Základy matematiky Funkce
2. FUNKCE 30
2.1. Funkce 31
2.2. Základní vlastnosti 33
2.2.1. Ohraničená a neohraničená funkce 33
2.2.2. Monotónnost funkce, funkce rostoucí a klesající 34
2.2.3. Prostá funkce 36
2.2.4. Sudá a lichá funkce 37
2.2.5. Periodická funkce 39
2.2.6. Inverzní funkce 40
Úlohy k samostatnému řešení 41
2.3. Definiční obory 42
Úlohy k samostatnému řešení 44
2.4. Konstantní funkce 44
Výklad 44
2.5. Lineární funkce 45
Úlohy k samostatnému řešení 45
2.6. Kvadratické funkce 46
Úlohy k samostatnému řešení 50
2.7. Lineární lomená funkce 51
2.7.1. Nepřímá úměrnost 51
2.7.2. Lineární lomená funkce 53
Úlohy k samostatnému řešení 53
2.8. Mocninné funkce 54
2.9. Exponenciální funkce 56
Úlohy k samostatnému řešení 58
2.10. Logaritmická funkce 59
2.11. Goniometrické funkce 63
2.11.1. Velikost úhlu – oblouková a stupňová míra 64
2.11.2. Funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens 64
Úlohy k samostatnému řešení 73
2.11.3. Goniometrické vzorce 73
Úlohy k samostatnému řešení 75
Výsledky úloh k samostatnému řešení 75
Klíč k řešení úloh 75
Kontrolní otázky 82
Kontrolní test 83
Výsledky testu 83
- 29 -
Základy matematiky Funkce
2. FUNKCE
Průvodce studiem
Kapitola Funkce je rozdělena do devíti menších celků a ty jsou ještě dále rozděleny na
menší oddíly. V každém oddíle je nejdříve vysvětlena teorie, jsou zavedeny nové pojmy a
vzorce. Pak následují Řešené úlohy. V Úlohách k samostatnému řešení si prověříte získané
vědomosti. K těmto úlohám jsou na konci kapitoly uvedeny výsledky a pro ty, kteří by si
s úlohami nevěděli rady, také nápověda. Na samý závěr se otestujete, jak jste zvládli tuto
kapitolu.Grafy v textu byly vytvořeny pomocí programu Matematika. Hodně zdaru při studiu.
Cíle
Seznámíte se s elementárními funkcemi, poznáte jejich definiční obory a obory hodnot,
budete umět nakreslit jejich grafy. Budete umět určit vlastnosti funkcí. Grafy
elementárních funkcí, s nimiž budete pracovat, jsou vykresleny na úvodním obrázku.
Předpokládané znalosti
Umíte řešit nerovnice metodou nulových bodů, kterou si můžete zopakovat v 3. kapitole,
a také umíte pracovat s kartézskou soustavou souřadnic Oxy v rovině.
-2-4-6 2 4 6
-2
-4
-6
2
4
0 x
y
-2-4-6 2 4 6
-2
-4
-6
2
4
0 x
y
y=sinx
y=cosx
y=x
y=ex
y=lnx
-2-4-6 2 4 6
-2
-4
-6
2
4
0 x
y
-2-4-6 2 4 6
-2
-4
-6
2
4
0 x
y
y=sinx
y=cosx
y=x
y=ex
y=lnx
- 30 -
Základy matematiky Funkce
2.1. Funkce
Výklad
Funkce na množiněf R⊂A je předpis, který každému číslu z množiny A přiřadí právě
jedno reálné číslo. Množina A se nazývá definiční obor funkce.
Označení ( ), fD f D .
Obor hodnot funkce je množina všechf y ∈R , ke kterým existuje aspoň jedno x
z definičního oboru funkce tak, žef ( )y f x= .
Označení ( ), fH f H .
( )y f x= je funkční předpis vyjadřující závislost y na x .
x je nezávisle proměnná, nebo také používáme označení argument, vybíráme ji z ( )D f .
y je závisle proměnná, .)( fHy ∈
Hodnotu funkce f v bodě 0x označíme ( )o of x y= a nazývá se funkční hodnota funkce f
v 0x .
Řešené úlohy
Příklad 2.1.1. Zapište funkci, která vyjadřuje závislost
a) obvodu rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku na délce a jeho odvěsny,
b) obvodu rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku na délce c jeho přepony.
Řešení:
a) přepona 2ac = ,
obvod trojúhelníku )22(222 +=+=+= aaacao ,
ao )22( += , ∞∈ ,0(a ).
b)
2
2
c
aac =⇒= , ),12(
2
22 +=+=+= cc
c
cao
),0(,)12( ∞∈+= cco .
- 31 -
Základy matematiky Funkce
Výklad
Graf funkce f ve zvolené soustavě souřadnic Oxy je množina všech bodů X , kde x)](,[ xfx
patří do definičního oboru funkce f. Ve skutečnosti nakreslíme (načrtneme) jen část grafu na
zvoleném intervalu .)( fDI ⊂
Řešené úlohy
Příklad 2.1.2. Rozhodněte, která z množin bodů na uvedeném obrázku je grafem funkce.
Svá tvrzení zdůvodněte
a)
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
1
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
1
0 x
y
Řešení: Toto je graf funkce, každému x přísluší jediné y . Každá přímka rovnoběžná
s osou y danou množinu bodů protne nejvýše v jednom bodě.
b)
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
Řešení: V tomto případě se o graf funkce nejedná, pro 5,1=x nacházíme dvě hodnoty.
Tato situace je stejná pro všechna ( )3,3−∈x , každá přímka rovnoběžná s osou y
protne danou množinu bodů ve dvou různých bodech.
- 32 -
Základy matematiky Funkce
2.2. Základní vlastnosti
2.2.1. Ohraničená a neohraničená funkce
Výklad
Funkce f se nazývá ohraničená shora na množině M, existuje-li takové číslo h, že pro
všechna je .Mx∈ hxf ≤)(
Funkce f se nazývá ohraničená zdola na množině M, existuje-li takové číslo d, že pro
všechna je .Mx∈ dxf ≥)(
Funkce f je ohraničená na množině M, je-li v ní ohraničená shora i zdola.
V opačném případě se funkce f nazývá neohraničená na množině M.
Geometrický význam ohraničenosti funkce.
Je-li funkce na množině ohraničená shora, leží její graf pro každé
číslo stále pod přímkou nebo na ní.
)(xfy = )( fDM ⊆
Mx∈ hy =
Je-li funkce na množině ohraničená zdola, leží její graf pro každé
číslo stále nad přímkou nebo na ní.
)(xfy = )( fDM ⊆
Mx∈ dy =
Je-li funkce na množině ohraničená, leží její graf pro každé číslo
stále mezi přímkami a
)(xfy = )( fDM ⊆
Mx∈ hy = dy = nebo na nich.
Věta 2.2.1. Funkce f je na množině ohraničená, právě když existuje taková konstantaRM ⊆
0≥K , že pro Mx∈∀ platí Kxf ≤)( .
Řešená úloha
Příklad 2.2.1. Dokažte, že funkce
)1( 2
x
x
y
+
= je pro všechna Rx∈ ohraničená.
Řešení: Protože pro platí nerovnost neboliRx ∈∀ 0)1( 2
≥±x xx 212
≥+ ,
dostáváme odtud
2
1
1
2
1
2
2
≤
+
⇒≥
+
x
x
x
x
. Platí tedy pro
2
1
1
: 2
≤
+
∈∀
x
x
Rx .
Podle věty 2.2.1. je daná funkce ohraničená,
2
1
=K .
- 33 -
Základy matematiky Funkce
2.2.2. Monotónnost funkce, funkce rostoucí a klesající
Výklad
Je dána funkce a intervalf I , který je částí jejího definičního oboru ( )( )fDI ⊂ .
Funkce f se nazývá rostoucí na intervalu I , právě když pro všechna platí:Ixx ∈21,
Je-li , pak21 xx < ( ) ( )21 xfxf < .
Funkce f se nazývá klesající na intervalu I , právě když pro všechna platí:Ixx ∈21,
Je-li , pak .21 xx < ( ) ( )21 xfxf >
Funkce f se nazývá neklesající na intervalu I , právě když pro všechna platí:Ixx ∈21,
Je-li , pak21 xx < ( ) ( )21 xfxf ≤ .
Funkce f se nazývá nerostoucí na intervalu I , právě když pro všechna platí:Ixx ∈21,
Je-li , pak .21 xx < ( ) ( )21 xfxf ≥
Tyto funkce na I se souhrnně nazývají monotónní funkce na , rostoucí a klesající
funkce na I se souhrnně nazývají ryze monotónní funkce na .
)( fDI ⊂
)( fDI ⊂
Z definice je zřejmé, že každá rostoucí funkce je zároveň neklesající na I a každá klesající
funkce je zároveň nerostoucí na I .
Řešené úlohy
Příklad 2.2.1. Z grafu rozhodněte, kde je funkce rostoucí a kde klesající.
-1-2-3-4 1 2 3
-1
-2
1
2
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3
-1
-2
1
2
0 x
y
y=
x2
-1
x4
-4x2
-1-2-3-4 1 2 3
-1
-2
1
2
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3
-1
-2
1
2
0 x
y
y=
x2
-1
x4
-4x2
Řešení: Funkce je rostoucí na intervalech )( , 2−∞ − a )( 2,0− , na intervalech ( )0,2 a )(2,∞
klesá.
- 34 -
Základy matematiky Funkce
Příklad 2.2.2. Která z funkcí je rostoucí a která klesající na ?21, ff )( fD
Řešení:
Definiční obor obou funkcí RfD =)( .
Z grafů těchto funkcí lze vyčíst, že rostou-li hodnoty proměnné x , rostou hodnoty
funkce a klesají hodnoty funkce . Pro libovolná1f 2f Rxx ∈21, , pro která platí
21 xx < dostaneme:
, ,22
3
2
3
1 −<− xx 22
3
2
3
1 −−>−− xx
)()( 2111 xfxf < , .)()( 2212 xfxf >
Pro ilustraci zvolíme čísla 1,1 21 =−= xx a dosadíme do nerovnic funkčních hodnot
13 −<− 31 −>
Funkce je příkladem rostoucí funkce a je příkladem klesající funkce na R.1f 2f
-1-2 1 2
-1
-2
-3
1
2
3
4
0 x
y
-1-2 1 2
-1
-2
-3
1
2
3
4
0 x
y
y=-x3
-2
-1-2 1 2
-1
-2
-3
1
2
3
4
0 x
y
-1-2 1 2
-1
-2
-3
1
2
3
4
0 x
y
y=-x3
-2
-1-2 1 2
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
-1-2 1 2
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
y=x3
-2
-1-2 1 2
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
-1-2 1 2
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
y=x3
-2
- 35 -
Základy matematiky Funkce
2.2.3. Prostá funkce
Výklad
Funkce se nazývá prostá, právě když pro všechna ( )fDxx ∈21, platí:
Je-li , pak .21 xx ≠ ( ) ( )21 xfxf ≠
Řešené úlohy
Příklad 2.2.3. Z grafu rozhodněte, zda je funkce prostá.
