Paradoxy nekonečna
[Paradoxy nekonečna §1 - §70]
In: Bernard Bolzano (author); Arnošt Kolman (other); Otakar Zich (translator); Václav
Vilon (editor): Paradoxy nekonečna. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé
akademie věd, 1963. pp. 15–115.
Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/400244
Terms of use:
Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences provides access to digitized
documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must
contain these Terms of use.
This document has been digitized, optimized for electronic delivery
and stamped with digital signature within the project DML-CZ:
The Czech Digital Mathematics Library http://dml.cz
§1
Jistě většina p a r a d o x n í c h tvrzení, s nimiž se setkáváme v oblasti
matematiky, i když to nejsou všechna, jak soudí K á s t n e r , jsou
věty, které buď přímo obsahují pojem nekonečna, nebo se o něj
nějakým způsobem opírají, pokusíme-li se o jejich důkaz. Ještě méně
sporné je to, že k tomuto druhu patří ty matematické paradoxy,
které zaslouží naší největší pozornosti, protože rozhodnutí neobyčejně
důležitých otázek mnohých jiných věd, jako fyziky a metafyziky,
závisí na uspokojivém vyvrácení jejich zdánlivého sporu.
A právě to je důvod, proě se v tomto pojednání zabývám výhradně
jen úvahami o paradoxech nekonečna. Nebylo by však možné, jak
sami uznáme, rozpoznat zdánlivý spor, který na těchto paradoxech
lpí, jako pouhé zdání, kterým ve skutečnosti je, kdybychom si
především neozřejmili, který pojem spojujeme s nekonečnem. To tedy
předešleme.
§2
Již slovo samo říká, že n e k o n e č n é stavím proti všemu, co je
pouze konečné. A okolnost, že název prvého odvozujeme z názvu
druhého, prozrazuje mimo to, že si myslíme pojem nekonečna jako
takový pojem, který vzniká z pojmu konečná teprve připojením
nové součásti (jako je již sám pojem negace). Ze posléze jsou oba
pojmy aplikovány na m n o ž i n y , ci lépe na m n o ž s t v í (tj. na množiny
jednotek) a tím také na veličiny, nedá se popírat již proto, že je to
právě m a t e m a t i k a , tj. nauka o veličinách, kde nej častěji o nekonečnu
mluvíme, když bereme za předmět svých úvah — a dokonce
výpočtu — jak množství konečná, tak nekonečná a vedle konečných
veličin též nejen n e k o n e č n ě velké, ale i n e k o n e č n ě malé.
15
Aniž bychom již předpokládali, že ony oba pojmy (totiž konečná
a nekonečna) se dají stále aplikovat jenom na předměty, u nichž
se dá z nějakého hlediska prokázat velikost a množství, smíme
doufat, že podrobnější zkoumání otázky, za jakých okolností prohlašujeme
nějakou množinu za konečnou nebo nekonečnou, nám
poskytne objasnění toho, co je n e k o n e č n o v ů b e c .
§3
K tomu cíli se však musíme vrátit až k jednomu z nejjednodušších
pojmů našeho rozumu, abychom se nejprve dorozuměli
o slovu, kterého chceme užít k jeho označení. Je to pojem, který
je základem spojky a, avšak má-li tak zřetelně vystoupit, jak to vyžadují
v nesčetných případech účely matematické právě tak jako
filosofické, mohu jej vyjádřit nejvhodněji, jak jsem přesvědčen, slovy:
s o u h r n u r č i t ý c h věcí nebo celek složený z u r č i t ý c h částí,
stanovíme-li totiž, že hodláme tato slova pojímat v tak širokém
významu, aby bylo možno tvrdit, že ve všech větách, kde obvykle
užíváme spojky a, tedy například právě v těchto: „ s l u n c e , země
a měsíc — na sebe navzájem působí"; „ r ů ž e a pojem růže —
je dvojice velmi rozličných věcí"; „pojmenování Sokrates a Sophr
oni skuv syn — označují tutéž osobu" — je předmět, o němž
v těchto větách mluvíme, u r č i t ý m s o u h r n e m věcí, z určitých
částí složeným celkem: v první větě totiž je to onen celek, který
spolu tvoří slunce, země a měsíc, o kterém vypovídáme, že je celkem,
jehož části na sebe navzájem působí; ve druhé větě je to souhrn,
který spolu vytvářejí dva předměty „růže a pojem růže", o nichž
soudíme, že jsou dvěma velmi různými věcmi atd. Již toto samo
by mohlo stačit k tomu, abychom porozuměli pojmu, o němž tu mluvíme,
jestliže jen pro všechny případy připojíme, že jakýkoli předmět
A s jakýmikoli jinými JB, C, D, . . . může být spojen v souhrn,
nebo (ještě správněji vyjádřeno) je sám o sobě již souhrnem, o němž
lze vypovídat mnohé závažnější i méně závažné pravdy, pokud jen
každá z představ A, B, C, JD, . . . představuje vskutku j i n ý předmět,
nebo pokud není pravdivá žádná z vět: A je totožné s J3, A je
16
totožné s C, B je totožné s C atd. Neboť je-li například A toutéž
věcí jako .B, nemá ovšem smysl hovořit o souhrnu věcí A a B.
§4
Existují souhrny, které sice obsahují tytéž části A, B, C, D . . .,
avšak jeví se být přesto různé (nazývám je podstatně různé) podle
hlediska (pojmu), ze kterého o nich právě uvažujeme, například
celá sklenice a sklenice na kusy rozbitá, pojímaná jako nádobka
na pití. To, na cena je založen tento rozdíl takových souhrnů, nazývám
způsob spojení nebo u s p o ř á d á n i jejich částí. Souhrn,
který podřídíme takovému pojmu, vzhledem k němuž je uspořádání
částí souhrnu lhostejné (na němž se tedy nic pro nás podstatného
nemění, mění-li se pouze uspořádání) jmenuji množinou; a množina,
jejíž všechny části jsou chápány jako j e d n o t k y určitého druhu A,
tj. jako předměty, které jsou podraženy pojmu A, se nazývá
m n o ž s t v í druhu A.
§5
Existují, jak známo, také souhrny, jejichž části samy jsou složené,
tj. jsou opět souhrnem. Mezi nimi jsou i takové, o nichž uvažujeme
z takového hlediska, že se na nich nic podstatného nezmění, jestliže
chápeme části částí jako části samého celku. Nazývám je s o u č t y
termínem vypůjčeným od matematiků. Neboť v tom právě spočívá
pojem součtu, že musí platit A -f- (B -f- C) = A -f- JB -f- C.
§6
Uvažujeme o předmětu, jenž patří k takovému druhu věcí, že každé
dvě z nich, M a iV, nemohou být v jiném vztahu než v tom, že jsou
si buď rovny, nebo že jedna z nich je součtem, obsahujícím část
rovnou druhé, tj. že platí buď M = N nebo M = N + v nebo
JV = M + li, kde o částech v a //, musí opět platit totéž, a to že jsou
si buď rovny nebo že jednu z nich je třeba pokládat za část, obsaženou
v druhé: pak uvažujeme o tomto předmětu jako o veličině.
17
§7;
Má-li daný souhrn v ě c í . . . ^4, J?, C, D, E, F. . . L, M, iV, . . .
takovou povahu, že se ke každé části M dá uvést nějaká odlišná
část N tak, že můžeme u r č i t buď N jeho vztahem k M nebo M
jeho vztahem k iV podle stejného zákona, platícího pro
všechny části, pak nazývám tento souhrn ř a d o u a jeho části
členy této řady; onen zákon, podle něhož lze určit buď N jeho vztahem
k M nebo M jeho vztahem k iV, je v y t v o ř u j í c í zákon
řady; jeden ze členů, a to kterýkoli, nazývám (aniž bych chtěl
tímto pojmenováním označit pojem skutečného časového nebo prostorového
sledu) p ř e d n í m nebo p ř e d c h á z e j í c í m , druhý z a d n í m
nebo n á s l e d u j í c í m ; každý člen M, který má jak předcházející,
tak i následující člen, tj. který je nejen sám vyvoditelný z nějakého
jiného, nýbrž z něhož je také vyvoditelný jiný člen podle vytvořujícího
zákona, platícího pro řadu, nazývám v n i t ř n í m členem
řady, z čehož již snadno poznáme, které členy nazývám vnější,
který p r v n í m anebo posledním, jestliže takové členy existují*).
§8
Myslíme-li řadu, jejímž p r v n í m členem je j e d n o t k a druhu A,
avšak jejíž každý člen je odvozen z předcházejícího členu tak, že předmět
rovný předcházejícímu členu spojíme s novou jednotkou druhu
A v součet: tak budou zřejmě všechny členy této řady — s výjimkou
prvního, který je p o u h o u j e d n o t k o u druhu A — m n o ž s t v í
d r u h u j í , a to taková, která nazývám konečná nebo p o č í t a t e l n á ,
též snad přímo čísla (a to včetně prvního členu), určitěji: celá čísla.
§9
Podle různé povahy pojmu, označeného zde A, může existovat
jednou větší, podruhé menší množina předmětů, které v sobě zahr*)
Bližší objasnění těchto pojmů, jakož i některých jiných, použitých již v předchozích
paragrafech, je třeba hledat ve Wissenschaftslehre.
18
nuje, tj. jednotek druhu A, takže jednou dává větší, podruhé menší
množinu členů řady o které bylo mluveno. Zejména jich může být
i tolik, že tato řada, má-li vyčerpat (do sebe pojmout) všechny tyto
jednotky, nesmí mít žádný poslední člen; jak to v dalším ještě
hodláme obšírněji doložit. Za tohoto předpokladu nazvu nekon
e č n ý m m n o ž s t v í m takové množství, které je větší než každé
konečné, tj. množství, které má samo takovou povahu, že každá
konečná množina představuje pouze jeho část.
§10
Bude mi, jak doufám, dáno za pravdu, že vysvětlení obou pojmů
konečného množství a n e k o n e č n é h o množství, jež jsem tu podal,
určuje vskutku jejich rozdíl tak, jak si jej myslili ti, kteří těchto
výrazů užívali v přesném smyslu. Bude mi též dáno za pravdu,
že v těchto výměrech není skrytý kruh. Jde tedy již jen o to, zda
budeme schopni určit, co je nekonečno vůbec, a to výkladem
toho, co se nazývá nekonečným množstvím. Tak by tomu bylo,
kdyby se ukázalo, že přísně vzato neexistuje nic jiného, než. právě
množství, nač lze pojem nekonečna vlastně aplikovat, tj. kdyby
se ukázalo, že nekonečnost je pouze určitou skladbou množství,
neboli, že všechno, co prohlašujeme za nekonečné, nazýváme tak
jen proto a pokud na něm pozorujeme skladbu, která se dá pojímat
jako nekonečné množství. Zdá se mi, že tomu též skutečně je. Matematik
neužívá tohoto slova zřejmě nikdy v jiném smyslu; neboť
to, čeho určením se zabývá, jsou skoro vůbec jen veličiny, přičemž
upotřebí pojmu čísla a jedné z veličin, která je téhož druhu a již
zvolí za j e d n o t k u . Nalezne-li veličinu větší, než jakýkoli počet
těch, které byly zvoleny za jednotku, nazývá ji n e k o n e č n ě velkou;
nalezne-li veličinu tak malou, že jakýkoli její násobek je menší než
jedna, nazývá ji n e k o n e č n ě malou; a krom těchto dvou rodů
nekonečna a těch druhů nekonečně velkých a nekonečně malých
veličin vyššího ř á d u , jež se z nich pak ještě odvodí, což
všechno vyplývá z téhož pojmu, neexistuje pro něj jinak žádné
nekonečno.
19
§11
Tímto nekonečnem, tak dobře známým matematikům, nelze však
ještě uspokojit některé filosofy, zvláště novější doby, jako Hegela
a jeho přívržence, kteří je pohrdavě nazývají špatným nekonečnem
a tvrdí, že znají ještě mnohem vyšší, pravé, k v a l i t a t i v n í nekonečno,
které nacházejí zejména v bohu a vůbec jen v a b s o l u t n u .
Jestliže si myslí, jako Hegel, Erdmann a jiní, matematické nekonečno
pouze jako veličinu, která je proměnná a jejíž růst nemá
žádnou hranici (což ovšem mnozí matematikové, jak brzo uvidíme,
stanovili jako výměr svého pojmu), pak s nimi sám souhlasím, když
kritizují tento pojem jako veličinu do nekonečna pouze rostoucí,
nikdy však nekonečna nedosahující. P r a v á n e k o n e č n á množina,
například délka celé přímky na obě strany neomezené (tj. velikost
toho prostorového útvaru, který obsahuje všechny body, jež jsou
určeny pouhým pojmově představitelným poměrem ke dvěma daným
bodům), nemusí právě být proměnná, jak v tomto příkladu vskutku
není; a veličina, která jen vždy může nabýt větší hodnoty, než
kterou jsme jí již dali a která se může stát větší než každá daná
(konečná) veličina, může přitom nicméně zůstat stále jen konečnou
veličinou, jak je tomu zejména u každé číselné veličiny 1, 2, 3, 4, . . .
Nepřipouštím pouze to, že by filosof znal nějaký předmět, kterému
by byl oprávněn dát přívlastek nekonečnosti, aniž by dříve dokázal,
že v tomto předmětu existuje nekonečná veličina, nebo alespoň
množství v nějakém ohledu nekonečné. Mohu-li dovodit, že dokonce
u boha, tedy u té bytosti, kterou považujeme za nejdokonalejší
jednotu, je možno prokázat hlediska, z nichž v něm spatřujeme
nekonečnou množinu, a že jsou to právě jen tato hlediska, z nichž
mu připisujeme nekonečnost: pak bude sotva nutné ještě dále dovozovat,
že podobná hlediska jsou základem i všech ostatních případů,
kde pojem nekonečna je plně oprávněn. Říkám tedy: nazývám boha
nekonečným, poněvadž mu musíme přiznat síly více než jednoho
druhu, které mají nekonečnou velikost. Tak mu musíme připsat
poznávací schopnost, která je pravou vševědoucností, tedy obsáhne
nekonečnou množinu pravd, protože je v sobě obsáhne vůbec
všechny, atd. A jaký by to byl pojem, který by nám chtěli vnutit
20
místo pojmu pravého nekonečna, který tu byl ustanoven? Má to být
Veškerost, která v sobě zahrnuje cokoliv, absolutní Veškerost, krom
níž není již nic. Podle tohoto údaje by to bylo nekonečno, které
také podle našeho výkladu v sobě obsahuje nekonečně mnohé. Byl
by to souhrn nejen všech skutečných věcí, nýbrž i všeho toho,
co žádnou skutečnost nemá, totiž vět a pravd o sobě. A tak by se
mohlo říci, že není žádný důvod — nehledíme-li ani ke všem ostatním
omylům, které byly do učení o Veškerosti zapleteny — opustit
náš pojem nekonečna a přijmout onen pojem.
§12
Nevidím však také jinou možnost, než zamítnout jako nesprávné
i jiné výměry nekonečna, jež byly podány samotnými matematiky
v domnění, že představují jenom součásti tohoto jednoho a téhož
pojmu.
1. Vskutku byli někteří matematikové přesvědčeni, jak jsem právě
výše poznamenal, mezi nimi sám Cauchy (ve svém Cours ď
Analyse a mnohých jiných spisech), autor článku „ N e k o n e č n o "
v Klůgelově slovníku, že definují nekonečno, jestliže je popíší jako
proměnnou veličinu, jejíž hodnota n e o m e z e n ě roste a podle toho
může být větší než j a k á k o l i sebe větší d a n á veličina. Mezí
tohoto neomezeného růstu je n e k o n e č n ě velká veličina. Tak
je tangenta pravého úhlu, myšlená jako spojitá veličina, neomezená,
bez konce, ve v l a s t n í m slova s m y s l u nekonečná. Chybnost
tohoto výměru vysvítá již z toho, že co nazývají matematikové
p r o m ě n n o u veličinou, není vlastně veličina, nýbrž pouhý pojem,
pouhá p ř e d s t a v a veličiny, a to taková představa, která v sobě
pojímá nejen jednu jedinou veličinu, nýbrž dokonce nekonečně
mnoho veličin, které se navzájem liší ve své hodnotě, tj. ve své
velikosti. To, co nazýváme nekonečným, nejsou ony různé hodnoty,
které tu představuje výraz tangens 99, zvolený jako příklad,
pro různé hodnoty 99, nýbrž pouze ona jediná hodnota, o níž si představují
(ač v tomto případě neprávem), že jí onen výraz nabývá
TC
při hodnotě 99 = .— . Je v tom také jistě protimluv, mluví-li se
21
o mezi neomezeného růstu a právě tak, mluví-li se při výměru nekonečně
malého o mezi neomezeného ubývání. A prohlásí-li se ona
první mez za nekonečnou veličinu: pak by se měla podle analogie
tato druhá, tj. pouhá nula (nic) prohlásit za nekonečně malé: což
je jistě nesprávné a ani Cauchy ani G r u n e r t si to nedovolují říci.
2. Byl-li právě uvedený výměr příliš široký, je naproti tomu
příliš úzký onen výměr, který přijímá Spinoza a mnoho jiných, jak
filosofů, tak matematiků, a to že n e k o n e č n é je pouze t o , co
není schopno ž á d n é h o zvětšení, nebo k čemu již nelze nic
připojit (přičíst). Matematik si dovoluje připojit ke každé veličině,
i k nekonečně velké, jiné veličiny, a to nejen konečné, nýbrž i jiné
veličiny, které jsou samy nekonečné, ba dokonce znásobuje nekonečnou
veličinu nekonečněkrát atd. A vedou-li ještě někteří spory
o tom, zda je takový postup přípustný: který matematik, jen když
nezavrhuje jakékoli nekonečno, nebude musit uznat, že délka přímky,
omezené jen v jednom směru a prostírající se v druhém směru do nekonečna,
je nekonečně velká a že může být nicméně v onom prvním
směru prodloužena?
3. Uspokojivější není ani vysvětlení těch, kteří se přesně přidržují
složek výrazu „nekonečno" a říkají, že nekonečno je to, co n e m á
konec. Kdyby přitom myslili pouze na konec v čase, na zánik, pak
by se mohly nazývat konečnými nebo nekonečnými pouze věci
v čase. My se však ptáme také u věcí, jež nejsou v čase, např. u čar
nebo veličin vůbec, zda jsou konečné nebo nekonečné. Chápou-li
však ono slovo v širším smyslu, asi ve významu h r a n i c e vůbec:
pak připomínám za prvé, že existují mnohé předměty, u nichž
nemůžeme dobře prokázat, že by měly nějakou hranci, ledaže bychom
s tímto slovem spojovali nanejvýš kolísavý a vše matoucí význam,
a které nicméně nikdo mezi nekonečné nepočítá. Tak nemá jistě
žádný jednoduchý díl času nebo prostoru (časový okamžik nebo
prostorový bod) hranice, spíše je sám obvykle považován jen za hranici
(časového nebo délkového intervalu), ba dokonce jej tak většinou
definují, jakoby to patřilo k jeho podstatě; nikomu však ještě
nenapadlo (leda snad Hegelovi), spatřovat nekonečno v pouhém
bodu. Právě tak nezná matematik hranici u kružnice a tolika jiných
čar a ploch, jež se do sebe vracejí, a pokládá je přece za věci pouze
22
konečné (leda že by začal hovořit o nekonečné množině bodů, které
jsou v nich obsaženy, avšak v tomto ohledu musí připustit něco
nekonečného i na každé omezené čáře). Poznamenávám za druhé,
že existuje dokonce mnoho předmětů, které nepopiratelně jsou ohraničeny
a přitom přece musí být pokládány za veličiny, které náležejí
k nekonečným. Tak je tomu nejen u zmíněné již přímky, která sahá
do nekonečna pouze v jednom směru, nýbrž také u plochy, kterou
omezuje dvojice nekonečných rovnoběžek nebo kterou svírají dvě
ramena úhlu, narýsovaného v rovině, která se prostírají do nekonečna.
Tak nazveme i v racionální psychologii poznávací schopnost
již tehdy nekonečně velkou, když je schopna, aniž by byla vševědoucí,
přehlédnout jen nějakou nekonečnou množinu pravd, například
jen celou nekonečnou posloupnost desetinných míst, která má
jediná veličina ]/2. !
4. Nejobvykleji se říká: nekonečně velké jeto, co je větší než jakákoli
s t a n o v i t e l n á veličina. Tu potřebujeme především přesnější určení
o tom, co si myslíme při slově s t a n o v i t e l n á ? Má to znamenat jen
tolik, že něco je možné, tj. může být skutečné, nebo jen to, že to
není nic, co by obsahovalo spor? V prvním případě omezujeme
pojem k o n e č n é h o výhradně na onu sféru věcí, které patří ke skutečnostem,
jsou buď skutečné v každé době, nebo alespoň v určitých
dobách skutečné byly či ještě budou, nebo alespoň by se někdy
mohly stát skutečnými. Zdá se, že v tomto smyslu skutečně pojal
nekonečno Fries (Naturphilosophie § 47), nazývá-li je nedokončitelným.
Obecná mluva užívá však pojmu konečná právě tak
jako nekonečna při obojím, jak u předmětů, kterým přísluší skutečnost,
jako je zejména bůh, tak také u jiných, kde se vůbec nedá
mluvit o nějaké jejich existenci, jako jsou pouhé věty a pravdy
o sobě včetně jejich částí, představ o sobě; neboť předpokládáme,
že tvoří i konečné i nekonečné množiny. Jestliže však rozumíme pod
stanovitelným všechno to, co si právě jen n e o d p o r u j e : pak vkládáme
již do výkladu pojmu, že není žádné nekonečno; neboť veličina,
která má být větší, než jakákoli veličina, která si neodporuje, by
musila být větší než ona sama, což zřejmě nemá smysl. Je však
ještě třetí význam, v němž bychom mohli chápat slovo stanovitelný,
kdybychom jím rozuměli jen to, co p r á v ě může n á m
23
b ý t j e n o m dáno, tj. co může být předmětem naší zkušenosti.
Ptám se však každého, zda slova konečné a n e k o n e č n é nepojímá
za všech okolností v takovém smyslu a — mají-li být ve vědě užitečně
upotřebena — zda j e v takovém smyslu nemusí pojímat nutně,
aby vystihla na každý způsob jistou v n i t ř n í skladbu předmětů,
rozhodně ne však pouhý jejich vztah k naší p o z n á v a c í schopnosti,
dokonce k našim s m y s l ů m (zda o nich můžeme mít
zkušenosti či ne). Tak otázka, zda je něco konečné nebo nekonečné,
nemůže jistě záviset na tom, zda předmět, o kterém se mluví,
má velikost, kterou jsme ještě schopni vnímat (například přehlédnout
či nepřehlédnout očima).
§13
Jestliže jsme se již shodli v tom, který pojem budeme vázat
se slovem nekonečno, a jestliže jsme si také již jasně uvědomili
části, z nichž tento pojem skládáme: pak je nejbližší otázka, má-li
též p ř e d m ě t n o s t , tj. zda jsou také věci, na něž se dá aplikovat,
zda existují množiny, které smíme nazývat nekonečnými ve vyloženém
významu toho slova. A na toto si troufám rozhodně odpovědět
kladně. Nepochybně existují množiny, které jsou nekonečné, již
v oblasti t ě c h věcí, k t e r é si nečiní n á r o k na skutečnost,
ba ani na m o ž n o s t . Množina vět a p r a v d o sobě je nekonečná,
jak se dá velice snadno nahlédnout; neboť vezmeme-li jakoukoli
pravdu, na příklad větu, že vůbec existují pravdy, nebo ostatně
jakoukoli jinou větu, kterou označíme A; pak shledáme, že věta,
kterou vyjadřujeme slovy „A je p r a v d i v é " je odlišná od A sama;
neboť tato věta má zřejmě zcela jiný subjekt než ona první. Jejím
subjektem je totiž celá věta A sama. Avšak podle téhož zákona,
podle něhož z věty A vyvozujeme větu od ní odlišnou, kterou nazvu B,
dá se opět z B vyvodit třetí věta C, a tak stále bez konce. Souhrn
všech těchto vět, kde každá následující je k nejblíže předcházející
ve vztahu právě uvedeném, vezme totiž předcházející větu za svůj
subjekt a vysloví o něm, že je pravdivou větou, tento souhrn —
říkám — zahrnuje množinu čá$tí (vět), která je větší, něž jakákoli
konečná množina. Neboť i bez mého upozornění si všimne čtenář
podobnosti, kterou má řada těchto vět, sestrojená podle právě
24
uvedeného vytvořujícho zákona, s řadou číselnou, o níž se uvažovalo
v § 8; podobnost spočívá v tom, že ke každému členu této
druhé řady existuje odpovídající člen předchozí řady tak, že k jakémukoli
sebe většímu jejich počtu existuje stejně velký počet různých
vět, a že nad to můžeme ještě vždy tvořit nové věty, nebo, lépe
řečeno, že takové věty samy o sobě existují, ať již je tvoříme nebo
ne. Z toho pak plyne, že souhrnu všech těchto vět přísluší množství,
které převyšuje libovolné číslo, tj. nekonečné množství.
§14
Jakkoli jednoduchý a jasný je právě podaný důkaz: přece je značný
počet učených a velmi bystrých mužů, kteří samu větu, o níž
věřím, že jsem ji tu dokázal, prohlašují nejen za paradoxní, nýbrž
dokonce za falešnou. Popírají, že existuje vůbec nějaké nekonečno.
Nejen mezi věcmi, které jsou skutečné, ale ani mezi ostatními
není podle jejich tvrzení ani jediná, a rovněž tak ani souhrn
více věcí, u níž by se dala z nějakého hlediska předpokládat nekonečná
množina částí. O důvodech, které uvádějí proti nekonečnu
v říši skutečna, budeme uvažovat později, protože také teprve
později podáme důvody pro existenci takového nekonečna. Zde tedy
vyslechněme pouze důvody, jimiž má být prokázáno, že něco nekonečného
není nikde, ani u těch věcí, které si činí nárok na skuteč­
nost.
1. „Nekonečná množina" říká se, „nemůže již proto nikde existovat,
protože nekonečná množina nemůže b ý t n i k d y sjednocena
v celek, n e m ů ž e b ý t n i k d y myšlením obsáhnuta.6 6
— Toto
tvrzení musím označit přímo za omyl, který byl vyvolán nesprávným
názorem, že k tomu, abychom si mohli myslit celek, sestávající
z předmětů a, 6, c, d, . . . musili bychom si nejprve o každém z nich
vytvořit představu, která představuje každý z těchto předmětů
zvlášť (jednotlivé jejich představy). Tak tomu naprosto není: mohu
si myslit množinu, souhrn, či chceme-li raději obyvatele Prahy nebo
Pekinu jako celek, aniž bych si představoval každého z těchto
obyvatel jednotlivě, tj. aniž bych měl představu, která se vztahuje
výhradně jen k němu. Činím to skutečně právě nyní, mluvím-li
25
o této množině obyvatel a vyšlovím-li např. soud, že jejich počet
je v Praze mezi čísly 100 000 a 120 000. Je totiž zcela snadné, mám-li
představu A, která reprezentuje každý z předmětů a, 6, c, d, . . .,
ale již nic jiného, dospět k představě souhrnu, utvořeného všemi
těmito předměty. K tomu není vskutku zapotřebí ničeho jiného,
než spojit s představou A pojem, který je označen slovem souhrn,
tak jak to naznačují slova: s o u h r n všech A. Touto jedinou poznámkou,
jejíž správnost musí být každému zřejmá, jak jsem přesvědčen,
padá celá obtíž, kterou hledají v pojmu množiny sestávající
z nekonečna mnoha částí: pokud jen tu je rodový pojem, který
zahrnuje každou z těchto částí, jinak však nic jiného, jak tomu
je u pojmu: „ m n o ž i n a všech vět nebo p r a v d o sobě", kde
není použito žádného jiného rodového pojmu než toho, který tu již
máme, totiž: „věta nebo pravda o sobě". — Nemohu však ponechat
bez kritiky ještě d r u h ý omyl, který se v uvedené námitce
prozrazuje.
Je to názor, „že množina by nebyla, kdyby tu dříve nebyl někdo,
kdo si ji myslí". Kdo tvrdí toto, měl by nejen tvrdit, že neexistuje
žádná n e k o n e č n á množina vět anebo pravd o sobě, aby tak byl důsledný,
pokud jeto vůbec při omylu možné, ale měl by tvrdit, že neexistují
vůbec žádné věty a pravdy osobě. Neboť jestliže jsme si již
jasně uvědomili pojem vět a pravd o sobě a nepochybujeme opravdu
vůbec o jejich předmětnosti: můžeme jenom ztěžka dospět k tvrzením,
že by množina nebyla bez někoho, kdo ji myslí, avšak jistě u nich
nesetrváme. Abych to každému jasně ukázal, dovolím si nadhodit
otázku, zda se též na zemských pólech nevyskytují tělesa, tekutá
i tuhá, vzduch, voda, kameny atd., zda tato tělesa na sebe navzájem
nepůsobí podle určitých zákonů, např. tak, že rychlosti, které
si navzájem sdělují při srážce, se mají k sobě v obráceném poměru
jejich hmot apod., a zda se toto vše neděje i když tam není ani
člověk ani jiná myslící bytost, aby to pozoroval? Budeme-li s tím
souhlasit (a kdo by nemusil souhlasit?): pak jsou také věty a pravdy
o sobě, které vyjadřují všechny tyto děje, aniž by si je někdo
myslil nebo je znal. A v těchto větách běží často o celky a množiny;
neboť každé těleso přece je celkem a způsobuje velmi mnoho svých
účinků pouze prostřednictvím množiny částí, z nichž je složeno. Jsou
26
tedy celky a množiny, aniž by tu byla bytost, která si je myslí.
