Sbírka úloh z ELEMENTÁRNÍ GEOMETRIE pro studium učitelství 1. stupně základní školy
Leni Lvovská Jakub Novák
Obsah
Úvod 4
1 Historický vývoj a axiomatická stavba geometrie 5
2 Polohové vlastnosti bodů, přímek a rovin 7
3 Konvexní a nekonvexní množiny, úhel 10
4 Trojúhelník, čtyřúhelník, mnohoúhelník, kružnice 12
5 Vzdálenosti, měření velikosti úhlů, obsahy 17
6 Konstrukce rovinných útvarů 21
7 Shodnosti v rovině 25
8 Konstrukční úlohy využívající shodnosti 31
9 Geometrie v prostoru 33 Řešení úloh 36 Seznam převzatých obrázků 61 Literatura 62
2
Přehled užitých symbolů
pojem
základní množina, prostor
body
přímky
roviny
úsečka AB
orientovaná úsečka AB polopřímka AB
opačná polopřímka k polopřímce AB přímka AB
polorovina ABC, resp. pM
opačná polorovina k polorovině ABC, resp. p M
rovina ABC
bod A leží v útvaru U
přímka a leží v rovině a
útvary U\ a U2
nemají žádný společný bod
mají společný jediný bod X
mají společný vícebodový útvar V útvary U\ a U2 jsou shodné velikost úsečky AB střed úsečky AB osa úsečky AB
grafický součet úseček AB a CD grafický rozdíl úseček AB a CD fc-násobek úsečky AB bod B leží mezi body A a, C trojúhelník ABC
kružnice k se středem v bodě S a poloměrem r
konvexní úhel AVC
nekonvexní úhel AVC
grafický součet úhlů AVB a CWD
grafický rozdíl úhlů AVB a CWD
fc-násobek úhlu AVB
velikost (ne)konvexního úhlu AVB
vzdálenost dvou útvarů U\ a U2
přímky p a. q jsou rovnoběžné
přímky p a. q jsou kolmé
osová souměrnost daná osou o
středová souměrnost daná středem S
otočení kolem bodu M o orientovaný úhel velikosti a
posunutí o orientovanou úsečku AB
zobrazení T zobrazí útvar U na U' složené zobrazení „T po Q"
symbol
Z
A,B,C,... a,b,c, .. . a,/3,7,... AB AĚ ^AB ^AB oAB
^ABC, ^pM ^ABC, ^pM o ABC* AeU a d a
ux n u2 = 0
u1nu2 = {x}, x e ux nu2 u1nu2 = v
Ui=U2 \AB\
Sab
oab
AB + CD AB-CD k- AB B/iAC AABC k(S, r) <AVC GíAVC
<AVB + <$.CWD
<AVB-<$.CWD
k-^AVB
\<AVB\, \&zAVB\
d(Wi,W2)
p II q
p J- q
0(0)
S{S) K(M, a)
t(ab)
3
Je užitečné mít na paměti, že geometrie je uměním správného vyvozování ze špatně nakreslených obrázků.
Henri Poincaré (1854-1912), úvod k článku Analysis situs
Úvod
Tato sbírka slouží jako zdroj úloh k procvičení látky probírané v základním dvousemestrálním kurzu geometrie pro Učitelství 1. stupně ZS na Pedagogické fakultě Masarykovy univerzity. Potřebná teorie je z větší části vyložena ve skriptech [1] (resp. jejich starší verzi [2]). K uvedeným skriptům byla vydána sbírka [3], kterou tato publikace aktualizuje a rozšiřuje. Doplněny byly úlohy v kapitolách 5, 7, 8 a 9 a také úlohy spojující látku se světem kolem nás. Při výběru doplňujících úloh jsme se inspirovali zejména sbírkami [4] a [5], resp. úlohami ve středoškolských učebnicích matematiky z nakladatelství Prométheus [6] a [7], kde lze také dostudovat teorii chybějící v již zmiňovaných skriptech [1].
V některých úlohách se pracuje s magnetickou stavebnicí Geomag. V případě, že ji nemáte, lze tyto úlohy demonstrovat např. pomocí špejlí a kuliček modelíny.
Sbírka obsahuje také řešení většiny úloh, které může pomoci při domácím samostudiu. Chybí pouze řešení úloh otevřených, úloh typu „udejte příklad" a také některých jednoduchých konstrukcí. Řešení úloh v historické první kapitole lze porovnat s informacemi ve specializovaných publikacích, např. [8]. U konstrukčních úloh šesté a osmé kapitoly je uveden pouze stručný návod k provedení konstrukce nebo klíčová myšlenka; podrobný rozbor, konstrukce a její popis je ponechán na čtenáři.
Věříme, že úlohy v této publikaci poslouží svému účelu a pomohou provést své řešitele netriviálním, ale krásným světem elementární geometrie.
Autoři
4
1   Historický vývoj a axiomatická stavba geometrie
Cvičení 1.1. Jakým způsobem se geometrie v dávné minulosti začínala vytvářet? (Formulujte odpověď v několika větách.)
Cvičení 1.2. Co víte o spise, který nese jméno Základy (Elementa) a jehož autorství se připisuje Euklidovi?
u       '■ ■
ELEMENTS
I EUCLID*
j nwjt f^fr Mtthad.
K       WitlKhc USES flf'cich
,  ¥R 0P0SIT10N
In ;ill the Partscf tlw
. j ;vl A T H E MAT 1C K S-
j J/ClanJc RrftRroisMJJIin D'OHlst ,i J.-jL-u. Ooiwwn ofKRENC H„ Corned ntiil
jHirWaitC5,aTL(l Eli?Effigie3of£$C JWI>> By /?«fc WiUixatty Philomath.
1 L C &J> OA'; Printed for J\btfip /rf.f,Glcbcn»al;cr, at the irt&jW and IhrfkUi in tlic ]}mttrty+ near
Obrázek 1: Úvodní strana Euklidových Základů ze 17. století
Cvičení 1.3. Jakou úlohu sehrál tzv. pátý Eukleidův postulát v historii matematiky? (Formulujte odpověď v několika větách.)
Cvičení 1.4. Cim se zabývá tzv. syntetická nebo též elementární geometrie? Jmenujte alespoň další dva podobory geometrie a stručně uveďte, čím se zabývají.
Cvičení 1.5. Přiřaďte ke jménům významných matematiků správně jejich charakteristiku spjatou s geometrií:
1. René Descartes (1596-1650),
2. Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855),
3. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866),
4. David Hilbert (1862-1943).
5
a) Německý matematik a fyzik. Zabýval se zejména geometrií, matematickou analýzou, teorií čísel, astronomií, elektrostatikou, geodézií a optikou. Silně ovlivnil většinu z těchto oborů vědění. Stál také u zrodu neeukleidovské geometrie.
b) Jeho spis La Geometrie bývá často považován za počátek analytické geometrie jako vědy.
c) Německý matematik, který ve svém díle Základy geometrie vybudoval disciplínu v současnosti nazývanou eukleidovská geometrie, vytvořil tzv. Systém axiomů eukleidovské geometrie.
d) Německý matematik, který zásadním způsobem přispěl k rozvoji matematické analýzy a diferenciální geometrie. Na jeho myšlenkách byla dále rozvinuta také algebraická geometrie či teorie komplexních ploch, které se staly základem diferenciální geometrie na varietách a topologie.
Cvičení 1.6. Vysvětlete, co je to axiomatický pojem (někdy také primitivní pojem) a uveďte příklad takového pojmu v syntetické geometrii.
Cvičení 1.7. Vysvětlete rozdíl mezi axiomem a matematickou větou. Uveďte příklad axiomu a matematické věty.
Cvičení 1.8. Zapište symbolicky následující tvrzení:
a) Každá rovina inciduje aspoň s jedním bodem.
b) Každá přímka inciduje alespoň se dvěma různými body.
c) Každé dva navzájem různé body incidují s jedinou přímkou.
d) Existuje aspoň jedna čtveřice bodů, která neinciduje s žádnou rovinou.
Cvičení 1.9. Zařaďte axiomy do správné kategorie dle Hilbertova systému: incidence (I), uspořádání (U), rovnobežnosti (R), spojitosti (S), shodnosti (Sh).
a) Je-li dána přímka a bod, který na této přímce neleží, existuje v rovině určené touto dvojicí jediná přímka, která prochází zadaným bodem a nemá se zadanou přímkou žádný společný bod.
b) Ze tří různých bodů na přímce leží nejvýše jeden mezi zbývajícími dvěma.
c) Každými dvěma různými body prochází jediná přímka.
d) Jestliže pro libovolné tři úsečky AB, CD a EF platí, že AB = CD a CD = EF, pak i AB ^ EF.
e) Na každé přímce leží alespoň dva různé body.
6
2   Polohové vlastnosti bodů, přímek a rovin
Cvičení 2.1. Vyšetřete všechny možné vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině. Polohy znázorněte náčrtkem a symbolicky je popište.
Cvičení 2.2. Které geometrické útvary mohou vzniknout jako průnik dvou polopřímek, které jsou částí téže přímky? Znázorněte náčrtkem a popište.
Cvičení 2.3. Narýsujte úsečku AB. Na přímce AB vyznačte bod C tak, aby bod A ležel mezi body C a B, dále bod D tak, aby B ležel mezi A a D, a bod P, který neleží na úsečce AB, ale leží na polopřímce AD.
Cvičení 2.4. Narýsujte úsečku KL. Zvolte bod D mezi body KL, vyznačte bod R tak, aby bod K ležel mezi body R a L, bod S tak, aby L ležel mezi K aS, a bod T tak, aby bod S ležel mezi body L, T. Nyní rozhodněte, který z výroků je pravdivý:
a) S E h-> K L b) ^RS H ^KL = K L
c) 4Í?D n ST = 0 d) R E o K L
Cvičení 2.5. Je dána přímka p a bod A, který na ní neleží. Zakreslete bod M, který náleží polorovině pA, bod P, který leží současně v obou polorovinách určených přímkou p, a bod N, který leží v opačné polorovině k polorovině pA.
Cvičení 2.6. Jsou dány tři různé body A, B, C.
a) Kolik úseček, polopřímek a přímek je určeno těmito body? Jak závisí tyto počty na poloze daných bodů?
b) Které bodové množiny mohou být průnikem dvou z těchto úseček (polopřímek, přímek)?
Znázorněte a proveďte diskuzi.
Cvičení 2.7. Nechť bod R leží mezi body P, Q. Vyberte z polopřímek PR, PQ, RP, RQ, QR, QP dvojice, které:
a) splývají, b) jsou opačné,
c) jedna je částí druhé, d) jejich průnikem je úsečka.
Cvičení 2.8. Určete, které útvary mohou vzniknout průnikem:
a) úsečky a poloroviny, b) polopřímky a poloroviny,
c) přímky a poloroviny, d) dvou polorovin.
Předpokládejte, že všechny útvary leží v jediné rovině. Všechny případy znázorněte obrázkem a popište.
7
Cvičení 2.9. Kolik různých přímek je určeno n body, které leží v jedné rovině a žádné tři neleží na jedné přímce?
Cvičení 2.10. V rovině je dáno n přímek, z nichž každé dvě se protínají a žádné tři neprocházejí týmž bodem. Kolik existuje průsečíků?
Cvičení 2.11. Uvnitř jedné poloroviny určené přímkou p zvolte body A, B a uvnitř poloroviny opačné zvolte body C, D tak, aby přímky AB a CD byly s přímkou p různoběžné. Na přímce AB zvolte bod M, na přímce CD zvolte bod N. Jak je nutno zvolit body M, N, aby úsečka MN obsahovala bod přímky pl
Cvičení 2.12. Sestrojte libovolné tři úsečky AB, CD a EF tak, aby platilo \AB\ > \CD\ > \EF\, a dále sestrojte libovolnou přímku p, která neprochází žádným z šesti zmíněných bodů. Přenášením úseček sestrojte na přímce p úsečku KL = CD + EF, úsečku M N = AB - CD a úsečku OP = 3 • EF.
Najděte způsob, jak přenést úsečky bez použití kružítka (např. pro druháky nebo třeťáky).
Cvičení 2.13. Sestrojte model kvádru ABCDEFGH (pomocí stavebnice GeoMag nebo pomocí špejlí a plastelíny, viz obrázek 2).
Obrázek 2: Model kvádru postavený ze stavebnice Geomag
a) Určete všechny přímky incidentní s hranami kvádru, které jsou s přímkou BC
i. rovnoběžné, ii. různoběžné, iii. mimoběžné.
b) Uveďte příklad trojice rovin, která tvoří svazek rovin, a zapište symbolicky průnik těchto tří rovin.
8
Cvičení 2.14. Sestrojte model pravidelného čtyřbokého jehlanu ABC DV (pomocí stavebnice GeoMag nebo pomocí špejlí a plastelíny, viz obrázek 3).
