Kapitola V. FOURIEROVY ŘADY PERIODICKO___FUNKCEj. U některých funkci se průběh funkce opakuje. Takové funkce vyjadřují periodické děje, s nimiž se setkáváme v technických úlohách (chvění konstrukcí,ustálený pohyb pistu parního stroje,ustálené točivé pohyby,střidavé elektrické proudy a pod,). Definujeme je takto : í.'echí f (x) je funkce definovaná pro vSechna reálné x. Existuje-li takové kladné číslo p, že pro každé x platí f(x + p) * f(x) , pravíme, že funkce f(x) je periodická a periodou p. Poznámka. Je-li p perioda funkce f(x), pak každý celočíselný násobek k.p jo také periodou funkce f(x).Nejmenší kladnou periodu T nazveme základny, též 2£iSiÍiXQÍ_ESSi2áS» Pro průběh celé periodické funkce stačí tedy znát její průběh v jednom a to kterémkoli intervalu délky T. Připomeňme si nejjednoduSSÍ periodické funkce a to funkce goniometrické sin x a cos x 9 periodou 2 3T: sin(x + k.2 3f ) = ain x , cos(x + k.2T ) = cos x Převedení_2eriodické_funkce_s Platí: Funkci f(x),definovanou pro všechna x a mající základní periodu T, lze T transformací x = -g=p -.u (117) převést na funkci periodickou F(u) s periodou 2X. Tedy: platí-li f(x+T) = f(x) 9 pak po transformaci f(x) = f(5^"u) = F(u) má platit P(u+2T ) = P(u). ľoto tvrzení si ověříme ,když rovnost F(u) = f(^y-u) zapíSeme pro argument u+23!" F(u+2T) = f [ ^~(.u+2T)] sfíu-gl+T) = f(x+T) = f(x) = F(u) Při vySetřování periodických funkcí můžeme se tedy omezit na funkce s periodou 23T ,nebo? na takové funkce lze transformovat funkce s jinou periodou. TRIGONOMETRICKÍ__ŘADA. Rozvoj funkce v potenční řadu byl nejjednodušším vyjádřením dané funkce neko -necnou řadou. Dalším důležitým případem rozvoje v nekonečnou řadu je rozvoj ůo tzv. trigonometrické řad y,jejíž členy budou obsahovat periodické funkce 3in nx , cos nx. Trigonometrické řady odvozujeme pro periodické funkce. K tvaru obecného členu trigonometrické řady přicházíme z obecné funkce sinové f(x) = A.ein(a>t + f ) , vyjadřující jednoduché harmonické kmitáni. Viz I.díl, otr. 79. Ukazuje se,že složitější kmitáni lze vyjádřit jako součet nekonečné řady jednoduchých harmonických kmitů.Obecný člen této řady má tvar u_ = A_.sin(n. wt + U>_ ) , n u j n * což lze rozepsat u^ - An.