A kdyby tomu tak nebylo, kdyby tyto množiny samy tu nebyly
jak by mohly být pravdivé soudy, které o nich vyslovujeme? Nebo
spíše, co by musilo být smyslem těchto soudů, kdyby byly pravdivé
teprve tím, že je tu někdo, kdo tyto děje vnímá? Řeknu-li: „Tento
balvan se před mými zraky odtrhl od skály a zřítil se, rozrážeje
vzduch'
6
; musilo by to mít asi tento smysl: Poněvadž jsem si v mysli
zkombinoval určité jednoduché předměty tam nahoře, vzniklo jejich
spojení, které nazývám balvanem; toto spojení se odloučilo od jiných
spojení, která se sloučila v celek, jenž nazývám skalou, protože jsem
si je myslil dohromady (jako celek); atd.
2. Mohlo by se však říci: „při tom všem zůstává pravda, že je
to pouze náš výtvor, a to z větší části libovolný výtvor, zda sloučíme
v mysli určité jednoduché předměty v souhrn, či myslíme-li
si je nesloucené; a teprve tehdy, uciníme-li tak, vzniknou mezi nimi
vztahy. Atom, který je právě uprostřed tohoto knoflíku na mém
kabátě a atom, který je právě uprostřed oné věžní báně, nemají
nic společného a nejsou v žádném vzájemném spojení; teprve tím,
že šije myslíme současně, vzniká mezinimi jistý druh spojení/6
— Také
tomu musím odporovat. Oba atomy na sebe vzájemně působily
ještě dříve, než myslící bytost spojila jejich představy, např. silou
přitažlivou apod.; a kdyby myslící bytost nejednala pod vlivem
svých myšlenek ještě tak, aby se změnily poměry obou atomů:
pak je zcela nepravda, že teprve myšlenkovou kombinací by mezi
nimi vznikaly vztahy, které by tu jinak nebyly. Mám-li pravdivě
soudit, že onen atom je níže, tento výše, a že tedy tento atom je oním
atomem nepatrně tažen do výše: pak i kdybych na to nebyl myslil,
musilo by tomu všemu být tak.
3. Avšak jiní říkají: „To, že si myslící bytost nějaký souhrn
v s k u t k u myslí, není nutné k tomu aby byl: avšak k tomu aby
byl, je nutné aby mohl být myšlen. A protože není možná bytost,
která by byla schopna představit si v nekonečné množině věcí
každou zvlášť, a pak tyto představy spojit: není také možný žádný
souhrn, který by obsáhl nekonečnou množinu věcí jako svých
částí.
66
i
27
Již v odst. 1. jsme viděli, jak mylný je předpoklad, zde opakovaný,
že je nutné myslit si všechny části souhrnu jednotlivě, aby se došlo
k myšlence souhrnu, to znamená, že se žádá, aby se myslila každá
jednotlivá část pomocí jednotlivé představy, která se jí týče; také
nemusíme teprve poukazovat na vševědoucí bytost, které nečiní
žádnou námahu dokonce ani pochopení každé věci zvlášť v nekonečné
množině. Nesmíme však připustit ani první předpoklad,
že by existence souhrnu byla vázána podmínkou, aby takový souhrn
mohl b ý t myšlen. Neboť „ m o ž n o s t myslit si n ě j a k o u v ě c "
nemůže být nikdy základem možnosti věci; nýbrž spíše je naopak,
že možnost nějaké věci je základem toho, aby rozumná bytost,
pokud se právě nemýlí, shledala, že věc je možná, nebo jak se (pouze
přeneseně) říká, zeje myslitelná, že šiji může myslit. O správnosti
této poznámky a naprosté neudržitelnosti názoru, ovšem velmi
rozšířeného, který tu potírám, se přesvědčíme ještě plněji, pokusíme-li
se ujasnit si složky, z nichž se skládá nanejvýš důležitý pojem možnosti.
Ze jmenujeme m o ž n ý m to, co může být, není zřejmě žádným
rozkladem tohoto pojmu; nebo ve slově moci tkví ještě celý pojem
možnosti. Bylo by však ještě méně správné, chtít podat výklad,
že možné je to, co může b ý t myšleno. Myšlení ve vlastním
slova smyslu, které zahrnuje také již pouhé p ř e d s t a v o v á n í , může
mít za předmět i nemožné; a také si je skutečně myslíme, jakmile
o něm pronášíme soud a prohlásíme je např. právě za nemožné;
jako když říkáme, že neexistuje a nemůže existovat veličina, kterou
představuje 0 nebo ]/—1. Avšak i když tu myšlením nerozumíme
pouhé představování, nýbrž vlastní pochopení pravdy, je nesprávné,
že by bylo možné vše, co můžeme považovat za pravdivé. Omylem
považujeme někdy za pravdivé také něco nemožného, například to,
že jsme nalezli kvadraturu kruhu. Musilo by se tedy říci (jak jsme
již dříve v opravené formě připustili), že možné je to, o čem myslící
bytost, když usuzuje podle pravdy, vyslovuje soud, že může být,
tj. že je možné. To je výklad, který obsahuje zřejmý kruh! Jsme
tedy při výkladu možného nuceni vzdát se úplně vztahu k nějaké
myslící bytosti a poohlédnout se po nějakém jiném znaku. Možné
je, jak také někdy slýcháváme říkat, „co sobě neodporuje". Ovšemže
je nemožné všechno, co má v sobě nějaký spor, např. že koule není
28
koulí. Avšak není všechno, co je nemožné, takového Tážu, aby se spor
vyskytoval již mezi samotnými složkami, z nichž jsme jeho představu
složili. Je nemožné, aby těleso, které je omezeno sedmi rovinnými
stěnami, bylo omezeno stejnými stěnami; avšak v samotných
slovech, která jsou tu spojena, se spor neprojevuje zjevně. Musíme
tedy svůj výklad rozšířit. Kdybychom však chtěli říci, že nemožné
je to, co je ve sporu s nějakou pravdou: pak bychom vše, co není,
prohlásili za nemožné již proto, poněvadž věta, říkající že to je,
odporuje pravdě, že to není. Nepřipustili bychom tak vůbec žádný
rozdíl mezi možným a skutečným, ba dokonce nutným, což všichni
činíme. Vidíme podle toho, že oblast pravd, kterým odporuje nemožné,
by se musila omezit na jeden určitý rod; a nyní nám již sotva unikne,
který rod pravd to je. Jsou to ryzí pojmové pravdy. Co odporuje
nějaké ryzí pojmové pravdě musíme nazvat nemožným; možným
pak to, co není ve sporu s žádnou ryzí pojmovou pravdou. Kdo jednou
nahlédl, že je to správný pojem možnosti, tomu sotva přijde na mysl
tvrdit, že něco je teprve tehdy možné, když je to myšleno, tj. když
je to považováno za možné myslící bytostí, která se ve svém úsudku
nemýlí. Neboť to by znamenalo říci: „Věta neodporuje teprve tehdy
žádné ryzí pojmové pravdě, neodporuje-li žádné ryzí pojmové
pravdě, že existuje myslící bytost, která o této větě vysloví podle
pravdy soud, že neodporuje žádné ryzí pojmové pravdě." Kdo by neviděl,
jak je sem zapletena myslící bytost, aniž by to vůbec patřilo
k věci? Jestliže však je rozhodnuto, že to není myšlení , které
by možnost teprve podmiňovalo, jak je možné vyvozovat z domnělé
okolnosti, že nekonečná množina nemůže být myšlena jako souhrn,
to, že takové množiny nemohou existovat?
§15
Považuji nyní za dostatečně prokázané a obhájené, že nekonečné
množiny jsou alespoň mezi těmi věcmi, které nemají žádnou skutečnost;
zejména že množina všech p r a v d o sobě je nekonečná.
Podobně také připustíme, jak bylo usouzeno v § 13., že nekonečná
je i množina všech čísel (takzvaných přirozených nebo celých,
jejichž pojem jsme objasnili v § 8.). Avšak i tato věta zní p a r a d o x n ě
29
a mohU bychom ji vlastně považovat za p r v n í p a r a d o x , jenž
se objevuje v oblasti matematiky; neboť předchozí paradoxy patří
vlastně ještě do obecnější vědy, než je nauka o veUcinách.
„JestUže každé číslo", mohlo by se snad říci, „je podle svého
pojmu pouze konečnou množinou, jak může být množina všech
čísel nekonečná? Uvažujeme-li o řadě přirozených čísel:
1, 2, 3, 4, 5, 6 , . . .
zpozorujeme, že množina čísel, obsažených v této řadě, počínajíc
prvním (jednotkou) až k některému z nich, např. k číslu 6, je vždy
vyjádřena právě tímto posledním číslem. Tedy musí být množina
všech čísel stejně velká jako poslední z nich, takže musí být
sama také číslem a tedy nemůže být nekonečná.
64
To, co na tomto závěru svádí k omylu, zmizí ihned, vzpomeneme-li
si jen, že v množině všech čísel, uspořádaných do přirozené řady,
není žádné poslední; a že proto pojem posledního (nejvyššího)
čísla je bezpředmětný, poněvadž je to pojem, skrývající v sobě spor.
Neboť podle v y t v o ř u j í c í h o zákona, uvedeného při výkladu oné
řady (§ 8), existuje ke každému z jejích členů opět člen následující.
Tento paradox bychom tedy mohU považovat za rozřešený touto
jedinou poznámkou.
§16
Je-li množina čísel (totiž takzvaných celých čísel) nekonečná:
je tím nepochybněji n e k o n e č n á i množina veličin (podle výkladu
v § 6 a ve Wissenschaftslehre v §87). Neboť podle onoho výkladu
jsou nejen všechna čísla současně veličinami, nýbrž existuje ještě
1 1 2 1
mnohem víc veUčin než čísel, neboť také zlomky — 9
—, — , — , . .#
Zi ó ó TJ
_
3
_
a rovněž i tak zvané iracionální výrazy ]/2, ]/2, ...7T, e, . . .
označují veličiny. Podle tohoto výkladu není dokonce nijak sporné
hovořit o veUcinách, které jsou n e k o n e č n ě velké, a jiných, které
jsou n e k o n e č n ě malé, pokud rozumíme nekonečně velkou
veUčinou jen takovou veličinu, která se jeví být při zvolené základní
30
jednotce sama takovým celkem, že každá konečná množina jednotek
tvoří pouze její část; nekonečně malou veličinou však takovou,
že každé její konečné množství se jeví být pouze částí celku, který
tvoří jednotka sama. — Množina všech čísel je hned takovým nepopiratelným
příkladem nekonečně velké veličiny. Říkám výslovně
veličiny; ovšemže není příkladem nekonečně velkého čísla; neboť
nelze číslem tuto nekonečně velkou množinu vůbec nazvat, jak
jsme právě v posledním paragrafu poznamenali. Zvolíme-li však teď
za jednotku samu takovou veličinu, která se jeví .být n e k o n e č n ě
velkou vzhledem k jiné přijaté jednotce, a měříme-li ji tou, kterou
jsme dříve za jednotku pokládali: bude se tato jednotka jevit nekonečně
malou.
§17
Nanejvýš důležitý rod nekonečně velkých veličin, které také
nepatří do oblasti skutečna, ačkoli mohou být u r č e n í m skutečna,
je čas a prostor. Ani čas ani prostor nejsou něčím skutečným;
neboť nejsou ani s u b s t a n c e m i ani v l a s t n o s t m i substancí; vystupují
pouze jako určení na všech nedokonalých (omezených, konečných,
nebo — což je totéž — závislých, stvořených) substancích;
neboť každá z nich musí vždy existovat v nějakém čase a rovněž
v nějakém prostoru; takže každá jednoduchá substance musí
v každém okamžiku, tj. v každé jednoduché části času, být v nějaké
jednoduché části prostoru, tj. v nějakém jeho bodě. Jak u času, tak
jistě též u prostoru je množina jednoduchých částí neboli bodů,
z nichž čas i prostor sestává, nekonečná. Dokonce je nekonečně
velká nejen množina jednoduchých částí, z nichž je složen celý čas
a celý prostor, tj. množina časových a prostorových bodů, které
vůbec jsou; ale již sama množina okamžiků, které jsou mezi dvěma
jakkoli blízkými okamžiky aajS, právě tak jako množina prostorových
bodů, které leží mezi dvěma jakkoli blízkými prostorovými
body a a 6, je nekonečná. Obhajovat tyto věty jistě nemusím,
protože stěží se vyskytne matematik, který by nebyl na naší straně,
ledaže by popřel vůbec každé nekonečno. — Avšak odpůrci všeho
nekonečna vůbec se zachraňují námitkou, „že si jistě můžeme k těm
okamžikům a prostorovým bodům, které jsme si již myslili, při-
31
m y s l i t více dalších, že však je přesto množina těch, které s k u t e č n ě
existují, vždy jen konečnáJ
6
Na to však odpovídám, že ani čas ani
prostor, a tedy ani jednoduché části času nebo prostoru, nejsou
ničím skutečným; že je tedy nesmyslné mluvit o konečné množině
těch částí, které existují skutečně; ještě však nesmyslnější si představit,
že tyto části nabudou skutečnosti teprve naším myšlením.
Neboť z toho by následovalo, že skladba času právě tak jako prostoru
by závisela na našem myšlení nebo na tom, co uznáme za pravdivé,
a že by tedy poměr průměru kruhu k jeho obvodu byl racionální,
pokud bychom jej omylem za racionální považovali, a že prostor
by nabyl teprve tehdy všech těch vlastností, až bychom je jednou
poznali! — Opravují-li však odpůrci uvedený výrok tak, že jen jedno
myšlení určuje skutečné vlastnosti času a prostoru, totiž to, které
je ve shodě s pravdou; pak vyslovují pouhou tautologii, a to, žě co je
pravdivé, je pravdivé; z toho jistě nelze vyvodit to nejmenší proti
nekonečnosti času a prostoru, kterou hájíme. Je proto v každém
případě nemístné říkat, že čas a prostor obsahují jen tolik bodů,
kolik si jich právě myslíme.
§18
Ačkoliv každou veličinu, vůbec každý předmět, který máme
z nějakého hlediska pokládat za nekonečný, musí být možno pochopit
právě z tohoto hlediska jako celek, složený z nekonečné množiny
částí: neplatí přece obráceně, že by musila již být nekonečnou
každá veličina, kterou pokládáme za součet nekonečné množiny
vesměs konečných množin. Tak se například uznává všeobecně,
že iracionální veličiny, jako 1/2, jsou vzhledem k základní jednotce
konečné, ač by mohly být pokládány za veličiny, složené z nekonečné
množiny zlomků tvaru
*1+JL + _JL + 2
+
1 0 ^ 100 ^ 1000 ^ 10 000 ^ '
kde čitatelé i jmenovatelé jsou celá čísla; právě tak že je součet
nekonečny řady sčítanců tvaru: a + ae + ae
2
+ . . . in inf. roven
32
konečné veličině -. , pokud je e < 1 *)Není tedy jistě nic sporného
v tvrzení, že součet nekonečna mnoha konečných veličin dává
pouze konečnou veličinu, protože by se jinak nedala prokázat jeho
pravdivostrTo paradoxní, co by nám na něm mohlo padnout do očí,
plyne pouze z toho, že zapomeneme, jak se přičítané členy stále
a stále zmenšují. Nemůže přece nikoho překvapit, že suma sčítanců,
z nichž každý následující má např. pouze polovinu hodnoty předchozího,
nemůže být větší než dvojnásobek prvního sčítance, když
u každého sebe pozdějšího členu této řady se k onomu dvojnásobku
ještě právě tolik nedostává, kolik činí hodnota tohoto posledního
členu.
*) Poněvadž obvyklý důkaz pro součet této řady se nezdá být zcela přesný,
budiž mi dovoleno při této příležitosti tento důkaz naznačit. Předpokládáme-li
a = 1 a pozitivní e (protože aplikace na jiné případy vyplývá sama sebou)
a položíme-li v symbolické rovnici
(1) S = l + e + e 2
+ ...ininf.,
je jisto alespoň to, že S označuje pozitivní veličinu, ať již konečnou nebo
nekonečnou. — Je však také pro každou celočíselnou hodnotu n
S = l + . e + e 2
+ . . . + e"-1
+ en
+ en
+1
+ . . . in inf.
nebo také
(2) S = 1
~ e
" + en
+ e"+1
+ . . . in inf.,
za což můžeme také psát
1 Pn
(3) S = i — 1 - + P\
1 — e
označíme-li hodnotu nekonečné řady e
re
+ e
n + 1
+ . . . in inf. znakem P
1
;
přitom víme jistě alespoň to, že P1
označuje veličinu v každém případě pozitivní,
závislou na e a na rc, ať již měřitelnou nebo neměřitelnou. Tutéž nekonečnou
řadu můžeme však vypsat i takto:
en + en+l _|_ ; m # in inf# = en[l + e -f- in inf]
Součet nekonečně mnoha členů v závorce na pravé straně rovnice, totiž
[1 + e + e2
. + . . . in inf.],
vypadá zcela j ko řada, která je dána symbolickou rovnicí (1) = S, avšak nemůže
se s ní pokládat za totožnou, neboť m n o ž i n a sčítanců zde a v (1) není přece
táž, ač je v obou případech nekonečná; zde má nesporně o n členů méně
než v (1). Můžeme tedy s plnou jistotou napsat jen rovnici
[ L + e + e
2
+ . ., in inf.] = S —- P
2
, kde můžeme předpokládat, že P
2
označuje v každém případě veličinu stále kladnou, závislou na re.. Tak dosta­
neme
(4) S = IfLÍl + en [S - P
2
] nebo
33
§19
Již u těch příkladů nekonečna, o kterých jsme dosud uvažovali,
nám nemohlo uniknout, že není možno pokládat všechny nekonečné
množiny za sobě r o v n é z hlediska jejich m n o ž s t v í ; ale
že mnohá z nich je v ě t š í nebo (menší) než jiná, tj. obsahuje v sobě
jinou množinu jako svůj díl (nebo naopak, je sama obsažena v jiné
jako pouhý její díl). I to je tvrzení, které zní mnohým lidem paradoxně.
Jistěže všichni, kteří vykládají nekonečno jako to, co není
schopno žádného zvětšení, musí nejeii uznat za paradoxní, ale
přímo za sporné, že by jedno nekonečno bylo větší než jiné. Avšak
poznali jsme již dříve, že tento názor spočívá na takovém pojmu
nekonečna, který vůbec nesouhlasí s jazykovým užitím toho slova.
Podle našeho výkladu, který odpovídá nejen jazykovému užití,
nýbrž i účelům vědy, nemůže najít nikdo nic sporného, ba ani
nápadného, na myšlence, že jedna nekonečná množina je větší než
jiná. Jak by například mohlo být někomu nejasné, že délka přímky
-RObr.
1
1 e
n
S [1 — en
] = — en
P2
nebo konečně
1 — e
w
1 — e 1 — e
n
Spojením rovnic (3) a (5) dostaneme
L *>n pn
+ pi = -—^-.P
2
nebo
1 — e ' 1 — e"
i*+т----ґ •-*-- + •1 - e" ^ 1 - e '
z čehož je patrno, že vezmeme-li n libovolně velké a učiníme tím hodnotu
en
1
menší než libovolně malá veličina -=r=-, musí též každá z veličin P
1
1_ e
" ~ ~ N
e
n
\a
T- 7T • P2
sama o sobě klesnout pod libovolně malou hodnotu. Je-li
1 —- en
tomu tak, pak nás poučuje každá z rovnic (3) a (5), že S = •= , protože S při
1 — e
tomtéž e může mít jen jednu neproměnnou hodnotu, a tedy nemůže záviset na n.
34
postupující neomezeně ve směru aU, je nekonečná? A že přímku bR,
běžící v tomtéž směru od bodu 6, musíme nazvat větší o úsek ba
než aR? A že přímku, postupující neomezeně v obou směrech aR
a aS musíme nazvat větší o veličinu, která je sama opět nekonečná?
Atd.
§20
Přejděme nyní k úvaze o nanejvýš pozoruhodné zvláštnosti, jež
se může vyskytnout u vztahu dvou množin, jsou-li obě nekonečné,
dokonce jež se vlastně vyskytuje vždy, avšak byla dosud
přehlížena ke škodě pro poznání mnohých důležitých pravd metafyzických,
jakož i fyzikálních a matematických, a která i nyní,
vyřknu-li ji, bude pokládána za tak paradoxní, že by bylo velmi
potřebné se při úvaze o ní trochu déle zdržet. Tvrdím totiž: dvě
množiny, obě nekonečné, mohou být k sobě v takovém vztahu, že je
na j e d n é s t r a n ě možno spojit ve dvojici každou věc, náležející
jedné z nich, s věcí, náležející druhé z nich, tak, aby vůbec žádná
věc v obou množinách nezůstala bez spojení ve dvojici a také žádná
aby se nevyskytovala ve dvou nebo více dvojicích; a přitom je
na d r u h é s t r a n ě možno, aby jedna z obou množin obsahovala
druhou jako svůj pouhý díl, takže množství, která ony množiny
představují, jsou k sobě v n e j r o z m a n i t ě j š í c h poměrech, považujeme-li
věci v nich za stejné, tj. za jednotky.
Důkaz tohoto tvrzení povedu na dvou příkladech, v nichž se nepopiratelně
vyskytuje to, o čem byla řeč.
1. Vezměme dvě libovolné (abstraktní) veličiny, např. 5 a 12: pak
je zřejmé, že množina veličin, které jsou mezi nulou a 5 (nebo které
jsou menší než 5), je nekonečná právě tak, jako množina veličin,
které jsou menší než 12; a právě tak jistě je nutno prohlásit druhou
množinu za větší než první, protože první je nesporně jen jejím
dílem. Dosadíme-li na místo veličin 5 a 12 jakékoli jiné, musíme
dokonce usoudit, že ony dvě množiny nezůstávají v tomtéž vájemném
poměru, nýbrž vstupují do nejrozmanitějších poměrů. Avšak
právě tak pravdivé jako toto vše je i následující: označuje-li x jakoukoli
veličinu mezi nulou a 5 a urcíme-li vztah mezi x VL y rovnicí
5y=12x,
35
je také y veličinou, ležící mezi nulou a 12; a naopak, kdykoli je y
mezi nulou a 12, je x mezi nulou a 5. Z oné rovnice také vyplývá,
že ke každé hodnotě x přísluší jediná hodnota y a naopak. Z tohoto
obojího je však jasné, že ke každé veličině = x z množiny - veličin
mezi nulou a 5 existuje v množině čísel, která jsou mezi nulou a 12,
jedna z veličin = y, a tyto veličiny se dají spojit ve dvojici tak, aby
žádná z věcí, z nichž jsou tyto množiny složeny, nebyla bez takového
spojení a že také ani jediná nevystupuje ve dvou nebo více spojeních.
2. Druhý příklad je vzat z prostorového útvaru. Kdo již ví, že
skladba prostoru se zakládá na skladbě času, a že vlastnosti času
se zakládají na abstraktních číslech a veličinách, nemusil by až
na příkladu zpozorovat, že takové nekonečné množiny, jaké jsme
právě nalezli u veličin vůbec, existují také u času a prostoru. Vzhledem
k správné aplikaci naší věty v dalším textu je však nutné uvážit
podrobně alespoň o jednom případu, kde se takové množiny vyskytují.
Nechť tedy jsou a, 6, c tři libovolné body na přímce, a poměr
vzdáleností ab : ac nechť je libovolný, avšak takový, aby ac označo-
+
OЬr. 2
vala větší z nich. Potom, protože obě množiny bodů v ab i ac jsou
nekonečné, bude množina bodů v ac převyšovat množinu v ab,
poněvadž v ac jsou vedle všech bodů z ab také všechny ty body
"z bc9
které še v ab nevyskytují. Nemůžeme se dokonce vyhnout
závěru, že změní-li se libovolně poměr vzdáleností ab : ac9
bude také
poměr těchto dvou množin velmi rozličný. Jistěže platí o těchto
obou množinách totéž, co bylo předtím dokázáno o dvou množinách
veličin ležících mezi 0 a 5 a. mezi 0 a 12 vzhledem ke dvojicím,
které je možno vždy vytvořit z jedné věci jedné množiny a jedné
věci druhé množiny. Je-li totiž x libovolný bod v ab: pak bude také
bod y v aó9
zvolíme-li bod y ve směru ax tak, aby platil vztah
ab : ac = ax : ay.
A naopak, je-li y bodem v acr
bude x bodem v áb9
určíme-li jen
m
ax podle téže rovnice z ay. Každé jiné x určí také jiné y a naopak
každé jiné y určí jiné x. Z obou těchto pravd však opět vidíme, že se
dá ke každému bodu z ab vybrat bod z ac, a ke každému bodu z ac
bod z ab tak, že o dvojicích, které utvoříme vždy z páru takových
bodů, lze tvrdit, že neexistuje ani jediný bod jak v množině bodů ab
tak v množině bodů ac, který by se v některé z těchto dvojic neobjevil,
a že také žádný se tam neobjeví dvakrát nebo víckrát.
§21
Tedy jen z toho důvodu, že dvě množiny A a B jsou v takovém
vzájemném vztahu, že ke každé části a, obsažené v A, můžeme též
vyhledat podle určitého pravidla část 6, obsaženou v B, tak, aby
všechny dvojice (a + b), které vytvoříme, obsahovaly každý předmět
z A nebo z .B, a každý pouze jednou - jen z této okolnosti —
jak vidíme — není ještě nijak dovoleno uzavírat, že by si t y t o
m n o ž i n y z hlediska množství svých částí byly navzájem r o v n y
(tj. abstrahujeme-li od všech jejich rozdílů), jsou-li nekonečné;
nýbrž moho^ být přes tento svůj vztah, který je sám o sobě ovšem
obapolně stejný, ve vztahu nerovnosti vzhledem ke svým množstvím,
takže se může ukázat, že jedna z nich je celkem, jehož dílem je druhá.
Na rovnost těchto množství se smí usoudit teprve tehdy, přistoupí-li
k tomu ještě nějaký jiný důvod, jako například to, že obě množiny
mají zcela stejná základní určení, například zcela stejný způsob
vzniku.
§22 .
Paradox, jenž lpí na těchto tvrzeních — jak nechci vůbec popírat
— vyplývá jedině z té okolnosti, že onen vzájemný vztah, který
jsme nalezli u porovnávaných množin, spočívající v tom, že se nám
zdaří sestavit jejich části do dvojic tak, jak jsme se již vícekrát
zmínili, stačí ovšem za všech okolností k tomu, abychom je mohli
prohlásit za zcela rovné i z hlediska m n o ž s t v í jejich částí, jsou-li
tyto množiny konečné. Dvě konečné množiny jsou si totiž i s ohledem
na svá množství vždy rovny, jsou-li ovšem tak složeny, že
ke každé věci a jedné z nich se nám podaří nalézt b z druhé množiny
37
a spojit je ve dvojici tak, že v žádné z obou množin nezůstane ani
jedna věc, k níž by se nedala nalézt odpovídající věc v druhé množině,
a že také neexistuje věc, která by se objevila ve dvou nebo více
dvojicích. To vzbuzuje zdání, že by tomu tak mělo být i když jsou
místo konečných množin množiny nekonečné.
Tak se to zdá, pravím; avšak při bližší úvaze se ukazuje, že tomu
tak vůbec nemusí být, neboť důvod, proč tomu tak u všech konečných
množin je, spočívá právě v jejich konečnosti, a tedy odpadá
u množin nekonečných. Jsou-li totiž obě množiny A a B konečné,
nebo (poněvadž i toto již staěí) víme-li jen o jedné z nich, A, že je
konečná a zanedbáme-li všechny rozdíly, které jsou mezi věcmi
z nichž sestávají, abychom teď o nich mohli uvažovat jen z hlediska
jejich množství: pak oznacíme-li kteroukoli věc z množiny A znakem 1,
některou jinou znakem 2 atd. tak, abychom každé následující udělili
označení, které udává poěet věcí, jež jsme dosud vzali v úvahu
(včetně té věci samé) musíme jednou dospět k některé věci z A,
po jejímž označení nezbývá již žádná, která by byla neoznačená.
To vyplývá přímo z pojmu konečného nebo počítatelného množství.
Jestliže nyní obdrží poslední věc z A, o níž jsme právě mluvili,
jako své označení n: pak je počet věcí v A = n . A protože se ke
každé věci z A má dát nalézt jedna věc z B, která se s ní dá spojit
ve dvojici, musí se dospět k tomu, že věcí v .B, které jsme tak vyčerpali,
je rovněž n9
jestliže označíme každou věc z B právě tím znakem,
který má věc z A9
spojená s ní do dvojice; neboť každá z nich dostane
označení, které umožňuje poznat, kolik jsme jich dosud vyčerpali.
Z toho vysvítá, že věcí v B nemůže být jistě méně než n; neboť
tento znak opravdu má jedna (právě ta, kterou jsme spotřebovali
naposled). Avšak není jich také více; neboť kdyby existovala i jen
jediná navíc k těm, které byly dosud odčerpány, neexistovala by k ní
žádná věc v A9
s níž by se mohla spojit ve dvojici; což odporuje
předpokladu. Proto není počet věcí v B ani menší, ani větší než n9
a tedy = n. Obě množiny mají tak jedno a totéž, nebo jak také
můžeme říci, stejná množství. Tento závěr zřejmě ztrácí platnost,
když je množina věcí v A nekonečná; neboť nyní nedospějeme
nikdy nejen my počítající k poslední věci z A9
ale podle objasnění
nekonečné množiny neexistuje ani žádná taková poslední věo
38 "
v A sama o sobě, tj. ať již jsme jich označili jakkoli mnoho, existují
ještě vždy jiné, které je třeba označit; proto však padá všechen
důvod, abychom uzavřeli, že množství obou množin je totéž, ačkoliv
ani v množině B nechybí nikdy věci, které je možno spojovat s věcmi
z A stále do nových dvojic.