Obrázek 3: Model jehlanu postavený ze stavebnice Geomag
a) Určete všechny přímky určené body A, B, C, D, V, které jsou s přímkou BC
i. rovnoběžné, ii. různoběžné, iii. mimoběžné.
b) Uveďte příklad trojice rovin, která tvoří trs rovin, a zapište průnik těchto tří rovin.
9
3   Konvexní a nekonvexní množiny, úhel
Cvičení 3.1. Jak poznáme, kdy je geometrický útvar konvexní a kdy nekonvexní? Roztřiďte geometrické útvary na konvexní a nekonvexní: úsečka, přímka, polorovina, kružnice, trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, kruh s otvorem, krychle.
Cvičení 3.2. Narýsujte libovolné (nikoliv navzájem opačné) různé polo-přímky S C a SD. Jednou barvou vyznačte konvexní úhel CSD a druhou nekonvexní úhel CSD. Vyznačte bod E G <$CSD a bod F G s^CSD. Dokážete vyznačit bod H, který je bodem úhlu <$CSD i úhlu s^CSDl
Cvičení 3.3. Narýsujte <$ADB a vyznačte uvnitř něj bod H. Narýsujte ještě polopřímku DH. Zapište všechny takto vyznačené konvexní úhly.
Cvičení 3.4. Narýsujte tři polopřímky se společným počátkem S. Na každé z polopřímek vyznačte jeden z bodů A, B, C. Obloučky vyznačte všechny takto narýsované úhly a zapište je.
Cvičení 3.5. Uhloměrem narýsujte úhel ABC o velikosti 40° a úhel DEF o velikosti 160°. Sestrojte úhel <$ABC + <DEF, úhel 5-<ABC a úhel <DEF-<ABC.
Cvičení 3.6. S uhloměrem narýsujte úhel ABC o velikosti 210° a dále sestrojte libovolné body X, Y, Z takové, že neleží v jedné přímce. Přeneste úhel ABC k polopřímce XY tak, aby obě jeho ramena ležela v polorovině XYZ.
Cvičení 3.7. Načrtněte dva konvexní rovinné útvary takové, že jejich
a) sjednocení je množina konvexní,
b) sjednocení je množina nekonvexní,
c) průnik je množina konvexní,
d) průnik je množina nekonvexní.
Cvičení 3.8. Načrtněte dva nekonvexní rovinné útvary takové, že jejich
a) sjednocení je množina konvexní,
b) sjednocení je množina nekonvexní,
c) průnik je množina konvexní,
d) průnik je množina nekonvexní.
10
Cvičení 3.9. Načrtněte a rozhodněte, zda se jedná o konvexní bodovou množinu:
a) trojúhelník ABC bez svých vrcholů,
b) trojúhelník KLM bez jednoho vnitřního bodu jedné své strany,
c) sjednocení vnitřku libovolného trojúhelníka a dvou různých bodů jeho obvodu,
d) rozdíl konvexního úhlu AVB a jeho ramene V A,
e) rozdíl čtverce ABCD a sjednocení dvou jeho stran,
f) sjednocení vnitřku čtverce ABCD a dvou jeho stran,
g) kružnice,
h) kruh.
Cvičení 3.10. Vyšetřete, které geometrické útvary mohou vzniknout jako průnik dvojice konvexních úhlů (nikoliv úhly plné nebo nulové). Všechny případy znázorněte a popište.
Cvičení 3.11. Zvolte různoběžné přímky p, q, jejich průsečík označte V. Na přímce p zvolte bod P, na přímce q, bod Q. Každý ze čtyř konvexních úhlů určených různoběžkami p, q definujte pomocí průniků polorovin pQ, qP nebo polorovin k nim opačných. Zapište symbolickým zápisem.
Cvičení 3.12. Načrtněte pravidelný šestiúhelník ABCDEF se středem S a v náčrtku vyznačte dvojice úhlů:
a) styčných (nikoliv vedlejších),
b) vedlejších,
c) vrcholových,
d) souhlasných,
e) střídavých,
f) přilehlých.
11
4   Trojúhelník,    čtyřúhelník, mnohoúhelník, kružnice
Cvičení 4.1. Tangram je nejstarší známý hlavolam na světě, pochází ze staré Cíny. Je to čtverec rozdělený promyšleným způsobem na sedm částí, z nichž lze sestavovat různé geometrické obrazce, předměty, zvířata a lidské postavy. Vyrobte si svůj tangram ze čtverce tvrdého papíru podle přiložených obrázků:
Poté složte s využitím všech sedmi částí:
a) trojúhelník, b) rovnoběžník, c) lichoběžník.
Čínští matematici, kteří se ve 20. století tangramem zabývali, zjistili, že ze sedmi částí tangramu lze sestavit právě třináct konvexních mnohoúhelníků (viz článek [9]), a to 1 trojúhelník, 6 čtyřúhelníků, 2 pětiúhelníky a 4 šestiúhelníky. Pokud jste zvládli sestavit geometrické útvary a)-c), můžete zkusit najít zbylých deset.
Cvičení 4.2. Vyšetřete všechny geometrické útvary, které mohou vzniknout průnikem dvou trojúhelníků. Znázorněte je a popište.
Cvičení 4.3. Vymodelujte ze stavebnice Geomag a poté narýsujte:
a) rovnostranný trojúhelník,
b) rovnoramenný trojúhelník,
c) čtverec,
d) pravidelný pětiúhelník,
e) pravidelný šestiúhelník.
12
Cvičení 4.4. Na obrázku 4 je sedm různých čtyřúhelníků. Přiřaďte je k jejich názvům a poté k nim doplňte jejich vlastnosti (některé vlastnosti mohou patřit i k více než jednomu čtyřúhelníků):
čtverec, obdélník, kosočtverec, (obecný) rovnoběžník, nekonvexní čtyřúhel-ník, deltoid, lichoběžník.
a) Protější strany jsou vždy shodné.
b) Minimálně dva vnitřní úhly jsou vždy pravé.
c) Úhlopříčky se půlí.
d) Úhlopříčky jsou shodné.
e) Lze mu opsat kružnici.
f) Lze mu vepsat kružnici.
g) Právě jedna dvojice stran jsou rovnoběžné úsečky.
Obrázek 4: Čtyřúhelníky k úloze 4.4
Cvičení 4.5. Vymodelujte ze stavebnice Geomag následující zadání, a poté procvičte svoji představivost v rovině jejich řešením:
a) Přesuňte 3 shodné úsečky (tyčinky) tak, abyste vytvořili 2 velké a jeden malý trojúhelník.
13
b) Odstraňte 3 shodné úsečky (tyčinky) tak, abyste vytvořili 3 čtverce.
c) Odeberte jednu úsečku (tyčinku) tak, abyste získali 2 čtverce.
d) Přesuňte 4 shodné úsečky (tyčinky) tak, abyste vytvořili opět čtyři čtverce, ale takové, které nejsou všechny stejně velké.
Cvičení 4.6. Z obrázku ukažte, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku ABC je přímý úhel. Platí tvrzení pro libovolný trojúhelník? Proč?
14
Cvičení 4.7. Dokazte větu o těžnicích trojúhelníku:
Těžníce libovolného trojúhelníku se protínají v jednom bodě, zvaném těžiště trojúhelníku. Těžiště dělí každou těžnici na dvě úsečky, z nichž ta, která obsahuje vrchol trojúhelníka, je dvojnásobkem druhé.
Cvičení 4.8. Je-li v rovnoramenném trojúhelníku ABC úhel při základně AB roven trojnásobku úhlu při vrcholu C a rozdělí-li se úhel <$BAC při základně na tři shodné úhly (tak, že M, N jsou takové body strany BC, pro něž platí <$NAB = <$MAN = <$CAM), pak platí AB = AN = BM, AM = CM. Dokažte.
Cvičení 4.9. Přímka p protíná kružnici k(S, r) v bodech C a D. Zvolme bod A E p tak, že A leží vně kružnice k a platí AC < AD a \AC\ = r. Dokažte, že
<ASC= \<BSD,
ó
kde bod B je průsečík přímky AS s kružnicí k takový, že S leží mezi body A, B.
Cvičení 4.10. Uvnitř trojúhelníku ABC zvolte bod S. Dokažte, že součet úseček S A, SB, SC je větší než poloviční součet stran daného trojúhelníku, tj. že
SA + SB + SC > l-(AB + BC + CA).
Cvičení 4.11. Splývá-li těžnice trojúhelníka s jeho výškou, je tento trojúhelník rovnoramenný. Dokažte.
Cvičení 4.12. Přímka o je osou úsečky AB. Bod X je libovolný vnitřní bod poloroviny oA. Dokažte, že platí AX < BX.
Cvičení 4.13. Bod U je vnitřním bodem trojúhelníku ABC. Dokažte, že platí: \<AUB\ > \<ACB\, \<BUC\ > \<BAC\ a \<AUC\ > \<ABC\.
Cvičení 4.14. Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníka A\B\C\, jehož vrcholy jsou průsečíky os vnějších úhlů daného trojúhelníka ABC.
Cvičení 4.15. Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC a bod D, který je středem jeho základny AB. Bodem D jsou vedeny kolmice k ramenům AC, BC trojúhelníka ABC. Jejich paty jsou označeny M, N. Dokažte, že ADMC ^ ADNC.
Cvičení 4.16. Dokažte, že dva trojúhelníky jsou shodné, když se shodují ve dvou stranách a v těžnici k jedné z nich.
15
Cvičení 4.17. Nad stranami ostroúhlého trojúhelníku ABC jsou vně sestrojeny rovnostranné trojúhelníky ABH a ACK. Dokazte shodnost úseček CH a BK.
Cvičení 4.18. Je dán trojúhelník ABC. Jeho vrcholy jsou vedeny rovnoběžky s protilehlými stranami. Dokažte, že průsečíky těchto přímek určí trojúhelník, který je sjednocením čtyř trojúhelníků shodných s trojúhelníkem ABC.
Cvičení 4.19. Nej větší strana konvexního čtyřúhelníka ABC D je AB, nejmenší CD. Dokažte, že |<ABC\ < \<$.ADC\.
Cvičení 4.20. Na úhlopříčce AC čtverce ABC D je dán bod E tak, že AE = = AB. Kolmice na přímku AC vedená bodem E protíná stranu BC v bodě F. Dokažte, že BF = EF = EC.
Cvičení 4.21. Čtyřúhelník, jemuž lze opsat i vepsat kružnici, tj. čtyřúhelník, který je současně tětivový i tečnový dvojstředový. Dovedete určit alespoň jeden dvojstředový čtyřúhelník, který není čtvercem?
Cvičení 4.22. Určete hranici, vnitřek a vnějšek kruhu, kružnice, poloroviny, roviny
a) vzhledem k rovině, ve které leží;
b) vzhledem k prostoru, ve kterém leží.
Cvičení 4.23. Je přímka p uzavřeným, nebo otevřeným útvarem vzhledem k rovině, ve které leží?
16
5   Vzdálenosti, měření velikosti úhlů, obsahy
Cvičení 5.1. Bez náčrtku nebo rýsování určete průnik dvou zadaných objektů.
a) kružnice k(S, 6 cm) a přímka p, kde d(S,p) = 4 cm,
b) dvě kružnice k(S, 2 cm) a Z(Q, 4cm), kde \QS\ = 6 cm,
c) obdélník ABCD a přímka SC, kde S* je střed obdélníku,
d) dvě kružnice k(S, 1 cm) a Z(Q, 5 cm), kde \QS\ = 3 cm,
e) dvě kružnice k(S, 4 cm) a Z(Q, 3cm), kde Q E k.
Cvičení 5.2. Sestrojte čtverec, je-li dána jeho úhlopříčka AC. Vyberte tvrzení, která jsou nepravdivá:
a) Ve čtverci jsou všechny vnitřní úhly shodné.
b) Ve čtverci je právě jeden úhel pravý.
c) Dvě strany ve čtverci musí být vodorovné.
d) Ve čtverci musí být sousední strany na sebe kolmé.
e) Uhel mezi úhlopříčkou a přilehlou stranou čtverce má velikost 45°.
f) Úhlopříčky ve čtverci svírají úhel velikosti 60°.
Cvičení 5.3. Na obrázku je několik dobře známých dopravních značek. Zodpovězte následující otázky:
a) Které rovinné útvary můžeme ve značkách vidět? Zopakujte si konstrukce těchto útvarů.
b) Sestrojte pomocí pravítka a kružítka středy obou kružnic na první značce. Jaký je mezi těmito dvěma kružnicemi vztah?
c) Určete obsah trojúhelníka, který tvoří druhou značku, jestliže jeho strana má délku 900 mm.
d) První značka má průměr 700 mm. Strana trojúhelníka na druhé značce má délku 900 mm. Na kterou z těchto značek potřebujeme více plechu za předpokladu, že obě značky mají stejnou tloušťku?
