Kapitola IV. K I X C N S 5 E í í ASI PřipOMOBa si nejprva záklaoní pojay q o s 1 ...o..u g n o a t í , důležité pro teorii nekonečných rad. Posloupnost tvoří množina hounot funkce f(n) ,pŕirezených přirozeným čísiňra n=l, 2, 3 » ........ Tzv, členy posloupnosti an tedy jsou : ax * f íl) » a2 = f (2) , e? = f (3) , ........... eR = fín) , _______. Posloupnost je tudy funkce definovaná v množině přirozených SíaeltKejíaat6ji bývá dána rovností pre n-tý Člen ; » í (n) » Zápisu jame : {an } » ax , «2 , &3 ,............... o^, aQ , an+1 , ---- nebo {fn.|}»-i,i, -i. j,......, (-i)^i,(-i)"^ u) (< i )a) -1, i . i . fc, ...............íl)-1 ,í|)n ,<|)a+1...... f4,\f m 1 _ 1 1 ,l»n-l /ixn ,l»n+l *f 'V* * > f» f» 3 * ..............» ...... 1.d\ _ 1 1 1 , l.n-1 , l.n . l.n+1 (h){4*3(n-l)\ * 4 , 7 , 10, 13 , .... 4*3(n-2i, 4+3(n-2), 4*3n Posloupnost {sn} SS »a^ýv^ o a e z a n á , jestliže existuje fiíato M té vlast-Boati,2e nerovnost Í sn 1 < M čili -B < a„ < S£ £100) & — n — Je spltířno pro k'.ždé přirozené číslo n. Posloupnosti U),íb)f (c), ...... (g) jsou omezené. Posíoupntfst i £-p j ga nazývá nulová , jestliže k libovolnému (aalému) a kladnému £íalu £ přísluSi čísle no té vlystno^ti.Že pro každé n>-nc je splněno I a0 \< t -t < % < e (loi) Kusí tedy od určitého indexu pcéínaje být väechny 51. ny v absolutní hodnote sensí než jaJckcli malé číslo kladné £ . řosl.-nipnosti (a),(ď)t(a)l(f)l(g)a jsou nulové,Vypočtěte v těchto případech číslo n a určete od kterého n je pri zvoleném E splněna nerovnost. (101). Například pre posloupnost (g) má plstit čiu < | )n < e Logaritmováním -n,log 2 <■ log £, /.{-!) s vypočteme n s - 188 - €-1 * • 10 je nQ - 2,322,nerovnost (101) le aplnéna pře každé n £ 4 , pro £= lO^ja nQ ■ 9??66,nerovnoet (101) je splněna pro každé n ? 10 , pro £ « lO^Je n0 «19»93 »nerovnost (1CI) je splněna pro teždé n J 20 . Palžíia zmenšování, kladného čísle 6 se zvětšuje příslušné n0 e existuje vžšy index n,cd něhož počínaje je váfly splněna nerovnost <101 ).S rostoucím n šustivá. ! an* menší než jakkoli malé klaďuéčíslo a tedy an se blíží nule. EaalaUBttfeal {«n} mé limitu L. když posloupnost { L - an} je nulová,tj,když k libovolnému malému a kladnému číslu € přísluší číslo nQ té vlastnosti,že pro každé o>n0 je splněno ll-sj<£ Žili t - 6 ^ an < L ♦ € (101*) Zapisujeme lim aQ s L nebo jen list an * L Posloupnost, která mé vlastní limitu L pro d^oo,h nazývá konvergentní. Každá nulová posloupnost je konvergentní.Posloupnost,která není konvergentní,a* nazývá divergentní. Konvergenci posloupnosti jsjišíujeme výpočtem její limity,což provádíme jako limitu funkce f(n) v nevlaatním bodé.Vis I.díl,str. 97 a 98 ♦ Máme-li dokázat,Že určité číslo L je limitou dané posloupnosti,musíme se o správnosti přesvědčit splněním nerovnosti (101a) obdobně jako u nulové posloupnosti. U posloupností (a),(d)((*;,(f),(g) je limita L * O, u posloupnosti (b) je L * 1, posloupnost (h) je divergentní. O posloupnosti (c) pravíme,že osciluje (nemá ani vlastní,ani nevlastní limitu). Velmi často se setkáváme a posloupností geometrickou {a^.q11"*}- : 2 3 n-1 *1 » •x'Q * f .......-"• «^««1 , ....... iq je kvocient Pro i qf<. 1 je tato posloupnost nulová a proto konvergentní. Pro geometrickou posloupnost se určuje součet prvních n cleno vzorcem : •n " q^Ť-I (102) O členech posloupnosti jsme dosud předpokládali,že jsou to reálná čísla.Takové posloupnosti nazýváme posloupnosti reálných čísel. Definují se i posloupnosti komplexních čísel. Členy posloupnosti mohou být i funkce (posloupnosti funkci).což zapisujeme s Například ^ xnj * x , x2 , 7? , ......... xn ,........ ^sir nxj* sin x , sin 2x , ........ sin nr , Doasdíme-ll za x číslo a., které patří definičnímu oboru všech funkcí fn(x), ctdržíme jistou posloupnost reálných čísel.Pravís» ,2e daná posloupnost funkcí v čísle £ konverguje nobo diverguje,když konverguje nebo diverguje příslušná posloupnost reálných čísel. Je zřejmé,že posloupnost funkcí at&e kenw?rgovat v Jistém intervalu,který se natývé ofasreg. konvergence dané posloupnosti funkci. - 18$ - OJĽSJĽlJĽSJt___5„Í_S.E_L_N_|___JLéJLIt Je-li {j^l posloupnost reálných čísel, pak symbol % ■ «! ♦ a2 +03 +.......- ♦.........,, se nazývá nekonečná číselná ?ada. Z posloupností reálných čísel na straně 188 lze sestavit nekonečné řady; napr,t 00 (a) J>r n "1 -i- « 1 + 1*1 n ± 2 3 00 hl*.......+ fer+ 00 '"^ (~l)n. 1 ■ -1 + U 2^ " 3 * ^ + (h) ^BL" [4*3(n-l>] = n=l Označíme-li symbolem sn součet prvních n členů nekonečné řady, pak čísla = a-j , a2 - *j* »2 » °3 ~ *l* a2* a3 f •......» 3n ~ al+a2+ * * * *+an jaou tzv.částečné součty nekonečné řady a tvoří posloupnost f an| ,nazvanou Existuje-li vlastní limita této posloupnosti,čili je-li posloupnost částečných součtů konvergentní,pravíme,že i daná nekonečná řada je konvergentní. Existuje-li lim an a je-li rovna číslu S, pak toto číslo nazýváme součtem BŽJreag&né řadg, Rada,která není konvergentní,se nazývá divergentní. Zjišťování konvergence nekonečné řady patří v teorii řad k základním úlohám. 1* 54iil£l3l_&£BIgEg2Qce _řgd^ n-tý částečný součet se dá určit jen u několika málo typů nekonečných řad, ^MŠSi_Q&fe2Q£2né_řad2_gegmetrick^: a.qr'-1 = a + a.q * a.q2 + a.q3 +.........+ a.q17-1 n*l~ 8 n 3 Vq 1 " ÔT^T*q ~ q^T Předpokládejme, že iq i < 1; pak lim sn « S ■ (103) Nekonečná geometrická řada o kvocientu j q I <. 1 je vždy konvergentní. Její součet S se určuje přímo uvedeným vzorcem (103).Pw> (q|> 1 geom.řada diverguje, 239.cvičeniŤ Ověřte konvergenci dané nekonečné řady vypočtením jejího součtu : a) J^ 10"2n 1a Ar - *™-'> 3 ' -7 b) 1 "} ••••.......A » - J,konv.;S = 4 J _ \ 1 1 .1 l * /~a E__i , konv.; S ■ 2 - VT ./ c) 1 "v? *"iÝF'L q vf d) 5^ (-l)n. , í q = - J , konv; S = - \ J n=T - 24Q.cvlgeni. Vypočítátl součet nekonečné řady ; 3 2 3 2 - 1£ -<*} * ♦ -j + -4 + —r ♦,.,«......f (součet dvou konverg.řad); / S = « _/ 4 4 4 4 J*^j",í*í~lS,*tf'"í^* (rozdíl dvou konverg.řad); / S - j J c)I + 2j*ij + -^+S^ « 2^. + ... (součet tři konverg.řad); /*S » || ý 5 5 5 5 5 n=j" Užitím součtu nekonečné řady geometrické lze sčítat řadu tvaru ^ ®n»bn > n=l jestliže posloupnost {«n) je aritmetická a posloupnost ^>n} je geometrická o kvocientu i q \ < 1 . ^ /1S4/.Příklad. Určití součet řady J£~" 2n-l nŽ 2n Sada je uvedeného typu,neboí ji lze zapsat: \^ (2n-l). *— n*l V tomto případě jeat : = 2n-l ; bn - *j , q = j S ■ l.J + 3.J + 5.| + 7.^ +............ Předpokládáme,že daná řaťla konverguje. Rovnici vyjadřující hledaný součet násobíme kvocientem příslušné řady geometrické a vzniklou rovnici odsčteme od původní f 8 * i * J + i ♦ ii * S ř 35 3_1 .2.2» 2 žili I » I * (| * I• + I ■ i * Hr-1 55 I * i a í j s = 3 *;----•-- Daná rada ja konvergentní * ?41.cvlgtnl« Vypočtěte aouSat řady : r-A » /"e- S 7 . ^ r2^ n + n / S » 2(a*l) 7 ca /185/.