-3-6-9-12 3 6 9
-3
-6
-9
3
6
9
12
15
0 x
y
-3-6-9-12 3 6 9
-3
-6
-9
3
6
9
12
15
0 x
y
y=xsinx+x
Řešení: Funkce není prostá, pro různá x existují stejné funkční hodnoty.
Příklad 2.2.4. Z grafu rozhodněte, zda je funkce prostá.
-1-2-3 1 2 3
-1
1
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
1
0 x
y
y=arctgx
-1-2-3 1 2 3
-1
1
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
1
0 x
y
y=arctgx
Řešení: Funkce je prostá, platí podle definice, že pro 21 xx ≠ je .)()( 21 xfxf ≠
Funkce rostoucí nebo klesající na celém definičním oboru je prostá.
- 36 -
Základy matematiky Funkce
2.2.4. Sudá a lichá funkce
Výklad
Funkce f se nazývá sudá, právě když zároveň platí:
1. Pro každé je také)( fDx ∈ )( fDx ∈− .
2. Pro každé je)( fDx ∈ ( ) ( )xfxf =− .
Graf sudé funkce je souměrný podle osy y .
Funkce f se nazývá lichá, právě když zároveň platí:
1. Pro každé je také)( fDx ∈ )( fDx ∈− .
2. Pro každé je)( fDx ∈ ( ) ( )xfxf −=− .
Graf liché funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic Oxy .
Není-li splněna ani jedna z uvedených podmínek, není funkce ani sudá ani lichá.
Řešené úlohy
Příklad 2.2.5. Z grafu určete, zda je funkce lichá nebo sudá na intervalu (-5, 5).
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
-1
-2
1
0 x
y
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
-1
-2
1
0 x
y
y=sin
4
x+cosx
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
-1
-2
1
0 x
y
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
-1
-2
1
0 x
y
y=sin
4
x+cosx
Řešení: Funkce je sudá, její graf je souměrný podle osy .y
- 37 -
Základy matematiky Funkce
Příklad 2.2.6. Z části grafu určete, zda je funkce lichá nebo sudá na .}0{)( −= RfD
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
y=
sin4
x+cosx
x
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
y=
sin4
x+cosx
x
Řešení: Funkce je na D( f ) lichá, její graf je souměrný podle počátku.
Příklad 2.2.7. Z grafu určete, zda je v intervalu (-6, 6) funkce lichá nebo sudá.
-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 6
-1
-2
1
2
0 x
y
-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 6
-1
-2
1
2
0 x
y
y=sinx+cos2x
-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 6
-1
-2
1
2
0 x
y
-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 6
-1
-2
1
2
0 x
y
y=sinx+cos2x
Řešení: Funkce není ani sudá ani lichá.
Příklad 2.2.8. Rozhodněte, zda je funkce sudá či lichá: 2
4
2 5
3
x
x
xy
−
−= .
Řešení: 1. )()()(},0{)( fDxfDxRfD ∈−⇒∈∀−= .
2. )(
5
3
)(
5)(
)(3)( 2
4
2
2
4
2
xf
x
x
x
x
x
xxf =
−
−=
−
−−
−−=−
Funkce 2
4
2 5
3
x
x
xy
−
−= je sudá.
- 38 -
Základy matematiky Funkce
2.2.5. Periodická funkce
Výklad
Funkce se nazývá periodická, právě když existuje takové číslo , že pro každé0>p Z∈k
platí následující podmínky:
Je-li , pak( )fDx ∈ ( )fDkpx ∈+ a platí ( ) ( )xfkpxf =+ .
Číslo se nazývá perioda funkce .p f
Pokud v množině čísel p existuje nejmenší kladné číslo, pak tuto periodu nazýváme
základní (primitivní) periodou funkce f.
0>p
Graf periodické funkce se pravidelně (periodicky) opakuje po intervalech, jejichž délka je
rovna základní periodě p.
Nejvýznamnější periodické funkce jsou goniometrické funkce (kap. 2.11.)
Řešené úlohy
Příklad 2.2.9. Z grafu periodické funkce odhadněte její primitivní periodu.
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
-2
1
2
0 x
y
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
-2
1
2
0 x
y
Řešení: Primitivní perioda je zřejmě 2p π= .
y=cosx+sin2x
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
-2
1
2
0 x
y
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
-2
1
2
0 x
y
y=cosx+sin2x
- 39 -
Základy matematiky Funkce
2.2.6. Inverzní funkce
Výklad
Inverzní funkce k prosté funkci je , která každému)(xf 1−
f )( fHy ∈ přiřadí právě to
)( fDx ∈ , pro které je .( ) yxf =
Označení proměnných můžeme volit libovolně, a protože je obvyklé značit závisle
proměnnou x a nezávisle proměnnou y, zaměňujeme označení proměnných. Důsledkem toho
je, že (a ). Proto grafy obou funkcí jsou souměrné podle osy
I. a III. kvadrantu
)()( 1
fHfD =−
)()( 1
fDfH =−
xy = .
Platí také, že inverzní funkce k rostoucí funkci je také rostoucí a inverzní funkce ke klesající
funkci je klesající.
Řešené úlohy
Příklad 2.2.10. Dokažte, že funkce Rxxyf ∈+= ,12: , je rostoucí ( a tedy prostá).
Určete funkci k ní inverzní .1−
f
Řešení: Je zřejmé, že oborem hodnot RfH =)(
Funkce f je rostoucí, neboť pro Rxx ∈∀ 21, platí:
je-li 21 xx < , pak je 1212 21 +<+ xx , takže )()( 21 xfxf < .
Funkce je rostoucí, tedy prostá, a proto k ní existuje funkce inverzní , která je
také rostoucí. Její funkční předpis určíme tak, že z rovnice
1−
f
12 += xy vyjádříme x :
2
1
2
1
−= yx , Ry ∈
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
1
2
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
1
2
0 x
y
a po záměně proměnných máme y=2x+1
y=xfunkční předpis pro funkci inverzní
RfHfDxyf ==−= −−
)()(,
2
1
2
1
: 11
. y=
1
2
x-
1
2
2
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
1
0 x
y
2
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
1
0 x
y
y=2x+1
y=x
y=
1
2
x-
1
2
- 40 -
Základy matematiky Funkce
Příklad 2.2.11. Dokažte, že funkce ),0,2: ∞∈<+= xxyf , je rostoucí ( a tedy prostá).
Určete funkci k ní inverzní .1−
f
Řešení: Je zřejmé, že oborem hodnot ),2)( ∞=<fH
Funkce f je rostoucí, neboť pro Rxx ∈∀ 21, platí:
je-li 21 xx < , pak je 22 21 +<+ xx , takže )()( 21 xfxf < .
Funkce je rostoucí, tedy prostá, a proto k ní existuje funkce inverzní , která je
také rostoucí. Její funkční předpis určíme tak, že z rovnice
1−
f
2+= xy vyjádříme x :
,2
)2( −= yx ),2 ∞∈<y .
Po záměně proměnných máme funkční předpis pro inverzní funkci
),0)(),,2)(,)2(: 1121
∞=<∞=<−= −−−
fHfDxyf .
-1-2 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
1
2
3
4
5
6
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
1
2
3
4
5
6
0 x
y
y= x +2
y=(x-2)2
y=x
-1-2 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
1
2
3
4
5
6
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
1
2
3
4
5
6
0 x
y
y= x +2
y=(x-2)2
y=x
Úlohy k samostatnému řešení
1. Rozhodněte, zda je funkce sudá či lichá:
a)
2
52
3
4
3
−
−+
−=
x
xx
xy , b) 2
3
5
x
xx
y
−
−= , c) ( )xxxxy sincos −= ,
d) , e)x
xy 2ln= xx
xx
ee
ee
y −
−
+
−
= , f) ( )xxxxy 3
−= ,
g) .
sin2
522
−+= xxy
- 41 -
Základy matematiky Funkce
2.3. Definiční obory
Výklad
Funkci f považujeme za definovanou, je-li známo pravidlo, kterým je každému číslu
přiřazena příslušná jediná hodnotaDx∈ Hxf ∈)( , tj. je-li dán předpis, kterým je toto
přiřazení jednoznačně určeno. Tento předpis může být vyjádřen tabelárně (příslušnou
tabulkou), graficky nebo analyticky..
Tabelární způsob definování funkce se vyskytuje v technických vědách velmi často,
zvláště hledáme-li experimentálně funkční závislost mezi dvěma uvažovanými veličinami.
Výhodou tohoto vyjádření je to, že z něho můžeme vyčíst hodnoty funkce v tabelovaných
hodnotách argumentu. Jeho velkou nevýhodou však je , že obvykle neobsahuje hodnoty
funkce ve všech potřebných hodnotách argumentu. Dalším nedostatkem tabelárního vyjádření
je i to, že si při něm nemůžeme učinit bližší představu o povaze funkční závislosti mezi
argumentem a závisle proměnnou. Proto se obvykle snažíme vyjádřit tuto závislost graficky
nebo (přibližným) analytickým vzorcem.
Výhodou grafického způsobu zadání funkce je názornost, neboť podle grafu funkce si
obvykle uděláme jasnou představu o povaze funkční závislosti. Jeho nevýhodou je, že
vyjadřuje funkční hodnoty jen přibližně a nedovoluje vyšetřovat vlastnosti funkcí metodami
matematické analýzy.
Analytický způsob definování funkce (funkčním předpisem) je nejvýznamnějším
způsobem vyjádření funkce. Jeho předností je, že použitím metod matematické analýzy
můžeme zkoumat vlastnosti uvažované funkce. Určitým nedostatkem analytického vyjádření
je, že postrádá názornost grafického vyjádření. Proto často používáme k snadnějšímu a
názornějšímu výkladu vlastností uvažované funkce i jejího grafického, popř. tabelárního
vyjádření.