17
Cvičení 5.4. Do kružnice k se středem S je vepsán pravidelný pětiúhelník ABCDE. Určete velikost vnitřních úhlů v trojúhelníku ABS. Této informace využijte a narýsujte s využitím úhloměru pravidelný pětiúhelník ABCDE, pro který platí \AB\ = 3 cm.
Cvičení 5.5. V trojúhelníku ABC je |<jBAC\ = a = 50°, \<ABC\ = (3 = = 60°, osa < ABC protíná stranu AC v bodě D. Seřaďte úsečky AB, BC, CD, AD, AC, BD podle velikosti.
Cvičení 5.6. Převeďte na stupně, minuty a vteřiny velikosti úhlů:
a) 28,5° b) 30,25° c) 58,625° d) 15,135°
Cvičení 5.7. Převeďte stupňovou míru na obloukovou:
a) 90° b) 360° c) 45° d) 135° e) 60° f) 1°
Cvičení 5.8. Převeďte obloukovou míru na stupňovou:
a) |rad      b) ^frad      c) ^rad      d) ^ rad      e) ^rad f
Cvičení 5.9. Kolik úhlů o velikostech lrad se vejde do plného úhlu?
Cvičení 5.10. Je dán kruh o poloměru 10 cm. Kolik centimetrů měří oblouk, kterému přísluší středový úhel velikosti 2°? A kolik centimetrů měří oblouk, kterému přísluší středový úhel velikosti 2 rad?
Cvičení 5.11. Znázorněte úsečkou vzdálenost útvarů:
a) úsečka AB a bod C b) přímka AB a bod C
B B + + A A + + + +
C C
c) polopřímka AB a bod C d) polopřímka BA a bod C
B B + +
A A + + + +
C C
18
e) přímky p a, q
f) přímky p a g
g) přímka p a trojúhelník ABC h) trojúhelníky ABC a KLM
A B A B
i) kružnice k(S,r) a kruh JC(S',r')     j) kružnice k(S,r) a kruh JC(S,r')
Cvičení 5.12. Leží-li bod X na ose daného konvexního úhlu AVB, pak má od jeho ramen stejné vzdálenosti. Dokažte.
Cvičení 5.13. Délky základen lichoběžníka jsou rovny 5 cm a 7 cm, jeho obsah je roven 36 cm2. Rozdělme lichoběžník jednou z úhlopříček na 2 trojúhelníky. Určete obsahy těchto trojúhelníků. Jak se změní výsledek, jestliže rozdělíme lichoběžník druhou z úhlopříček?
Cvičení 5.14. V lichoběžníku ABCD se základnou AB určete velikosti všech jeho vnitřních úhlů, platí-li \^DAB\ = 38° a |<BCD\ = 5 • |< ABC\.
Cvičení 5.15. Určete přibližnou délku rovníku naší domovské planety, předpokládáme-li, že je Země koulí o poloměru 6 378 km.
19
Cvičení 5.16. Určete obsahy čtyřúhelníků ve čtvercové síti o rozměru lj.
				u2									
													
													
											U-;		
													
													
Cvičení 5.17. Určete obsahy trojúhelníků ve čtvercové síti o rozměru lj.
Cvičení 5.18. Určete obsahy mnohoúhelníků ve čtvercové síti o rozměru 1 j.
Cvičení 5.19. Určete obsahy mnohoúhelníků ve čtvercové síti o rozměru 1 j.
20
6   Konstrukce rovinných útvarů
Cvičení 6.1. Jsou dány dvě soustředné kružnice ki(S,ri), k2(S,r2). Vyšetřete množinu středů všech kružnic, které se dotýkají kružnic ki, k2.
Cvičení 6.2. Vyšetřete množinu středů všech kružnic, které
a) mají daný poloměr r a procházejí dvěma různými body A,B;
b) mají daný poloměr r a dotýkají se dané přímky p;
c) se dotýkají dvou daných rovnoběžek a, 6;
d) se dotýkají dvou daných různoběžek a, 6;
e) se dotýkají dané přímky p v daném bodě A;
f) se dotýkají dané kružnice k v daném bodě A;
g) mají daný poloměr r a mají s danou kružnicí k(S,ri) vnější dotyk. Modelujte tyto úlohy v programu GeoGebra.
Cvičení 6.3. Je dána kružnice k(S,r) a na ní bod A. Vyšetřete množinu středů všech tětiv kružnice k, které procházejí bodem A. Modelujte úlohu v programu GeoGebra.
Cvičení 6.4. Je dána kružnice k(S,r) a bod N, který náleží vnější oblasti této kružnice. Vyšetřete množinu středů všech tětiv kružnice k, které leží na sečnách procházejících bodem N. Modelujte úlohu v programu GeoGebra.
Cvičení 6.5. Sestrojte pravidelný
a) osmiúhelník,
b) dvanáctiúhelník,
c) šestnáctiúhelník.
Modelujte úlohu v programu GeoGebra. Cvičení 6.6. Je dána úsečka AB.
a) Sestrojte množinu všech vrcholů V konvexního úhlu AVB, pro který platí I^AV-Bl = 40° (tzv. ekvigonálu úsečky AB).
b) Sestrojte množinu všech vrcholů V konvexního úhlu AVB, pro který platí |<jAVB\ = 160°.
c) Sestrojte AABC, je-li \AB\ = 6 cm, 7 = 60°, vc = 4cm.
21
Úmluva: V konstrukčních úlohách s trojúhelníkem ABC označujeme prvky trojúhelníka standardním způsobem, např. a označuje stranu proti vrcholu A, a je vnitřní úhel při vrcholu A, va je výška na stranu a, ta je těžnice procházející středem strany a. Poloměr kružnice opsané trojúhelníku označujeme r0, poloměr kružnice vepsané rv.
Cvičení 6.7. Sestrojte trojúhelník ABC, jsou-li dány tři nezávislé údaje:
a)	c =	6,5 cm, b	= 5 cm, tc = 4 cm
b)	a =	120°, c =	= 7 cm, tc = 6 cm
c)	a =	7 cm, va	= 4,5 cm, 6 = 5 cm
d)	a =	7 cm, a -	= 80°, vb = 5,5 cm
e)	b =	6 cm, va	= 4,5 cm, c = 5,5 cm
f)		= 2 cm, a	= 70°, vb = 7 cm
g)	b =	8 cm, 7 =	= 40°, vc = 4 cm
h)	Va =	= 4 cm, 7	= 65°, vb = 5 cm
i)	C =	8 cm, va	= 4 cm, Vb = 5 cm
j)	a =	6 cm, va	= 8 cm, Vb = 5 cm
k)	7 =	40°, Va =	= 3 cm, vc = 4,5 cm
1)	r o =	- 4 cm, tc	= 6 cm, vc = 5,5 cm
m)	a =	7 cm, b =	= 5 cm, tc = 4,5 cm
n)	a =	80°, f3 =	35°, rv = 2 cm
o)	a =	30°, f3 =	40°, rQ = 4,5 cm
P)	b =	5 cm, (3 =	= 45°, Vb = 4,5 cm
q)	a =	7 cm, (3 -	= 80°, rv = 1,5 cm
r)	c =	8 cm, ta --	= 6 cm, tb = 7,5 cm
s)	b =	6 cm, (3 =	= 60°, ta = 4 cm
t)	a =	6 cm, ta	= 5 cm, 4 = 4 cm
u)	a =	5 cm, va	= 5 cm, tb = 4,5 cm
v)	ta =	- 6 cm, tb	= 6,5 cm, tc = 7 cm
w)	ta =	- 6,5 cm, va = 4 cm, v^ = 2,5 cm	
22
Cvičení 6.8. Sestrojte trojúhelník ABC, jsou-li dány tři nezávislé údaje:
a) a + b = 14cm, 7 = 30°, va = 3 cm
b) a — b = 2 cm, 7 = 45°, c = 4,5 cm
c) a + b + c = 14,5 cm, a = 60°, (5 = 45°
d) a = 5,5 cm, 6 = 4 cm, a — (3 = 25°
e) a + b + c = 15 cm, a = 100°, vc = 3,5 cm
Cvičení 6.9. Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno: \AB\ = 5 cm, |<jL>AB| = 65° a |AC| = 7cm.
Cvičení 6.10. Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno: \AC\ = 4 cm, \BD\ = 8 cm a výška na stranu AB rovnoběžníku má velikost 3cm.
Cvičení 6.11. Sestrojte rovnoběžník PQRS, je-li zadáno \PR\ = 5 cm, \-šRPQ\ = 50° a vzdálenost rovnoběžných stran PQ a RS je rovna 4 cm.
Cvičení 6.12. Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dáno \AC\ = 9 cm a velikost úhlu DAB je 30°.
Cvičení 6.13. Sestrojte obdélník KLMN, je-li dáno \KL\ = 60 mm a velikost úhlu KSL je 120°, kde S je průsečík úhlopříček.
Cvičení 6.14. Sestrojte lichoběžník ABCD se základnami AB a C-D, jsou-li dány velikosti všech jeho stran: \AB\ = 7cm, \BC\ = 3cm, \CD\ = 3cm, \AD\ = 4,5 cm.
Cvičení 6.15. Sestrojte lichoběžník ABCD, kde AB || CD, je-li zadáno: \AC\ = 4cm, \BD\ = 10cm, \^DAB\ = 125° a |<jAE7£| = 75°, kde E je průsečík úhlopříček.
Cvičení 6.16. Sestrojte různoběžník ABCD, je-li dáno: \AB\ = 55 mm, \BC\ = 30 mm, \AC\ = 45 mm, \BD\ = 70 mm a velikost úhlu AEB je rovna 120°, kde E je průsečík úhlopříček.
Cvičení 6.17. Sestrojte kružnici k, je-li dána její tečna t s bodem dotyku T a další tečna q. Úlohu řešte pro rovnoběžné i různoběžné tečny.
Cvičení 6.18. Sestrojte kružnici k, která se dotýká dané kružnice m v daném bodě T a
a) má střed na dané přímce p,
b) prochází daným bodem M,
c) dotýká se dané přímky q.
23
Cvičení 6.19. Je dána kružnice k a mimo ni dva různé body K, L. Sestrojte kosočtverec KLMN tak, aby jeden jeho vrchol ležel na kružnici k.
Cvičení 6.20. Sestrojte kružnici, která prochází daným bodem A a dotýká se dané přímky t v bodě T.
Cvičení 6.21. Sestrojte kružnici, která má střed na dané kružnici m a dotýká se dvou daných
a) rovnoběžných přímek a, 6; b) různoběžných přímek c, d.
Cvičení 6.22. Sestrojte kružnici o poloměru r = 2 cm, která se vně dotýká dané kružnice m(0, 3 cm) a prochází daným bodem M, \SM\ = 6 cm.
Cvičení 6.23. Sestrojte kružnici, která se dotýká dvou soustředných kružnic ki, k2 a prochází bodem P, který je vnitřním bodem mezikruží určeného kružnicemi ki, k2.
Cvičení 6.24. Sestrojte síť křivek, podle které byl vytvořen prvek v kružbě gotického okna.
24
7   Shodnosti v rovině
Cvičení 7.1. Uvedené shodnosti v rovině rozdělte na shodnosti přímé a nepřímé: osová souměrnost, středová souměrnost, otočení, posunutí, posunutá osová souměrnost, identita.
Cvičení 7.2. Která z velkých tiskacích písmen abecedy A, B, C, D, E, F,
G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z lze zakreslit
tak, že jsou osově souměrná? Rozdělte písmena do skupin podle počtu os souměrnosti. Která z písmen lze zakreslit tak, aby byla středově souměrná?
Cvičení 7.3. Na obrázku je nakresleno šest rovinných útvarů:
a) Které z útvarů na obrázku níže jsou osově souměrné?
b) U osově souměrných útvarů určete všechny jejich osy souměrnosti.
c) Načrtněte rovinný útvar, který má právě čtyři osy souměrnosti.
d) Načrtněte rovinný útvar, který má nekonečně mnoho os souměrnosti.
Cvičení 7.4. Sestrojte obraz úsečky AB v osové souměrnosti s osou o, která:
a) protíná úsečku AB v bodě různém od bodů A a B,
b) protíná úsečku AB ve středu a je na ni kolmá,
c) je rovnoběžná s úsečkou AB,
d) protíná úsečku AB v bodě B a není kolmá k úsečce AB.
Cvičení 7.5. Ve středové souměrnosti určené bodem S sestrojte obraz úsečky AB, kde střed souměrnosti
a) neleží na přímce AB,
b) je totožný s bodem A,
c) leží na úsečce AB, S ^ A ^ B.
25
Cvičení 7.6. Sestrojte obraz kružnice k v osové souměrnosti s osou o, která:
a) prochází středem S kružnice k,
b) je vnější přímkou kružnice k,
c) je sečnou kružnice k, ale neprochází jejím středem.
Cvičení 7.7. Je dán obecný čtyřúhelník ABCD. Sestrojte čtyřúhel-ník A'B'CD' k němu osově souměrný tak, aby v této souměrnosti platilo A' = SBC.
