Metody řešení matematických úloh 1 IMAp08 – podzimní semestr 2023 1. setkání Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D. Téma: INDUKTIVNÍ A DEDUKTIVNÍ METODY PŘI ŘEŠENÍ MATEMATICKÝCH ÚLOH Dedukce •logické vyvození, •způsob logického myšlení postupujícího od obecného pravidla k jednotlivým případům, •typ úsudku, při němž se z předpokladů použitím určitých pravidel dospívá k novému tvrzení, tzv. závěru, důsledku, •je přechodem od obecného ke zvláštnímu. Deduktivní metoda •způsob výstavby vědecké teorie založený pouze na dedukci. •uplatňuje se zpravidla v těch případech, kdy byl nahromaděn a teoreticky vyložen empirický materiál, který chceme uvést v systém, abychom mohli odvodit všechny důsledky plynoucí z přijatých předpokladů, •takto vybudovaná vědecká teorie je vědecká deduktivní soustava. • Deduktivní metoda •Užitím dedukce v matematice se vytvořila tzv. axiomatická metoda, která pomáhá budovat matematickou disciplínu (axiomaticky) Axiomy •Věty obsahující základní pojmy a jejich vztahy •Základní pojmy nedefinujeme •Definujeme nové pojmy •Odvozujeme další platné věty Deduktivní metoda Využití deduktivních závěrů: •Při důkazech matematických vět (důkazové techniky = implikace) •Při řešení matematických úloh (řetězením deduktivních závěrů dojdeme k řešení) Matematická věta tvaru implikace A(x) ⟹ B(x) předpoklad tvrzení • •Přímý důkaz: A(x) ⟹ A1(x) ⟹ A2(x) ⟹ … ⟹ B(x) •Nepřímý důkaz: ⏋B(x) ⟹ ⏋A(x) (Věta obměněná k větě A(x) ⟹ B(x)) • •Věta obměněná je ekvivalentní s původní větou, tj. A(x) ⟹ B(x) ∼ ⏋B(x) ⟹ ⏋A(x) • • • Příklad 1: Dokažte, že pro každá dvě lichá přirozená čísla platí, že jejich součin je liché číslo. • Důkaz matematické věty Indukce •Jeden z typů úsudků a metoda zkoumání, kdy se na základě pozorování jednotlivých případů vyvozují všeobecné závěry. •Jedná se o postup od zvláštního k obecnému. Indukce jednotlivé případy obecné pravidlo Dedukce obecné pravidlo jednotlivé případy Indukce a dedukce •uplatňování indukce a dedukce souvisí s pozorováním, zkoumáním zákonitostí, zobecňováním. •různé pokusy vést ostrou hranici mezi deduktivní metodou a induktivní se nezdařily, neboť obě metody jsou ve skutečnosti vnitřně spjaty. • V následujících příkladech vycházejte vždy z induktivních postupů, tj. ověřujte platnost uvedených pravidel pro několik přirozených čísel. Všímejte si zákonitostí a snažte se formulovat příslušné matematické věty. Věty pak dokažte. Příklad 2: Sčítání přirozených čísel – sčítejte postupně přirozená čísla a sledujte, jak se dá vyjádřit jejich součet: Princip matematické indukce: Chceme dokázat, že ∀n∈ℕ: A(n) 1.Dokážeme, že tvrzení platí pro n = 1 2.Předpokládáme, že tvrzení platí pro n = k a dokážeme, že platí pro n = k + 1 Gaussova úloha: Sečtěte všechna přirozená čísla od 1 do 100. Příklad 3: Sledujte součet několika lichých čísel a pokuste se tento součet obecně vyjádřit: Příklad 4: Určete součet všech lichých čísel od 1 do 100. Příklad 5: Sledujte součet několika sudých čísel a pokuste se tento součet obecně vyjádřit: Příklad 6: Určete součet všech sudých čísel od 1 do 100. Příklad 7: Vynásobte vždy po sobě jdoucí přirozená čísla a tento součin vynásobte čtyřmi. Všimněte si, jak se dá tento součin vyjádřit. Příklad 8: Vyberte si libovolná prvočísla p > 3 a sledujte následující vývoj: Příklad 9: Proveďte součin dvou rovných činitelů od 0 do 10 a sledujte číslo zapsané na místě jednotek. Příklad 10: Napište do řady násobky čísla 3 malé násobilky vzestupně. Pod ně napište do řady násobky čísla 7 malé násobilky sestupně. Pozorujte cifry na místě jednotek… Příklad 11: Vyjádřete obecně, kolik úhlopříček má konvexní n-úhelník. Příklad 12: Vyjádřete obecně, jaký je součet vnitřních úhlů konvexního n-úhelníka. Příklad 13: Uvažujme obdélníky s celočíselnými rozměry 1 x 49, 2 x 48, 3 x 47, 4 x 46, … Tyto obdélníky mají obvod roven 100. Nalezněte ostrou nerovnost, která platí pro obsahy všech těchto obdélníků,