Kapitola XV.
CVIČENÍ   v INTEGROVÁNÍ
Podle definice neurčitého integrálu funkce   f(x)   jest integrovaní funkce opačnou operací k derivovaní funkce.Při integrovaní funkce f(x) nledáme k funkci   f(x) , definované v jistém otevřeném intervalu I, takovou novou funkci   P(x) ,tak zvanou primitivní   funkci k funkci f(x),která má tu vlastnost,že pro všechna x , z intervalu I   jest   F'(x) = f(x) . Např. :
je-li   f(x) = cos x , definované v intervalu (-00,+00),    jest   F(x) = sin x ,
neboí pro každé x z intervalu (-00,+00)   jest   (sin x)' =   cos x .
Pro primitivní funkci k funkci   y = f(x)   se užívá symbolu
J"l (x)dx      nebo ľ;ydx , který se vysvetlí pozdějšími úvahami.Symbol čteme     integrál   f(x)dx ". Funkce f(x) se nazývá funkce_integrovaná (integrand), x je integrační proměnná , dx je diferenciál integrační proměnné,f(x)dx je integrovaný diferenciální výraz.
Poněvadž všechny funkce,jež se liší jen aditivní konstantou,mají tutéž derivaci, pak obráceně musí k dané funkci f(x) existovat nekonečně mnoho primitivních funkcí F(x),jež se liší aditivní konstantou, zv. integrační konstanta.
Proto píšeme   ^yf(x)dx = F(x) + G   ,   napr.   ^cos x      = sin x   + ® * Ve výsledcích cvičení bude integrační konstanta vynechávána.
K integraci funkce f(x) se užívá různých pravidel a metod,z nichž některé vyplývají přímo z derivování funkcí,jiné se získávají umělou cestou.Neurčitý integrál funkce můžeme vypočítat často několika způsoby,při čemž obdržíme výsledky často formálně různé,Tyto výsledky se ale liší jen aditivní konstantou. Poněvadž neexistuje obecná integrační metoda,která by vedla k integraci jakékoli funkce,jest integrování funkcí daleko obtížnější operací než derivování funkci.
§ 35. INTEGRACE   uZlTÍM   ZÁKLADNÍCH VZORCŮ.
Í       yVdx = + C .,   n * - 1 ;   Jx_1dx =/|dx = ln|x| + C j
I Jaxndx = a^yxndx ; J"adx = ax + C ;      J dx = x + C
: (120)
263.cvičeni. Vypočítejte neurčité integrály
a^x^dx, b)J*5yL7áx,   c^žx dx,   d)y/*3x°dx,   e)f%äx,   f)JyT^áxt g)^c"*dx,
r r r1        r 2        ŕ1 í~—
h) ľ*x~3dx,   k) í Jx^dx,   m) / x?ax»   n) J2x5dx, o)J x3 a*   p)/7x 3 dx , r)^0'1^,     s)Jz^-°tlSôxt     t^z^dz .
Výsledky: a) ^x13, b) §x8, c) x2, d) 3x, e) jx, f)- Jx~\ g) f^, h)-Zx*,
- 141 -
3 8.2 -? .
k) J.lnlzl, m) §x?, n) |x^, o) \2\ p)-5x *  r) ^ , s) ^x0'84,
t) ž-
V? +i
V následujícím cvičení nahračtte integrand jedinou mocninou integrační proměnné. 26».cvičení. a^^dx.   b)J"^äx,   c)J^gfrt d^-^dx,   e)/^ dx,   f^fete ,
. dx
^f^fFäx, iujfä dx,     dx, ^J-^ťž dx* ní/^=äx'
p^A^xdx,    q)/^ dx,   r)/^ dx,     s^fei dx .
Výsledky: a) 3.1nlxl, b)- |, c) ^ , d) gj, e) |xVx, f) ^ft?, g) 3x2fe ,
ES'*^ • m) Ä » Q) fe?. o)       , p) g! j£ ,
Vx'
j f(x) + g(x) _7 dx   = ^f(x) dx   + yg(x) dx j (121)
Tohoto pravidla užijeme zatím pro součet mocnin.
265. cvičeni. Vypočítejte neurčitý integrál :
a)J(4x5* x5- x -5)dx,   b>y*(x+ i + \£ + -i )dx,   c)J( "        " "^"^
Výsledky: *x
a) |x6+ Jx4- |x2- 5x,     b) |x2+ lnlxl + |xl£ tótfx", c) jŠfe5 + + Jt .
V následujícím cvičeni nejprve dělením čitatele jmenovatelem nahradte integrand součtem mocnin.     * , ŕ 2 t>        2 ŕ ^
266. cvičeni,   a)y ^g**1 dx,   b)/( ^ ) dx,   o)ji^L- dx, d)y dx ,
Výsledky: a) x+ | -        , b) x- 2.1n|x|- | , c) 2t^Vx + jxl/x + 2^ , d) ^.(1+ Jx- |x2 + £x5A e) |xfc - ^x^5 + »J5,   f) 4.In lx| - Jj - i . ?!elií£i£í_iSÍ2£íÉi_S2Bi22£ÍEÍ£íffi2^_£liä^£Í budeme provádět zatím užitím vzorců :
/sinx dx= - cosx +C; / cosx dx- sinx +C; / —^ž- = tgx +C; /   É3L.   —cotrac+C «/ y   cos x y sin2x
(122)
T" »
267.cvičení. a)^8cosx -3sinx>äx , b^sinx - cosx)dx,
d)/_a__tof   e)/cos?x7?'8dx,   f)/W* +?eos2xdx>   B) f 3r & J b.sin x „/       cos x y    2sin x.cos x y        cos x
- 142 -
Výsledky: a) 8sinx+3cosx, b) -(cosx+sinx), c) jtgx, d)- |cotgx,e)sinx-0,8tgx, f) |tgx - ^cotgx,   g) Jtgx + 2cotgx . V dalších případech zavedeme v čitateli funkci,která je ve jmenovateli a dělíme.
268.cvičeni. a) A^^dx,   b) AsfiS^x,   c)/cotg2x dx, d)/?sin23c-2cos2x^d3Ct y cos x y 3sin x y ■/ 4cos x
Výsledky: a) tgx-x, b)- |(cotgx+x), c)-(cotgx+x) , d) 2tgx - ^x .
iále užijeme k úpravě integrované funkce- základních goniometrických vztahů.
čos2x_^ ^ sinx
<*x*   Výsledky : a)x+cosx, b)tgx-cotgx, c)sinx-cosx, .d)-(cotgx+tgx).
59.cvičeni,   a) fCsinS - cos?) dx,   b)/*-»r-i-jj—dx, c)/--š°jí
y y sin x.cos x        y cosx -
*/l«Ď*.   ^ dx,   c^sin2! dx,   d/^ ,
d) |tgx, e)- , f )-cotgx - x
£5ÍžSí䣮_š5E2SSS£iái3Í£&_Sí5^£í:__af _j.„a_>_0___a__ex
e   dx =   e    + C     : (123)
j J s* ^ = aX,loSae = aX*I5ä + C   5 8
271.cvičení. a^lcFdx, b^/"2xdx, c)VItf^dx,   d)^/(V2")xdx,    ^031 '
f)JrXdx,   g^a^dx,   h)J(2X+ 3x)2dx,   k^/ax(l+ 0 )dx, m)/exCl+ -^J-)dx
*> EZ-^. •> 2^ « ág. s) 57155' h> E* + 2'lls + á» k> ifs " J§ » m) ex+ tgx, n) ex+ x, o) £e2x - ex + x . Integrace převedením na neurčité integrály : (124)
'   ITľľ~~   -dx = are sinx +C; f-—^-^dx = ar c tgx +C ;    f   ^   - =ln|x+ Vx^+a l+CÍ
• -/pr? yiTir^ •
^72.cvičeni.      r   4 b) /    1    dx,   c)/*     b     dx. d)/"? ~ ^" ^dx,
e) f  1   «dxt   f) /*   a   ndx,   g) /(2x2+ 2)   dx . / 9+ 9x / b+ bx* y
Výsledky: a) 2arcsinx, b) ^aresinx, c) -jj-.arcsinx, d)3arcsinx - x, e) garetg x, f) |.arctg x , g) jjarctg x
K funkci aretg x  vede integrace racionální funkce lomené typu  jji**^ , kde P(x2)
je mnohočlen obsahující jen sudé mocniny proměnné.Jde o integraci racionální
funkce neryze lomené,kterou vždy vyjadřujeme součtem mnohočlenu a části ryze lomené. Dosáhneme toho dělením čitatele jmenovatelem nebo úpravou čitatele a dělením. Integrace vede k funkci aretg x , když dělením obdržíme zbytek různý od nuly.
- 143 -
/93/«příklad.(Čitatele dělíme jmenovatelem až po konstantní zbytek )
J?x\)7*^+ ?dx = J (3X2- 10 + -Jp—- )a=£ = x3- lOx + 15arctg x   + C
/94/.příklad.(čitatele vhodně doplníme, abychom mohli přímo dělit )
Jf2 -£d3C = fr^? ~ 1 dx a /( 1 - -ji— )dx = x - arctg x + C 275.cvičení.
a) /-^x,   D) /4^dx,   c) f-J^-te,   d) Ax6- 3x2+ ^ y b3ŕ+ b J -ŕ* \ J yŕ+ 1 J       2jŕ+ 2
+ Vx^+l + ln|x + Vx2+l|.
DESÍTKA   ÚLOH   čís. 57 Vypočítejte neurčité integrály í
.) / i í 2*2 dx, f) / a+*?2, dx. výs\ediys a) s<*-"ff >. 2-°^.
y x .(1+ x ) y x.(l+ x )        c) ^ -x+arctgx, d^x5- ^x^* |+2arctgx,
e)arctgx- i , f) ln|x|+ 2arctg x . 27».cvičení. x
a) f   \     dx.   b) /   1    dx.   c)/ 2      dx.   d)/1*2    dx . e)/ —2-dx
7^77    yy^ri   yy?r;    7^ yy^ii
f) /Vx^+l - W^-lfl-    6)/j55 í Vl-a^ dx.   < v případech f),g) dělíme čita-y Vx^-l Vl-x* tele jmenovatelem.)
Výsledky : a) 5>ln|x+ ^J|f fc) c) 2.1nlx+ V^l ,
d) ^2.1n|x + Vx^II,   e) Šlnlx* Vx^l. f) ln » i ^ . *) V5"
DESÍTKA.   ÚLOH   čís. 57
±.a)J(1- 1%). VxvÍ dx ,    j/-ÍJ^x2+7jL  7; ^3)/^Cl + cotg2x)dx ,     /"- cotg x" J\
2.a)/22i^E=_2££sfxdX|      /-S^   7 .     b/( 1   . _2_ )to       /-^ + _2 ?. </       5cos2x 5 7   f?    x\£ v*~
5.a)/ ͱ ČJĚSEůx /-ex+4.1nlx+^+2l7;b)/—i-dx , /čgx-cotKx 7;
J "     y8in22x 5
4. a)/?* e";sin * dx ,       ^e1- cosx 7;   b)/ ÁtJ. dx , 2arctgx 7;
5. a)/(_íi---i- )dx, ^4.1nlx+\^6l+   b)/VT - cos2x dx , cos x /;
- 2arcsin x 7;
6. a)/íiS^ dx , T   2*2"12*-6   7; b)/1- ^x dx , /"cosx - cotgx7
y   xVx 3Vx      "      y sin^x
7. ayex( 1- V )dx ■       TeX+ 5 _7 ;      bj^jT^dx ,    ^ |tgx - |cotgx_7;
.a) /(V£ +l)(x- VI +l)dx, + x  7; b)/ 3~ ffi1** dx , f 7tgx + x 7 ;
Jň\rr a y   cos x
.a) i ^ *\ *X r*+ ST - |^-75 °) /    cos 2x    to  ^"-cotgx - tgx_7 ;
lO.a)/ ?X<YX jZ?       ta»                           b) / l+ain2x ■^2cos2xJ„      Jcotgx- |_7. J x.fx2 -5.1n|xl7 J/   1 - cos2x-dx-
- 144 -
9
i 36. INTEGRACE   SUBSTITUČNÍ METODOU.
Integrace zavedením nové proměnné je metodou,které užíváme v různých for-sach velmi často.K nejjednodušším případům řadíme tyfpři nichž po zavedení nové rroměnné obdržíme funkci,kterou dovedeme integrovat užitím vzorců. Jednoduchá je někdy integrace ^složené^funkce^ jejiž   vnitřní složkou _je funkce_lineární.
7 integrálu  Jt(ax+b)dx   zavedeme novou proměnnou z substituční rovnicí z= ax+b
a vypočteme diferenciál dz,abychom našli vztah mezi diferenciály dz , dx a mohli diferenciál dx vyjádřit diferenciálem dz :
z = ax + b ,       dz = (ax+b)'.dx = a.dx   ,       dx = i.dz
5L
loa diferenciály se v takovém případě liší jen multiplikativní konstantou.Touto substitucí tedy původní proměnná x vymizí z integrandu.
3aný neurčitý integrál se tak transformuje na neurčitý integrál   i /f(z) dz ,
i-cerý lze případně vypočítat. «*
Postupně uvedeme integraci substituční metodou u několika typů složených funkcí s
j /c**. ,Jr.\ -. í/au . i. 4£. -fffgSr♦0 • ■""1 j (Ľ5)
275.cvičeni. Vypočítejte neurčité integrály t
a) f (4x-3)4dx,   b)f (x+l)15dx,   c) f (1- l)5dx,   d) /-^—rdx,   e) /-2—^dx,
J J 7        5 J (2x-7)> J O***)*
f)/V^-dx,   g) fha-lxŕäx,   h)f\f 5-6x dx,   k) A-^—dx, m)/1—i
y 3r-6x+9       J J J V4x+9       »/ V5-;
dx
2x
-1
Výsledky : a) ?7ř(4x-3)5, b) Jkx+1)16, c) -(1- |)6, d) —=i-jr , e)
^_ lb _ b 8(2x-?r 3x+2
f) £5, g) - <g.ha-3xŕL, h) - J.v'CS-er)4   , k)      4x+9 , m) - V 3-2x . Velmi často se setkáme s integrálem :
j J(ax+b)_1dx = y^^dx = |.y*|<iz = i.ln|ax+bJ+C; ^4+0^ = ^/x+al +ci(126) 276.cvičení.
a)y(3x+5)*:Ldx,   by^gdx,   c)y^dx, d)fž&x*   ^f^Z*** f)fj^J**
Výsledky: a) |ln/3x+5l ; b)^lnl7x-9l, c)-lnll-xl, d) 5.1nlx+2! ,e)a.ln/x-2l,
f)cTrlnla2+b x|. b^
Na předešlý případ uvádíme integraci každé racionální lomené funkce s lineárním jmenovatelem.Přitom možno postupovat dvojím způsobem jako v příkladech /93/a/94/. /95/«příklad.(Dělíme čitatele jmenovatelem až po konstantní zbytek)
/^Sxá^dx =/b*2- j ♦ j - l-^dx = x5- f + |x - §lnl2x-ll + C /96/.příklad.(čitatele vhodně upravujeme a pak dělíme.)