§23
Řečené jistě ukazuje, že u n e k o n e č n ý c h množin odpadá
důvod, který vede k nutné rovnosti konečných množin, jestliže
je mezi nimi vztah, o němž bylo nejednou mluveno; avšak to nám
ještě neukazuje, jak a čím se jejich nerovnost často přivodí. Bude
nám to zřejmé teprve z rtizboru příkladů, které byly uvedeny. Ty nás
totiž poučují o tom, že části a a 6, vzaté ze dvou srovnávaných
množin, které spojíme do dvojice (a + b), n e v y s t u p u j í ve svých
m n o ž i n á c h t ý m ž způsobem. Neboť tvoří-li části a
y
a b* ještě
druhý pár a srovnáme-li poměry, v nichž vystupují a a a* v množině
A, a naproti tomu b a b
y
v množině B: ukazuje se ihned, že jsou
různé. Vybereme (v prvním příkladě) z množiny veličin, které jsou
mezi 0 a 5, libovolné dvě, třeba veličiny 3 a 4. pak jsou k nim v B
příslušné (tvoří s nimi dvojici) zřejmě
12 12 1 3
T . 3 a T . 4 , tj. 7 T a 9 y .
Chápeme-li nyní (jak bychom měli) poměr dvou věcí jako souhrn
všech vlastností, které se projevují na jejich spojení, nesmíme
1 3
u poměru, v němž jsou části 3 a 4 v jedné, a 7— a 9— v druhé množině,
dbát snad jednostranně jen toho poměru, který obyčejně nazýváme
geometrickým, nýbrž všimnout si všeho, co sem náleží, zejména
tedy také toho, ža a r i t m e t i c k ý rozdíl mezi veličinami 3 a 4 je zcela
1 3 . 3
jiný než mezi veličinami 7r" a 9ř"; zatímco první je = 1, je druhý -= 2r".
Ačkoli se tedy každá veličina z A nebo z £ dá spojit do dvojice
s jedinou veličinou z _B nebo z A: je přece množina veličin v JB jiná
(větší) než v A, neboť i vzdálenost, kterou mezi sebou mají dvě
39
takové veličiny z JB, je jiná (větší), než vzdálenost, která odděluje
dvě odpovídající veličiny z A. A % toho přirozeně následuje, že mezi
d v ě m a veličinami z B je vždy jiná (větší) množina takových veličin
než je tomu v A; a není tedy žádný div, když také celá množina
veličin v B je jiná (větší) než v A. — Zcela podobně je tomu v druhém
příkladu: proto o něm nic jiného neřekneme než to, že body
v ař>, které si myslíme spojené do dvojic s body v ac, jsou blíže u sebe
než ty, které jim odpovídají v ac; neboť vzdálenost oněch bodů
je k vzdálenosti těchto bodů vždy v poměru ab : ac.
§24
Smíme-li teď považovat větu z § 20 za dostatečně prokázanou
a objasněnou tím, co bylo dosud uvedeno: pak je jedním z jejích
nejbližších důsledků, že nesmíme h n e d položit r o v n í t k o mezi
dvě sumy veličin j e n p r o t o , že j s o u si po dvou r o v n y
(tj. vždy jedna z jedné sumy a druhá z druhé sumy), j a k m i l e
j s o u jejich m n o ž i n y n e k o n e č n é ; ledaže bychom se dříve přesvědčili,
že také nekonečná množství těchto veličin jsou v obou sčítancích
táž. Je ovšem zcela nesporné, že sčítance určují svůj součet
a že tedy stejné sčítance dávají také stejné součty, a platí to nejen
tehdy, je-li množina těchto sčítanců konečná, nýbrž i když je nekonečná.
Jen musí být v tomto druhém případě prokázáno, že neko*
nečná množina těchto sčítanců je u jednoho z těchto součtů přesně
táž jako u druhého součtu, neboť existují různé nekonečné množiny.
K tomu, abychom tak mohli usoudit, nestačí podle naší věty, dá-li
se ke každému členu jednoho součtu nějak vyhledat člen druhého
součtu, jemu rovný; nýbrž toto se dá s jistotou usoudit teprve tehdy,
mají-li obě množiny stejná z á k l a d n í určení. Uvidíme
na mnohých příkladech v dalším textu, do jakých nesmyslností
se zaplete počítání s nekonečnem, přehlédneme-li tuto okolnost.
§25 - • •
Přicházím nyní k tvrzení, že nekonečno se nevyskytuje pouze
mezi věcmi které nemají žádnou skutečnost, nýbrž i v oblasti
40
samého s k u t e č n a . Kdo jen dospěl k nanejvýš důležitému přesvědčení,
ať již řadou závěrů z ryzích pojmových pravd anebo
jiným způsobem k tomu, že existuje bůh, bytost, která nemá
základ svého bytí v žádném jiném bytí a právě proto je nanejvýš
dokonalá, tj. spojuje v sobě všechny dokonalosti a síly, které jen
mohou vedle sebe existovat, a každou z nich v nejvyšším stupni:
ten již tím přijímá existenci bytosti, která je více než v jednom
ohledu nekonečná, ve svém vědění, ve svém chtění, ve svém
v n ě j š í m ú č i n k u (své moci), nekonečně mnohé ví, nekonečně
m n o h é (totiž sumu všeho o sobě možného dobra) chce,
a vše, co chce, proměňuje ve s k u t e č n o s t mocí svých zevnějších
účinků. Z této poslední božské vlastnosti plyne další důsledek,
že krom něho jsou totiž stvořené bytosti, které v protikladu
k němu nazýváme b y t o s t m i pouze konečnými; u nichž se však
přesto dá prokázat mnoho nekonečného. Neboť již množina těchto
bytostí musí být nekonečná; právě tak množina stavů, kterých
každá z těchto bytostí během sebekratší doby nabývá, musí být
nekonečně velká (neboť každá taková doba obsahuje nekonečně
mnoho okamžiků) atd. Tedy také v oblasti skutečna se všude potkáváme
s nekonečností.
§26
Avšak toto připustit váhají i mnozí z těch učenců, kteří chápou,
že není možno popřít nekonečnost u věcí, které nemají žádnou
skutečnost (jako tomu je u vět a pravd o sobě). Neboť připustit
nekonečno dokonce v oblasti skutečna je zakázáno, jak se domnívají,
starou zásadou, že všechno s k u t e č n é musí být úplně určeno.
Jsem však přesvědčen, že jsem již ve Wissenschaftslehre (díl I.,
§45) ukázal, že tato zásada platí o všech věcech s k u t e č n ý c h
právě v tomtéž smyslu jako neskutečných. Všude platí totiž pouze
v tom smyslu, že každému předmětu (čemukoli) přísluší z každých
dvou sobě odporujících vlastností jedna a druhá mu musí být
upřena. Kdyby pak bylo opodstatněno, že se prohřešíme proti této
zásadě, předpokládáme-li nekonečnost u věcí, které mají skutečnost,
nesměli bychom ani u neskutečných předmětů svého myšlení
41
mluvit o nějakém nekonečnu, a tedy bychom nesměli připustit ani
nekonečnou množinu pravd o sobě ani množinu pouhých čísel..
Avšak proti citované zásadě se jistě vůbec neprohřešujeme jen tím,
že něco prohlásíme za nekonečné. Tu jen říkáme, že je na tomto
předmětu z určitého hlediska množství částí, které je větší než
jakékoli číslo; tedy ovšem množství, k t e r é se n e d á u r č i t jen
číslem. Avšak z toho ještě nevyplývá, že by se toto množství
nedalo nijak určit; z toho vůbec neplyne, že by existovala
i jen jediná dvojice kontradiktorických vlastností b a non-6 tak,
že by mu bylo nutno obě upřít. Co nemá barvu, např. věta nedá
se ovšem určit údajem jeho barvy; co nevydává tón, nedá se určit
údajem jeho tónu atd. Avšak proto ještě nejsou ony věci nikterak
neurčitelné a nejsou výjimkou z oné zásady, že ze dvou predikátů
b a non-6 (modrý nebo ne-modrý, dobře znějící nebo ne-dobře znějící)
přísluší každé věci jediný z nich, jen když je vyložíme tak, jak musíme,
aby totiž zůstaly kontradiktorické. Právě tak jako ne-modré nebo
ne-vonící je určením (jistěže velmi širokým) Pythagorovy poučky,
je také pouhý údaj, že množina bodů mezi m a n je nekonečná,
jedním z určení této množiny. A nejsou často nutné ani příliš mnohé
údaje, abychom takovou nekonečnou množinu věcí určili úplně,
tj. tak, aby všechny její vlastnosti již samy vyplývaly z několika
údajů, které jsme právě uvedli. Tak jsme určili právě zmíněnou
nekonečnou množinu bodů mezi m a n co nejdokonaleji, jakmile
jen určíme oba body man samy (třeba jejich příslušným názorem).
Neboť pak již je přesně rozhodnuto, pouhými oněmi několika slovy,
o každém jiném bodu, zda k této množině patří či ne.
§27
Jestliže jsem dosud v tak mnohých případech obhajoval připuštění
nekonečna proti těm, kteří je neoprávněně potírají; musím
nyní se stejnou otevřeností přiznat, že mnozí učenci, zvláště ze třídy
m a t e m a t i k ů , šli na druhé straně příliš daleko; neboť připouštěli
hned n e k o n e č n ě velké, hned zase nekonečně malé v případech,
kdy podle mého nejvnitrnějšího přesvědčení žádné z nich
neobstojí.
42
1. Ani já nenamítám nic proti tomu, přijmout n e k o n e č n o u
časovou délku, rozumíme-li tím časovou délku, která buď nemá
začátek, nebo konec, nebo dokonce ani ten ani onen (je tedy celým
veškerým časem nebo souhrnem všech okamžiků vůbec); považuji
však za nutné, myslit si poměr velikostí, který má jedna doba
nebo časový úsek mezi dvěma okamžiky k jakékoli jiné době nebo
časovému úseku mezi dvěma okamžiky, jako poměr konečný, úplně
určitelný jen pojmy, tedy nepředpokládat nikdy, že doba ohraničená
začátkem a koncem je nekonečněkrát větší nebo menší než jiná
taková doba. To právě však činí, jak známo, dokonce-mnozí matematikové,
a to nejen když mluví o nekonečně velkých časových
úsecích, jež přece mají být z obou stran omezeny, nýbrž ještě častěji
o nekonečně malých dílcích času, ve srovnání s nimiž by se
již právě proto musil uznat za nekonečně velký každý k o n e č n ý
časový úsek, např. vteřiny.
2. Obdobně je tomu se v z d á l e n o s t m i mezi d v ě m a body
prostoru, které mohou být k sobě, podle mého názoru, vždy jen
v konečném poměru, (úplně určitelném jen pojmy), zatímco u našich
matematiků není nic běžnějšího, než mluvit o n e k o n e č n ě velkých
a nekonečně m a l ý c h vzdálenostech.
3. Tak je tomu konečně také u vesmírových sil, přijímaných jak
metafyzikou tak fyzikou, o nichž musíme předpokládat, že žádná
z nich není nekonečněkrát ^větší nebo menší než některá jiná, ale
že každá síla je ke každé jiné v poměru určitelném pouhými pojmy;
ať si již lidé dovolují činit jakkoli často opak. Důvody, které mám
pro všechny tato svá tvrzení, nemohu však nikomu zcela objasnit,
kdo nezná vůbec pojmy, které spojuji se slovy: názor a pojem,
o d v o d i t e l n o s t věty z jiných vět, objektivní vyvození nějaké
pravdy z jiných pravd a mnohé jiné, konečně i v ý k l a d o času
a prostoru. Kdo však četl alespoň obě pojednání „ P o k u s o objekt
i v n í z d ů v o d n ě n í učení o skladu sil"*), a „Pokus o objekt
i v n í z d ů v o d n ě n í učení o t ř e c h rozměrech prostoru"**),
tomu nebude následující důkaz úplně nesrozumitelný.
*) Praha 1842, v komisi u Kronbergera & Rziwnase.
**) Praha 1843, v komisi u Kronbergera a Rziwnase.
43
Z výkladu času a prostoru vyplývá ihned, že všechny z á v i s l é
(tj. stvořené) substance na sebe stále vzájemně účinkují; a že j e
rovněž přípustné pro jakékoli dva okamžiky oc SL /?, ať jsou od sebe
jakkoli daleko či blízko, považovat stav světa v dřívějším okamžiku oc
za p ř í č i n u , a stav světa v pozdějším okamžiku /? za ú č i n e k
(alespoň zprostředkovaný), započteme-li jen k příčině ještě přímá
působení boží, která snad mohla v obdobích a/? nastat. Z toho plyne
dále, že z údaje obou okamžiků oc SL /?, z údajů všech sil, které měly
stvořené substance v okamžiku a, z údajů p o l o h , kde každá
byla, a konečně z údajů o božím působení, jež zakusila ta či ona
substance během a/3 — jsou odvoditelné j a k síly, které budou mít
tyto substance v okamžiku /?, tak p o l o h y , které budou zaujímat,
a to tak, jak musí být odvoditelný ú č i n e k (lhostejno, zda zprostředkovaný
či přímý) ze své úplné příčiny. To zase vyžaduje, aby
se všechny vlastnosti účinku daly vyvodit z vlastností jeho příčiny
prostřednictvím premisy, sestavené jen z ryzích pojmů, která má
tuto formu: každá příčina o vlastnostech u, u', u", . . . má účinek
o vlastnostech v9 v\ v"9 . . . Odtud snadno plyne důsledek, který
právě k našemu účelu potřebujeme, totiž: každá okolnost příčiny,
která n e n í pro účinek l h o s t e j n á , tj. okolnost takového druhu,
že účinek nezůstává stále týž, když ona se mění jakkoli, musí se d á t
ú p l n ě u r č i t pouhými pojmy, přičemž z názorů jsou vzaty za základ
nanejvýš některé takové, které jsou i pro určení účinku potřebné.
Teď, když jsme toto předeslali, dají se naše předchozí tvrzení
snadno zdůvodnit. Neboť kdyby byly
1. třeba jen dva okamžiky, a a /?, jejichž vzdálenost by byla
nekonečněkrát větší nebo menší než vzdálenost mezi jinými okamžiky
y a á , vznikl by z toho nesmysl, neboť stav světa, který má
nastat v okamžiku /?, by se vůbec nedal určit z toho stavu, který
byl v okamžiku a, připočteme-li ještě boží působení za ono období
a velikost období a/? samého. Neboť i k určení stavu, v němž jsou
stvořené bytosti, dokonce i jen k určení v e l i k o s t i j e j i c h sil
v jediném okamžiku a, j e nutno vzít za základ zvláštní jednotku;
a protože tyto síly jsou jen p r o m ě n n ý m i silami, nelze jejich
velikost posoudit jinak, než vzhledem k dané časové jednotce, během
níž tyto síly uplatní daný účinek. Vezměme tedy (což nám musí
44
Lýt dovoleno) časový úsek yd za tuto časovou jednotku, pak vzdálenost,
oddělující okamžik a od /?, nebude možno určit onou časovou
jednotkou, neboť se jeví být nekonečně velká nebo nekonečně malá,
a to i v tom nejpříznivějším případě, kdy se při této jednotce dají
přesně určit všechny síly stvořených substancí, existující v okamžiku
a, a tedy se dá zcela přesně určit všechno ostatní, co náleží k úplné
příčině stavu světa, jenž nastane v okamžiku /?. Je-li tedy n a o p a k
přípustné uvažovat o každém stavu světa (za podmínek již vícekrát
zmíněných) jako o příčině libovolného pozdějšího stavu: pak nemohou
existovat ani dva okamžiky a a /?, jejichž vzdálenost by se
jevila být nekonečně velkou nebo nekonečně malou ve srovnání
se vzdáleností, ve které je dvojice druhých okamžiků y a d.
2. Kdyby existovaly třeba jen dva body v prostoru a a 6, jejichž
vzdálenost by se ukázala být ve srovnání s dvojicí jiných bodů c SL d
nekonečně velkou nebo nekonečně malou: pak by patřilo k určení
stavu světa v jakémkoli okamžiku a mimo jiné i to, určit velikost
síly (třeba přitažlivosti nebo odpudivosti), kterou působí substance A,
nacházející se v onom okamžiku právě v místě a, na substanci B
v místě b. Ukázalo by se však, že je to u této jedné síly nemožné,
a to i v tom nejpříznivějším případě, kdyby se to zdařilo u všech
ostatních sil, přijmeme-li totiž (jak je jistě dovoleno) vzdálenost cd
za jednotku délky. Neboť i kdyby přitažlivá nebo odpudivá síla,
kterou působí substance A na podobnou substanci B ve vzdálenosti,
zvolené za jednotku délky ( = cd), měla zcela určitou velikost; byla
by přece, a právě proto že tato veličina je určitá, velikost přitažlivosti
nebo odpudivosti neurčitelná, kdyby poměr vzdáleností ab : cd,
na němž v každém případě závisí, byl nekonečný a tím neurčitý.
3. Kdyby konečně existovala i jen jediná síla fe, která by se jevila
být nekonečně velkou nebo nekonečně malou ve srovnání s jinou
silou Z: pak, označíme-li a okamžik, kdy tento poměr platí, jevila
by se právě proto veličina k jako nekonečně velká nebo nekonečně
malá, tj. neurčitelná, a to i v tom nejpříznivějším případě, kdyby
ostatní síly při zvolených jednotkách času a prostoru byly konečné,
čímž by také / byla konečná veličina. Celkový stav světa v okamžiku
a jevil by se být neurčitelný a nastala by tak nemožnost, odvodit
nějaký pozdější stav světa-jako účinek jím vyvolaný.
45
§28
Doufám, že jsem v předchozím určil základní pravidla, dovolující
posoudit všechna podivně znějící učení, která ještě máme v dalším
uvést, a na jejichž základě se musí dát rozhodnout, zda se oněch
učení musíme vzdát jako omylů, či zda je musíme zachovat jako
věty, které jsou pravdami, přestože se zdají být protimyslné. Pořadí,
v němž tyto paradoxy uvedeme, nechť je stanoveno vědeckou oblastí,
do které patří, a jejich vlastní, větší ci menší závažností.
První a nejrozsáhlejší věda, v jejichž oblastech se potkáváme
s paradoxy nekonečna je — jak nám již některé příklady ukázaly —
obecná n a u k a o veličinách, kde o ně není nouze, dokonce
i v samé n a u c e o číslech. Těmi tedy chceme začít.
Již pojem p o č í t á n í s n e k o n e č n e m budí zdání, jak přiznávám,
že skrývá vnitřní spor. Neboť chtít něco p o č í t a t znamená přece,
pokusit se o j e h o určení čísly. Jak se však chceme pokusit o určení
nekonečna čísly — onoho nekonečna, které je podle našeho vlastního
výkladu vždy něčím, co považujeme za množinu, sestávající
z nekonečně mnoha částí, tj. za množinu, která je větší než každé
číslo, která tedy nemůže být určena údajem pouhého čísla? — Avšak
tato pochybnost zmizí, uvážíme-li, že správně prováděné počítání
s nekonečnem není výpočtem, neboť ten právě u nekonečna není
určitelný žádným číslem, není totiž výpočtem nekonečného množství
o sobě, nýbrž má jen za účel určit poměr jednoho nekonečna k jinému
nekonečnu; což se ovšem dá v určitých případech provést, jak
chceme ukázat na větším počtu příkladů.
§29'
Kdo připustí, že vůbec existují nekonečná množství a nekonečné
veličiny, ten již nemůže popřít, že existují nekonečné veličiny, které
se právě svojí veličinou (velikostí) velmi rozmanitě odlišují. Znázorníme-li
si řadu přirozených čísel takto
1, 2, 3, 4, . . . 7i, n + 1, . . . . in inf.,
pak bude
46
1 + 2 + 3 + 4 . . . zi + (n + 1) . . . in inf.
znakem součtu těchto přirozených čísel: avšak další znak
1° + 2° + 3° + 4° + . . . 7i° + (n + 1)° + . . .ininf.,
v němž jednotliví sčítanci 1°, 2°, 3°, . . . představují vesměs pouhé
jednotky, bude označovat množinu všech přirozených čísel. Jestliže
o
ji označíme N a utvoříme rovnici pouze symbolickou
lo + 2° + 3° + . . . + n° + (n + 1)° + . . . in inf. = N. . . (1),
a označíme-li právě tak množinu přirozených čísel počínajíc (n + 1)
znakem N , a utvoříme tak rovnici
(n + l)° + (n + 2)° + ( n + 3)° + ...ininf: = iV . . . . (2),
dostaneme odečtením rovnici, které jistě nelze nic vytknout
1° + 2° + 3° + . . . + /i° = n = Ň - N . . . (3),
o n
z níž vidíme, že dvě nekonečné veličiny N a JV mají někdy zcela
určitý konečný rozdíl.
o
Označíme-li naproti tomu písmenem S veličinu, kterou udává
součet všech přirozených čísel, nebo napíoeme-li rovnici pouze
symbolickou
1 + 2 + 3 + . . . + n + (n + 1) + . . . in inf. = S . . . (4),
o n
pochopíme ihned, že S musí být mnohem větší než JV; avšak nepodaří
se nám tak snadno určit přesně rozdíl obou těchto nekonečných
veličin nebo i jejich vzájemný (geometrický) poměr. Neboť kdybychom,
jak to jistě mnozí učinili, chtěli napsat rovnici
• N.(Ň+1)
2
neměli bychom k jejímu ospravedlnění žádný jiný důvod než to,
že pro každou konečnou množinu členů platí rovnice
~ „ n . (n + 1)
l + 2 + ) 3 . . . + n--
V
2 ,
47
z čehož se zdá vyplývat, že při celé nekonečné množině čísel přejde
o
pouze nvN. Avšak tak tomu jistě není: neboť nemá smysl hovořit
o
o posledním členu nekonečné řady, který by měl hodnotu iV.
Vezmeme-U však za základ rovnici pouze symboUckou (1), bude
ovšem dovoleno odvodit také tyto rovnice, násobíme-U postupně oba
o
členy N:
1° . N + 2° . N + 3° . N + . . . in inf. = (iV)2
1° . (iV)2
+ 2° . (iV)2
+ 3° . (iV)2
+ . . . in inf. = (iV)3
a tím se přesvědčíme, že existují také nekonečné veličiny tak zvaných
vyšších řádů, z nichž jedna převyšuje nekonečněkrát jinou.
Že jsou však i nekonečné veUčiny, které jsou v jakémkoli racionál-
o
ním a rovněž iracionálním poměru a : /?, plyne již z toho, že a . N
a /? . N je dvojice rovněž nekonečných veUčin, které se k sobě mají
o
jako a : /?, označuje-U jen N nějakou konstantní nekonečnou veUčinu.
Nahlédneme jistě stejně jasně, že přestože celá množina veličin,
ležících mezi dvěma danými, např. mezi 7 a 8, je nekonečná,
a proto nemůže být určena žádným sebe větším číslem, závisí jen
a jen na tom, jak velká je vzdálenost oněch dvou hraničních veUčin,
tj. na veličině 8 — 7, a tedy musí být stejná, jakmile je tato vzdálenost
stejná. Za tohoto předpokladu, označíme-U množinu všech
veUčin ležících mezi a a 6
Mult (b — a),
budou existovat nesčetné rovnice tohoto tvaru:
Mult (8 - 7) = Mult (13 - 12);
a rovněž tak tvaru
Mult (b — a) : Mult (d — c) = b — a : d — c,
proti jejichž správnosti se nedá uvést žádný platný.důvod.
48
§30
A jako dokládá již těchto několik příkladů dostatečně, že existuje
počítání s nekonečně velkým, tak existuje i počítání s neka­
lí
necně malým. Neboť je-li N nekonečně velké, představuje
1
o
N
nutně veličinu, která je nekonečně malá, a nenalezneme žádný
důvod prohlásit takovou představu za bezpředmětnou, alespoň ne
v obecné nauce o veličinách. Neboť položíme-li otázku, abychom
uvedli alespoň jediný příklad, jaká je pravděpodobnost že někdo,
kdo nazdařbůh vystřelí kouli, vystřelí ji tak, 'aby její střed prošel
na své cestě přesně středem onoho jablka, visícího na tomto stromě:
musí každý přiznat, že množina všech možných případů o stejné
nebo menší pravděpodobnosti je tu nekonečná, z čehož tedy plyne,
že stupeň oné pravděpodobnosti má velikost = nebo < nějaké .
Již tím však je prokázáno, že máme nekonečně mnoho nekonečně
malých veličin, z nichž jedna může být ke druhé vlibovolném poměru,
zejména může být i nekonečněkrát větší; proto je také nekonečně
mnoho řádů jak mezi nekonečně velkými, tak i mezi nekonečně
malými veličinami; a bude ovšem možné najít dokonce—mnohé
správné rovnice mezi veličinami tohoto druhu, dodržíme-li určitá
pravidla.
Je-li např. již stanoveno, že hodnota proměnné veličiny y závisí
na jiné veličině x tak, aby pro ně stále platila rovnice:
y = x* + aoč + bx2
+ cx + d
a je-li slučitelné s povahou onoho zvláštního druhu veličin, označených
tu x a y, aby byly také nekonečně malé, tedy aby též mohly
nabývat nekonečně malých přírůstků: pak musí nutně platit i následující
rovnice, necháme-li vzrůst x o nekonečně malou část, označenou
dx, a příslušnou změnu y označíme dy:
y + dy == (x + dxf + a(x + dxf + b(x + dxf + c(x + dx) + cř,
49
z níž také vyplývá nesporně další:
-jt- = (4*
3
+ 3a*
2
+ 2bx + c) + (6*
2
+ 3a* + b) dx +
+ (4* + a) d*
2
+ d*
3
,
která ukazuje, jak závisí poměr obou nekonečně malých veličin
nejenom na a, 6, c, a *, nýbrž i na hodnotě proměnného dx.
§31
Avšak většina matematiků, kteří se odvažují počítat s nekonečnem,
jde mnohem dále, než připouštějí principy zde vytknuté.
Nejen že si dovolují bez pochybností předpokládat jednou nekonečně
velké, jindy nekonečně malé u veličin, které takovými podle své
povahy nemohou být (příklady toho budou teprve v dalším uvedeny):
ale dovolují si také položit sobě rovnými veličiny, které vznikají
součtem nekonečné řady, jindy zase prohlásit jednu za větší nebo
menší jen proto, že členy jedné řady lze spojit do dvojic se členy
druhé řady tak, že pro každý pár platí onen vztah rovnosti nebo
nerovnosti, ačkoliv jejich množiny si nejsou zřejmě rovny; odvážili
se říci, že vymizí j a k o p o u h á nula nejen každá nekonečně malá
veličina sčítaná s veličinou konečnou, nebo i každá nekonečně malá
veličina vyššího řádu vedle veličiny nižšího řádu, ale dokonce
že vymizí v součtu i každá nekonečně velká veličina nižšího řádu
vedle veličiny vyššího řádu; aby ospravedlnili alespoň trochu svoji
početní metodu, založenou na této větě, připadli na tvrzení, že je
dovoleno pokládat i pouhou nulu za dělitele, a že podíl
"0"
není v podstatě ničím jiným, než n e k o n e č n ě velkou veličinou,
naproti tomu podíl-TT že označuje veličinu zcela n e u r č i t o u .
Musíme dokázat, jak nesprávné a zavádějící jsou tyto pojmy,
protože jsou i dnes více nebo méně v módě.
50
§32
Ještě v roce 1830 se pokusil dokázat autor, podepsaný M. R. S.,
v Gergonnových Annales de M a t h é m a t i q u e (Sv. 20, č. 12),
že známá nekonečná řada
a — a + a — a + a — a + . . . i n inf.
a
má hodnotu -y ; položiv hodnotu oné řady = x9
byl přesvědčen,
že smí činit závěr
x = a — a + a — a + . . . i n inf. = a — (a — a -\- a — a + . . . in
inf.), kde řada, uzavřená v závorkách, je identická s řadou, která
se má vypočíst, a tedy že se může znovu položit = x9
což dává
x = a — x
, a
a tedy x = — .
Klamný závěr tu není skryt příliš hluboko. Řada v závorce nemá
zřejmě týž počet členů jako ta, která byla ponejprv položena = x; ale
chybí jí první a. Její hodnota, kdyby ji vůbec bylo možno udat,
by musila být označena x — a, což by však dávalo identickou rovnici
x = a + x —- a.
,,Avšak právě v tom" mohlo by se třeba říci, „je něco paradoxního,
že tato řada, která není jistě nekonečně velká, by neměla mít přesně
určitelnou, měřitelnou hodnotu, zvláště když vzniká do nekonečna
pokračujícím dělením čísla a číslem 2 = 1 + 1, což je způsob vzniku,
a
který mluví zcela pro to, aby její skutečná hodnota byla-~-."
Připomínám, že existence v ý r a z ů pro veličiny, které neoznačují
ž á d n o u s k u t e č n o u veličinu, není sama o sobě ničím nepochopitelným,
jak obecně uznáváme a musíme uznat u nuly.
