nerozlišují řád číslice
v zápisu čísla, kdežto poziční soustavy ano. Většina numeračních soustav v dávné historii byla
nepoziční (Egypt, Mezopotámie, Řecko, Řím), zatímco v dnešní době se užívají výhradně
poziční soustavy. Jediná nepoziční soustava, se kterou se ještě dnes můžeme setkat, jsou
římské číslice. Uvědomme si ovšem, že s římskými číslicemi nepočítáme (neprovádíme žádné
početní výkony), slouží pouze jako zápisy letopočtů atp. Poziční soustavy, jak už bylo řečeno,
rozlišují řád číslice. Proto je potřeba mít určen tzv. základ poziční číselné soustavy. Dnes se
užívá pro běžné počítání výhradně soustava se základem deset (desítková soustava). Ve
výpočetní technice se můžeme setkat ještě se soustavami, jejichž základem jsou některé
mocniny čísla dvě (soustava dvojková, čtyřková, osmičková a šestnáctková). Pozičním
číselným soustavám bude věnována tato kapitola. Budeme se zabývat převody zápisů čísel a
početními výkony v nedesítkových číselných soustavách. Zřejmě se můžeme omezit pouze na
kladná čísla; začneme čísly přirozenými a následně si uvedeme i převody zápisů čísel
racionálních.
Příklad 9. 2. Nepoziční soustavy nerozlišují řád číslice, zatímco poziční soustavy ano. Tedy
např. v zápise římskými číslicemi je číslo I I I rovno třem, zatímco v desítkové soustavě je
číslo 111 rovno sto jedenácti. Nepoziční soustavy nemají symbol pro nulu, který je naopak
v pozičních soustavách nutný. Např. čísla stojedna, tisíc jedna jsou zapsána v desítkové
soustavě 101, 1001, zatímco pomocí římských číslic C I, M I.
Věta 9. 3. Nechť z je pevně zvolené přirozené číslo větší než jedna, nechť a je libovolné
přirozené číslo. Pak platí:
(1) Existuje přirozené číslo n s vlastností zn
 a  zn+1
.
(2) Číslo a lze vyjádřit právě jedním způsobem ve tvaru
a = an zn
+ an−1 zn−1
+ an−2 zn−2
+ ... + a2 z2
+ a1 z + a0 , (⋆)
kde ai , i = 0, 1, 2, ..., n jsou nezáporná celá čísla menší než z.
Definice 9. 4. Nechť platí označení předchozí věty a pro čísla a, n platí vyjádření (⋆). Pak
říkáme, že jsme číslo a vyjádřili v číselné soustavě o základu z. Zkráceně píšeme a =
(anan−1...a0)z , přičemž závorky lze v zápisu vynechat. Číslo z nazýváme základ číselné
soustavy, symboly ai , i = 0, ..., n se nazývají číslice (cifry). O číslici ai říkáme, že je řádu i,
číslo zi
se nazývá jednotka řádu i pro i = 0, ..., n.
Poznámka 9. 5. Je-li z  10, plyne z předchozí věty, že v soustavě o základu z musí existovat
právě z různých cifer 0, 1, ..., z − 1. Protože v běžně užívané desítkové soustavě máme
k dispozici pouze deset cifer 0, ..., 9, je nutno doplnit další symboly. Podle mezinárodní
konvence se užívá A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. Soustavy o základu
větším než 16 se již nepoužívají, proto není potřeba zavádět další symboly.
Poznámka 9. 6. (Porovnávání čísel). V každé poziční číselné soustavě platí stejná pravidla
pro porovnávání čísel jako v soustavě desítkové. Obsahuje-li zápis přirozeného čísla a
v číselné soustavě o základu z právě n číslic (číslice nejvyššího řádu je nenulová), pak zn−1

a  zn
. Jsou-li zapsána dvě přirozená čísla a, b v číselné soustavě o stejném základu (číslice
nejvyššího řádu jsou nenulové), pak platí:
1. To číslo, v jehož zápisu je více číslic, je větší.
2. Mají-li zápisy obou čísel stejný počet číslic, pak je větší to číslo, v jehož zápisu číslice
nejvyššího řádu označuje větší přirozené číslo.
3. Nechť dvě různá čísla a, b jsou zapsána v téže soustavě zápisem o stejném počtu číslic, tj.
(anan−1...a0)z , (bnbn−1...b0)z. Existuje-li číslo k (0  k  n) s vlastností ai = bi pro i = n, n−1, ...,
k+1, ak  bk , pak větší je to číslo, v jehož zápise číslice řádu k označuje větší přirozené číslo.
Poznámka 9. 7. (Převádění zápisů přirozených čísel) Při převádění zápisu přirozeného čísla a
z desítkové soustavy do číselné soustavy o základu z postupujeme tak, že číslo a vydělíme
číslem z se zbytkem. V dalším kroku vezmeme neúplný podíl předchozího dělení a opět
dělíme základem soustavy. Takto pokračujeme tak dlouho, dokud není neúplný podíl roven
nule (po konečném počtu dělení tento případ musí nastat). Hledaný zápis čísla a v soustavě o
základu z je určen všemi zbytky po všech provedených děleních, které napíšeme vedle sebe
počínaje od posledního k prvnímu. Při praktickém převádění využíváme nejčastěji
jednoduchou tabulku, kterou si ilustrujeme nejprve pro a = 986, z = 4, pak pro a = 2507, z =
16. V tabulce o dvou sloupcích zapíšeme do záhlaví čísla a, z, do levého sloupce píšeme
neúplné podíly a do pravého sloupce zbytky. Obrácený převod z nedesítkové do desítkové
soustavy se provádí rozvojem v nedesítkové soustavě.