£řifclad. Ožiti* aoučtu S vyšetřit! konvergenci ř»dy T~"* r ái ln •ti&H2&) V ln i!n*íf?2n-l) = ln B * l»(2n*l) - ln(n+l) - ln(2n-l) Pro n * 1, 2, 3,......... vytvoříae členy řady a^, tt~* •..... Po sečteni obdržíme sn vyjádřené "algebraickým součtem o mulám počtu čla- - ljfr £' - C a* =1^2 + Íp4 - - lp^3 a3 =1d^3 + lj/7 - I9/4 - lj/5 a4 =lj/4 ♦ I5/9 - ln^ - lp/l 6 =1^5 ♦ ln 11 - ln 6 - ln/9 no. Vypočteme lim s„ - 3. a^ = O ♦ lyr) n*l n-3 n=í> an-l~ ^O*^-)* ln(2^1)-lp/n - ln(2^3) an = ln/n ♦ ,ln(2n^lKln(n-»l)rln(gil^l) ln(2n*i)-ln(n+l) = ln 2n+l lim an = lim t ln m (lim ) = ln 2 » S Daná řada je konvergentní. 242.cvlžení♦ Užitím součtu S vyšetřiti konvergenci ředy : 00 (Vn-*2 - 2. V"ň+T *Vn") , b) s~ ^"S = 1 - VI} konverg. _7 .1________( (odstraňte odaocnixty a) -řrp- ♦Vn^í* z dmsnovatala) ^~S- lim Ve = +00, řaáa diverg, J Součet některých nekonečných řad,.jejíchž n-ty člen lze roaložit ftg parciální zlomky ■ často jsou to řady typu 1_ % & ^ celé,kladné číslo 1 n*2J n=x ...... " jgo /l36/.příklad. Vypočítat! součet, S nekonečné řady \ ■ a = c 1 1 . 1 1 2 *1 n '" 5+2 n. ín+2) 2an - n n+2 t n~l 2a, ' l ' f n=2 2e2 a»3 2*3 ^ - y n--4 2e, 4 '+ - 0 p«5 1* 2as 26, 2«n»l " ' 28 1 : j n /O n+2 V obecném případě fiSL V" n~l čili lia s 1 I v rif í —flfcy . t ■: 2 ri+1 ív+2 ' - I " k s « | Bvtiá řada 4« konv«rg«atni. k 5 - 19*; - ;". .cyičer.ž. Užitím součtu a vyňetřiti konvergenci řfcdy ' ggL p.(n^ĽT » ^ 3n " 1 " nTT » s ~ 1Í£D 8n ' l» ř;ído á« konverg. _? c; 00 00 e) 3^ -—1-— /"a » «f C I -*=ir ) , S = ; konvergentní 7 <~~ (3n-2)(3n+l) - n 5 Jn*1 -*i—— » í 8n ~ fy 1 " 2n?I ^ , S -■ i ; konvergentní 7 ár 40 -1 n3 An8* 2n 8n * ^ " G^ifesr) 1 s " Í 5 konvergentní.7 h) ^2 grrfl /"a = I--^—jr , S a 1 } konvergentní / n2(n+l)2 * " (n+1) k) r22'----3»^ a_ = « { 1---- } , S ■ 1 ; konvergentní 7 n=l Má-li řada konvergovat,musí lim » O (podmínka n u t n á).To aaaaená.že á«-U lim a^sO, lse řícifže řada aůSe konvergovat,Je-li lisa a^ |É O, řada diverguj*. Pro dalSí úvahy je důležitá tav. harmonická ř j> i a, • « u níž lim » = 0 , avšak o řadS se dokazuje,že je divergentnít Existuje i B2ä5ÍBfeS-.SUÍSá_a^29.3taS«jící ke konvergencí nekonečná řadyí Bolzano- Cattchyftv konvergentní princip)„které ae užíva k odvození konvergenSaích vět (kriterií) a kterou lze někdy vyšetřit konvergenci nekonečná řady,když selhav*-jí jednoduSSí prostředky, **• ra|T|§IA_^g^MOT_^0^NÍ^_„|4gs, (Podmínky p o s t a é u j í c i) Užijeme několika nákladní ch kriterií pre konvergenci nekonečných fad s S.y l„t.,e r i ^ a _$xr o á,t..• c .1 rt NeCb^ J=L *n » bn jsou řady a k 1 a d n >' >s i 5 le a j a nechl od určitého indexu počínaj© jest aQ ^ bQ. íSada TJ* *n je SäÄiESBiSíS * řadě S*" ant ^a^a ^7* an íe 2*2££äS*£4 k T~ \.) Pak plstí! « 19} - a) Je-li řada t>n konvergentní, je také řada Jš, an konvergentní. ( Konverguje-li řada s většími členy, konverguje i řada s menäími členy,) b) Je-li řada \ &n divergentní, je taká řada Js> bR divergentní. (Dlverguje-li řada s menSími členy,diverguje i řada s většími členy.) Poznámka: K zjíStšní konvergence nebo divergence řady tímto kriteriem,musíme užít pomocné řady, o níž víme,že je konvergentní nebo divergentní. /187/.příklad. VySetřiti konvergenci nebo divergenci řady : a) \ -j— ■ 1 * + ♦.......* ^7 *..... » an = "T~ n=T n 2 3 4 n n VySetřujtoe konvergenci : Pomocná konvergentní řada : Ti -2 i kóíeíps^e platí ~~2 ■ —■- Čili, že zvolená řada je majorantou . n (n-l)n Hatí pro každé n ; n "P" (n-l).n a tedy -4-«t£-1- pro n »T 2 ( jak bylo dokázati ) n (n-l).n Daná řada ( 8 menšími členy) je konvergentní. Konvergují také řadyr —™*—g— ,kde k je celé číslo. (n+k)' pro p = 2 b) J~ _1_ íčl np Je-li p^2 , jest np^n2 a tedy ^p~ ^ 1 Poněvadž řada \^ -g ( s většími členy) je konvergentní,konverguje i řada X ~? ( a menšími členy) pro p 7 2, «Si_ nP Konvergentní jsou také řady —■—- , p Z" 2, k, celé číslo. (n+k)p Některé řady pro srovnávání řad : * • : fi1: \ a.c""1 --tričká řada 3 |q| r " ..r " "Tř* *.....* nTH^n ♦•(konver«'> : : V V" i^* 1+4- + -J"— *.....+ « ♦ p > Xt (konverg.) • gŽT 2P 3p np p< 1, (diverg.) I í. pro pal (řada harmonická): * í § . , -i l • a4* x~ ™ = 1 ......»- * ..... řdiverg.) : Vyšetřeni konvergence nek.řady srovnáním s geometrickou řadou^ /188/. přiklad. Dokázati konvergenci řady: a) Jt~ -V =~ ♦ *~L-* ........+ -i- +..... n^T" n.2n 1.2 2.4 3.8 n.211 Pro n ■> 1 platí : 2n < n.2n čili ~ > -JL. 2n n.2r' oo oo Geom.konverg.řada \ 1 . . , , \ 1 ° > —jj- je majorantou k řadě S> -~r , které je tedy tuké konvergentní. 00 1 1 1 i i b) ^> sin ~ = sin j * sin | ♦ sin | + ........+ sin -~- + .... n=l 2 2 Ze vztahu p?- sin ©i, , c > O, plyne ~ > b in — oo 2 oo Geom.konverg.řada -i- je majorantou k řadě ^ sin -^jj , které je také konvergentní. oo oo je luně «.uuvfrgfiHiu, oo OO oo 244. cvičeni. Dokázati konvergenci řad : a) \ —=- , b) \ —=—, .c) \ -«1 Á n-5 ér n'3 n^T n • oo_ oo oo J> -1 gn . e) ST" -i- , f) Y ain oo , VySetřenj konvergence řady srovnáním s konvergentní řadou Jš^~" jpr—j-j , příp. ^> 'fn-l^ň " Viz Příkl0d ČÍS./186/. n=2 oo po 245. cvičeni. Dokézati konvergenci řady : a) 3^ ~5—~—7 » b) > -i-x « oc_ ík nZ(n*l)2 (n*l)2 ÍÉI nST n2+ 2n " ^ „e Vyžetřeni konvergence řady srovnáním s konvergentní řadou -ij , případně oo_ , oo_ n=T* n -5 » pŕip. V 1 n-D2 ^ (n_2)2 ' H3T C --j u,-«, „o /189/.Příklad. Vyšetřiti konvergenci řady -| n=l n ♦ 3 2 2 Pro tož dé n platí: / - < -iU = -i^ n4+ 3 n4 nz °S_ x 00 n2 Konverg.ředa \ —*" je majorantou k řadě \ — , které je tedy n=l n=1 ta ké konvergí ntní . 00 A90/.přiklad. Vyšetřiti konvergenci fe dy _1 n2- 4n ♦ 5 Platí: n2- 4n + 5 ^ (n-2)2 a tedy -5-i- •■ 1 , , n y 2 n - 4n + 5 (n-2)' 22_ 00 Konvergentní řada \ .......1 -5 je majorfantou k fe dě > _Í_ £5 (n"2) n^T 5 ' která Je tedy také konvergentní. 2"°0 P13 . 195 _ 246.cvi.gyni. Dokažte konvergenci £aů i co o* oc a} > —-—« ;, »/ j> T"— » £ «ejorentiH£ řade > ~" 1 c) \ ~*.......- , aa jorsntni rada 5" ■—■~~ d) J> rn>TTtrľ*TT'ii*l) • r^iwantoí řada J> -Jj .? JEgžs třeni divergence srcjvnégia e.. harwosicksu radon ^> , připadni V~ 1 X" 1 ** » M ^"ř A91/.Přiklad. Dokažte divergenci ředy j 00 ■g— logic+i) log 2 log 3 log 4 lcgín*l> Pro každé n platí i a + 17 loaín-»i) a tedv -=■■ «fi *—4—-v, 00 Divergentní řada ^ J5*x~ «fe aifiorsiiteto k dané řado ^ Ttž~>T*H která je tedy také divergentní. 00 ičt \/n(n*2; VTT5 Va,4 V'J3~ \ralň>I) ři%tís ín«-2)(cr*2> n(a*2) , Vín«2Hn*2>r-" $íín+2) * a*23>»\fm»+2) JL_<- ........i.., au '5-* 2 * iT—:—- "C™ Va«.n*2) Divergentní řada ,> ^fg J« nlnornntcu k dené řadě,která je tuké divergent. 247.cyii*BÍ. Dokelte divergenci řady 5 BO,.. OO 00 g£_ ^2 log a é%5 V l«g B 2 • KriterittR podílové í á A 1 s a b e r t o v o ). vyslovíme přímo tsv, 1 i m 1. t ni podílové jtritffrtLug : líechí T a_ je ředa s kladnými členy .ExistuA-li lim -SSi > j, . pak daná řade konverguje , je~lí L*tl, diverguje , je-li. L^ 1 , Je-li L » 1 , nelze tímto krlteri** o konvergencí lady rozhodnout . - 196 - 2 A 400 /192/.príklad. Vjšetřiti konvergencí řady : s) V" -2~ = i + -K + —2- + * -i- ♦ -4 2° 2 22 23 2n , . eP-fl _ ž"*1 _ nm 1 B Ž l - 1 i 1, oo y fT TC if tT n»l !a£L_ s lia--* * lim *T . Sil = 1 1=0. L = lim -f^- 35 lia-----; y = liffl _ ; -— . = D • tg 7^1 2-** TmS "2—f— L = - . Daná ite da je konvergentní a ^ Při úpravě ulito : tg = -=—- , / 1 - tg* 2 246.cvlčeni. Vyšetritifzda dané fedo konverguj nebo diverguj : PC OO - ' OO , i S~ , f_ konverg._? b) p fjiPX™" » ^divergentní 7 ^3" 2l'(2nn) ní5 2 ■5) r oo f: \ • , £_ konverg. 