( sin ncut.coc + cos ntot.sintf ) - 2?1 - a .cos n,; tyt n + bn.sin n. uot a uvést iia tvar u^ A to je již tvar n-tého Sienu tzv. tri(£onometrické_řadj, v níž pro formální ?,»«edr.odusení klademe uQ = f »aa a kterou pro T - 2Sja tedyoí= 1, zapisujeme : ^2. * /^ ( s^^cos kx + bn.sin kx ) čili 2* *■ a-jcos x + b-jSin x + a2coa 2x + b^ain 2x * ...,.» + a^coa kx + bj.sin kx +... UvaŽujene-li součet jen pro k=l až k=n, obdržíme tav. trigonom. polynom Fn(x) 2 (a^coe kx + b^sin kx ) Jestliže trigonometrická řada je stejnoměrně konvergentní, pak její součet je spojitou periodickou funkcí f(x) o periodě 2T . Zapisujeme ( f(x) » jfc Pro její koeficienty a , a a^cos kx ♦ bjjSin kx > <. , b^ ee odvozuje ^f (x).coe kx dx , k»l,2,3, (118) (119) O ST / \~ j f (x).sin kx dx , k«l,2,3,... -V Trigonometrická řada 3 takovými koeficienty ae nazývá ?S^i§^Y§__řada_funkce_f^x^j Koeficienty (118),(119) «® nazývajíJFgsr^royy^oejflej^^^ VrZsní Fourisrových koeficientů nám usnadňuje tato skutečnost : je-li f (x) funkce i i « ti, jsou : je-li fix) funkce a u d á , jsou = 0 Fouriarovu radu zapisujeme ofevykle jako součet dvou řad» » řady kosinové " a ,» řady sinové : f(x) - i|«0 +(a^cos x + 82c£;.a 2x + a^coa 3x ♦ ...... * a^cos kx ♦ .»...) + + (b1sin x * bjSin 2x + b-,sin 3x ♦......+■ b^ain kx + »....) LichíS funkce f(x) se rozvine j«n v řadu sinovou,sudé funkce v řadu kosinovou. tl^S?i£ÍSSI.-IS5KÍ!ÍSí- Pr0 íosvo.5 funkce ve Pourierovu řadu : 1) Funkce f (x) je v intervalu \'a»b > ohrsn i čená. 2} interval možno rozdělit ne konečný počet intervalů, v nichž je funkce f (x) spojitá a aonot5.ini. Obru62 (So saaiaeoí rt.n buä je ftsifece ffx) v eelés intervalu spojitá nebo aá r intervalu *.h i'.vssírrí pAftŕ>-ír bodů íiíssociíťjs^l Xr&ruäw.j ,*") každém fesäi ssspcjitoetS existuji koricáitá jednostranné limity napr. t rte. íÄ,t? ; im f (x) 11a jř-{-> * AC ■f{e-0) |^ICH|25fOVl_^^SA pro součet Fenrtarovy řady s Spla»j«-.li. funkce fix) Blriohletovy podmínky,pak její Fourlerova řada konver -gv.j* v katůám tood<ä x k hodnota BU) ■ |. [ f(T*0) 4 f(x-O) ] To amamená; «MfS8«fiiäŽtli. 4* rovno aritmetickému průměru jedno - straegřeh limit v tom bodě, sJk$L*£2&$22íí 4* s(*> » ♦ /221/»v>$fkla&, Uríiti Fourierův rosvoj periodická funkce s periodou 23T, která ,je v základním intervalu periodicity (-jr ,3t > takto definována : f (x) » s pro -3t< x ■£ ar fí-r>* fíjr) Funkce splňuje Dirichletovy podmínky : 1) V intervalu ^-**,»"> je ohraničené. , r ir 2) V celém intervalu<-ST, JT> je spojitá jí ya a a rostoucí. y 3) Krajní body intervalu jsou body neepo-Obr.65 Jitosti 1.druhu. V/poc*t Fourierovýoh koeficientů dané řady : Dané funkce je liché,koeficienty jsou pro každé k rovny nule.Ověříme si to: fik 3 ^ ^ x.cos kz di' ^. £ j*.sin kx ♦ ~^.cos kat j ■ « fa £jjr.sin kar + ^-.cos kv - [ .siní-kJT} + jj^.coeí-fcr)] } * - I * { 0 * iy.cos kr ♦ O - i^.coa kr j a o — k k bk ~ h • f x. sin kx dx * £ . ľ - £.cos kx ♦ Agr.sin kx J * •ST k -y *ý. | - jpcos kT + ^ ,ain kr - ^cosí-kT) + jky.sin(-kf )] | 3 Í . í- fí.cos k r) = ~ f.