Je-li funkce zadaná funkčním předpisem )(xfy = a není-li zároveň uveden definiční
obor funkce, pak se jim rozumí nejširší možný obor, v němž má výraz smysl.)(xf
Ve funkčním předpisu nás budou zajímat následující možnosti:
• Je-li ve funkčním předpisu zlomek, jmenovatel musí být různý od nuly.
• Je-li ve funkčním předpisu odmocnina se sudým odmocnitelem, výraz pod odmocninou
musí být větší nebo roven nule (nezáporný).
• Je-li ve funkčním předpisu logaritmus, jeho argument musí být větší než nula (kladný).
- 42 -
Základy matematiky Funkce
• Je-li ve funkčním předpisu tangens,
sin
tg
cos
x
x
x
⎛
=⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟ , musí být jmenovatel, tedy xcos ,
nenulový.
• Je-li ve funkčním předpisu kotangens,
cos
cotg
sin
x
x
x
⎛
=⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟, musí být jmenovatel, tedy
, nenulový.xsin
Řešené úlohy
Příklad 2.3.1. Určete definiční obor funkce
4
1
2
−
−
=
x
x
y .
Řešení:
042
≠−x ⇒ ( )( ) 022 ≠+− xx ⇒ 2,2 −≠≠ xx .
( ) ( ) ( )∞∪−∪−∞−= ,22,22,)( fD nebo zápis }2,2{)( −−= RfD .
Příklad 2.3.2. Určete definiční obor funkce
2
10
2
+
+
=
x
x
y .
Řešení:
020
2
10 2
2
≠+∧≥
+
+
x
x
x
druhá podmínka platí vždy a také vždy platí.022
>+x
Stačí tedy vyřešit nerovnici 010 ≥+x ⇒ 10−≥x .
)∞−= ,10)( fD .
Příklad 2.3.3. Určete definiční obor funkce )53log( −= xy .
Řešení:
⇒053 >−x
3
5
>x ⇒ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∞= ,
3
5
)( fD .
- 43 -
Základy matematiky Funkce
Příklad 2.3.4. Určete definiční obor funkce tg(2 )
3
y x
π
= − .
Řešení: 0)
3
2cos( ≠−
π
x ⇒ 2
3 2 3
x k
π π π
π− ≠ + +
5
2 :
6
x k 2
π
π≠ + , takže Z∈+≠ kkx ,
212
5 ππ
{)( −= RfD Zpro}
212
5
∈∀+ kk
ππ
.
Příklad 2.3.5. Určete definiční obor funkce cotg( )
2 4
x
y
π
= − .
Řešení: 0)
42
sin( ≠−
πx
⇒
2 4 4
x
k
π π
π− ≠ +
2
2 4
x
k
π
π≠ + ⋅ , takže π
π
kx 2
2
+≠ .
}2
2
{)( π
π
kRfD +−= pro Zk ∈∀ .
Úlohy k samostatnému řešení
2. Určete definiční obor funkce:
a)
x
x
y
+
−
=
2
2
ln , b) xy lnln= , c) 4
9 x
y
−
= ,
d) , e)
2
2 x+
x3cotgy = x
x
y −
+
= 3
2
2 , f) 2ln(y −= .)2
xx
2.4. Konstantní funkce
Výklad
Konstantní funkce je každá funkce na množině R , která je dána předpisem .cy =
Definičním oborem jsou všechna reálná čísla, obor hodnot je roven konstantě c.
Grafem je přímka rovnoběžná s osou x procházející bodem [ , funkce není prostá.],0 c
- 44 -
Základy matematiky Funkce
2.5. Lineární funkce
Výklad
Lineární funkce je každá funkce na množině R , která je dána předpisem ,baxy += 0≠a ,
R∈ba, , konstanty.ba,
Definičním oborem a oborem hodnot jsou všechna reálná čísla.
Grafem lineární funkce je přímka různoběžná s osou y . Každá přímka, která není rovnoběžná
s osami x, y je grafem nějaké lineární funkce. K sestrojení grafu nám tedy stačí 2 různé body.
• funkce je rostoucí na0>a R , je prostá
• funkce je klesající na0<a R , je prostá
• ,0=b axy = přímá úměrnost – graf funkce prochází počátkem soustavy souřadnic
Příklad užití lineární funkce ve fyzice:
Přímá úměrnost mezi zrychlením a hmotného bodu o konstantní hmotnosti m a velikosti
působící síly F, .maF =
Řešená úloha
Příklad 2.5.1. Nakreslete graf funkce 1
3
4
−= xy .
Řešení: Nejprve najdeme dva různé body grafu funkce:
Všimněte si, v zadání funkce je 1−=b ,
tzn. graf protíná osu y v bodě ]1,0[ − .
Další bod grafu zjistíme dosazením 3=x ,
pak .3=y
Body a spojíme]1,0[ − ]3,3[
a výsledná přímka je grafem dané funkce.
Úlohy k samostatnému řešení
-1 1 2 3
-1
1
2
0 x
y
-1 1 2 3
-1
1
2
0 x
y
y=
4
3
x-1
3. Nakreslete graf lineární funkce: a) 2+= axy pro
2
1
,
2
1
,2,2,1,1 −−−=a ,
b) bxy += 2 pro 1,
2
1
,2,4,3,1 −−−=b .
- 45 -
Základy matematiky Funkce
2.6. Kvadratické funkce
Výklad
Kvadratickou funkcí rozumíme každou funkci na množině , která je dánaR
předpisem , kdecbxaxy ++= 2
{ } R,;0R ∈−∈ cba .
Definičním oborem jsou všechna reálná čísla. Obor hodnot se liší podle zadání.
Grafem kvadratické funkce je parabola, jejíž osa je rovnoběžná s osou y.
Řešené úlohy
Příklad 2.6.1. Nakreslete graf funkce .2
xy =
Řešení: Vrchol paraboly je bod [ ]0,0V , osa paraboly je v ose y a vrcholová tečna
paraboly je osa x. Další body si můžeme určit tabulkou.
-2-4-6 2 4
2
4
6
8
10
0 x
y
-2-4-6 2 4
2
4
6
8
10
0 x
y
y=x2
-2-4-6 2 4
2
4
6
8
10
0 x
y
-2-4-6 2 4
2
4
6
8
10
0 x
y
y=x2
Výklad
Všechny paraboly, které mají , mají stejný tvar, liší se pouze umístěním vzhledem
k souřadnicovým osám.
1=a
Grafy funkcí a) , b) se nakreslí na základě posunutí grafu funkce
(výchozí parabola) ve směru
cxy += 2 2
)( kxy −=
2
xy =
a) osy y tak, že vrchol V přejde do vrcholu]0,0[ ],0[ cV ′ ,
b) osy x tak, že vrchol V přejde do vrcholu]0,0[ ].0,[kV ′
- 46 -
Základy matematiky Funkce
Podívejme se nyní na grafy funkcí, které mají různé hodnoty a.
a) , b) , c) , d)2
xy = 2
3xy −= 2
xy −= 2
4
1
xy −= ,
e) , e) , g)2
2xy = 2
5xy = 2
2
1
xy = , h) 2
10
1
xy = .
Pokud je , je parabola „otevřená“ ve směru kladné poloosy , pokud je , je
parabola „otevřená“ ve směru záporné poloosy
0>a y 0<a
y . Je-li 1>a , pak se parabola „zúží“
vzhledem k parabole . Je-li2
xy = 1<a , pak se parabola „rozšíří“. Tyto skutečnosti můžeme
pozorovat na následujícím ilustračním obrázku
-1-2-3-4-5 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3-4-5 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
x2
2x2
Funkce není prostá na svém definičním oborucbxaxy ++= 2
RfD =)( . Je-li , pak
funkce na intervalu
0>a
( )Vx,∞− klesá a na ( )∞,Vx roste. Ve vrcholu má funkce
minimum. Je-li , pak funkce na intervalu
[ VV yxV , ]
0<a ( )Vx,∞− roste a na ( )∞,Vx klesá. Ve vrcholu
má funkce maximum.[ VV yxV , ]
Při kreslení grafů kvadratických funkcí můžeme nejprve upravit výraz
doplněním na druhou mocninu dvojčlenu a přepsat funkční předpis do tvaru
cbxax ++2
.0
2
0 )( yxxay +−=
Z tohoto zápisu kvadratické funkce určíme snadno souřadnice vrcholu V .],[ 00 yx
-3x2
5x2
-x2
1
2
x2
-
1
4
x2
1
10
x2
-1-2-3-4-5 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3-4-5 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
2x2
x2
-3x2
5x2
-x2
1
2
x2
-
1
4
x2
1
10
x2
- 47 -
Základy matematiky Funkce
Řešené úlohy
Příklad 2.6.2. Nakreslete graf funkce .12
−= xy
Řešení:
Ze zápisu funkce vyčteme souřadnice vrcholu [ ]1,0 −V . Protože je ,1=a
posuneme graf funkce o 1 jednotku ve směru záporné poloosy2
xy = y .
Průsečíky grafu s osou x vypočítáme z rovnice .1,1012
−==⇒=− xxx
-2-4-6 2 4
-2
2
4
6
8
10
0 x
y
-2-4-6 2 4
-2
2
4
6
8
10
0 x
y
y=x2
-1
-2-4-6 2 4
-2
2
4
6
8
10
0 x
y
-2-4-6 2 4
-2
2
4
6
8
10
0 x
y
y=x2
-1
Příklad 2.6.3. Nakreslete graf funkce .xxy 42
+=
Řešení:
Pomocí průsečíků s osou x
Vyřešíme tedy rovnici . Kořeny jsouxx 40 2
+= 4,0 21 −== xx .
Protože parabola je souměrná podle své osy, která je kolmá k ose x , jsou body
také podle této osy souměrné a osa paraboly je osa úsečky . Její
rovnice je
4,0 21 −== xx 21xx
2−=x . Vrchol paraboly na této ose leží a jeho první souřadnice je tedy
. Druhou souřadnici vypočteme dosazením do rovnice
paraboly ,
2−=Vx 2−=Vx
xxy 42
+= 4−=Vy . Vrchol má souřadnice [ ]4,2 −−V . Protože 1=a ,
posuneme graf paraboly tak, aby na ose x procházel body2
xy = 4,0 21 −== xx a
měl vrchol v bodě .[ ]4,2 −−V
- 48 -
Základy matematiky Funkce
Doplněním na druhou mocninu dvojčlenu získáme souřadnice vrcholu paraboly.
Funkční předpis převedeme na tvar ,4)2(444 22
−+=⇒−++= xyxxy
souřadnice vrcholu jsou [ 4,2 ]−−V . Protože je 1=a , posuneme graf funkce 2
xy =
o jednotky ve směru záporné poloosy4 y a o jednotky ve směru záporné2
poloosy x .
