Binární operace v množině
Definice 1: Nechť M je libovolná neprázdná množina. Binární operací
○ v množině M rozumíme zobrazení z množiny kartézského součinu M
x M do množiny M.
 Jestliže v binární operaci je vzoru [x,y] M x M přiřazen obraz
z M, píšeme:
1. x ○ y = z; prvek z M se nazývá výsledek operace ○.
2. ○: M x M → M.
Poznámka 1. Zápisu [[x,y], z] ○, odpovídá zápis x ○ y = z
Příklad 1. a) Zápisu [[1,2], 3] +, odpovídá 1 + 2 = 3
b) Zápisu [[2,3], 6] ·, odpovídá 2 · 3 = 6
Poznámka 2. Označení binárních operací: +, ·, ○, ⁎, □,..
Příklady binárních operací ve školské matematice:
1) Sčítání (+), odčítání (-), násobení (·), dělení (:),
2) Sjednocení (), průnik ( ), rozdíl ( - ), symetrický rozdíl
( ) množin,… (pracujeme s nimi v systémech množin).
Určení operace: 1. Operační tabulkou
2. Funkčním předpisem
Vlastnosti binárních operací:
Označení:
 ℕ - {1, 2, 3, 4, …} - množina všech přirozených čísel
 ℕ0 - {0, 1, 2, 3, 4, …} - množina všech přirozených čísel s nulou
(množina všech nezáporných celých čísel)
 ℂ - {…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} - množina všech celých čísel
 ℚ - množina všech racionálních čísel (zlomky)
 ℝ - množina všech reálných čísel
Definice 2: Binární operace ○ v množině M, která má vlastnost, že je
definována pro každou uspořádanou dvojici [x,y] M x M, se nazývá
operace neomezeně definovaná v množině M. Značíme ND.
Symbolicky: (∀ x, y M)( ∃ z M)[ x ○ y = z].
Příklad 2:
 operace sčítání (+)…….v množině ℕ, ℂ, ℚ je ND
 operace odčítání (-)……v množině ℕ není ND
v množině ℂ, ℚ, ℝ je ND
 operace násobení (∙)….. v množině ℕ, ℂ, ℚ je ND
 operace dělení (:)……. v množině ℕ, ℂ, ℚ, ℝ není ND
v množině ℚ - {0}, ℝ - {0} je ND
-------------------------------------------------------------------------------------
Definice 3: Binární operace ○ definovaná na množině M (je ND), se
nazývá komutativní právě tehdy, když platí:
(∀ x, y M)[ x ○ y = y ○ x].
Značíme K.
Příklad 3:
 operace sčítání (+)…….na množině ℕ, ℂ, ℚ je K
 operace odčítání (-)……na množině ℂ, ℚ, ℝ není K
 operace násobení (∙)….. na množině ℕ, ℂ, ℚ je K
 operace dělení (:)…….. na množině ℚ - {0}, ℝ - {0} není K
Definice 4: Binární operace ○ definovaná na množině M, se nazývá
asociativní právě tehdy, když platí:
(∀ x, y, z M)[ (x ○ y) ○ z = x ○ (y ○ z)].
Značíme A.
Příklad 4:
 operace sčítání (+)…….na množině ℕ, ℂ, ℚ je A
 operace odčítání (-)……na množině ℂ, ℚ, ℝ není A
 operace násobení (∙)….. na množině ℕ, ℂ, ℚ je A
 operace dělení (:)…….. na množině ℚ - {0}, ℝ - {0} není A
Definice 5: Nechť v množině M je definována binární operace ○.
Existuje-li prvek e M, pro který platí:
(∀ x M)[ x ○ e = e ○ x = x].
Pak se prvek e M nazývá neutrálním prvkem množiny M vzhledem
k operaci ○.
Značíme EN.
Příklad 5:
 operace sčítání (+)…….na množině ℕ nemá vlastnost EN (tj.
neexistuje neutrální prvek v množině ℕ vzhledem ke sčítání)
 operace sčítání (+)…….na množině ℕ0, ℂ, ℚ má vlastnost EN (tj.
existuje neutrální prvek vzhledem ke sčítání e = 0, tj. x + 0 =
0 + x = x platí pro každé x M)
 operace odčítání (-)……v množině ℕ, ℂ, ℚ, ℝ nemá vlastnost EN
(tj. neexistuje neutrální prvek vzhledem k odčítání)
 operace násobení (∙)….. na množině ℕ, ℂ, ℚ má vlastnost EN (tj.
existuje neutrální prvek vzhledem k násobení e = 1, tj. x ∙ 1 =
1 ∙ x = x platí pro každé x M)
 operace dělení (:)……..v množině ℕ, ℂ, ℚ, ℝ nemá vlastnost EN
(tj. neexistuje neutrální prvek vzhledem k dělení)
Poznámka 3. Je-li operace ○ komutativní, pak v zápisu vlastnosti EN
lze vynechat jedna ze dvou stran rovnosti x ○ e nebo e ○ x.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Definice 6: Nechť v množině M je definována binární operace ○ a
nechť e je neutrální prvek množiny M vzhledem k operaci ○. Prvek ā
M nazýváme inverzním prvkem k prvku a M v operaci ○
v množině M právě tehdy, když platí:
ā ○ a = a ○ ā = e.