(-l>* . 2 3" • ■ e « • e • • bx » 2 , b2 » - 1 , b3 « | , b4 • - J , b5 Fourierův rozvoj funkce fix) * x v intervalu (- 3Tf 3'> : x » 2.sin x - sin 2x + ^.sin 3x - ^.sin 4x + ^.sln 5x +.............. ■ 2» (sin x - ^ain 2x + sin 3x - a in 4x ♦ sin 5x +............ ) Podle Dirichletovy věty je pro kaidé x % intervalu {«37,3F) součet řady roven příslušné funkční hodnotě„Například pro * * * st 233 Po úpravě obdržíme : *= 6-315* + 4-J.V3 + f - o - f ♦ + £ Přicházíme k nekonečné číselné řadě pro TT,které k výpočtu čísla X" neuži -jeme.Museli bychom sečíst velmi mnoho členů,abychom se dopustili malé chyby Např. sečtením sedmi členů obdržíme 2,5485»... Řada tedy velmi pomalu konverguje k hodnotě 3,14159..... V bodech nespojitosti -T,T jest součet roven aritmetickému průměru jednostranných limit v těchto bodech . f (-X-0) ■ lim x **, fí-JT+o) * lim x » -3T, S(-JT) = 1±J^Z1 = 0 x-*- - T- x-*- -T + f(3T- 0) = lim x =r, fí** 0) « lim x =-r, s( y ) = f*JrrA = o x-»jr- x-*r + * V následujících obrazcích jsou náčrtky grafů náhradních spojitých funkcí : t^ix) ■ s^x) , f2(x) 0 s2(x) , fj(x) ■ s^x) , f4(x) ■ a4'x> . Pozorujte, Jak se přibližují grafu dané funkce . sx(x) « y * 2.ain x r Obr.64 SjCx) a y * 2.(sin x - ja in 2x ) 1 /7\ J, \-r ď 0 T\ pit Obr.65 3j(x) * y = 2.(sin x - jrsin 2x + jsin 3x ) 7 l-jr Ur Obr.66 s^(x) s y = 2.(sin x - jysin 2x + isin 3x - jjsin 4x ) Obr.67 - 254 - /ť22/.přiklad. Určití Fourierav rozvoj periodické funkce s periodou 2 JT, která v základním intervalu periodicity (-JT,J > je definována : f(x) 1 ,2 Funkce splňuje Dirichletovy podmínky $ Přesvědčte se ! Funkce je sudá a prcto koeficienty ~ O. Opět si to ověříme výpočtem. ak * r / 2x2*COS kx dx a 2T *[ f-'Bln ♦ ~f«cos kx " ^j.ain kx J i-fif.cc. kx-^.cí-kT)}.^. Af.coa kJr = ^.(-l)k -3T 2r —2 t &2 - 1 15 ' ŕ 2 bk * f j I*2*310 xx dx ~ 2V" [ " f~,coa + ~|.ein kx + ^j.cos kx j or 1 -jr 1 5T *{"F",C08 k3r + ^j-.coa k3T - [- |-.cos(-k3r) + ^j.cos(-kJT)J j ■ 0 Ffturieriv rozvoj dané funkce : 1 2 or^ 1212 iŕ.x - g--2.cos x + Sf.caa 2x - |.cos 3x + g.cos4x - ^f.cos 5x + ...... »f2 1 1 ^ 1 = g---2.(cos x - *»j>coe 2x ♦ ^ycos Jx - ^,cos4x + =w.cos 5x - ..... ) Podle Dirichletovy věty je pro každé x z intervalu součet řady roven v tomto případě příslušné funkční hodnotě.Např. s a) pro x » O obdržíme 1 * *■ • a 9 a ) O - 24 1 -ij *lj .iy + ^-ig ¥ závorce je nekonečné řada číselné,jejíž součet S lze ze vzniklé rov- nice vypočítat ; or2 S = 12 b) pro x ar IS 2 T2 i_ _ o / 1 1 /~1\ .1 / 1\ 1 -1. 