Cvičení 7.8. Určete, které z následujících útvarů jsou osově nebo středově souměrné:
a)	úsečka,
b)	polopřímka,
c)	obdélník,
d)	kružnice,
e)	čtverec,
f)	kosočtverec,
g)	kosodélník,
h)	trojúhelník, jehož strany mají různou velikost
i)	rovnostranný trojúhelník,
j)	rovnoramenný trojúhelník.
U osově souměrných útvarů určete počet a polohu os souměrnosti, u středově souměrných střed souměrnosti.
Cvičení 7.9. Narýsujte úhel AVB o velikosti 45°. Sestrojte jeho obraz ve středové souměrnosti se středem
a) V, b) A, c) S £ < AVB.
Cvičení 7.10. Narýsujte libovolný trojúhelník ABC. Sestrojte trojúhelník A'B'C, který je obrazem trojúhelníku ABC ve středové souměrnosti:
a) se středem v bodě S, který je střed strany AC,
b) která zobrazí bod A na bod B.
Cvičení 7.11. Jsou dány dvě kolmé přímky kal. Sestrojte jejich obrazy ve středové souměrnosti se středem S, jestliže:
a) S je průsečík přímek kal,
b) S leží na přímce k, ale ne na přímce /.
Cvičení 7.12. V otočení určeném bodem S a orientovaným úhlem velikosti +45° sestrojte obraz úsečky AB, která prochází bodem S.
26
Cvičení 7.13. V otočení určeném bodem M a orientovaným úhlem velikosti +60° sestrojte obraz přímky p, která neprochází středem otáčení.
Cvičení 7.14. V otočení určeném bodem R a orientovaným úhlem velikosti —60° sestrojte obraz kružnice k(S,r), kde \RS\ < r.
Cvičení 7.15. Jsou dány dvě kolmé přímky a a b. Určete posunutí T, které zobrazí přímky a a b na přímky a' a b' tak, aby průsečíky přímek a, b, a' a b' byly vrcholy
a) čtverce, b) obdélníka.
Cvičení 7.16. Jsou dány tři různé body A, B, C, které neleží v přímce. V posunutí určeném orientovanou úsečkou AB sestrojte obraz:
a) úsečky AC, b) přímky BC, c) přímky AB.
Cvičení 7.17. Je dán čtverec ABCD, a = 5 cm. Označme S průsečík úhlopříček čtverce. Sestrojte kružnici k, která je určena bodem S a poloměrem 2 cm, a dále sestrojte bod X, který leží na polopřímce AS a pro který platí \AX\ = 8 cm. Obrazec otočte kolem bodu A o orientovaný úhel velikosti +45°.
Cvičení 7.18. Sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF a jeho obraz A'B'C'D'E'F' v posunutí určeném orientovanou úsečkou SD, kde S je střed souměrnosti šestiúhelníku ABCDEF. Jaký útvar vznikne sjednocením šestiúhelníku ABCDEF a šestiúhelníku A'B'C'D'E'F'?
Cvičení 7.19. Je dán rovnoramenný lichoběžník ABCD, \AB\ = 2\CD\, AB || CD, S je střed úsečky AB. Určete shodné zobrazení, které zobrazí:
Cvičení 7.20. Je dán pravidelný osmiúhelník ABCDEFGH. Určete shodné zobrazení, které zobrazí:
a) AASD na ABSC, c) ASCD na AD AS,
b) AASD na ASBC, d) ADCS na ADCS.
a) AADE na ABGF, c) AACD na ADEG,
b) AACD na AEGH, d) AACD na AGED.
27
Cvičení 7.21. Pravidelný pětiúhelník ABCDE zobrazte:
a) ve středové souměrnosti se středem D,
b) v osové souměrnosti s osou AC,
c) v posunutí určeném orientovanou úsečkou CE,
d) v otočení o orientovaný úhel velikosti —60° okolo bodu C.
Cvičení 7.22. Určete zobrazení, které zobrazí čtverec ABCD na čtverec A'B'C'D'. U každého zobrazení zapište i jeho určující prvky.
a) b)
D C = C D' D C = A' D'
A
B = B'
A'
A
B = B'
C
D
C = D'
C
d)
D
C = B'
A'
A B = A' B' A B = C D'
Cvičení 7.23. Doplňte korektně následující tvrzení:
a) Složením dvou posunutí je...........................................
b) Složením dvou středových souměrností je............................
c) Složením dvou otočení se stejným středem je.........................
d) Složením dvou osových souměrností se stejnou osou je................
e) Složením dvou osových souměrností s rovnoběžnými osami je.........
f) Složením dvou osových souměrností s různoběžnými osami je.........
Cvičení 7.24. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC a body S±, S2, S3 jsou po řadě středy jeho stran AB, BC, AC. Určete obraz trojúhelníka ABC v zobrazení J7 = Si o <S2 0 S3, kde Si, S2, S3 jsou středové souměrnosti se středy po řadě v bodech Si, S2, S3. Určete výsledné zobrazení J-'.
Cvičení 7.25. Čtverec ABCD zobrazte nejdříve v posunutí T(CĎ) a výsledný obraz A'B'C'D' potom v otočení 1Z se středem otáčení D o orientovaný úhel velikosti +90°. Určete výsledné složené zobrazení J7 = 1Z o T.
28
Cvičení 7.26. Kosočtverec ABC D, kde \^DAB\ = 60°, zobrazte nejdříve v osové souměrnosti O s osou DC a výsledný obraz A'B'C'D' potom v otočení 1Z se středem otáčení C o orientovaný úhel velikosti —60°. Určete výsledné složené zobrazení J7 = 1Z o O.
Cvičení 7.27. Sestrojte kosočtverec ABCD tak, aby \AB\ = \BD\ a rozdělte jej úhlopříčkou B D na dva shodné rovnostranné trojúhelníky. Určete všechna shodná zobrazení, která zobrazí jeden z těchto trojúhelníků na druhý (v libovolném pořadí vrcholů).
Cvičení 7.28. Na obou obrázcích klenby najděte všechny osy souměrnosti a vyznačte střed souměrnosti. Obarvěte obrázky tak, aby měly
a) 1 osu souměrnosti,      b) 2 osy,      c) 3 osy,      d) 4 osy souměrnosti.
Cvičení 7.29. Na obrázku je mandala známá jako Květ života.
a) Najděte všechny osy souměrnosti.
b) Vybarvěte mandalu tak, aby se počet os souměrnosti změnil na 2.
c) Lze vybarvit mandalu tak, aby byla středově souměrná, ale nebyla osově souměrná? Zdůvodněte.
29
Cvičení 7.30. Jsou následující dopravní značky osově nebo středově souměrné? Kolik mají případně os souměrnosti?
ov©
Cvičení 7.31. Dokažte, že jsou platná následující tvrzení o shodnostech:
a) Jestliže má shodné zobrazení dva různé samodružné body A a B, pak je každý bod na této přímce samodružný.
b) Jestliže má shodné zobrazení tři různé samodružné body, které neleží na jedné přímce, pak se jedná o identitu.
30
8   Konstrukční úlohy využívající shodnosti
Cvičení 8.1. Je dán bod S ležící uvnitř daného trojúhelníku ABC. Sestrojte příčku XY trojúhelníka ABC, která je bodem S půlena.
Cvičení 8.2. Sestrojte lichoběžník ABCD, jsou-li dány délky obou jeho základen a = 8 cm, c = 4 cm a obou jeho úhlopříček e = 6 cm, / = 8 cm.
Cvičení 8.3. Je dán čtverec ABCD o straně délky 5 cm a na jeho straně AB leží bod K tak, že \KA\ = 5 mm. Vepište čtverci rovnostranný trojúhelník KLM tak, aby L E BC, M E CD.
Cvičení 8.4. Je dána přímka a a bod A E a, dále je dána přímka s, kde s / a a A ^ s. Sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF se středem S E s a stranou AB C a.
Cvičení 8.5. Je dána kružnice k(S, 3 cm) a bod A tak, že \SA\ = 1,5 cm. Sestrojte všechny tětivy XY kružnice k, které mají délku 5,5 cm a které procházejí bodem A.
Cvičení 8.6. Je dána kružnice k(S, r) a bod A, který na této kružnici neleží. Určete množinu všech bodů X takových, že bod A je středem úsečky XY, kde Y leží na kružnici k.
Cvičení 8.7. Je dán čtverec ABCD, přímka p a bod S, který na přímce p neleží. Sestrojte úsečku XY tak, aby bod S byl jejím středem, bod X ležel na přímce p a bod Y náležel obvodu čtverce ABCD.
Cvičení 8.8. Jsou dány dvě různoběžné přímky a, b a úsečka MN. Sestrojte čtverec ABCD o straně AB tak, aby strana AB byla rovnoběžná s úsečkou MN, aby \AB\ = \MN\ a bod A ležel na přímce a, bod B ležel na přímce b.
Cvičení 8.9. Jsou dány dvě soustředné kružnice k(S, 2 cm), l(S, 3 cm) a bod A tak, že \SA\ = 2,3cm. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC, pro které platí B E k, C E l.
Cvičení 8.10. Je dána přímka p a dvě kružnice k, l v různých polorovinách určených přímkou p. Sestrojte úsečku XY kolmou k přímce p tak, aby bod X ležel na kružnici k, bod Y na kružnici / a přímka p procházela středem úsečky XY.
Cvičení 8.11. Jsou dány dvě různoběžné přímky a, b a bod A, který neleží na žádné z nich. Sestrojte čtverec ABCD tak, aby bod B ležel na přímce a, bod D ležel na přímce b.
31
Cvičení 8.12. Je dána přímka p a body A, B ve stejné polorovině určené přímkou p. Určete na přímce p bod X tak, aby vzdálenost \AX\ + \XB\ byla minimální.
Cvičení 8.13. Jsou dány dvě kružnice k, l, které se protínají ve dvou různých bodech. Veďte jedním z průsečíků kružnic takovou přímku, která vytíná na obou kružnicích shodné tětivy (uvažujte kružnice s různými poloměry)
Cvičení 8.14. Je dána přímka p a dvě nesoustředné kružnice k(S,4cm), 1(0, 2 cm), kde d(S,p) = 6 cm a d(0,p) = 3 cm. Sestrojte všechny přímky rovnoběžné s přímkou p, na nichž kružnice k, l vytínají stejně dlouhé tětivy.
Cvičení 8.15. Je daná přímka p, kružnice k a trojúhelník ABC. Sestrojte všechny úsečky XY tak, že X leží na kružnici k, Y na obvodu trojúhelníka ABC, úsečka XY je kolmá na p a střed úsečky XY leží na přímce p.
Cvičení 8.16. Jsou dány dvě kružnice k\ a k2, které se protínají ve dvou různých bodech Q a R. Sestrojte trojúhelník RST takový, že S G k\, T G k2 a úsečka RQ je těžnice tohoto trojúhelníku.
Cvičení 8.17. Je dána kružnice k(S,4cm) a úsečka XY délky 6cm. Sestrojte všechny tětivy AB kružnice k, které jsou shodné a rovnoběžné s úsečkou XY.
Cvičení 8.18. Jsou dány tři rovnoběžky a,b,c a bod C G c. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC, pro které platí A G a a B G b.
Cvičení 8.19. Jsou dány přímky a, b, o, kde a || o a a ^ b. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC, pro který platí A E a, B E b a jehož těžnice tc je částí přímky o.
Cvičení 8.20. Jsou dány dvě rovnoběžky a, b, které jsou od sebe vzdálené 4 cm, a bod M, který neleží ani na jedné z řečených přímek. Sestrojte všechny přímky, které prochází bodem M a které protínají přímky a a b v bodech A a B a platí \AB\ = 6 cm.
Cvičení 8.21. Jsou dány tři různé body M,N,S, které neleží v přímce. Sestrojte čtverec ABC D se středem S, kde bod M leží na přímce AB a bod N leží na přímce CD.
Cvičení 8.22. Jsou dány dvě soustředné kružnice ki(S, 4 cm) a k2(S, 3 cm) a bod A, kde \SA\ = 2 cm. Sestrojte všechny čtverce ABCD, pro které platí B G h a D G k2.
Cvičení 8.23. Je dána kružnice k(S, 3 cm) a bod M, kde \SM\ = 5 cm. Sestrojte rovnostranný trojúhelník, jehož vepsaná kružnice je kružnice k a kde bod M leží na přímce obsahující jednu stranu tohoto trojúhelníku.
32
9   Geometrie v prostoru
Cvičení 9.1. Načrtněte ve volném rovnoběžném promítání průmět krychle v pravém nadhledu, levém nadhledu, pravém podhledu a levém podhledu.