7 - 197 - ždé a V příkladech dalšího cvičení užijte při úpravě vztahu : k I = k.(k-l)| Například : (n+l)l = (n+1). ni (2n+2)l = (2n*2).(2n+l)I = 2.(n*l).(2n+l).(2n)I 2«t9.cvičenl.Vvaetřiti.zda daná tede konverguje nebo diverguj : Q°. 4 °£_ q a) y %J » jjy , a > 0 , ^"konverg. pro ka n=l n=l M c) V" 1000° f ./"konverg. 7 , d) J> , /" divergentní 7 , ^~ n 1 n% 5 n=l ^ ^ (2n^7T » r^nverg.,7, f> ^ T?n7l » konvergentní J , no2 2 oT „ g> » konverg. J h) JT i?2WL » k«"ergentnl .7 , n=l n=l 250.cvičení. VySetřiti,zda daná řads konverguje nebo diverguje : oo oo a) 5" 5b • ^"konverguje J , b) 5" — . reversu* J c> \ 2°ánjt ^-konverguje 7" , d) 3" n •sin ľ£~ » ^"konverguje _7 3. Kriterium odmocninové (Cauchyovo). Opět vyslovíme přímo tzv. limitní odmocninové kriterium ; Nechí \ a je řada s kladnými členy .Exi3tuje-li lim\/"a~ = L pak daná řada konverguje , je-li L < 1, diverguje. , je-li L>1 . Je-li L = 1 , nelze tímto kriteriem o konvergenci řady rozhodnout. Odmocninového kriteria užívané ,když člen an je n-tou mocninou výrazu závislého na n nebo takovou mocninu obsahuje jako činitele. A93/. příklad. Vyšetřit! konvergenci řa dy : oo ^ n11 22 Ý 44 nn n,— i L = lim V a = lim — = O. Daná řada je konvergentní. Ur un b)V-4r- =-*~ + -4-+..........--4- arctg n arctg 1 arctg*^ arctg"n L = 11» ty^ = lim -si— = ..li. = a . -Jr ,4. Je-li 8 - = r-*r + — + -4— + ........ ♦ —-i- «■....... 2n(2n+l) 2«3 22.5 23.7 2n(2n+l) Clen není v tomto připadá n-tou mocninou výrazu závislého na n ale obsahuje takovou mocninu jako činitele.Zapíšeme jej takto t -<4>". 2n(2n+l) v Z ' • 2H+T - 198 - n 11 .. . — i L * lim * lim Í .RE+I * í.lim (2n+l) ° = \ . U . 1 n H * Hm (2n+l) . Vypočteme jako limitu funkce : 1 2 ln M * lim f - x.In (2x*l) J => - lim ltt(2»+l> - _ llm 2x+l , . 0 , 0 M = 1 j L = j| . 1 » ý Daná řada diverguje. 251.cvičenit Vyoetřiti konvergenci řady í a> JlTc 3§tt ) » /"konverg._7, fc) ,/*""" 1 5 » C konvergentní 7 n=l ~ n=T (3+ £ ) e) X~nn.an , ^ divergentní /, d) / ~ ľ~ , / konvergentní 7 n=l n=l log^ (n+1) . o? _ _ oo 2 e) } arcsinni ,/ konverg._7 f) J_ -i . 1 J1 f. ~ n=T~ n n^T 3n ,(1 n 5 » / konverg. _/ oo _n _ oo n2 g) 2~ " n , ^"konverg._7, h) J~ - M - _ 1 VnT,TOT,ff 7 ÍfT (2n*l) ^-=- 2 > / L ■ J , konverg.y n=1 (n+l)n k) }" nP.sin11 § , / diverg. 7 m) >^ -2-- , /"konvergentní 7 ér n " " ži n=T (2+ § ) Užijte tohoto kriteria k vySetřeni konvergence v příkladech cvičeni 248al>c. 4. K_r_i_t_e_r_i_u_m___i_n_t_e_g_r_á_l_n_í_i_Cauchj_-_Maclaur^ Kechí JT" a^ je řada s kladnými členy a^ = f (n) , přičemž funkce f (x) £ O je spojitá a nerostoucí pro x > ot ^ 0. Pak řada \ f (n) má týž konvergenční charakter jako nevlastní integrál 00 J f (x) dx. Při užití se zřejmě předpokládá, že výpočet integrálu ;ř(x) dx nebude činit zvláštních potíží, /i^/.příkladf Integrálním kriteriem vySetřiti konvergenci řady : , r22, i.. i i i a) 2_ n.m+i) = 17? ♦ 2TT +.........+ ňTTň+TT +...... Funkce x. fx+1) Je spojitá a nerostoucí pro x>l . Určujeme proto konvergenci nebo divergenci nevlastního integrálu "tiS. I ta 31 - f - tJS. 1111 *ř I* ■ =^lim^ {ln x^j -ln £j= ln 1 + ln 2 = ln 2 - 199 - Vyšetřovaný nevlastni integrál konverguje a tedy konverguje i daná řada* Konvergence daná řady byla vyšetřována užitím součtu S.Viz cvič.243a. oo b) J —i— * 1 + ~~r + I * -i- ♦......+ —i— + .... V4n+1 Funkce - * je spojitá a nerostoucí pro x > 0. /°° ~==r «| / « ?d» , i. lim / x ? d* « i.limk.fc"! ilim ( ft- 1) = ♦ jo 4t*oo Nevlastní integrál diverguje,proto diverguje i daná řada. 252.gyičení., Integrálním kriteriem rozhodnete o konvergenci řady : oo t - - oo 1 ~ a)r* , / konvergentní./ , b) \ -j— , ^ konvergentní _/ e)^ -iji—, ^ konvergentní_7 , d) JT~ -" g1 , ^ divergentní _7 n=. T , / konvergentní 7 fel (2n-l)?-l " " nTT (n*l> ~ oo ,—,A ■ f£ divergentní/i h) J> -—--- ./ konvergentní./ St) | -^r- , ^ konvergentní._/, a) \ ——i—■,- ,„.._ f / konvergen. / Jjry n.lnJn j£j 3 .cvičeny* Vyšetřit! konvergenci dané řady : oo ^3 m oo n a)*^. 2n » ^ konvergentní .7, b * lOOOn ♦ 1 i £ divergentní J 6 * ňlto^n"' ^ konvergentní^/ <*)*2L arctg11 - , /'konvergentní J 81? 11/"konVergentní.7 , t)jf* -j1*— , /konvergentní J EST 2 *n l n — 9 g) J> -2ä , /"konvergentní /, h)ý ~T , /"divergentní 7 k) x" - « ^ i ^"divergentní 7 a)J>--—i- , /"divergentní J 5«T na Wl (n*l).ln(n+l) n)2~ (* ^ S )2,ííkoimrg. J o)JL — • , /"konvergentní ý n^I 1 ♦ nz Í£? (log a) a " - 200 - ?)JL 5 + 1 , i divergentní J, q)J -f±ZZJí t L konvergentní „/ ííselná řada stfiža obsahovat sápomé členy. Jacu-li j»jí íleny střídavě kladné" a ?.ápoma, assyvá ae řada •l..-I„,,Í„S...£_S.Jl-á_i_£_ía, řada ůft a a a, ♦ a» * a-,. ♦ •»..»,. ♦ a_ + • • .< |«nl a jajl * |a2l * |»3! *..... + jej ♦ .... mf Vladné. Platí : oo írguje řada s abaolutními hodnotami,tj.řada^ |»nj , pak konver- n£ které" ílersy :>.áp>er?.íé;. pak řada vv««chny Slaný kladné. Platí : oo ■Jí stli la konve*.... qp n=l iX-.jje i řada bess absolutních hodnot, tj.řada \ a . V takovém případě o řadě 2 3 pravíce, že konverguji absolutně. f 13$/ipřiklad* Vyšetřiti konvergaci řady i *> Zf (-i)11"1.-^ -1 - ♦ - r? ♦........ ♦ t-D11"1. 4-+ ••• n*T nfc 2 5 4fc Dané řada konverguje, a to absolutně, poněvadž konverguje přísluSná řada 2! Absolutních hodnot ,t j. řada 1 + ■ \g- ■*■ ♦ + ..... + 4 2' 3' 4C b> j* 2£jp*= * 2« ♦ ...... ♦ SSAJl* +......kde O. je libovolné číslo. oq Vyšetřujeme konvergenci řady z abaolutních hodnot ,tj.řady > lcP» nflCj : • v leoa n«l . , Platí | cos n« I < 1 a tedy také 2n < ~» Konvergentní geometrická řada je majorán tou k raději leps nctj, n^T 2 nTT 2 která je tedy také konvergentní. Daná řada konverguje absolutně. Alternující řada může někdy konvergovat,! když přísluSná řada z absolutních hodnot diverguje.Pak pravíme,že taková řada konverguje relativně neabsolutně) Viz následující příklad. ?ro konvergenci alternující řady se užívá t«v. kriteria Leibniaovat Alternující řada JT*" «n konverguje, je-li splněno : 1) od určitého indexu pro každá a platí |*n*i | i I*,*! 2) lim jej = o - 201 - /196y,pfikla3» Vyšetřiti konvergenci řady : n+1 a) J~ (-D * a s 1 " í * i " T......+ <"l>'n + 1. podmínka r ja^j 5 |an | tj. ~j < * je splněna pro každé n , 2. podmínka í lim Jan| = O tj. lim ^ = O je splněna. co Daná řada konverguje.Ale poněvadž řada z absolutních hodnot,tj. (harmonická řada) je divergentní,konverguje daná řada relativně, M ^(-D-^.žgi. |-f .f-......... 1. pmtaínto t <|^,| tj. 'ffiffi3 < Je splnžna.neboí 2 2 po úpravě jest 4n + lOn < 4a ♦ lOn ♦ 6 2. podmínka r lim la^l = lira %2g2- ■ 1 (-1) .s^j^j-j^konverg.relatj/ n=l 0 \ oo n+1 - - co n+1 , } J~~ (-D .B** , Z diverguje,/ ; f) V~<-1) .