Příklad 2.6.4. Nakreslete graf funkce 2
2 4 6y x x= − − .
-2-4-6 2 4
-2
-4
2
4
6
8
0 x
y
-2-4-6 2 4
-2
-4
2
4
6
8
0 x
y
y=x2
+4x
-2-4-6 2 4
-2
-4
2
4
6
8
0 x
y
-2-4-6 2 4
-2
-4
2
4
6
8
0 x
y
y=x2
+4x
Řešení:
Zápis funkce upravíme na tvar ,6)112(2 2
−−+−= xxy 62)1(2 2
−−−=⇒ xy
ze zápisu kvadratické funkce určíme souřadnice vrcholu,8)1(2 2
−−= xy [ ]8,1 −V .
Průsečíky s osou x zjistíme vyřešením rovnice0 , její kořeny jsou
. Průsečík s osou y je [
642 2
−−= xx
1,3 21 −== xx ]6,0 − .
Protože je 2=a , posuneme graf funkce o 8 jednotek ve směru záporné
poloosy a o 1 jednotku ve směru kladné poloosy
2
2xy =
y x .
- 49 -1-2-3-4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-2
-4
-6
-8
2
4
6
8
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-2
-4
-6
-8
2
4
6
8
0 x
y
y=2x2
-4x-6
-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-2
-4
-6
-8
2
4
6
8
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-2
-4
-6
-8
2
4
6
8
0 x
y
y=2x2
-4x-6
Základy matematiky Funkce
Příklad 2.6.5. Nakreslete graf funkce 2
3y x x= − + .
Řešení:
Zápis kvadratické funkce upravíme na tvar
4
9
)
2
3
()
4
9
4
9
3( 22
+−−=⇒−+−−= xyxxy , vrchol ]
4
9
,
2
3
[V .
Protože je , posuneme graf funkce o jednotek ve směru kladné
poloosy a o jednotky ve směru kladné poloosy
1−=a 2
xy −= 25,2
y 5,1 x .
Vyřešením rovnice zjistíme průsečíky s osou x, kořeny jsou
.
xx 30 2
+−=
0,3 21 == xx
Úlohy k samostatnému řešení
-1-2-3 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-4
-6
-8
-10
2
0 x
y
-1-2-3 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-4
-6
-8
-10
2
0 x
y
y=-x2
+3x
-1-2-3 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-4
-6
-8
-10
2
0 x
y
-1-2-3 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-4
-6
-8
-10
2
0 x
y
y=-x2
+3x
4. Nakreslete graf funkce.
a) , b) , c) .342
+−= xxy 222
+−= xxy 962
++= xxy
5. Nakreslete graf funkce.
a) xxy 2
2
1 2
+= , b) .463 2
−−= xxy
6. Nakreslete graf funkce.
a) , b) .22
+−−= xxy 982 2
−+−= xxy
- 50 -
Základy matematiky Funkce
2.7. Lineární lomená funkce
Výklad
Dříve, než se začneme zabývat lineární lomenou funkcí v obecném tvaru, zmíníme se
krátce o funkci, která je jejím speciálním případem – nepřímou úměrností.
2.7.1. Nepřímá úměrnost
Výklad
Nepřímá úměrnost je každá funkce na množině { }0−R daná ve tvaru
x
k
y = ,
kde .{ }0−∈ Rk
Podíváme se podrobně na graf nepřímé úměrnosti pro k = 1.
x 1 2 0,5 4 0,1 1− 2− -0,5 4− -0,1
x
y
1
= 1 0,5 2 0,25 10 1− 5,0− 2− 25,0− 10−
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
y=
1
x
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
y=
1
x
Grafem je rovnoosá hyperbola o středu S , osy souřadnicového systému jsou její
asymptoty (hyperbola se k těmto přímkám přibližuje, ale neprotne je ani se jich nedotkne).
]0,0[
Graf nepřímé úměrnosti je souměrný podle počátku souřadnicového systému a funkce je tedy
lichá.
- 51 -
Základy matematiky Funkce
Jak se mění průběh grafu funkce v závislosti na konstantě k, je zachycen na následujícím
obrázku. Zvolíme pro k postupně hodnoty: -1, -2, 3,
4
1
a odpovídající grafy nakreslíme do
jednoho souřadnicového systému.
Je-li , pak funkce na intervalu0>k ( )0,∞− klesá a klesá také na intervalu . Větve
hyperboly se nacházejí v I. a III. kvadrantu.
( ∞,0
-1-2-3-4 1 2 3
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
)
Je-li , pak funkce na intervalu0<k ( )0,∞− roste a roste také na intervalu . Větve
hyperboly se nacházejí v II. a IV. kvadrantu.
( ∞,0 )
Nemůžeme však říci, že funkce je rostoucí nebo klesající na celém definičním oboru!
Funkce je prostá. Existuje k ní funkce inverzní, která má stejný zápis.
x
k
yf =−
:1
, )(),0()0,()( 1
fHfD =∞∪−∞=−
Příklad užití nepřímé úměrnosti v matematice a ve fyzice:
1. Délka y je nepřímo úměrná šířce x obdélníka při konstantním obsahu S.
x
S
y = .
2. Zákon Boylův-Marriottův pro izometrický děj s ideálním plynem
V
c
p = , kde c je konstanta,
tlak p ideálního plynu je nepřímo úměrný jeho objemu V při konstantní teplotě T.
y=
-1
x
y=
-2
x
y=
3
x
y=
1
4x
-1-2-3-4 1 2 3
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
y=
1
4xy=
-1
x
y=
-2
x
y=
3
x
- 52 -
Základy matematiky Funkce
2.7.2. Lineární lomená funkce
Výklad
Lineární lomená funkce je každá funkce na množině
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−−
c
d
R , daná předpisem
dcx
bax
y
+
+
= , kde { }0R;R,, −∈∈ cdba a 0≠−bcad .
Grafem každé lineární lomené funkce je rovnoosá hyperbola, kterou získáme z grafu funkce
x
k
y = pomocí posunutí tak, že nejprve funkční předpis lineární lomené funkce f převedeme
na tvar f: 0
0
y
xx
k
y +
−
= , bod se posune do bodu ,]0,0[ ],[ 00 yx
asymptoty procházejí středem rovnoběžně se souřadnicovými osami.],[ 00 yxS
Řešená úloha
Příklad 2.7.1. Nakreslete graf funkce
1
12
+
+
=
x
x
y .
Řešení: D(f) = .{ }1R −−
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
7
0 x
y
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
7
0 x
y
y=
2x+1
x+1
x=-1
y=2
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
7
0 x
y
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
7
0 x
y
y=
2x+1
x+1
x=-1
y=2
Zadanou funkci upravíme
na požadovaný tvar vydělením
čitatele jmenovatelem,
dostaneme 2
1
1
+
+
−
=
x
y .
Střed má souřadnice [ ]2,1−S ,
rovnice asymptot jsou 2,1 =−= yx
a .1−=k
Úlohy k samostatnému řešení
7. Nakreslete graf funkce:
a)
1
2
−
=
x
x
y , b)
1+
=
x
x
y , c)
x
x
y
1+
= , d)
2
3
−
=
x
y .
- 53 -
Základy matematiky Funkce
2.8. Mocninné funkce
Výklad
Mocninné funkce jsou definovány předpisem N∈= nxy n
, a N∈= n
x
y n
,
1
. Jiný zápis pro
druhou variantu . ( značí celá záporná čísla).−
∈= Znxy n
, −
Z
Nnxy n
∈= , , sudé lichén n
Definiční obor: R R
Obor hodnot: )∞,0 R
Funkce sudá lichá
Klesající na ( 0,∞− -----
Rostoucí na )∞,0 R
Minimum: nemá[ 0,0 ]
Maximum: nemá nemá
Uvedené grafy využijte k náčrtku grafů: a) , b) , c) .13
−= xy 34
+= xy 5
)1( −= xy
V úloze a) se graf funkce posune o 1 jednotku ve směru záporné poloosy y,3
xy =
b) graf funkce se posune o 3 jednotky ve směru kladné poloosy y,4
xy =
c) graf funkce se posune o 1 jednotku ve směru kladné poloosy x.5
xy =
-1-2-3 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6
7
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6
7
0 x
y
y=x4
y=x2
y=x6
-1-2-3 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6
7
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6
7
0 x
y
y=x4
y=x2
y=x6
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
1
2
3
4
5
6
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
1
2
3
4
5
6
0 x
y
y=x3
y=x5
y=x9
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
1
2
3
4
5
6
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
1
2
3
4
5
6
0 x
y
y=x3
y=x5
y=x9
- 54 -
Základy matematiky Funkce
Nn
x
y n
∈= ,
1
, sudé lichén n
Definiční obor: { }0−R { }0−R
Obor hodnot: ( ∞,0 ) { }0−R
Funkce sudá lichá
Klesající na ( ∞,0 ) )( 0,∞− ,( )∞,0
Rostoucí na )( 0,∞− ----
Minimum: nemá nemá
Maximum: nemá nemá
Uvedené grafy využijte k náčrtku grafů těchto funkcí:
a) 1
1
3
−=
x
y , b) , c) .2
)2( −
−= xy 3
)1( −
+= xy
V úloze a) graf funkce 3
1
x
y = se posune o 1 jednotku ve směru záporné poloosy y.
b) graf funkce 2
1
x
y = se posune o 2 jednotky ve směru kladné poloosy x.
c) graf funkce 3
1
x
y = se posune o 1 jednotku ve směru záporné poloosy x.
Poznámka
Obecně se definují mocninné funkce předpisem pro rr
xy = }0{−∈ R .
-1-2 1 2
-1
1
2
3
4
5
0 x
y
-1-2 1 2
-1
1
2
3
4
5
0 x
y
y=
1
x4y=
1
x2
y=
1
x6
-1-2 1 2
-1
1
2
3
4
5
0 x
y
-1-2 1 2
-1
1
2
3
4
5
0 x
y
y=
1
x4y=
1
x2
y=
1
x6
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
0 x
y
y=
1
x3
y=
1
x
y=
1
x5
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
0 x
y
y=
1
x5
y=
1
x3
y=
1
x
- 55 -
Základy matematiky Funkce
2.9. Exponenciální funkce
Výklad
Exponenciální funkce o základu a je funkce na množině daná předpisem , kdeR x
ay =
1,0 ≠> aa .
Exponenciální funkce o základu a = e je velmi důležitou funkcí matematické analýzy.