Zvláště pak řada, prohlásíme-li, že o ní chceme uvažovat jako
o veličině, totiž o s o u č t u jejích členů, musí být právě vzhledem
k p o j m u součtu (který patří k množinám, tj. k takovým souhrnům,
u nichž není třeba dbát na p o ř a d í jeho částí) taková, že nedozná
51
žádné změny své hodnoty — ať provedeme jakoukoli změnu v pořadí
jejích členů. U veličin musí totiž platit:
(A + B) + C = A + (B + C) = (A + C) + B.
Tato vlastnost nám dává jasný důkaz, že znak, o kterém hovoříme:
a — a + a — a + a — a + . . . i n inf.,
není výrazem pro skutečnou veličinu. Neboť na veličině, která
je tu znázorněna, bychom jistě nic nezměnili, kdyby vůbec nějaká
veličina tím znázorněna byla, jestliže bychom obměnili onen znak
takto:
(a — a) -\- (a — a) + (a — a) + . . . in inf., (1}
neboť se tu nic jiného nestalo, než že se dva přímo po sobě následující
cleny spojily v částečný součet: což zřejmě musí být možné, neboť
daná řada nemá vskutku mít poslední clen. Tím však dostaneme
0 + 0 + 0 + . . . in inf.,
což je zřejmě pouze = 0.
Právě tak se však nezmění nic na veličině, kterou onen výraz
představuje, kdyby vskutku nějakou představoval, když ji přetvoříme
takto:
a + (—a + a) + (—a + a) + (—a + a) + . . . in inf. (2)
kde s výjimkou prvního clenu spojíme vždy dva z následujících
členů řady v částečný součet, nebo také takto:
—a + (a — a) + (a — a) + (a — a) + . . . in inf., (3)
kterou obdržíme z (1), vyměníme-li cleny každého páru a na výrazu,
který tak obdržíme, provedeme tutéž změnu, kterou (2) vznikla
z (1). Kdyby tedy nebyl uvedený výraz pro veličinu bezpředmětný,
musily by všechny výrazy (1), (2) a (3) označovat tutéž veličinu;
neboť je jasné, že představa veličiny součtu jedné a téže množiny
nemůže reprezentovat více veličin navzájem různých, jak je
tomu například u představ ]/+ 1, are. Sin. = -~-, a jiných. Sama
představa veličiny, kterou máme před sebou:
1 — 1 + 1—-1 + 1 — 1 + . . . in inf. by musila být položena
jak = + a , tak také = —a, není-li zcela bezpředmětná, a to tímtéž
52
právem, jakým bychom ji chtěli položit rovnou nule (kterou ovšem
také nazýváme obvykle veličinou v nevlastním smyslu); což je úplně
nesmyslné a opravňuje nás k závěru, že máme před sebou zcela bezpředmětnou
představu.
Je pravda, že řada, o které jsme mluvili, se jeví být podílem,
který vznikne nekonečně pokračujícím dělením čísla a číslem 2 = 1 +
+ 1; ale všechny řady, které takto vzniknou, mohou pochopitelně
právě proto, že ono dělení ponechává stále zbytek (v našem
případě střídavě jednou —a a jednou + a ) , udávat pravou hodnotu
podílu I zde—I nejvýše tenkrát, stávají-li se zbytky, vznikající
dalším dělením, menšími než jakkoli malá veličina, jak tomu
je v případě řady, o níž jsme uvažovali v § 18, a + ae + ae
2
+ . . .
in inf., která je vytvořena dělením čísla a číslem 1 — e, pokud
e < 1. Jestliže však, jako v tomto případě, jě e ==- 1 nebo dokonce
e *> 1, kdy zbytky rostou tím výše, cím déle se v dělení pokračuje,
není nic pochopitelnějšího než to, že hodnotu řady nemůžeme položit
a
rovnou podílu -j . Neboť jak bychom směli položit rovnou
x —— e
yT řadu se střídajícími se znaménky:
1 - 10 + 100 - 1000 + 10000 - 100 000 + . . . in inf.,
která vzniká dělením čísla 1 číslem 1 + 10? Kdo by ještě chtěl dát
řadě, složené vesměs z kladných členů
1 + 10 + 100 + 1 000 + . . . in inf.
hodnotu jr- jen proto, že k ní vede rozvoj —- ? Uvedený
M. R. S. bere nicméně takováto sčítání stále ještě v ochranu a chce
prokázat např. správnost rovnice
1 _ 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + 64 - 128 + . . . in inf. = - 1
pouze tím, že by mělo platit
* = 1 — 2 + 4 - 8 + 16 - 3 2 + 64 - .. ?
= 1 - 2 ( 1 - 2 + 4 - 8 + 1 6 - 32 + . . . ) = 1 - 2*,
53
přičemž se znovu opomine, že řada, obsažená v závorkách, není
vůbec totožná s původní, neboť nemá již tutéž množinu členů.
Ze také tento výraz pro veličinu je bezpředmětný, vysvítá podobně
jako u výrazu, o kterém jsme uvažovali dříve, poněvadž vede
k výsledkům, jež si odporují. Neboť na jedné straně by musilo být
1 _ 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + 64 - . . .
= 1 + ( - 2 + 4) + ( - 8 + 16) + (-32 + 64) + . . .
= 1 + 2 + 8 + 32 + 64 + . . .
na druhé straně pak stejně jistě:
= (1 - 2) + (4 - 8) + (16 - 32) + (64 - 128) + . . .
= _ l _ 4 - 16 - 64 - . . .
takže by vyšla dvojím oprávněným postupem pro týž výraz jednou
nekonečně velká hodnota kladná, podruhé záporná.
§33
Nechceme-li se tedy ve svých početních operacích s nekonečnem
dostat na scestí: nesmíme si nikdy dovolit, prohlásit dvě nekonečně
velké veličiny, vzniklé sčítáním členů dvou nekonečných řad, již
jen proto za rovné, nebo jednu za větší či menší než druhou, poněvadž
každý člen jedné z nich je vždy buď roven jednomu Členu druhé řady,
nebo je větší či menší než on. Nesmíme rovněž jeden součet prohlásit
jen proto za větší, poněvadž obsahuje všechny členy jiného součtu
a krom toho ještě mnohé další, dokonce nekonečně mnoho členů
(vesměs kladných), které v druhém součtu chybí. Neboť přesto
přesevšechno může ještě sám být menší, dokonce nekonečněkrát
menší, než tento. Příklad nám poskytne velmi známý součet všech.
čtverců přirozených čísel, srovnáme-li jej se součtem p r v n í c h
mocnin těchto čísel. Jistě nemůže nikdo popřít, že každý člen řady
všech čtverců
p + 22 + 32 + 4
2
+ 5
2
+ 6
2
+ 7
2
+ 8
2
+ 9
2
+ 10
2
+ .. .in inf.=l
2
1 + 4 +
9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100. . . in inf. = J
se objeví také v řadě všech prvních mocnin přirozených čísel
54
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 1 2 + 1 3 +
i
+ 14 + 15 + 16 in inf. = S,
poněvadž je také přirozeným číslem; rovněž tak, že v poslední řadě
1 2
S je vedle všech členů S ještě mnoho jiných (dokonce nekonečně
2
mnoho) členů, které chybí v řadě S, poněvadž právě nejsou druhými
2
mocninami. Nicméně S, součet všech čtverců, není menší, nýbrž
i
nesporně větší než součet prvních mocnin všech čísel S. Neboť
za prvé jistě je v obou řadách táž množina členů (ještě než o nich
uvažujeme jako o součtech, a tedy dokud nejsou rozložitelné v libovolné
množiny částí), přesto to, že se to zdá být naopak. Tím, že povýšíme
i 2
každý jednotlivý člen řady S na čtverec řady S, měníme pouze
utváření (velikost) těchto členů, nikoli jejich množství. Jestliže
1 2 2
však je množina členů v S a S táž, je jasné, že S musí být mnohem
i
větší než S, neboť s výjimkou p r v n í h o členu je každý z ostatních
2 1 2
v S rozhodně větší než jemu odpovídající člen S; takže S, chápaná
i
jako veličina, obsahuje v sobě celé S jako díl a má ještě další díl,
i
který opět poskytne nekonečnou řadu o stejném počtu členů jako S,
totiž:
0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, . . . n ( n - l ) .. . in inf.,
v níž, s výjimkou dvou prvních členů, jsou všechny následující
i
členy větší než odpovídající jim členy v S, takže součet celé řady
i
je nesporně opět větší než S. Odečteme-li od tohoto zbytku opět
i
řadu S; dostaneme jako druhý zbytek řadu o téže množině členů
— 1, 0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, . . . n(n—2),. . . in inf.,
v níž, s výjimkou prvních t ř í členů, jsou opět všechny další členy
i
větší, než odpovídající jim členy v S; takže i tento třetí zbytek
55
1
musíme nesporně považovat za větší než S. Ježto se dá v těchto
2
závěrech bez omezení pokračovat, vysvítá z toho, že součet S je ne-
1
konecněkrát větší než součet S; neboť máme obecně
2 i
S — mS = (1 - m) + (22
- 2m) + (32
- 3m) + (42
- 4m) + . . .
+ . . . + (m2
— m2
) + . . . + n(n — m) + . . . in inf.,
v kteréžto řadě je pouze konečný počet záporných členů, m-tý je 0,
všechny následující však jsou kladné a rostou do nekonečna.
§34
Než postavíme do příslušného světla nesprávnost ostatních tvrzení,
o nichž jsme se zmínili již v § 31, musíme ještě určit pojem
n u l y trochu přesněji, než se obvykle děje.*)
Nesporně chtějí všichni matematikové, aby se spojoval se znakem 0
vědomě jen takový pojem, který připouští napsat obě rovnice
I. A - A = 0, II. A ± 0 = A,
a to ať je A jakýkoli výraz pro veličinu, lhostejno, zda odpovídá
skutečné či zcela bezpředmětné vehčině. Tu přizná každý, že je to
přípustné jen tenkrát, nedíváme-li se na znak samotné 0 jako na reprezentanta
skutečné veličiny, nýbrž, označuje-li nám pouze nepřítomnost
nějaké veličiny, a považujeme-li znak i ^ O za požadavek,
ani k libovolné veličině, označené A, ve skutečnosti nic nepřičítat,
ani od ní nic neodčítat. Bylo by však omylem domnívat se, že objasnění
nuly jako bezpředmětné veličiny postačí samo k úplnému
určení pojmu, který s tímto znakem matematikové spojují. Neboť
v matematice jsou zřejmě obvyklá ještě jiná označení veličin, jako
zejména znak V— 1, v analýze tak neobyčejně důležitý, která jsou
rovněž bezpředmětná a která přesto nesmíme pokládat za ekvi*)
Velice rád přiznávám panu M. Ohmovi zásluhu, že byl ve svém velmi cenném
* „ V e r s u c h eines v o l l k o m m e n k o n s e q u e n t e n S y s t e m s der Mathem
a t i k " (2. vyd. Berlin 1828) první, kdo upozornil matematickou veřejnost
na obtíže pojmu nuly.
56
valentní O, ani s nimi nesmíme tak zacházet. Určíme-li však přesněji
význam znaku O vysvětlením: má být chápán tak, aby obecně
platily rovnice I. a II.: pak ustavujeme pojem, který je na jedné
straně dostatečně široký, jak to vyžaduje potřeba a zájem vědy,
a přece je na druhé straně dostatečně úzký, aby se zabránilo jakémukoli
jeho zneužití.
Přihlédneme-li blíže, vidíme, že požadovanou obecnou platností
obou rovnic I. a II. se neurčuje specificky jen pojem nuly, ale
že i pojmy sčítání a odčítání, které tu vystupují pod znaky + a —,
budou stanovením těchto rovnic zvláštním způsobem rozšířeny, což
je vědě velmi na prospěch.
Právě tak vyžaduje krom toho ještě prospěch vědy, aby se dal
i pojem násobení chápat v tak širokém smyslu, že lze připojit rovnici
III. 0 x A = AxO = 0
bez ohledu na to, čím je A (ať je tedy konečnou nebo nekonečně
velkou či nekonečně malou veličinou, nebo i pouhou představou
bezpředmětné veličiny jako \—1 nebo 0).
Konečně musíme též požadovat v zájmu vědy, abychom mohli
chápat i pojem dělení tak obecně, jak jen je slučitelné se třemi již
stanovenými rovnicemi, abychom tedy mohli i v rovnici
ř
iv. BX(4A = (4A xB=A(4)-(4)
dát znaku B tak široký rozsah, jak jen připouštějí ony tři rovnice
v té obecnosti, která jim byla přiznána. Ty pak vždy připouštějí,
aby B označovalo libovolnou konečnou,i nekonečně velkou či nekonečně
malou veličinu, a jistě též imaginární veličinu [/—1; avšak
nepřipouštějí, aby se položilo B = 0, tj. abychom jednou užili nuly
nebo výrazu jí ekvivalentního jako dělitele. Neboť poněvadž podle
III. musí být O(^) = 0 při jakémkoli A: musilo by pak být také
B í-g-j = 0, vložíme-li do IV. B = 0, což by s rovnicí JB (-g-) = A,
požadovanou ve IV, souhlasilo jen v jediném případě, kdyby také
A = 0. Abychom se nedostali do kontradikcí, musíme tedy stanovit
pravidlo, že nesmíme n i k d y užít n u l y nebo v ý r a z u jí
57
ekvivalentního jako dělitele v rojnici, která má být
ještě něčím jiným, než pouhou identitou, jakou je třeba
0 ~ 0 *
Ze je ohled na toto pravidlo naprosto nutný, dokazují vedle toho,
co bylo řečeno, velmi mnohé nesmyslné důsledky, které plynou
z úplně správných premis, jakmile si dovolíme dělit nulou.
Budiž a jakákoli reálná veličina: kdyby mělo být přípustné dělení
výrazem ekvivalentním nule, např. výrazem 1 — 1, pak vyjde podle
známé metody dělení, jistě zcela správné, tato rovnice:
a
. . . . a
a + a + . . . + a +1 T — i* -r- «* -r • • • -r «* -r - -| ?
kde může vystupovat libovolný počet sčítanců formy a. Odecteme-li
teď na obou stranách stejný výraz veličiny - : dostaneme
zcela nesmyslnou rovnici:
a + a + . . . + a = 0.
Je-li a a b dvojice různých veličin: pak platí dvě identické rovnice
a — b = a — b
b — a = b — a. Tedy sečtením také
a — a = b — b nebo
a ( l - l ) = 6 ( l - 1).
Je-li nyní dovoleno dělit oba cleny rovnice činitelem ekvivalentním
nule, dostaneme nesmyslný výsledek a = 6, ať jsou a a 6 jakákoliv.
Je však přece všeobecně známo, že narazíme při rozsáhlejších
výpočtech až příliš snadno na nesprávný výsledek, odstraníme-li
z obou stran rovnice společného činitele, aniž bychom se dříve
přesvědčili, že není nulou.
§35
Bude teď snadné ukázat, jak nesprávné tvrzení mnozí vyslovují,
že totiž vymizí nejen nekone.cně malá veličina vyššího řádu, spojená
58
sčítáním nebo odčítáním s jinou veličinou nižšího řádu nebo s veličinou
konečnou, nýbrž i každá konečná veličina, ba dokonce nekonečně
velká jakkoli vysokého řádu, spojená sčítáním nebo odčítáním
s jinou nekonečně velkou veličinou vyššího řádu, jako by byla
p o u h o u nulou. Kdyby se to mělo chápat tak — a v obvyklé
řeči, která zní ještě trochu méně opatrně než výrazy právě užité,
nejsme před takovými špatnými výklady smyslu varováni — tedy
kdyby se to mělo, jak říkám, vykládat tak, že z komplexu obou
veličin M _-m, kde první je nekonečněkrát větší než druhá, by se tato
druhá směla prostě vynechat, i když by snad v postupu výpočtu
vypadla sama veličina M (například odečtením veličiny jí rovné):
pak teprve nepotřebuji dokazovat mylnost tohoto pravidla.
Řeknou však: tak to není míněno. Prohlásí-li se veličiny M
a M __m za rovné, nemíní se tím, že zaručují stejný výsledek,
jestliže do pokračujícího výpočtu vstupují nová spojení přičítáním
nebo odčítáním; nýbrž jejich rovnost spočívá jen v tom, že vedou
k stejným výsledkům, měříme-li je výslovně takovou veličinou iV,
která je s nimi stejného řádu a k jedné z nich, např. M, je v konečném
(tedy plně určitelném) poměru. To by vskutku bylo to nejmenší,
co bychom byli oprávněni požadovat k objasnění, že dvě veličiny
jsou si rovny. Splňují však M a M __ m alespoň to? Je-li jedna z nich,
např. M, v iracionálním poměru k míře iV, může se ovšem přihodit,
že při nejběžnějším měření najdeme k libovolně vysokému číslu q
jiné číslo p takové vlastnosti, aby platilo
p M ^p + l
« -V < S
M + m '
a může se stát, že také — zůstává stále v těchže mezích,
tj. že platí také
p M ± m p + 1
5 -V < q
M
Je-li však poměr -—• racionální: pak existuje takové q, pro něž
M__ p_
N ~ q
59
M + m . _ , • p . ..,,
a naproti tomu — je buď > nebo < — ; tu se projevuje rozdíl
těchto veličin dokonce ve srovnání s pouhými čísly (konečnými
veličinami). Jak by se pak mohly nazývat stejnými?
§36
Aby takovým kontradikcím zabránili, utíkají se mnozí matematikové
podle vzoru E u l e r o v a k výkladu, že nekonečně malé veličiny
jsou skutečně p o u h ý m i nulami, kdežto nekonečně velké veličiny
jsou podíly, vznikající z konečných veličin dělením pouhou nulou.
Tímto stanovením se víc než plně ospravedlnilo vymizení nebo
odpadnutí nekonečně malé veličiny, spojené přičítáním ke konečné
veličině; avšak tím nesnadnější bylo učinit pochopitelnou existenci
nekonečně velkých veličin, stejně jako možnost vzniku konečné
veličiny z, podílu dvou nekonečně malých či nekonečně velkých
veličin, a existenci nekonečně malých a velkých veličin vyšších
řádů. Neboť nekonečně velká veličina se tak objevila při dělení
nulou nebo při dělení výrazem, který je s ní ekvivalentní (a který
je vlastně bezpředmětnou představou), tedy způsobem, který je
početními zákony zakázán; avšak na všech oněch konečných nebo
i nekonečných veličinách, které vznikly dělením nekonečné veličiny
jinou nekonečnou veličinou, ulpěla skvrna nelegitimního zrodu zmno­
honásobená.
Co zdánlivě ještě nejspíše mluví pro správnost tohoto počítání
s nulami, je jistě způsob, jak se má určit hodnota veličiny y, závislé
na x, která má být určena rovnicí m
Fx
y = Фx
v tom zvláštním případě, když určitá hodnota x = a učiní buď
jen jmenovatele tohoto zlomku, nebo současně i čitatele i jmenovavatele
rovné nule. V prvním případě, když 0a = 0, avšak Fa
zůstává konečnou veličinou, usuzujeme, že y se stalo nekonečně
velkým. V druhém případě však, když jak 0a tak Fa = 0, uzaví-
60
ráme, že oba výrazy @x a Fx obsahují jednou nebo vícekrát činitele
tvaru (x — a), a že tedy musí mít formu
0x = (x — a)m
. tpx; Fx = (x — a)n
.fx:
kde ovšem cpx nebo fx mohou představovat i konstantu. Je-li nyní
m > n, uzavíráme, že také po odstranění společných činitelů jme-
Fx
novatele a čitatele, kterým se hodnota zlomku • nemění, bude
jmenovatel ještě stále pro x = a nulou a setrváme tak při tvrzení,
že hodnota x = a by dávala nekonečně velké y. Je-li však m = n,
r
považujeme veličinu, kterou vyjadřuje — — , za pravou hodnotu j ,
Fx fx
protože musí platit —--— = — — . A ie-li konečně m <.n- uzaví-r r
0x cpx J
ráme, že hodnota x = a učiní veličinu y nulou, protože nyní se stane
Fx _ (x — a)n
-m
.fx
0X (pX
pro x = a nulou.
O tomto postupu soudím tolik. Je-li hodnota y9 příslušná k x = a,
prohlášena v uvedených případech za nekonečně velkou: pak to
může být zřejmě tehdy a jen tehdy náhodou pravda, náleží-li y
k druhu těch veličin, které také mohou být nekonečně velké;
avšak při tom zůstává v platnosti, že tento výsledek, vyžadující
zde dělení nulou, nevyplývá z daného výrazu. Ze samotné okolnosti,
že se hodnota y prohlásí za trvale totožnou s hodnotou, udávanou
Fx "
výrazem —-r— , se dá usuzovat na vlastnosti veličiny y jen při všech
oněch hodnotách x, při nichž onen výraz představuje skutečnou
veličinu, nikoli však při těch hodnotách #, kdy je tento výraz bezpředmětný;
jak tomu je, když jeho jmenovatel, nebo jen jeho čitatel,
nebo dokonce oba jsou nulou. Jistě se dá říci, že v zmíněném prvním
případě, kde jen @x = 0, se y stane větší, a ve druhém případě,
kde jen Fx = 0, sey stane menší než jakákoli daná veličina,
Fx
konečně v třetím případě, kde —— obsahuje stejný počet faktorů
бi
tvaru (x — a) v čitateli i jmenovateli, blíží se y libovolné těsné
k hodnotě —— , jestliže se x blíží libovolně těsně k hodnotě a: avšak
cpa J
z toho všeho neplyne nic pro povahu této hodnoty tam, kde výraz
Fx
——je b e z p ř e d m ě t n ý , tj. nepředstavuje vůbec žádnou hodnotu,
protože nabývá bud formy samotné 0 nebo formy — nebo dokonce
formy — . Neboť věta o rovnosti hodnot dvou zlomků, z nichž jeden
se liší od druhého jen vypuštěním společného činitele, obsaženého
v čitateli i jmenovateli, platí jistě ve všech případech, jen v tom
ne, kdy je tento čitatel nulou; protože jinak tímtéž právem, kterým
2 . 0 2
bychom chtěli tvrdit, že i^—z
=
~ň~ -> b y
s e t a
k é mohlo tvrdit,
o . u o
2
že libovolná veličina, např. 1000 = — . Neboť jistě platí jak
o
2 0
300 . 0 = 0, tak také 2 . 0 = 0. Když se tedy smí položit *
3 . 0
= — , smí se také položit
ó
2 x (3000 . 0) _ (2 . 3000) . 0 ___ 2 . 3000 _
3 x (2 . 0) " (3 . 2) . 0 3T2~" "
Chybný závěr, který tu bije do očí, byl dříve jen proto méně
nápadný, že se dělení činitelem (x — a), ekvivalentním nule, provádí
ve formě, která tuto nulovou hodnotu zakrývá. A protože
odstranění tohoto činitele je v každém jiném případě dovoleno,
předpokládáme tím důvěřivěji, že si je můžeme dovolit v tomto
případě, neboť hodnota pro y, která se objeví, vyjde právě tak,
jak ji domněle oprávněně očekáváme; vyjde totiž přesně tak, jak
to vyžaduje zákon spojitosti, je-li hodnotou konečnou; vyjde
nula, jestliže nejbližší hodnoty ubývají až k nule, a vyjde nekonečně
velká hodnota, jestliže nejbližší hodnoty rostou do nekonečna. Avšak
přitom se zapomíná, že zákonem spojitosti se neřídí všechny pro-
62
měnlivé veličiny, dále, že veličina, která se stane libovolně malou,
přiblíží-li se x hodnotě a libovolně blízko, nemusí ještě proto být
nulou při x = a; a že právě tak, roste-li do nekonečna, když x
se blíží hodnotě a, nemusí se stát pro x = a opravdu nekonečnou.
Zejména v geometrii je nesčíslně mnoho veličin, které neznají žádný
zákon spojitosti, například velikosti čar a úhlů, jež slouží k určení
obvodů a povrchů mnohoúhelníků a mnohostěnů, a mnohé jiné.
§37
Ačkoliv můžeme dosavadnímu podání n a u k y o n e k o n e č n u
vytknout tolik závažných nedostatků, a domnívám se, že nikoli
neprávem; přece je známo, že dostaneme většinou zcela správné
výsledky, řídíme-li se s náležitou obezřetností pravidly, která
jsou obecně zavedena pro počítání s nekonečnem. Takové výsledky
by nikdy nemohly vycházet, kdyby neexistoval způsob, jak tuto
početní metodu pojmout a jak s ní pracovat, který je vskutku
bezvadný; a rád věřím, že to byl v podstatě tento způsob, který
tanul na mysli bystrým objevitelům oné metody, ač nebyli ještě
současně schopni vyložit své myšlenky o tom se vší zřetelností;
což se v obtížných případech zdaří obvykle až po opětovaných
pokusech.
Budiž mi tedy dovoleno, naznačit zde jen v několika málo obrysech,
jak se musí podle mého mínění tato početní metoda pojímat,
aby se dala dokonale ospravedlnit. Postačí pohovořit o postupu,
který pozorujeme u tak zvaného diferenciálního a integrálního
počtu, neboť metoda počítání s nekonečně v e l k ý m vyplyne
z toho již snadno pouhým protikladem, zejména po tom
všem, co již vykonal Cauchy.
Nepotřebuji tu vůbec tak omezující podmínku, která by jinak
byla jistě považována za nutnou, že veličiny, s nimiž se počítá,
se mohou stát n e k o n e č n ě malými; což je omezení, kterým jsou
z oblasti této početní metody předem vyloučeny všechny ohraničené
veličiny časové a prostorové, také všechny síly ohraničených
substancí, tedy v podstatě všechny veličiny, na jejichž určení nám
právě nejvíce záleží. Nepožaduji nic jiného, než aby tyto veličiny
63
měly svou d e r i v o v a n o u funkci (unefonction derivée podle výkladu
Lagrageova), pokud jsou p r o m ě n n ý m i , závisejícími na jedné
nebo více jiných veličinách, ne však volně proměnnými, a to, aby
ji měly i když ne pro všechny hodnoty své p r i m i t i v n í funkce,
tedy. alespoň pro všechny takové hodnoty, kde se má výpočtu
platně užít. Jinými slovy, označuje-li x jednu z volně proměnných
veličin a y = fx veličinu na ní závislou: pak, má-li náš výpočet
dát správný výsledek pro všechna x, ležící uvnitř intervalu x = a
a x = 6, musí y záviset na x tak, že pro všechny hodnoty x, ležící
uvnitř a a b podíl
Ay = f(x+ Ax) -fx
Ax Ax
vzniklý dělením přírůstku y příslušným přírůstkem x, se libovolně
blíží buď konstantní veličině, nebo veličině /'#, závislé pouze na x,
vezmeme-li jen Ax dostatečně malé, a potom zůstává ještě stále
tak blízko nebo se přiblíží ještě více, učiní-li se Ax ještě menší*).
Je-li dána rovnice mezi x a y, je obecně známou a snadnou věcí,
nalézt tuto derivaci y. Kdyby např.
f = ax2
+ a3
(1)
měli bychom pro každé Ax, pokud jen není nulou,
(y + Ayf = a(x + Ax)2
+ a3
(2)
odkud vyplývá podle známých pravidel
Ay 2ax + a Ax
Ax 3y2
+ 3y Ay + Ay2
2ax Say2
Ax — 6axyAy — 2ax Ay2
(3)
3y? ' 9y*+9fAy + 3y2
Ay2
A hledaná derivace y nebo (podle Lagrangeova označení) yf
2ax
by byla
to jest funkce, která vznikne z výrazu
З j
2
'
Ay
Ьм
*) Dá se ukázat, že všechny závisle proměnné veličiny, jsou-li jen vůbec
určitelné, musí být vázány tímto zákonem tak, že výjimky z něho, i když
v nekonečném množství, mohou nastat vždy jen pro osamocené hodnoty
jejich volných proměnných.
64
když po příslušném jeho rozvinutí, při němž totiž v čitateli i jmenovateli
oddělíme členy, násobené Ax nebo Ay od ostatních, tedy
ve výrazu
2ax + aAy
3j- + 3jAy + Ay
2
položíme obojí, jak Ax tak Ay = 0.
Nepotřebuji říkat, jak mnohonásobný užitek dává objev této
derivace; jak se pomocí takové derivace dá vypočíst každý konečný
přírůstek y, odpovídající konečnému přírůstku x; a jak se také
dá určit původní funkce fx až na konstantu, je-li opačně dána jen
derivace/'^.
Protože však, jak bylo právě poznamenáno, obdržíme derivovanou
funkci závislé veličiny y vzhledem k její proměnné x, jakmile položíme
ve výrazu
Ay
Ax
jak Ax, tak Ay ----- 0, když byl předtím tak rozvinut, aby ani Ax
ani Ay se neobjevilo jako dělitel; nemusilo by jistě být tak nevhodné,
označit derivaci třeba takto:
dy
d* '
když přitom prohlásíme, že na jedné straně všechna A#, Ay
Ay
vyskytující se v rozvoji • •, anebo ovšem d#, dy psaná místo
i\x
nich, máme považovat za pouhé nuly a tak s nimi zacházet;
dy
na druhé straně však, že znak TT~~ s e m
^ chápat nikoli jako
podíl dy a d#, nýbrž právě jako symbol derivace y podle x.
