Celá čísla
Motivace. Obor celých čísel musí mít tyto vlastnosti:
1. Musí v něm platit všechna pravidla a vlastnosti operací jako
v oboru přirozených čísel.
2. Musí být zajištěno neomezené odčítání každých dvou
celých čísel.
3. Přirozená čísla musí být součástí (podmnožinou) celých
čísel. Matematicky říkáme, že polookruh přirozených čísel lze
izomorfně vnořit do oboru integrity celých čísel.
Konstrukce.
Vyjdeme z kartézského součinu N  N, na kterém definujeme
pro každé dvě dvojice [a, b], [c, d] N  N relaci ∼ vztahem:
[a, b] ∼ [c, d] = a + d = b + c.
Tato relace je ekvivalence (je reflexivní, symetrická a
tranzitivní), existuje tedy rozklad kartézského součinu N  N
na třídy.
Definice. Třídy rozkladu kartézského součinu N N určeného
ekvivalencí ∼ se nazývají celá čísla. Celá čísla jsou tedy třídy
navzájem ekvivalentních uspořádaných dvojic přirozených
čísel.
Poznámka. Z definice relace ekvivalence ∼ plyne, že
všechny navzájem ekvivalentní uspořádané dvojice
přirozených čísel mají tentýž rozdíl mezi první a druhou
složkou. Tento rozdíl určuje celé číslo, danou třídou
definované. V dalším textu o celých číslech je proto nutno
rozlišovat mezi případem, kdy [a, b] bude označovat tuto
jednu konkrétní uspořádanou dvojici přirozených čísel a
případem, kdy bude hrát roli reprezentující dvojice nějakého
celého čísla. V tomto druhém případě budeme užívat tučného
označení [a, b]. Platí tedy např.
[4, 2] = {[2, 0], [3, 1], [4, 2], [5, 3], [6, 4], ...}.
Celé číslo je vždy reprezentováno nekonečnou množinou
navzájem ekvivalentních uspořádaných dvojic přirozených
čísel. Podle dohodnutého označení je nutno také rozlišovat
následující vztahy: Např. pro uspořádané dvojice [5, 3], [6, 4]
platí [5, 3]  [6, 4], [5, 3] ∼ [6, 4], pro dvě celá čísla [5, 3],
[6, 4] ale platí rovnost [5, 3] = [6, 4], protože obě tyto dvojice
jsou reprezentanty téže třídy rozkladu systému N  N.
Poznamenejme, že v dalším textu budeme pro zjednodušení
označovat celá čísla velkými tučnými písmeny, např. A, B, ....
Toto označení není v rozporu s uvedenou konstrukcí; vždy lze
přejít k reprezentaci pomocí uspořádaných dvojic, např. A =
[a, b], B = [c, d], C = [e, f], ....
Operace s celými čísly
Definice. Sčítání na množině celých čísel je definováno
předpisem
[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d].
Věta. Operace + z předchozí definice je komutativní,
asociativní, má neutrální prvek 0 reprezentovaný dvojicí [n, n]
pro libovolné n N a ke každému celému číslu A = [a, b]
existuje právě jedno opačné číslo − A = [b, a].
Věta. Algebraická struktura (Z, +) je komutativní grupa, ve
které jsou řešitelné základní rovnice, tj rovnice A + X = B má
vždy řešení v množině Z pro každá dvě celá čísla A, B.
Věta. V grupě (Z, +) existuje právě jedna inverzní operace
k operaci sčítání. Tato operace se nazývá odčítání a je
definována vztahem A − B = A + (−B).
Poznámka. Z předchozí věty lze odvodit početní pravidlo pro
operaci odčítání:
[a, b] − [c, d] = [a + d, b + c].
Definice. Na množině Z definujme binární operaci 
následujícím způsobem:
[a, b]  [c, d] = [ac + bd, ad + bc].
Tuto operaci nazveme násobením v množině celých čísel. Tato
operace je v množině Z neomezeně definovaná, struktura (Z, )
je tedy grupoid.
Věta. Grupoid (Z, ) je asociativní, komutativní a má neutrální
prvek 1 reprezentovaný dvojicí [n +1, n] pro libovolné n N.
Věta. Operace násobení je v množině celých čísel svázána
s operací sčítání distributivním zákonem, tj.
A, B, C  Z: A  (B + C) = A  B + A  C.
Věta. Algebraická struktura (Z, +, ) je komutativní okruh
s neutrálním prvkem, který není tělesem. V tomto okruhu
neexistují vlastní dělitelé nuly, je to tedy obor integrity.
Věta. Nechť A, B, C  Z. Pak platí:
(1) −(−A) = A;
(2) −(A + B) = (−A) + (−B);
(3) −(A − B) = B − A;
(4) (A − (B − C) = (A + C) − B;
(5) (−A)  B = A  (−B) = −(A  B).
(6) (−A)  (−B) = A  B.