Grafem exponenciální funkce je tzv. exponenciální křivka ( krátce exponenciála).
Každý graf exponenciální funkce o libovolném základě prochází bodem , protože platí]1,0[
pro všechna : , osa x je asymptotou.0≠a 10
=a
Exponenciální křivky x
x
a
yay
1
, == pro totéž a jsou souměrně sdružené podle osy y, viz
následující obrázky.
1>a 10 << a
( ) ( ) +
== R,R fHfD
Je zdola ohraničená, shora není ohraničená.
Nemá v žádném bodě ani maximum ani minimum.
Funkční hodnota v bodě 0 je rovna 1.
Funkce je rostoucí, tedy prostá. Funkce je klesající, tedy prostá.
-1-2-3 1 2
-1
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3 1 2
-1
1
2
3
4
0 x
y
y=2x
-1-2-3 1 2
-1
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3 1 2
-1
1
2
3
4
0 x
y
y=2x
-1-2-3 1 2
1
2
3
4
5
0 x
y
-1-2-3 1 2
1
2
3
4
5
0 x
y
y=(
1
2
)x
-1-2-3 1 2
1
2
3
4
5
0 x
y
-1-2-3 1 2
1
2
3
4
5
0 x
y
y=(
1
2
)x
- 56 -
Základy matematiky Funkce
Je-li základem exponenciální funkce Eulerovo číslo 718281828,2=e ..., mluvíme o
přirozené exponenciální funkci, .x
ey =
-1-2-3 1 2
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3 1 2
1
2
3
4
0 x
y
y=ex
-1-2-3 1 2
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3 1 2
1
2
3
4
0 x
y
y=ex
Řešené úlohy
Příklad 2.9.1.Nakreslete graf exponenciální funkce:
a) , b) , c) ,x
ey = x
ey −
= x
ey 3=
d) , e) , f) .2+
= x
ey 1−= x
ey 1−= −x
ey
Řešení: a) b)
c) d)
-1-2-3 1 2
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3 1 2
1
2
3
4
0 x
y
y=ex
-1-2-3 1 2
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3 1 2
1
2
3
4
0 x
y
y=ex
-1-2-3 1 2
-1
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3 1 2
-1
1
2
3
4
0 x
y
y=e-x
-1-2-3 1 2
-1
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3 1 2
-1
1
2
3
4
0 x
y
y=e-x
-1-2-3 1 2
1
2
3
4
5
0 x
y
-1-2-3 1 2
1
2
3
4
5
0 x
y
y=3ex
-1-2-3 1 2
1
2
3
4
5
0 x
y
-1-2-3 1 2
1
2
3
4
5
0 x
y
y=3ex
-1-2-3-4 1
-1
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3-4 1
-1
1
2
3
4
0 x
y
y=ex+2
-1-2-3-4 1
-1
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3-4 1
-1
1
2
3
4
0 x
y
y=ex+2
- 57 -
Základy matematiky Funkce
e) f)
-1-2-3 1 2
-1
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3 1 2
-1
1
2
3
4
0 x
y
y=ex
-1
-1-2-3 1 2
-1
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3 1 2
-1
1
2
3
4
0 x
y
y=ex
-1
-1-2-3 1 2
-1
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3 1 2
-1
1
2
3
4
0 x
y
y=e
-x
-1
-1-2-3 1 2
-1
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3 1 2
-1
1
2
3
4
0 x
y
y=e
-x
-1
Na ilustračním obrázku máte pro srovnání průběh všech funkcí z úlohy.Všimněte si
posunutí základních grafů funkcí xx
eyey −
== ,
-1-2-3 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6
0 x
y
e-x
+1
Úlohy k samostatnému řešení
8. Nakreslete graf funkce:
a) , b) , c)x
y 10= x
y 5=
x
y ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
4
1
.
e-x
ex
ex+2
ex
-1
3ex
-1-2-3 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6
0 x
y
e-x
+1
ex
ex+2
ex
-1
3ex
e-x
- 58 -
Základy matematiky Funkce
2.10.Logaritmická funkce
Výklad
Logaritmická funkce o základu je funkce inverzní k exponenciální funkci , kde a jea x
ay =
libovolné kladné číslo různé od jedné, {}1R −∈ +
a a Rx∈ resp. .RfD =)(
Logaritmus čísla x při základu a je takové číslo y , pro které platí , tedyxa y
=
y
a axxy =⇔= log .
Nejčastěji používáme funkce:
o základu , pak se logaritmus nazývá dekadický a značí se10=a xy log= ,
o základu , pak se logaritmus nazývá přirozený a značí seea = xy ln= .
Pravidla pro počítání s logaritmy:
( ) yxxy aaa logloglog += ,
yx
y
x
aaa logloglog −= ,
,xnx a
n
a log.log =
1log =aa , 110log = , 1ln =e ,
,01log =a 01log = , 01ln = .
Řešené úlohy
Příklad 2.10.1. Nakreslete graf funkce:
a) , b)xy 2log= xy log= , c) xy ln= ,
d) xy , e)2/1log= xy 1,0log= .
Řešení: Graf sestrojíme souměrně podle osy I. a III. kvadrantu ke grafu funkce .x
ay =
- 59 -
- 60 Základy
matematiky Funkce
a) b)
c)
c) d)
e)
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
1
2
3
4
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
1
2
3
4
0 x
y
y=log2x
y=2x
y=x
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
1
2
3
4
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
1
2
3
4
0 x
y
y=log2x
y=2x
y=x
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
1
2
3
4
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
1
2
3
4
0 x
y
y=logx
y=10x
y=x
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
1
2
3
4
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
1
2
3
4
0 x
y
y=logx
y=10x
y=x
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
y=lnx
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
y=lnx
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
y=log1/2x
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
y=log1/2x
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
y=log1/10x
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
y=log1/10x
Základy matematiky Funkce
Výklad
Srovnáme průběhy funkcí pro různá,log xy a= {}1R −∈ +
a , .+
∈ Rx
1>a 10 << a
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
y=log1/2x
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
y=log1/2x
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
y=lnx
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
y=lnx
( ) RfHfD =∞= )(,,0)(
Je zdola i shora neohraničená.
Nemá v žádném bodě ani maximum ani minimum.
Funkční hodnota v bodě 1 je rovna .0
Funkce je rostoucí, tedy prostá. Funkce je klesající, tedy prostá.
Řešené úlohy
Příklad 2.10.2. Nakreslete graf funkce:
a) , b) , c))1ln( += xy xy 2log= xy
2
1log3= , d) 2log 1,0 −= xy .
Řešení: a) Argument logaritmické funkce musí být kladný, proto ),1()(a1 ∞−=−> fDx .
Posuneme graf funkce o 1 jednotku ve směru záporné poloosy x.xy ln=
-1 1 2 3 4
-1
-2
-3
1
2
0 x
y
-1 1 2 3 4
-1
-2
-3
1
2
0 x
y
y=ln(x+1)
-1 1 2 3 4
-1
-2
-3
1
2
0 x
y
-1 1 2 3 4
-1
-2
-3
1
2
0 x
y
y=ln(x+1)
- 61 -
Základy matematiky Funkce
V ostatních příkladech budeme postupovat obdobně:
b) dvojnásobný argument „zrychlí“ průběh funkce
x 5,0 1 2 4
xlog -0,301 0 301,0 602,0
x2log 0 301,0 602,0 903,0
c) funkční hodnota se ztrojnásobí
d) graf funkce se posune o jednotky ve směru záporné poloosy y.xy 1,0log= 2
1 2 3
-1
-2
1
2
0 x
y
1 2 3
-1
-2
1
2
0 x
y
y=log2x
y=logx
1 2 3
-1
-2
1
2
0 x
y
1 2 3
-1
-2
1
2
0 x
y
y=log2x
y=logx
1 2 3 4
-1
-2
1
2
0 x
y
1 2 3 4
-1
-2
1
2
0 x
y
y=3log1/4x
1 2 3 4
-1
-2
1
2
0 x
y
1 2 3 4
-1
-2
1
2
0 x
y
y=3log1/4x
1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
0 x
y
1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
0 x
y
y=log0.1x-2
1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
0 x
y
1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
0 x
y
y=log0.1x-2
- 62 -
Základy matematiky Funkce
2.11.Goniometrické funkce
Výklad
Goniometrické funkce ostrého úhlu jste poznali již na základní škole, zavedli jste je jako
poměry stran v pravoúhlém trojúhelníku. Následující definice jsou speciálními případy
obecné definice těchto funkcí.
Mějme tedy pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami a přeponou c . Pak definujeme:ba,
Sinus α je poměr délky odvěsny protilehlé k úhlu α a délky přepony pravoúhlého
trojúhelníku.
c
a
=αsin .
Kosinus α je poměr délky odvěsny přilehlé k úhlu α a délky přepony pravoúhlého
trojúhelníku.
c
b
=αcos .
Tangens α je poměr délek odvěsny protilehlé k úhlu α a odvěsny přilehlé k úhlu α
pravoúhlého trojúhelníku.
tg
a
b
α = .
Kotangens α je poměr délek odvěsny přilehlé k úhlu α a odvěsny protilehlé k úhlu α
pravoúhlého trojúhelníku
cotg
b
a
α = .
- 63 C
A
B
α
ca
b
.
C A
B
α
ca
b
.
Základy matematiky Funkce
2.11.1. Velikost úhlu – oblouková a stupňová míra
Středoškolská definice goniometrických funkcí se opírá především o pojem velikost
úhlu, kterou udáváme buď v míře obloukové, nebo v míře stupňové.
Mějme libovolný orientovaný úhel AVB , který umístíme do kartézské soustavy souřadnic tak,
že vrchol V umístíme do jejího počátku O, počáteční rameno AV do osy x.
Sestrojme jednotkovou kružnici se středem V, tj. kružnici o poloměru . Délka této
kružnice je
k 1
π2 . Obloukovou míru úhlu AVB definujeme jako délku oblouku jednotkové
kružnice mezi průsečíky ramen VA, VB a jednotkové kružnice. Pokud délka tohoto oblouku
má velikost 1, je velikost úhlu AVB rovna 1 rad (radián).
Na střední škole se většinou dávala přednost vyjádření velikosti úhlu ve stupňové míře.
Jednotka stupňové míry zvaná úhlový stupeň je úhel rovnající se
90
1
pravého úhlu. Kromě
jednotky stupeň, značíme , používáme i menší jednotky: 1 minuta (značíme ') pro
šedesátinu stupně a 1 vteřina ( značíme ) pro jednu šedesátinu minuty. Protože celé
kružnici odpovídá úhel 360°, přísluší oblouku délky
1 °1 1
''1
π2 úhel velikosti 360°, takže jednomu
radiánu přísluší úhel 547157
2
360 0
0
′′′=
π
.