Je jasné, že proti takovému postupu již nemůže být vznesena
námitka, že**by připouštěl takové poměry veličin, které vůbec neexistují
(nula k nule); neboť nechceme ono označení brát na vědomí
nijak jinak, než jako pouhý snak,
65
Právě tak bezvadné bude i dále, když d r u h o u derivaci y podle x9
tj. tu veličinu, závislou pouze na x9 (nebo snad také pouhou konstantu),
které se podíl
A
2
y
A*2
libovolně blíží, jakmile jen můžeme vzít také Ax libovolně malé,
označíme d*2
a vyložíme tak, že považujeme veličiny Ax2
, A2
y, vyskytující se
.. A2
y
v rozvoji 2
, za pouhé nuly a tak s nimi také zacházíme, avšak
nesmíme vidět ve znaku 2 dělení nuly nulou, nýbrž jen symbol
. A2
y
funkce, ve kterou přechází rozvoj -r~ po změně právě požadované.
dy d2
y
Jestliže již předpokládáme, že znaky ------ , --z~, . . . mají tento
význam, můžeme přísně dovodit, že každá proměnná veličina, závisející
stanovitelným způsobem na jiné volné proměnné x9
y=fx
je nanejvýš s výjimkou určitých izolovaných hodnot veličin x a Ax
vázána, rovnicí
r, , A x r '. A
d
fx
• A*2
d2
/* , Ax3
d8
/* .
/(,+ A,)=/,+ A , . ^ + ^ . ^ + T
- T
^ ^ +
A*» d*/(*+l*A*),
+ •••» +1 . 2 . . . n * d*
n
kde Џ < 1.*)
*) Důkaz této věty, a to pro každý druh závislosti y na re, lhostejno, zda je nám
známa a lze ji popsat dosavadními znaky či ne, byl autorem již dávno napsán
3 bude snad co nejdříve uveřejněn.
V.
66.
Nikomu není neznámo, jak mnohé důležité pravdy obecné nauky
o veličinách (zejména takzvané vyšší analýzy) mohou být zdůvodněny
touto jedinou rovnicí. Avšak i v užité nauce o veličinách,
v nauce o prostoru (geometrii) a v nauce o silách (statice, mechanice
atd.) razí tato rovnice cestu k řešení nejtěžších problémů, např.
rektifikace čar, komplanace ploch, kubatury těles, aniž by tu bylo
třeba jakéhokoli sporného předpokladu, že něco je nekonečně malé,
ani jiného domnělého principu, jako je známý archimedovský
a mnohé jiné.
Je-li však dovoleno napsat rovnice takového druhu, jako je např.
formule pro rektifikaci křivek v pravoúhlé souřadné soustavě
đs
dл; -YFWFMve významu dříve vysvětleném: pak bude též možné, aniž bychom
se vydali v nebezpečí omylu, napsat rovnice takového druhu, jako
je třeba tato:
d(a + bx + c*2
+ d*3
+ . . . ) = bd# + 2c#d:x; + 3d*2
da; + . . .;
ds
2
= d*
2
+ dy
2
+ dz
2
;
nebo, označuje-li r poloměr kružnice křivosti u křivky s jednoduchou
křivostí
ds3
r = r-c -— ; a mnohé iiné,
dry . dx
kde stále pokládáme znaky d#, dy, d*, ds, d
2
y atd. ne za znaky
skutečných veličin, nýbrž spíše za znaky rovnocenné nule, a na celou
rovnici se nedíváme jinak, než jako na k o m p l e x znaků, k t e r ý
je t a k u t v á ř e n , že se n i k d y neobjeví n e s p r á v n ý výsledek
— p o k u d s nimi p r o v á d í m e pouze t a k o v é změny,
k t e r é dovoluje algebra u všech znaků s k u t e č n ý c h veličin
(zde tedy také dělení dx apod.) — jestliže se n a k o n e c p o d a ř í ,
aby n á m z n a k y dx, dy, atd. v y m i z e l y na obou s t r a n á c h
rovnice.
Lze lehko pochopit, že tomu tak je a že tomu tak musí být. Neboť
je-li např. rovnice
67
ds
d# -VN-žflbezvadná: jak by neměla být bezvadná i rovnice
ds2
= dx2
+ d/y2
;
když se dá právě uvedeným postupem okamžitě odvodit z této
rovnice i rovnice předchozí?
Je konečně nasnadě, že nemůže vést k žádnému omylu, jestliže
v nějaké rovnici, obsahující znaky d#, d/y, . . ., vypustíme pro zkrácení
postupu všechny ty sčítance, o kterých víme předem bezpečně,
že na konci výpočtu odpadnou jako veličiny ekvivalentní nule.
Tak můžeme zpozorovat ihned, dostaneme-li se např. nějakým výpočtem
k rovnici (plynoucí z (1) a (2))
3j2
. Ay + 3y . Ay2
+ Af — 2axAx + a . Ax\
která nabude tvaru
3j2
. dy + 3y . d/y2
+ dy3
= 2axdx + ad*2
,
že přejdeme-li k znakům ekvivalentním s nulou, odpadnou v každém
případě nakonec sčítance, obsahující vyšší mocniny d/y
2
, d/y
3
, dx
2
a tak napíšeme Jtedy jen
3y
2
. dy = 2a*d#;
odkud pak ihned vyplývá hledaná derivace y podle x
dy _ 2ax
dx 3 j
2
Celý postup, abychom to ještě nakonec vyjádřili jedním slovem,
spočívá na principech zcela podobných těm, na nichž je založeno
počítání tak zvanými i m a g i n á r n í m i veličinami (které jsou pouhými
znaky, podobně jako naše d#, dy, . . .) anebo také zkrácená
metoda dělení, nalezená v novější době, a jiné podobné zkrácené
výpočty. Zde totiž postačí, právě tak jako tam, dokázat oprávněnost
postupu tím, že dáme zavedeným znakům
(^•lK-FMFih J ^ at
d.)
68
jen takový vyznám, a dovolíme si provádět s nimi jen takové změny,
že posléze j s o u obě s t r a n y rovnice co do své pravdivosti
p o k a ž d é e k v i v a l e n t n í , jestliže se t o t i ž na konci
objeví místo b e z p ř e d m ě t n ý c h z n a k ů t a k o v é znaky,
k t e r é označují s k u t e č n é veličiny.
§38
Obrátíme-li se k aplikované části nauky o veličinách, setkáme
se s prvním paradoxem v oblasti n a u k y o čase, a to v pojmu
času samého, pokud by měl mít povahu spojité rozlohy. Avšak
již odedávna doléhají na nás proslulé zdánlivé k o n t r a d i k c e ,
které lidé domněle nacházeli v pojmu kontinua jako spojité rozlohy
jak časové, tak prostorové, a dokonce materiální; že o nich budeme
uvažovat společně.
Bylo velmi dobře rozpoznáno, že vše, co má rozlohu, musí být
složeno z částí, jak to odpovídá jejímu pojmu; poznalo se dále,
že se bez bludného kruhu nedá vysvětlit podstata rozlohy složením
z takových částí, které již samy rozlohou mají; chtěli však nicméně
najít spor i v předpokladu, že rozloha vzniká z částí, které již samy
žádnou nemají, nýbrž jsou zcela jednoduché (časové okamžiky, body
v prostoru, atomy, tj. jednoduché skutečné substance ve vesmíru).
Když byla položena otázka, co je na tomto posledním výkladu
závadné, pravilo se jednou, že vlastnost, která chybí všem částem,
nemůže příslušet ani celku; jindy zase, že dva body, jak v čase,
tak v prostoru, a právě tak i dvě substance, mají mezi sebou nějakou
vzdálenost, a že tedy nikdy netvoří k o n t i n u u m .
Nemusíme však opravdu mnoho uvažovat, abychom rozpoznali
nesmyslnost těchto námitek. Vlastnost, která chybí všem částem,
že by neměla příslušet celku? Právě naopak! Každý celek má a musí
mít mnohé vlastnosti, které chybí částem. Automat má vlastnost
napodobit určité pohyby živého člověka tak, že nás to až klame,
avšak jednotlivé části, péra, kolečka atd. tuto vlastnost nemají. —
Že každé dva okamžiky jsou odděleny nekonečnou množinou okamžiků,
položených mezi nimi; že právě tak je mezi dvěma body
prostoru nekonečná množina bodů, jež jsou položeny mezi nimi,
09
a že dokonce v oblasti skutečna je mezi každými dvěma substancemi
nekonečná množina jiných — to ovšem je nutno připustit;
avšak jaký spor z toho plyne? Plyne z toho jen tolik, že pouhými
dvěma body, ba ani třemi, čtyřmi, a každou k o n e č n o u množinou
bodů se žádná rozloha nevytvoří. S tím vším jsme srozuměni, ba
dokonce jsme srozuměni i s tím, že ani nekonečná množina bodů
nepostačí vždy k vytvoření kontinua, např. jakkoli krátké čáry,
nemají-li tyto body současně příslušné u s p o ř á d á n í . Pokusíme-li
se totiž uvědomit si jasně pojem, který označujeme názvy „ s p o j i t á
rozloha nebo k o n t i n u u m " : neobejdeme se bez vysvětlení, že kontinuum
existuje tam, avšak také jen tam, kde existuje souhrn
jednoduchých předmětů (bodů v čase nebo prostoru nebo též jednoduchých
substancí), které jsou tak položeny, že každý jednotlivý
z nich má v tomto souhrnu souseda, a to v každé vzdálenosti, která
jen je dostatečně rnalá. Když tomu tak není, když je např. v daném
souhrnu prostorových bodů jen jeden jediný, který není tak hustě
obklopen sousedy, aby se dala prokázat existence souseda pro každou
vzdálenost — jen když je dostatečně malá: pak říkám, že tento bod
je osamocený (izolovaný) a že onen souhrn právě z tohoto důvodu
netvoří dokonalé kontinuum. Neexistuj e-li však v daném souhrnu
bodů ani jediný osamocený bod v tomto smyslu, má-li tedy každý
z nich v sebe menší vzdálenosti alespoň jednoho souseda: pak nezbývá
již nic, co by nás opravňovalo, abychom tomuto souhrnu
odepřeli název kontinua. Neboť co ještě bychom chtěli požadovat?
„Toto" bude odpověď, „ a b y ke k a ž d é m u bodu e x i s t o v a l
t a k o v ý , k t e r ý se ho přímo d o t ý k á ! " — Avšak tu žádáme
něco, co je zřejmou nemožností, co v sobě obsahuje spor. Neboť
kdy chcete říci, že se dva body dotýkají? Snad když hranice jednoho
(například jeho pravá strana) spadá v jedno s hranicí druhého (například
s jeho levou stranou)? Avšak body jsou j e d n o d u c h ý m i
částmi prostoru, nemají tedy žádná ohraničení, žádnou pravou
a levou stranu. Kdyby jeden měl pouze část společnou s druhým,
byl by s ním totožný; a kdyby měl mít vzhledem k němu něco odlišného,
musily by ležet vně sebe, a tedy by tu musil ještě být prostor
pro bod, který leží mezi nimi; ba dokonce tam musí být prostor
70
pro nekonečnou množinu bodů, protože o tomto středním bodu
platí vzhledem k oněm dvěma totéž.
„Avšak t o t o vše", jak se říká, „se nedá p o c h o p i t ! " Zajisté
že se to nedá pochopit pomocí prstů, nedá se to ovšem také vnímat
očima; avšak pozná se to rozumem, a to jako něco, co je nutně tak
a nemůže být jinak, takže vznikne spor až tehdy, když si to představujeme
jinak, nesprávně.
Přesto se pokračuje: „Jak je nepochopitelné představit si v nejkratší
čáře ještě nakupení nekonečně mnoha bodů, ba dokonce nekonečnou
množinu takových nakupení, což všechno musíme činit podle
běžného učení! Neboť musíme mít možnost, rozložit i tu nejkratší
cáru dokonce ještě v nekonečnou množinu jiných čar, když ji nejprve
rozložíme na dvě poloviny, potom tyto poloviny opět na poloviny a tak
stále bez konce!" — V celé této myšlenkové souvislosti nenacházím
nic mylného ani podivného, až na jediný výraz, totiž n e j k r a t š í
čáry, který si mnozí nechají uklouznout jen z nedostatku pozornosti,
protože taková čára neexistuje a nemůže existovat, a o té,
o které se tu právě uvažuje, se přímo říká, že může být rozložena
v kratší čáry. Každá nekonečná množina, a to nejen bodů samotné
čáry, ^e dá rozložit v části, které samy obsahují nekonečné množiny,
ba dokonce se dá rozložit v nekonečně mnoho takových částí.
Neboť znamená-li co nekonečnou množinu, ísou také ----, -7-, -T-T- • • ••
J
2 4 8
n e k o n e č n é množiny. Tak je to obsaženo v pojmu nekonečna.
„Ale jaký smysl" (odvážil by se nakonec říci ten, komu by se dosavadní
objasnění snad přec jen nejevila po delší úvaze uspokojivá)
„máme dát tvrzení těch matematiků, kteří sami vykládají, že rozloha
se nedá vytvořit žádným, byť sebe větším nahuštěním bodů a že se
nedá rozkladem na sebe větší množinu částí rozebrat až na jednotlivé
body?" — Přísně řečeno, mělo by se ovšem na j e d n é s t r a n ě učit,
že konečná množina bodů nevytvoří nikdy rozlohu a nekonečná
množina bodů jen tehdy, potom však vždy, je-li splněna víckrát
již zmíněná podmínka, že totiž každý bod má pro každou dostatečně
malou vzdálenost určité sousedy; přitom by se však na d r u h é
s t r a n ě mělo přiznat, že také ne každý rozklad daného prostorového
předmětu dospívá až k jednoduchým částem, zejména že k nim
71
nedospěje žádný rozklad na takové části, jejichž množina by byla
konečná, ale ani ne každý takový rozklad, který pokračuje do nekonečna
(např. pokračujícím půlením), jak jsme viděli předtím. Musíme
nicméně trvat na tom, že žádné kontinuum nemůže nakonec vznikat
z ničeho jiného, než z bodů a zase jen z bodů. A obojí je velmi dobře
slučitelné, jen když se to správně pochopí.
§39
Předem lze očekávat, že vlastnosti oné spojité rozlohy, kterou
je čas, budou ještě budit zvláštní pohoršení. Nauka o čase musila
především poskytnout vítanou látku zvláště těm filosofům, kteří
tak jako skeptikové se zaměřili zejména na to, aby lidské pojmy
jen popletli a našli zdánlivé spory, místo toho, aby je ozřejmili.
Zmíním se tu však jen o tom nejdůležitějším, poněvadž ne vše,
co se v té věci uvádělo, se týká pojmu nekonečna.
Kladla se otázka, zda je čas něčím s k u t e č n ý m , a když, zda
je substancí nebo adherencí, a v prvním případě zda je stvořen či
ne? „Platí-li ono" mínili, „musí mít začátek á jistě také jednou
skončí, musí se tedy měnit, a tedy potřebuje opět jiný čas, v němž
by se měnil. Ještě nesmyslnější je, prohlašovat čas za s a m o t n é h o
boha, nebo za adherenci, která na něm tkví. Jisto je také, že se
stavěl čas proti věčnosti; čím ta je? Jak je možné, že v jediné,
§ebe kratší chvilce, je obsažena nejen nekonečná množina okamžiků,
nýbrž dokonce celých časových i n t e r v a l ů , např. v jediném
mžiknutí oka, od něhož má každá jednoduchá část času název
okamžiku? Avšak ve skutečnosti (jak řekli nakonec) ž á d n ý čas
není! Neboť čas, který minul, tu již není, zřejmě protože již prošel;
budoucí čas však ještě nyní nenastal, protože je teprve budoucí;
a konečně, co je přítomno, není ničím jiným než p o u h ý m okamžikem
v nejpřísnějším smyslu toho slova, který nemá žádné t r v á n í ,
a proto nemá také žádné nároky na název času."
Ve smyslu mých pojmů není ovšem čas ni c s k u t e č n é h o ve vlastním
smyslu slova, kdy skutečnost přisuzujeme jen s u b s t a n c í m
a jejich silám. Nepovažuji jej tedy ani za samotného boha, ani
za stvořenou substancis
~ani za a d h e r e n c i jak na bohu, tak na nějaké
72
stvořené substanci anebo jejich souhrnu. Proto právě není také
ničím proměnlivým, ale spíše tím, v čem se veškerá změna děje.
Řekneme-li opak, jako v přísloví: časy se mění, pak se tu časem
rozumějí pouze věci a jejich stavy, jak bylo již dávno připomenuto.
Sám čas, abychom to teď podrobněji uvedli, je tím určením, vyskytujícím
se na každé (proměnné, nebo což je totéž) závislé substanci,
jehož představu musíme připojit k představě této substance, abychom
jí mohli pravdivě přisoudit jednu ze dvou sobě odporujících
vlastností, b a non-6, a druhou odmítnout.
Přesněji vzato je určení tu zmíněné j e d i n o u j e d n o d u c h o u
částí času, časovým bodem nebo okamžikem, v němž si musíme
představit substanci x, které chceme připsat jednu ze dvou sobě
odporujících vlastností b a non-6; takže náš výrok musí vlastně
znít: x v okamžiku t má buď vlastnost b nebo non-6. Za předpokladu,
že tento můj výklad pojmu okamžiku bude uznán správným, mohu
jasně udat co je sám čas, a to veškerý čas neboli věčnost, totiž
ten celek, jemuž náležejí všechny okamžiky jako části (díly). A každý
k o n e č n ý čas, tj. každé trvání, obsažené mezi dvěma okamžiky,
neboli časový i n t e r v a l , vyložím jako souhrn všech okamžiků,
které leží mezi oněmi hraničními. Podle těchto výměrů není tedy
žádný rozdíl mezi časem a věčností, rozumíme-li jimi ovšem čas
vcelku, v obou směrech bez konce, a ne (jak se často děje) čas omezený,
konečný. Je ovšem jistě velký rozdíl, jak v tomto čase existuje
bůh a jak v něm existují proměnlivé nebo stvořené bytosti. Ty existují
v čase, měníce se v něm, kdežto bůh je v každé době týž, naprosto
neproměnný. To dalo podnět, aby sám byl nazván věčným, kdežto
ostatní bytosti, jeho výtvory pomíjejícími. — Může být ovšem
těžkou úlohou pro naši fantazii, vymalovat si ve smyslovém obrazu
to, že již každá sebe kratší chvilka, jako je mžiknutí oka, obsahuje
nekonečnou množinu celých časových intervalů; ale stačí, pochopí-li
to r o z u m a pozná-li to jako něco, co. vůbec jinak nemůže být.
Z pojmu času, jak jej zde nastiňujeme, se dá poznat i sám jeho
objektivní základ; ale jeho rozbor by tu zabíhal příliš daleko. Nesmyslné
by bylo jen to, kdybychom tvrdili, že kratší doba má tutéž
množinu okamžiků jako delší doba, anebo že nekonečně mnohá
73
časovým intervalům, na něž je možno rozdělit kratší dobu, přísluší
stejná délka jakou by měly v nějaké delší době.
Konečně klamný zvěr, který chce úplně zničit realitu pojmu času,
je tak zřejmý, že jeho vyvrácení sotva vyžaduje jediného slova.
Přiznávám ovšem, že čas není nic existujípího a proto ovšem nemá
existenci ani cas minulý, ani cas budoucí; neboť nemá ani současnou
existenci: avšak jak z toho má plynout, že cas není ničím? Což
nejsou věty a pravdy o sobě — ničím, ač by nikomu nenapadlo
tvrdit, že jsou něčím existujícím— nezaměňujeme-li je ovšem
za skutečné myšlenky nebo soudy, pochopené vědomím myslící
bytosti?
§40
Pokud jde o paradoxy v n a u c e o p r o s t o r u , je známo, že lidé
ani prostor neuměli vysvětlit; že jej často považovali také za něco
existujícího, často jej zaměňovali za substance, které jsou v něm,
často jej pokládali dokonce za samotného boha, přinejmenším zajeden
atribut božství; že i veliký N e w t o n přišel na myšlenku, prohlásit
prostor za domnělé pocitové středisko božství: že připouštěli často
nejen p o h y b substancí, nacházejících se v prostoru, nýbrž i prostoru
samého, tj. změnu polohy jeho míst; že podle jejich domnělého
objevu (počínajíc D e s c a r t e s e m ) neexistují v prostoru všechny
substance, nýbrž jen tak zvané materiální: až posléze K a n t připadl
na ten nešťastný nápad, který po něm ještě mnozí papouškují,
že se nemá ani prostor, ani čas pokládat vůbec za něco objektivního,
nýbrž za pouhou (subjektivní) formu našeho názoru; že byla
od té doby kladena otázka, zda jiné bytosti nemají jiný prostor,
např. o dvou nebo čtyřech rozměrech; že konečně nás chtěl Herb
a r t mimo to obdařit dvojitým prostorem, tuhým a spojitým, a právě
takovým dvojitým časem. O tom všem jsem se již vyslovil na jiných
místech.
Prostor, podobně jako čas, není pro mne ž á d n o u v l a s t n o s t í
substancí, nýbrž pouze jejich určením, a to takovým, že nazývám
místy, na nichž jsou stvořené substance, ta jejich určení, která
odůvodňují, proč tyto substance při svých vlastnostech vyvolávají
vespolek v určité době právě takové a ne jiné změny, a souhrn
74
všech míst pak nazývám prostorem, úplným prostorem. Tento
výklad mi umožnil odvodit o b j e k t i v n ě nauku o prostoru z nauky
o času, tedy např. ukázat, že prostor má tři rozměry a proč je má,
jakož i mnoho jiného.
Domnívám se tedy, že nemusím dále mluvit o paradoxech, které
se hledaly již v pojmu prostoru, v oné p ř e d m ě t n o s t i , kterou má
mít, ačkoli není ničím skutečným, v nekonečné množině jeho částí
a v spojitém celku, který tyto části spolu vytvářejí, přestože se ani
dvě z těchto jednoduchých částí (bodů) spolu nedotýkají, a že mohu
tyto zdánlivé spory pokládat za vyřízené.
První, co ještě potřebuje podrobnější vysvětlení, by jistě mohl
být pojem velikosti prostorové rozlohy. Není sporu o tom, že každá
rozloha má velikost; také v tom jsou lidé jednotní, že veličiny,
které se vyskytují ve t ř e c h prostorových rozměrech, se dají určit
jen poměrem k jedné z nich, zvolené libovolně za j e d n o t k u míry,
a to právě tak jako u časové rozlohy; rovněž, že tato rozloha, přijatá
za jednotku, musí být téhož druhu, jako je rozloha jí měřená, tedy
u čáry čára, u ploch plocha, u těles těleso*).
Ptáme-li se nyní, v čem vlastně spočívá to, co nazýváme velikostí
prostorové rozlohy, pak, poněvadž taková rozloha se neskládá
z ničeho jiného než z bodů, které jsou uspořádány podle určitého
pravidla, kdežto u veličiny se nikdy nemá přihlížet k uspořádání,
nýbrž jen k množině částí — mohli bychom být velmi nakloněni
k závěru, že pod velikostí každého prostorového předmětu si myslíme
právě tuto m n o ž i n u bodů; jak se to zdá potvrzovat sám název,
když velikost plochy nebo tělesa nazýváme přímo obsahem tohoto
prostorového předmětu. Avšak podrobnější úvaha ukazuje, že tomu
*) Nebude snad mnohým nemilé, přečíst si tu příležitostně výklad těchto tří
druhů prostorových rozloh. Připustí-li se správnost výměru rozlohy
vůbec, podaného v § 38(má tu přednost, že se dá zobecnit snadným rozšířeními
na ty veličiny obecné n a u k y o veličinách, které nazýváme spojitě
proměnnými), pak říkám, že prostorová rozloha je j e d n o d u c h á nebo
že je čárou, když každý'bod pro každou dostatečně malou vzdálenost má
jednoho nebo více sousedů, avšak v žádném případě ne tolik, aby jejich souhrn
byl sám o sobě již rozlohou; říkám dále, že prostorová rozloha je dvojnásobná,
nebo že je plochou, má-li kaž ý bod pro každou dostatečně
malou vzdálenost za své sousedy celou čáru bodů; říkám konečně, že prostorová
rozloha je trojnásobná, nebo že je tělesem, má-li každý bod pro
každou dostatečně malou vzdálenost za své sousedy celou plochu.
75
tak není. Neboť jak bychom jinak mohli předpokládat, což přece
obecně a bez pochybností činíme, že se velikost prostorového předmětu,
např. krychle, v nejmenším nezmění, ať připočteme jeho
ohraničení (povrch), zde tedy povrch krychle (který sám již má velikost)
k jeho obsahu či ne? A tak nesporně postupujeme, když např.
shledáme, že velikost krychle o straně 2 je osmkrát větší než krychle,
jejíž strana je = 1, bez ohledu na to, že první krychle má o 12 čtvercových
stěn velikosti = 1 méně než oněch osm krychlí druhých,
neboť sestavíme-li je do jediné krychle, odpadne z 24 čtverců jejich
povrchu polovina, totiž ty, které přijdou do vnitřku krychle. Z toho
tedy vyplývá, že si vlastně pod velikostí prostorové rozlohy, ať je to
čára, plocha nebo těleso, nemyslíme nic jiného, než veličinu, která
je odvozena podle takového zákona z rozlohy téhož druhu, přijaté
za jednotku a stejného druhu jako je veličina, která se má měřit,
že když se jím řídíme a odvodíme pro část M veličinu m, a pro část N
veličinu n, obdržíme podle téhož zákona pro rozlohu, vytvořenou
spojením částí M a N9
veličinu m -\- n9
lhostejno, zda vezmeme
nebo nevezmeme v úvahu hranice, které mají M a N i celek M -f- N9
z nich sestavený. Ve spise, o němž byla již zmínka v § 37, je ukázáno,
že se z tohoto pojmu dají vskutku odvodit nejobecnější formule
nauky o prostoru, podávající výpočet délky cáry, výpočet plochy
a obsahu, aniž by ještě bylo třeba nějakého jiného předpokladu,
zejména aniž by bylo třeba principů, označených nesprávně jako
Archimedovy.
§41
Opírajíce se o dosavadní výklady, můžeme nyní vytknout takové
věty, jako jsou následující, ať se zdají být pro běžnou představu
jakkoli paradoxní, a to bez obav, že by nás někdo obvinil ze sporu.
1. Souhrn všech bodů, které leží mezi body a a 6, představuje
jednoduchou rozlohu neboli cáru; avšak i když k ní budeme počítat
body a a 6, takže je pak omezenou přímkou, i když k ní nebudeme
počítat jeden hraniční bod nebo druhý, nebo též óba, takže je pak
neohraničená, má v každém případě tutéž délku jako předtím. Právě
proto nemá žádná z takových neohraničených přímek na té straně,
76
kde jí chybí hraniční bod, ani žádný nejvnějšnější (nejvzdálenější)
bod, nýbrž za každým je ještě vzdálenější, ač jejich vzdálenost zůstává
stále konečná.
2. Obvod trojúhelníka abc se dá sestavit za prvé z přímky a&,
ohraničené na obou stranách, za druhé z přímky ac^ ohraničené
jen na jedné straně bodem c, a za třetí z přímky &c, pa obou stranách
neohraničené; jeho délka je však rovná součtu tří délek a&, &c, a ca.
3. Představíme-li si, že přímka az je bodem & půlena, úsek bz
že je znovu půlen bodem c, cz že je opět půleno bodem d, a že se
tak postupuje neomezeně dál; a předpokládáme-li, že si odmyslíme
ze souhrnu bodů, ležících mezi a a z těchto nekonečně mnoho půlících
bodů &, c, d, . . . a bod z sám: pak ještě stále zasluhuje souhrn zbývajících
bodů názvu čáry a její velikost bude táž jako předtím. Počítáme-li
však z k souhrnu, nemůže se již celek nazvat spojitou rozlohou;
bod z stojí totiž osamoceně, poněvadž pro něj neexistuje žádná
sebemenší vzdálenost, o níž by se dalo říci, že má v této vzdálenosti
a každé menší v tomto bodovém souhrnu souseda. Pro všechny
vzdálenosti, které spadají pod tvar chybí totiž k z soused.
4. Rovná-li se vzdálenost bodů a a & vzdálenosti bodů a a /?,
pak musí být připuštěno i to, že množina bodů mezi a a & je rovna
množině bodů mezi a a j8.
5. Rozlohy, které mají stejnou bodovou množinu, mají také stejnou
velikost, opačné však nemusí mít stejně mnoho bodů dvě
rozlohy, které mají stejnou velikost.
6. U dvojice prostorových útvarů, které jsou si zcela podobny,
musí být množiny jejich bodů v tomtéž poměru jako jejich velikosti.
7. Je-li tedy poměr velikostí dvou zcela podobných prostorových
útvarů iracionální; je také poměr mezi množinami jejich bodů
iracionální. Existují tedy m n o ž i n y (ovšem pouze nekonečné),
jejichž p o m ě r má libovolnou i r a c i o n á l n í h o d n o t u .
- §42
Z těchto vět, jejichž počet (jak vidíme) by se dal snadno zvětšit,
došla v matematických spisech až dosud pozornosti jen šestá věta,
77
pokud vím; avšak jenom v podobě věty, která vyslovuje její kontradiktorický
opak, že totiž p o d o b n é cáry, ať se liší j a k k o l i
ve svých v e l i k o s t e c h , obsahují n i c m é n ě stejnou m n o ž i n u
bodů. To tvrdil Dr. J. K. Fischer („Grundriss der gesamten
hoheren Mathematik," Leipzig 1809, díl II. § 51, pozn.) zejména
o podobných a soustředných kruhových obloucích, a připojil důvod,
že se dá každým bodem jednoho z nich vést poloměr, který prochází
bodem druhého oblouku. Jak známo, zabýval se tímto paradoxem
již Aristoteles. Povaha Fischerova závěru prozrazuje zřejmě
názor, že dvě množiny si musí být rovny, i když jsou nekonečné,
jakmile je možno každou část jedné z nich spojit s částí druhé z nich
ve dvojici. Po odkrytí tohoto omylu není vůbec třeba dále vyvracet
toto učení, z něhož dokonce není ani patrno, proč bychom musili
toto tvrzení o stejných bodových množinách omezovat právě jen
na kruhové oblouky, jež leží soustředně a jsou podobné, poněvadž
by se dal uvést stejný důvod i pro všechny přímé čáry a pro čáry
nejrozmanitějších druhů, jež si rozhodně nejsou podobné.