/es* - hfžfr* - hf*ň&* - -!/«* stí)* -1 -
- 1*5 -
277.cvičeni.
»/fgax, o/^. a/aftf*. *>/xé*.
(127)
Výsledky i a) 2x +3.1n|x-2l, b)-x -6.1nlx-3l, c) x -4.1n|x+4| ,d)i(x- ilnl2x+ll)
e) 5 + x2* 4x + 8.1nlx-2|, f)- f - ^x3- Jx2- x - ln|x-l| .
j /isin(ax+b)dx = i^sin z dz = - |.cos z = - |.cos(ax+b) + C Icos(ax+b)dx   =      sos z dz =    £«sin z   =    |.sin(ax+b)   + C
\f--= sAV dz "    5**« z    =    5«*8(ax+b)    + C
X   cos^Cax+b)        V cos* z a a
! / -m3"        dx = i / dz = - |.cotg z = - i.cotg(ax+b) + C
:J  sia^Cax+b)       *j sin* z a a
278. cy.ičeni.
sin(2x-3)dx,   b)y cos(3x+2)dx,   cy sin5x dx,   dy sinf dx, ey(3-cos2x)da
f) /—J=-dx,   g)/    ^   dx,   h)/—i-dx, k)/—i-dx,   m)/-i-dx
/ sin (3x-7) y cos 8x y 1+cosx »/ 1-cosx        ./ l-cos4x
(V připadech h),k),m) užijte vztahů 1" sin2a = 1"c|s2a ,   cos2 a = 1+c°a2a ) Výsledky » a) =£22|2x=22f b) |sin(3x+2), c)- ^cosSx, d)-2cos|, e) 3x- Jsin2x ,
f) - ^cotg(3x-7), g) g.tg8x, h) tg|, k) - cotgf , m) - J.cotg 2x .
• •
! /A^dx = i /tzdz = i.Az. -±- = —i—.A«*+b + C , A > 0, a *> ' I  J V a       lnA       a.lnA *.
] = |/ezdz = |.ez - ♦ C   , a /O I
279. cvičeni.
a)J?-Šdx,   bye7x-5dx,   c)/3e-5x+1dx,   á)Jl<?***4x,   e)J fxčx, f)/*"X^
g) y^%-i dx, h)y!e2 + e^)dx,   k)y\ex+ l)5dx .
Výsledky x a) e*"8, b) ie7^5, c) -e~3x+1, d) ±2^**, e) j^L, f) -j^i— ,
f * a .lna
g) ex+ e~x, h) 2(e2" - e 2"), k) |— + |e2x + 3ex + x .
• (128)
7~    1     --■-dx s \ f        -dz = i.arcsin z = i.arcsin(ax+b) + C Vl-(ax+b)z V V^F &
' (Naznačená úprava vede k zavedeni substituce   t = ax^ ) ^129)
Vč
ľ1 <* = ±f 1 dx = -i.3S /li_dt = i «/ Yc-(ax+b)2 Vx-(aíS)a      n JV^ a
Vč
dt = i.arcsin 2Z±k
- 146 -
Bez uvedené úpravy možno zavést přímo substituci ax+b = t.l/c čili (ax+b)2= c.t2 280.cvičeni.
-dx ,
a)   /I. ■    1    ..to.   b) /    1      dx. c)í—i-dx,   d)/ 1
e) /       0 —-dx.   f) /     j —dx.   g) /   1      -dx.   a)/   1      dx .
k) / 4 -dx . Výsledky! a) iarcsin(2x+3), b) iarcsin5x, c) aresin S ,
y V4-C5-2x)* - 5
d) iarcsinžx, e) ěarcsin^x, f )Žarcsin22, „n —arcsin 232, h) —arcsin 2)2 í «i a        / V?   S/' V5 b V? V?
k) —2a-rcsin ^ľľ2^ . Na uvedené případy lze převést integrál *
/i
1 -dx   ,   když     a < 0 .
/i
\i~az?+ bx + c
Při jeho vypočtu upravujeme odmocněnce doplněním na čtverec dvojčlenu a uvedením na tvar (129).
/97 A příklad.        ľ      dx__ľ_dx__ŕ_dx_
J ty-l^+čx* 4    J W   -3(x2-2x+   ) y V4+3-5(xii-2x+l)
g =..... = Aarcsin ÍS^£ + c
V7-3(x-l)2 ^
(V upraveném integrandu možno užít substituce (x-D.V? ss t»W)
281. cvičení.
a) jT    1       -dx.   b) /      1 —dx.   c) /     1      dx.   d) /      ?     dx .
+3x+2 y V-2x-x2 y Wx-s?
Výsledky s
a)-arcsin ij^E, b) -iaresin ^~^t   c) arcsin(x+l) , d) 3.arcsin Sji. . Podobných obratů užíváme při výpočtu integrálů i
I   f. . - když jmenovatel je 1
i /-3*-_.     I -dx_^ , c > O ?   / - , nerozložitelný.tj. I (130)
j J l+(ax+b)2 ■ ,/  c+(ax+b)2 y  ax2+bx+c    kdy2   fe2_ ^ < Q> :
• •
282. cvičeni.
a) /   1 ydx,   b) /   1 mčlx,   c)/-J:—dx, d)/—i—dx,   e)/ 10 9dx , J l+*aŕ y 9+43ŕ y 2x^+9 y 3+7X2
f) /     1 g)/—-2-2—dx,   h)/--S-^dx,   k)/Už- m)/__
y í+íx+ir    y (x-i)%4    y 3+(2-5xr   yxn^í+š y ?
•+3x+3
Výsledky í a) |arctg2x, b) garetg2^, c) -iarctg--*;, d) -^aretg^2.,
e) ^aretg f) arctS(x+l), g) aretg^, h) ^arctg^í, k) arctg(x+2) ,
m) 2V3.arctg žžtž .
Jednodušší cesta je při výpočtu integrálu /       g - , u něhož nemusíme upra-
J ^(ax+b)2* c
vovat integrand tak,aby místo členu c obsahoval jako v předešlých případech + 1
- 147 -
:    Ĺ   ggs i ľ i        i -, i        — s i
J— = - /-dz s -„ln/z -s- Vz + c f s =,
i j vcax+b)^ c yyT^ &
« (Bylo zavedeno jen as
..lnlax+b - V(äx+bp+e/: Bylo zavedeno jen   ax+b = a ,) «(131)
• /Pr0   a > O.   (Odmocněnce upravujeme doplněním na čtverec*
• / V ax + bx +c dvojčlenu a uvedením na předešlý tvar,) :
eo>**»a*. ..«.<>. e.. *
285.cvičení.
a> f   1      to.   b) /      1       -dx.   o)/   0      —to.   d) /—i—-dx , e) f      1 —dx.   f) /        1 ——dx,   g) /l——í-dx,   h) /-—-dx
y V(x-i771       y Vi+(3-5xF      jVTTz^i      J Vi^š
2
2x +x
k) f-       2 ——dx s   m) Z       Vi-~dx , Výsledky; a) ^ln|ax+ |Ax2 + 5 I ,
4x + 3     y Y^~~2^~z~i
b) 3|.ln|l2x+ Vl^x*- 521, c) |.lnibx + V?!??! , d) -i.lnJxVi + V5x^- 2| ,
e)      lnlx-1 + Vx^-2x+4 I  ,f)- |lnÍ3-5x+V25x'd-.50x+101,g) lnlx+1 +Vxiŕ+2x+3 ! t
!      "       ~ j    n)-la        \/5-2x+?   , k) Inlsx+l +l/4xií+ 4x+3 ,
i  DESÍTKA   ÚLOH   čís. 58    j 1 v /—»$---
I----.-----------------------1 m) lnJ3x~l +\/9x^-6x -3 j .
l.a) /L^-dx ^ larctg ^ .7 ;        b) / ***   .   ,/^cotg(2x+a) ľ;
7 x +2x+5 y 1- cos(4x+2a)
^Ít===^ W* toňňlji b)/"-    2dx g -   ^--i 7;
y Vx^^x+n yx- 3x+ o-xt
3. a)/ —í--dx        Z"'arcsin 2±i    7 • b)/ ( ex+ e"x ) dx8 /2X+ £-=
7 Vi-žx-x*       - v?   - -/ t -r
4. a)/" -dx ,        ^-2.arctg3=l   7. b) /aĽZ-ŽStSdx £7*+ ftZ6.2n\x*M 7
y x ~2x+5 y     x+3 *
5. a)/'      1     -dx ,    <farcsizi2+2   7   .        b) Aj-      J% -, £-„ _1 7
69a)/_i-dx ,      C krctg *#   7; b)/(e"?x - V5^ )dx, Jfa^f +
/ x + 4x+29 5 ->   ~ J 8,
7.a)/     *2 ^dx ,      ^Cn|x- J ^Vx^- |x+l[7;  t>)/"(sin2x*coa2x)te,/"í -í- £sin2x 7» y V2x2-x+2 -/ *
S.a)/' g 1     dx ,       /--l.arctg2^   _7 s    V[r===*x i   /~arc«ia 7 =
y     2       v7     v7       y v^r*? V5 -
2x Ä-2x
-7»
9.a) Í--\—--dx ,    are sin ^T2-   J %       b) f »2*~- dx , ^=2x+ l^tó^arotg-ž j
y Vl2x-9x2-2 v2" •/ x * V?"
10.a) T    4    —dx     ^In13x-l+V9xii-6x-<2 !_7; — dx t<f 9x- ^ + j5 *
7 )fŠ?-6x+Ž J x+3 -27.1n|i+3L7.
Poznámka.Připomeňme si,že při zavedeni nové proměnné za vnitřní lineární složím složené funkce se diferenciály dz a dx lišily jen multiplikativní konstantou, která byla derivací lineární funkce,za niž jsme zavedli novou proměnnou .
- 148 -
."isté zobecněni dosavadní substituční metody se objeví při výpočtu integrálů
• /f(x).a.f'(x) dx , /K,í W dx Í (132) ;..„/,. /    f&C>. . ____•
prvém případě jde o integraci funkce,která je součinem,jehož jedním činitelem :s nějaká funkce f(x) a druhým činitelem je její derivace,přípádně derivace té řonkce až na nějakou multiplikativní konstantu.Při výpočtu integrálu zavádíme
-ovou proměnnou     z = f(x) , z čehož     dz = f'(x).dx     čili     dx =      — . Pak
r r _o f'(x)
/f(x).a.f'(x) dx = /z.a.dz = a /z.dz = |.z   = |./"f(x)_72 + C
Poněvadž jsme součin f''(x)9dx nahradili diferenciálem dz nové proměnné,vymize» la původní proměnná z integrandu daného integrálu.
Téhož výsledku dosáhneme,když z& diferenciál dx dosadíme   dx = -~— .Obdržíme
f (x)
••sak přechodný zápis formálně nesprávný,nebot integrand v tomto zápise obsahuje ivě proměnné.Původní proměnná krácením derivací f'(x) také vymizí. Stejnou substitucí vypočítáváme druhý integrál s
/aif_lx2dx = a Ll—.f'(x).dx = a Adz = a.ln|z|= a. ln|f(x)l J   f (x) J f (x) J z
7 následujících cvičeních je třeba vystihnout,je-li integrovaná funkce součinem
:.ebo podílem podle uvedených vzorů nebo dá-li se na tyto případy upravit.
284.cvičení. Vypočtěte neurčitý integrál :
.,y(5^).c™. i/-— * .
d) /*tgx.—V-dx»    e^ / dx,   f) / 2,ln xdx,   g) / arctgx.—dx ,
j cos x J  sin x y      x y 2+2x
h) / arcsln xdx, Výsledky: a) i(3x2-x+7)2, b) Í(x4-2x2+3)2, c) i.sin2x ,
J Vi^F —
12 12 2 1_ 2'X 2
d) <y®tg x, e) - jy.cotg x, f) ln x , g) ^(arctgx)   , h) jy(arcsinx)
28g.cvičení, a) /    %x~8   dx,   b) /~?—dx,   c) / sín xdx,   d) /tg x dx , J 2xr-8x+7 J xr+3 J cos x y
e) /cotgx dx,   f) /    cos2x   dx,   g) /"_J^-.-Jw_dx,   h) /'££telxt y y  sinx.cosx y cotgx sin x J  cos x
k) / —i—-dx,   m) f-g 1 —-dx,   n) / 1-dx .
J x.lax y (l+x^).arctg x 7 Vlľ?.arcsin x
Výsledky: a) m(2x2~8x+7), b) |ln(x2+3), c)-ln|cosx|, d) jako c), e) lnlsinx/,
f) In ísíd2s|, g)-ln|cotgx| , h) lnítgxl , k) lnllnxl, m)ln larctgxl ,n)lnlarcsinx/. Uvedené metody lze užít po úpravě integrandu pro dvě goniometrické funkce :
/98/.pHklad. f-±-4x = i f   f    _ = zf—^—T = žlteli * 0. Zavedeno J sin x y sinj.cosj     y tgf.cos § z = tg?
/99/.příklad.   /"—i-dx = /*-= /LÍ2__ =(Zavedeno   z= f +x , dz = dx )
J cos x      y sin(| +x)    y sin z £
= ln|tg§|= lnjtg( f + f)j+ C
Vysvětlete,proč integrál /        >x^dx , kde k je reálné číslo,se vypočte substi-
J f(x) +k
tuci   z = f(x) + k.
Užijte toho v následujícím cvičení.
