P2
Písemná práce z Aritmetiky 1 - zkouška (max. 2Í"bodu)
1. Rozhodněte, který ze vztahů =,     c platí vždy pro množiny Ĺ, P, jestliže
je dáno:
L   =   P U B)-{B-A)}-(C-A),
p =  [Au (B n C)] n (A u B).
Jaké podmínky musí splňovat množiny A. B, C, aby platilo L — F? Situaci znázorněte množinovými diagramy.
2. V množine M = {1,2} je definována binární relace R2 — {[1,1], [2. 2]}.
Dokažte, že relace R? je relací ekvivalence na množině M a zapište výčtem prvků rozklad T množiny M, který ekvivalence R2 určuje. Rozhodněte a zdůvodněte, zdaje relace R2 uspořádání v množině M. Pokud ano, určte přestně jeho typ.
3. Jsou dány množiny A — {a, b,c, 1}, B — {1,2,c, 3}.
a) Zapište výčtem prvků jednu binární relaci Ri z množiny A do množiny B, která není zobrazením.
b) Určete přesně typ zobrazení R2 = {[c, 1]} z množiny A do množiny B a rozhodněte, zda je prosté.
c) Zapište výčtem prvků jedno vzájemně jednoznačné zobrazení R.ó množiny A na množinu B.
4. Zjistěte a zdůvodněte, které z vlastností K, EN, ZR má operace
o = {[x, y, z] e Q3 : z = 2x + y + 1}, tj. z = x o y = 2x + y + 1, kde Q je množina všech racionálních čísel.
5. Jsou dány množiny A — {x, y}, B — {a, x, z}. Určete |j4| + \B\ a \ A\ ■ \B\.
6. Dokažte, že pro každá tři celá čísla A, B, C platí:
(-C) • (B - A) - (A ■ C) + (-B) ■ C.
Využijte této reprezentace celvch čísel: A — [a. b], B = [c,d], C=[e.f].
7. Dokažte, že rovnice AX = B nemá řešení pro celá čísla A — [0.3J, B=[4,3].
8. Vysvětlete tyto pojmy:
a) binární relace R je v množině M antisymetrická,
b) relace zobrazení R z množiny A do množiny B.
c) množiny A, B jsou ekvivalentní,
d) operace o je v množině M asociativní,
e) komutativní pologrupa. (Aí, o).
f) operace * je distributivní vzhledem k operaci o,
g) ordinální číslo dobře uspořádané množiny [Mj.