Převodní vztah mezi stupni a radiány dostaneme z přímé úměrnosti
π2 rad………………..360stupňů
x rad………………...α stupňů
180
απ
=x ,
π
α
x180
= .
2.11.2. Funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens
Goniometrické funkce reálné proměnné x definujeme pomocí jednotkové kružnice.
V kartézské soustavě souřadnic sestrojíme kružnici se středem v počátku a o poloměru jedna.
Každému reálnému číslu můžeme přiřadit orientovaný úhel velikosti x ( v obloukové míře),
jehož počáteční rameno je kladná poloosa x a vrchol je v počátku soustavy souřadnic.
Průsečík koncového ramene s kružnicí označme [ ]MM yxM , .
Nepřehlédněme podstatný fakt, že definičním oborem každé z goniometrických funkcí je
podmnožina reálných čísel; ani jednou nebude řeč o stupních!!
- 64 -
Základy matematiky Funkce
Funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens definujeme takto:
x
y
x
y
sin yMx = ,
sin
tg
cos
x
x
x
= , cos 0x ≠
1α
1
M[xM,yM]
xM
yM
x
y
x
y
1α
1
M[xM,yM]
xM
yM
cos Mx x= ,
cos
cotg
sin
x
x
x
= , sin 0x ≠
xy sin= xy cos=
Definiční obor R R
Obor hodnot 1,1− 1,1−
Funkce lichá sudá
Základní perioda π2 π2
Rostoucí v každém intervalu
π
π
π
π
kk 2
2
,2
2
++−
v každém intervalu
ππππ kk 22,2 ++
Klesající v každém intervalu
π
π
π
π
kk 2
2
3
,2
2
++
v každém intervalu
πππ kk 2,20 ++
shora i zdola ohraničená shora i zdola ohraničená
Maximum v každém bodě
π
π
kx 2
2
+=
v každém bodě
πkx 2=
Minimum v každém bodě
π
π
kx 2
2
+−=
v každém bodě
ππ kx 2+=
-1
1
0 x
y
-1
1
0 x
y
π-π
π
2
- π
2
-1
1
0 x
y
-1
1
0 x
y
π-π
π
2
- π
2
Písmeno k v tabulce označuje libovolné celé číslo.
- 65 -
Základy matematiky Funkce
-1
-2
1
0 x
y
-1
-2
1
0 x
y
π-π
π
2
-π
2
y=sinx
3π
2
-
3π
2
-
5π
2
2π-2π
-1
-2
1
0 x
y
-1
-2
1
0 x
y
π-π
π
2
-π
2
y=sinx
3π
2
-
3π
2
-
5π
2
2π-2π
-1
-2
1
0 x
y
-1
-2
1
0 x
y
π-π
π
2
-π
2
y=cosx
3π
2
-
3π
2
-
5π
2
2π-2π
-1
-2
1
0 x
y
-1
-2
1
0 x
y
π-π
π
2
-π
2
y=cosx
3π
2
-
3π
2
-
5π
2
2π-2π
tgy x= cotgy x=
Definiční obor množina všech
( ) ZkkRx ∈∀+−∈ pro}
2
12{
π
množina všech
ZkkRx ∈∀−∈ pro}{ π
Obor hodnot R R
Funkce lichá lichá
Základní perioda π π
Rostoucí v každém intervalu
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++− π
π
π
π
kk
2
,
2
_________________
Klesající _________________________ v každém intervalu
( )πππ kk ++ ,0
shora i zdola neohraničená shora i zdola neohraničená
Maximum neexistuje neexistuje
Minimum neexistuje neexistuje
-1
-2
-3
-4
5
1
2
3
4
5
6
0 x
y
-1
-2
-3
-4
5
1
2
3
4
5
6
0 x
y
π-π
π
2
-π
2
-1
-2
-3
-4
5
1
2
3
4
5
6
0 x
y
-1
-2
-3
-4
5
1
2
3
4
5
6
0 x
y
π-π
π
2
-π
2
-1
-2
-3
-4
5
1
2
3
4
5
6
0 x
y
-1
-2
-3
-4
5
1
2
3
4
5
6
0 x
y
π-π
π
2
-π
2 -1
-2
-3
-4
5
1
2
3
4
5
6
0 x
y
-1
-2
-3
-4
5
1
2
3
4
5
6
0 x
y
π-π
π
2
-π
2
- 66 -
Základy matematiky Funkce
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
0 x
y
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
0 x
y
π-π π
2
-π
2
y=tgx
3π
2
-
3π
2
5π
2
-
5π
2
2π-2π
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
0 x
y
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
0 x
y
π-π π
2
-π
2
y=tgx
3π
2
-
3π
2
5π
2
-
5π
2
2π-2π
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
0 x
y
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
0 x
y
π-π
π
2
-π
2
y=cotgx
3π
2
-
3π
2
5π
2
-
5π
2
2π-2π
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
0 x
y
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
0 x
y
π-π
π
2
-π
2
y=cotgx
3π
2
-
3π
2
5π
2
-
5π
2
2π-2π
Znaménko funkce I. kvadrant II. kvadrant III. kvadrant IV. kvadrant
xsin + + - xcos
+ - - +
tg x + - + cotg
x + - + Monotónnost
I. kvadrant II. kvadrant III. kvadrant IV. kvadrant
xsin roste klesá klesá roste
xcos klesá klesá roste roste
tg x roste roste roste roste
cotg x klesá klesá klesá klesá
- 67 -
Základy matematiky Funkce
Goniometrické funkce jsou periodické.
Platí: Pro každé a pro každéZ∈k R∈x je xkx cos)2cos( =+ π
xkx sin)2sin( =+ π .
Pro každé Z∈k a pro každé ( )
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+−∈
2
12
π
kx R je tg( ) tgx k xπ+ = .
Pro každé Z∈k a pro každé { }πkx −∈R je cotg( ) cotgx k xπ+ = .
Funkce sinus je lichá, platí tedy pro Rx ∈∀ xx sin)sin( −=− .
Funkce kosinus je sudá, platí tedy pro Rx ∈∀ xx cos)cos( =− .
Funkce tangens je lichá, platí tedy pro Rx ∈∀ tg( ) tgx x− = − .
Funkce kotangens je lichá, platí tedy pro Rx ∈∀ cotg( ) cotgx x− = − .
x rad 0
6
π
4
π
3
π
2
π
π π
2
3
π2
xsin 0
2
1
2
2
2
3
1 0 -1 0
xcos 1
2
3
2
2
2
1
0 -1 0 1
tg x 0
3
3
1 3 nedef. 0 nedef. 0
cotg x nedef. 3 1
3
3
0 nedef. 0 nedef.
nedef. v tabulce značí, že hodnota není definována, bod nepatří definičnímu oboru.
Pro kteroukoliv goniometrickou funkci f platí rovnost:
)2()()()( xfxfxfxf −=+=−= πππ .
- 68 -
Základy matematiky Funkce
Řešené úlohy
Příklad 2.11.1. Určete hodnoty goniometrických funkcí ( )f x pro
5
6
x π= .
Řešení:
5
,
6 2
x
π
π π
⎛
= ∈⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟ tj. II. kvadrant. Vyjádříme si tedy
5
6
x π= ve tvaru 0xπ − , kde
0 0,
6 2
x
π π⎛
= ∈⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟ . Znaménka hodnot goniometrických funkcí určíme podle tabulky.
Znaménko funkce II. kvadrant
xsin +
xcos tg
x cotg
x -
5 1
sin sin sin
6 6 6 2
5 3
cos cos cos
6 6 6
5 3
tg tg tg
6 6 6 3
5
cotg cotg cotg 3
6 6 6
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
⎛ ⎞
= − = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= − = − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= − = − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= − = − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
Příklad 2.11.2. Nakreslete graf funkce ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= xy
6
cos
π
.
Řešení:
Graf funkce xy cos= , jehož průběh známe, posuneme o
6
π
ve směru záporné
poloosy x .
-1-2-3
- 69 -
1 2 3 4 5 6 7
-1
1
0 x
y
-1-2-3 1 2 3 4 5 6 7
-1
1
0 x
y
y=cos(x)
π
2
π
3
y=cos(π
6
+ x)
-1-2-3 1 2 3 4 5 6 7
-1
1
0 x
y
-1-2-3 1 2 3 4 5 6 7
-1
1
0 x
y
y=cos(x)
π
2
π
3
y=cos(π
6
+ x)
Základy matematiky Funkce
Příklad 2.11.3. Nakreslete graf funkce xy 2sin= .
Řešení:
Budeme postupovat od jednoduššího grafu. Tím je graf funkce .xy sin=
Nyní sestrojíme graf funkce xy 2sin= .
0 6
π
3
π
2
π
x π
0
2
3
2
3
0 0y
Průběh grafu se dvakrát „zrychlí“, perioda se zkrátí na polovinu.
-1-2 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
1
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
1
0 x
y
y=sinx
Příklad 2.11.4. Nakreslete graf funkce sin 1y x= − .
Řešení:
Graf funkce se posune o 1 jednotku ve směru záporné poloosy y.xy sin=
y=sin2x
π
2 π
-1-2 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
1
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
1
0 x
y
y=sinx
y=sin2x
π
2 π
-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 6
-1
-2
1
0 x
y
-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 6
-1
-2
1
0 x
y
y=sinx-1
y=sinx
-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 6
-1
-2
1
0 x
y
-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 6
-1
-2
1
0 x
y
y=sinx
y=sinx-1
- 70 -
Základy matematiky Funkce
Příklad 2.11.5. Nakreslete graf funkce xy cos2= .
Řešení: Graf funkce xy cos= je výchozím grafem pro sestrojení grafu funkce .2cosy x=
Funkční hodnoty se zvětší dvakrát.
0 6
π
3
π
2
π
x π
0 3 1 0 -2y
-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 6
-0.5
-1
-1.5
0.5
1
1.5
2
0 x
y
-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 6
-0.5
-1
-1.5
0.5
1
1.5
2
0 x
y
Při sestrojování grafů goniometrických funkcí vždy vycházíme ze základního grafu.
Jestliže se jedná o násobek funkce, tj. )(xkfy = , funkční hodnoty se násobí. Je-li
1>k graf se „zvětšuje“, je-li )1,0(∈k graf se „smršťuje“ vzhledem k ose x.