Cvičení 9.2. Sestrojte ve volném rovnoběžném promítání průmět
a) krychle ABCDEFGH s délkou hrany 5 cm,
b) pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV s délkou hrany podstavy 4 cm a výškou 6 cm,
c) pravidelného šestibokého jehlanu ABCDEFV s délkou hrany podstavy
3 cm a výškou 6 cm,
d) pravidelného trojbokého hranolu ABCDEF s délkou hrany podstavy
4 cm a výškou 6 cm,
e) pravidelného čtyřstěnu ABC D s délkou hrany podstavy 5 cm.
Cvičení 9.3. Proč se čtyřnohá stolička může viklat, ale trojnohá ne?
Cvičení 9.4. V krychli ABCDEFGH nalezněte všechny přímky, které procházejí bodem E a jiným vrcholem krychle a jsou s přímkou BC
a) rovnoběžné, b) různoběžné, c) mimoběžné.
Cvičení 9.5. Načrtněte průmět pravidelného pětibokého hranolu ABCDEA'B'C'D'E' a napište alespoň tři dvojice přímek incidentních s hranami hranolu, které jsou
a) rovnoběžné, b) různoběžné, c) mimoběžné.
Cvičení 9.6. V krychli ABCDEFGH označme K,L,M,N po řadě středy stěn ABCD, BCFG, EFGH, ADHE. Určete vzájemnou polohu
Cvičení 9.7. Načrtněte si pět průmětů krychle. V každém průmětu znázorněte jinou polohu tří různých rovin v prostoru. Zapište také symbolicky.
Cvičení 9.8. V krychli ABCDEFGH označme K,L,M,N po řadě středy hran EF, BF, FG a DH. Dokažte rovnoběžnost rovin
a) přímky K L a roviny CDH, c) přímky LM a roviny BCE,
b) přímky LN a roviny ABG, d) přímky K N a roviny EFG.
a) KLM a BEG,
b) ACN a ELG.
Cvičení 9.9. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou
a) SABFC, b) SAEBD, c) S
d) SCGAB, e) SAESCGB, f) S
33
Cvičení 9.10. Sestrojte řez krychle ABC D E FG H rovinou KLM, kde
a) K leží na opačné polopřímce k polopřímce EF, L E SabB a M = D;
b) K je vnitřní bod úsečky BSbd, C je vnitřní bod úsečky LD a M je vnitřní bod úsečky BF;
c) H je vnitřní bod úsečky KG, L je vnitřní bod stěny ADHE a F je vnitřní bod úsečky MG;
d) K = SAE, B E LF a M E GSGC.
Cvičení 9.11. Sestrojte řez pravidelného šestibokého hranolu ABC D E F A' B' C D' E' F' rovinou zadanou body B, D' a SAA>.
Cvičení 9.12. Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM, kde
a) K je střed hrany AB, L je střed hrany BC a M je střed hrany BV;
b) K je střed hrany DV, L E CV a platí \VL\ = 3 • \LC\ a M je střed hrany BC;
c) K je střed hrany AV, L E CV a platí \VL\ = 2 • \LC\ a M E BV a platí \VM\ =4 - \BM\.
Cvičení 9.13. Sestrojte řez pravidelného šestibokého jehlanu ABCDEFV rovinou BFK, kde K je střed hrany EV.
Cvičení 9.14. Sestrojte v průmětu krychle ABCDEFGH průsečnici rovin a) AFH a ACE;        b) ASBFG a FHSbc'i        c) SabCH a BESCG-
Cvičení 9.15. Sestrojte v průmětu pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV průsečnici rovin SAyKL a XYScv-, kde
Cvičení 9.16. Sestrojte v průmětu krychle ABCDEFGH průsečík přímky DF s rovinou ACH. Úlohu vyřešte dvakrát, pro každý případ volte různé roviny procházející přímkou DF.
Cvičení 9.17. Sestrojte v průmětu krychle ABCDEFGH průsečík přímky SAeSgh s rovinou AHSbf-
Cvičení 9.18. Sestrojte v průmětu pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV průsečík přímky KS^y s rovinou BCV, kde K je bod, který leží na polopřímce AB a platí \AK\ = | • \AB\.
• K E BV, \VK\ =4 - \KB
• X E AV, \XV\ = 3 • \XA\
• L E BC, \BL\
• Y E AB, \AY
2- \LC\, 2 • \YB\.
34
Cvičení 9.19. Sestrojte průnik přímky K L s krychlí ABCDEFGH, jestliže:
a) K leží na polopřímce BA a platí \KB\ = | • |AB|, L leží na polopřímce HG a platí \LH\ = § • \HG\;
b) Ä" leží na polopřímce C B a platí |-říC| = § • |-BC|, L leží na polopřímce
a platí \LE\ = § •
Cvičení 9.20. Sestrojte skutečnou velikost řezu krychle ABCDEFGH rovinou
a) CSabSbf, b) ScgSaeSgh, c) AHSfg-
Cvičení 9.21. Sestrojte sítě následujících těles:
a) krychle s hranou délky 3 cm,
b) kvádru s hranami délek 3 cm, 4 cm a 5 cm,
c) pravidelného trojbokého hranolu s podstavnou hranou délky 3 cm s výškou 5 cm,
d) pravidelného čtyřbokého jehlanu s podstavnou hranou délky 3 cm s výškou 5 cm,
e) rotačního válce s poloměrem 2 cm a výškou 5 cm,
f) rotačního kužele s poloměrem 2 cm a výškou 4 cm.
Cvičení 9.22. Zvolme v průmětu krychle ABCDEFGH s hranou délky 3cm bod K na hraně DH takový, že \KD\ = 3 • \KH\. Spojte body B a, K nejkratší možnou lomenou čárou, jejíž dílčí úsečky leží ve stěnách ABFE, EFGH a CDHG.
Cvičení 9.23. Kolik různých sítí krychle existuje? Za dvě různé sítě považujte ty, mezi kterými neexistuje shodnost.
Cvičení 9.24. Sítě kterých těles jsou na obrázku 5 znázorněny? Všechna tři tělesa patří do skupiny „pravidelných" těles - jaké označení se pro tuto skupinu běžně používá a která další tělesa do ní řadíme?
Obrázek 5: Sítě neznámých těles
35
Řešení úloh
1 Historický vývoj a axiomatická stavba geometrie
1.5 lb), 2a), 3d), 4c)
1.6 Axiomatický pojem je pojem bez definice, jeho chápání je intuitivní (např. bod).
1.7 Axiom je tvrzení, jehož platnost předpokládáme bez důkazu, platnost věty musíme dokázat.
1.8 a) Va G Z: BA G Z, A G a
b) Vp G Z: BA, B G Z, A ŕ B, (A G p) A (B G p)
c) y A, B G Z, A ^ B: Blp G Z, (A G p) A (5 G p)
d) 3A, S, C, D G Z: Va G Z, (A <£ a) V (B <£ a) V (C £ a) V (D £ a)
1.9 a) R, b) U, c) I, d) Sh, e) I
2 Polohové vlastnosti bodů, přímek a rovin
2.1 Pro tři přímky a, b, c v jedné rovině nastávají tyto možnosti:
a) všechny přímky jsou navzájem rovnoběžné anb=$Abnc=$AaDc=$
b) dvě přímky jsou rovnoběžné, třetí je s nimi různoběžná aDb = $ AaDc = {A} A B D c = {B}
c) všechny tři přímky se protínají v jediném bodě a D b D c = {X}
d) přímky jsou po dvou různoběžné a protínají se v navzájem různých bodech
a n b = {K} Abnc = {L}AaDc = {M}
2.2 Pro trojici různých bodů A, B, C ležících na jedné přímce, kde BfiAC, platí:
a) 1-4- BA n 1-4- BC = {-£>}, tj. průnikem je bod
b) i—> AB n i—> C-B = AC, tj. průnikem je úsečka
c) i—> Ai3 n i—> -BC = i—> BC, tj. průnikem je polopřímka
2.3 Na přímce AB jsou body v pořadí C, A, B, D, P, nebo C, A, B, P, D.
2.4 Na přímce K L jsou body v pořadí R, K, D, L, S, T. Pravdivé jsou výroky a) a d).
2.5 Bod P leží na přímce p, body M a N jsou v navzájem opačných polorovinách, kde A a M leží ve stejné polorovině.
2.6 a) Je potřeba rozlišit, zda tyto body leží ve stejné přímce, nebo nikoliv.
Pokud ano, jsou jimi určeny tři úsečky, šest polopřímek a jedna přímka. Pokud ne, jsou jimi určeny tři úsečky, dvanáct polopřímek a tři přímky, b) Jestliže body leží v jedné přímce, může být průnikem dvou ze tří možných úseček bod, nebo úsečka, a průnikem dvou ze šesti možných polopřímek, bod, úsečka, nebo polopřímka.
Jestliže body v jedné přímce neleží, může být průnikem dvou ze tří
36
možných úseček pouze bod. Totéž platí pro přímky. Průnikem dvou ze dvanácti možných polopřímek může být jako v minulém případě bod, úsečka, nebo polopřímka.
2.7 &) *-+PR = t-+PQ &t-+QR = t-+QP;
b) polopřímky RP a RQ;
c) h+RQ C i-+PQ, resp. ^ RQ c i-^PP, a ^ RP c ^QR, resp. ^RP c ^QP;
d) průnikem je úsečka PQ: polopřímky PQ a QP, PR a QP, PC; a C;P, PP a QP;
průnikem je úsečka PR: polopřímky PR a RP, PQ a RP; průnikem je úsečka QR: polopřímky QR a RQ, QP a RQ.
2.8 a) bod a úsečka;
b) bod, úsečka a polopřímka;
c) polopřímka a přímka;
d) přímka, rovinný pás, úhel, polorovina.
2.9 Pro jeden bod úloha nemá smysl. Načrtněme si danou situaci pro nějaký konečný počet bodů: pro dva body bude přímka jedna, pro tři budou právě tři přímky, čtyři body určí šest přímek, pět bodů deset přímek atd. Nyní tedy můžeme provést následující úvahu: v n-tém kroku z každého bodu vedeme přímku do (n — 1) bodů, ale tímto způsobem je započítána každá přímka dvakrát. Výsledek je tedy HÍIL-Q.
2.10 Obdobnou úvahou jako v předchozí úloze dostáváme opět výsledek HÍI1_L).
2.11 Body M a N musí ležet v opačných polorovinách určených přímkou p.
2.12 Místo kružítka lze použít přenášení např. pomocí proužku papíru nebo špejle.
2.13 a) i. rovnoběžné: o AD, oBF, oPTG;
ii. různoběžné: oAB, f>E6, o PC, f>CF;
iii. mimoběžné o EH, o FG, o AH, o DG.
b) Svazek rovin tvoří např. roviny o ABC, o ABE a o ABF: ^ABC n oABP n oABP = oAB.
2.14 a) i. rovnoběžné: oAD;
ii. různoběžné: oAB, fíW, oCV, oCD;
iii. mimoběžné o AV, o PV.
b) Trs rovin tvoří např. roviny o ABC, o ABV a o BCV: ^ABC n o ABV n oPCV = {P}.
3 Konvexní a nekonvexní množiny, úhel
3.1 V konvexním útvaru leží s každými dvěma jeho body i celá úsečka určená těmito body. V nekonvexním útvaru najdeme dvojici bodů určujících úsečku, která celá uvnitř útvaru neleží.
Konvexní: úsečka, přímka, polorovina, trojúhelník, krychle. Nekonvexní: kružnice, kruh s otvorem.
3.2 Bod B leží na některé z polopřímek SC nebo SD.
3.3 <jADP, <BDA, <$RDB.
37
3.4 <jASB, <$ASC, <$BSC, GzASB, ezASC, ($:BSC. 3.7 d) neexistuje.
3.9 a) ano; b) ne; c) pokud leží body na různých stranách, tak ano, jinak ne; d) ano; e) ano; f) pokud strany sousedí, tak ano, jinak ne; g) ne; h) ano. 3.10 Bod, úsečka, polopřímka, konvexní úhel, trojúhelník, konvexní čtyřúhelník, neomezené útvary podobné následujícím:
3.11 Viz obrázek níže.
3.12 Např.: a) <J ABS a <JCBS] b) <J ASC a < AST1; c) <J ASB a <JDSE; d) <$SAB &4DSC; e) <jSAB a < ASF; f) <í,SAS a <í,SSA.
4 Trojúhelník, čtyřúhelník, mnohoúhelník, kružnice
4.1 Všech 13 sestavitelných konvexních mnohoúhelníků lze vidět na obrázku níže:
4.2 Bod, úsečka, trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník.
4.4 Ux	nekonvexní čtyřúhelník
u2	čtverec, a), b), c), d), e), f)
	lichoběžník, g)
	obdélník, a), b), c), d), e)
u5	(obecný) rovnoběžník, a), c
u%	kosočtverec, a), c), f)
u7	deltoid, f)
38
4.6 Tvrzení plyne ze shodnosti dvojice střídavých úhlů. Platí pro libovolný trojúhelník, neboť libovolným vrcholem trojúhelníku lze vést rovnoběžku s protější stranou trojúhelníku.