§43
Ti kteří vyučovali nauce o prostoru, hřešili sotva častěji proti
nějaké její pravdě než proti té, že k a ž d á v z d á l e n o s t mezi
dvěma b o d y v p r o s t o r u , a t e d y každá o b o u s t r a n n ě ohraničená
p ř í m k a , je pouze konečná, tj. že je ke každé jiné
v poměru, který se dá přesně určit pouhými pojmy. Neboť sotva
existuje geometr, který by občas nemluvil o n e k o n e č n ě velkých
vzdálenostech a nenechal velikost přímky, která přece má na obou
stranách své hraniční body, vzrůstat za určitých okolností do nekonečna.
Stačí nám na příklad poukázat na onu známou dvojici čar,
které se nazývají tangentou a sekantou úhlu nebo oblouku v geometrickém
smyslu slova. To má být podle výslovného vysvětlení
dvojice přímých čar, které jsou na obě strany ohraničeny; a jak
přece je málo těch, kteří by byli na pochybách učit, že pro pravý
úhel jsou i tangenta i sekanta nekonečně velké. Budeme však
za toto falešné učení okamžitě potrestáni rozpaky, do nichž se dostaneme
tehdy, máme-li udat, zda se mají tyto dvě nekonečné veličiny
78
považovat za k l a d n é nebo záporné? Neboť týž důvod, který
by mohl být uveden j)ro jedno, mluví zřejmě také pro druhé; protože
přímka, probíhající středem kružnice rovnoběžně k její tečně, má,
jak známo, k oběma stranám této tečny zcela týž vztah, a proto
se s ní stýká právě tak málo na jedné straně jako na druhé. Také
výraz pro velikost obou těchto car — nedává ani ten nejmenší důvod,
prohlásit tuto domněle nekonečnou veličinu spíše za kladnou, než
za zápornou, protože nulu nelze považovat ani za kladnou, ani
za zápornou. Není tedy jen paradoxní, nýbrž dokonce zcela falešné
předpokládat existenci nekonečně velké tangenty pravého úhlu
a právě tak všech úhlů tvaru
±nn + — .
Jen příležitostně budiž připomenuto, že také pro úhel = 0 nebo
= -J- n . 7C neexistuje přísně řečeno ani sinus ani tangens. Rozdíl
těchto dvou předpokladů je pouze v tom, že se při druhém z nich
nedostaví žádný falešný výsledek, pohlížíme-li na součiny jako
na neexistující v těch případech, kde tyto výrazy pro veličiny
vystupují jako činitelé, avšak tam, kde tyto výrazy vystupují
jako dělitelé, soudíme, že výpočet požaduje cosi nezákonného.
§44
Právě tak neoprávněný byl postup, který však naštěstí našel
méněnapodobitelů, jímž chtěl Joh. Schulz počítat velikost celého
n e k o n e č n é h o prostoru, když pokládal za oprávněné soudit
z okolnosti, že každým bodem a mohou být vedeny přímky do nekonečna
na všechny strany, tj. v každém směrur který se jen vůbec
vyskytne, a z další okolnosti, že každý bod m, který si jen lze ve vesmíru
myslit, musí ležet na jedné a jen jedné z těchto car, že můžeme
závěrem považovat celý nekonečný prostor za kouli, která by byla
opsána z libovolně zvoleného bodu a poloměrem o velikosti = co;
z čehož mu okamžitě plynulo, že celý nekonečný prostor má přesně
4
velikost jen — TCOO3
.
o
79
Byla by to bezpochyby jedna z nejdůležitějších pouček vědy
o prostoru, kdyby se dala pravdivost tohoto výsledku ospravedlnit.
A proti oběma premisám (které jsem tu však nepodal právě přesně
podle Schulze, protože jsem neměl před sebou jeho přednášky)
by se dalo sotva co zdůvodněného namítat. Neboť kdyby chtěl
někdo říci, že druhý předpoklad je falešný již proto, že by z něj
vyplývalo velmi nestejné rozdělení bodů ve světovém prostoru,
totiž mnohem větší zhuštění u bodu a, který byl zvolen libovolně:
pak by tím jen dával najevo, že ještě nepřekonal předsudek, který
jsme potírali v § 21 a dále. Se hul z chybil a zřejmě chybil jen v tom,
že přímky, které se musí vést bodem a ve všech směrech neomezeně,
protože každý bod prostoru má ležet na některé z nich, vzal za poloměr,
což je cárá na obě strany omezená. Neboť jen z tohoto předpokladu
je vyvozena kulová podoba nekonečného prostoru a výpo-
4
čet jeho velikosti = — 7rco
3
. Z tohoto omylu plyne však i ten nesmysl
o
— že domnělý celý prostor není právě celý, nýbrž že je jen částí,
která má vně sebe ještě nekonečně mnoho jiných prostorů — protože
ke každé kouli musí existovat i válec, který ji obsahuje, anebo
krychle, která ji obsahuje, ba dokonce ještě mnoho jiných prostorových
útvarů, například nekonečně mnoho koulí stejného poloměru,
jež ji obklopují.
Jediná poznámka, že cárá, vedená třeba jen v jednom směru
do nekonečna, je právě proto v tomto směru neomezená, že se tedy
také nedá mluvit o jejím hraničním bodu právě tak, jako se nedá
mluvit o špičce koule nebo křivosti přímky nebo jediného bodu
či o bodu, v němž se stýkají dvě rovnoběžky — tato jediná poznámka,
pravím, stačí, aby se ukázala nicotnost většiny paradoxů (mystéria
infiniti), které uvedl Boskovic' ve své Diss. de transformatione
locorum geometricorum (připojeno k Elem. univ. Matheseos T* II.
Romae 1754).
§45
Také předpoklad n e k o n e č n ě m a l ý c h p r o s t o r o v ý c h vzdáleností
a čar nebyl mnohem vzácnější, než předpoklad nekonečně
80
velkých, zejména když se jevilo být zdánlivě potřebné zacházet
nicméně s čarami a plochami, jejichž žádná část (která ještě sama
má rozlohu) není ani přímá ani rovinná, právě tak jako s těmi, které
jsou přímé nebo rovinné, např. aby se mohla snadněji určit jejich
délka nebo velikost zakřivení, nebo ovšem také určité jejich vlastnosti,
pozoruhodné z hlediska mechaniky. V takových případech
si dokonce dovolovali vybásnit si vzdálenosti, které mají být měřeny
nekonečně malými veličinami druhého, třetího a jiných vyšších
řádů.
Za to, že se při tomto postupu dospělo jen zřídka k falešnému
výsledku, zejména v geometrii, mohlo se děkovat pouze té okolnosti,
zmíněné v § 37, že proměnné veličiny, vztahující se k u r č i t e l n ý m
prostorovým rozlohám, musí být takové povahy, aby měly první,
druhou a každou následující derivaci, a to nejvýš s výjimkou
jednotlivých izolovaných h o d n o t . Neboť tam, kde tyto derivace
existují, platí to, co lze tvrdit o tak zvaných nekonečně malých
čarách, plochách a tělesech, a vůbec již o všech čarách, plochách
a tělesech, které — ačkoli zůstávají stále konečné — mohou být
nicméně pojímány jako libovolně malé, tj. (jak se vyjadřujeme)
mohou se do nekonečna zmenšovat. O těchto proměnných veličinách
vlastně platilo to, co se toliko nesprávně vypovídalo o nekonečně
malých vzdálenostech.
Je však samo sebou pochopitelné, že takové podání věci musilo
vždy přinést něco velmi paradoxního, ba dokonce zcela mylného
a jen zdánlivě dokázaného. Jak pohoršlivě znělo např. již to, když
se o každé zakřivené čáře a ploše tvrdilo, že není ničím jiným, než
sestavou nekonečně mnoha úseček a rovinných ploch, o nichž se musí
předpokládat, že jsou nekonečně malé, zejména, když se vedle toho
opět připustily nekonečně malé čáry a plochy, které zase jsou zakřivené.
Jak podivné bylo, když se tvrdilo o čarách, které nemají
v některém svém bodě vůbec křivost, nýbrž mají tam např. bod
obratu, že jejich křivost je v tomto bodě nekonečně malá a tedy
poloměr křivosti nekonečně velký; nebo o čarách, které v jednom
ze svých bodů vybíhají ve špičku, že jejich křivost je tu nekonečně
velká, jejich poloměr křivosti nekonečně malý a mnohé jiné.
81
§46
Jako velmi nápadný a zároveň velmi jednoduchý příklad toho,
k jakým nesmyslům poskytl látku a podnět předpoklad takových
nekonečně malých vzdáleností, dovolím si tu uvést větu, kterou
vyslovil podle K á s t n e r o v y zprávy („Anfangsgrůnde der hóheren
Analysis", II., předml.) již Galileo ve svých Discorsi e dimonstrazioni
matematické etc, jistě jen v úmyslu, povzbudit přemýšlení,
jakoby totiž obvod k r u h u byl t a k v e l k ý j a k o j e h o střed.
Aby čtenář nabyl představy o způsobu,
jak se to pokoušeli dokazovat, nechť si
myslí čtverec abcd, v němž je z a jako
středu opsán ctvrtkruh bd poloměrem
ob = a, pak vedena úsečka pr rovnoběžně
k a6, která protíná obě strany
čtverce ad a bc v p a r, úhlopříčku ac
v n a ětvrtkruh v m, krátce řečeno, známý
obrazec, kterým obvykle dokazujeme,
že kruh o poloměru pn je rovný
mezikruží, které zbude, když odloučíme
kruh o poloměru pm od kruhu o póloObr.
3.
měru pr; čili že platí
71. pn* ҡ . pr
2
— ҡ . pm
2
.
Přibližuje-li se pr stále více k a&, bude zřejmě kruh o poloměru
pn stále menší a mezikruží mezi kruhy o poloměrech pm a pr bude
stále užší. Geometři, kteří nenacházejí žádnou závadu v nekonečně
malých vzdálenostech, rozšířili tento vztah také na ten případ,
kdy pr postoupí nekonečně blízko k a&, tedy kdy např. se vzdálenost
ap = d#, takže by pak měla vyjít rovnice
re. dx2
= n. a2
— 7c(a2
— ch;2
),
o které se dá vskutku prokázat, že je pouhou identitou. Avšak
v tom případě se stal podle jejich představy kruh o poloměru pn
nekonečně malou veličinou druhého řádu; naproti tomu mezikruží,
které zbude po odloučení kruhu o poloměru pm od kruhu o poloměru
pr by nyní mělo šířku
82
1 dr
5
, 1 dx* ,
která by již sama byla nekonečně malou veličinou druhého řádu.
Za předpokladu, že pr přejde zcela v ab, stáhl se nekonečně malý
kruh o poloměru pn v jediný bod a a nekonečně úzké mezikruží
o šířce mr se proměnilo v pouhou obvodovou kružnici kruhu o poloměru
ab. A proto se domněle pokládali za oprávněné učinit závěr,
že pouhý střed a libovolného kruhu o poloměru ab je tak velký jako
celý jeho obvod.
To, co v tomto závěru klame, bylo vyvoláno zejména vmísením
nekonečně malého. Tím totiž byl čtenář sveden k posloupnosti
myšlenek,, která jej nechá mnohem snadněji přehlédnout, kolik
nesmyslu je v tvrzeních, že z kruhu o poloměru pn z ů s t á v á přece
ještě střed a, když místo bodup zbude v úvaze jen bod a, a poloměr
pn již vůbec neexistuje, a že právě tak mezikruží, které vznikne
odloučením kruhu o menším poloměru pm od kruhu o větším poloměru
pr se nakonec stane obvodem kruhu původně většího, jestliže
oba poloměry a tím také kruhy si budou rovny. Neboť při nekonečně
malých veličinách jsme jistě zvyklí na to, považovat je v jednom
případě za sobě rovné, v jiném opět jednu z nich za větší nebo menší
než jiné o nekonečně malou veličinu nějakého vyššího řádu, a jindy
zase za zcela rovné nule. Chceme-li postupovat logicky, nesmíme
ze správně stanovené rovnice
7C . pn2
= TC . pr2
— 7Z. pm2
,
která srovnává obě velikosti (plošné obsahy) kruhů, o nichž se
mluví, uzavírat nic jiného než to, že v tom případě, kdy pr a pm
jsou si rovny, nemá kruh o poloměru pn žádnou velikost, a tedy
vůbec neexistuje.
Je ovšem pravda (sám jsem uvedl v § 41 premisy, vedoucí k této
pravdě), že jsou také kruhy s obvodem i bez něho a nic to nemění.
na jejich velikosti, která závisí jenom na jejich poloměru. A z toho
by jistě mohl někdo vyvozovat ještě jeden zdánlivý důkaz Galileovy
věty, když by vyšel z požadavku, který je ovšem přípustný, že si
můžeme myslit kruh o poloměru pm bez obvodu, avšak kruh o poloměru
pr i s jeho obvodem. Pak by totiž po odebrání kruhu s polomě-
83
rem pm od kruhu s poloměrem pr zbyl vskutku jen obvod kruhu
o poloměru a&, přejdeme-li odpr k ab. Avšak ani nyní se nedá mluvit
o nějakém kruhu okolo a, který se stáhl do jediného bodu, a tím
méně by bylo přípustné, chtít se odvolávat na hoření rovnici a usuzovat,
z ní, že bod a a onen obvod jsou si rovny, poněvadž řečená
rovnice jedná pouze o velikostech tří kruhů, ať již je bereme s obvodem
nebo bez něho.
§47
Příklad, o němž jsme právě mluvili, nebyl ani svým objevitelem
uveden za tím účelem, aby lidé nad ním žasli jako nad pravdou,
jak jsme se již zmínili. Avšak za skutečnou pravdu se vydává učení,
týkající se obecné cykloidy, že prý má nekonečnou křivost v bodě,
v němž se stýká se svou základní přímkou, neboli (což znamená
právě tolik) nekonečně malý poloměr křivosti a je tu k ní kolmá.
Je to zcela správné, rozumíme-li tomu tak, že poloměr křivosti
se nekonečně zmenšuje, zatímco oblouk cykloidy se základní přímce
nekonečně přibližuje; jakož i to, že jeho směr v samotném bodě
vstupu je k ní kolmý. Jenže to, co se říká o nekonečně malém poloměru
křivosti, nebo poloměru křivosti, jenž se stal rovným nule,
spočívá (správněji vyjádřeno) pouze v tom (protože křivka, jak
známo, postupuje nad svojí základní přímkou v obou směrech do nekonečna,
a tedy nemá žádné h r a n i č n í body), že se také v tomto
bodě setkají dva oblouky tak, že tu vytvoří špičku, neboť oba
stojí kolmo k základní přímce, a to takovou, kde mají oba týž směr,
nebo jak se již méně správně říká) kde jejich směry svírají nulový
úhel.
Avšak výpočtem se můžeme přesvědčit, že tomu vskutku tak je,
aniž bychom pochopili, jak k tomu dojde, ba dokonce jak je to vůbec
možné. Abychom si to osvětlili, neboť teprve tím se paradox rozřeší,
musíme nejdříve pochopit, proč směr, v němž cykloida vystupuje
nad svou základní přímku, je k této přímce kolmý.
Ze způsobu, jak může být sestrojena obecná cykloida, totiž tak,
že opíšeme poloměrem vytvářejícího kruhu z každého bodu o základní
přímky kruhový oblouk, jenž se jí dotýká, a odloučíme z něj část
84
Obr. 4
om stejné délky, jako j e vzdálenost bodu o od počátečního bodu a,
takže uvažujeme o m jako o bodu cykloidy — plyne okamžitě,
že úhel mao se blíží stále více pravému úhlu, čím více se blíží bod
o k a , neboť úhel mao, jehož mírou j e poloviční oblouk om, j e stále
menší a poměr obou stran oa
a qm v trojúhelníku moa se
blíží stále více poměru rovnosti;
a proto se úhly u třetí
strany am odlišují od pravého
úhlu stále méně. Skutečný
výpočet to ukazuje
zcela zřetelně. Z toho však
plyne navíc to, že oblouk
cykloidy am leží zcela na
téže straně sečny am, totiž
mezi ní a kolmicí at, vztyčenou
v a; takže ta udává
směr křivky v bodě a. Označíme-li
dále kruhový oblouk o středu o, vycházející z a, jako oa;
j e zřejmé, že protne prodlouženou sečnu om teprve v bodě r,
protože musí platit
or = oa > om.
Je-li teď /i nějaký bod křivky, ležící ještě blíže a, existuje k němu
co, ležící na ao ještě blíže k a, takže o sečně (Ú/JL platí totéž, co bylo
právě tvrzeno o om, že totiž kruhový oblouk, opsaný z co jako středu
poloměru coa, protne úsečku -COJX prodlouženou za [i někde v bodě Q.
Protože j e coa < oa, leží také kruhový oblouk ag> uvnitř kruhového
oblouku ar, tedy mezi obloukem cykloidy a/z a kruhovým obloukem
ar. Z toho vidíme, že ke každému kruhovému oblouku ar, opsanému
libovolně malým obloukem oa, který se dotýká cykloidy am v a,
existuje jiný oblouk ag, který se j í v této oblasti ještě více blíží;
jinými slovy, že neexistuje žádná sebe menší kružnice, která by se
dala pokládat za míru křivosti v a, pokud by tu vůbec nějaká byla.
Tedy tu neexistuje opravdu žádná křivost, nýbrž křivka, která
v tomto bodě nekončí, má tu špičku, j a k již víme.
85
§48
Také se často považovalo za paradoxní, že mnohé prostorové
rozlohy, k t e r é se r o z p r o s t í r a j í v n e k o n e č n é m p r o s t o r u
(tj. mají body, jejichž vzájemná vzdálenost převyšuje jakoukoli
danou vzdálenost), mají nicméně pouze k o n e č n o u velikost,
a jiné zase, k t e r é jsou omezeny v zcela k o n e č n é m p r o s t o r u
(tj. jejichž všechny body leží tak, že jejich vzájemné vzdálenosti
nepřekračují danou vzdálenost) a přece mají n e k o n e č n o u velikost;
nebo konečné, že mnohé prostorové rozlohy zachovávají
konečnou velikost, ačkoliv o b ě h n o u n e k o n e č n ě k r á t okolo
j e d n o h o bodu.
1. Musíme tu především rozlišovat, zda prostorovou rozlohou,
o níž se tu mluví, rozumíme celek, složený z více o d d ě l e n ý c h
částí (jako např. hyperbola se čtyřmi větvemi), nebo jen celek
n a p r o s t o souvislý, tj. jen takovou rozlohu, která neobsahuje ani
jedinou část, jež by sama ještě představovala rozlohu, na níž by neexistoval
alespoň j e d e n bod, který by po připočtení k ostatním
částem s nimi opět vytvářel rozlohu.
Ze se může v nekonečném prostoru rozprostírat rozloha, sestávající
z oddělených částí, aniž by přitom byla nekonečně velká,
nepohorší nikoho, kdo si uvědomí, že také nekonečná řada veličin,
zmenšujících se v geometrickém poměru, dává jen konečný součet.
V tomto smyslu se může ovšem i čára rozprostírat do nekonečna
a přece být konečnou, jako právě čára, která vznikne, když naneseme
z daného bodu a v daném směru aR omezenou přímku a&, potom
však ve vzdálenosti, která zůstane stále stejná, přímku crf, jež má
pouze poloviční velikost oproti předchozí, a pokračujeme podle
tohoto zákona do nekonečna.
Mluvme však — a to bude v dalším stále — pouze o takových
prostorových rozlohách, které vyhovují podmínce, že jsou souvislým
celkem: pak je ovšem jasné, že mezi r o z l o h a m i nejnižšího
druhu, tj. čarami, nelze nalézt žádnou, která by se rozprostírala
do nekonečna, aniž by současně měla n e k o n e č n o u velikost
(délku). Neboť to vyplývá nutně ze známé pravdy, že nejkratší
86
čarou, všude souvislou, která má spojovat dva body, je pouze přímka,
jimi omezená*).
Jinak než u čar je tomu u ploch, které se mohou stát při téže
délce pouhým zmenšením své šířky libovolně malými, a u těles,
která při téže délce a šířce se mohou stát libovolně malými pouhým
zmenšením své výšky. Z toho lze pochopit, proč si někdy zachovají
konečnou velikost i plochy, které mají nekonečnou délku, i tělesa,
která vedle nekonečné délky mají ještě nekonečnou šířku. I tomu
nejméně obeznalému bude pochopitelný příklad, který mu dáme,
požádáme-li ho, aby si myslil, že na přímce aR, jdoucí do nekonečna,
jsou naneseny stejné úseky ab = 1 = bc = cd atd., pak aby si představil
nad prvním úsekem ab čtverec 6a, nad druhým bc obdélník
cy, který má za výšku pouze polovici 6c, a tak nad každým dalším
úsekem obdélník o poloviční výšce proti předcházejícímu, tu jistě
*) Protože důkaz této pravdy je tak krátký, dovoluji si jej vložit do této poznámky.
Není-li čára amonb přímá, musí na ní být nějaký bod o, ležící mimo
přímku ab, takže spustíme-li z o kolmici oco na ab, platí o vzdálenostech
OЬr. 5
aco < ao, bco < bo.
Protože však všechny soustavy dvou bodů jsou si vzájemně podobné,
existuje mezi body a a co čára a\xco, podobná té části amo dané čáry amonb,
která leží mezi body a a o, a stejně tak čára bvco, ležící mezi body 6 a co a podobná
té části bno dané čáry bnoma, která leží mezi body b a o. Tato podobnost
však také vyžaduje, aby se délka přímky aco měla k délce ajuco jako délka
přímky ao k délce části amo a délka přímky bco k délce bvco jako délka přímky
bo k délce části bno. A protože aco < ao, musí také ajuco < amo, a protože bco < 6o,
musí platit i bvco < bno. Proto je také celá ajucovb < celá amonb. Křivá
čára amonb, spojující a s 6, není tedy nejkratší, nýbrž a\xcovb je kratší.
87
^
ib
c
Obг. 6
d e
•-R
velmi brzo pozná, že souvislá plocha, kterou tu má na mysli, sahá
do nekonečna a přitom není větší než 2. Nebude pro něj o nic těžší,
myslit si krychli o straně = 1 a pod ní podložené druhé těleso, jehož
základnou by byl čtverec o straně 2, tedy čtyřikrát větší než základna
předchozí krychle, avšak jehož výška by byla jen — ; pod toto těleso
podložit třetí, jehož základnou by zase byl čtverec čtyřikrát větší
než předcházející, avšak výška by byla j e n — v ý š k y předchozího
tělesa — a představit si, že se podle téhož zákona bude pokračovat
do nekonečna. Pochopí, že délka a šířka těles, která jsou tu postupně
podkládána, roste do nekonečna, ačkoliv jejich prostorový obsah
je stále menší a to tak, že každý následující je pouze polovinou
předcházejícího; že tedy velikost pyramidovitého celku, jenž tak
vznikne, nikdy nepřekročí prostorový obsah = 2, přestože má nekonečnou
základnu.
2. Jako se může vyskytnout jen u dvou vyšších druhů rozlohy,
totiž u ploch a tějes, nikoli však u čar, případ dosud zkoumaný,
že dojdeme jen k jejich konečné velikosti, přestože na sobě mají
něco nekonečného (nekonečnou délku nebo i šířku): tak-platí opak
v případě, o kterém chceme mluvit, kdy rozloha, ačkoliv se jeví být
konečnou proto, poněvadž je omezena ve zcela konečném prostoru,
má vskutku nekonečnou velikost. Tento případ totiž může nastat
jen u dvou nižších druhů rozlohy, u č a r a ploch, nikdy však u těles.
Těleso, v němž neexistují body, jejichž vzdálenosti by překračovaly
88
jakoukoli danou veličinu, nemůže být jistě nekonečné. Tak to plyne
ihned ze známé pravdy, že koule o průměru JE j e největší ze všech
těles, u nichž vzdálenosti dvojic bodů nepřekračují danou vzdálenost
JE. Neboť tato koule obsahuje ony body všechny a její velikost
j e — . JE
3
; každé těleso nepřesahující tento prostor musí tedy nutně
být m e n š í než-----. JE
3
. Naproti tomu j e nekonečně mnoho car,
které se dají zakreslit do prostoru jediné, jakkoli malé plochy, např.
č t v e r e č n í s t o p y , a každé z nich můžeme jistě udělit alespoň
konečnou velikost, např. délku stopy a připojením jedné, nebo
i nekonečně mnoha spojnic, j e sloučit v jedinou čáru, všude souvislou,
jejíž délka pak musí jistě být nekonečná. A právě tak existuje nekonečně
mnoho p l o c h , které se dají zakreslit do prostoru jediného,
jakkoli malého t ě l e s a , např. k r y c h l o v é s t o p y , z nichž každé
můžeme udělit např. velikost čtvereční stopy, a připojením* jedné
další spojující plochy, nebo i nekonečně mnoha takových ploch,
můžeme všechny tyto plochy sloučit v jedinou,* jejíž velikost pak
bude nesporně nekonečná. To vše nemůže také nikoho udivit,
kdo nezapomene, že čáry, plochy a tělesa neměříme toutéž jednotkou,
a přestože j e množina bodů již v jakkoli malé čáře nekonečná,
musíme v ploše předpokládat množinu jistě nekonečněkrát větší
než v čáře, a konečně v tělese s toutéž jistotou nekonečněkrát větší
než v ploše.
3. Třetí paradox, zmíněný na začátku tohoto paragrafu, zněl,
že existují také rozlohy, které nekonečněkrát oběhnou kolem určitého
bodu a přitom přece zachovávají konečnou velikost. Kdyby to měla
být l i n e á r n í rozloha, může to nastat jenom tehdy, když j e celá
čára v konečném prostoru, j a k jsme právě viděli v č. 1. Za této
podmínky však není nic nepochopitelného v jevu, že zachovává
konečnou velikost, ačkoliv uskutečňuje nekonečně mnoho oběhů
kolem daného bodu; jen když j e splněna další podmínka, že tyto
oběhy, začínající nějakou konečnou velikostí, ubývají příslušným
způsobem až do nekonečna, což j e požadavek, umožněný opět
okolností, že oběhy se uskutečňují okolo p o u h é h o bodu. Neboť
to dovoluje, aby vzdálenosti, které mají jednotlivé body takového
89
oběhu od tohoto středu, a tím také mezi sebou, ubývaly do nekonečna;
a pak nás již sama kružnice poučuje, že také délka tohoto
oběhu může být do nekonečna zmenšena. Našim čtenářům se již
sama vynoří l o g a r i t m i c k á spirála jako příklad čar, o kterých
mluvíme, upneme-li pozornost jenom na tu její část, počínající nějakým
daným bodem, která se přibližuje stále více středu, aniž
by do něj vyústila.
Má-li však být plocha nebo těleso takovou prostorovou rozlohou,
která koná nekonečně mnoho oběhů kolem daného bodu: pak
není třeba ani omezující podmínky, že se prostorový útvar nevzdaluje
v žádném svém bodě od svého středu nad určitou vzdálenost. Nechť
si čtenář myslí, abych věc učinil co nejkratšeji srozumitelnou,
zmíněnou spirálu jako jistý druh osy úseček, z jejíhož každého bodu
vystupují pořadnice, kolmé k ní a k její rovině. Souhrn všech těchto
pořadnic pak tvoří zřejmě plochu (válcovitou), která se na jedné
straně v nekonečně mnoha závitech blíží středu, aniž by ho dosáhla,
na druhé straně však se vzdaluje donekonečna. Jak bude tato plocha
velká, bude záviset na zákoně, podle něhož necháme pořadnice
vzrůstat nebo ubývat. Avšak část, ubíhající ke středu, zůstane vždy
konečná, pokud nenecháme pořadnice v tomto směru (tj. ve větvi,
jejíž úsečky jsou pouze konečné) vzrůstat do nekonečna, poněvadž
každá plocha, v níž ani úsečka ani pořadnice nevzrňstají do nekonečna,
je konečná. Avšak i ta část plochy zůstane konečná, která
je nad onou větví spirály, vzdalující se do nekonečna, pokud pořadnice
ubývají v rychlejším poměru než úsečky (tj. délka oblouku
spirály). Volíme-li tedy za osu úseček p ř i r o z e n o u spirálu, jejíž
větev, ubíhající od poloměru = 1 ke středu, má délku y 2, a vezmeme-li
za ohraničení plochy oblouk hyperboly vyššího řádu, pro níž
platí rovnice yx
2
= a
3
: pak část této plochy, příslušná ke všem
vyšším hodnotám x od x = a, má jenom velikost a
2
, zatímco druhá
část, příslušná ke všem menším hodnotám x9
roste do nekonečna.
Vezmeme-li však a > ]/2 a přemístíme-li koncový bod úsečky x = a
na bod spirály, který má poloměr 1, pak splývá střed spirály s koncovým
bodem úsečky x = a — ]/2, má tedy ještě konečnou velikost,
a ta část plochy, která leží nad touto větví spirály, není větší než
90
-* (T - T) = "' - 7 q - - - (73y? " «')
;
takže celá plocha, postavená nad spirálou v obou směrech (kterou
dostaneme, když obě velikosti sečteme v jejich kladné hodnotě) je
\ a - ]/2 J a-]/2
Tedy např. pro a = 2 obnáší celá plocha jen 4(2 -f- j/2).