Příklad 9. 8.
986 4
246
61
15
3
0
2
2
1
3
3
986 = 331224 .
Zkouška: 31224 = 3 . 44
+ 3 . 43
+ 1 . 42
+ 2 . 4 + 2 = 3 . 256 + 3 . 64 + 16 + 8 + 2 = 986.
Příklad 9. 9.
2507 16
156
9
0
11
12
9
2057 = 9CB16 .
Zkouška: 9CB16 = 9 . 162
+ 12 . 16 + 11 = 9 . 256 + 12 . 16 + 11 = 2304 + 192 + 11 = 2507.
Povšimněme si, že v případě z  10 přepisujeme dvouciferné zbytky pomocí písmen a opačně,
při rozvoji čísla místi písmene použijeme příslušné dvouciferné číslo.
Poznámka 9. 10. Na základě poznámky 9.7. lze nyní převést zápis jakéhokoliv přirozeného
čísla z desítkové soustavy do nedesítkové a naopak. V případě, že chceme převést zápis
přirozeného čísla zapsaného v nedesítkové soustavě do jiné nedesítkové soustavy, je
nejvýhodnější přechod přes desítkovou soustavu. Existují ovšem případy (a jsou hojně
využívány zejména v informatice), kdy lze takový převod mezi dvěma nedesítkovými
soustavami provést přímo. To lze provést tehdy, jestliže pro dva základy soustav z1 , z2 platí
vztah z1 = z2
n
pro nějaké přirozené číslo n. S ohledem na praktické využití jsou důležité
zejména přímé převody mezi soustavou dvojkovou a čtyřkovou, dvojkovou a osmičkovou,
dvojkovou a šestnáctkovou, resp. mezi čtyřkovou a šestnáctkovou. Převody se provádí na
základě následující věty:
Věta 9. 11. Nechť pro dva základy soustav z1 , z2 platí vztah z1 = z2
n
pro nějaké přirozené
číslo n. Pak číslo zapsané n ciframi v číselné soustavě o základu z2 lze zapsat jedinou cifrou
v číselné soustavě o základu z1 .
Příklad 9. 12. Převeďte číslo 1101100101102 do soustavy se základem 8.
Víme, že 8 = 23
. Platí : 1101010101102 = 1 . 211
+ 1 . 210
+ 0 . 29
+ 1 . 28
+ 0 . 27
+ 1 . 26
+ 0
. 25
+ 1 . 24
+ 0 . 23
+ 1 . 22
+ 1 . 2 + 0 = (1 . 22
+ 1 . 2 + 0) . (23
)3
+ (1 . 22
+ 0 . 2 + 1) .
(23
)2
+ (0 . 22
+ 1 . 2 + 0) . 23
+ (1 . 22
+ 1 . 2 + 0) = 6 . 83
+ 5 . 82
+ 2 . 8 + 6 = 65268 .
Poznámka 9. 13. Postup uvedený v předchozím příkladu je těžkopádný a nepřehledný.
V praxi postupujeme tak, že při převodu zápisu přirozeného čísla ze základu z2 na základ z1 =
z2
n
zapíšeme dané číslo ve zkráceném tvaru v soustavě z2, rozdělíme zprava na n-ciferné
skupiny, přičemž každá taková skupina n cifer dá podle věty 9. 11. jednu cifru v soustavě z1.
Příklad 9.12. lze pak psát takto: 1101100101102 = 110 110 010 1102 = 65268 . Při opačném
převodu postupujeme analogicky. Musíme si však uvědomit, že vždy vytváříme z každé cifry
v soustavě z1 skupinu n cifer v soustavě z2, tedy např. 3014 = 1100012, 3018 = 0110000012 ,
tzn. např. číslo nula je zapsáno v prvním případě dvěma nulami, zatímco ve druhém případě
třemi nulami.
Poznámka 9.13. Pro počítání v nedesítkových soustavách platí stejná pravidla jako pro
počítání v desítkové soustavě. Pravidla pro provádění písemného sčítání, odčítání, násobení a
dělení v desítkové soustavě lze všechna „přenést“ i pro počítání v nedesítkové soustavě.
Procvičení takových početních výkonů poznáte v semináři.
Poznámka 9.14. V závěru textu jsou jako přílohy dvě tabulky. První z nich obsahuje převody
čísel od 0 do 40 do všech soustav od základu 2 až do základu 16, ve druhé tabulce jsou
uvedeny převodní vztahy pro přímé převody mezi nedesítkovými soustavami v případech, kdy
to je možné (až do základu 16).
6. Literatura
[1] DRÁBEK, JAROSLAV, a kol. Základy elementární aritmetiky pro učitelství 1. stupně ZŠ.
1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1985. 223 s., 14-521-85.
[2] VAŇUROVÁ, MILENA. Aritmetika 2. Elektronický učební kurz Pedagogické fakulty
MU. Dostupné z elektronické adresy https://moodlinka.ped.muni.cz/login/index.php,
citováno dne 14. 7. 2011.