-*r ,/konverg.relat._/ tkl #1 Vn oo n+1 -i _ oo n+1 , /£---, 8>nC # ^ ^0DV*ab80l*-/ ' h> 27("1} •Cn+í)L(n+l),^eTl7 k) jS- sin noc ^ /"konverg.absol. /; m) T22 iiH-SS* ^konverg.absolutně / V_ý_z_n_a_m___z_b_jr_t_k_u___ř_a_d_y___B£2_B\HK.EÍ£feé_ZÍB2l£2i. Jen v málo případech dovedeme vypočítat součet řady. Nahrazujeme jej součtem prvních n členil (při vhodném n) čili n-tým částečným součtem.Tím provádíme přibližný výpočet součtu řady. Chyba,které se přitom dopustíme,je vyjádřena zbytkem n = S - s„ n * an+l + an+2 + *n+3 ++ an+k + (Výpočet chyby má zřejmě smysl jen u konvergentních řad.) - 202 - Poněvadž zbytek řady Je opět součtem Jisté nekonečné řady,určujeme Jej odhadem. Pravíme,že provádíme odhad zbytku Cíli odhad chyby. Odhad chyby Je nejJednoduSší pro alternující řady J *n , u nich* od urMtého ii počínaje Jest !«a*J i l«ae2l*h*jl *........ilV*L........ >0 Pro zbytek takových řad pak platí : 2) znaménko zbytku se rovná znaménku prvního vyaeohaného Sienu čili sgn ^ . sgn a^ /197/.Dřiklad. Je dána řada Jy . Určiti s) odhad chyby,a*čteme-li Sest členA řady , b) počet členů řady,aby chyba byla menči než 10"^. a 1 - - ♦ * Z -h + Ůo~lk*& ^ 0,63194 I s«í « « «7 - fy * " 0.00019 |r6| < 0,00019 < 0,0002 Sečtením Šesti členů dané řady se dopustime chyby menäí než 0,0002 . Součet řady m píšem* : S » 0,63194 ♦ 0,0002 Hledaáme nejmeněí přirozené číslo n, jež splňuje nerovnost TiTiTT < ÍOOOOOÓ (a+1)t > 1 000 000 ■ určím* zkusno : 81 » 40 320 9! * 362 880 10! » 3 628 800 101 > 1 000 000 3 628 800 > 1 000 000 • ♦ 1 « 10 » - 9 lutao ečltat prvních 9 ileau,aby chyba byla menší sei 10 . 255.iJliiai.Pro danou radu určiti: 1) odhad chy by,oečteme-li k členu , 2) počet čleau,sby chyba by la menší aež daaé oo čísle £ . •) 2-{~1)U*' Í • D k - 8 , 2) £- 10"3t^-l) jBg|í \ , 2) a > 999 .7 B=l b) ^"("1>*"1* ^ ' X> k " 102* 2> £ * 10_2»I*i02lí^5 • 2>B - 49 -7 e) f-(-l)-1. ^ , 1) k « 9, 2)£-10-\r13 l^lí* 2> • í 14 -? a*l «> ^(-D-1. D k - 5. 2) £- 10-*. T1} Kjž ^ , 2)» > 7 .7 - 203 - Sfetgrá daia.i a Ak lada^j^t »tfe..,gro.yycodat.M^P t§BÄ «t^^lft. *Sá3L ! A> ^> W pro »oytek \ amt» pausen« **an.řadr. wo A9a/.ortfclaä. jpro jaké a uriisaa É « 1 ♦ |j 0 chybou aaaSl nai 10"* f a«i Bieda«« sajjMsJSi » , pra ktaré Ja at Sl < 10"® \ * TS&TT * Täfer * TAH * —..... ■ Tüirr •[1 * Ar4 r»^!(^)* 1< xsin * f1 * ár * t±\"2 ♦« geosufisdĽ ö _ _1 1 _ _ 1 »♦! Ha < tb*ttí • rrx issott* * Sa <_ j*rr • HJadaaa eejataítaá přlrosoaé diala a , pre oôf platí -iL- .< i o"*® *,ai 511 x n,»| > 100 000 000 Zkueso vySatřísOjše » e 11 Vypočítaniu i., sa dapuatlaa c fty by sanáí aai 10 „ Ter.ta poatup vyjadříaa aeaeai aá«l*dujíeí větou v odstavci g) 2S6.evlčaait Pro jaký podat dienft rady Jt~ '*» g urdíae jmjí oaoeat s chybou jí«tl I'M) etcaéí aal jo"5 ? /a « $ 7 ) Veto«: Vytvařiaa-li k daaá řaíě Jž> a^ poaocaoo gsaauřadu tak,aby pro všae&aa j « I j** ä>1 platilo * q <: 1 . i aa ! p&k zbytak aaaa řady opiáoje narovneat (10*) AS9/.pj£iÄiá. tbtfiti odhad chyby o řady ^> , eeeslae-li aa a« sei« iáaí a cleau. -f-*-* * ^g^1 s ^ * ®|J ■ q < 1 prs a > 1 a 2^ i 2® l-g* 2"(a-i) 257,cvidaažn Vrditi ©dbad chyby ôaaýsb řad,mezím-li. aa jaa aa očltási a clano x , •í-7'1 f v, < 1 ~ 00 G) Větou : Hechi ^> f (n) je konvergentní řada 8 kladnými členy, pri ffai&S f{xl n=l je spojité,kladné a nerostoucí funkce pro x>1 . Pak s J tu * i ■ _/ f (x) dx a M "T i > —1 , omezise-li ae jen as a /200/. gříklad. Určiti odhad chyby íedy sčítaní a členu* Funkce je pro x p^l spojité,kladné a nerostoucí. T" I — 31 dx /x'^dx « lim / a~"dx ■ lim -™~V~ ■ = -j-K- .lia{ —--i-r o<- -l v F-i U.a _^-l 258.cvičení, určíti odhad chyby daných rad, omezíme-li s« jen na sčítaní a členů eg •> JE" f\ -í" |-«ct« ! -7, b) B-l * * * 1 ,-R < I. 1 (2n+l)3 " * 4" <2a+l)2 205 . F U . j?_K_C__N_f_JĽO-It, Cleny funkčních řad jsou funkce(vytvořená podle určitého předpisu).Definujeme: Je-li f-^x) , fg(x) , *3;(z) * •••••• fn(x) i *•• posloupnost reálnych funkci, definovaných v intervalu D, pak funkční řadou nazýváme symbol (x) * f2(x) ♦ f2(x) + f-j(x) ♦......♦ fn(x) + Pro x = a, kde a je reálné číslo náležející intervalu D,přejde funkční řada v číselnou řadu fn(a) s fl(a) + f2(a) + f3(a) * * fn(a) * n=3" Příklady funkčních řad r T~"(-l)n 1.n2xn~1 » 1 - *x + 9X2- 16X3* . oo n»l g*nj;2jn-l?x . sin x + ainjx ^8jLn52t+^# n°l Funkční řady mohou pro některá x konvergovat a pro některá divergovat. Množina všech reálných čísel x z intervalu Dtpro něž příslušné číselné řady konvergují,tvoří tzv. k_o_n_v_e_r_g_e_n_č_n_í___o_b_o_r funkční řady.Určime jej tak,že z podmínky konvergence,kterou získáme užitím některého kriteria (podílového nebo odmocninového) obdržíme nerovnost pro x.Její řešení je hledaným konvergenčním oborem. Pokud se v ní nevyskytuje x, je konv.oborem celá osa.Viz /2ol./ příkl. /201/.příklad. Určiti konvergenční obor řady í a) x*1"1 = 1 + x + x2* x3*.........+ x° ♦..... Daná řada je geometrická o kvocientu q = x.Taková řada konverguje pravé když |q| < 1 čili když |xl < 1 a tedy pro -1 < x < 1 Interval (-1, Dtvoří obor konvergence dané řady. oo n—1 , _ b) JT~ <~1> .n.*?-1 = 1 - 2x ♦ 3X2- 4X3 +....... n»l VySetřujme absolutní konvergenci : L = lim| So±i| » lia |Iaa^L| » lim Sil .|x| - IxLlirffil-|x|.l - |x a I n.x ( V limitním přechodu považujeme x za konstantu.) Daná řada Je konvergentní,když L<1, td.kdyl |xl < 1 a tedy opět pro -1 < x* 1 ni L » lim ittlL um NŽL. : aČ I « |x| .im -Jr- ■ |x| .0=0 (n+l)l limita L<1 není na x závislé a proto daná řada konverguje pro každé x. - 206 - n+1 -1) .ICP.x11 « 10x - 102.x2 + líP.x3- 1+1 , >n = - ( -*~ )2 + ( -s* ) 3- .( x*? ) x+7 v i+2 ' * v x?? ; d)J~ (-1 n^r L ■ lim yvŤ.J* * 10. i x i ; 10. | x| < 1 čili - j$ < x< $3 ., £ «, Užijeme opět odmocninového kriteria : L = lim |f|( ^)n| = lim Ijtyl =|^| Podmínka konvergence : [j^j < 1 ěili |x| ^ |x+2| Řešení této nerovnosti dává obor konvergence dané funkční řady : x > - 1 čili interval (-1 , + 00 ). 259.cvlčeni. Určlti obor konvergence dané funkční řady : a) 27 4 » ^<-1 ' 1}-7 b) 2* 4- • /"<~1« x> ý n=»l n=T n n^T (2n-l)(2n+l) epT 5=1 ^ ^ K(3n-2).2» 3 3 *) 2^ , /"< 0 . +00) J; »)2j* • /"<° » +0° ' -ž n) ln11* , f{ J , e )./ ; o)J* ^~ , ^"pro každé x .7 P) 2^ a^.tg ,/"*{- 2, 2) /;q)>^S n. ^faín1^, / pro každé x kromě x»|+kT/ V některých případech užíváme při vySetřenl konvergenčného oboru srovnání s jinou konvergentní řadou,ktará je majorantou k dané řadě.Přitom u řad,jichž n~tý člen obsahuje funkci sinus nebo kosinus, vycházíme ze vztahů : |sin x| < 1 nebo |cos x | < 1 nebo (sin x I < |x| , jež platí pro každé x* l20ZLpříklad. Určiti obor konvergence řady J» gAa..* Danou řadu nutno považovat za alternující a proto budeme vyšetřovat absolutní konvergenci. Pro každé x platí : |sin xj < 1 lainM < 1 - 207 - Sada > —5 4» attjaraatea 1. řade 3 f která tsój keisverguja pra každé x,také dana slteraujicl řada kaKraťgvjJa pro každé x a ta abeelutaě. 2o^«,8llS2SŽ.6 Broiti abar kcevargauea řady ? »> > t«a*s , ^fpre každé z fcposa x»& o) ^> aía2 |, ^fpro každé x a»T a*i aa ec í) j>"'"^^ i rP»'° kat* « J * d; > ířlj-BS , ^ >0 ,7 S f t i i t f u a k 6 a i f a ž „v^ také li funkční ob rad savédíae pajuy » aHsý caatecný aoučít a (x), eeučei tedy S(x) « sfcytek R_(x) pe a»tfe &«« s 18 80t) J> tmix) * ^Cx) ♦ fg(aí + ........ * fjjíst) ♦ ř ^(x) ♦ řB+2(x) * ........ ea 0 aoofita řady aluvíaa ařejmě a řad koe7argaBta£ob«Sau8taa řady J5^~ fB(x> je a-1 funkea S(x),k s£I řada konverguje a jejíal deflaicai* aboraa je koavergea&aí abor d8«é řadyJPx-i* určitá »*a í tohoto oboru ©bárifea aou&et přísluaaé ijiaalaé Iwiyfrumarf **dy » S(a) * > f (a) £**iac-l.l SásteSaý aoučet sB{x}s*Qžea» orSít &(x) Jako limitu S(x) * 11a a_(x) M a sapleujea* f (x) » S{s) Jtóa součet řady Pravíme,la funkce S(x) je řadou řgíx) dsfinovaan. Z rovnestl S(a) » a^Cx) + 2111 B^x) » S(x) - s^x) plyn® pr© koytak koav.řady i lia S_(x) K 0 Pre gaaaatrleké kaavarg.fuBkčBÍ řady ur£ujsB« součet padle vsoree S ■ r-*- , aa aapř.pre řadu J> x**"1 *l + s*xS + 3^*,s,,.... aa a«l s{x) » ^> ic" * j^j s coi platí jen prs x i ©baru keovergemeo,t j. x 4Í~1,1). a*í Saučet a (z) devedoae určit jen pro nektare typy funkčních řad,abdobaé jake u íiaalafete řad* „ f2m/&Ěmí&. m*lti seučat fttokčaí řady f~ x2 ^1 ri+nx)tl+nx-x; fiadu lsa tapeet x2. £ a^»a:>tl-HB»~x> e pak aa(x) * , kde aa(x) * SaataSai součet *dy ^ TJ^i^^v. jejíž a-ty čita «a-loiiae se parciálai glossky i - 208 - Vím r 2 ja™ Ihkw E*fflat 1*»: Ftsí*)» S(s) 8aCa) ■ z - » T5*^ s li* ít^Cx) * ô co 2s+X ä»»A __ ^* - V~x )i£ S(x> * l~x pr* x >" G ; »»1 S(x) *«»l«at pr® x < 0 a&fcKUU ?Sřpoít4ta aouíet řady 5 < ■• a j o. & « A je ^,tt„Y, •,,*.,§, •.,».,<* 6 ftok&ajch řa4« 5»u£et a -tj- o aeuSta a«kes«5»e aaoha spojitých funkcí.VyBetře nís za jakých podmínek .saucet řady S(s) *péi funkcí spojitou,seuriaí ao savedeaÍB pejnits tsv«etejBe» sí-ítfé fc*Brerge»a* fuakcaí řady „Peřinu jaoe t ř.í5ki«i řada a* »'••1 žB(x) konverguje v jistá* intervalu 2 ií«Jí9íSraé k futkej S<»), jeatlila ke kaSdésa t .>0 existuje takové Ä, aa x aesávialé , .-.a pŕ»a ^ISfflihŕa m^SS je spíšena f S(x) aa(x)| < '.i tedy asvoiíae jakkoli malé kladné číslo £ , lie určit lacex i, od něhož paeíaeje platí e tosidé funkci e_(x) ; Slx)- i <■ eB(x) «C S(x) ♦ t P?o každé x a Intervalu D„ Taste zjev přibližuješ* grafickým xnasornením,v aíml grafy funkcí a^íx), ad urči -kaso s pačíaeje,blíží ee tak grafu funkce S(x),äe atále leží t pásu ehraaičenéa g-*íy funkcí S(x) - £ , S(x} ♦ €, ai svolíme £ jakkoli malé* ?$né"re.dž vy Se tření ete,1aeaěraé koavergeace užití® definice bývá obvykle obtížné, u&iváee k t osu tav. p e i a r a t r a a a o v a kriteria s *wskísí řad» f_'x) je v intervalu B stejnoměrně konvergentaí,exiatuje-li k aí tsv» sajoraatní konvargeatni čitelná řada f_(x) | splňující nerovnost n=l B < « "B pi-» kaidé a a prs kaldé x s intervalu D. Bajoraatáí fSäa ae podaří někdy urSit s tvaru n-táhe dlenu daaé funkční řady. - 209 « /204/.přiklad. Prokáaati atejaomérnou konvergenci řady : •) Jf~ ila^u « Žij i ♦ rttz* ♦ lijpi ♦......... ■•1 Telíme číselnou řadu > -±w a vyšetřujeme,může-li být majoranton k dané funkční řadě.t.j. ^1 ' Pro každé z platí t j ala ax | * 1 /. -^j ala ax I a2 ala ax — Číselné řada ^> -^j Je majorantou k dané funkční řadě.Poněvadz tate b"l * řada je koavergeatní,Je daná funkSaí řada stejnoměrně konvergentaí,a to pro každé x. ULM n 9ÝS » + goagi esagx, + .» e* e2* Vx b) eea a«l Volíme číselnou řadu -~ pro i^o, aa-11 být majorantou k daaé řadě,musí platit e Je-li x *ľ aT'O, pak ex a také e"* ^ •""í a tedy ^ e"* e" Pro každé x plati : j eea u f 1 předeélá aerovnost 1 znásobením obou nerovností SS2JĚ2 t>*X i oc gaia ^j- «Je majorantou k daaé řadě .Užitím podílového kriteria ai potvr-a^I 6 díme.že je konvergentní : B Q O V »C fj Hajorantnl řada je konvergentaí a proto daná funkční řada je stejnoměrně koavergeatal, a to v iatervalu (a, *oe), kde a 0. 262.cvičení. Vyšetřte stejaoměraeu konvergenci dané řady.V každém případě zdůvodněte udanou majorantní řadu a prokažte její konvergenci : eg . * , ^"líajor.řadB J« koaverg.j daná řada Je stejno- měrně konvergentní pro každé x. ^7 b) \~ Jtí£-22 , ^"Uajor.řada |y Je koaverg.;dané řada Je atejaoměraě a^í n^I koaverg.pro každé x. J - 210 ao bo Je konverg.j daná řada Je stejnoměrně u-1 * n*l konverg.pro každé z . _7 03 T~^5T ' ^""^Jor .řada ^> --£- , k>l je kenverg.jdaná řada Je atejno-s=T B ^=1 H měrně koaverg.v Intervalu ^1 k»+o» ) _7 a) "V" 1„, ^""Major.řsda .> ~-r je konverg.;dané řada je stejnoměrně konverg„ pro x > 0 . 7 f> 2„ o »?T2 ' ^ M8,j0r*řada V Je konverg.jdaná řada je stejnoměrně 1*1 a .e ^rj u konverg.pro každé x. J B_ ^ OO g) IIŤ I" ^"Major.řads \ —je konverg.jdaná řada je »-2 a. e Ob'tí n.ln^n a^l ■ + x k) V" n_ ^ ^"Major.řada \^ *g- , k>"l,je konverg.jdaná řada je stejno- ** měrně konverg.T interv.-i je konverg.; dané řada Je ^=2 ■* "=2 * étejaem.konverg.v interv. -m£m j* kaavergestaí. J1 í% » • Ylastaoati stejaaaéraě JtaaTer^eataleh gad, » Mech i funxce f^íx) ja»u apajlté v intervalu S * secal řade p f . stejnoměrné konvergestaí. -Pak plstí s t>s^- 1) Seucet této rady b(x) á« také funkcí •pojitím v intervalu 2) Danou řadu možná iategrevat Slea ps clenu v iibowXfléa latervfclu Vzalklá řada TM(x)t tó« r, » /t; (s) ,« 6 (x) ■ J S(x) dx Te umožňuje někdy vypočítat součet ledy,která vsaikae íntegrovés:. e znáaéa součtu. 3) Danou radu můžeme derivovat čiea po členu jfeJBJBĚ tfo^pafcladu. ž? ■: Jsou spojité v intervalu D a že obě řady > ř (x) ■ S(x) « jaou stejnoměrně konvergentní. Přitom jeat s'(x} = é (x) Te uaotuuje někdy určit součet dané řsdy ^> řB(x;, známe-.U ^ 264. cvičení . Rada x^'—je stejnoměrně konvergentní t xnt*: Určlti součet řady J> x4n"X , které vznikne Ä% 4.-1 , 1^ £j . 265. cvičenl? Dokázat i, že řadu ^> a".cos ax Im integrovat ěies &e í 0. Ji»-li B * 0 „ pak řada konverguje jen prs x a a. Vede»li výpočet poloměru B k nevlastni Unitě *o», konverguje řaáa pro kaldá x , tj,v intervalu (-od ,+od). /206/.příklad, Určiti eber konvergence dané pete&ční řady a vyšetřiti její kenvargeocni charakter v krajních bodeefa iattrvslu s *' .j^T 111 1 '£ .»* » f ♦ ^z2 * 2I.x3 « ....... n-ts kasfleiant dané řady c„ * • (■+!>" Obor konvergence dané řady t (-*,«)* 0 konvergentním charakteru ř*»dy pro x*e reahodnese v tomte případě alitin tav. Haebeeva kriteria pre číaalJtá řady s Plstí-11 ad určitého £ p»čin«j* a.( 1 - ~f^~ ) 3" k , kde k~s-1, O®, 8 pak rad*aa kesv*r«uje. Sami se tíata kriterlea přesvědčte,že daná řada konverguje pro x s e , a tedy i pro x ■ - e. b) 5" 10*'xB « ♦ Igfj! ♦ + f=I i V* vt 10 n-tý koeficient dané řady c s «=- , Počítejme R oběma způsoby : 1 1 R , lim^k= - lim « J5 li. (a)^- - Ober konvergence dané řady t (• • )» pro * = ~ Tn obdržíme číselnou řadu )B. -fL, která je konvergentní, 5=1 V* rá kli. Síl . i.l x 1 pro x = ji obdržíme číselnou řadu,která Je divergentní, n a *) . rlr* 1 + -4. (x-4) + |. (x-4)2 ♦ n=0 Je to petenční řada o středu v bodě 4 , (a*4); c0 ■ R = lim cb+1 5*x n+i 5* 3 Interval konvergence má hranice! a-E = 4- j*^-, a{*R»4 + ^"^ Obor konvergence dané řady i ( ^ » ^ ) , pr© x ■ *2 obdržíme číselnou řadu 5~ (-1) .jlj; , která je konverg, 13 a=0 pro x = obdržioe číaelnou řadu,která je divergentní. 