- 149 -
287.cvičeni.   - . r x -2*
a)        p^IJLdx,   b) /sinx   dx,   c) /-I—dx , y ainx +1 / 1+ 3cosx J e + 1 Je +a
e) / 2a^-dx,   f) /—i-dx,   g) í-—-dx .Výsledky;a) lnlsinx +l|,
J 3a3x+ 5 yx(l+lnx) 7 x(3- 5.1nx)
b)- jjln|l+ 3cosx|, c) ln(ex+ 1), d)jln(e2x+a2), e) ^>2J[laln(3a5x+5), f)ln|l+lnx|
g) ln|3- 5.1nx|.
Úplným zobecněním dosavadní substituční metody je vypočet integrálůt
i       / P/"f(x) 7.a.f'(x) dx    a   / a*f —dx   substitucí   z=f(x) !(133)
• •
\2.»_ _a____,_2.
/lOO/.příklad; /(3x+2) ,V(3xíí-»4x-7)*dx = /zavedeme z=3x*+4x-7,z čehož dz=2(3x+2)cfc
+ c
288.cvičení.
.V/(3x2-»4x-
JS = dz = ^ = Ijí(3x2+4x-7)5
a)y<x2- 5)45.2xdx,   b) /x^Cx5^) 2dx,   c)^žx.Vx^+ldx, d^x2Vx3-8dx,
e) Jaín7x.cosx dx, f)^cos^x.sinx dx, g)Jcosx.Ml+ 4sinx dx, h)^ tg^x dx ,
k)JcotS^x dx, m)yx.sin x2dx, n)^Sx.cosCa^+Ddx,   o^iy.sini dx ,
p) /iisJÉ dx,   q) /ex.cos exdx,   r) /tg 5x dx,   s) / cotg(2x+l) dx .
-/     Vx       _?    46 -1 ^ 3i-
Výsledky: a) fejg?   , b)- fjCx3-*) 2, c) |V(x2+l)5, d) £.V(x5-8)\ e)|sin8x ,
f) r£2|^S, g) I.va77slnx7, h) k) :2£|£ž, m) =^~^, n)sin(x2+l) ,
o) cosi , p^cosVx",   q) sin ex, r) HÚ^SSSÚ   ,   s) mllnfrx+Dl .
i9.cvičeni.        a _3 /* Vx /" /* 2
a)yx.exdx,   b) /^.e-^dx,   cy ^ dx,   d)y esi^.cosx dx, ey ^dx,
^i.Vln^ dx,   e)fi2*^-te, Výsledky: a) Je"*, b) c) 2eVx, d)esinx
e) |ln3x, f) fyCln x)3,   g) ^.(l* x)n+1 .
>0. cvičeni. g /"   4 /• ™3
a) T-dx,   b) / g     X -dx,   c) /   x      dx,   d)/,ť Kb,
7 J 2^7^> J cos3,   7 fe^
m) /.JŠ&JLdx,   n) A3in x    dx    n, / sin2x ? / i
/VSK /fc^sx /W^Ťx^'   P7 cos2x.VI71gx
q) /"-1-dx ,   r) /-i- dx .
7 x.lnx.lnCln x) Aarcsinx)3.^ _
Výsledky: a)     ~1 .. , b) LyW+27 , c) i.V^?, d) fLv^+l)2, e) V a2+x* , -JÉ- 2(l+xí:)        0 > o
- 150 -
f) yP^5x+6, g)     ~\ , h)     1 g   , k) 3.Vsiä x, m)    2      , a)rž£^SsF
3sia?s       2cosSt 1/- 4
y cos x
o) -2.Vl+cos2x , p) 2.\/l+tgx, q) Iní ln (ln x) / ,   r) ———-.
2(arc3inx)
Substitucí f(x) = z a f'(x).dx = dz převádíme následující integrály na základní integrály (124) s
5      '      í     «     '.     S ■
dx ,
(134)
• b reálné
291«cvičení.
a) / " X ■- dx = I / -----—■ dx = g/   1     dz = garcsin z = ^arcsin x2*C
(Dosazeno aT= z,   2x.dx = dz )
b> /-==== dx,   c) /~±-dx,   d) /—Í-dx,   e) / —sL~dx9 t)£é==
g) Z*-   j;__dx = /'-. dx.   h) f-&-dx.k)
y ^ľd-x)   y ^.Vi-ívx)^    j x.Vi-(inx)T y
sin2x j --dx
-9sin x
Výsledky; b) garcsin c) |arcsin —- , d) ^f^g2*, e) arc sin ex s
f) —arcsin exV4 , g) 2arcsin \fx, h) arcsin(lnx), k) i.arcsin(žsin2s)» V5 p a
292.cvičení,^ 5 - -
a) /'-■zr£-.-dx,   b) / ~£—dx,   c) /   x j, dx,   d)/-£-7 dx ,
y x^i      ,/ xb+4     y 3+2x*     y g+íx^+D^
dx
s)/-.^|l-dx,   f)/J£^c,   g) /,^23_x__äXj   n)/ _, k)/'-
/   e~x44 y   I+x y  a^+sin^x y (l+x).Vx    y x(
l+lndx)
2
2 ar
Výsledky: a)£arctg x , b) garctg g-, c) —-^arctg—^= , d) garctg ,
e) jyarctg | , f) 2( V'x - arctgVx ), g) |.arctg h)2arctg\£, k)arctg(ln x).
293oCvičeni. ,
a)/^dx.   b) fr±=*x,   c)/    COa;      dx. d)/Äl^dx .
y        jyia^ú    j ^sin^x -1 J w^i
Výsledky: a) £ln(xS Vx^l ), b) 2.1n(Vx + VT^Ô.c) |.ln|5sinx + V 25siniíx -11,
d) ln(a2x+ Va^TI ) .
Fro některé integrály můžeme již užít rozkladu integrované funkce na součet takových funkci,jichž integrály dovedeme jia známým způsobem vypočítat.Někdy je rozklad přímo patrný a účelný,jindy je třeba integrand upravovat. /101apřiklad, a)
0 ri- 2cosxto = /   1^ _ 2 Aosx^ =_ cQtgx + _2_ = 2^cosx + Q
7      sin x        / sin^x        y sin^x sin x      sin x
( TJ druhého integrálu zavedeno   sinx = z )
b)/x^arcjff?"1 ^ y^dx +y^Carctgx)-1^ = l^j^) + mla^t^l + c ,
151 -
Velmi důležité jsou integrály :
1) pro c > O
Af±*dx ,                + f -|_dx = f A^-dx ♦ b/-f_dx =§ln(x2+c)+ ^arctg 2
J x +c      J x +c      y   x +c y x*>c         -/ x +c                        Vč V
/g^dx              + = =f /"-gg-dx + Jl =-aV^7+b.arcsin
2) pro c reálné (zavedeno x=tVc )
J        JVTTc 7^
Výsledky: a) Žln(x2+9)- Tarctgí , b) —aretg — - iln(4x2+3), c) - 4.V4-X2
_ *      5      2V2_ v5
+ 5arcsin»j, d)- |V>2? - VLarcsin xl/Ô^ľ , e) ^9x^-4 - |lnbx+ V9x2- 4 | .
Na předešlé případy převedeme integrály typu
J(Mx+N).(ax2+bx+c)n   "pro   ň e -X , \ ,- \ (135) Lze určit dvě konstanty k-^ , kg tak, že pro každé x je splněna rovnost :
(Mx+N).(ax2+bx+c)n = k1.(2ax+b).(ax2+bx+c)n + kg.(ax2+bx-KOn a tedy také rovnost   Mx+N = k-L.(2ax+b)   +   kg ,kde   2ax+b= (ax2+bx+c)' (136) čili Mx+N = 2ak1.x   + (bk^ + kg)
Z rovnosti mnohočlenů plyne soustava lineárních rovnic o neznámých ^ , kg ±
2ak1 = M     ,     bkx + kg = N
Užitím konstant k-^ a kg ,jež dovedeme naznačeným způsobem vypočítat,nahradíme integrovanou funkci součtem dvou funkci,které již dovedeme integrovat. Uvedeného typu (135) užijeme zatím pro   n = - 1   a   n = - ^ ,tj. pro
/ urn dx a r m dx
J ■* +tx+c J Vax^bx+c
První integrál je zvláší důležitý,když ve jmenovateli je nerozložitelný kvadratický trojôlen. /102/.přiklad. t      9x - 2       dj.   = j
í_9x.
J V^ľ
12x- 2
Provedeme rozklad integrandu na součet dvou lomených funkcí,z nichž jedna má v čitateli derivaci trojčlenu -9x2+12x~2.případně až na konstantu k^ ,a druhá má v čitateli konstantu kg.
(-9x2+12x-2)'= - 18x + 12
Užijeme přímo rovnosti (136) :
9x - 2 = (-18x + 12).k1   + kg
čili 9x - 2 =   -18k.jX   + ( 12kj_ + kg )
1
Z rovnosti mnohočlenů plyne: -18^ = 9 , 12^ + kg= -2 čili k-j=- g., kg= -Pak      J        1 f -18^12     dx   + 4./     1      -dx =-^.J1+4.J2
9x^+12x-2 J V-9x2+12x-2
- 152 -
Integrál   J1 vypočteme substitucí   z = -9x2+12x-2 ;   J, = - ]/-SxZ+22x-£ Integrál   J2 vypočteme úpravou na tvar (129) ; J? = T.arcsin
J = +12x-2   +   T.arcsin 22=2   + C
V2 .
Hozklad na součet dvou lomených funkcí lze prové»t přímo úpravou "ha požado-vaný tvar.Avšak je třeba vystihnout,jak nutno čitatele doplňovat.Napřikladl
f *** dx = - | f'1****   ** = - ^All8^12)+(4^dx
y v-9x^+i2x-2    y v-gx^+^x-ž    y v^9?+i2x^2.
= ~ Z*Jl + **''2   (jako u prvního způsobu rozkladu) '   V některých případech je tato úprava složitější.Například:
/"g?**4   dx =   J   ;       (5x2-3x+l)' = lOx - 3 7 5x -3x+l+ . + ^ A10x-3)+(3+ ÄS)
Integrál Jx vypočteme substituci z= 5x2-3x+l,integrál J2 úpravou na typ (130)
95.cvičení.   Vypočtěte integrály :
a)   f Žx+2-^ (      /- Žin<x2+2x+10) - arctg 2+i + C _7
y x<i+2x+10
_
c) f dx , T |.V3x*-llx+2 + §=.1*1*- ^   + jJ-V^-ltotó | _7
y    V3x -llx+2
DESÍTKA   ÚLOH   čís. 59 j     Vypočtěte neurčité integrály :
D  /-S-t-Ldx   ,   2) /    *-dx , 3) /Ž2L-=        4x2+ 3x - 2 fa
y x*^+x+i        y 4or+4x+5       y      xc + x +1
4) f    *~2     dx.   5) /   2^      dx.   6) /   M     dx.   7) /—é y Vx^-lOx+29 y V9xi!-f6x+2 y Vx2+2x+2 V Vix2*
8) /• 2*-?   dx , 9) /   *+?       ax ,  io) [—=—
j vwx-x*     y w 4x-y yi+x-?
1) J.lní^+x+l) + ^|.arctg ,2) £.ln(4x2+ 4x+5) - J.arctg 2g±l ,
3) Žx3-6x2+llx+2.1n(x2+x+l) - ^g.arctg2^ , 4)Vx*-10x+29 +3.1nlx-5+Vxi;-10x+29l ' v3 v3
5) |.V,9xi2+6x+2 + -i|.ln|3x+l +V9x2+6x+2|, 6) 3.Vx2+2x+2 - 4.1n|x+l +Vxi?+2x+2 J , 1
i?
b)  /*   8:g" 11   dx ,     <f- 8.v5+2x-xii   - 3.arcsin + C _7
y V5+2x^?
dx
4x+5
dx .    Výsledky :
7) i^x** 4x+5 - -^.lnl(x+l)^ +V2xii+4x+5l, 8)-2.V8-2x-xii -5.arcsin 2±i
2 V2 3
9)_ ^3+4x- 4xii + ?.arcsin 24=i ,   10) - V 5+x-x* + i.arcsin
4 * * * V21
- 153 -
37» INTEGRACE   METODOU   EEB   PARTES (po částech). Integrace metodou per partes se provádí podle rovnosti s
j J u(x).v'(x)dx   =   u(x).v(x)   - Ju'(x)<,v(x)dx
y^u.v' =  u.v    - J"^' <™
(137)
'. stručně
Metoda per partes spočívá v tom,že integrovanou funkci zapíšeme jako součin takových dvou funkcí u, v', z nichž za v' považujeme tu funkci,kterou dovedeme integrovat , abychom určili funkci v.
Užiti rovnosti (137) vede k cíli v podstatě ve dvou případech,a to když integrál na pravé straně rovnosti dovedeme
bud  vypočítat jinými metodami,případně opakováním metody per partes,
nebo vyjádřit hledaným integrálem tak,aby z rovnosti (137) vznikla rovnice pro
hledaný integrál jako neznámou.
Postupně uvedeme několik typů funkcí,jež možno touto metodou integrovat.
/x.f(x)dx nebo obecněji ľ(Hx+N) .f (x] u  v' y    u v'
Cx)dx :
e
: (138)
; Funkce f(x)=v' musí být taková,abychom dovedli určit v=^f(x)dxS
• •••^••••••••••••••aa*a*aa*»«a«a*»»*aa«ae***«aaaa«B««a»a*a»«a*«»*
/103/.příklad. .Zavedeme s
/bx^.e^dx = Sfíl.e^-2 - f fe
= |e3x"2.(15x+ 4)   + C =vle3x-2
Zápis při volbě funkcí u a v' a při výpočtu funkcí u' a v   provádíme co nejpřehledněji, případně užijeme naznačeného schématu,který vede k správnému sestavení rovnosti pro integraci per partes. 296.cvičení.
a)yx.exdx,   b)x.e2xdx, c)Jx.3Xdx, d)j (2x+l).22x-5dx,eJ/x.sinx dx
f) /,(3x+2).cosx dx,   g)/x.sin2x dx,   h) /—2E_-^x,   k)/-x,cos fjX dx ,
I J J   sin x y  sin x.cos x
m)Jx.tsZxdx, n)^x.c°a^ dx, o)Jx,Blx?x dx, p)^x.cos2x dx, q)/x.sin2|dx r)yl. x    dx , s)yx.V^ 5-6x dx . YÝlledky: a) (x-l)ex, b) ^(x- |)e2x ,
c^ TaU*^x" Tn^*5 » d) ? lTť>(2x+l- y^r) , e)sinx- x.cosx, f) (3x+2)sinx +3cosx,
g) - |cos2x + $sln2x, h) -x.cotgx* lnlsinxl, k)-x(tgx+ cotgx) + ln|tgx| ,
m) x.tgx-       ln|cosx|, n)- i( - x2- + cotgx ), o) | - ix.sin2x- icos2x , * sin x
p) x2+ |sin2x + gCOs2x, q) | - f-sinx - jcosx, r) x.Vl+2x - |.V(l+2x)^ , s) - |.^(5-6x)* - ^.vTi^ěxT7 .