4.7 Je dán trojúhelník ABC, úsečky ASbc, BSac a CSab Jsou jeho těžnice. V daném trojúhelníku uvažujeme těžnice ASbc a BSac, které se protínají v bodě T. Dokážeme, že bodem T prochází i třetí těžnice CSab-
Sestrojme přímku CT a na ní bod U tak, že bod T je střed úsečky CU, tj. CT = TU. V trojúhelníku AU C je úsečka SacT střední příčka, a proto SacT II AU. Protože body Sac, T, B leží na jedné přímce, jsou i úsečky BT a AU rovnoběžné. Analogicky v trojúhelníku BUC je úsečka SbcT střední příčka, a proto SbcT \\ BU, a tedy i AT \\ BU. Odtud plyne, že čtyřúhelník ATBU má každé dvě protější strany rovnoběžné, tj. je to rovnoběžník a jeho úhlopříčky AB a TU se půlí. Odtud plyne, že střed strany AB, bod C\, leží na přímce CT. Tím je dokázáno, že těžnice CSab prochází bodem T. Platí tedy, že těžnice trojúhelníku ABC se protínají v jednom bodě. Z vlastností středních příček SacT a SbcT trojúhelníků AU C a BUC a z vlastností rovnoběžníku AU BT dále plyne:
pro trojúhelník AUC: SAcT = \AU, AU 2á BT, tj. SAcT = \BT,
pro trojúhelník BUC: SBcT = \BU, BU ^ AT, tj. SBcT = \ AT.
Tím je dokázáno, že těžiště T dělí každou z těžnic ASbc, BSac na dvě části, z nichž ta, která obsahuje vrchol trojúhelníku je dvojnásobkem druhé. Opakováním stejných úvah pro jinou dvojici těžnic dokážeme uvedenou vlastnost i pro zbylou těžnici.
39
4.8 Označme velikost vnitřního úhlu při vrcholu C jako 7. Ze zadání vyplývá \<$CAB\ = |<iABC\ = 37 a dále \^CAM\ = \-$MAN\ = \$NAB\ = 7. Dále ze součtu vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC plyne, že přímý úhel má velikost 77.
Doplníme nyní velikosti zbývajících úhlů v trojúhelnících BAN, CAM a MAN: využijeme tvrzení o součtu vnitřních úhlů trojúhelníka (první dva trojúhelníky) a vedlejší úhly (poslední jmenovaný trojúhelník). Výsledné velikosti úhlů jsou patrné na obrázku níže.
A
Nyní si můžeme díky velikostem úhlů všimnout, že:
ACAM je rovnoramenný s rameny AM a CM, tedy AM = CM; AABN je rovnoramenný s rameny AB a AN, tedy AB = AN; AABM je rovnoramenný s rameny AB a BM, tedy AB = BM.
Tím je tvrzení dokázáno. 4.9 Označme |< ASCj = a. Z rovnoramennosti trojúhelníku ASC pak vyplývá, že i j^SACj = a. Protože je dále -^SCD vedlejší úhel k -^SCA, ze součtu vnitřních úhlů trojúhelníka SAC dostáváme, že \<$SCD\ = 2a. Konečně z rovnoramennosti trojúhelníka CSD plyne \<$CDS\ = 2a. Součtem konvexních úhlů ASC, CSD a DSB je přímý úhel. Díky součtu vnitřních úhlů v ACSD však musí platit |< ASCj + \-$.BSD\ = 4a, a proto \<$.BSD\ = 3a. Tím je tvrzení dokázáno.
4.10 Spojíme-li bod S třemi úsečkami s vrcholy trojúhelníka ABC, vzniknou tři další trojúhelníky, pro které z trojúhelníkové nerovnosti platí:
40
AS + BS > AB pro trojúhelník ABS, AS + CS > AC pro trojúhelník ACS, BS + CS > BC pro trojúhelník BCS.
Sečtením pravých a levých stran uvedených nerovností dostáváme: 2 • AS + 2 • BS + 2 • CS > AB + BC + AC,
z čehož plyne platnost dokazované nerovnosti.
4.11 Nechť v trojúhelníku ABC splývá těžnice tc s výškou vc. Označme patu kolmice P (viz obrázek 6 vlevo). Trojúhelníky APC a B PC jsou pak shodné dle věty sus, neboť u vrcholu P mají oba pravý úhel, P A = P B a stranu PC mají společnou. Odtud vyplývá shodnost stran AC a BC.
4.12 Označme průsečík přímky AX s přímkou o jako Y (viz obrázek 6 vpravo). Ze shodnosti trojúhelníků ASY a BSY (dle věty sus) vyplývá, že úsečky AY a BY jsou shodné. Protože AY = AX + XY, je úsečka BY také shodná se součtem AX + XY.
Uvažme nyní trojúhelníkovou nerovnost v ABXY ve tvaru BY < BX+XY. Díky shodnosti úseček z minulého odstavce platí AX + < BX + XY, a proto také AX < BX, což bylo třeba ukázat.
Obrázek 6: K řešení úloh 4.11 a 4.12
4.13 Dokážeme zde pouze první uvedenou nerovnost, neboť důkaz ostatních dvou je obdobný. Ze zadané polohy bodu U vyplývá, že |<jCAi3| > |<JČ7Ai3| a |<jC-BA| > \^UBA\. Z věty o součtu vnitřních úhlů v trojúhelnících AU B a ACB dále plyne rovnost
\<CAB\ + \^CBA\ + |< ACB\ = \^UAB\ + \$UBA\ + \<AUB\.
Zmenšíme-li první dva sčítance na levé straně nerovnosti dle vztahů řečených v předchozím odstavci, dostáváme nerovnost
\<UAB\ + \<UBA\ + |<ACB\ < \^UAB\ + \$UBA\ + \<AUB\,
z níž vyplývá dokazovaný vztah |< ACB\ < \-$.AUB\.
41
4.14 Odvodíme pouze velikost úhlu při vrcholu B±, protože velikosti úhlů u zbylých dvou vrcholů odvodíme podobně. Označme a, f3, 7 velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC u vrcholů A,B,C. Vedlejší úhel při vrcholu A má pak velikost /3 + 7, a protože je osou vedlejšího úhlu půlen, platí |<CAE?i| = ^(/3 + 7). Obdobně pak vedlejší úhel při vrcholu C rak pak velikost a + /3, a proto platí |<jAC-Bi| = ^(a + /3).
Díky tomu, že přímý úhel má velikost a + /3 + 7, a dále z věty o součtu vnitřních úhlů v AACB± vyjádříme velikost úhlu AB\C:
\{P + 7) + \{a + /3) + \<ABXC\ = a + (3 + 7
|«ABiC| = a + /3 + 7 -       + 7) " \{<* + /3) = ^a + ^7 = ^(a + 7)
4.15 Trojúhelníky DMC a DNC se shodují v pravém úhlu a ve straně CD (přeponě). Dále se shodují v úhlech při vrcholu C, neboť CD je v rovnoramenném trojúhelníku osou vnitřního úhlu při vrcholu C. Tím se shodují i ve zbývajícím třetím úhlu a dle věty usu je ADMC = ADNC.
4.16 Nechť pro dva trojúhelníky ABC a EFG platí AC = EF, AB ^ FG a DB = HG, kde Z) je střed strany AB a H je střed strany Si7.
Ze shodnosti stran AC a EF plyne i shodnost jejich polovin, tedy AABD = = AFGH podle věty sss. Odtud dostáváme shodnost úhlů <$ADB = FHG a shodné jsou proto také vedlejší úhly CDB a EHG. Tak jsou shodné trojúhelníky CBD a EGH dle věty sus.
Z poslední odvozené shodnosti vyplývá, že BC = GE, a tedy AABC = ^ AEGF podle věty sss.
42
G
4.17 Shodnost úseček vyplývá ze shodnosti trojúhelníků BAK a HAC dle věty sus: z rovnostrannosti platí AC = Alf a 13 A = HA, úhly při vrcholu A mají velikost tp + a, kde a je velikost vnitřního úhlu AABC při vrcholu A a </? je velikost vnitřního úhlu rovnostranného trojúhelníka.
4.18 Označme vrcholy nově vzniklého trojúhelníka D, E, F podobně jako na obrázku níže. Vzájemná shodnost čtyř menších trojúhelníků plyne z existence rovnoběžníků ACBD, ABC F a ABEC a toho, že rozdělením rovnoběžníku úhlopříčkou vzniknou dva navzájem shodné trojúhelníky (dle věty sss).
4.19 Při důkazu využijeme tvrzení, že naproti kratší straně trojúhelníka leží vždy menší vnitřní úhel a naopak proti delší straně leží vždy větší vnitřní úhel. Rozdělme čtyřúhelník ABCD úhlopříčkou BD na dva trojúhelníky ABD a CBD. Protože \AB\ > \AD\ (strana AB je dle zadání nej delší), platí
43
\<$ADB\ > \<ZABD\, a obdobně, protože \BC\ > \CD\ (strana CD je nej-kratší), platí \<$CDB\ > \<$CBD\. Sečtením obou nerovností dostáváme
|<ADB\ + \<iCDB\ > |<iABD\ + \<$CBD\,
a tedy |<J ADC| > |<JABC|.
4.20 To, že úsečka BF je shodná s úsečkou EF, plyne ze shodnosti AAEF s AABF dle věty Ssu (obojí jsou pravoúhlé trojúhelníky se stejnou přeponou a shodnou odvěsnou). Shodnost úseček EC a Si7 dále vyplývá z rovnora-mennosti trojúhelníka ECF, neboť ten je pravoúhlý a jeho další vnitřní úhel ECF je polovinou pravého. Proto je i vnitřní úhel EFC polovinou pravého úhlu.
4.21 Deltoid, kterého dělí delší z úhlopříček na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky.
4.22 a)
	kruh	kružnice	polorovina	rovina
hranice	kružnice	kružnice	přímka	—
vnitřek	ot. kruh	—	polorovina bez hr. přímky	rovina
vnějšek	rovina bez zkoumaného útvaru			
b)
	kruh	kružnice	polorovina	rovina
hranice	kruh	kružnice	polorovina	rovina
vnitřek	—			
vnějšek	prostor bez zkoumaného útvaru			
4.23 Přímka je v rovině útvarem uzavřeným.
44
5 Vzdálenosti, měření velikosti úhlů, obsahy
5.1 a) dvoubodová množina
b) jednobodová množina
c) úhlopříčka AC
d) prázdná množina
e) dvoubodová množina
5.2 Při konstrukci využijte toho, že se úhlopříčky čtverce půlí a jsou na sebe kolmé. Nepravdivá jsou tvrzení a), c) a f).
5.3 a) Kružnice, kruh, trojúhelník, pravidelný osmiúhelník, obdélník, čtverec.
b) Obě kružnice jsou soustředné (mají shodný střed). K nalezení středu zvolte tři libovolné různé body A, B, C na kružnici a nalezněte střed kružnice opsané A ABC.
c) S = 3507,4 cm2
d) Kruhová značka má obsah přibližně 3848,5 cm2, takže na ni spotřebujeme více materiálu.
5.4 |<jASB\ = 72°, |<jABS\ = \<BAS\ = 54°
5.5 \AB\ > \AC\ > \BC\ > \BD\ > \AD\ > \CD\. Využijte tvrzení, že naproti kratší straně trojúhelníka leží vždy menší úhel. K porovnání dvou nejkratších úseček použijte trojúhelník ADC, kde Ce^BAa \BC\ = \BC'\.
5.6 a) 28°30'; b) 30°15'; c) 58°37'30"; d) 15°8'6".
5.7 a) ^7rrad; b) 27rrad; c) |7rrad; d) |7rrad; e) |7rrad; f) ^7]-rad.
5.8 a) 30°; b) 270°; c) 150°; d) 300°; e) 330°; f) lrad = 57°17/45//.
5.9 Do plného úhlu se vejde šest celých úhlů o velikosti lrad.
5.10 Přibližně 0,345 cm, přesně 20 cm.
5.11 a) b)
45
A B A B
5.12 Spusťme kolmice z bodu X na ramena V A a VB a paty kolmic označme po řadě P a Q. Chceme dokázat, že PX = QX.
Pravoúhlé trojúhelníky PVX a QVX mají stejnou přeponu VX a rovněž jejich vnitřní úhly XVP a XVQ jsou shodné z definice osy úhlu. Pak ale musí být shodné i úhly VXP a VXQ, a proto jsou oba trojúhelníky shodné dle věty usu. Odtud plyne shodnost úseček PX a QX.
5.13 5*1 = 13,5 cm, 5*1 = 22,5 cm. Obsahy trojúhelníků se při volbě druhé úhlopříčky nezmění, protože základny i výška zůstává stejná.
5.14 \-$DAB\ = 38°, |<ABD\ = 30°, \^.BCD\ = 150°, \$CDA\ = 142°.