Příklad 2.11.6. Nakreslete graf funkce cos 1
6
y x
π⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Řešení: Opět začínáme od grafu funkce xy cos= , ten posuneme o
6
π
ve směru záporné
poloosy x a sestrojíme tak graf funkce ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= xy
6
cos
π
, ten pak posuneme o
1 jednotku ve směru kladné poloosy .y
-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
0 x
y
-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
0 x
y
y=cosx
y=cos(π
6
+x)
y=cos(π
6
+x)+1
-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
0 x
y
-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
0 x
y
y=cosx
y=cos(π
6
+x)
y=cos(π
6
+x)+1
y=2cosx
y=cosx
-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 6
-0.5
-1
-1.5
0.5
1
1.5
2
0 x
y
-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 6
-0.5
-1
-1.5
0.5
1
1.5
2
0 x
y
y=2cosx
y=cosx
- 71 -
Základy matematiky Funkce
Příklad 2.11.7. Nakreslete graf funkce 3sin
4
y x
π⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Řešení: Budeme postupovat od grafu funkce xy sin= , který posuneme o
4
π
ve směru
kladné poloosy x, máme graf funkce sin
4
y x
π⎛
= −⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟ a nyní funkční hodnoty
vynásobíme 3.
-1-2-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
-1-2-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
y=3sin(x-π
4
)
y=sin(x-π
4
)
y=sin(x)
-1-2-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
-1-2-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
y=3sin(x-π
4
)
y=sin(x-π
4
)
y=sin(x)
Příklad 2.11.8. Nakreslete graf funkce tg( )
4
y x
π
= + .
Řešení: Nejdříve určíme definiční obor funkce: 0)
4
cos( ≠+
π
x , odtud π
π
kx +≠
4
.
Graf funkce tgy x= posuneme o
4
π
ve směru záporné poloosy x,
přímky π
π
kx +=
4
jsou asymptoty grafu funkce.
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
π-π π
2
-π
2
y=tgx
π
2
y=tg(x+π
4
)
-π
4
-
3π
4
π
4
5π
4
3π
4
5π
4
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
y=tgx
π-π π
2
-π
2
π
2
y=tg(x+π
4
)
-π
4
-
3π
4
π
4
5π
4
3π
4
5π
4
- 72 -
Základy matematiky Funkce
Úlohy k samostatnému řešení
9. Postupně zakreslete do téže soustavy souřadnic grafy těchto funkcí
a)
3 3 3
sin , sin , 0,7sin , 0,7sin 1
2 2
y x y x y x y x
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠2
π
+ ,
b) cos , cos0,5 , cos 0,5 , 2cos 0,5
4 4
y x y x y x y x
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
10. Nakreslete graf funkce 0,5tg( )
6
y x
π
= − + .
2.11.3. Goniometrické vzorce
Výklad
Pro každé platí: ,( )fDx ∈ 1cossin 22
=+ xx 1cotgtg =⋅ xx .
Součtové vzorce:
( ) yxyxyx sincoscossinsin +=+ ( ) yxyxyx sincoscossinsin −=−
( ) yxyxyx sinsincoscoscos −=+ ( ) yxyxyx sinsincoscoscos +=−
( )
tg tg
tg
1 tg tg
x y
x y
x y
+
+ =
−
( )
tg tg
tg
1 tg tg
x y
x y
x y
−
− =
+
( )
cotg cotg 1
cotg
cotg cotg
x y
x y
y x
−
+ =
+
( )
cotg cotg 1
cotg
cotg cotg
x y
x y
y x
+
− =
−
Vzorce pro dvojnásobný argument:
xxx cossin22sin = 2
2tg
tg 2
1 tg
x
x
x
=
−
xxx 22
sincos2cos −=
2
cotg 1
co
- 73 tg
2
2cotg
x −
x
x
=
Vzorce pro poloviční argument:
2
cos1
2
sin
xx −
=
2
cos1
2
cos
xx +
=
2 1 cos
sin
2 2
x x−
= 2 1 cos
cos
x x+
2 2
=
Goniometrické vzorce používáme k úpravám výrazů, k důkazům platnosti rovnic a
k řešení goniometrických rovnic (viz kap. 3.7.).
Základy matematiky Funkce
Příklad 2.11.9. Určete pro která mají dané výrazy smysl a pak výrazy zjednodušte:Rx∈
a) ,xxx 2sin)cos(sin 2
−+
b)
x
xx
2
2
cos1
costg
−
⋅
,
c) .xxx 222
sincotgsin1 ⋅+−
Řešení:
a) Při úpravě použijeme dva vzorce: .xxxxx cossin22sin,1cossin 22
==+
.Rxxxxxx ∈=−++ ,12sincoscossin2sin 22
b) Při úpravě použijeme vztahy: xx
x
x
x 22
cos1sin,
cos
sin
tg −== .
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
cotg
sin
cos
sin
cossin
sin
cos
cos
sin
22
2
===
⋅
, Zkkx ∈≠ ,
2
π
.
c) Při úpravě použijeme vztahy: xx
x
x
x 22
sin1cos,
sin
cos
cotg −== .
Zkkxxx
x
x
x ∈≠=⋅+ ,,cos2sin
sin
cos
cos 22
2
2
2
π .
Příklad 2.11.10. Dokažte: a) ,0)
3
5
cos()
3
2
cos( =+++ ππ xx
b) xxx cos2)
2
sin()
2
sin( =−−+
ππ
.
Řešení: a) K důkazu potřebujeme součtové vzorce,
L = =−+− ππππ
3
5
sinsin
3
5
coscos
3
2
sinsin
3
2
coscos xxxx
+−−= xx sin
2
3
cos
2
1
Pxx ==+ 0sin
2
3
cos
2
1
.
b) =+−+=
2
sincos
2
cossin
2
sincos
2
cossin
ππππ
xxxxL
= Pxxx ==+−+ cos2cos0cos0 .
- 74 -
Základy matematiky Funkce
Úlohy k samostatnému řešení
11. Dokažte: a) 0)
3
4
cos()
3
2
cos(cos =++++ ππ xxx ,
b) xxx sin2)sin()sin( −=−++ ππ ,
c) x
x
cos1
2
cos2 2
=− ,
d) 2
)
2
cos
2
(sinsin1
xx
x +=+ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
1. a) ani sudá, ani lichá; b) lichá; c) lichá; d) sudá; e) lichá; f) sudá; g) ani sudá, ani lichá.
2. a) , b) , c)( 2,2−∈x ) )( ∞∈ ,1x (( 3,23, −∪−∞−∈x , d) Z,
3
∈≠ k
k
x
π
, e) ;3≠x
f) .),2()0,( ∞∪−∞∈x
Klíč k řešení úloh
1. a) , číslo patří , není splněna 1.podmínka , proto funkce}2{)( −= RfD 2− )( fD
není ANI SUDÁ, ANI LICHÁ.
b) )()(je)(pro},0{)( fDxfDxRfD ∈−∈∀−= ,
)(
55
)(
)(5
)( 2
3
2
3
2
3
xf
x
xx
x
xx
x
xx
xf −=
−
=
+−
−=
−
−−−
−=− LICHÁ
c) ),()(je)(pro,)( fDxfDxRfD ∈−∈∀=
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )=−+−=−−−−−=− xxxxxxxxxf sincossincos
( ) ( )xfxxxx −=−−= sincos LICHÁ.
- 75 -
Základy matematiky Funkce
d) ),()(je)(pro,)( fDxfDxRfD ∈−∈∀=
( ) ( )xfxxxf xx
==−=− −
2ln2ln SUDÁ
e) ),()(je)(pro,)( fDxfDxRfD ∈−∈∀=
( )
( )
( )
( ) ( )xf
ee
ee
ee
ee
ee
ee
xf xx
xx
xx
xx
xx
xx
−=
+
−−
=
+
−
=
+
−
=− −
−
−
−
−−−
−−−
LICHÁ
f) ),()(je)(pro,)( fDxfDxRfD ∈−∈∀=
( ) ( ) ( ) )(sinsin)sin()()()( 232323
xfxxxxxxxxxxxxxf =−=+−−=−−−−−=− SUDÁ
g) ),()(je)(pro,)( fDxfDxRfD ∈−∈∀=
ANI SUDÁ ANI LICHÁ525)(2)()( 22
−−=−−+−=− xxxxxf
2. a) 0
2
2
>
+
−
x
x
∧ 02 ≠+ x , ( )2,2−∈x
-2 2
- + -2
2
- + b)
,0ln >x 0>∧ x ⇒>⇒> 10ln xx ( )∞∈ ,1x .
c) 0
2
9 2
≥
+
−
x
x
∧ ,02 ≠+ x
-2 3-3
+ +- -2
3-3
+ +- ((
3,23, −∪−∞−∈x
d) ,
3sin
3cos
3cotg
x
x
x = 03sin ≠x ⇒ πkx ≠3 ⇒ Z,
3
∈≠ k
k
x
π
.
e) ⇒ ,03 ≠− x 3≠x }3{)( −= RfD .
f) 0)2(022
>−⇒>− xxxx
20
+ +-
20
+ +),2()0,()(
∞∪−∞=fD
- 76 -
- 77 Základy
matematiky Funkce
3. a) Jedná se o různoběžky procházející bodem 2 na ose y.
b) Jedná se o rovnoběžky, které vytínají na ose y úsek b.