- 154 -
: ľx^.fíx) dx j n přirozené ; íP(x).f(x)dx , P(x) je \ (159) •' *  U    v* J    n      v' mnohočlen !
9 a a o o i
Funkce f(x) může být napr.s oinx, cosx, sin(ax+b), cos(ax+b), sin2x, cos2x,ex,ax,
ax+b    cx+d . e      , a      , sinh x, cosh x,....
Je-li n stupen funkce u ,užijeme metody per partes n-krát.
297. cvičení.
a)   /x .cos x dx,   b) / x^.sinx dx}   c)/x2.sin2x dx,   d)/x2.coskx dx,
e) J(x2»5x+2)sexdx,   f)x2^"2^, g)J:jŕ.cos2* dx, h)y/"x5.cosh x dx .
Výsledky s a) (x2-2)sinx * 2x.cosx, b)-x3cosx+3x2sinx+6x,.cosx -6sinx ,
c) ^ cos2x + žsin2x, d)   ^^^sinkx + ^coskx , e) íx2-5x+7).ex ,
• * X? k* .cosh x
f) ~\ * (x2+x+ |),   g)!5* |sin2x + |cos2x- jjjsin2x, h)(x5+6x)sinh x -(3x2+6).
V některých případech je třeba mocninu xn nahradit tak součinem ,aby bylo možno vypočítat integrál               x)dx   zavedením   u = xx , v'= x^fíx) :
298. cvičení. ~ />        2 /-í ^  , ^
a) /x^.e^dx,   b)/^.e-^dx,   c)/x5.ex dx,   d)/-^ =/x2.-*— dx 7 J J J\fc? J ^ V5^7
e) /"—x—2-dx ,   f) /V ^   dx .   I^sledk^ i a) Je2?(x2-!).W-e^Cf^+l) , 7 (1+x2) y V3+5X2-
c) i.(x3- D.e^, d) x^.Vl+l?- I.Vd+x2)3 , e)--2£_- + i.arctg x ,
7 p ,_ ^_ 7 2(1+^) c
V následujících případech volíme funkce u   a   v'   obráceně :
« ■
* fx^.lnx dx ,   n ^ -1 /*x^.lnCax+b) dx ,    n přirozené
; J v' u V v' u
•
ľ    /"xn.arctgx dx , /* x^.arcci
S J v'    u V  v' u
eni.
a)y^x.lnx dx,   b)y/x2.lnxdx, c)y^lS^dx,   d)J"^^~äx,&yUkaxfäx
fy^x.lnCx-l) dx,   g)/x2.ln(x+l) dx . Výsledky * a) |(2.1nx-l), b) |(3.1nx-l),
c)- klnx+1). d) =^(logx + )   e) žJSci^x - |lnx + g )
x 2x": 2 3 3 9
f) f^ln(x-l)- Jx - |x2- Jln(x-l) , g) í|íim(x+l) - ^c5* ^x2- |x . 0.cvičeni.
a>/Ýdx * b)/c ^ )2<te • c)/k(ŕž? te * v*sled*? «
a)- l(ln3x+3.1n2x+6.1nx+6)b)- kln2x -rô.lnx +2) , c) lnlxl .lnllnxl - lnlxl.
eni./* , - ^
äT~/ x.arctgx dx,   b) / xn.arctgx dx ,   c)/ x .arccotgx dx .
: (140)
arccotgx dx ,     n   přirozené ľ
299.cvičení.
301 .cvičení .y
- 155 -
2 4 *
Výsledky : a) ^^axotg x - |, b) ^—axote^ - g + | ,
5 4 2
c) l-arccotgx + jjjjlnte2*!) + f^j ~ TO *
U následujících integrálů zapíšeme integrovanou funkci f(x) jako součin l.f(x)
a zavedeme   u = f(x) , v' = 1 , z čehož   u'= f'(x)   a  v = x .
Tohoto obratu užijeme zvláště pro základní elementární funkce   ln x, arcsin x ,
aretg x.
302.cvičení
a) Jlnx dx,   b)^"logax dx,   c)^arcsinx dx,   d)^arctgx dx, e^ln(x2+l)
»/.^.       vki >, «/-^ *.       >2- •
Výsledky: a) x(lnx -1), b) x(logax - jjj^ ), c) x.arcsinx , d) x.arctgx+
- JlnCx2*!), e) x.lníx2*!) -2x +2 are tgx, f) 2$x -1). e^, g)x. lníx+Vx^+l) -Vx^ +1,
h) x.arctgVx + aretg^č - Vx ,   k) x(arcsinx)2 +2aresinx. Vl-2? - 2x .
Metodou per partes integrujeme často součin dvou funkcí různého charakteru.Je-li integrand podílem funkcí,je třeba jej zapsat jako součin a správně vystihnout, jak zavést funkce u a v' .Například:
/arC3ln x dx =  /aresinx.   1   dx = 2.Vx7l.arcsin x   + 4.Vx7l   + C J J
u v'
I------------------------,
!   DESÍTKA   ÚLOH   čís. 60  1      Vypočtěte neurčité integrály : L------------------------J
1) f x. arcsin x - 2) f arcsinVx dx>   ?) / arcsin 2 ^   4)/x. (arctgx)2dx ,
5) /'x.apctff x 6) /3^L..arctSx dx,   7) /ln °g"x dx,   8) /*2LJ§S2 dx ,
J J    2xVx                         J    008 X             «/    Sin X
1 ľ x*131 x    dx , 10) /*Mží3J dx . Výsledky: 1) x- Vl-x^.arcsin x ,
J J y^í ~
?)y vô2-!)5      y Vx.i
»— r— 2
2) -2.Vl^.arcsinVx + 2.Vič ,   3) 4.W+x- 2.W^ä.arcsin f , 4) ^^(arctgx)2 + -x.arctgx + jlnCl+x2) ,   5) VI+xF.arctgx - ln|x+ Vl+x^l ,6)x^.arctgx -2Vx
7) tgx.ln|cosx|+ tgx -x,   8)-{cotgx.lnlsinx|+ cotgx +x) ,
9) arctgVx^-l - 1111x1   ,   10) 2.Vx+l.ln(x+l) - ±.Vx+l , x>-l .
í55iS£ace_2er_p_artes__p__ř_e_v_e_d_e_n_i_m___n_a__r_g_v_n_i_c i__pro_h^edan;£
integrál.
/ÍO^/.příklad.      / ex.cosx dx   =   J Zavedeme:    u=exv'= cosx
J *   x   *  —^»
u =e -ä v = sinx
^ex.cosx dx ss ex.sinx - /"ex.sinx dx J* ex.sinx dx =-ex.cosx +J ex.cosx dx
Zavedeme:    u =ex__ v'= sinx
v =-cosx
- 156 -
Tím jsme integrál funkce ex.sin x  vyjádřili hledaným integrálem J.Po dosazení do první rovnosti obdržíme rovnici,v níž neznámou jest hledaný integrál:
J &^.oosx. dx = exsinx + excosx - f iexcosx dx 2^^ .cosx. dx s ex(sinx + cosx)
/x ex.cosx dx = 2•(sinx + cosx)   + C
5.cvičení. r.„ x
r Sxn m
0/ —i-
Je y x
a) /ex.sinx dx,   b) / ^—3- dx ,   c) / ^S^dx J J      e J
Výsledky: a) |.(sinx-cosx), b) ~^(2sin| +cos| ),   c) ;jŕ(ln x)2.
5e
------------------------1
DESÍTKA.   ÚLOH   čís. 61   j        Vypočtěte neurčité integrály :
1) Je^.cosbx dx , 2)y^e^.sinbx dx , 3)Je5x.sin2x dx, 4)y^e^.cosíx dx
5) j e2" ,cos2x dx , 6) Je ^.sinj dx ,   7) j i3X.sin2x dx ,   8)ax.cos2x dx,
9) /"sin lnx   dx   , 10) /"cos lnx   dx . Výsledkj: 1) -f—^.(a.cosbx + b.sinbx)
J J                                          a +b
ax 3x _x
2) -š—~.(a.sinbx - b.cosbx), 3) -—.(3sin2x- 2cos2x),4) £-.(cos3x + 3sin3x), a2+b2 13 10
-x
5) —e2".(4sin2x + cos2x), 6)- f e ^.(sinf + cosi ),7)ST(i- 2sin2x + cos2x } 17 p 3       ^ 5
a;
)     |f(sin2x + cos2x +2), 9) |.(sin lnx - cos lnx ), 10) |(cos lnx + sin lnx)
05/.přiklad. J sin2x dx   = J
Zavedeme:
sinx.sinx dx = - sinx.cosx + / cos2x dx u = sinx^_ v'= sinx
u = cosx—-ä v = -cosx
y sinx.sinx dx = - sinx.cosx +
= - ^sin2x + / (l-sin2x)dx Integrál pravé strany nelze
J počítat stejným způsobem.
J"sin2x dx = - ^sin2x + x —j\3in2x dx Přesvědčte se !
Jsin2x dx = i«(x - jsin2x )   + C .06/.přiklad.
dx = /l.Vx2+a dx u= V = 1
m m -v
= x.^+ä -y"- až dx
u = —S- -V = x
Í-4=Z dx = fíl+*h* ox = /Vx2^ dx - /:
dx
JVx2+a dx = x.Vx2+a   -^*/x2+a dx + a.lnlx + Vx2+a |
Z rovnice vypočteme hledaný integrál,důležitý pro další integraci :
j        y f?+á dx = |.^f x.Vx2+a   +   a.lnjx + Vx^+aj,?, a reál. j (141)
- 157-
Podobným způsobem vypočtěte sami stejně důležitý integrál s
dx = \»C x-Va-x^ + a.arcsin — J , a > 0
Va
(142)
S oběma integrály se často setkáme a proto jich také užíváme jako vzorců. Později je vypočteme i jiným způsobem.Nyní jich užijeme k výpočtu integrálů:
ax2+ bx + c dx    pro   a > 0   nebo   a <" 0 Kvadratický trojčlen upravíme doplněním na čtverec dvojčlenu jako v /97/.př.
/107/.přiklad. / V 3^- Jx + 1 dx   = J
2 2 1 3 121
Úprava odmocněnce : Jx -3x+l = 3(x - x + 5) + (1- 5) = 3(x- j) +5
Nová proměnná : z = ^(2x-l) ,z čehož dx = ^ Po dosazení :
x f 2x-l -,2 . 1 = 3»v -5— )   + K
Původní proměnná :
j = ApTTZJáz = ^.<f z.VTTJ + J.mlz + V?7Jj J
= 2x^1 W 5x*_3x+i   + 4-m|lÍ(2x-l) +   V 3xii-3x+l I • 4   .» 8V5   1 2
r-----------------------,
J  DESÍTKA   ÚLOH   čís. 62   \      Vypočtěte neurčitý integrál :
1) J Vx^- 2x -1 dx ,
2) / V&Q
3) /r
-6x -1 dx ,
4)
C ^i.V^-2x-l    - ln|x-l + Vx^-2x-l I   + C _7 ^ ^2.V5xi;-6x-l   -_z=ln|^ + y5^-6x-lj+C_7
^ifíl.Va^? + |.m|x + I n-Va+x+x* l+c _7
^~ x^i.V3+2x-x2   + 2.arcsin ^   + C _7 <f ^i.Vl^x-x*   + arcsin + C _7
2+x+x   dx , dx ,
5) y   Vl-2x-x2 dx ,
6) f Vi^? dx , T ^.VS+x-x^   + §.arcsin ^   + C J
7) j x.Vx^x2-! dx , C 4^-V^^x^-l - ^míx2-! + Vx'W-l )+C _7 Iy   (x+l).Vx:c:-2x+3 dx ,       /" yx.7x^-2x^3 + 2.1n|x-l + Vx2-2x+3l + C _7
8)
9)J (2x-3).VÍ+4x^ dx 10)y x.V3ŕ-2x+2 ^
arcsxn + C _7
</" l.V(x2-2x+2)5 + S^i.Yx^x-rô   + Jln|x-1 +
+ Vx2-2x+2 j _7
V úlohách 8-10 jsou integrály typu (135) pro n= |» jež počítáme pomocí konstant k^kg.Viz rovnost (136) a příklad /102/.
- 158 -
I 38. INTEGRACE   RACIONÁLNÍ   FUNKCE LOMENE.
Prvními třemi základními integračními metodami byly vypočteny integrály těchto typů racionálních funkci lomených t
fú&** /tfíT^. /äfá^ Viz cvič. 276,277
-dx, n přirozené Viz cvič. 275 a-e
/x* /(ax+b)n
/—i?-dx»  / a "a !) dx,    /—-^-dx,(b2- 4ac < 0)   Viz cvič. 272 e-g
y 1+xT       y a^+b'aT y ax^+bx+c 273,282
/* j*?' u«33Ct  f—^^—äx, (b2- 4ac < 0 ) Viz cvič. 294ab,295a
y a xr+b      y ax^+bx+c
r&äsLtx, r dx, * y p(x)   y pwj0- pc
přirozené Viz cvič. 285ab,290a
x) je mnohočlen
—--        dx   =    Jn   ,   n přirozené
(x2, a2)
Počitáme-li integrál   J   ,   metodou per partes   ( u = —2 \ n 1 *   v'~ 1   ^ •
(yŕ+á )
dospějeme k rovnici,která vyjadruje vztah mezi integrály  Jn_^   a   Jn : Jn-1 = 77^5=1 * 2^-1>'Jn-l   " 2a2(n-l).Jn §
• •
z čehož : J_ = —j:-       .<f    m      -1   +   (2n-3).Jn_! _7 : (143)
: n    2a2(n-l)   C   (x2+a2)n -1- n 1 :
Tim přicházíme k tav. redukčnímu  vzorci,kterým integrál Jn převedeme na integrál   Jn_i« Tak možno přejit postupně z integrálu   JQ   až k integrálu
Jl =/?f? = a#arctg s +c
304.cvičení.Užijte redukčního vzorce (143) pro výpočet integrálů :
l>) f   ,.áx /--x- + -x - +  _l_>arctg x    + C _7
y  (ař+i)5 360ŕ+9r        216(x%9)        648 3
O /     dx /- ÍS£í +   ^.arctgx   +   C 7
y  (x^+lT 48(x2+l)5 15
d) /"-dx ^- -x - +   1 ^   3x     +   C _7
y í9^+lŕ 2(9x2+l) 5
Poznámka. Pro malé n (např. n=2 nebo n=3 ) můžeme takové integrály vypočítat způsobem,kterým byl odvozen redukční vzorec.Hledáme-li např.integrál
/' ZaSaeme P08itat 7(xW ^-(x2^? =
u
čimž obdržíme vztah mezi integrály a Jj.Stejným způsobem najdeme vztah mezi integrály      a J2 .přičemž vycházíme z integrálu   Jx ,který již známe.