5.15 Přibližně 40 074 km.
5.16 = lj2; S(U2) = 2j2; S (U3) = 4j2; S (U4) = 4j2; S (U5) = 2j2; S (W6) = 2 j2; 5 (W7) = 8 j2; S (U8) = 2 j2.
5.17 = 3j2; 5(W2) = 2j2; 5(W3) = 6j2; S (pí4) = lj2; S (Ub) = lj2; S (W6) = lj2; 5 (W7) = 4,5 j2; 5 (^8) = 3,5 j2.
5.18 = 9j2; 5(W2) = 5j2; 5(W3) = 5j2; S (pí4) = 5j2; S (Ub) = 3j2; 5(W6) =3j2; S(U7) = 5j2.
5.19 = 17,5 j2; 5(W2) = Uj2; S (U3) = 14 j2.
46
6 Konstrukce rovinných útvarů
6.1 Množinou je kružnice k (S*, ri+r2),
6.2 a) prázdná množina pro r < jednobodová množina {Sab} Pro r =
= Hp^, dvoubodová množina pro r > Mp^;
b) dvojice různých přímek mi,iri2 rovnoběžných s přímkou p, pro které platí d(p, mi) = d(p, m<i) = r;
c) osa rovinného pásu vymezeného přímkami a, b;
d) osy všech konvexních úhlů sevřených přímkami a, b bez průsečíku obou přímek;
e) přímka k, kde k _L p a A £ k, bez bodu A;
f) přímka S A, kde S je střed kružnice k, bez bodů S a A;
g) kružnice k'(S, ri + r).
6.3 Množinou je kružnice se středem Sas a poloměrem | bez bodu A.
6.4 Označme 7\ a T2 body dotyku tečen kružnice k procházejících bodem N. Množinou je kratší kruhový oblouk se středem Sns a poloměrem |SiSjvs|, který je omezen body Ti a T2 (bez těchto bodů).
6.5 Vyjděte ze čtverce (případ a)), pravidelného šestiúhelníku (případ b)) a pravidelného osmiúhelníku (případ c)) vepsaného do kružnice. Nové vrcholy konstruovaných mnohoúhelníků jsou průniky os všech stran s kružnicí.
6.6 a)+b) využijte vlastností obvodových a středových úhlů; c) začněte konstrukcí strany AB, bod C je průnikem ekvigonály s vhodnou rovnoběžkou s přímkou AB.
6.7 Středy stran a,b,c budeme značit Sa, Sb, Sc, paty výšek va, Vf,, vc budeme značit Pa, Pb, Pc. Konstrukci začněte sestrojením
m
AACSC dle věty sss.
AACSc dle věty Ssu.
AACPa dle věty Ssu. Úloha má 2 řešení.
ABCPb dle věty Ssu.
AABPa nebo AACPa dle věty Ssu.
AABPb dle věty usu. Užitím poloměru rv sestrojte střed S kružnice vepsané a dále díky známé velikosti úhlu (3 = 2 • I^S-BAI bod C. AACPc dle věty Ssu. ABCPb nebo AACPa dle věty usu.
AABPb nebo AABPa dle věty Ssu. Pak užitím Thaletovy věty sestrojte druhý z řečených trojúhelníků. ABCPb dle věty Ssu.
AACPa dle věty usu. Pak užitím Thaletovy věty sestrojte AACPC. ACSCPC dle věty Ssu. Pak sestrojte střed S kružnice opsané (využijte toho, že \SC\ =rQa \<SSCPC\ = 90°).
AACD (nebo ABCD) dle věty sss, kde D je bod takový, že ADBC je rovnoběžník.
AASU a ABSU dle věty usu, kde S je střed kružnice vepsané a U je
47
bod dotyku kružnice se stranou AB. o) ASAC (nebo ASBC) dle věty sus, kde S je střed kružnice opsané a z vlastností středových a obvodových úhlů platí |< ASC\ = 2/3 (nebo \<BSC\ = 2a).
p) strany AC, bod B sestrojíme pomocí vhodné ekvigonály a rovnoběžky s úsečkou AC.
q) ABSU dle věty usu, kde S je střed kružnice vepsané a ř7 je bod dotyku kružnice se stranou BC. Pak sestrojte bod C a obdobně jako v f) zbylý vrchol A.
r) ATAB dle věty sss, kde T je těžiště trojúhelníku ABC (využijte známé
polohy těžiště na těžnicích). s) úsečky AD, kde D je bod takový, že ABDC je rovnoběžník. Pak
sestrojte bod C pomocí ekvigonály (z vlastností rovnoběžníku platí
\<SaCD\=(3).
t) ATBSa dle věty sss, kde T je těžiště trojúhelníku ABC.
u) strany BC. Pak sestrojte pomocí vhodné rovnoběžky bod D takový, že
ABCD je rovnoběžník, v) ATT'A dle věty sss, kde T je těžiště A ABC af £ 4 CT tak, aby
byl střed úsečky TT" bodem Se-w) AASaPa dle věty Ssu. Pak sestrojte bod U takový, že USa je střední
příčka v ACBPfr rovnoběžná se stranou BP^ (využijte Thaletovu větu).
6.8 Konstrukci začněte sestrojením
a) úsečky BC, kde C g ^ BC a \BC\ = a + b. Pak sestrojte vrchol A využitím vhodné rovnoběžky s přímkou BC' a známých velikostí vnitřních úhlů rovnoramenného trojúhelníku ACC.
b) AABU dle věty Ssu, kde U g BC tak, že \BU\ = a - b. Využijte rovnoramennosti trojúhelníku AUC.
c) AA'B'C dle věty usu, kde A' g -mAB, \AA'\ = b a B' g -m SA, 1-B.B'l = a. Využijte rovnoramennosti trojúhelníků AA'C a BB'C.
d) AADC dle věty sus, kde Ľ je bod takový, že ABDC je rovnoramenný lichoběžník se základnou AB.
e) AA'B'C, kde A' g <-hAB, |AA| = b a £' g <-iBA, = a. Využijte rovnoramennosti trojúhelníku A AC a vhodně zvolené rovnoběžky s přímkou A'B'.
6.9 Konstrukci začněte sestrojením trojúhelníku ABC podle věty Ssu (využijte vlastností přilehlých úhlů).
6.10 Konstrukci začněte sestrojením pravoúhlého trojúhelníku ACP (kde P je pata zadané výšky spuštěné z bodu C na stranu AB) podle věty Ssu.
6.11 Konstrukci začněte sestrojením pravoúhlého trojúhelníku PRT (kde T je pata výšky na stranu PQ spuštěné z bodu R).
6.12 Konstrukci začněte sestrojením trojúhelníku ACD podle věty usu (využijte vlastností kosočtverce).
48
6.13 Konstrukci začněte sestrojením rovnoramenného trojúhelníku KSL podle věty usu.
6.14 Konstrukci začněte sestrojením trojúhelníku KBC, kde K £ AB je bod, pro který platí KC || AD.
6.15 Konstrukci začněte sestrojením trojúhelníku KBD, kde K £ o AB je bod, pro který platí K D \\ AC.
6.16 Konstrukci začněte sestrojením trojúhelníku ABC dle věty sss.
6.17 Jestliže t || střed hledané kružnice je bod S ležící na ose rovinného pásu vymezeného přímkami t a q, pro který platí ST _L i.
Jestliže jsou tečny různoběžné, střed hledané kružnice je bod S ležící na ose úhlu sevřených přímkami t a q, pro který platí ST _L t. Takové úhly jsou dva, úloha má 2 řešení.
6.18 Označme střed zadané kružnice k jako O a střed hledané kružnice m jako S. Bod S je pak
a) průsečíkem přímek p a OT;
b) průsečíkem přímky OT a osy úsečky MT.
V případě c) sestrojte tečnu t kružnice k v bodě T, čímž převedete úlohu na 6.17.
6.19 Vrchol kosočtverce, který leží na kružnici k, je průsečíkem této kružnice s další kružnicí se středem v některém z bodů K, L a poloměrem Úloha může mít až 4 řešení.
6.20 Střed hledané kružnice je průsečíkem osy úsečky AT s přímkou q, pro kterou platí q _L t, T 6 q.
6.21 Střed hledané kružnice je
a) průsečíkem kružnice m s osou rovinného pásu vymezeného rovnoběžkami a, b (až dvě řešení);
b) průsečíkem kružnice m s osou úhlu sevřeného různoběžkami c, d (až čtyři řešení).
6.22 Střed hledané kružnice je průsečíkem kružnice Zi(0,5cm) a kružnice h(M, 2 cm). Pro zadanou polohu dostáváme dvě možná řešení.
6.23 Označíme-li střed obou kružnic S a poloměr větší kružnice k±, resp. menší kružnice k2, jako r±, resp. r2, je střed hledané kružnice průsečíkem kružnice l\ (S, ri+T2) a kružnice l2 (P, ri~T2), Dostáváme dvě možná řešení.
7 Shodnosti v rovině
7.1 Přímé shodnosti: středová souměrnost, otočení, posunutí, identita. Nepřímé shodnosti: osová souměrnost, posunutá osová souměrnost.
7.2 1 osa: A, B, C, D, E, K, L, M, Q, T, U, V, W;
2 osy: H, I; 3 osy: Y; 4 osy: X; nekonečně mnoho os: O;
středově souměrná písmena: H, I, N, O, S, X, Z.
49
7.3     a) Útvary U\, U2, U^.
b) IÁ\\ osy stran obdélníka;
IÁ2'- dvě navzájem kolmé přímky procházející společným vrcholem trojúhelníků a půlící úhly přilehlé tomuto vrcholu a úhly k nim vedlejší; U4: přímka procházející vrcholem šipky a středem protilehlé strany.
c) Např. čtverec.
d) Např. kruh.
7.7 Osa souměrnosti je osou úsečky ASbc-
7.8 a) dvě osy souměrnosti (přímka, na které úsečka leží, a osa úsečky), střed
souměrnosti (střed úsečky)
b) jedna osa souměrnosti (přímka, na které polopřímka leží)
c) dvě osy souměrnosti (osy stran obdélníka), střed souměrnosti (průsečík úhlopříček)
d) nekonečně mnoho os souměrnosti (přímka procházející středem kružnice), střed souměrnosti (střed kružnice)
50
e) čtyři osy souměrnosti (osy stran čtverce, přímky, na kterých leží úhlopříčky), střed souměrnosti (průsečík úhlopříček)
f) dvě osy souměrnosti (přímky, na kterých leží úhlopříčky), střed souměrnosti (průsečík úhlopříček)
g) střed souměrnosti (průsečík úhlopříček)
h) žádná osa ani střed
i) tři osy souměrnosti (osy stran trojúhelníka)
j) jedna osa souměrnosti (osa základny trojúhelníka)
7.9 a
7.10 a
7.11 a
7.12
7.15     a) T \XYj, kde X, Y jsou dva libovolné body takové, že přímka XY svírá s přímkou a úhel velikosti 45°. b) T {xY^, kde X, Y jsou dva libovolné body takové, že přímka XY svírá s přímkou a úhel velikosti jiné než 0°, 45° nebo 90°.
51
A = A' B C = B'
7.19 a) osová souměrnost O(oab)] b) posunutí T yAŠj] c) středová souměrnost
S(Ssd)] d) identita.
7.20 a) osová souměrnost (D(oab); b) středová souměrnost S (S), kde S je střed osmiúhelníku; c) neexistuje; d) osová souměrnost O(o DH).
7.22 a) osová souměrnost O(o BC)] b) otočení 1Z (B, —90°); c) posunutí T ;
d) středová souměrnost S(Sbc)-
7.23 a) posunutí nebo identita; b) posunutí nebo identita; c) otočení se stejným středem nebo středová souměrnost nebo identita; d) identita; e) posunutí; f) otočení.
52
7.24 Zobrazení -F je středová souměrnost se středem A.
7.25 Zobrazení T je rotace o orientovaný úhel velikosti —90° kolem středu O, kde O je bod takový, že orientované úsečky CD a SO (kde S je střed čtverce) jsou shodné.
7.26 Zobrazení T je osová souměrnost s osou CA', kde bod A' je obraz bodu A v osové souměrnosti ze zadání.
7.27 - osová souměrnost O (<^BD) : AABD ->• ACBD,
— středová souměrnost S (S b d) '■ AABD —> ACDB,
— otočení TZ (B, -60°) : AABD ADBC,
— otočení U (D, +60°) : AABD -> ABC D,
— složené zobrazení OoT': AABD —> ADCB, kde Oje osová souměrnost podle osy CD a T je posunutí o orientovanou úsečku AD,
— složené zobrazení OoT: AABD —> ABDC, kde Oje osová souměrnost podle osy BC a T je posunutí o orientovanou úsečku AB.
7.29 a) Os souměrnosti je šest (jsou to osy pravidelného šestiúhelníku, který
by byl vnitřku mandaly opsán), c) Lze.