269.cvičeni. Určití obor konvergence dané potenční řady a vyšetřit! její kon- vergenčnl charakter v krajních bodech intervalu : 00 »+1 _a a) \ (-?1) • — , £ (-1,1); pro x= -1 diverguje, pře x* 1 konverguje _7 n=l b) ^"nTiTT) » n2.x* , ^""(-1,1) J pre x • ♦ I diverguje J? n-1 n-1 J> —, ťfC-3, 3) , pro x* » 3 konve rguJe ,pr© x= 3 diverguje 7 - n . ■r*""A ~ n=*i e) \ —— ; tx^~~ , /*( - , ■*«£ }j pro y. m * ~— konverguje 7 tíŠ (2.-1). VŤ*3 ~* » x8*1, 1, 1 ); ?ro x ■ - 1 konverguje,pro x- 1 diverguje r-r a ♦ 1 í",-x ■O ' n (n.x)a» ^"konverguje jen prs x»0 J7 h) JjJ" (1 ♦ i)"2*xB » ^~(~ 1» «>» Pro * * ♦ | diverguje J b*1 k) ^> (n+l)tx* , C konverguje jen pro x * O J m) \ —ífiži— ( £ (_ i, i)j pro x» - i konverguje,pro x= y diverguje J n=l eg a) \ -5^ , (/"konverguje pro každé x 7 270♦cvičeni, Určiti obor konvergence canýc* potenčních řad ae středem různým od počátku : a) \ t*"§ž- t Z"** 5, (3,13); pro x*3 konverguje,pra x=13 diverguje ] as a b) ^> ^Žix t 4, (-5,3); pro x= -5 konverg, pro x= 3 diverg. _7 b=0 a*4 c) \^ (x-|)" , ■ +os; řada konverguje pro každé x n=J U potenčních řad následujícího cvičení určujte obor konvergence jako u řad funkčních, (viz cvičení 259* )« 271.cvičeni. Určiti ebor konvergence řady : ^- a 2a a) ^> (-1) ' (x-2) , £ (1 , 3)jv krajních bodech není řada ani xonver., b=0 ani diverg. č5- (_ 1)4*^1 b) > *'- , £ R * + oo, řada konverguje pro každé x J b=l B| ee_ B-l c) > ■^5^-77=. »x2*"3, O. Pak platí : 1) Rada ^> caxa definuje v intervalu (-R,B) spojitou funkci S(x) , která je součtem řady, což zapisujeme S(x) - 2) Potenční řada konverguje stejnoměrně k funkci S(x) v každém uzavřeném intervalu ležícím v intervalu (-K,R). 3) Potenční řaoa může být derivována nebo integrována člen po Sienu libovolněkrát v každém uzavřeném intervalu ležícím v intervalu (-R,R)t Rady vzniklé derivováním a integrováním dané potenční řady mají a ní společný poloměr koavergence. - 215 - 4) Je-li 6 (x) - > (e^x") , (aoaeet řady po derivaci)t paké(x) * S {x> , Je-li á (x) « > /sasBďBAířo«tóet řady po integraci),pak^(x) « /S(x)ás * C, nSQ"-/ C ivClM dosa»«niiB x»0 do poslední rovnosti, /2Qlí příklad. Určiti obor konvergence a součet řady : a) > — * x * -«§- 4- f~~ * ....... n-l Obor konvergence s (-1,1) g, pra st* - 1 řada fconverg,,pro x»l divergaje . Daná řada vzniklá Integrování* řsdy J> S0 » 1 ♦ x ♦ x2* x3* .... « j~ n»i S(x) •-• x***1 * ^ | é (x) ■ y J x^dx ■ j^jdx « - ln(l-x) ♦ C a*i n*j Konstantu C určiae po dosazeni x = O do rovnice j 6 (x) * - ln(l-x) * C 0 «= » 0 + C to, > si.sK^ » 1 ♦ 2»x ♦ S.x^ ♦ ......... Osor konvergence s (-1,1)-, prc z * ♦ 1 řada diverguj* . "a© Daná ředa vznikla oerivovánia řady \^ x®3 x *~x2 ■»■ ar^ ♦.....«, » SÍX) * > X6 * B 5" (X*) * ( T*S ) « —i-» 272.cvičení, Určiti obor konvergence s setóet řady ? ^- a _Sa+3 8 T— 1 l í-ljiUpro x * i 1 řada konverguje; w (x) * aretg x _7 n=0" 4»-3 b) > 3- * ^"(-l.D-.pro x « ♦ 1 řsdá konverg.;óO,derivace všech MM, ípe pro každé x s tohoto intervalu zapsat txv. A ,3__ř.a.d u, funkce f (3), Šili ^ay^orúy. jros,voittf: .iif\pj>^ff.e>. f (y): i^f'"'^), .."x~a)n * f(a) ■» 2^ai.(x-a) ♦ *~^-.(x-a)2* ...... (105) n! 11 2Ž (rozvoj v okolí body & , prostS rozvoj v bodě a ) r.abo pro a=0 tzv. ILa c 1 a u r 1 n o v,Vt.. ■faQ^.ř^iakJceiMf>{x} čili Maclaurinftv roavoj funkce f(x) f* t^hsi lX» . ř(0) ♦ tasí tX ♦ tupá.,2 ♦ élhsi^..... don) r.-0 n 1 1! 2 ! 31 (rozvoj v okolí bodu O, prostě rozvoj v bodě O } Vlastnosti xeylorovy(Maciaurinovy) řady se ztotožňují a vlastnostmi potenčnich řad, Kovnost pro součet funkční řady S(:c) ■ s„(x) * R (x) má u Tojlorovy(Maclaurinovy)řady tvar fix) - sníx> 4 jft , Nutná a postačující podmínka,aby Taylerova (Maclaurinova) řada v okolí bodu a (v okolí bodu 0) byla konvergentní a aby její aouče* byl roven funkci f(x),jest lim Říje) « 0 (107) n-** eo Oaealae-li se na výpočet součtu, prvních (n+1) Sieno Taylcrova(Maclaurinova) rozvoje t. j. až po člen s -derivací n-tého řádu, pak příslušná chyba je vyjádřena lb2ÍÍSS ^(x), který ja nejjednodušeji vyjádřen f la|xan^eoy8 tver^ f u Taylorovy řady (n+l! . ^(x) ■ ~YH+TTr «(>mb) i kda í * & ♦ <£.íx~a) , c£(0, 1) .; iaclaurinovy řady » , ,, , - a r (x) , f(f1?( f >. x"*1 , kde f- ót,x , e\(0, 1) *VX; (a*Í)I Přes tento jednoduchý tvar zbytku bývá výpoest limity (107) někdy obtížný.Proto konvergenci Taylerovy (Msclaurinovy) řady k funkcí f(x) zjišťujeme raději postačující podmínkou,která přavl s Ex.tetuje-li takové číslo K,že pro všechna x z jistého okolí bodu a (bodu 0) a pro všechna n je solněno |f{n)(x)l < K| pak. v okolí bodu a (bodu 0) existuj** Taylorův (Maclaurinův) rozvoj funkce f(x). Taylorův (MaclaurTaův) roava^elf^ítéjaídh^unk^ provádíme podle předpisu(105) nebo (106), k čemus vytvořujeme postupně derivace funkce a vypočítáváme jejich hodnoty v bodě a nobo v bodě 0, /20e/#přiklad,. Maclaurinův rosvej funkce cos x : "Vytvořujeme postupně vy55í derivace dané funkcs a vypočítáváme Jejich hodnoty v bodě 0 i , f (x)» eosx í f'(x)« -alns j f"(x)« -sosx i f *3^(x)*einx \ f í4*(x)»coax .,, f(o)» i : f'(0)» o : f*(o)- -i :f(3)(o)« o if(4)(o)» i :""* • * . . - 21? - (108) Po dosazení do (106) obdržíme : coe x * 1 ♦ fj.x* §|.x2 + fy.x3 + Jj-.x4 + ^.x5* ff.x6 + ^.x7* iy.x8-f oo 1 2n 2 4 6 coa x » 1 ♦ K~ (-l)n, TSňTP = 1 ~ 2T~ + 47 - fr ♦..... Obor konvergence: pro každé x ( zjistíme jako u potenčních řad) Vzniklá řada skutečně podle uvedeného kriteria konverguje k funkci cos x, nebol pro derivaci kteréhokoli řádu platí J f(n)(x){ f 1 pro všechna x . Sä5SSJ_íy9feP.S_SiS_S provedeme stejným způsobem nebo výhodněji integrováním řady pro coa x t ain x - x - 2+. -4 + 5T • 4 " 5T • T + ŠT • f- +.......... oo _ , _J _s 7 q sin x ■ Jjř- (-I)""1 . ^^.^-1 - £ + ff - ♦ f,. ♦ ... (109) Obor konvergence : pro každé x 273.cvičení. Ověřte si následující rozvoje funkci : _ „ 2 _3 _n Obor konvergence: a) •* ■ i + fľ + ff +fr* •••• + ff * ••• /pro každé x / <110> b) ífe =1 - x + x2 - x3 + ....+(-l)n.xn+., / (-1, l ) / (lil) *>YÍ*i-l*f H***3- 2lfe .x4,..../<-!,!> / (112) « ^= =1 - J.» * ^x2- ^.x3 ♦ J^fcl .x4+../ (-1, 1) / (113) e) ln (1+x) * x - Jx2+ ^r3- Jr4+ ....+ (-l)n"1.J.xn+../(-l, 1 >/ (114) Rozvoje (111) , (112) , (113)Jsou zvláštním případem tzv. binomické_řady ľ d i x)P ♦ 1 i(Í> +(f)x2 i (|)x3 ♦ ....(iD-.Qx- + ../^l;l>pro r^ (115) Exponent r je reálné číslo. Je-li r přirozené číslo, má řada (r+1) členů. Tav. binomické koeficienty, (fy r,$ » (j) - fj" 1 ; ^.x ■*• If.x2 ^ ^x3 . . Obor konvergence s (-1 , 1 ) V náaledujícím případe provedeme předem úpravu i Rozvojů (110) - (113) užijeme k vytvoření rozvojů funkcí „ar* 1 WT~~F _1 " ■ m » v x a* » , /-- , kde a Je přirozené číslo , l**jr Vl+axm když v těchto rozvojích píšeme axF mláto x. - 218 - 274. cvičeni, Určiti Maclaurinův rozvoj funkce užitím rozvojů (110) - (114) . Ověřte si uvedené výsledky t a) e"x » 1 - i + —-.x2 - iy.x3 + ...........; ^*do(110) dosadíme (-x) za x J b) e2x = 1 ♦ 2x ♦ Zx2*.....+ i +.....»