- 159 -
Již známými obraty a užitím redukčního vzorce (143) vypočteme integrály
Mx+N
dx =
/Mx      ^      + N./_l
y y (?t
h-a2^
dx
(redukčním vzorcem )
/č
(ax +bx+c)n
Mx+N
ax2+bx+c)n
,      Trojčlen upravíme doplněním na čtverec dvojčlenu a po zavedení nové proměnné obdržíme (143).
2ax+b
dx
= k,. /-§S2ÍL__ dx   +   kp./--- dx
1 y (axfj*x+c)n 2 7 (ax2+bx+c)n
~z    ' (145)
Konstanty k^.kg určíme podle rovnosti (136).
(144)
(145)
(146)
0 trojčlenu (ax +bx+c) předpokládáme,že je nerozložitelný.
505.cvičení.
a)
b)
y (x2+2)
J3?*i
dx ,
^ 3x?+10x-24   +    3,.^ g   x   +c 7 32(x2+2)2 32V2 V2
+6x+10)
dx
dx
:/^ľx+3)2+ 1_7 3 ^ =J{zd+l)'
dz = (z=x+3) =..•.
x+3
4(x£:+6x+10r Síx^+ôx+lO)
,2±2-        + Ž.arctg(x+3)   + C
(x^x+10)^
/- (x-3).(3x2-i8x+32)  + gíarctg s(x-6x+ior
d) /" dx
y   (x2+2x+10p ' ,--------------------------,
! DESÍTKA ÚLOH čís. 63 | I_________________________1
ggg.(arctg g£ + -|íž±iL. + 18(x+l) )+Q t 6   3      x^^x+io (xSčx+lO)2
1) /■ 3x-2 y (x2-2x+3):
2) /"    3x+ 2
y (x2-3x+3ľ
/ (x2- x+1)2
dx ,
dx
3) -x+J- to
4)
5)
6)
7)
2x+l
"    32(x2-2x+3)       32V2 V2
r 1ŽX"24 + ^.arctg2^ +C .7 L   3(x2-3x+3)       3V3 v3
/- +  -^.arctg2^   +   C _7
~   3(x2-x+l)        3V3 v?
f -  -l.arctgS+l   +   C _7
2* <±x»
/2a (x2+2x+5)<1
J (x2+2x+2)2 ^ '
/4x-l (x2+ 4x+13
y (x2-2x+5F
8)   /"        24x ,2   \  r    . x*Sl      3(xtl+l) 18(xg:+l)
y (xVx2+io)3 to'Cx =z)'^ ^-(arcts -3-+      + (x^+S+io)2
/     f*fo<*   dx, (x2=z),/-#4L -^.arctg y    (x4+2x2+5) x*+2x4+5 *
8(x%2x+5) 16
-(x+2) _ i.arctgíx+l)   +   C 7
2(x2+2x+2) 2
Z"     íx+6)--j.arctg ^   +   C 7
L   2(x2+4x+13) 6 3-
j*'7   -a + -^-       + _l.arctg 2-1
4(x2-2x+5r 16(x2-2x+5)    32 ^
9)
+c
x2+l
c 7
- 160 -
•o)    ľ yW tot (x3=z)> r^2-  + M.a.ctg^ + c 7 y (x -x^+l)* x -x^+l V3
V?
Poznámka. V této úvodní části pro integraci racionálních funkcí lomených byly zvláště shrnuty integrály těch funkcí,jichž jmenovatel je nerozložitelný kvadratický dvojčlen nebo trojčlen,případně jeho mocnina.Jsou základem pro další integraci.
i5Ž£S£ä£i_£§£i25ái5^_íy5^2®_l2§25É_§___r_o_z_l_o_ž_i_t_e_l_n_2_m__jmenovatelem.
Je-li jmenovatelem racionální funkce lomené mnohočlen stupně aspoň druhého, nahradíme jej součinem mnohočlenů lineárních a nerozložitelných kvadratických, případně jejich mocnin.O rozkladech mnohočlenů pojednává kapitola III.,§ 8. ?ři integraci budeme rozlišovat několik případů podle rozkladu jmenovatele. V každém případě však předpokládáme,že funkce je ryze_lomená (čitatel je nižšího stupně než jmenovatel).Není-li tomu tak,dělíme čitatele jmenovatelem až po zbytekjkterý je nižšího stupně než jmenovatel.Půjde tedy o integrály typu
dx ,     kde   P(x)   je mnohočlen stupně m-tého a Q^x) Q(x)   je mnohočlen stupně n-tého ,přičemž m<n
I. Kechí mnohočlen Q(x) má   n   různých   reálných kořenů   x-^.Xg,......x ,
takže   Q(x) = a^.(x-x^).(x-X2).(x-Xj)..............(x—xn) ,
kde   a^ je koeficient při x11 v mnohočlenu Q(x).
Dokazuje se,že racionální výraz ryze lomený ^xj   lze nahradit součtem n tzv.
parciálních (elementárních) zlomků s lineárními_jmenovateli_a_kon-stantníml„..čitateli :
Pki = A.+_f2_+-Í2_ + ............... + A. (147)
Q(x)     x-x-^     x-Xg     x-Xj x_xn
Výpočet konstant A-^A^A^,....A^ musíme provést tak,aby rovnost (147) platila
pro každé x.Ukážeme to na konkrétních případech,v nichž konstanty značíváme nejčastěji   A, B, C, D,.......
/108/.příklad. f    5x - 14 = j
/ x^-x^- 4x+ 4
1. krok: Rozklad_jmenovatele•
x5- x2- 4x + 4 = x2(x-l) - 4(x-l) = (x-l)(x2- 4)= (x-l)(x-2)(x+2)
2. krok: Rozklad_na_p_arciální_zlomky.
(x-fe)(x^) • él + A + xfe /.(-l)(x-2)(x+2)
5x - 14        = A(x-2)(x-t2) + B(x-l)(x+2) + C(x-l)(x-2) (148)
3. krok: Výgočet_konstant A, B, Cj,provádi se hlavně dvojím způsobem i
1.způsob (uvedením na rovnost mnohočlenů a porovnáváním koeficientů)
0.x2+ 5x- 14 = (A+B+o.x2 + (B- 3C).x + (- 4A-2BtóC) Z rovnosti mnohočlenů plyne rovnost koeficientů u stejných mocnin,což vede v tomto případě k soustavě tří rovnic o třech neznámých A,B,C : A+ B+ C =      0 fiešenim soustavy obdržíme jedinou trojici
B-3C =      5 A = 3 i B = - 1 ,   C = - 2
- 4A-2B+2C = - 14
24905 Pil
- 161 -
2.způsob; postupným dosazováním kořenů mnohočlenu Q(x),přípádně jiných malých celých čí sel, do rovnosti (14-8) s 5X-1A = A(x-2)(x+2) + B(x-l)(x+2) + C(x»l)(x-2)
pro x= 1      - 9 = - 3A , A = 3
pro x= 2      - 4 =    #B , B =-1
pro x=-2     - 24 =   12C , C =-2
V případě všech různých reálných jednoduchých kořenů mnohočlenu Q(x) je tento způsob velmi výhodný.Každý kořen vede přímo x výpočtu jedné konstanty.
4.krok:   Dosazení_konstant do čitatelů parciálních zlomků a_rozvedení_daného integrálu na součet integrálů :
J = 3. /-i-dx - /-i-dx - 2.A-i-dx = 3.1n(x-l)- ln(x-2)- 2,ln(x+2)= yX-l       7x-2 J x+2
= ln(x-l)5 - ln(x-2) - ln(x+2)2 = ln /109/.Příklad. f x
(x-1)-(x-2).(x+2)£
+ C
dx   = J
"5x 2.3 Rozklad jmenovatele: ôx5-?*2-^ = x(6x2-7x-3)= x.0 .(x- |){x+ j)r
= x(2x-3)(3x+l)
Hozklad na parciální zlomky:
A B , C ■— + ——— + -
/. x(2x-3)(3x+l)
x(2x-3)(3x+l)      x    2x-3 3x+l
1 = A(2x-3)(3x+l) + Bx(3x+1) + Cx(2x-3)
Konstanty vypočteme druhým způsobem.Dosazováním x=0,x= % ,
1 14 9
x=- j   obdržíme   A = - j, B = y^, 0 = -jj .
J = - ilnx +
306.cvičení. Vypočtěte integrály :
a) yl_^_-      dx, T eln(x-^.)2V2xTÍ_7; b)
c)
ln(2x-3) + Ifln(3x+1)=.......-In \J<^^±l£.\
2a?-3x-2
_x - 1
(x+DCx*- 4)
dx ,
2x
-1 jVj
2x-l -V5
C |ln|x+l| - |lnix+2l  + ^ln/x-21    + C J
J y
d)
32xdx —2™
(2x-l){4x -16x+15) x?+ 1
7*
r) Z- 2: "/S
2
5x +6x x2-^
dx ,
lnl2x-ll  - 6.1ni2x»3!  + 5.1nl2x-5l + 0 J
C x+ glnjxl - |lajx-a| + ^|ln,'x-3! + C J
5xZ+6
dx «
»ln
x-V2
2V2     x+ V2
2V3
In
c- V3
x+
V3
+ C
xg-70x-95_ dx -6x2-13x+42
<f ln!(x-7)5.(x+3)5.(x-2)7 !  +  c _7
n) /"4x4-x3-46x2-20x+i;?3 ^ /" 2x2 + 7x + la Jix-2)5(x+5)?|       +   c 7 J        x5-2x2-9x+18 (x-3)
Poznámka. V případě g) určete zkuamo jeden kořen mnohočlenu a ostatní určete dělením příslušným kořenovým činitelem.Viz   § 8 .
24905 Zll
- 162 -
II. Nechč mnohočlen Q(x) má opět všechny kořeny reálné,ale některé z nich vícenásobné.
V rozkladu mnohočlenu Q(x) se objeví mocniny lineárního dvojčlenu.Má-li tedy např. mnohočlen Q(x) tři různé reálné kořeny x-^XgjXj,přičemž kořen x^ je trojnásobný,kořen      jednoduchý a kořen x^ dvojnásobný,pak v rozkladu na parciální
zlomky opět s konstantními čitateli musí být zlomky o jmenovatelích (x-x-^)3 ,
2 2 (x-Xg) s (x-Xj)   a mohou být ještě zlomky o jmenovatelích (x-x^, (x-x^ , (x-x^),
Rozklad by tedy obsahoval maximálně 6 parciálních zlomků t
_P(x) .   A B C       .   D E i"
(x-X^)PÍX-Xg) (X-Xj) X-X^       (x-X-^) (X-X1)"'       X-Xg       (X-Xj) X-Xj
, llO/.pŕiklad. /V__x£+1
y?H
Íx^+Jx^-x
"2
dx   = J
Rozklad jmenovatele? x^-Jx^+Jx^-x = x(x3-3x2+3x~l) = x.(x-1)3 Rozklad na parciálni zlomkyj
_i£±l     =   A + _B_ + _C       + /# x(x_d3
x(x-l)^        x    x-1     (x-ir (x-1)5
x5* 1     =   A(x-l)3 + Bx(x-l)2 + Cx(x-l) + Dx Konstanty A,B,C,D vypočteme opět druhým způsobem.Po dosazení kořenů jmenovatele x=0,x=l   obdržíme jen konstanty   A= -1, D = 2.Pro určení zbývajících konstant B, 0 dosadíme do rovnosti postupně dvě libovolná malá celá čísla, např.»   x= 2 ,     9 = A+2B+2C+2D ;     x = -1 ,     0 = -8A- 4B+2C- D 3 = B + G 3 =   2B - C
B s 2 | 0=1
J   = - ln|xJ+ 2.1n(x-l) - (x-1)"1 - (x-1)"2 = In ---2—_   + c
ix i (x-ir
307.cvičení.- A   ,      2 2 2
a) /r^-lfafoa**? to       Z" ^ížzllí   +   53X-14X2- 45    +c 7 J      (x-l)?(x-Ä)5 lx-21 2(x-2)Z(x-l)
b) ^2^3*2*!= * dx , T m ^=i^   -   Sii   +   C 7
j   (?-ir ix+ii x2-!
i-------------------1
j  DESÍTKA   ÚLOH   čís. 64   j Vypočtěte integrály j
d    í_3xf+ 1     -     . r ilni-rl   + Šln/TC-l I   _ ižlnl-r*?!__íl
y" dx , (f jlnixj + |ln/x-ll - ^lnlx+21 -
f   f-?** 2 dx C —   *   m + C
J   xí+2x^+ x x+1 lx+11
f _2*!±1 to <f -
+ 0
2
4    f ~%-1- to í~   —   + ln|x+lí    + C /
7   x-?+5xc+8x+ 4 x+2
5) /"       x^-sx2í9x+ 7-to Z" T-3—? +  mi*-5l +07
J   (x2-7x+10)(x2- 4x+ 4) 2(x-2)
5 P
/  /   ,X^2 7t        C Š- + 2x~ ~ ~^—ľ + %nix-l| + knlx+l| 7
y   (x-1) (x-1) 4(x-1)2    4(x-l)      8 8 ~*
- 163 -
rxW+Ux^-       äx , f - —1-,   *  — *      +ln|x-2|   +C 7
J x*-ByP+Z*x^-3Zx+16 3(x-2)5       2(x-2)2        1 1
7)
x-21 2
|x-21     x 2(x-2)
+ c _7
x+lI x+1
10) z"_É* _=■ ,        /-   ŽČžŽOžÍ 68   +   l^|<x+l)(x+2)16| + c 7
7 (x+l)^)*^)5 4(x+2)(x+3)2        8   I     (x+3)17 I
III. Nechí mnohočlen   Q(x) má kořeny reálné i imaginární,případně vícenásobné.
Pak v rozkladu mnohočlenu Q(x) se objeví dvojčleny lineární,případně jejich mocniny,a nerozložitelné kvadratické dvojčleny nebo trojčleny,případně jejich mocnily.