4. a) , b) ,1)2( 2
−−= xy ],1,2[ −V 1)1( 2
+−= xy ]1,1[V
průsečíky s osami jsou průsečík s osou y]0,3[],0,1[],3,0[ ]2,0[
-1-2-3-4 1 2 3
-0.5
1
0.5
1
1.5
2
2.5
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3
-0.5
1
0.5
1
1.5
2
2.5
0 x
y
y=x+2
y=-x+2
y=2x+2
y=-2x+2
y=
1
2
x+2
y=-
1
2
x+2
-1-2-3-4 1 2 3
-0.5
1
0.5
1
1.5
2
2.5
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3
-0.5
1
0.5
1
1.5
2
2.5
0 x
y
y=x+2
y=-x+2
y=2x+2
y=-2x+2
y=
1
2
x+2
y=-
1
2
x+2
-1-2-3-4-5 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3-4-5 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
0 x
y
y=2x-2y=2x+1
y=2x-3y=2x+4
y=2x+
1
2
y=2x-1
-1-2-3-4-5 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3-4-5 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
0 x
y
y=2x-2y=2x+1
y=2x-3y=2x+4
y=2x+
1
2
y=2x-1
-1-2-3 1 2 3 4 5 6
-1
-2
1
2
3
4
5
6
0 x
y
-1-2-3 1 2 3 4 5 6
-1
-2
1
2
3
4
5
6
0 x
y
y=x2
-4x+3
-1-2-3 1 2 3 4 5 6
-1
-2
1
2
3
4
5
6
0 x
y
-1-2-3 1 2 3 4 5 6
-1
-2
1
2
3
4
5
6
0 x
y
y=x2
-4x+3
-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7
-2
2
4
6
8
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7
-2
2
4
6
8
0 x
y
y=x2
-2x+2
-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7
-2
2
4
6
8
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7
-2
2
4
6
8
0 x
y
y=x2
-2x+2
Základy matematiky Funkce
c) ,( )
2
3y x= + ]0,3[−V , průsečík s osou y ]9,0[
-1-2-3-4-5-6 1
-1
1
2
3
4
5
0 x
y
-1-2-3-4-5-6 1
-1
1
2
3
4
5
0 x
y
y=x2
+6x+9
-1-2-3-4-5-6 1
-1
1
2
3
4
5
0 x
y
-1-2-3-4-5-6 1
-1
1
2
3
4
5
0 x
y
y=x2
+6x+9
5. a) 2)2(
2
1 2
−+= xy , , b) ,]2,2[ −−V ]7,1[,7)1(3 2
−−−= Vxy
průsečíky průsečík s osou y]0,4[],0,0[ − ]4,0[ −
6. a)
4
9
2
1
2
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−= xy , ]
4
9
,
2
1
[−V , b) ,]1,2[,1)2(2 2
−−−−= Vxy
průsečíky průsečík s osou y]0,2[],0,1[],2,0[ − ]9,0[ −
-1-2-3-4-5-6-7 1
-1
1
2
3
4
5
6
7
0 x
y
-1-2-3-4-5-6-7 1
-1
1
2
3
4
5
6
7
0 x
y
y=
1
2
x2
+2x
-1-2-3-4-5-6-7 1
-1
1
2
3
4
5
6
7
0 x
y
-1-2-3-4-5-6-7 1
-1
1
2
3
4
5
6
7
0 x
y
y=
1
2
x2
+2x
-1 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
0 x
y
-1 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
0 x
y
y=3x2
-6x-4
-1 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
0 x
y
-1 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
0 x
y
y=3x2
-6x-4
-1-2-3 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
-1-2-3 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
y=-x2
-x+2
-1-2-3 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
-1-2-3 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0 x
y
y=-x2
-x+2 -1 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 x
y
-1 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 x
y
y=-2x2
+8x-9
-1 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 x
y
-1 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 x
y
y=-2x2
+8x-9
- 78 -
Základy matematiky Funkce
7.
a)
2 2 2 2 2 2 2 2
2
1 1 1 1
2
2
1
x x x
y
1x x x x x
y
x
− + −
= = = + = +
− − − −
= +
−
-1-2-3-4 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
0 x
y
y=
2.x
x-1
x=1
y=2
-1-2-3-4 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
0 x
y
y=
2.x
x-1
x=1
y=2
−
[ ]1,2 , 2S k = , průsečík [ ]0,0
b)
1 1 1 1 1
1
1 1 1 1
1
1
1
x x x
y
1x x x x x
y
x
+ − +
= = = − = −
+ + + +
−
= +
+
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
0 x
y
y=
x
x+1
x=-1
y=1
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
0 x
y
y=
x
x+1
x=-1
y=1
+
[ ]1,1 , 1S k− = − , průsečík [ ]0,0
c)
1 1
1
1
1
x x
y
1
x x x x
y
x
+
= = + = +
= +
[ ]0,1 , 1S k = , průsečík s osou x [ ]0,1−
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
0 x
y
y=
x+1
x
y=1
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
0 x
y
y=
x+1
x
y=1
- 79 -
Základy matematiky Funkce
d)
[ ]2,0 , 3S k = , průsečík s osou y ]
2
3
,0[ −
-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
0 x
y
y=
3
x-2
x=2
-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
0 x
y
y=
3
x-2
x=2
8.
a) b) c)
9.
a)
-1-2 1 2
-1
1
2
3
0 x
y
-1-2 1 2
-1
1
2
3
0 x
y
y=10x
-1-2 1 2
-1
1
2
3
0 x
y
-1-2 1 2
-1
1
2
3
0 x
y
y=10x
-1-2 1
-1
1
2
0 x
y
-1-2 1
-1
1
2
0 x
y
y=5x
-1-2 1
-1
1
2
0 x
y
-1-2 1
-1
1
2
0 x
y
y=5x
-1-2 1 2
-1
1
2
3
0 x
y
-1-2 1 2
-1
1
2
3
0 x
y
y=(
1
4
)x
-1-2 1 2
-1
1
2
3
0 x
y
-1-2 1 2
-1
1
2
3
0 x
y
y=(
1
4
)x
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-1
-2
1
2
0 x
y
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-1
-2
1
2
0 x
y
y=0,7sin(x-
3π
2
)+1
y=0,7sin(x-
3π
2
)y=sin(x-
3π
2
)
y=sinx
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-1
-2
1
2
0 x
y
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-1
-2
1
2
0 x
y
y=0,7sin(x-
3π
2
)+1
y=0,7sin(x-
3π
2
)y=sin(x-
3π
2
)
y=sinx
- 80 -
Základy matematiky Funkce
b)
-1-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-2
-3
1
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-2
-3
1
0 x
y
y=2cos(0,5x+π
4
)
y=cos(0,5x+π
4
)
y=cos0,5x
y=cosx
-1-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-2
-3
1
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-2
-3
1
0 x
y
y=2cos(0,5x+π
4
)
y=cos(0,5x+π
4
)
y=cos0,5x
y=cosx
10. Určíme definiční obor: cos( ) 0
6
x
π
+ ≠ odtud
3
x k
π
π≠ + . Pak
3
x k
π
π= + jsou rovnice
asymptot grafu ( )Zk ∈∀ . Budeme postupovat opět od nejjednoduššího grafu, jako
v předchozích příkladech s funkcemi sinus a kosinus.
xy tg=
tg( )
6
y x
π
= + Graf xy tg= posuneme o
6
π
ve směru záporné poloosy x.
0,5tg( )
6
y x
π
= − + Funkční hodnoty vynásobíme 5,0− .
-1
-2
1
2
0 x
y
-1
-2
1
2
0 x
y
π
2
-π
2
y=tgx
-π
6
π
3
-
2π
3
5π
6
y=tg(x+π
6
)
y=-0,5tg(x+π
6
)
-1
-2
1
2
0 x
y
-1
-2
1
2
0 x
y
y=tg(x+π
6
)
y=tgx
-π
6
5π
6-π
2
-
2π
3
π
3
π
2
y=-0,5tg(x+π
6
)
- 81 -
Základy matematiky Funkce
11. a) =−+−+= ππππ
3
4
sinsin
3
4
coscos
3
2
sinsin
3
2
coscoscos xxxxxL
Pxxxxx ==⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+= 0
2
3
sin
2
1
cos
2
3
sin
2
1
coscos ,
b) =−++= ππππ sincoscossinsincoscossin xxxxL
Pxxx =−=−−+−= sin20sin0sin ,
c) Px
x
L ==−
+
= cos1
2
cos1
2 ,
d) Lx
xxxx
P =+=++= sin1
2
cos
2
cos
2
sin2
2
sin 22
.
Kontrolní otázky
1. Jak je definována funkce?
2. Jak poznáte, že je funkce sudá nebo lichá, znáte-li její funkční předpis?
3. Jak poznáte, že je funkce sudá nebo lichá, znáte-li její graf?
4. Kdy je funkce rostoucí nebo klesající na definičním oboru funkce?
5. Jakou funkci nazýváme prostou?
6. Jak poznáte periodickou funkci, znáte-li její funkční předpis?
7. Na co všechno musíte brát ohled, určujete-li definiční obor funkce?
8. Jak poznáte lineární funkci? Jaký je její definiční obor, obor hodnot, vlastnosti a graf?
9. Jak poznáte kvadratickou funkci, jaký je její definiční obor, obor hodnot,vlastnosti a graf?
10. Jak poznáte lineární lomenou funkci, jaký je její definiční obor, obor hodnot a vlastnosti ?
Načrtněte graf.
11. Jak poznáte mocninnou funkci, jaký je její definiční obor, obor hodnot a vlastnosti?
Načrtněte graf.
12. Jak poznáte exponenciální funkci, jaký je její definiční obor, obor hodnot a vlastnosti?
Načrtněte graf.
13. Jak poznáte logaritmickou funkci, jaký je její definiční obor, obor hodnot a vlastnosti?
Načrtněte graf.
14. Jaké goniometrické funkce znáte? Jaký je jejich definiční obor, obor hodnot a jaké mají
vlastnosti ? Načrtněte jejich grafy.
Odpovědi najdete v textu.
- 82 -
Základy matematiky Funkce
Kontrolní test
1. Najděte definiční obor funkce ( )ln 4y x= + :
a) )0,∞ , b) ( )4,− ∞ , c) )4,− ∞ , d) ( )., 4−∞ −
2. Najděte definiční obor funkce 2
16 4y x= − :
a) , b)( 2,2− ) 4,4− , c) 2,2− , d) ( ).4,4−
3. Najděte definiční obor funkce
4
5
x
y
x
+
=
−
:
a) ( )5,∞ , b) ( ) ( ),5 5,−∞ ∪ ∞ , c) ( ) ( ), 5 5,−∞ − ∪ ∞ , d) 5,5− .
4. Najděte definiční obor funkce tg3y x= :
a)
6 3
x k
π π
≠ + , b) R , c)
2
x k
π
π≠ + , d) ( ).3,3−
5. Najděte definiční obor funkce 3 2
4 3y x x= − + :
a) , b) (( ) (,1 3,−∞ ∪ ∞) )1,3 , c) R , d) 1,3 .
6. Najděte definiční obor funkce cotg 2
4
y x
π⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
:
a) x kπ≠ , b)
8 2
x
π
k
π
≠ + , c) R , d)
4
x
π
kπ≠ + .
7. Poznejte, která funkce je sudá.
a) , b)2
3 7y x x= + − 2
cosy x x= − , c)
1
y x
x
− x= −, d) y x .sin 3=
8. Poznejte, která funkce je lichá.:
a) 2
cosy x= − x x= + − x, b) y x , c) y x2
3 7 sin 3− , d)
1
y x=
x
= − .
Výsledky testu
1. b), 2. c), 3. b), 4. a), 5. c), 6. b), 7. b), 8. c) i d).
- 83 -