Jestliže (∀ a M)( ∃ ā M)[ ā ○ a = a ○ ā = e], řekneme, že ke
každému prvku množiny M existuje prvek inverzní vzhledem k
operaci ○. Značíme EI.
Příklad 6:
 operace sčítání (+)…….na množině ℕ0 nemá vlastnost EI
 operace sčítání (+)…….na množině ℂ, ℚ má vlastnost EI (tj.
existuje inverzní prvek ke každému prvku z dané množiny
vzhledem ke sčítání tak, aby platilo ā + a = a + ā = 0. Inverzní
prvek k prvku a vzhledem ke sčítání se nazývá prvek opačný a
značíme jej
ā = - a)
 operace odčítání (-)……v množině ℕ, ℂ, ℚ, ℝ nemá vlastnost EI
(neboť nemá vlastnost EN)
 operace násobení (∙)….. na množině ℕ, ℂ, ℚ nemá vlastnost EI
 operace násobení (∙)….. na množině ℚ - {0}, ℝ - {0} má vlastnost
EI (tj. existuje inverzní prvek ke každému prvku z dané
množiny vzhledem k násobení tak, aby platilo
ā ∙ a = a ∙ ā = 1. Inverzní prvek k prvku a vzhledem k násobení
se nazývá prvek převrácený a značíme jej ā =
𝟏
𝒂
= a-1
.
 operace dělení (:)……..v množině ℕ, ℂ, ℚ, ℝ nemá vlastnost EI
(neboť nemá vlastnost EN)
Poznámka 4. Je-li operace ○ komutativní, pak v zápisu vlastnosti EI lze
vynechat jedna ze dvou stran rovnosti ā ○ a = a ○ ā.
Definice 7: Nechť v množině M je definována binární operace ○.
Existuje-li prvek g M, pro který platí:
(∀ x M)[ x ○ g = g ○ x = g].
Pak se prvek g M nazývá agresivním prvkem množiny M vzhledem
k operaci ○.
Značíme AG.
Příklad 7:
 operace sčítání (+)…….na množině ℕ, ℂ, ℚ nemá vlastnost AG
(tj. neexistuje agresivní prvek vzhledem ke sčítání)
 operace násobení (∙)….. na množině ℕ0, ℂ, ℚ, ℝ má vlastnost AG
(tj. existuje agresivní prvek vzhledem k násobení g = 0: x ∙ 0
= 0 ∙ x = 0)
Poznámka 5. Je-li operace ○ komutativní, pak v zápisu vlastnosti AG
lze vynechat jedna ze dvou stran rovnosti x ○ g nebo g ○ x.
-------------------------------------------------------------------------------------
Definice 8: Říkáme, že binární operace ○ definovaná na množině M má
vlastnost řešitelnost základních rovnic právě tehdy, když platí:
(∀ a, b M) )( ∃ x, y M)[ a ○ x = b  y ○ a = b].
Značíme ZR.
Poznámka 5. Je-li operace ○ komutativní, pak v zápisu vlastnosti ZR
lze vynechat jedna z výrokových forem a ○ x = b nebo y ○ a = b.
Příklad 8:
 operace sčítání (+)…….na množině ℕ, nemá vlastnost ZR (tj.
rovnice a + x = b není pro všechny prvky množiny ℕ řešitelná)
 operace sčítání (+)…….na množině ℂ, ℚ, ℝ má vlastnost ZR (tj.
rovnice a + x = b je pro všechny prvky uvažovaných množin
řešitelná: x = b - a)
 operace násobení (∙)….. na množině ℕ, ℂ, ℚ, ℝ nemá vlastnost
ZR (tj. rovnice a ∙ x = b není pro všechny prvky uvažovaných
množin řešitelná)
 operace násobení (∙)….. na množině ℚ - {0}, ℝ - {0} má vlastnost
ZR (tj. rovnice a ∙ x = b je pro všechny prvky uvažovaných
množin řešitelná: x =
𝒃
𝒂
)