Při rozkladu na parciální zlomky musíme počítat s tím,že ty elementární zlomky, jež mají za jmenovatele nerozložitelné kvadratické mnohočleny,mohou mít čitatele lineární.Např.t
P(x) _ JL +     B      + Cx+D   +   Bx+F        +     Gx+H +
(x-m)2(x2+q2Y(ax* +bx+c)d " x-m     (x-m)2     x^+q2     (x2+q2)2 (xW)3
Kx+L Mx+N + —Tj-- + -n—■-^
ax +bx+c (ax +bx+c)
/lil/.příklad. / 2x + 2 _ ^ _
2x2+ x - 1
/2x + 2 x5- x4+ 2x^-
Rozklad jmenovatele:   x5-x4+2x5-2x2+x-l = (x5-l)-x(x5-l)42x2(x-l) =
= (x-l)(x4+2x2+l) = (x-l).(x2+l)2
Rozklad na parciální zlomky:
2x+2—~ =   JL.   +   ^±2   +   _|SíE      /. (x_1)(x2+1)2
2\t>2 ___Jí .n . i ^
(x-lXx^+ir      x-1        x^+l (x^+l)'
2x + 2     = kix2*!)2 + (Bx+C)(x-l)(x2+l) + (Dx+E)(x-1) Rovnost upravíme na výpočet konstant prvním způsobem :
0.x4+ 0.x3+ 0.x2+2x+2 = x4(A+B)+ x^-BtC)* x2(2A+B-0+D)+ x(-B+C-D+E)+(A-C-E) Porovnáním koeficientů u stejných mocnin obdržíme soustavu pěti rovnic : A+B=0, -B+C=0, 2A+B-C+D=0, -B+C-D+E=2, A-C-E=2; A=l, B=-l, C=-l,D=-2, E= 0 .
-I)2 1 -J     + -£—   -   arctg x   + C
■+1 x+l
Poznámka. Při výpočtu konstant druhým způsobem dosadili bychom do rovnosti nejprve jediný reálný kořen x=l,což by vedlo k   A=l.Dosazujeme-li pak libovolná malá celá čísla.např.: x=0, x=-l, x=2, x=-2   a současně   A=l ,obdržíme soustavu
čtyř rovnic: C+E=-l, 2B-2C+D-E=-2, 10B+~C+2D+E= -19, 30B-15C+6D-3E= -27 ,z nichž plyne   B= -1, C= -1, D= -2, E= 0 .
308.cvičení.
^ dx ,f Jta iS   - £arctg x .7; » A f-g   .ffoa        <2 *
J 1-x* H    1-x      c Jx^+x^+x^+x (x+D^íx^+l)
- ^arctg x _7
- 164 -
y x + 4x^-5 y r*+l y (xi;+x+2)(xí?+4x+5)        y (x2-6x+13T
Vyslep c) £ln|fä| + -Š.arctg g| , d) |hi jÉjE*   + ^arctg ^ ,
e) J=arctg Š2±i  _ LurctgCx+2) , f) Í22   +  ^.arctg S2
3V7 V7       5 8(x2-6x+13)      16 *
■—.— 1-------——m
DESÍTKA   ÚLOH   ôís, 65 j
♦) A-^l      dx , C —4— ♦ iln %tl£ +    2   arctg U   + c 7
7 C?*!)2      f 3(x3+l)     9    x*-x+l      3V3 VF
5) H^ffjŕ*7*? to, n>|»ipjpS- y? - ^cte^i ^ 7
y   (x+D.Cx^+x+l)^ - v 3íx%x+l)     9 V3 "
6) /" 6*    . dx r      ?*2-*       +   In +   arctg x   ♦ C 7 7 (x-l^Cx^+l)^      *           (x-lXx2*!) x%l
7) /•_>-      2*    »-      dx,     ^" - glni^H + iln(l+x2)   +   C 7
7 (l*x)(x*+2x2+l) 2(aŕ+l)     2 *
8) í     x2+3x-2         ,          r   5x+ 2       . 1,    (x-1)2      8 2x+l ^ 0 7 / -=———«■ dx »     £     ^ >i-          + nln »»3   '   + ——.arctg ——— + C /
J (x-l)(xz+x+l)2 3(x<+x+l)    y    x^+x+l    3/3 v3
9) f xV^+l^+lTx+e ^ Z- m|X+2| - -y-!--|.-f±i--iarctgCx+1) 7
y     (x+2)(x2+2x+2)2 x^+2x+2     * x£Í+2x+2
10) /"  /+2    dx, T -g5— ♦ -^arctg2^ - 2.1n(x2+x+l)+ £ - ž5> ♦ 7
y (ŕ+x+ir        x^+x+i  V5      \/F *    5 2
Závěrem integrace racionálni funkce lomené uvedeme několik integrálů,jichž integrand obsahuje ve jmenovateli dvojčlen   (x4+ 1) t
/*dx , (x4+l = t) ; b)   f-4— dx, (x2= t); c)/"—4-       dx, (x = i ) ,
y x\i J x\i y x(x%D * *
)   f-jL. to ,   r   *   m »*» ^ ÍÍ   ♦  4 .arctg Zl/L   +   C 7
y x% i 4vT    x^- xV? +i      * í-x2
V posledním případě užijeme rozkladu jmenovatele >
x4+ 1 s (x2*!)2 - 2X2 = (x2*!)2 - <x\£)2 = (x2+ xy£ + 1)>(x2_ ^ + 4 }
- 165 -
§ 59« INTEGRACE   IRACIONÁLNÍCH FUNKCÍ.
S integrací některých iracionálních funkcí jsme se již setkali u základních integračních metod.Byly to integrály těchto typů :
dx, (viz cvič.264e-s,266c-f) ;     f^iax+b)™ dx, (275 g-m), /z=ax+b/ f. $ f(x).a.f'(x)dx, (288 b-d)
-'f^x) dx, (290 b-f), /z= f(x)/ VfW
Druhou skupinu,která obsahovala funkce s druhou odmocninou z kvadratického mnohočlenu,uvedeme v přehledu později.
Nyní přistoupíme k dalším iracionálním funkcím,jejichž integrace se vhodnými substitucemi převádí na integraci funkcí.racionálních.
/
R( x , $
f(x) )dx , kde f(x)=x   nebo f(x)=ax+b   nebo f(x)= l (149)
Substituce s
= Vřu)
Symbolem R(x ,Vf(xT )   naznačujeme,že jde o funkci racionální v x a v odmocnině
VfČxT
f(x), což znamená,že číslo x a odmocnina
9fôo
jsou vázány vzájemně a s konstan-
tami racionálními operacemi(sčítáním,odčítáním,násobením a dělením),
/112/.přiklad.
dx   = J
"Z"
5
-.t.dt = 4-
r t2 J <tW
Zavedeme   V2x+1 = t_, vypočteme x ,dx
dx = t.dt
x -
t2-l
dt
Zavedenou substitucí jsme obdrželi integrál racionální funkce lomené v proměnné t„Rozkladem na parciální zlomky vypočteme í
J = ln
t - 11
2t
Tli
ittti
/115/.přiklad.    / i
ln
2x+l - 1
V2x+1 + 1
1
V;
2x+l
+ C
= f t.-i
J -4*
x - 1 (x+l)(x-l)
.2
dx   = J
-6t
J = - fŕt = -
ct^i?
Vi
.dt
Zavedeme
Vypočteme :
. tVi
+ c
*x+l =
f-1
2t*
t^-l
dx
x-1
-6ť
2
t5-l
Na předešlý případ lze někdy uvést integrály typu
dx
Vl(x-a)r.(x-b)3
/114/. přiklad.
dx
J (x+2).V/(x-l)i,.(x+2)
. r—i—ij^r dx =
J (x-l)(x+2) f x+2
y^x-D
^—
V(x-l)
(x+2).y(x-l)?(x+2) 4 ÍTx-1
dx a
+ C
Poznámka. Abychom později dovedli vystihnout,o jaký typ integrálu iracionální funkce jde,pozorujeme v každém cvičení a desítce úloh zadané integrály a ověřujeme si jejich příslušnost k uvedenému typu.
- 166 -
.cvičení, ľ    %.   2 i b) í c)  A'l^x dx,    d) /-^
a)7x0+5)     7 i+x       7 1+^+1
:, i=-S- dx
dx ,
1        dx,   f J /"      ■ dx ,   g) /"žx+1
7 (2+x).Vl+x
1+fé
f Vx^L       J fe+i
, b) 2.( \£ -arctgVx" )3 c) I|(3x-2a).V(a+x)5 ,
15
í) 2.( Vx+1 - lnVx+1 + 10, e) 2.arctgVl+x, f) -](|~-. (5x^+ 6x2+ 8x + 16) , 5) ž+i.^(5x+l)2   ,   h)   Vl-x*   - 2.arctgy^   +   C .
33SÍTKA   ÚLOH   čís. 66
d /"_!£_, dx,
J (l+Vx)5
—i i
J
C 2.1n(l+ Vx) + —
- —^--r + c 7
l+Vx (1+Vxr
1) dx
J x.Vx+1 4) /"Vx+1 + 1 ,
7 Vx+i-i
/- 1
J x- VJx+2
dx
(f 3.(     + m|vx - i| )  + c _7 Vx+i - i
+ c _7
5)
s) r i Ifex+i
x+l
dx,
dx
8)
9) 10)
7-    / —
J Ox+5).V(2x+3)(x+2)
AI/S. ,
J   f 1 + x x / (l-x).Vl^
Vx+1 + 1
C x+l + 4.Vx+1   + 4.lniVx+1 - ll + C J
f~v   '% -        + |lnj^3x+2   +l| + £ln|^3x+2 - 2I J
V3x+2 +1
c 1^ ?x+2.2.V2g2+5x+l_   _   V2x2+3x+l + c 7
X X
-dx ,C   ~ 2.arctgj/x-i-ř 2x+
+ c _7
-dx ,
Vl+x - Vl^x
Vl+x + Vl^x
+ 2.arctg j/i-Ä   +   C 7 1+x
+ C
7
^(x-1).
dx
^ln(t2+t+l) -   ln |t-l|  + VŠ.arctg 2-J2i   + C _7,
»3
(x+ir
Ô ď  • *  » t
:    7 h( x, Vflx), Vx(x),
I    y f(x) =
kde t "p' "
'f(x), ........ ) dx ,   kde j
x  nebo   f(x)= ax+b    nebo   f(x)= ; (150)
s sn--
» Substituce 1      t   =   v f(x) ,   s   je společný odmocnitel •
Integrand integrálu uvedeného typu obsahuje různé odmocniny o společném odmocněnci.
- 167 -
/115/.příklad. (^jM-Í^0L J        X.< Y* - & )
Společný odmocnitel   s = 12.
dx   = J
Zavedeme t =   yx   a určíme %
x = t
12
dx = 12.tn.dt
x = i;
x"= t£
Po dosazeni obdržíme i -6   n+5-^ 12t5
J , 12J*- ZftJ
dt =
^ *r 5
12<|-2J- + |+ 5|_ + t + 3.1n|t-l| + + 2.1nlt+ll ) ,   t = "fí
310.cvičení.
d>
ji(^S)   y ě + Vx y
x.cVx + )
VxTÍ
dx .
g--;-— dx ,
1 g= dx,   °> Z dx, ř)/J^^
-/ n+x + vi+x       y Vx+i + vx+T       y i + jfeTi
Výsledky* a) ln -^J-         , b) 2|/x - 4Vx + 4.1n(Vx +l),c) + - +
(Vx +1)6 2/x2"    3.VX5 Vx"
+ lni Xm x-jjpl , d) 2.V7Tx -3.fcx + 6.Vl7x - 6.1n(l + fl+x ) ,
Vx I (Ife +1) I
e) |.VCx+l)5 - J.V(x+l)4   + f.teôľ7 -(x+1) + §.fox+l)> - J.ýuíl)T , f)- |yW)7* |7<x+l)5+ fv^x+1)2- 2V£l - 3VxTl ♦6vxTl-6arctgtel +3.1n|vx^l + l| B_i_n_o_m_i_c_k_é___i_n_t_e_g_r_á_l_j
Jď.ie. + b**)5' dx ,
m , n , p .... racionálni čísla
Převádějí se určitými substitucemi na integrály racionálních funkci, když aspoň jedno z čísel   p , ,   S±i + p     je číslo celé.
1. p   je celé číslo . Jde o známé integrály typu   (150) .
2. m | 1   je celé číslo.     Substituce :     a + bx31 = tq ,
n m+1
+ p je celé číslo.   Substituce i
* bx11 = tV
q.   je jmenovatel zlomku p
(151)
e • • a * • » i
•' M M i t t ( i> t e í « e i t i
/116/.příklad.
ľ 3- 2.??
dx = / x>.(3- 2x5 ) dx   = J
m =
. p - - 2* !   SHr~ =   2   ( celé číslo )
j - - |
ť^dt = - £( 3t - S   ) =
= - 2fc<l - 5- ) + C ; t
= V 3- 2^
Zavedeme
3 - 2x? = ť
x"5 = )
3
x = ( l=í
2 3 )
2
2 ^
dx = - |t9( Ž^L. )
- 168 -
-l.cviôeuí. a)   /" xdx      f   b) fefi^Jf te ,   c)   í   L 1 dx
J\T^ J J x3,?!^
Výsledky i "
a) |.V(1+        )5   -2.1/(1+ vx2" )5   +5.Vl+ vx^, b^U+x3)5" - |(l+x3)^ ,
a-
c) |t4 - |t9 , t =   Vl+x"1 .
512. cvičení
Výsledky
2
, , b) J.ln||äJ|-J.arctst ,t= iSkS- , c) . SÍ2Ej=ž2 +
vare s in x .   d) ———   + C.
VI+x2"
2^
DESÍTKA.   ÚLOH   čí s. 6?