Velmi podobně je tomu u prostorových rozloh. Je třeba jen
poznamenat, že část tělesa, ubíhající ke středu, by začala zasahovat
do prostoru jeho vlastních sousedních oběhů (vpravo i vlevo),
kdybychom jeho rozpětí chtěli zvětšovat v šířce i tloušťce. Kdybychom
tomu chtěli zabránit a získat těleso, jehož všechny části leží vně
sebe, dospěli bychom k cíli již tím, že bychom k ploše takového
druhu, o jaké jsme právě uvažovali a které přibližováním ke středu
přibývalo stále na šířce, připojili ještě třetí rozměr, tloušťku, která
by se však zmenšovala ke středu v takovém poměru, aby obnášela
stále méně než polovinu vzdálenosti mezi dvěma následujícími oběhy
spirály.
§49
Prostorové rozlohy, které mají nekonečnou velikost, jsou právě
pro tuto velikost v tak rozmanitých a často i paradoxních vztazích,
že musíme ještě podrobit alespoň některé z nich zvláštní úvaze.
Tím, co bylo dosud řečeno, můžeme pokládat za dostatečně
objasněné to všechno, že prostorový útvar, který obsahuje nekonečnou
množinu bodů, nemusí proto ještě být spojitou rozlohou,
právě tak že u spojité rozlohy nemusí právě její- velikost určovat
její množinu bodů, že ze dvou rozloh, které považujeme za stejně
velké, může jedna obsahovat ještě o nekonečnou množinu bodů
více nebo méně; ba dokonce, že plocha může obsahovat o nekonečně
mnoho čar více nebo méně, těleso nekonečně mnoho ploch více
nebo méně než rozloha téhož druhu, kterou pokládáme za stejně
velkou.
1. První, na co chceme obrátit čtenářovu pozornost, je, že množina
bodů, obsažená v jediné jakkoli krátké přímce az, je množinou,
91
která musí být považována za n e k o n e č n ě v ě t š í než nekonečná
množina těch bodů, které z ní vyjmeme, když začneme u jednoho
z jejích hraničních bodů a, vyjmeme po něm v odměřené vzdálenosti
druhý bod 6, po něm v malé vzdálenosti třetí bod c a tak bez konce
dál, přičemž zmenšujeme ony vzdálenosti podle nějakého zákona
tak, aby nekonečná množina těchto vzdáleností měla za součet
vzdálenost menší nebo rovnou vzdálenosti az. Ale poněvadž také
každý z nekonečna mnoha úseků a&, 6c, cd . . . , na něž se rozkládá az,
je pokaždé opět konečnou čarou: může se s každým z nich učinit
to, co jsme právě požadovali na az, tj. na každém z nich se dá opět
prokázat taková nekonečná množina bodů jako na az, jež jsou
zároveň položeny v az. A proto taková nekonečná množina musí
být na celém az nekonečněkrát obsažena.
2. Každé přímce, ba dokonce každé prostorové rozloze vůbec,
která je nějaké jiné nejen podobná, nýbrž i (geometricky) r o v n á
(tj. shoduje se s ní ve všech znacích, které je možno na základě
srovnávání s danou vzdáleností u d a t v pojmech), musí být
přiznána i rovná množina bodů, připustíme-li jen u obou stejný
způsob ohraničení, např. když u obou čar koncové body připočteme
nebo nepřipočteme. Neboť opak by mohl platit jen tehdy, kdyby
existovaly vzdálenosti, které sice jsou stejné, avšak připouštěly
by nestejné množiny mezi oběma body, jejichž vzdálenost udávají.
To však odporuje pojmu, který spojujeme se slovem g e o m e t r i c k y
rovný; neboť jen tehdy nazýváme vzdálenost ac nerovnou vzdálenosti
afe, a to větší než tuto, když v tom' případě, že 6 a c leží
Obr. 7
ve stejném směru, je bod 6 mezi a a c, a tím jsou všechny body mezi
a a 6 jistě také mezi a a c, opačně však neleží všechny body mezi
a a c také mezi a a 6.
3. Označíme-li množinu bodů, ležících mezi a a 6 včetně a a 6,
znakem E a zvolíme-li úsečku a& za jednotku všech délek, pak
množina bodů v úsečce ac, jež má délku n (čímž nyní rozumíme
92
výhradně celé číslo), bude = nE — (TI —- 1), mají-li se připočíst její
koncové body a a c.
4. Množina bodů ve čtvercové ploše, jejíž strana je = 1
(obvyklé míře pro plochy), bude = E2
, připočteme-li k ní obvod.
5. Množina bodů v každém obdélníku, jehož jedna strana má
délku m a druhá n, bude včetně obvodu
mnE2
— [n(m — 1) + m(n — 1)]E + (m — 1) (n — 1)
6. Množina bodů v krychli, jejíž hrana je = 1 (obvyklé míře
těles), bude = JE3
, včetně bodů povrchu.
7. Množina bodů v kvádru, jehož hrany mají délky m, n, r bude
včetně povrchu:
mnr . E3
— [nr(m — 1) + mr(n — 1) + mn(r — 1)]E2
+
+ [m(n - 1) ( r - 1) + n(m- 1) ( r - 1) + r ( m - 1) (n - 1)] E -
(m - 1) (» - 1) (r - 1).
8. Přímce, která sahá v obou směrech do nekonečna, musíme připsat
nekonečnou délku a množinu bodů, která je nekonečněkrát
větší než množina bodů v úsečce = JE, přijaté za jednotku. Všem
takovým přímkám musíme též přiznat stejnou délku a stejnou
bodovou množinu; neboť určující úseky, kterými se dají stanovit
na každé ze dvou libovolných přímek dva body, jimiž každá z nich
prochází, jsou si nejen podobné, nýbrž i (geometricky) rovné, jestliže
vezmeme vzdálenost těchto bodů stejně velkou.
9. Libovolný bod na takové přímce má vůči oběma stranám
přímky zcela podobnou polohu, a poskytuje také jen takové pojmově
zachytitelné znaky, jaké má poloha každého, jiného bodu toho
druhu. Zajisté se nedá říci, že takový bod rozkládá přímku ve dvě
stejně dlouhé části; neboť kdybychom to mohli říci o jednom bodu
a, musili bychom to tvrdit ze stejného důvodu o každém jiném
bodu 6, což si však odporuje, neboť kdyby bylo aR = aS, nemohlo
by také být bR (== ba + aR) = bS(= aS — ab).
R< 1 1 ^ S
a b
Obr. 8
93
Musíme tedy tím spise tvrdit, že přímka na obe strany neomezená
nemá ž á d n ý střed, tj. žádný bod, jehož určení by bylo možno
podat ve vztahu k této čáře pouze pojmově.
10. Rovinné ploše, kterou mezi sebou uzavírají dvě rovnoběžky
na obě strany neomezené (tj. souhrn všech těch bodů, které jsou
obsaženy na kolmicích, vedených z každého bodu jedné z těchto
rovnoběžek ke druhé z nich), musíme přiznat n e k o n e č n ě velkou
plochu a množinu bodů, která je nekonečněkrát větší než množina
bodů čtverce = JE2
, přijatého za plošnou jednotku. Všem takovým
pruhům mezi rovnoběžkami, mají-li stejnou šířku (délku kolmice),
musíme též přisoudit stejnou velikost a stejnou množinu bodů. Neboť
i ony se dají tak stanovit, že určující části jsou si nejen podobné,
nýbrž i geometricky rovné; jsou-li např. určeny rovnoramennými
pravoúhlými trojúhelníky o stejně velkých stranách a stanovíme-li,
že jedna z těchto rovnoběžek má procházet základnou a druhá
protějším vrcholem.
11. Kolmice, zvolená libovolně v takovém pruhu, omezeném rovnoběžkami,
má polohu z hlediska obou stran plochy podobnou, a neposkytuje
také žádné jiné znaky, které by bylo možno pojmově
udat, než ty, které poskytuje poloha každé jiné takové kolmice.
Ovšemže se nedá říci, že taková kolmice rozkládá plochu ve dvě
g e o m e t r i c k y rovné části. Neboť tento předpoklad by nás ihned
zapletl do zcela podobného sporu jako v č. 9 a tím dokazuje svou
nepravdivost.
12. Posléze rovině, která se rozprostírá ve všech směrech do nekonečna,
musíme přiznat nekonečně velkou plochu a množinu bodů,
která je k tomu nekonečněkrát větší než množina bodů v pruhu
mezi rovnoběžkami. Avšak právě tak, jako musíme přiznat takovým
pruhům stejné šířky stejnou množinu bodů, musíme přiznat stejnou
nekonečnou množinu bodů i všem neomezeným rovinám. Neboť
také o nich platí, že mohou být určeny nejen podobným, nýbrž
i (geometricky) rovným způsobem; např. určíme-li každou třemi
body které v ní leží a tvoří sobě podobné a rovné trojúhelníky.
13. Poloha libovolné neomezené přímky, ležící v takové neomezené
rovině, je z hlediska obou stran roviny zcela podobná; a nadto
94
poskytuje tytéž znaky, které lze pojmově udat, jako poloha každé
jiné přímky. Nicméně se nedá říci,
že taková přímka rozkládá rovinu ve
dvě části geometricky stejně velké.
Neboť kdybychom to směli tvrdit o
jedné přímce i?S, musili bychom to
připustit také o každé jiné R'S\ což
však vede ke zřejmému sporu, pokud
chápeme obě přímky jako rovnoběžky.
14. Dvě, neomezené přímky, ležící
v téže rovině a nerovnoběžné, se tedy
někde protínají a tvoří čtyři úhly (po
dvou rovné), a dělí tak celou plochu
neomezené roviny na čtyři části, z nichž vždy dvě, omezené
r o v n ý m i (podobnými) úhly RaS = R'aS\ RaS' = R'aS, jsou
si podobné. Každá
z těchto čtyř úhlových
ploch obsahuje
nekonečnou množinu
p r u h ů , v y m e z e n
ý c h r o v n o b ě ž k
a m i , rozprostírají'
cích se na jednu stranu
do nekonečna a majících
libovolnou šířku,
jak jsme o nich uvažovali
v e . 11; odmyslíme-li
si jich však libovolný
počet, zbývá ještě
úhlový prostor, který je omezen s t e j n ý m ú h l e m jako na začátku.
Avšak právě tak jako v c. 9 a 10, nemáme ani právo nazvat ramena
těchto úhlů sobě rovnými, ani tak nazvat pruhy mezi rovnoběžkami,
o nichž můžeme dokázat, že jsou částmi jejich plochy: právě
tak nejsme oprávněni nazvat tyto nekonečné úhlové plochy navzájem
rovnými, tj. stejně velkými, a to ani při stejných (podobných)
úhlech. Je zřejmé, že ze dvou úhlových ploch RaS a Po£ je první
OЬr. 10
95
větší než druhá když
bZ =|= aS, cP + aR,
ačkoliv úhly samy jsou
si rovny.
15. Část prostoru,
kterou mezi sebou uzavírají
dvě neomezené
rovnoběžné roviny
(tj. souhrn všech těch
bodů, které jsou obsaženy
na všech kolmicích,
spuštěných z každého
bodu jedné z nich na druhou) neboli n e o m e z e n o u vrstvu,
jak bychom ji mohli nazvat, musíme v každém případě prohlásit za
n e k o n e č n ě velkou, ať má jakoukoli šířku (délku takové kolmice).
Při stejné šířce se však mohou tyto veličiny prohlásit za rovné a
dokonce i množiny bodů v dvou takových vrstvách; stále podle
téhož závěru, kterého jsme již vícekrát (č. 8, 10, 12) užili.
16. Libovolný r o v n o b ě ž n ý pruh, kolmý na roviny neomezené
vrstvy, má polohu, která je vůči oběma stranám vrstvy zcela
podobná a stejně tak je podobná i poloha libovolného jiného pruhu
v téže vrstvě nebo i v každé jiné neomezené vrstvě. iNTedá se však
říci, že by musily být stejně velké ony obě části, na něž se vrstva
takovým rovnoběžným pruhem rozloží.
17. Dvě neomezené roviny, které se protínají, rozkládají celý
nekonečný prostor ve čtyři nekonečně velké části, z nichž vždy
dvě protilehlé jsou si nesporně podobné, avšak proto ještě hned
nemusí platit, že jsou stejně velké.
18. Právě tak nesmějí být vydávány za stejně velké prostory,
omezené dvěma p o d o b n ý m i nebo (jakříkáváme) stejnými mnohohrany,
které omezují jejich stěny, prodloužené do nekonečna.
19. Ani dvě části, na něž rozkládá celý prostor již sama j e d i n á
n e k o n e č n á rovina, nelze považovat za geometricky rovné,
tj. stejné velikosti, a tím méně je pokládat za stejné množiny bodů,
přestože jsou si podobné.
96
§50
Zbývá nám teď ještě krátce promluvit o těch paradoxech, s nimiž
se potkáváme v oblasti metafyziky a fyziky.
V těchto vědách pronášíme tvrzení: „ve vesmíru neexistují
dvě zcela stejné věci a t e d y t a k é ne dva zcela stejné
a t o m y či jednoduché substance; avšak takové jednoduché substance
musíme předpokládat, připustíme-li ve světě složená tělesa;
musíme též konečně předpokládat, že všechny tyto substance jsou
proměnlivé a že se stále mění.
66
Tvrdím toto vše, poněvadž se
mi zdá, že jsou to pravdy, které se dají tak přesně a jasně dokázat,
jako kterákoli poučka matematiky. Přece se však musíme obávat,
že mnozí fyzikové budou při poslechu těchto vět jen vrtět hlavou.
Chlubí se totiž, že vyslovují jen ty pravdy, kterým je učí zkušenost;
avšak zkušenost nedokazuje žádný rozdíl mezi nejmenšími částicemi
těles, zejména těles jednoho druhu, např. mezi nejmenšími
částicemi zlata, které jsme získali z toho ci onoho dolu; zkušenost
dále ovšem ucí, že každé těleso je složené, avšak atomy, které by byly
zcela jednoduché a tím i bez vší rozlohy, že ještě nikdo nevnímal;
zkušenost konečně ukazuje, že různé látky, např. kyslík, vodík
atd., vstupují hned do této sloučeniny, hned do jiné, a mimoto
se projevují hned těmito, hned zase jinými účinky — ale že by se tím
změnily ve svém nitru a že by se např. kyslík poznenáhlu změnil
na něco jiného, to že je pouze vybájeno.
1. Podle mého názoru je omyl, že by zkušenost učila tomu,
co se tu tvrdí. Zkušenost, pouhá bezprostřední zkušenost či vnímání,
nás neučí bez spojení s určitými pojmovými pravdami ničemu
jinému, než tomu, že máme ta či ona pozorování nebo představy
vůbec. Odkud nám tyto představy přicházejí, zda působením nějakého
jiného, od nás odlišného předmětu, ba dokonce, potřebují-li
vůbec příčinu, a jaké má vlastnosti: o tom nás bezprostřední vnímání
vůbec nepoučí, nýbrž to usuzujeme jen z určitých čistých pojmových
pravd, které si musíme rozumem přimyslit, a usuzujeme na to
většinou ještě podle pouhého pravidla pravděpodobnosti, např.
že tato červená, kterou právě vidíme, je způsobena chorobným stavem
našeho oka, ona vůně zase blízkostí květiny. Naproti tomu nepotře-
97
bujeme žádných závěrů pouhé pravděpodobnosti, vyvozených
ze zkušenosti, abychom nahlédli, že mezi každými dvěma věcmi
musí být nějaký rozdíl; ale můžeme to poznat po nepatrném rozmyšlení
s úplnou jistotou. Mají-li být A a B dvě věci, musí být již
proto také pravda, že věc A není věcí B, a toto je pravda, která
předpokládá, že existují dvě představy A a J5, z nichž jedna představuje
pouze věc A, nikoli však B, a druhá jen věc B a nikoli A.
A již v této okolnosti tkví rozdíl (a to vnitřní) mezi věcí A a JB.
Nahlédneme-li tak, že každé dvě věci mají nutně rozdíly, jak můžeme
pokládat za oprávněné, pochybovat o takovém rozdílu jen proto,
že jej tu a tam nevnímáme?, když přece k takovému vnímání patří
zvláštní ostrost smyslů a ještě mnohé jiné okolnosti.
2. Je správné, že teprve zkušenost nás učí, že věcí, které na nás
působí, je více, a zejména že všechny ty, které nám zprostředkuje
názor, jsou složené. Avšak zkušenost tomu ucí jen za předpokladu
určitých ryzích pojmových pravd: jako je pravda, že různé
účinky mohou přivodit jen různé příčiny atd. Avšak neméně jisté
jsou ty pojmové pravdy, že každá příčina musí být něčím skutečným,
a vše skutečné že je buďto substancí nebo souhrnem substancí, nebo
vlastností jedné či více substancí; a stejně tak, že vlastnosti, které
jsou něčím skutečným, nemohou být bez existence nějaké substance,
na níž se nacházejí, a souhrny substancí nemohou být bez jednoduchých
substancí, které jsou jejich částmi. Z toho všeho plyne
s přísnou nutností existence jednoduchých substancí a stane se
směšným, nechtít je připustit, protože je —- nevidíme; a tím nesmyslnějším,
když další přemýšlení ucí, že každé těleso, které ještě je
našimi smysly vnímatelné, je složené, ba dokonce že musí být
složeno z nekonečné množiny jednoduchých částí.
3. Podobný klamný závěr na neexistenci z nevnímatelnosti vzniká,
nechceme-li uznat, že všechny konečné substance podléhají změně,
která nikdy neustává. Na své vlastní duši seznáváme přece dostatečně
proměnlivost jejích stavů, představ, vlastností a sil. A již
pouhá analogie nám dává popud, usuzovat na něco podobného
u zvířecích duší a rostlin. Avšak teprve rozumové důvody nás
opravňují uznat, že se ve skutečnosti přece všechny substance
mění, i ty, které v rozmezí staletí nevykazují žádnou námi pozoro-
98
vatelnou změnu. Kdo to chce popírat, alespoň vzhledem k takzvané
neživé h m o t ě a vzhledem k jejím j e d n o d u c h ý m částem nebo
atomům, je donucen tvrdit, že všechny změny, které se jeví v této
oblasti světa, když např. kus ledu, který byl ještě před chvílí pevný,
nyní roztál a v následující hodině zmizí jako pára — že všechny
tyto změny (říkám) nejsou ničím jiným, než pouhými změnami
v prostorových vztazích menších a větších částeček těchto těles,
přičemž se v nitru oněch částeček samých nemění nic. Avšak jak
by mohlo ujít naší pozornosti, že při tomto výkladu upadneme
do sporu? Neboť kdyby se v jednoduchých substancích samých
(v jejich nitru) nemohlo nic měnit: čím by byly způsobeny změny
v jejich vzájemných prostorových vztazích a jaké následky by měly
tyto pouhé vnější změny, jakým účelům by sloužily a na cem vůbec
by se poznaly? Na všechny takové otázky se dá rozumně odpovědět
jen tehdy, když jednoduchým substancím — totiž takovým, které
nejsou nanejvýš dokonalé, na něž tedy může účinkovat více sil než
ony samy již mají — přiznáme právě proto schopnost změny,
poněvadž na sebe vzájemně účinkují a jejich místa považujeme
za taková jejich určení, k t e r á obsahují motiv, proč právě při
té a té míře sil způsobuje jedna substance u druhé v daném časovém
intervalu právě tyto změny á ne snad menší nebo větší. Jen za tohoto
předpokladu, zřejmého i obyčejnému lidskému rozumu, zmizí onen
spor v učení o vesmíru, a je třeba abychom se jen povznesli nad
některé školské názory, již skoro zastaralé, abychom shledali,
že je vše v souhlase.
§51
První z těchto školských názorů, kterého se musíme vzdát,
je m r t v á nebo jen s e t r v a č n á hmota, vymyšlená staršími fyziky,
jejíž všechny jednoduché části, pokud je má, navzájem rovné a věčně
neproměnné, nemají mít žádné vlastní síly, ledaže by to byla jen
samotná s e t r v a č n á síla. Cokoli je skutečné, musí též působit,
a tedy mít síly k působení. Ale omezená substance, která je právě
proto i proměnlivá, nemůže mít ovšem žádnou sílu, jejíž účinek
by svou povahou nepřipustil změnu, tedy zejména žádnou tvořivou
gílu, nýbrž musí mít jen síly vyvolávající zrněny, které ostatně
99
mohou být buď i m a n e n t n í , jako je síla v n í m á n í , nebo t r a n z i entní,
jako je síla pohybová.
Avšak může nám být i nadále dovoleno, stejně jako dříve, představit
si zpočátku věc mnohem jednodušeji a předpokládat jen
existenci několika málo sil, místo nekonečné množiny sil, které
tu skutečně spolupůsobí, ba myslit si vůbec taková tělesa a jejich
vlastnosti, jež ve skutečnosti naprosto neexistují, abychom určili,
co tato tělesa přivodí a naučili se tak postupně a s dostatečnou přesností
posoudit účinek, který vyplyne z určitého spojení většího
množství těles. Jenom nesmíme předpokládat, aniž bychom ještě
o věci zvláště uvážili, že výsledek, který se v tomto vymyšleném
případě musí objevit, bude také až do určitého stupně shodný s tím
případem, který ve skutečnosti nastane. Pominutí této opatrnosti
zavinilo mnohý paradox, jak ještě uvidíme.
§52
Jiný školský předsudek spočívá v tom, že jakýkoli p ř e d p o k l a d
p ř í m é h o p ů s o b e n í j e d n é s u b s t a n c e na d r u h o u je ve vědě
n e p ř í p u s t n ý . Pravda je pouze to, že nesmíme nikdy předpokládat,
že určité působení následuje bezprostředně, aniž bychom to dříve
dokázali; je pravda, že by přestalo všechno vědecké studium, kdybychom
chtěli každý jev, s nímž se setkáme, vyložit jen slovy, že je
vyvolán bezprostředně. Šli bychom však zřejmě příliš daleko,
kdybychom prohlásili každé působení, které může vykonávat jedna
substance na druhou, jenom za z p r o s t ř e d k o v a n é , a tím bychom
vůbec nikde nepřipustili bezprostřední účinek. Neboť jak by jen
mohl povstat zprostředkovaný účinek, kdyby nebylo žádného bezprostředního?
Protože to je dostatečně zřejmé, nechceme se u toho
déle zdržovat, a spokojíme se jen poznámkou, jak je podivné, že tak
veliký a obezřetný myslitel jako Leibniz připadl na onu nešťastnou
h y p o t é z u p ř e d z j e d n a n é harmonie, která hyzdí celý jeho systém
kosmologie, jinak tak krásný, jen proto, že mu nebylo známo žádné
prostředí, skrze něž by mohly substance, které jsou jednoduché,
na sebe vzájemně působit.
100
§53
S tímto předsudkem je co nejúžeji spojen a již tím vyvrácen onen
předsudek mohem starší, jakoby nebylo možné žádné působení
(totiž žádné bezprostřední působení) jedné substance na jinou,
když je od ní vzdálena. Tvrdím tím spíše, v nejostřejším protikladu
k této představě, že každé působení jedné substance (která je
v prostoru, a tedy omezená) na jinou je actio in distans; z toho prostého
důvodu, že dvě jednoduché substance zaujímají v každém
okamžiku také dvě různá jednoduchá místa, a tedy musí mít mezi
sebou nějakou vzdálenost. O zdánlivém sporu, který je mezi
tímto tvrzením a jedním naším tvrzením, že totiž prostor má být
spojitě vyplněn, jsem již mluvil dříve.
§54
4. Tím se ovšem prohřešujeme proti jinému školskému předsudku
novější doby, podle něhož by se mělo vidět, zejména v každé chemické
sloučenině, p r o n i k á n í substancí. Každou možnost takového
pronikání bezpodmínečně popírám; neboť již v pojmu jednoduchého
místa (nebo bodu) je obsaženo, pokud vidím, že je to
místo, které může zaujímat jedna jediná (jednoduchá) substance.
Kde jsou dva atomy, tam jsou také dvě místa. Z našeho v ý k l a d u
prostoru, který jsme již vícekrát opakovali, plyne rovněž ihned,
že velikost změny, kterou přivodí vzájemné působení dvou atomů
během dané doby, je určeno jen velikostí vzdálenosti dvou atomů,
jež na sebe účinkují. Kdyby mohly existovat na jednom místě
dvě nebo více substancí, třeba sebe kratší dobu, byla by velikost
jejich vzájemného působení v této době naprosto neurcitelná;
a kdyby to byl jen jediný okamžik, nebylo by možno určit v něm
jejich stav.
§55
5. Avšak od D e s c a r t e s o v ý c h dob se vynořil ještě jeden nový
školský předsudek. Zatímco on sám se domníval (veden jistě velmi
101
chvályhodným úmyslem), že nemůže nikdy dost přehnat rozdíl mezi
myslícími a nemyslícími substancemi ( d u c h e m a h m o t o u ,
jak je nazval), připadl na tvrzení, každému obyčejnému lidskému
rozumu tak podivné, ba skoro nemyslitelné, že duchová bytost
se nejen nesmí považovat za něco r o z p r o s t r a n ě n é h o , tj. skládajícího
se z' částí, nýbrž ani za něco, co by existovalo v prostoru,
tedy za bytost, která by svojí přítomností vyplňovala třeba jen
pouhý bod v prostoru. A poněvadž K a n t šel později dokonce
tak daleko, že prohlásil prostor (právě tak jako čas) za pouhou
dvojici forem našeho názoru, kterým žádný předmět neodpovídá;
a protože postavil takřka proti sobě dva s v ě t y , inteligibilní
svět ducha a s m y s l o v ý svět: nelze se divit, když se alespoň
v Německu tak hluboko upevnil předsudek o tom, že duchovní
bytosti jsou neprostorové, že trvá až do dnešního dne ve školách.
Pokud jde o důvody, jimiž jsem tento předsudek potřel, jak se
domnívám, musím poukázat na jiné spisy, zejména na Wissenschaftslehre
a na Athanasii. Tolik mi každý musí přiznat,
že pro názor mnou vyslovený, podle něhož musí existovat všechny
stvořené substance ze společného důvodu jak v čase, tak v prostoru,
a celý jejich rozdíl je pouhým rozdílem stupňů, mluví ve srovnání
s každým jiným názorem již sama jeho jednoduchost.
§56
Zaujmeme-li toto hledisko, odpadne také velký paradox, který
se až dodnes hledal stále ve spojení mezi d u c h o v n í a h m o t n o u
s u b s t a n c í . Jak jen může působit hmota na ducha a ten opět
na ni, když jsou tak nestejného rodu, to bylo prohlášeno za tajemství,
které my lidé nemůžeme vyzkoumat. Avšak z uvedených
názorů plyne, že toto vzájemné působení musí být alespoň zčásti
b e z p r o s t ř e d n í , a potud v sobě nemůže jistě mít nic tajemného
a skrytého; čímž jsme ovšem nechtěli říci, že by nebyla hodná
mnohého vědeckého a badatelského úsilí ta oblast těchto
účinků, které jsou nějak z p r o s t ř e d k o v á n y , zejména o r g a n
i s m y .
102
§57
7. Jestliže si lidé před dávnými časy vymyslili s u b s t a n c e bez
sil, chtěli zase v nové době sestrojit vesmír jen z pouhých sil bez
substancí. Byla to bezpochyby okolnost, že žádná substance nám
neprojevuje své bytí jinak než svými účinky, tedy silami, která
vyvolala mylný výklad pojmu substance jako souhrnu p o u h ý c h
sil. A hrubý smyslový obraz, na který poukazuje etymologie slov:
s u b s t a n c e , s u b s t r á t , subjekt, nositel a podobných jiných,
zdánlivě podával jasný důkaz, že všeobecně vládnoucí učení, podle
něhož k existenci substance je zapotřebí ještě čehosi zvláštního,
čemu příslušejí ony síly jako jeho vlastnosti, je založena na pouhém
smyslovém klamu; neboť nositele, p o d k l a d u ve vlastním
slova smyslu, tu jistě nebylo třeba. Musíme však zůstat u tohoto
smyslového výkladu? Jakékoli něco, dokonce pouhý poj em ničeho,
musíme přece považovat za předmět, kterému nenáleží jen jedna
vlastnost, nýbrž celý souhrn nekonečně mnoha vlastností. Myslíme
si proto jakékoli něco jako nositele ve vlastním smyslu? Jistě ne!
Myslíme-li si však něco s tím určením, že je to něco skutečného,
a to takové skutečno, které není žádnou vlastností jiného skutečna,
pak to podřadíme pojmu s u b s t a n c e podle správného výkladu
tohoto slova. A takových stvořených substancí existuje, s výjimkou
jedné nestvořené, nekonečně mnoho. Silami nazývám ve smyslu
převládajícího jazykového užití všechny ty vlastnosti substancí,
o nichž musíme předpokládat, že jsou nejbližší (tj. bezprostřední)
příčinou
s
nějaké jiné vlastnosti, a to uvnitř nebo vně té substance,
která je vyvolává. Síla, která by nepříslušela žádné substanci jako
její vlastnost, musila by být něčím skutečným, poněvadž jako
příčina je něčím skutečným, a přitom by se nevyskytovala na žádné
jiné skutečnosti, takže by se neměla nazývat pouhou silou, nýbrž
přímo samostatně existující substancí.