Poznámka. Operace dělení není v množině Z neomezeně
definované, proto nemůže existovat obecný vzorec pro
výpočet podílu každých dvou celých čísel. Chceme-li zjistit
podíl dvou celých čísel A : B = X, je nutno postupovat podle
definice podílu. Vztah A : B = X přepíšeme na tvar A = B  X ,
dosadíme za A, B reprezentující uspořádané dvojice a řešíme
součin A = B  X jako rovnici. V případě, že podíl existuje, je
možno ho tímto postupem určit.
Relace uspořádání v množině celých čísel
Definice. Nechť A = [a, b] je celé číslo. Řekneme, že toto
číslo je kladné a píšeme A  0, právě když platí a  b. Platí-li
a = b, pak číslo A = 0; ve zbývajícím případě pro a  b
říkáme, že celé číslo A je záporné a píšeme A  0.
Poznámka. Je zřejmé, že jeden z předchozích případů vždy
musí nastat. Každé celé číslo je tedy buďto kladné nebo
záporné nebo je rovno nule. Existuje tedy rozklad množiny
všech celých čísel na čísla kladná, nulu a čísla záporná.
Definice. Nechť A, B jsou celá čísla. Řekneme, že A  B,
právě když platí A− B  0. Je-li A− B = 0, pak A = B; ve
zbývajícím případě pro A − B  0 pak platí A  B.
Poznámka. Je zřejmé, že i v předchozí definici jeden
z případů vždy musí nastat. Relace uspořádání všech celých
čísel je tedy lineární.
Věta. Nechť A je celé číslo. Pak platí zřejmé tvrzení:
(1) A  0  − A  0.
(2) A  0  − A  0.
Věta. Nechť A, B jsou kladná celá čísla. Potom jejich součet
A + B i součin A  B jsou také kladná celá čísla.
Důkaz: a) Součet. Nechť A = [a, b]  0, tj. a  b.
Nechť také B = [c, d]  0, tj. c  d. Nerovnosti a  b, c  d
sečteme. Dostaneme a + c  b + d, tedy A + B  0.
b) Součin. Nechť A = [a, b]  0, tj. a  b.
Nechť také B = [c, d]  0, tj. c  d. Proto existuje nenulové
přirozené číslo c − d. Tímto číslem vynásobíme nerovnost
a  b.
a  b   (c − d)
a  (c − d)  b  (c − d)
ac − ad  bc − bd
ac + bd  ad + bc
tedy platí A  B  0.
Věta: a) nechť A  0 a B  0, potom A  B  0.
b) nechť A  0 a B  0, potom A  B  0.
c) nechť A  0 a B  0, potom A  B  0.
Důkaz:
a) A  0  B  0  A  0  (−B)  0  A  (−B)  0 
−(A  B)  0  A  B  0.
b) A  0  B  0  (−A)  0  B  0  (−A)  B  0 
−(A  B)  0  A  B  0.
c) A  0  B  0  (−A)  0  (−B)  0  (−A)  (−B)  0
 A  B  0.
Věta. Nechť A, B, C, D jsou libovolná celá čísla. Pak platí:
(1) Jestliže A  B a C  0, potom AC  BC;
(2) Jestliže A + C  B + C, potom A  B;
(3) Jestliže AC  BC a C  0, potom A  B;
(4) Jestliže AC  BC a C  0, potom A  B;
(5) Jestliže A  B a C  D, potom A + C  B + D;
(6) Jestliže A  B a C  D a C  0 a B  0,
potom A  C  B  D.
Důkazy všech šesti tvrzení předchozí věty jsou v učebnici,
jedná se o cvičení 199/16. Uvedeme tři příklady.
Důkaz tvrzení (1): Jestliže A  B a C  0, potom A − B  0 a
(−C)  0. Potom (A − B)  (−C)  0  BC − AC  0, tzn. platí
AC  BC.
Důkaz tvrzení (4): Nechť AC  BC, pak AC − BC  0. Odtud
(A− B)  C  0. Tento součin je kladné číslo, tedy obě čísla
musí být buďto kladná nebo obě záporná. Podle předpokladu
C  0, tedy také A− B  0. To ale znamená, že A  B.
Důkaz tvrzení (6): A  B a C  0, potom A  C  B  C ,
C  D a B  0, potom B  C  B  D .
Relace uspořádání je tranzitivní, proto A  C  B  D.
Vnoření N do Z: Podle vztahů pro operace s celými čísly
platí:
[a, 0]+ [b, 0]= [a + b, 0],
[a, 0]  [b, 0]= [a  b, 0].
Pokud tedy zvolíme za reprezentující dvojici pro každé
nezáporné celé číslo n dvojici [n, 0], počítáme při obou
operacích pouze s prvními složkami. To umožňuje definovat
vnoření : N → Z polookruhu N do oboru integrity Z. Toto
vnoření je zobrazením, které je definováno pro každé
přirozené číslo n  N předpisem (n) = {[n, 0]; n N}. Každé
celé kladné (tj. přirozené) číslo n je tedy reprezentováno
dvojicí [n, 0], číslo nula je reprezentováno dvojicí [0, 0] a tedy
také místo celého čísla [n, 0] můžeme nadále psát pouze n.