1 1 T'2tír 2} + - ^-~r p-r - 2 A ,1 2.1 ,.1 2* 3^ tr 5 6 Součet číselné řady as pravé straně jest tedy %- . /22V.příklad. Určiti Fourierův rozvoj periodické funkce y = cos ax pro ř 2T ie necelé Číslo, j cob ax dx - 4.± ! sia - i.| [sin as 1^« fefsla *»+ sin ar]* faffl afr. If"" lír 1 sp / coa sx , cos nx » -,5^. / j coe(8*n)x ♦ cosCa-n)x J dx ~ 2y- j its .sia(a+n)x * ^ig,sla{o-n)x ] > - 235 - I 1 í ^j[«»l«<8*o> * ♦ jjjjjj ,«áa. Integruješ* v intervalech <-STf 0>» <0, S*> , poněvadž dané funkce je v ka&ďén a těchto Intervalů jinak definována. a »' r r r 1 i r r*2 i* 1 i*2 ar JL, I J 0 dx + y x dx j« ~*r «. | O ♦ I j J * * *T~ *k * | j 0«cos kx dx + / x.coe kx dx|« «^-| 0 * [ I*8ia k* * ^ccekx | ] . JL. i l^.coa kT - i» X n Ju—,{e99 KT - 1 } « —i».f <-l)k - l] * 1 k2 ka 1 »v Tk2 1 * s - | * *2 « 0, a3 ■ - ||- , s4 » 0 , a§ « - g|a,, a6 * 0 , ..... r /8 ř* 1 i f fx i 1* i ■ -$r.| I O.aín kx dx * I x.ain kx dx » « * |0 ~ i|.«ea kx * *£**ie kx I j * - y» | f*cfis k» ♦0-0-0 |* - |.«ea k JT « - |.(~1) « 1 , b2-- |, b3«Í,b4*.J, b5 * | , bfi » - | , Feurierův rostrej daná funksa $ í(x) « f - ( coe s + !»jíra jednostranných limit v tSchto bsdach : Í(-3T- 0 ) « 9 t n- * *0) * 0 a proto S(~T) * * f f( T- 0 ) ■ f, f< 3T *C) « O a proto S( ST > « ^* - í 290« cvičení t Rozviňte ve Fourierovu řadu v intervalu <- 3f,*'> funkci f a) ř(x) = f , b) f(x) = c) f(z) = x2+ X, ■i) f (x) = ^.r- f~ , /~í'(x) - sin x - Jsíti2x * fein3x -.........„? /f (x) = ~ - cos x + ij- ooa2x - ^coa3JM-.*._7 / f (x) = fr.ír2 - 4(coa x - icos2x + ^coa3x /**f(x) = coa x - pjcos2x ■»• ^jcoa3x -..... ) f(x) = í° v (~r»0) yTf(x) = i ♦ |.(ain x * ÍbíiOx + ieih5x + ... / ll v <0 ,T>, * * i 5 1 f(x) 41 v (-r»°> =- J - jL(sinx ♦ |ein3x + £ein5x + .../ f(x) «í° v {"T» 0) /~f(x) » f + 2.(ainx * ^ein3x •*■ |ein5x +...JŤ /~f(x) ■ - |» - f .(co8x- ^coa3x + ^cos5x + ..)* ♦3ainx - £sin2x - |ain3x - |ein4x+.. h) fix) t) T v (-st.o) xv (o, jr ),, -x v (-jt,o> {~xv (- a o > O v (O, JT >, B) f(x) . Ja* 7<0> *> /f(x> = *#T+ Atol .(cosx „ l^j, + * ♦ (a+b).einx - ^ein2x + ^ein?x - ..._/ n> f(x) í"" JíT+x) v nebo t a. libovolné číalo , .iij«ae při vypočtu Fourierových koeficientů rovnosti /y>(x)<5x ■ j fix) dx ■ jf(x)ňx , -T O a rísledující obrázek naznačuje geom. amysl uvedených rovností , -r io r íjt ít *r a jjt st *,íx w :h plochách platí : Pj + P2 - ?2 + = P4 + p£ :ro Fourierovy koeficienty obdržíme v uvedených případech z rovností •;, kiy5 integrační meze (~ t ,t) nahradíme integračními mezemi (0,2 T ) -.