7.30 Zákaz vjedu všech vozidel v obou směrech: středově souměrná, nekonečně mnoho os souměrnosti.
Dej přednost v jízdě: tři osy souměrnosti. Stůj, dej přednost v jízdě: bez os souměrnosti.
Zákaz vjedu všech vozidel: středově souměrná, dvě osy souměrnosti. Hlavní pozemní komunikace: středově souměrná, čtyři osy souměrnosti.
7.31 a) Nechť má nějaké shodné zobrazení dva různé samodružné body A a B
a zvolme libovolný bod C G o AB. Z definice shodného zobrazení platí pro jeho obraz C, že \ AC\ = \ AC'\ a \BC\ = \BC'\. Bod C tak musí ležet na kružnici k (A, \AC\), ale také na kružnici l (B, \BC\). Tyto dvě kružnice však mají pro A ^ B jediný společný bod, a to C. Proto C = C, jinými slovy, bod C je samodružný.
Protože jsme bod C volili na přímce AB libovolně až na body A a B, je každý takový bod samodružný. b) Nechť má nějaké shodné zobrazení tři různé samodružné body A, B, C, které neleží na jedné přímce. Zvolme libovolný další bod D. Obdobnou úvahou jako v předchozím bodu docházíme k tomu, že obraz D' tohoto bodu musí ležet na kružnicích k (A, \AD\), l (B, \BD\) a m (C, |CD|). Zaměřme se nejdříve na společné body kružnice kal. Jedním z těchto bodů je jistě D, zároveň však nemohou být díky podmínce A ^ B totožné, mají tedy jeden nebo dva společné body.
Pokud mají společný pouze bod D (což nastane, jestliže D G <-» AB), prochází tímto bodem i kružnice m a platí proto D' = D. Nechť mají kružnice k a l společné dva různé body. Aby i třetí kružnice m procházela oběma těmito body, musí její střed C nutně ležet na přímce AB, což ale není ze zadání možné. Proto je jediným společným
53
bodem všech tří kružnic jen bod D a opět tak platí D' = D.
Protože byl bod D zvolen libovolně, je samodružný kterýkoliv bod.
Uvažované shodné zobrazení je tak identita.
8 Konstrukční úlohy využívající shodnosti
8.1 Uvažte středovou souměrnost S(S), která zobrazí A ABC na AA'B'C. Bod X leží v průniku hranic obou trojúhelníků. V závislosti na poloze bodu S může mít úloha 1, 2 nebo 3 řešení (nepočítáno s opačným pojmenováním koncových bodů úsečky).
8.2 Uvažme obraz B'D' úhlopříčky BD v posunutí o orientovanou úsečku DC a konstrukci začněte trojúhelníkem AB'D' dle věty sss.
8.3 Uvažte otočení 1Z(K, +60°), které zobrazí stranu BC na úsečku B'C. Bod M leží v průniku B'C a CD.
8.4 Uvažte otočení 1Z(A, ±60°), která zobrazí přímku a na přímku a'. Bod S leží v průniku přímek a' a s. Úloha má v závislosti na poloze přímky s jedno nebo dvě řešení.
8.5 Uvažte libovolnou tětivu X'Y' kružnice k, která má požadovanou délku, na které leží bod A', kde \SA\ = \SA'\. Pak otočte tětivu X'Y' kolem bodu S o orientovaný úhel A'S A. Úloha má dvě řešení.
8.6 Hledanou množinou je obraz kružnice k ve středové souměrnosti se středem A.
8.7 Uvažte středovou souměrnost S(S), která zobrazí přímku p na přímku p'. Bod Y leží v průniku přímky p' a hranice čtverce ABCD. Úloha má v závislosti na poloze prvků 0, 1, nebo 2 řešení.
8.8 Uvažte posunutí T (^MN^j, které zobrazí přímku a na přímku a'. Bod B leží
v průniku přímek a' a b. Úloha má 2 řešení (uvažte také posunutí o opačnou orientovanou úsečku).
8.9 Uvažte otočení 1Z(A, ±60°), která zobrazí kružnici k na k'. Bod C leží v průniku kružnic k! a l. Úloha má čtyři řešení.
8.10 Uvažte osovou souměrnost 0(p), které zobrazí kružnici k na k'. Bod Y leží v průniku kružnic k! a l. Úloha má v závislosti na poloze prvků 0, 1, nebo 2 řešení.
8.11 Uvažte otočení 1Z(A, ±90°), která zobrazí přímku a na přímku a'. Bod D leží v průniku přímek a' a b. Úloha má dvě řešení.
8.12 Uvažte osovou souměrnost 0(p), které zobrazí bod B na B'. Bod X je průsečík přímky p s úsečkou AB'. To, že je takto vzdálenost minimální, plyne z rovnosti \AX\ + \XB\ = \AX\ + |-X".B'| a z trojúhelníkové nerovnosti.
8.13 Označíme-li průsečíky obou kružnic X a Y, uvažte středovou souměrnost S(X), která zobrazí kružnici k na k'. Průsečík kružnic k' a l různý od bodu X je druhým bodem hledané přímky. Dalším řešením je přímka XY.
8.14 Označíme-li paty kolmic spuštěných z bodů S a O na přímku p jako P$ a Po, uvažte posunutí T (^PsPo^ji která zobrazí kružnici k na k'. Průsečíky kružnic k' a l určují hledanou přímku.
54
8.15 Uvažte osovou souměrnost 0(p), která zobrazí kružnici k na k'. Bod Y leží v průniku kružnice k' s hranicí trojúhelníku ABC. Úloha má v závislosti na poloze prvků až šest řešení.
8.16 Uvažte středovou souměrnost S(Q), která zobrazí kružnici k\ na k[. Bod T leží v průniku kružnic k[ a k2.
8.17 Uvažte posunutí T které zobrazí kružnici k na k'. Bod B leží v průniku kružnic k' a k. Úloha má dvě řešení.
8.18 Uvažte otočení 1Z(C, ±90°), která zobrazí přímku a na přímku a'. Bod B leží v průniku přímek a' a b. Úloha má dvě řešení.
8.19 Uvažte osovou souměrnost O (o), která zobrazí přímku a na a'. Bod B je pak průsečíkem přímek a' a b.
8.20 Uvažte libovolnou úsečku A'B' délky 6 cm, kde A' E a a B' E b, a na ní bod M' takový, že o MM' || a. Pak posuňte úsečku A'B' o orientovanou úsečku M'M. Úloha má dvě řešení.
8.21 Zobrazte bod M ve středové souměrnosti se středem S na bod M'. Hledaná strana čtverce CD pak leží na přímce M'N.
8.22 Uvažte otočení 1Z(A, ±90°), která zobrazí kružnici k\ na k[. Bod D je pak průsečíkem kružnic k[ a k2. Úloha má čtyři řešení.
8.23 Uvažte libovolný rovnostranný trojúhelník ABC, jehož vepsaná kružnice je kružnice k. Na některé z přímek určených jeho stranami zvolte bod M' tak, aby platilo jM'^ = 5 cm. Pak otočte trojúhelník ABC kolem bodu S o orientovaný úhel M'SM. Úloha má dvě řešení.
9 Geometrie v prostoru
9.1
pravý nadhled levý nadhled pravý podhled levý podhled
9.3 Konce tří noh stoličky vždy leží v rovině podlahy, neboť je geometricky tato rovina určena trojicí bodů na těchto koncích. V případě čtyřnohé stoličky však musí mít zbývající noha přesnou délku, aby bod na jejím konci ležel v rovině zadané konci tří ostatních noh.
9.4 a) o EH; b) oEB, ofiC; c) o E A, ^ED, ^EF, ^EG.
9.6 a), c) rovnoběžné; b) rovnoběžné (přímka v rovině leží); d) různoběžné.
9.7 a) Přímka KM je rovnoběžná s přímkou EG, neboť KM je střední příčka
v AEFG. Proto je o KM \\ o EBG dle kritéria rovnobežnosti přímky a roviny. Z trojúhelníku EBF zase užitím vlastností středních příček dostáváme, že ^KL \\ ^EB, a proto ^KL \\ ^EBG. Z kritéria rovnobežnosti dvou rovin tak vyplývá dokazovaná poloha.
55
b) Přímka AC je rovnoběžná s přímkou EG, neboť čtyřúhelník ACGE je obdélník. Proto je o AC || o ELG dle kritéria rovnobežnosti přímky a roviny. Dále, protože || o SaeH (neboť jsou středově sou-
měrné podle středu čtverce ADHE) a o SaeH || o CG (neboť jsou to protilehlé strany obdélníku), jsou rovnoběžné i přímky A./V a CG. Platí proto II ^ ELG a z kritéria rovnobežnosti dvou rovin vy-
plývá dokazovaná poloha.
a || 7 a $ P   alt7 a lt ŕ*   ajtl a lt      a lt 7
"Učili "lt/? /3#7 /3#7 /? lt 7
7Jt/3 an/3n7 = 0      a n /3 n 7 = {P} an/3ri7 = p
56
57
58
9.20     a) Sestrojte   rovnoramenný   trojúhelník   CSabSbf,   jehož základna
SabSbf Je ve standardním průmětu krychle ve skutečné velikosti a skutečná velikost ramene je např. velikostí úsečky ASbf-
b) Sestrojte pravidelný šestiúhelník, jehož skutečná velikost strany je např. velikostí úsečky SaeSab-
c) Sestrojte nejprve ve skutečné velikosti rovnoramenný trojúhelník AHX, kde X je průsečík přímek HSfg a ASbf (skutečná velikost ramene je dvojnásobkem velikosti úsečky ASbf)- Výsledný lichoběžník dostaneme z tohoto trojúhelníku sestrojením střední příčky rovnoběžné se základnou.
9.22 K řešení využijeme síť krychle, ve které se hledaná lomená čára zobrazí jako úsečka spojující body K a B (viz obrázek 7). Tato úsečka protíná hrany G H a EF v bodech X a Y, které následně přeneseme do průmětu - využijeme přitom skutečnosti, že vzdálenosti na hranách GH a EF se promítají ve skutečné velikosti, a tak můžeme přímo přenést např. úsečky GX a EY.
9.23 Existuje celkem 11 sítí krychle (viz obrázek 8).
9.24 Na obrázku 5 jsou sítě pravidelného čtyřstěnu, osmistěnu a dvanáctistěnu. Tato tři tělesa řadíme do skupiny tzv. platónských těles (viz obrázek 9), kam ještě zařazujeme krychli a pravidelný dvacetistěn.
59
60
Seznam převzatých obrázků
• obrázek 1: Smithsonian Libraries. The Elements of Euclid. Dostupné online na https://library.si.edu/sites/default/files/media/ adoptable_books/adopt-euclidl685-2.jpg. Cit. 14.6.2023.
• dopravní značky, cvičení 5.3 a 7.30: Dostupné online na https://www. bezpecnecesty.cz/cz/autoskola/dopravni-znacky. Cit. 5.9.2023.
• gotická kružba, cvičení 6.24: LEMeZza. Dostupné online na https: //commons.wikimedia.org/wiki/File:Reuleaux_triangles_on_a_ window_of_Onze-Lieve-Vrouwekerk,_Bruges_2.jpg.
Cit. 15.7.2023.
61
Literatura
[1] FRANCOVÁ, Marta, LVOVSKÁ, Leni. Texty k základům elementární geometrie pro studium učitelství 1. stupně základní školy. Masarykova univerzita, Brno, 2014.
[2] FRANCOVÁ, Marta, MATOUŠKOVÁ, Květoslava, VAŇUROVÁ, Milena. Texty k základům elementární geometrie pro studium učitelství 1. stupně základní školy. UJEP, Brno, 1985.
[3] FRANCOVÁ, Marta, MATOUŠKOVÁ, Květoslava, VAŇUROVÁ, Milena. Sbírka úloh z elementární geometrie. Masarykova univerzita, Brno, 1996.
[4] HRUBÝ Dag, CHODOROVÁ Marie. Sbírka úloh STEREOMETRIE. Cit. 8.8.2023. Dostupné online na https://kag.upol.cz/data/ upload/17/sbirka_uloh_stereometrie_140916(l).pdf.
[5] MORAVCOVÁ Vlasta, HROMADOVÁ Jana. Sbírka úloh k základům planimetrie pro učitelské studium. MatfyzPress, Praha, 2023.
[6] POMYKALOVÁ Eva. Matematika pro gymnázia. Planimetrie. Prometheus, Praha, 2008. 5. vydání.
[7] POMYKALOVÁ Eva. Matematika pro gymnázia. Stereometrie. Prometheus, Praha, 2008. 4. vydání.
[8] VOPENKA, Petr. Rozpravy s geometrií. Academia, Praha, 1989.
[9] FU TRAING Wang, CHUAN-CHIH Hsiung. A Theorem on the Tan-gram. The American Mathematical Monthly, 49 (9): str. 596-599. DOI: 10.1080/00029890.1942.11991289
[10] POINCARE Henri. Analysis situs. Journal de ľEcole Polytechnique 1 (1895): str. 1-121.
62