Neurčity integrál; příklady k procvičení. 1.
1
1.1. Vypočtete Z
d x
x(ln x))3
= −
1
2
(ln (x))−2
+ C
1.2. Pro ab ̸= 0 odvoďte
Z
d x
(eax + b)2
= −
ln (eax + b)
ab2
+
1
ab (eax + b)
+
ln (eax)
ab2
1.3. Dokažte, že pro a ̸= 0 platí
Z
d x
cos (ax)
=
1
a
tg (ax) + C
1.4. Odvoďte
Z
(ln(x + 1))2
d x = (ln (x + 1))2
(x + 1) − 2 (x + 1) ln (x + 1) + 2x + C
Z
(x − 1)(ln(x + 1))2
d x =
1
2
(x + 1)2
(ln (x + 1))2
−
1
2
(x + 1)2
ln (x + 1) +
1
4
x2
−
7
2
x
− 2 (ln (x + 1))2
(x + 1) + 4 (x + 1) ln (x + 1) + C
1.5. Pro libovolné a odvoďte
Z
1
x2 − a2
d x =
1
2a
ln




x − a
x + a



 + C
2
2.1. Odvoďte Z
d x
(x +
√
2)
√
x
= 2
3
4 arctg

2− 1
4
√
x

+ C
2.2. Pro libovolná a a b s |a| + |b| ̸= 0 dokažte vzorce
Z
ebx
cos(ax) d x =
ebx
a2 + b2
(a sin (ax) + b cos (ax)) + C
Z
ebx
sin(ax) d x =
ebx
a2 + b2
(b sin(ax) − a cos(ax)) + C
2.3. Pro libovolné a odvoďte vztah
Z
1
x2 − a2
d x =
1
2a
ln




x − a
x + a



 + C
2.4. Pro libovolné a odvoďte
Z
x3
a − x
d x = −
1
3
x3
−
1
2
x2
a − a2
x − a3
ln (x − a) + C
Použijte způsob obvyklý pro tento druh funkcí (jaký?) nebo zaveďte substituci (jakou?).
1
2
2
2.5. Pro a ̸= 0 odvoďte
Z
x sin(ax) d x =
1
a2
(sin(ax) − ax cos(ax)),
Z
x cos(ax) d x =
1
a2
(cos(ax) + ax sin(ax))
2.6. Pro a ̸= 0 odvoďte
Z
x2
sin(ax) d x =
1
a3

(2 − a2
x2
) cos (ax) + 2ax sin (ax)

,
Z
x2
cos(ax) d x =
1
a3

(a2
x2
− 2) sin (ax) + 2ax cos (ax)