-I ''.Proto v těchto případech platíš ^ $ f(x) oCOS kX dx „ fa- a i /f(x)s sin kx dx 1 /225/.pfiidad. Určití Fourierúv rozvoj periodické funkce y * x se základní* intervalem periodicity (O , 2T ). Funkce splňuje Dirichletovy podmínky. Ověřte si to t Obr.71 .4 Í = 2JT x* cos nx dx » j[ jj.sin nx ♦ ^g-.cos nx J » 0 n 0 » y. { ^J.sin 2nr ♦ ij.coe 2a«" - [ 0 ♦ ^.l ] } * J* f Jj.l - *j } a 0 /2r r ý *>n * T J x.ein nx dx * y I - |.cos nx ♦ ij.sin nx J " T {* ^n508 2nt * V"81" 2n3r - [ - 0 ♦ 0 ]j r 2 ň -2 , b2 * -1, b,- -f , b4 = - I , Fourierúv rozvoj dané funkce : x = V - 2.( sin x + ^.sin 2x + ^.sin 3x + ^.sin 4x + Pro x = f obdržíme : j ■ 1 - | + | - ^ +........ Číselné řada v poslední rovnosti má tedy součet ^. 291.cvičeni. Určiti Fourierúv rozvoj dané periodické funkce se základním intervalem periodicity (0 , 23T) : a) f(x) = |(T- x ) , b) f(x)-- x 2 /~f(x) = sin x + ^.sin 2x ♦ y.sln 3x +....._7 v (0, 3T) ^"*f(x) = sin x - ^sin2x + ^sin3x - |ein4x ♦ ....J f -X v (í,2f), c) fix)- d) f(x)» f sin x r <0, 3T> fí(x) » i + |sin x - |.( c^8 j* ♦ <■ 0 v + cob 4x coa 6x + \ 7 3.5 5ľr^ ....... ' f 1 v (o, jr) 0 v (9r,2 3T) rffííx) = | + |.(sinx ♦ |sin3x ♦ |sin5x + ....) J 1 pro x=0,9T,2 3T, 1 1 v ;03 x + ^cos2x + ....,.+ —*ycos nx +. . . ) + 0) f(x) a , £~f(x) « V + 4.0 1 1 - ATT.(sin x + íoin2x +......♦ gein nx +,..) J - 238 - reurierův rozvoj periodické funkce s gbecnou periodou I * 2t Ť Tsorce pro Feurierovy koeficienty vzhledem k obecné periodě T = 2t při základní* intervalu periodicity (-t, t) obdržím* ze vzorců (118), (119) užitim transformační rovnice (117) přepsané do tvaru u ■ ^-.x čili u - , přičemž si myslíme,že vzorce jsou zapsány pro funkci F(u) . Po transformaci obdržíme : /t % A * k ' J f(x) to • Bk " t* j f<*>«C08 k.íx dx , bk= \ Jf(x).8in k.fx -t Ä -4 Fassrierův *ozvoj má pak tvar : f(x) = |as + a^coa ♦ «2cos 2.fx +.....♦ b^in l.|x * bgSin 2.|x ♦ ....(120) /g26/.přiklad. Určiti Feurierův rozvoj periodické funkce y = x pri základním intervalu periodicity <- ^ , §• ^> . Jde o řourierův rozvoj ve tvaru (120), když t « ^ Výpočet Fourierových koeficientů : dx am ^ J x.coe a. -~x dx ■ J. ľ ""^sin 2nx ♦ -^cos 2nx J -f 5 40 if « * * ^.a .* - [- JLeinC-n*) * Ogcoa „*]} - 0 ^ x.sin 2nx dx = jp fj^caa 2nx ♦ -^jain 2nxJ 2" * I n \ " 4, b2 ■ - 2 , b3 » I , b4 « - 1 , b5 « I , ....... řourierův rozvoj dané funkce : x = -4-» ( sin x - *5-ain3x ♦ ^xsin 5x -......... ) /227/.přiklad. Funkci y « sin x vyjédřiti Fouriarovou řadou při základním intervalu periodicity < 0,3»">. Funkce splňuje Dirichletovy podmínky .Výpočet Fourierových koeficientů : •# » \ f sis x dx « - §• [ cos x ] ■ - - 1) = £ 0 ~ "* 0 *g ■ \ I sin x .cos n.