^"d«» (HO"' dosadíme 2x za x J __2 - 4 n .-i ^(n-l) , c) e * « 1 - xN- - ...+(-1) »7^X7! + ••» £ do (110) dosadíme -xd za x _7 /pro každé x / d) ■ l + x + ^ + x3* ....+ x""1* /"do (111).dosadíme -x za x 7 A /~1 < x*l / e) .-i-5 » 1 - x2* x4 - x6 + .....+(-l)a~1x2(B*1);/"do (111) dosadíme x2 za x 7 f) ln(l-x) = -x - ix2 - ix3+.....- ix* -.....;/~de (114) dosadíme -x za x 7 __ * J * /-KxT-^- * 1 * kx3 ♦ i»^-x6 + i*2*5_.x9 +.....;^~do(113) dosadíme -x3 za x 7 YTI^J 2 2.4 2.4.6 ^ 11).™===. » 1 - |.x4 ♦ ia^x8 - J^l-x12*......;/"do(113) dosadíme x4 za x J Vl+x4 2,4 Někdy před rozvojem funkce Je třeba ji upravit na vhodný tvar. /209/. Přiklad. Provést i rozvoj funkce -^x ' Úprava funkce na tvar(lll) : -J^- * i. -iy- J"^x i-#x Užijeme rozvoje (111) pro funkci j~ • kam za x dosadíme - ^x : - i.[l - (- §x ) ♦ (- |x)2 - (- §x)3 *.........] - |.jl + §x ♦ |x2 + * .....] * \ «■ |s + ^at2 + ^x3 275. cvičeni. Užitím rozvojů (L08) f ( 109) provezte rozvoje funkcí s « #--fr- * 2Í3I Ir-*2* lí^ " tt' c) cos\Ai7 ^"dt(108) dosalte \fx~za x:l- £y.x «• Jy.x2-Jy.x3 + |r.x4 ~ ..... J 2a-l a) sim f ; ♦ x! +.......f /-l x ^ l / ai5e) rozvoje funkce •■* - . Viz cvičení 274Ď - 219 - z"&*?JíšPláx Rovni tuakt ■:. are tg x j /"z- |x3 + fcr5- .. .♦(-l)1"1"1* * ••* /-lí x / 277.cvi$snift Určití několik členů rozvoje funkcí : a) x.coa 2x ; / x - fy.x3 ♦ |y.x^ - ........ , /pro každé x/ _7 b) (!■►*}.*x ; /~1 ♦ 2x ♦ |rr .z2 * ff.x3 , /pro každé x/ „/ c) ; /"x. jlj £»x + ^j.z2 ♦ iy.x3*.., /~2 s f-2/ _/ d) S~=* ; /"l ♦ If.z * ^-.x2 ♦ Ij.x3 ♦....../pro každé x/ _/ *>VH; Am). -1 + x ♦ ^ H^Hä"?* /-ixx * £ ' < 3S } ~• = 1 - 0,0038077 + 0,0000024 * 0,9961947 b) sin 49e na 4 desetinná místa Sadu pro sin 49° získáme výhodněji Taylorovým rozvojem pro a * 45° Velikosti v míře obloukové s x ■ TB5 *49 » * » 3S5F-45 - f , x - a - j^(49-45) » £ sin a = cos a = -r— sin x = sin a * S^f-^x-e) - f^íx-a)2- 2ff-%x-a)3+ SJ^S-U-o)4*. ... -Í-<§)2 -Í-<4T)3 *2Í- <4T)4 + " ■ 0,7071068.(1 + 0,0698131 - 0,0024369 - 0,0000567 ) * 0-754709 280.cvičení. Vypočtěte s udanou přesností s a) sin 1° s přeen.0,0001, /~Q,0175_/ ; a) eos 10° e přesn. 0,0001, ^5,9848 _/ - 222 - c) sin 18 a přesn, 0,001 , ^"0,309 J, d) sin 36° s přesn. 0,CQ01, ^""0,5878 J ••Ifcdnoty Iracionálních funkci (vyšší odmocniny)určujeme přibližně užitím biaemické íady (115).Pro a = p p ^ ?..». - určujeme hodnoty odmocnin.Číslo,které js t-dmocněncea, nshradíme součtem nebo rozdílem avou čísel,z nichž první je m-tou mocninou přirozeného čísla. . t 212/< přiklad. Vypočtěte ne 6 desetinných míst VÍ3 . 83 = 81 + 2 ŕ* 2 3*.U ♦ §J ) ^83 = 3$ 1 4 al 10 3.( 1 + gj )? 1 3. 3. 1 ♦ 0,0061728 - 0,0000572 + 0,0000008J ■ 3.018349*2 /213/.příklad. Vypočtěte na 5 desetinných míst V 121 . $ 121 = V 125 5.(1 )3« 5. 1 -í5 .0,032 J*J .0,0322- í*! .0,0323+ .0,032%. á 5.[l - 0,0106667 - 0,0001138 - O,0000020 J = 4.946088 «ž81.evlčeni. Vypočtěte g 1_ s) V 245 na 3 des.mlsts, ^"3,004 J, b) V 129 na 4 dea.místa, /"2,0022 7 %_ 3 5 ™ 282.cvičeni.NapISte binomickou řadu pro V0,997 V?Ô~, \f~40, pri výpočtu se omezte na dva členy řady a odhadněte,které dea.místa jsou určena přesně, ^"0,999 } 4,125 ; 2,1 J Hodnoty exponenciálni funkce e* určujeme podle rozvoje (110) : sx = 1 «• Yi»x * ^r.x2 ♦ iy.x3 +........ ♦ iy.XB + Pře x=l dospějeme k řadě pre Iracionálni číslo e : e - 1 ♦ 1 (pro každé x ) ♦i * Ž * 1?4 * lfe + 720 + 50Í5 + 453*21- * ■ 2 ♦ 0,5 + 0,166667 + 0,041667 ♦ 0,008333 ♦ 0,001389 + 0,000198 + 0,000025 = 2^718279 . Pro zajištění 4.0es,míe*a by bylo třeba vyvinout ještě člen. Pro •bdržíne řadu y« * 1 + 1. ^ ♦ ♦ * 2~4*6i * ......... * 1 ♦ 0,3333333 * 0,0555555 * 0,0061728 + 0,0005144 - 1.395578 533.cvičení. Vyp oč tě te a) e2 s přesn. 0,001, /"7,389 b) J s přesn. 0,0001 , ,£"0,3679 „7 , «) VTa přesn. 0.001 , £~l,649j , d) s přesn.0,0001 , £"0,7788 7 Hodnoty logaritmicko funkce.pokud Jde o přirozená logaritmy,určujeme užitím následujícího rozvoje,poněvadž příslušná řada konverguje rychleji než u rozvoje(114). ,221-1 , . ■i.'eo..v -i. 1±? ~ .-. / ,1 i-j—-^, _ r>< ( x » + •S-.X' 4 3 Hledáme—11 in o, ao rozvoji. s7C , vypi '-■'»3C á neznámou x, kterou d usadíme /214/. príklad. Vypočíta ti la 2 aa ? desatinná místa. * 2 s s ôafeož x * | i.—X J la 2 « ž.( x * <• j-.x5 t ........ } pro x * j i 2.C 0,53333332 * 0,01234568 * 0,00062304 .) ■ 0.6930041 284.cvič«ftíŤ Vypočtete la 3 a presnosti 0,0001 , ^"1,0986 J flflpočst čialaTT natas určit beá » rozvoje íuokce arceln x , aebot arcain l » y Babe a rezkej* fufikee eretg x , nebol aretg 1 » % . Poule (115*) í erealtt 1 » j « 1 ♦ f ■♦ ^ ♦ jfj * jgj ♦ .......... , Podle cvič ,276i eretg 1 -J - 1 - i * | - i «■ i - .. ....... V obou prípadech konvergují rady velmi porne:.u,takže při vypočtu napi.jen m dve desetinsa mi8t« bylo by tik ba sečíst větší počet členů, Vychézíme-ii * rozvoje pro aretg x,vidíme,že príslušná řada konverguje tím rjch-leji,říjB menáí je x* Volme e vynoaou x » ^ « osnečme ý m aretg | , z £efaoi tg J* » ^ / 1 / Vytvorme; tg 2f • -~£í£bX~ , ™.JĽ~..„ * _| 1 - tg2/ 1 - ^ 14 tgif k —. —» líg I -i « 4 i - tg*Zf i - ||| " 3T 'V Poněvadž tg 4 f K tg ^ , je 4 f * f • Příalua^ roadil označíme 7 « 4^ - j t s čehož f * 4 f - r' / ž / 120 x tgf - tg< 4f - '? ) " táifl.*-! » XSL-.,^ a 1 4 I***/ ^Tf§ T 8 •I~'-í*' yyf Z rovnosti / 2 / & po doaaaení a / 1 / a / J / obdržíme : T 4ý -y * 4«arctg f - erotg yf i Podle cvič ,276 rozvinem* aretg r a eretg 239 : 4*[i~A *T5S2T-54*te] • lá? - ..................... ■ 4.f 0,2 - 0,0026667+ 0»0000*4 - 0,0000018 j j 0,0041841 • ____.1 Počítáme-liy na 5 dea.miat,nemají na tete míata vliv dalSí ileny ebou řad, | * 0,7853979 1 á 3,1415916 - 22* - II. INTEGRACE UŽITÍB POTENCSÍCE RAD. Jsou funkce, k nimž nedovedeme elementárními Metodami vyšetřit! primitivní '■vinkoa 8111 jež nedovedeme integrovat užitím známých integracích met cd. Takové 'imkee rozvineme v potenční řadu s integrujeme člen po členu v příslušném kon-*erganSu£m intervalu. * x '2\5/. přiklad,. Vypočítat! integrál /dx Kozvoj funkce &f , eX * 1 + £r.x ♦ if.X2* ^y.X3 +.......+ JyA,,..,, /. i »£* » 1 + i ♦ Jr-X * ^.x2 +....... ♦ ^.x""1* ... dx ■ J{ \ * 1 * + ^f.x2*.....+ ij-.x33"1 ♦ ...) dx = lň (XÍ + X + jijy. X^i- ......•»• + C ocitáme-11 užitím potenční řady určitý integrál funkce neintegrovatelné elementárními metodami,musejí integrační meze ležet v konvergentním intervalu při» lužné poteačnl řady. f1 x 216/.příklad. Vypočtěte j |-äx jpřičemž sečtěte šest členů příslušné řady, 0,1 Užijeme primitivní funkce vypočtené v předešlém příkladě. Z'1 x ó?1 f~ d* ž [ in |x| + x+^x2 +1J.x3+ -l.x4 + ^ox5J 0,1 o + 1 + i*ú+ ě+ cfe- {"^ao + ié+ ?fe+ isefe-*—} i 0,25 0,055 556 0,010 416 0,001 666 1,317 638 - 0,102 556 1,215 082 IrcLO 2,302 69 . 3,517 77 285.cvičeni. Vypočtěte integrály : 0,1 0,002 500 0,000 055 0,000 001 0,000 000 016 0,102 556 016 a) / dx, f C ♦ x - j^tt ♦ ^ -.....♦<-Dn*1. T^T^TTT +—J b) /*■-»«*, /"C +lnixf- gj^ ♦ ^ - ... j^-^ +......j - 225 - O J^te , £C - x+lnixl*f + 53T + •••• + n(nVl)t +....... ."' 