7 V1+&   ^       , y X.1/1+?    y 717x5
4r-—-- ŕ 1 I f
9)/ V(l + Vx )3 dx, 10) J s?( 2+x3" )
5
dx .
Výsledky t
i4
D - |(x~5 + 2)7, 2) |.ln
Vl+x5 - 1
Vl+x5 + 1
+ |arctg Vl+x3,   3)|.v7(l+x"1)4- ^(l+x-1)^,
4)- ÍŽgg , 5) žt3- 2t3+ 3t , t= O? , 6) •   - J.ln   ft^! +
4X2 3 2(t5+l)      *      t2- t +1
t2-l
t = ;    8) l.ln^% - -larotg f ,t=^ .
6     (t-ir   v3      V3 x 7 2 2 I
9) yfí tVs" - 4).(1+ Vx" )* ,    10) ^(lOx? -16).(2+ x5 )     +   C .
Poznámka. K tzv. binomickému integrálu vede nás integrál funkce,která obsahuje součet tvaru   (a+bx11), umocněný jakýmkoli racionálním číslem a případně vázaný s mocninou proměnné x násobením nebo dělením.Pozorujte příklady cvičení a desítky úloh.
Poněvadž exponent n je také racionální číslo,neodpovídá vždy název ,,binomický integrál "nynějšímu pojmu dvojčlenu čili binomu.
- 169 -
IS5£S£ä£9_íunte:^obs^u^
B_u_l_e_r_o_v_7___s_u_b_s_t_i_t_u_c_e.
Základními metodami jsme integrovali hlavně tyto případy funkcí,obsahujících druhou odmocninu z kvadratického dvojčlenu nebo trojčlenní
f  1    to ,       ľ      1       to ,    f      1 dx , a < O. Viz cvičení «
J Vl-x2 V l/a2- b2x2 7 /ax2+bx+c 272a-d,2809281
rr-dx , a> 0 . 274 , 283
V77^      y Va?
+bx+c
'    -dx ;   t = ax2+ bx + c 290 e.f
/i
_/Vax2+bx+c
/• _ /- ^ DBScÚLOH číSo62
/ Vb^-x2 dx ,      / Vax2+bx+c dx , a < 0 . př.i 4 - 6
JVy?+h   dx ,    y* Vax2+bx+c dx , a > 0 1-3
/
(Mx+N).Vax2+bx+c dx , 7-10
DES.ŮLOK čís»59
- dx nř.   4 -10
'ax +bx+c
Uvedeme obecnou metodu pro integraci funkcí,které jsou racionální v x a v odmoc
nině   Vax^+bx+c   a jejichž integrály značíme
R( x, Va^+bx+c )dx
y
Tato metoda spočívá v tzv.   Kulérových    substitucích. Rozlišujeme tři případy : -
1) Je-li   a > 0 , zavedeme substituci   Vax^+bx+č = t + x*Va
2) Je-li   c > 0 , zavedeme substituci   Vax^+bx+c = xt + Vc
3) Má-li kvadratický trojčlen dva reálné kořeny (zvláště racionái ní) x^jXg, můžeme postupovat dvojím způsobem s
a) provedeme rozklad a úpravu :
-_   Wa(x-Xl )(x-Xp)2
Va(x-x1)(x-x2) =U-i-—   = (x-xg).
I        X — x^
čímž to převedeme na iracionální funkci,kterou dovedeme integrovat.Viz /114/.př* b) po rozkladu zavedeme přímo substituci
Va(x-x1)(x-x2) = (x-x-^.t    nebo   VaU^TČx     ) = (x-Xg.Vi:
U každého z uvedených tří případů postupujeme dále tak,že užitím substituční rovnice vyjadřujeme proměnnou x,diferenciál dx,odmocninu Vsx^+bx+c a všechny ostatní výrazy s proměnnou x novou proměnnou t a dosadíme do dané integrované funkce.Po úpravě obdržíme funkci racionální v proměnné t.Jde někdy o zdlouhavý výpočet,složený většinou z řady algebraických operací,který musíme přehledně sa pisovat.
Uvedeme příklady funkcí,které užitím Kulérových substitucí obyčejně integrujsase Přitom u některých případů poznamenáme integraci i jinou substitucí,která vede k jednodušším výpočtům.
- 170 -
L
117/.přiklad. V tomto případě můžeme užít kterékoli Bulerovy
„_■) substituce.Přesvědčte se ! Třetí substituce by
- nebyla výhodná,poněvadž kořeny trojčlenu jsou
x'Vx +3x+1 iracionální. Užijeme 1.substituce :
l/?+3x+l   =   t - x Ze substituční rovnice vypočteme :
x = £=í,   dx = 2t!+6ttó dt|   x_x = t2-2t- 4  \Jjr^= t_Xst_ tf-l= t^žtjl 3+2t (3+2t)í: 3+2t 3+2t 3+2t
Po dosazeni do integrandu a po úpravě obdržíme i 3.2. f j -2t - 4   dt =   taSaW*   ln|3tót| = lnK^l).(?42t?|
y ct-D(3+2t)        t-ii i t -1 i
kde   t   -   x + V x2+3x + 1 •
/118/.příklad.
/
Užijeme druhé Bulerovy substituce.Třetí by
-^ = J pro iracionální kořeny trojčlenu nebyla vý-
1 + V1-2X-X* hodná.
Ze substituční rovnice
l-2x-x   = xt - 1 vypočteme :
x =     dx = 2+ g=e£ dt, 1 ♦ v i-2x-x^ = 1 +(xt-D = xt = z&=±i
t%l C^+lT t2+i
Po dosazení do integrované funkce a po úpravě obdržíme :
J = - ľ-—2t..~ 1 dt = lnlt-ll - ln|t| - 2.arctg t = ln|~| - 2 are t g t J tCt-D.ít^+i) I t I
\J-—?
kde   t   =   1 * *l-2x-x        (ze substituční rovnice)
/119/.Příklad,
Poněvadž   a < 0, c < 0 ,zbývá užít třetí Eule-dx   s   J      rovy substituce.Je to možné,poněvadž kořeny
(x-1).V-x2+3x-£ trojčlenu jsou reálné,dokonce celá čísla :
x^ = 1 , *2 = 2
Ze substituční rovnice    V-(x-l)(x-2) = (x-l).t vypočteme t
t =P=Š,   x = íit2", dx s     »2t m dt, x-1 = 4—,   V-(x-l)(x-2) = 4-
řx-i       t2+i       (t^+ir t^+i t^+i
)dt = - 2( t + aretg t ) =- 2( 1/—   +   arctgl/2-^   ) + C
J = -2/(l + -Í
7        t^+i *x-i r x-i
Bulerovy substituce lze užít i k výpočtu základních integrálů . .7120/.přiklad.
/v^adx= j \n?n = t-x    (l.Bulerova subst.)
X = ^=&,    dx = dt, t-Irt-^S:
2t 2tT 2t 2t
j = ifiňt^ň dt = ijit + ž| +      ) dt 3 J.< SÍ=§Š. + a.lnltl ) =
= l.rx.WTe. * a.lnlx* Vx^l 7 ♦ C , neboS í!=S. ^ = x.VTTI
2 fc 4t        2t 2t
- 171 -
I I
DESÍTKA.   ÚLOH   čís. 68   |      Užitím Eulerových substitucí vypočtěte integrály*
f-~ ,     c m|x+1 + \f7^\ + i- lk2+2x+2 + c 7
7 1 + Vx<:;+2x+2 x + 1
1)
2)
3)
4)
5)
/x-1 x2.V^2"
/*-í-
y x.V2+x-x2 / _i_
y x.\nc + 4x-
-dx ,
/- 2.V2x2-2x+l -
x+1
dx
2x
X   . _      fex^-Žx+l   + c 7
+ C a
r--j§.i»
V2+x-? + VÍ _1_
x 2V2
+ C_7 ( Také x = I
/-i-
y (x+d.Vx^+i
° /■—*==
7 (x-2).l/I?7
-dx
-dx
x + V x + 4x- 4
+ c 7
/ arctg
r  -1.m|í2-±JSS2Í| + C   7   ( Také x+1 = J V2     I      1 + x I
7)
8)
9)
2)./
/x-V?:
dx, la
4x-3
-dx
3-x - Vx-1
x+1
dx
dx
10)  /_1
y x2.(x+
V7+I)
-dx
+ c _7
3-x + Vx-1 '
^~ 2.1n|x- Vx^-x+ll - |.ljal2x-l   ~ 2^-x+1 í +
_ _---i——-        + C _7
2(2x-l -^Vx^-x+l)
<f **+ f.V^VL - Jlalx + Vx^ll + C _7 /" I.Cx5 - VCx^-l)5   ) - x + C J
Vl+x2"
/ ln
x + Vx +1
c 7
V případech   7) - 10) , u nichž jmenovatel obsahuje součet   x + Vx^+px+q je výhodné   zavést přímo substituci   x + Vx2+px+q   = t , což je v podstato l.Bulerova substituce.
§ 40. INTEGRACE   GONIOMETHICKÝCH FUMCÍ.
Základními metodami byly vypočteny integrály goniometrie.3sých funkcí hlavně těchto typů t
a) (užitím vzorců) ,
/sinx dx,  /cosx dx, /-~-r-, » a integrály, jež se na ně po úpravě
J J sin x  J cos x
převedou, jako 1Jtg2x dx, Jiotg2x dx, J
Viz cvičeni   267 - 270 . b) (metodou substituční)
/8in(ax+b)dx, / cos(ax+b) dx,    /-—■ , /— J                        J sin^íax+b)     J c
2 2 a.sin x +b.cos x +c
d.cos x
dx
sin (ax+b) - 172 -
dx
cos (ax+b)
I   Viz cvič. 278«
^/tgx dx, Jcotgx dx, ycos^x.sinx dx,   ^/sin^.cosx dx, (cc3x=z nebo sinx=z)
/ a'8inx dx,(b+c.cosx = z)j     / a'cosx dx, (b+c.sinx= z); Viz cvič. 287 J b+c.cosx J b+c.sinx
c) (úpravou a metodou substituční)
f-^—,     Aá5—,    viz příkl. /98/ a /99/ y sin x    J cos x
sin2x dx, J*cos2x dx,   ^/sin2(ax+b)dx, y^cos2(ax+b)dx
užitím rovnosti   cos2 a = 1+c°a2a- , Sin2a = i-0®82*1  nebo per partes (/105/)
Poslední skupinu integrálů doplníme Sgduk^nímiJ£SO£cl^ro_yjšěi_m^cn^ng_f\n^ci sin x   a cos x.
Jn =  / sin x dx =  / sin  x.sinx dx   Per partes :u= sin   x v = sinx
J J      u      v' n-2
u =(n-l)sin   x.cosx,v =-cosx
Obdržíme vztah mezi integrály   Jn   a   Jn_£ t z něhož vypočteme   Jn 1
n-Z n-1
:.cosx _7 í
(152)
: / sin^x dx   = i.^f (n-1) /sin  x dx   - sin   x.cosx _7
ľ /•     n , /* n-2 n-1
! / cos x dx   = i.^~(n-l) / cos   x dx   + cos   x.sinx _7
Redukční vzorec pro cos11*   se odvodí stejným způsobem.Oběma redukčními vzorci se sníží exponent o 2. 313.cvičeni.   Užitím redukčních vzorců vypočtěte integrály >
sin x dx.
i) Jaix?x dx, b)Jco^x dx,   c) Jsin5x dx,   d)J*cos5x dx, e^/*
Výsledky t a) jcos^x -cosx, b)- jsin^x +sinx, c) - cosx + |cos'x - |cos^x , d) sinx- |sin5x+ |sin5x,   e) ^|x - cosx.( gsin5x + j|sin5x + i|sinx ) .
Je-li exponent n číslem celým záporným,lze také užít redukčního vzorce.Základ
tvoří integrály  / ***   ,  f  % t P*° n sudé,integrály /-^—, /pro n liché J sin^x J cos'x J sin x y cosx
^121/.příklad.
- r -2 1 -5      * /* "*
a) Pro n= -2   jest   n-2 =-4 j    /sin x dx = jcosx.sin x + £ /sin x dx ,
z čehož vypočteme /sin x      = |^~-cotgx --cosx J - .........
y 3 2sinyx
ľ   -1 -2        /• -3
b) Pro n= -1   jest   n-2=-3 j   / sin x dx =   cosx.sin x + 2 / sin x dx ,
/_4"'           1 / dx         cosx _ sin x      = 5 /---9~ =.......... V sinx 2sin<:x
a)  / % , /"tgx+ itg^x 7;   b) /  ^ dx.^cotgx- |cotg5x- Ícotg5x _7; y cos^x J sin x
c) Pv. r     ♦ l-*!** 1* í >l -7-
y cob-^x 2cos x
314, cvič ani.
- 173 -
Mnohé integrály   goniometrických   funkcí jsou typu
J*R (sinx , cosx ) dx ,
což znamená,že integrandem je funkce racionální v sinu a v kosinu.Patří sem všechny integrály uvedené v tomto článku a integrály funkci,v nichž je sin x a cos x   vázán vzájemně a s konstantami sčítáním,odčítáním,násobením a dělením.
Než poznáme obecnou metodu k jejich integraci,uvedeme předem dva zvláštní případy t
: ľ
l     IB. ( sinx ). cosx dx ;     zavedeme-li   sinx = t , pak cosx.dx=dt '.