-jr-x dx * y / 2.sin x .cos 2nx dx = O r f O » j f[aln(l+2n)x * sin(l-2n)x jdx > * i { " I*5n [e#,t1*2ll>* ] - r-2n" ' [c°a(l-2n)x ] ] = 0 " 0 **"{sir^-1-" -árr-t-i-1) ]"I-(sár -dfcr} - 2J9 - 1 »> > * e .1 V * * s / sin a •ec» 2nx Ss 4 / ioooíasv-l).* ~ coa(2n*l): 0 dx Sjíirf"' I »ia<2n-llar í - ->*£rr « | sí.ní2a»l)3E ! | Foarierův rcsr&o^ desé fttuke* podl* ( 220) i * L -«J Jt? fc»7 ?«9 fo-o-(o-o) )* o i i /22SA;>f,$tlaay QWSiti Iřourtejfů* *ostr>j period!ská afiwkce o periodě 2%f která Je v tákladnia intervalu periodicity ( C, 2t) takto definovánas f(x) *í * * ^> Obr*72 Funkea eplnuje ffitrichletovy podmínky. Vypočet Pourierovych koeficientů i ,2f. £(2t~t) « 0 v i * ° J /t 2t / a.cos čbt ■* ifr l (--eKcos o rx dx ■ O t 0 t » ft « . /2t ^* bn ~ ť I a*8in n» |* áx * t I (-a).ain n, |x Jx ■ Ó t * -1- ícos "t2*]* * I* hV • [cos "f2-x ]2t * 55 - £F* {eos nir- lj ♦ 5^ . {cos 2nW - coe ní] - {ÉJ. j 1 - (-l)nJ V ^ » *»2 • 0 t b3 * || t *4 • 0 » 05» j£ , ........... Feurierův rosvcj dané funkce : fix) ■ $L .[sin £c ♦ £.eia JE* + £.sin 2f* * ....... .^sin ^2\"^W-x*,. Náčrtek grafu náhradní funkce » 240 - 2$*.£l£ŽSBá» Orôiti íwarteruv pa«f«j daní p*ri»4iek€ fuokce * »f * <-i»* > ř f fix) " |v.(sia • |.8i» * ŕsi«2pi , .,,,) 7 b, f(»i ~ oex , <«>0) v C - |» §), -V »le|£* - |»ir^K • 4si?Ä: * 7 «5 fíx) - vx iř <0»t> „ £'t(%)» i| • ňsafx * f-goo&tyx * *„„«) T<0»t^» / f X V <0„f > ,t T ^ -;r J r..T f X T U-x v (|,t> fc*< ^ ?2 1 S2 * (t-*, (J» *> 18 v <ň *% . . . 5» . .« . r*»«fc v<»J> .'íí v t x) r, fW*«X» T f U) • í -;. * UW * " #• > -^j^«-«0B*r*W 4 LQ v ( ^X) C 7 2 1 r £j- 4a2-] & U v(|,t>* f) f^Jx v- |t I 12od- fx> v < J, fř> ř rZ 1 r Ť s2 Boa-o.i funkce va Fouriarovo řada Gin p .v a a nebe kosinovou. Yn-fcci f(x)» které v intervalu (0,t; splňuje Mrichietovy podmínky,sheese někdy rc«i?lit bsá ** Fourierovu ŕacat ainovgu jj#J>o v* Fourlsrcvu radu kosinovou, ľ-'lpomsnaa ái,fte liché funkce f(x> byla v intervalu (-t,t) vyjádřena řadou si-o .-.v tu (• ° O), audií funkce bylí, v iat«rvelu (-t,t) vyjédřeno řadou kosinovou ;vr_ * Q).Toho užijeme pro aéA sátaär tak, že k funkci f (x) vytvoria* pomocnou £e_ri o ~ íi'-i&u fuakcl FÍx) ř a to .'- - •'• n s u , txv,l.iehya periodickým » o u d o u, tzv.sudým periodickým pro-• - r il cusenía* takto dofiaovansu s • dloužením,takto definovanou : (í'ix) v intervalu (O,t > j ffíxj v intervalu (0,t> i-t(-x) v intervaln í-t,0; ; v ' i f í-x) v intervalu (-t.O> f \ i v j -í jO í * —'S(.x) ! 0br,?4 ?V-kcí F(x> iaá v obou případech 2ék!