Algebraické struktury s jednou operací
Uspořádaná dvojice (M, ○), kde M je neprázdná množina, ve které je
definována binární operace ○, se nazývá algebraická struktura
s jednou operací.
Příklad : Příklad algebraických struktur: (ℕ, +), (ℂ, -), (ℚ - {0}, :), (ℝ, ∙)
Definice:
I. Algebraická struktura (M, ○) se nazývá grupoid právě tehdy, když
operace ○ je neomezeně definovaná v množině M. (ND)
II. Grupoid (M, ○), jehož operace ○ je asociativní, se nazývá
pologrupa. (ND, A)
III. Pologrupa (M, ○) taková, že v M existuje neutrální prvek vzhledem
k operaci (M, ○) a ke každému prvku a ∈ M existuje prvek inverzní
ā ∈ M, se nazývá grupa (ND, A, EN, EI).
Jestliže v případech I., II., III. je operace ○ komutativní, pak hovoříme o
komutativním grupoidu, komutativní pologrupě, komutativní grupě.
Vlastnost operace ○ Algebraická struktura
ND Grupoid
ND K Komutativní grupoid
(M, ○) ND A Pologrupa
ND A K Komutativní pologrupa
ND A EN EI Grupa
ND A EN EI K Komutativní grupa
Příklady algebraických struktur s jednou operací
1. (ℕ, +) … komutativní pologrupa s neutrálním prvkem e = 0
2. (ℕ, -) … není ani grupoid
4. (ℕ, ∙) … komutativní pologrupa s neutrálním prvkem e = 1
5. (ℕ, : ) …není ani grupoid
6. (ℂ, +) … komutativní grupa
7. (ℂ, -) … grupoid s vlastností ZR
operace odčítání není K: a - x = b y - a = b , x = a – b y = b + a ,
a – b ∈ ℂ b + a ∈ ℂ, tj. obě rovnice jsou pro lib. a, b ∈ ℂ vždy řešitelné
8. (ℂ, ∙) … komutativní pologrupa
9. (ℂ, : ) …není ani grupoid
10. (ℚ, +), (ℝ, +) … komutativní grupy s neutrálním prvkem
11. (ℚ, -), (ℝ, -)… grupoid s vlasností ZR
12. (ℚ, ∙), (ℝ, ∙)… komutativní pologrupy
13. (ℚ, :), (ℝ, :)… není ani grupoid
14. (ℚ - {0}, ∙), (ℝ - {0}, ∙) … komutativní grupa
Důkazy v komutativní grupě:
𝑎 ∙ 𝑏̅̅̅̅̅̅ = 𝑎̅ ∙ 𝑏̅ , 𝑎̿ = a, a · c = b · c  a = b apod.