286.cvičeni. Baňou funkci vyjádřiti řadou. a) / .*dt , /x-Sf+^r-*.....+(-l)n+1. ra5frK--I^ ...... _ O b) ÍX arc|SJfedt Z"x _ £ ♦ 4" ~.....*^r + ....... .: 7 * 32 52 (2n+l)2 O c) /x te&m *t, /-x - 4 + 4 - 4 *.....+(-Dn-i.4+ O 3 4 n /-x , J.0 19 „9n-8 a) y „i^* + + .......+ j_ +...... . / /Ti* 2n-1(n-D! 4n-3 O b) 28T. cvičeníf Vypočítati dané určité integrály : rO,2 -x l) / -K- dx s přesm. 0,001 , / 32,831 _/ 1,1 * rO,5 , - / —±7— dx s přesn. 0,001 , /'0,494 / 6 1+x ,0,5 , - n\ { dx na 3 des. místa, / 0,497 / «/ " r°»25 2 ď) J e~x dx na 4 des. místa, / 0,2448_7 0 e) J cos fxdx na 4 dea. místa, / 0,7635_7 f 1 ;5 / cos f— dx nf 'i d^s.^íass , / 0,500 / '1,5 -f) i ±. aretg f dx na 4 des. místa, ./ 0,1211 J 1 •c 0 h) ř fe.ř,í'::, dx -ici J -lesí, wísta, / 0,047 _/ Ó INTEGRACE PIF. ROVNIC pomoci řad. Nelze-li řešení diferenciální rovnice určit pomocí elementárních funkcí konečným počtem operaci,hledáme přibližná řešení diferenciální rovnice ušitím potenčnich řad. VÝPOČET PABTIKULŽRNÍHO ŘEŠENÍ. V aplikacích určujeme nejčastěji partikulární řešení vyhovující počáteční* podmínkám. U rovnic k-tého řádu P(x,y,y', y", y^\ .......y*k* } ■ O jaou počáteční podmínky dány hodnotami y , y' , y" , y^.....y^k"1* pro určité x=xs . Počáteční podmínky pro rovnice I.řádu se zapisují : y(x) * a , počáteční podmínky pro rovnice II.řadu se zapisují: y(x0) - a , y (x^) = b a podobně n rovnic vyšších řádů* !• fiešeni diferenciální rovnice ve tvaru Tavlorovy (Maclaurlnovy) řadv ; x-x_ , (x-x) n y = y(xÄ) + ~Yi*y ^o* * —5T— • y <*J ♦ (116) 21 - - —o' Postup výpočtu seatává v podstatě z těchto kroků : a) Do dané rovnice k-tého řádu dosadíme dané počáteční podmínky a vypočteme y lx-)i tj» hodnotu k-té derivace v bodě x0» b) Hovnicl postupně derivujeme a po každé derivaci dosadíme x*xo a dosud známá vyšší derivace v tomto bodě (po přlp.úpravě na explic.tvar). Ze vzniklé rovnice vypočteme vždy hodnotu derivace o řád vySší v bodě xft. /217/.přiklad, Určiti řešeni rovnice y = x y při počátečních podmínkách : y(0) * 1 , y (0) « 1 . • m a) Dosadíme do d aná rovnice +- y (0) «= 0.1 , z čehož y (0) s 0 b) Danou rovnici postupně derivujeme : Postupná derivace Dcaazení Výpočet vyšší derivace y^'*» 2x.y + X2. y' i y<3)- 2.0.1 ♦ O2.! i yí3)(0) * 0 li) ' • 2 " yv*»'a gy ♦ 2xy ♦ 2xy ♦ ťy \ y<4>« 2.1 ♦ 0 ♦ 0 ; y(4)(0) * 2 ' 2 " ■ 2y ♦ 4xy ♦ x y y^5)B gy ♦ 4y' ♦ 4xy"* 2xy"+ x2y*3* - 6y ♦ 6xy" ♦ x2yí3) : y(5), 6.1 ♦ 0 ♦ 0 y(5)(0) » 6 y(6)« 12y" ♦ 8xy<3) ♦ x2y<4) y(6), 12.0 +0+0 ; y(6)(0) ■ 0 y(7)» 20y£33+ 10xy(4) ♦ x2yí5) y<7)» 20.0 ♦ 0 ♦ 0 ; y(7)(0) m 0 /•>. 3Qy<4)^ 12xy<5) + x2y(6) j y(8), 30.2 +0+0 | y(a)(0) ■ 60 c) Dosadíme do ( 116) x0* 0 a vypočtené vyšší derivace : „8 2 3 4 5 6 7 y » 1 ♦ fr. 1 ♦ fr.O ♦ *r .o ♦ Jp2 ♦ |r.6 ♦ fj.Q ♦ |j.O ♦ |r.60 ♦...... Po úpravě obdržíme partikulární řešení dané rovnice,vyjádřené řadou .8 . 1 * * * 12**4 * 20*x5 * o72 .x v jejím konvergenčnim Intervalu. Podle potřebné přeanosti vytvoří me ai dalSi členy rozvoje. 24400 P15 _ 22? _ 2* ftešsisi 6iřcre8«i£lei r-tmiie® v* tw» pofcersSní *o * *i ( p«s X » © ) »eeo y - ».} •« 4 + a-<;sr Postup pmaém s* fc při poSét*Eaíeh ... • sínfcéeb i xe * 0 , y/.c; * X , y'(e. * 0 , íllijeiss řad? - * i 4 »v %' y » fe0 + «jie * agX* a, ar ♦ *í*i> tuv * e^sr ♦ ays-"* .. «5 I:£Í§,liS?.^S£.,EgitSlSi.«fiál * peSáta&íob poda-ínek % *ypogttw* koařic + (I + 0*C + i ««*,*.* «. * 1 Pak y - 1 ♦ aa 2; * y o 2^at * Ja^xr* 4a^a?+ •*•«•• « Po doaweesi x«C, o + >,., e SehoS a. * C y*« 2agx + 3» x? -5 4sA:r' •» 3&eJ£4 + l>agx? * ?a?x6 ♦ 8&gX7 * *) řgilgfšl® ty S£EÍX§&t«22StQ&Ž-.Silt* M »• vyskytují v daiv* rosici a do rnwtiice doeaíiísse sa y^y ,y * Při tas vypoe©t shodni gapisujets, ; y" * 2&2 * * I2a4x2 + zo^x? ♦ 30a6s* * 42*^ * Sásg-s6 4 Výraz y * xy upravíme na taaoaodlaa padla »o«»1b * t Z rovnosti mnohočlenů plyn?* jt I i * 42a7+ «4» Ot 5ě6g*a^ • 0 2a2* 0 5éa3+l • 0 S®4* 0 í 20»5* a2~ 0:313% * ©3* OS 9 # 1 * Hledané partitaalární řešení dané rovnics s y » 1 ♦ O.x * O.*2 ~ jj^sr1 ♦ 0.x4 ♦ O.a? ♦ * 0,»' ■* ...... y-i-*.*3**.*6* .......... 238.cvičeny. Určití partikulární řešaní dané reimiee s a) y'+ y2 * e2'ř yCOl » Oj fj ■ I * X -» J.x2 *...... _/ b) y'- y2 « x(x+l), yCOÍ * 1 e /"y • 1 ♦ x ♦ J.a2 +...... J? c) y'» 1 + x - y2, y{0) * 1 ; fy « 1 + J.x2- J.x3 * J.x4 - JAt.s./ d) y> xy cos x, y(0)«l; f y » 1 + 2x - |,.a-2 - J.x3 *......,J e) y% a2y « «? „ y{0}« C, yfe) * a ; fy ■ ax - Jj.x3 * ^.x5 ♦ ... .,7 f) y"-y.e^ O , y(P>= 2, yfO) - l;^*2*x + x3 ♦ -|1 * |» * ...J? - 228 - O y" + y, cos x *©, y (O) «3, y'(0)-0 , /"ý " 3 - fx2* |x4- ■gfct6* ■gg|g xS+ ,. h) y J.coB s « x, y{0}«l, y' (0)=0, /~y * 1 * ^.x2* ^x3* x5 * ,»,„ k) y" - y' „sin x * y * 1, y (O) * y' (O) = 1, £y * x * ^.x2* |p*4- lr,.3 5T xy - 1 « O, y(D* -1, y'íl> 1, y"(l)« -2, y "(l) * 31 „ m) 4yC3)- (Užijte Taylořovy řady y ■ f(l) + ^p^-(x-i)+ ^j|ii« O ~l6yU)- 9xyí5) ♦ (l~x2)y(6)«0 Dosazeni ■ * i < I • > ; t í r 1 . m y - B » ( •6 * yt4>- 2=0 -9B + y:i' * O - jas * y U). Výpočet vyšší derivace i •> • * O 4 < y ■ B y<4) - 8 (5) y^' = OB y(6} * 128= 2.4.16 (7) yw; * 9.25.B Dosadíme do Maclaurinovy řady % y * ř(0) ♦ *%i.x ♦ ^.x2 * ........ y ■ a ♦ Bx + Ij-.x2 ♦ ^ít-.x3 ♦ JpX4 ♦ ||.x5 * **ge*£.^ ♦ ...... V poslední rovnosti ee vyskytují rozvoje funkcí arcein x , (arcainx)2. takže obecné řešeni dané rovnice má tvar j y « a ♦ B.arca la x ♦ (arcela x)2 2. Užív&ee-li při výpočtu potenční řady y « a# ♦ e^x ♦ * eyc3 ♦ ...... , zavedeme konstanty tak,že u rovnic a-téhe řádu považujem* £ koeficientů za pevné« Položíme tedy i *2*c» *J*1>» •••••••• /220/. přiklad. Užitím řad určití ebecaé řešaní rovnic* y ♦ x.y'* y ■ O . Hornice je druhého řádu a proto savedesat s *ť » A, »-r * ť , Obecné řešeni bude mít tedy tvar: A + Bx ♦ agX2 + aji V4 * «5x5* a6x°* syr1* e^*8 * * w * t * ' y = B ♦ 2a2x * 3ajX2* ia^* 5«5*4* 6a$x5* 7fcyX6* 8agX7+ Ob-X8 ♦ .... y"= 2a2 ♦ 6a?x ♦ 128^ ♦ 20a5x3* 30a6x4* 42a?x5* 56«gX6* 72a?x7 / » Pro dosazení de dané rovnica ze y , y , y provedeme úpravu : y" = 2a2 ♦ 6ajX + 12a^x2+ 20agX3+ 30agx4+ 42a^+ 56agX6 + 12»ýP *........ xy' = Bx ♦ 2a2x2+ 3e.jX3* 4a^x4+ ía^x5* 6agx5 ♦ l&^J *........ _ _2 y A + Bx + a2x* 7 a^x'* a^x^-f a^x'* agX" ♦ a^x* ♦ I2a2+ A)+(6a3+2B)x+(12a4-*3a2)x2+(20a5*4a3)x3+(30a6+5a4)x**(42a7+6a5)x5 ♦ Z rovnosti mnohočlenů plyne : 2a2*A=0 j 6a3+2B=0 j 12a4+3a2S!0 : 20a5*4a.j*0 . . . a„«— 4 Ja-"— 2 2 .3 *(56a8+7a6)x6+(72a9^Ba7)x7 ♦ 30a6+5a4»0 l 42a7*6e5=0 ■6" " 4TAÍ V ife* Dosadíme do potenční řady : y = A + Bx - f*2 - ^Bx3 ♦ Jéx4 + 33bx3 - ^x6 - t^bx7 ........... čili y x Ä.( 1 . Jx2 ♦ |x4 - j|x6 ♦........) ♦ B.( x - §*3 ♦ j^x5 - ^ x7 ♦ 289.cvičení. Užitím řad určiti obecné řeSení dií'erenc.rovnice t .6 a) y" ♦ xy » O , f y « A.( 1 - ^Ijx3* 2.&.é»" ) ♦ ♦ b.< x - ^x4* ~ ,.4.i.],i,Mŕ0 * b) y" - xy ♦ y * O, fy * Bx ♦ A(l - |x2 - Jyx4 - *gjx6 -........ ) J c) y" ♦ a3xy = O, f y = A.{1 - £x3+ ^fy.x6 - ^'Tjf-'X9 +........ ) ♦ ♦ *. C M - ^jj.*4 ♦ ^.X7..........) J d) y" + aVy * O, ^"y = A.(l - ^.a4x4 ♦ *»ž|ä*£.a8x8 ♦...... ) ♦ ♦ Bx.( 1 - ^2.a4x4 ♦ ^fS*I.a8x8 -....) J - 230 -