Víme ale také, že ke každému celému číslu [a, b] existuje
opačné celé číslo −[a, b] = [b, a] . Tedy i ke každému celému
číslu [n, 0] existuje opačné celé číslo −[n, 0]= [0, n].
Vzhledem k výše dohodnuté reprezentaci nezáporného celého
(tj. přirozeného) čísla n uspořádanou dvojicí [n, 0] je tedy
každé celé záporné číslo − n reprezentováno dvojicí [0, n].
Proto můžeme běžně označovat celá čísla malými písmeny.
Definice. Absolutní hodnotu A  celého čísla A definujeme
takto:
(1) Je-li A  0, pak A = A ;
(2) Je-li A  0, pak A = −A. (opačné celé číslo!!)
Věta. Nechť A, B jsou libovolná celá čísla, pak platí:
(1) A = −A;
(2) A  A;–
(3) A2
= A2
;
(4) A  B = A B;
(5) A + B  A+ B;
(6) A − B  A− B.
Důkaz tvrzení (1): pro A = 0 je tvrzení zřejmé.
a) Nechť A  0, pak A= A ;
potom ale –A  0, pak –A = –(−A) = A.
b) Nechť A  0, pak A= –A ;
potom ale –A  0, pak –A = −A. Tvrzení tedy platí.
Důkaz tvrzení (4): pro A = 0 nebo B = 0 je tvrzení zřejmé.
a) Nechť A  0  B  0, pak A  B  0. Potom A  B= A  B.
Platí A  0, pak A= A, B  0, pak B= B. Proto platí
A B = A B.
b) Nechť A  0  B  0, pak A  B  0, tedy A  B= –(A  B).
Platí A  0, pak A= A, B  0, pak B= –B. Proto platí
A B = A  (–B) = –( A  B).
c) Nechť A  0  B  0, pak A  B  0, tedy A  B= –(A  B).
Platí A  0, pak A= –A, B  0, pak B= B. Proto platí
A B = (–A)  B = –( A  B).
d) Nechť A  0  B  0, pak A  B  0, tedy A  B= A  B.
Platí A  0, pak A= –A, B  0, pak B= –B. Proto platí
A B = –(A)  (–B) = A  B.
Věta. Nechť a, b jsou libovolná celá čísla, přičemž b  0. Pak
existuje jednoznačně určená dvojice celých čísel q, z (přičemž
0  z  b) s vlastností a = b  q + z. Číslo a se nazývá
dělenec, číslo b dělitel, číslo q je podíl (někdy též neúplný
podíl) a číslo z je zbytek. Proces nalezení čísel q, z se nazývá
dělení se zbytkem v množině celých čísel.
Příklady: Pro kladná čísla a, b jsou výpočty zřejmé.
a) a = –19, b = 4. Pak –19 = 4  (–5) + 1, tj, q = –5, z = 1.
b) a = 26, b = –7. Pak 26 = –7  (–3) + 5, tj, q = –3, z = 5.
c) a = –31, b = –9. Pak –31 = (–9)  4 + 5, tj, q = 4, z = 5.
d) a = – 43, b = 8. Pak – 43 = 8  (–6) + 5, tj, q = –6, z = 5.
e) a = 61, b = –11. Pak 61 = –11  (–5) + 6, tj, q = –5, z = 6.
f) a = –1, b = –6. Pak –1 = (–6)  1 + 5, tj, q = 1, z = 5.
Racionální čísla
Motivace. Známe obor integrity všech celých čísel a známe
všechny jeho vlastnosti a pravidla pro počítání s celými čísly.
Problémem ale je, že v oboru celých čísel nelze neomezeně
dělit. Problém s dělením vyřešíme zavedením racionálních
čísel. Obor racionálních čísel musí mít tedy následující
vlastnosti:
1. Musí v něm platit všechna pravidla a vlastnosti operací jako
v oboru celých čísel.
2. Musí být zajištěno neomezené dělení každých dvou
racionálních čísel (kromě dělení nulou).
3. Celá čísla musí být součástí (podmnožinou) racionálních
čísel. Matematicky říkáme, že obor integrity celých čísel lze
izomorfně vnořit do tělesa racionálních čísel.
Konstrukce.
Vyjdeme z kartézského součinu C  C − {0}, na kterém
definujeme pro každé dvě dvojice [a, b], [c, d] C  C − {0}
relaci ∼ vztahem:
[a, b] ∼ [c, d] = a  d = b  c.
Tato relace je ekvivalence (je reflexivní, symetrická a
tranzitivní), existuje tedy rozklad kartézského součinu
C  C− {0} na třídy.
Definice. Třídy rozkladu kartézského součinu C  C − {0}
určeného ekvivalencí ∼ se nazývají racionální čísla.
Racionální čísla jsou tedy třídy navzájem ekvivalentních
uspořádaných dvojic celých čísel.