: J
j     / H ( cosx ). sinx dx ;     zavedeme-li   cosx = t , pak sinx.dx=-dtí
• •
• •••••••••••••••**a*»**a**«»«»*««c««»eeeee**ca*«*»**e*eao*«a**«»a*»oo»
Například symbol   E ( sinx )   znamená funkci racionální jen v sinu. často je možno integrand na takový tvar uvést.Příslušnou úpravu provádíme několika způsoby i
a) užitím goniometrických vztahů
/122/.příklad,   ľ sin2x   ^ = 2 f sinx   .cosx te . (sinx a tj cosx.dx = dt ) J 1+sin x / 1+sin x
y 1+t4   y 1
- = arctg z = arctg t2 =
1+z
= arctg(sin x)   + C
b) rozkladem mocniny
/12V.přiklad.  tóc. to   s/siS2i-.Binx dx = A=£2s!s.sinx dx ; (cosx = t > J 2+cosx 2+cosx y 2+cosx
= -A=£- dt = A-=idt = ....= it2- 2t+ 3.1n|t+2|=.
y 2+t    y t+2
Obdobně   můžeme integrovat liché mocniny funkci sin x   a cos x . /124-/.přiklad.   Jcoa**. dx =^cos4x.cosx dx =J(l-sin2x)2.cosx dx ; (sinx = t )
=/ (l-2t2+t4)dt = ...= sinx- |sin5x + |sin5x   + C c) rozšířením zlomku funkci sinx nebo cosx
/125/.příklad.   f    dx = /»       sinx.dx- =/*- 1-_-,3±nx
J sinx.cos2x J sin x.(cos x-sin x) J (1-cos x)(2cos x-1)
r 4-\        ľ dt 1,  |cosx-i|       1 -, Jy2*cosx+l
(cosx = t) = y_z_2_= .... -a*i|—j| ^^fc
515.cvičení. a)   ľ cosx.sin2x    fa ( ^- ^tgCcoax) - ln jcotg f j     + C J J sin x.(l+cos x)
*>)   /* siÝx dx ,^"cosx - 2arctg(cosx) _7
y cos x+i
316.cvičení. Upravte následující integrály na tvar (153) »
a)   /"        dx b) /*     dx c) /*    dx            d)  / dx
y (2+cosx).sinx ' y sinx.cos^x '     y sinx.cos x '     y sin2x. Výsledky*
a) V b)   r d) /■
-3í--—.sinx,    /-^-r-.sinx,        /->j--.....y .c
(2+cosx)(l-cos x) y (l-cosx)cos^x / sin x(l-sin x)
+ C
dx_
.cosx
- 174 -
Obdobně vypočteme integrály
^síJ\.co^x dx   , Ji
B^ dx
cos^X
když aspoň jeden z exponentů je lichý.Funkci s lichým exponentem rozložíme;je-li ve jmenovateli,zlomek rozšíříme.
/126/»přiklad. Jsía?x,cos^x dx =^sin3x.cos2x.cosx dx =^sin3x.(l-sin2x).cosxdx
= Jsin4x - gsi46x   + 0
/127/.přiklad,   f SiiÔE dx = A^.cosx dx = f—^d J cospx      J cos x J (1-sii
. 4
sin x_ j^.
j.cosx dx =
sin x)'
x
dx
, 317.cvičeni, a) /sin2x.cos3x dx,   b) /cos6x.sin5x dx,   c) Ag^ždxtd)/*
•Z J J sin x      ^/ cos :
e)  /cotg^x dx,   f) / sin ^g1 dx,   g) / cos.xdx . Výsledkyta) |sin3x- Jsin5x ,
y y   cos x       y sín-^x p 3
b)- icos'x + fjcos^x - 'ttcos1"1x ,   c)--^--sinx, d)-i----— ,
' " sinx J.cos-'x cosx
e)- icotg2x- lni sinx I , f) + cosx + tgx, g)- ^°S2. - -££2-2 _ Žlnltgg I .
* ' cosx c       2sinS:    *   1   * I
Pro úplnost uvedeme ještě na tomto místě integraci funkce tvaru  R(sinx , cosx),
jestliže obsahuje jen sudé mocniny,případně součiny stejných mocnin funkcí sinx
a cosx.Užijeme k tomu goniometrických rovností t
..2      l-cos2x          „„„2„     l+cos2x „„_ Sin2x
sin x =      >í        ,     cos x = -2-        •      sinx.cosx = ^
/12 8/.příklad. 2
á) ysin4x.cos2x dx »y"( l=2°22x ) . l±cos2x ^ ^y(i_cos2x-cos22x+cos32x)dx
= - -jgx - £j|sin4x - 2f5Sin52x + C
sin4x + c
b) jrcos\ dx m Jí i±£|§2x ) ^ = iy(1+2cos2x+cos22x)dx=|x+ -
c) Jšín?x.coe?x dx =y(sinx.cosx)3dx= ^(sin2x)3dx= ^os^x - ^|cos2x + C 318.cvičeni, a) /!ainSc dx,   b) Jjos5x dx,   c)^ooa^x.si.ri^x dx ,
d)y sin5x.cos5x dx,   e) j\3in2x.cos4x dx . Výsledky : a) \x - äif2*- + sin4x (
D) «g + Sg2x.( cos*x + 2™£* + i| ) , c) 223»< 3x- sin4x ♦ £sin8x ) , j%    cos2x    cos32x      cos32x      ,\   x    sin4x   . sin32x
U n i v_e_r_s á_lji_í__m_e_t_o_d_a    k výpočtu integrálů J R ( sinx , cosx)dx
se zakládá na substituci „
tg |   = t
Pro transformaci integrálu musíme novou proměnnou t nahradit funkce sin x a cos x.Potřebné vztahy pro argument |   získáme nejvýhodněji ze zobrazení v jednotkové kružnici t
o(„ x t „_0 x _ 1
sin    =    ~ ■ ■   ,   cos 5 = _
2 Vi+7        2 VE?
- 175 -
1
Funkce sin x   a cos x   určíme ze vztahů i sin 2a b 2.sina.cosa
2 2 cos 2a = cos a - sin a
*      sinx = 2sinžcos§ =
d    * l+t*
2 2 x x 1—1
cosx = cos £ - sin $ s —
* * 1+1
Ze substituční rovnice plyne t    j[ = arctg t x = 2.arctg t
dx = 2.(arctg t)'.dt = -*T.dt
/129/.príklad.
sinx
/x _ 2t
1IS .   2     dt = - 2 / 1-t* 1+tT / (t+l).(ť
i+tr _ o
+i)
dt =
= ln
= m(tf + 1}    = m ll + sinxl +
ť+l
tg j + 1
319«cvičeni.
a) e)
Y1* SlPX   dx,   b) ,   c) - ,   d) /-
J 1- sinx y 1- cosx J 1+ sinx J 3
dx
5- 4sinx+ 3cosx
Výsledky
sa)—2l_ . Xf D) _ cotg| , c)
3sinx - 4cosx -2
1+ tgf
d) ij.ln
2tg| - 1
tgf + 2
, e)
2- ts
DESÍTKA   ÚLOH   čís. 69
1)   Í2 -J 2 +
sinx
cosx
dx ,
C lnl2+ cosxl + j^.arctg( -itgž )   +   C 7 ¥3 v3
2)
3)
4)
5)
3cosx
/-i
y   sin2x -
y 5-3
/ —i
y 5♦«
y si:
2 sinx dx ,
dx
C - J.Xn|l7sf J +   —1-2-   + C 8.tg f
^~    j.arctg( 2tg| )   +  C J
4 sinx
dx
C    yarctg
5tg| + 4
oj
■7-
s:Urx
dx
6) f 1
J   2sinx - cosx +5
/sinx sinx +
dx
2
C z^Nil - J.cots | + cj
i         3tgf + 1 t~. arctg-Z——  +  C J
7)
8)
9)
- cosx 2cosx
f-i-,
J   sinx + \Bcosx
/sinx.coax sinx +
VB"
C |.ln| sinx + 2cosx I  +   C J
3.tg| + \^
3 - vT.tgf
cosx
■t*>l 2$>
t - (i-Vi)
+ c 7
c ,  t = tg I _7
- 176 -
10)
/    1 * siDX     dx ,      C +  tgf  +  J.lnltgfl   t c J
J sinx,(1+ cosx)
)bsahuje-li funkce   E ( sinx , cosx )   jen   sudé   mocniny funkcí   sin x a ;os x, případně i součin obou funkcí, nebo jde-li o funkci   R ( tg x ) , je rýhodnější užít substituční rovnice
tg x   =   t ,   z níž plyne    x = aretg t   ,     dx   =   - —-y dt
1+ t
t 1
Š jednotkové kružnice pro argument x f   sin x   =      ■ - ■-- ,   cos x =
ViTt2" Vi+1
2
/130/.přiklad. t2
,      f  sin2x    ^ =  IjlS?      .     1    dt -dt = Warctg *£S - x
y 1 + cos^x /   1 + 1+ t2      y (t2*2)(t2+l) V?
1+t
320,cvičeni.
0 f   ain2x . toj   b) ysinx.cosx^ c) /       áx. ^/l-tgx^ e) Attg &
/ 1+ sin x y   1+ sin x      y sin x +cos x   J 1+tgx       ./ sin2x
Výsledky :
a>x_ -iarctg(V2tgx),b) iarctg(2tg2x +1),c)-^arctg SíÉS- , d) lnlsinx + cosx I , \/2                                                          y2           V2 n ----------.—.----.--------, e) g( tgx + In!tgx| ) .
DESÍTKA   ÚLOH   čís. 70 í
D   f    dx_ , 2) /cos4x +sin4x ^ 3)  /      dx f *) /sin^ ^ §
y 1+ sin^x       y       cos 2x J sin x.ccs x       J  cos x
5)   /        dx , 6) Z"sin2x - cos2x fc< 7)/iin2ždX| 8) /
y a sinx + b'cos x      y sin'x + cos x y cos x 1
+ 3cos'"x
9)
f_      sin 2x      dX)   10) /* sin2x.cos^x dx .Výsledky, J 1} rp.arctgC Ifé.tgx ) ,
y sin x + cos x y »2
2) 1 m|ií5SS| + Isinx.cosx, 3) ^fí2x-l)(tgVl0tg2x^l)? 4) tgx+ lsin2x . |x , *     ll-tgx|     * 3-tg^x
3) 4.arctg , 6) JL.Hx g ~s1q2x| , 7) tg2x+C nebo ~V + c , ab             b^ 2V2      V2 +sin2xj cos x
8)      aretg ^ ,   9) arctg( tg*x ) ,   10) ^ - +   5Í^x   + c .
Integrace__g o n i o metrickými___substitucemi .
j   /i (x, V p2x2+ q2 )dx , px = q.tg t ; (x, V p2x2- q2), px =
yB (x, VT"
cost . ----:(i54)
22 *
p x   )dx ,   px = q.sint   nebo   px = q.cost '.
/131/.pŕiklad.       , ,
:* f x3dx =        /* tflfr .4,JLt^= 1 fä*^t=...JfI*7b?- 1) + C
(zavedenot x.V2 = tg t )
/132/.příklad. /•    q,         -_JL .aa5totdt.   l£ost dt =    1 .^7^
V x2Vx2^ / a2    l/a2 2^?t       a2/ 7Jx|
fTľľ2T (zavedeno j    x = „„at )
cos t 1 cos t ' cost
- 177 -
§ 4/ .INTEGRACE   METODOU   NEURČITÝCH   KOEPICIMTŮ".
U některých funkcí známe předem tvar příslušné primitivní funkce.Jde o někt ré funkce tvaru P(x).f(x)   nebo ,kde P(x) je mnohočlen.Primitivní funkce
je vyjádřena jistým mnohočlenem Q(x), jehož koeficienty určíme tzv.metodou neurčitých koeficientů.Postup výpočtu lze v hlavních rysech vyjádřit dvěma kroky -1»kroksRovnoat,která má na levé straně daný integrál a na druhé straně známý
tvar primitivní funkce,derivujeme. 2.krokíZe vzniklé rovnosti získáme po úpravě rovnost mnohočlenů,která nás poved
k výpočtu koeficientů mnohočlenu Q(x). Uvedeme tři rovnosti,jejichž správnost se dokazuje a jichž užijeme k výpočtu tří typů integrálů s
I, typ ;   t   /--dx = Q(x).Vax2+bx+c   + k. í----±--dx   +   C , i (155
1 J Vax^+bx+č J l/ax27bx7c" \
Jkde Q(x) je mnohočlen stupně o 1 nižšího než mnohočlen P(x). !
/13V.příklad. fu^ož?^ = (Ax3+Bx2^x+D).^^   + k.
+6x+5
l.krok, =(.3Ax2+2Bx+C)V?^i + □^ŽŽČ^žgjgžiŽŽ + -L
dx
Vx2f6x+5 2.(/?+Gx+5 K/x2+6x+5
2,krok; Rovnost násobíme výrazem |/x2+6x+5 a uvedeme na rovnost mnohočlenů :
llx4-195x2 = 4-A.x4+ (21A+3B)x3+ (15A+15B+2C)x2-t- (10B+9G+D)x + (5C+3D+k)
11          7?        105 175 Ze soustavy čtyř rovnic vypočteme neznámét A= ™2f, B=-        C= ~7p,D=--j^-, k = C
Pak J = jkllx5- 7?x2+ 105x - 175).Vx2+-6x+5     + C
321. cvičení.  , ~ _ _ _
a) / ^ " x +1       ,/T<ÍJ*2- |x+ ^)Vx2+2x+2   + |lnj x+1 + Vx2+2x-t2 | + C J
b) / ^-^--dx       i=2x - li.arcsin ^   +   C 7
7 h+x- x2 V5 (15c;
*   / P(x).cos mx dx = M(x).cosmx+ n(x).sinmx;j/inohočleny M(x) á l H«"typ 5 « :n(x) jsou téhož stup-^
: J P(x).sin mx dx = M<x).cosmx-f N(x).3inmx. Iaě p(-x-j   7 j
/l^/.přiklad. J y(x2+3x+5).cos2x dx = (A2x2+A1x+A0)ccs2x +(B2x2+B-Lx+B0)ain2x
Po derivování obdržíme rovnost,kterou uvedeme na tvar í
(x2+3x+5)cos2x =J2B2x2+(2B1+2A2)x+(A1+2B0)J.cos2x + J^2A2x2+2(B2-A1)x+(B1-2A0) .si"
Porovnáváme zvláší mnohočleny při cos2x a zvláší při sin2x(v tomto případě je n levé straně při sin2x nulový mnohočlen),čímž dospějeme k soustavě šesti rovnic; 2 nich j A2=0S A-^= Jjř» &0- j| ; h^- g, Bj = ž> B0 = ^ .
J a ( ix+ ^)cos 2x   + ( ^x2+ ||x+ ^)sin 2x   -f C
322. cvičeni. J^^x^),aijl 2x dx, /f |(2x+3)sin2x   - J(2x2+6x+3)cos2x _7
III.typ t 1 J P(x).ekxdx = QCx^e1^ + C; P(x) a Q(x) jsou téhož stupně, i (157)
« .
..............•.•.......*....•.....*......................*...•.
w
Po derivování rovnosti krátíme mocninou e      a uvedeme na rovnost mnohočlenů.
323. cvičení.(x5-2x2+5).e5xdx , f ( jx3- x2* |x + ^|).e5x   + C J .
- 178