«dní intervel poriodielty (-t.ti.Ji přísluě» na ŕsda Fouriwrov* bude vyjaařovat iunteci t[x) Jtn v intervalu (O,t).Platnost v osvoja v krajních bodech tohoto intervelu(0,tvzqy vyšetřujeme, Fourierísvy koeficienty tssjí tvar s r.R * O • h ■ O c t i / -fí-x).8ln(-i^xJdx* ^ ^f(x).sin dx Q t ' c ^ 3 f / f(x}.aln n.xx dx « t O « «0 * ~ fíxl.cos n.^x dx (l<;li i o Feurisrcva řade sinová: ; Pouriarova ŕads koeinová: tvX) ' ^ b«'si* n-tI j '(x) « f«t •» J> aB.c»6 B.fc (122) - .241 - /229Apřiklaď. Funkci f ve Fourierovu řadu »5 sinovou , fí) kosinovou. Ot) Rozvoj ve Fourierovu řadu sinovou : Pomocné funkce : fx.ain x v ( O, JT ) F(x) Íx.ain x - f-x.ai [-x.sin(-x)J * - x.sin x v(-JTt 0> Výpočet Fourierovych koeficientů funkce F(x) ee základním intervalem periodicity ( -ř, t) i a = O bn * y J x.sin x.sin nx dx 1 ^x.cos(l-n)x - x.coa(l+n)x Jdx \ ■ b ♦ i^r"'-1* £-ffr«"»- tir0'^1 f J 1 .-4a-[cos(n-i)ar -i] r (n+l)2.(n-l)Z L J coa(n+l)ar = cos(n-l)S" Výsledek v uvedeném tvaru nemá smysl pro n ■ 1 * b2 ■ " ͧ » *J - 0 . b4 " - »V°'b6s- pf^T-........... Pro n ■ 1 Je nutno vypočítat Jinou úpravou příslušného integrandu : bl = ^ / x.sin x .sin x dx ■ y J x.sin2x dx » sfář / (x - x.cos2x)dx * 0 0 0 Rozvoj dané funkce ve Fourierovu řadu sinavou : f (x) ■ j»eín x - . ( *-g^ g.aln 2x ♦ -g2- g-.sin4x + ^ g.sin 6x +...... ) 1 »3 3 .5 5 »7 v intervalu <0 , 3T> fí ) Rozvoj ve Fourierovu řadu kosinovou : Pomocná funkce í f x.sin x v (0,t ) F(x) * ' l -x.sin(-x) ■ x.sin x v (-3t,0) Pro vypočet Fourierových koeficientů a^ užijeme přímo tvaru (121) : an a ^ / x.sin x .cos nx dx a ^ I x.2.sin x.coa nx dx = 0 0 = Í{[~ zfaoB(x*l)x* sin(n+l)x ].-[- ^jcoe(n-l)x+ -i—j ain(n-l)x 1 in+i; q (n-l) a t { " ^f^oaín*-!)^* 0 + 0 - 0 -[- jjíjcostn-l)*" + 0 ♦ 0 - o]| « a 3 coafn-j,? y _ cosín-l)*" „ 2 .coa(n-l)3T pro n = 0 , 2 , 3 ,.. n n-l n+1 (n+1).(n-l) - 242 - - i"! vypočteme jinou úpravou příslušného integrandu : 2 (r i fr i r x i ir a y ,f x.sin x »cos x dx = jp / x.sin 2x ůx - y| - ^.cosíx + £esin2x J = 0 0 0 - jp i ~ y + O - (O + O) \ - ~ £ zve;! dan4 funkce ve Fourierovu řadu kosinovou: x) = 1 - l.coa z - 2A S^ix ,„ c^s_Jx + co^__4x _ _#) v interv, ^. ovj,ženíj Danou funkci rozvinouti v intervalu (O, X) ve Fourierovu radu J /}) / fix) = 2 ~ jJKcosx + j^cos3x + ^sjcosSx + ...) v<0,X>_/ b) f(x) = f-f, *) /~f(x) = |sin2x + |sin4x + ^sin6x+.... ) v (0, t) _/ (3) /~f(x) = j^ícosx + j5Cos3x ♦ pcos5x+...) v<0, *") 7 2 jj? 2 2 2 c) f(x) = x2, tt) v <0> *-)_/ d) fix) = x.cos x, a) £ f(x)= - jeinx + 2(^-g sin2x - sp^eirGx + 2^sin4x +..) v (0,3T ) _7 /3) / f (x)= - y + fcosx - ^( ?cos2x + i^--s cos4x + ST 2 JT 32<;L2 52#32 + -*2-wcos6x + ...) v <0,3T> 7 7 .5^ 00 P16 - 243 -