Po tom všem, co jsme uvedli o podobných vztazích (§ 38 a násl.)
u času a prostoru, nevyžadují žádného dalšího ospravedlnění tyto
paradoxy — že v božím stvoření neexistuje žádný nejvyšší s t u p e ň
b y t í a žádný nejnižší; že dále na každém sebe vyšším stupni
a v každé sebe starší době byli tvorové, kteří se rychlým pokrokem
X03
vyšvihli právě na tento stupeň; že však také na každém sebe nižším
stupni a v každé sebe pozdější době budou tvorové, kteří se přes
svůj stálý pokrok teprve nyní nacházejí na tomto stupni.
§59
Mnohem pohoršlivěji však zní p a r a d o x : přestože „ v e š k e r ý
n e k o n e č n ý p r o s t o r vesmíru je všude a ve všech dobách tak
vyplněn substancemi, že ani jediný bod není ani okamžik bez substance,
která by v něm byla, a že také ani jeden bod nepřechovává
dvě nebo více substancí — může přece existovat nekoneěná množina
různých s t u p ň ů h u s t o t y , kterou mají různé části prostoru v různých
dobách, takže táž množina substancí, která v tomto okamžiku
vyplňuje např. kubickou stopu, by mohla být v jiném čase rozprostřena
v prostoru miliónkrát větším, a opět v jiném čase by mohla
být zhuštěna v tisíckrát menším prostoru, aniž by byl při rozpínání
některý bod ve větším prostoru prázdný a aniž by musil bod v menším
prostoru pojmout při zhušťování dva nebo tři atomy."
Jsem si velmi dobře vědom toho., že tím tvrdím něco, co v očích
většiny fyziků vypadá až do nynějška jako nesmysl. Neboť jen
právě proto, poněvadž se domnívají, že fakt n e s t e j n é h u s t o t y
těles nelze sloučit s předpokladem spojitě vyplněného prostoru,
předpokládají určitou p ó r o v i t o s t jako všeobecnou vlastnost všech
těles, dokonce i těch, u nichž (jako u plynů a éteru) pro to nemluví
sebe menší pozorování, a v těchto pórech, z nichž větší mají být
veskrze naplněny plyny, tedy vlastně jen v pórech kapalin, jež
nebyly nikdy pozorovány, předpokládají fyzikové ještě až do nynějška
tak zvané vacuum dispertitum, tj. určité prázdné prostory v takovém
množství a v takové rozloze, že stěží biliontý díl prostoru, vyplněného
pouhým éterem, obsahuje skutečnou hmotu. Nicméně doufám,
že všem těm, kteří náležitě uvážili co bylo řečeno v §§ 20 a násl.,
bude dostatečně jasné, proč není vůbec nic nemožného v tom,
že táž (nekonečná) množina atomů zaujímá hned větší prostor,
hned se opět stáhne na menší, aniž by v prvním případě zůstal třeba
jen jediný bod onoho prostoru opuštěný, a v druhém případě aniž
by jen jediný bod musil přijmout dva atomy.
104
§60
A nyní bychom se již sotva pohoršili nad tvrzením (které bylo
již beztak vysloveno starší metafyzikou v učení o nexu cosmico),
že každá substance světa je s každou jinou v obapolném spojení,
avšak tak, že změna, kterou jedna způsobuje u druhé, je tím menší,
čím je větší jejich vzdálenost a že ú h r n n ý výsledek vlivu všech
s u b s t a n c í na k a ž d o u j e d n o t l i v o u je změnou, která se řídí
známým z á k o n e m spojitosti — pomineme-li případ, kdy nastane
přímý boží zásah, protože odchylka od tohoto zákona vyžaduje
sílu, která by ve srovnání se spojitou silou musila být n e k o n e č n ě
velká.
§61
Jakkoli snadno se dá z pouhých pojmů vyvodit učení o vládnoucích
s u b s t a n c í c h , vyslovené již v prvním vydání A t h a n a s i e
(1829), lze v něm přece zpozorovat paradoxy, pročež je nutné zmínit
se tu o nich několika slovy.
Vycházím totiž (viz citované místo) z té myšlenky, že v každé
době existují substance, jejichž síly již natolik vzrostly, že působí
s jistou převahou na všechny okolní substance, a to ať je toto okolí
jakkoliv malé, protože mezi každými dvěma substancemi vesmíru
musí být v každém čase, jak známo, nějaký rozdíl konečné velikosti.
— Bylo by omylem, který by tento předpoklad ihned vystavil
podezření z vnitřního sporu, kdyby si chtěl někdo představovat,
že taková vládnoucí substance musí mít síly, které převyšují síly
o v l á d a n é substance o nekonečno. Tak tomu vůbec není. Dejme
tomu, že v prostoru konečné velikosti, např. v prostoru koule, je substance
(třeba v jejím středu), která převyšuje svými silami všechny
ostatní substance v konečném poměru, jako by to např. bylo, kdyby
každá z nich měla pouze poloviční sílu proti oné. Ačkoliv se pak
vůbec nedá pochybovat o tom, že celkový účinek těchto nekonečně
mnoha slabších substancí převyšuje nekonečněkrát účinek silnější
substance tam, kde se náhodně ve své činnosti spojí (jak se stává
např., když se snaží přiblížit se k ústřednímu tělesu, jak brzo uslyšíme):
přece mohou a musí být jiné případy, kdy ony síly nesměřují
105
právě k témuž cíli, zejména se musí dát zpravidla říci — přihlédneme-li
teď pouze k tomu účinku, který každá ze substancí, nacházejících
se v prostoru, sama vykonává na každou jinou a zase z její
strany přijímá — že toto vzájemné působení na straně silnější substance
je silnější v tomtéž poměru k její síle. V tomto příkladu
tedy substance, o níž jsme předpokládali, že je alespoň dvakrát
silnější než každá ze sousedních, bude na každou z nich alespoň
dvakrát silněji působit, než ony působí na ni. A jen toto si myslíme,
když říkáme, že ovládá druhé substance.
§62
Avšak někdo snad řekne, že je-li tomu jen takto, pak musíme
potkat nejen v některých prostorech, nýbrž v každém sebemenším
prostoru, ba dokonce v každém libovolném souhrnu atomů, jeden
vládnoucí; neboť v každém souhrnu musí být několik nejsilnějších,
právě tak jako nejslabších. Doufám však, že žádný z mých čtenářů
nepotřebuje poučení, že toto platí nejvýše o konečných množinách,
ale že tam, kde je množina nekonečná, může mít každý clen nad
sebou ještě větší (nebo pod sebou ještě menší) clen, aniž by některý
z nich překročil danou konečnou veličinu (anebo pod ni klesl).
§63
Tyto v l á d n o u c í substance, kterých již ve smyslu jejich pojmu
je v každém konečném prostoru jenom konečný počet, každá z nich
však obklopená hned větším, hned zase menším obalem pouhých
služebných substancí, vytvářejí spojením ve shluky konečné velikosti
to, co nazýváme rozličnými tělesy, vyskytujícími se ve světě
(plynnými jakož i kapalnými, pevnými, organickými atd.). V protikladu
k nim nazývám é t e r e m celou ostatní světovou látku, která
vyplňuje všechny kdekoli existující prostory, aniž by obsahovala
význačné atomy,, a tak spojuje všechna tělesa světa. Není tu místo
k rozboru, jak mnohé jevy, dosud jen nedokonale vysvětlené nebo
vůbec nevysvětlené, se z dosavadního předpokladu (i když jej chceme
připustit jen jako předpoklad) velmi lehce vysvětlí. S ohledem
106
na ucel tohoto spisu si musím dovolit jen několik náznaků k objasnění
zdánlivých sporů.
Jestliže se všechny stvořené substance navzájem rozlišují jen stupněm
své síly, musí-li tedy být přiznán každé z nich alespoň sebemenší
stupeň v n í m a v o s t i a působí-li všechny na všechny: pak
není nic pochopitelnějšího než to, že libovolným dvěma substancím,
ať již jakkoli ustrojeným, a tím spíše dvěma význačným substancím
se nejeví k a ž d á vzdálenost j a k o stejně v h o d n á (tj. taková
vzdálenost, která by jim činila stejně dobře); neboť na velikosti
vzdálenosti závisí jak velikost účinků, které vykonávají, tak těch,
které přijímají. Jestliže vzdálenost, ve které jsou, je větší než je pro
ně vhodné: dostaví se u nich snaha, tuto vzdálenost zkrátit, tedy
tak zvané p ř i t a h o v á n í , v opačném případě však odpuzování.
Nesmíme si myslit ani odpuzování ani přitahování jako oboustranné,
a tím méně to, že je doprovázeno skutečnou změnou místa: avšak
smíme předpokládat jako jisté, že pro každou dvojici substancí
ve vesmíru existuje dostatečně velká vzdálenost, aby při ní a při
každé větší vzdálenosti nastalo vzájemné přitahování, a právě tak
vzdálenost dostatečně malá, aby při ní a při každé menší nastalo
vzájemné odpuzování. Ať se však v čase jakkoliv mění velikost
uvedených dvou vzdáleností, které jsou mezemi přitahování a odpuzování
pro dvě uvedené substance, a to nejen podle vlastností
těchto substancí samých, nýbrž i podle vlastností sousedních substancí,
ležících v jejich celém okolí: je přece nesporné, že veškerý
vliv, který na sebe vykonávají dvě substance za okolností jinak
pochybných, se musí zmenšovat s úbytkem jejich vzdálenosti; již
z toho důvodu, že také množina těch substancí, které by mohly
zaujmout místo ve stejné vzdálenosti a měly by nárok na tentýž
účinek, přibývá se čtvercem oné vzdálenosti. Poněvadž dále převaha,
kterou má každá význačná substance nad substancí pouze podřízenou,
dostupuje vždy jen konečné velikosti, a naproti tomu množina
podřízených substancí přesahuje v každém prostoru množinu oněch
prvních nekonecněkrát: lze pochopit, že velikost přitažlivosti, kterou
působí všechny substance v daném prostoru na jeden atom ležící
vně, se jeví být přibližně táž, dosáhla-li jeho vzdálenost dostatečné
velikosti, jako velikost, které by přitažlivost nabyla i tehdy, kdyhy
107
onen prostor neměl žádné význačné substance, nýbrž obsahoval jen
stejně velkou množinu obyčejných atomů. Ve spojení s předchozím
nás to vede k důležitému závěru, že mezi všemi tělesy, za předp
o k l a d u , že jejich v z á j e m n á v z d á l e n o s t je d o s t a t e č n ě
velká, existuje p ř i t a ž l i v á síla, k t e r á je p ř í m o ú m ě r n á
jejich m a s á m (tj. množině jejich atomů) a n e p ř í m o ú m ě r n á
čtverci jejich vzdáleností. Žádný fyzik ani astronom našich
dnů nepopře, že tento zákon byl ve vesmíru pozorován; avšak zdá se,
že se jen zřídka vzpomnělo na to, jak těžko je slučitelný s obvyklým
názorem na vlastnosti elementárních částic různých těles Kdyby
totiž se to mělo skutečně tak, jak se věc dosud obecně vykládá,
že oněch 55 a více j e d n o d u c h ý c h látek, které chemikové poznali
na zemi, by tvořilo masu všech těles, se kterými se tu setkáváme,
takže každé by bylo pouze souhrnem atomů jedné nebo druhé nebo
většího počtu těchto látek, takže např. zlato by bylo pouze souhrnem
atomů zlata, síra souhrnem atomů síry atd.: pak ať mi vyloží, kdo
do dovede, čím je to, že látky, které se tak rozdílně chovají pokud
jde o jejich síly, zejména ve stupni vzájemné přitažlivosti, jsou si
přece ve své váze veskrze rovny, tj. že jejich váhy se mají k sobě jako
jejich masy. Neboť známá zkušenost učí přímo že tomu tak je, když
koule z libovolné látky, mající stejnou váhu, se chovají při srážce
přesně tak, jak to musí činit tělesa o stejné hmotě (mase), když
se např. přivedou při stejné rychlosti do klidu (pokud je účinek pružnosti
odstraněn nebo počítá-li se s ním). Předpokládáme-li však,
že všechna tělesa nejsou vlastně z ničeho jiného než z nekonečné
množiny éteru, v němž je ve srovnání s touto množinou zcela mizivý
počet význačných atomů, jejichž síly převyšují síly éterového atomu
jen konečněkrát: pak pochopíme, že přitažlivá síla, kterou působí
celá zeměkoule na tato tělesa, nemůže být v žádném případě citelně
zvýšena malým počtem oněch význačných atomů, že tedy jejich
váha musí být úměrná jen jejich celé mase. Avšak i dnes jsou fyzikové,
kteří považují t e p e l n o u l á t k u (tedy v podstatě tutéž látku,
kterou já sám ztotožňují s éterem) za kapalinu, která je ve všech
tělesech a nikdy se z nich nedá úplně vypudit. Kdyby si tedy nebyli
na neštěstí představovali tuto tepelnou látku jako i m p o n d e r a b i l i i
a kdyby se byli povznesli k názoru, že množina stomů, které jsou
108
ještě krom tepelného fluida v každém individuálním tělese, je proti
tepelné látce mizivá (a jak blízko tomu byli, když někdy požadovali,
že si musíme představovat atomy oddělené vzdálenostmi, které
jsou ve srovnání s jejich průměry nekonečně velké): pak by jim bylo
jistě bývalo zcela jasné, že je to jen tato tepelná látka, která určuje
váhu všech těles.
§64
Je nasnadě, že moc, kterou vyvíjí význačná substance na své
nejbližší okolí, spočívá, když ne v jiném, tedy alespoň v jistém vněj- *
ším přitahování jejích sousedních atomů, pročež jsou atomy okolo ní
a vzájemně vůči sobě hustěji stlačeny, než by jinak byly, a proto
právě mají snahu, vzdálit se trochu při dané příležitosti jak od
tohoto přitahujícícho bodu, tak navzájem, tedy se navzájem odpu*
zovat; což je fakt, na který poukazuje tolik zkušeností, avšak k jehož
výkladu se zcela zbytečně předpokládala p r v o p o č á t e č n í odpudivá
síla mezi částečkami éteru.
§65
Z této okolnosti vyplývá snadný důkaz věty, kterou jsem vyslovil
již v Athanasii, že totiž ž á d n á v ý z n a č n á s u b s t a n c e n e d o z n á
u v n i t ř svého obalu t a k o v o u změnu, aby si nepodržela určitý
(i když jakkoli malý) díl svého nejbližšího okolí. Jistě se nikdo neobává,
že význačná substance a by mohla být oloupena o ty atomy.;
éteru, které jsou jí nejblíže, jestliže žádný z jejích nejbližších okolních
sousedů význačného stupně 6, c, d, e . . nemění svoji vzdálenost
od a; pouze tehdy by mohla být nějaká obava, kdyby některá z nich
nebo i všechny se vzdálily. Avšak i když se to stane, může jenom
část éterových částic, obklopujících a, sledovat unikající substance
6, c, df, e . . ., avšak část, a to těch které jsou neblíže a, musí vždy
zůstat; přičemž nejen připouštím, že se tato část rozepne do širšího
prostoru, nýbrž dokonce tvrdím, že je to nutné. Podle stavu okolností
by sem dokonce mohly proudit z určitých vzdálených končin éterové
atomy a vnikat do oněch prostorů, které jsou naplněny relativně
mnohem řidším éterem, poněvadž vzdálenosti, do nichž še rozptýlily
109
substance a, 6, c, d9
e . . . jsou příliš velké. Není však žádný důvod,
aby tento éter, přicházející zdaleka, vytlačil úplně éter, který původně
obklopoval substanci a a chtěl získat jeho místo. Éter sem proudící
musí jen zabránit vlastnímu rozpínání éteru, obklopujícího substanci
a, místo aby jej vypudil úplně, a stlačit jej natolik, až jeho hustota
je v rovnováze se silami přitažlivosti všech okolních atomů.
§66
Potom je možno ihned odpovědět na mnohé otázky způsobem,
který by mohl někdo pokládat za paradoxní, kdyby to, co jsme
předeslali, nezaručovalo vysvětlení. Takového druhu je otázka
po h r a n i c í c h těles: kde vlastně jedno těleso končí a druhé začíná?
Já však pokládám za h r a n i c i tělesa souhrn všech nej vnějšně jších
atomů, které ještě k n ě m u p a t ř í , tj. které jsou silněji přitahovány
jeho význačnými atomy než jinými vládnoucími atomy, které jsou
v sousedství; takže změní-li těleso svoje postavení vůči svému
sousedství (např. se od něho vzdálí), odcházejí s ním, i když
snad ne toutéž rychlostí, přece však tak, že nedojde k žádnému
odloučení atomů a žádnému vstupu cizích atomů mezi ně. Předpokládáme-li
tento pojem hranice, ukáže se brzy, že ohraničení tělesa
je něčím velmi měnlivým, ba že se skoro stále mění, jak jen probíhá
nějaká změna zčásti v něm samém, zčásti v sousedních tělesech,
neboť všechny takové změny mohou pochopitelně způsobit mnohé
změny jak velikosti, tak i směru přitažlivosti, která působí na atomy
nějakého tělesa, a to nejen na ovládané, nýbrž dokonce na vládnoucí
Tak jistě četné částečky tohoto brku, které ještě krátce předtím
byly jeho ostatní hmotou silněji přitahovány než okolním vzduchem,
a tedy ještě k brku náležely, budou nyní přitahovány mými prsty
silněji než hmotou brku a tím se od něho odtrhnou. — Přesnější
úvaha ukazuje, že mnohá tělesa nemají na určitých místech vůbec
žádné hraniční atomy, tj. nemají takové atomy, které by ještě
náležely k tělesu a pohybovaly se s ním, kdyby se jeho poloha
změnila, a přitom byly nej vnějšitější. Neboť opravdu, jakmile má
jedno ze sousedních těles na některém místě nejvzdálenější atom,
jenž odchází s ním, nemůže mít druhé těleso již proto žádný takový
110
nejvzdálenější atom, poněvadž všechny atomy éteru, které jsou
za ním, patří již k němu.
§67
Tím je také dána odpověd na otázku, zda jsou tělesa v přímém
d o t y k u a kdy, či zda jsou oddělena prostorem mezi nimi? Dovoluji
si totiž (což se mi zdá být nejúčelnější) ten výklad, že dvě tělesa
se dotýkají, kdykoli nejvnějšnější atomy, které podle vysvětlení
předchozího paragrafu patří k jednomu z nich, tvoří s atomy druhého
spojitou rozlohu: pak se jistě nedá popřít, že existuje mnoho těles,
která se vzájemně dotýkají; nejen tehdy, je-li jedno z nich tekuté
či dokonce obě dvě, nýbrž i když jsou pevná, pokud ovšem napřed
--odstraníme silným stiskem nebo jinak vzduch, který je mezi nimi,
a který na nich lpí při obvyklých poměrech na zemi. Nedotýkají-li
se pbě tělesa: pak musí být prostor mezi nimi vyplněn nějakým jiným
tělesem nebo alespoň pouhým éterem, poněvadž žádný zcela prázdný
prostor neexistuje. Dá se tedy tvrdit, že vlastně každé těleso je
ze všech stran v dotyku s některými jinými tělesy anebo s pouhým
éterem, když taková tělesa nejsou.
§68
Vzhledem k rozmanitým druhům pohybu, které se uskutečňují
ve vesmíru, bychom se mohli domnívat, že když není (podle našeho
názoru) žádná část prostoru prázdná, není možný jiný pohyb než
jeden, při němž celá současně se pohybující hmota tvoří jedinou
rozlohu, navracející se. zpět do sebe samé, kde každá část hmoty
zaujímá jen ta místa, která přímo předtím zaujímala jiná část
hmoty. Kdo však zachoval v paměti to, co bylo řečeno v § 59 o rozličných
stupních hustoty, kterými prostor může být vyplněn,
pochopí, že mohou a musí nastat i jiné pohyby. Zejména s jedním
pohybem, a to k m i t a v ý m , se musíme takřka stále potkávat nejen
u všech éterových atomů, nýbrž také skoro u všech význačných
atomů z důvodu, který je tak zřejmý, že jej nepotřebuji teprve
uvádět. Jemu nejblíže musí také být otáčivý pohyb, velmi běžný
zejména u t u h ý c h těles. Jak si jej máme myslit, jak se dá vysvětlit,
111
že tytéž atomy, které jsou nyní na jedné straně osy, dospějí po půlotácce
na protější stranu, aniž by se odtrhly, jestliže osou otáčení
je hmotná čára (což musí podle našich názorů být vždy): to může
přivést do rozpaků jen toho, kdo zapomene, že právě tak v kontinuu,
jako mimo ně, je každý atom v určité vzdálenosti od každého jiného
a proto může okolo něj kroužit, aniž by se odtrhl, nebo aniž by se
přitom dokonce otáčel kolem sebe; toto otáčení kolem sebe sama
by bylo u jednoduché prostorové věci něčím, co by si samo odporo­
valo.
Aniž bychom chtěli tvrdit, že i jen jediný vládnoucí atom nebo
obyčejný atom opisuje ve vesmíru v nějaké době dokonale přímou
cáru nebo dokonalou kružnici (což by při nekonečné množině poruch
které utrpí každý atom účinkem ostatních, mělo spíše nekonečně
velkou nepravděpodobnost): nesmírné přece prohlásit takové pohyby
za něco, co by samo o sobě bylo nemožné. Zajisté však smíme tvrdit,
že k opisování např. lomené čáry může dojít jen tehdy, když
rychlosti atomu na konci úseku ab ponenáhlu tak ubývá, že je
v bodě b nulou; načež se v každém okamžiku, následujícím po příchodu
do 6, musí dostavit opět rychlost (rostoucí od nuly), nemá-li
být pohyb přerušen konečnou dobou klidu.
Není tomu tak u jistých jiných čar, jako zejména u logaritmické
spirály. I když si odmyslíme všechny poruchy z vnějšku, shledáme,
že je něco kontradiktorického v tom, že by atom měl proběhnout
v konečné době třeba i jen tu část této čáry, která směřuje ke středu,
počínajíc nějakým jejím bodem: a ještě nesmyslnější je požadovat,
aby atom, který ji opisuje, dosáhl středu spirály. Abychom toto
dokázali jen pro ten případ, kdy atom postupuje po své dráze stálou
rychlostí: mysleme si nejprve, že se pohybuje sám. Pak se brzo
ukáže, že na jeho pohyb po spirále se dá nahlížet tak, jako by byl
složen ze dvou pohybů: jednoho rovnoměrného pohybu po průvodiči,
směrem ke středu, a úhlové rotace se středem v tomto bodě, jejíž
rychlost, rovnoměrně vzrůstající, musí být větší než jakákoli konečná
veličina, má-li atom dospět libovolně blízko středu. Jistě tedy neexistuje
v přírodě síla, která by mu mohla udělit tuto rychlost;
112
a tím méně síla, která by mohla dát tuto rychlost celé mase atomů,
rozprostřené ve třech rozměrech, jaké je zapotřebí, když každý její
atom má proběhnout všech nekonečně mnoho závitů spirály, až
ke středu v konečné době. Avšak i kdyby ji měl, mohli bychom
o něm říci, že dospěl do středu? Já sám nejsem toho mínění. Neboť
ačkoliv můžeme říci, že tento střed tvoří s body spirály (které jí
zcela nepochybně patří) kontinuum, protože se mezi nimi najde
v každé sebemenší vzdálenosti jeho soused: přece chybí této lineární
rozloze ještě druhá vlastnost, kterou musí mít každá rozloha, má-li
být opsána pohybem atomu, a to, že má v každém svém bodě jeden
nebo několik určitých směrů. A tomu tak ve středu spirály není,
jak známo.
Sem konečně patří i škádlivá otázka, zda může podle našich
názorů o nekonečnosti vesmíru dojít k posuvu všeho vesmíru
v nějakém daném směru nebo k jeho otáčivému pohybu kolem dané
osy či světového středu? Odpovím, že ani jeden, ani druhý pohyb
nemůžeme prohlásit za nemožný z toho pouhého důvodu, že by snad
nebylo možno nalézt pro každý atom místa, na něž by vstoupil;
avšak musíme je prohlásit za nemožné, protože se nedostává příčin
(sil), které by takový pohyb měly přivodit. Neboť nedá se vymyslit
ani důvod fyzický nebo uspořádání obecně nutné (tj. které
je pouhým důsledkem ryze teoretických pojmových pravd), ani
morální důvod nebo uspořádání jen p o d m í n ě n ě nutné (tj.
které nacházíme ve světě jen proto, poněvadž bůh způsobuje každou
událost prospěšnou blahu jeho stvoření) — z něhož by plynulo,
že se ve světě a takovým pohybem setkáme.
§70
Uzavřeme tyto úvahy dvěma paradoxy, které proslavil zejména
Euler. Již Boskovic upozornil na okolnost, že na jednu a tutéž
otázku po pohybu atomu a, přitahovaného silou, nacházející se v c
a nepřímou úměrnou čtverci vzdálenosti, dostaneme dvě různé odpovědi:
podle toho, díváme-li se na tento případ jako na pohyb, do něhož
pomalu přechází pohyb eliptický, když jeho rychlosti vrhu ubývá
k nule, nebo díváme-li se na věc tak, jak je sama o sobě, abstrahujíce
113
zcela od této fikce. Kdyby atom a získal vrhem (nebo jiným způsobem)
na začátku svého pohybu složku rychlosti kolmou k ac: musil by
(zanedbáme-li jakýkoli odpor prostředí) opisovat elipsu, jejíž jedno
ohnisko je c. Ubývá-li této složky rychlosti do nekonečna, ubývá
do nekonečna také menší osa této elipsy; pročež E u l e r usoudil,
že v tom případě, kdy atom nemá v bodě c žádnou rychlost, musí
dojít k jeho kmitavému pohybu mezi body a a c; a jedině tento
pohyb že to je, do něhož přechází onen pohyb eliptický, nemá-li
se porušit zákon spojitosti. — Jiní, zejména Bus se, shledali naproti
tomu nesmyslnost v tom, že atom, jehož rychlost ve směru ac má
vzrůstat přiblížením k bodu c do nekonečna, by tu byl zcela bezdůvodně
ve svém běhu zabržděn a puzen zpět v opačném směru (neboť
přítomnost něčeho, co by bránilo průchodu tímto místem, jako
třeba neprostupného atomu, který by tu byl nehybně položen, nebyla
vůbec předpokládána). Tvrdili tedy, že musí přece ve svém pohybu
pokračovat ve směru ac za c, avšak nyní s ubývající rychlostí, až
dosáhne konce úseku cb = ca, pak se podobně z b vrátit do a zpět
a tak stále dál. — Podle mého názoru tu nemohlo být nic rozhodnuto
E u l e r o v ý m poukazem na zákon spojitosti. Neboť proti takovému
druhu spojitosti, která vskutku prokazatelně vládne u změn ve
vesmíru (a to v růstu nebo poklesu sil jednotlivých substancí),
se jev, o nějž je veden spor, neprohřešuje, a to ani když necháme atom
oscilovat v mezích a a 6, ani když jej necháme oscilovat mezi a a c.
a
Avšak proti tomuto zákonu se prohřešíme způsobem, který
se nedá ospravedlnit, již tím, že tu předpokládáme síly,
a to přitažlivou sílu, liter á roste do nekonečna; a již proto
se nesmíme divit, když se dají ze sporných premis vyvodit
i sporné závěry. —- Z toho však vidíme, že nejen Eule-
c
r o v a odpověď na otázku je nesprávná, nýbrž i Busseho
odpověď; neboť předpokládá již něco, co je samo o sobě
nemožné, totiž nekonečně velkou rychlost v bodě c. Napraví-li
se tato chyba, předpokládá-li se tedy, že rychlost, jakou
atom postupuje, se řídí takovým zákonem, že zůstává stále
konečnou; pamatuje-li se též na to, že nemůžeme nikdy
*b hovořit o pohybu jediného atomu, aniž bychom předpoObr.
12 kládali prostředí, v němž se pohybuje, a větší nebo menší
114
množství atomů, jež se současně s ním pohybují: objeví se zcela
jiný výsledek, jehož bližším popisem se tu nepotřebujeme zabývat.
D r u h ý paradox, který chceme ještě několika slovy uvést, se týká
k y v a d l o v é h o pohybu, a spočívá v tom, že poloviční doba kyvu
jednoduchého kyvadla o délce = r, počítaná pomocí nekonečně
malého oblouku je, jak známo = — / — ; kdežto doba pádu po tětivě
tohoto oblouku, jejíž délku přece pokládáme obyčejně za stejně
velkou s délkou oblouku, vyjde = ]/2. 1/—. Že Euler v tom viděl
paradox spočívá jistě jen v jeho nesprávné představě o nekonečně
""malém, které si myslil jako ekvivalentní nule. Ve skutečnosti však
neexistují ani nekonečně malé oblouky, ani tětivy; to však, co tvrdí matematikové
o svých tak zvaných nekonečně malých obloucích a tětivách,
dokázali vlastně jen pro oblouky a tětivy, které mohou být pokládány
za tak malé, jak si jen přejeme; a hoření dvě rovnice, správně
pochopené, nemohou mít žádný jiný smysl než ten: poloviční doba
mkyvu kyvadla se blíží veličině — / — tak blízko jak chceme, jestliže
vezmeme oblouk, na němž je necháme kývat, tak malý, jak chceme:
avšak doba pádu po tětivě tohoto oblouku se blíží za těchže okol*Yiností
veličině ['2 1/ — takpřesně,jakjen chceme. A že tyto dvě veličiny
jsou rozdílné, že tedy oblouk a jeho tětiva se liší vzhledem k zmíněné
době pádu, ať je vezmeme jakkoliv malé: na tom není nic podivného
právě tak, jako na mnohých jiných jejich rozdílech, jejichž vymizení
nikdo neočekává, dokud oblouk a tětiva existují, jako například
na tom rozdílu, že oblouk si zachová vždy křivost, jejíž velikost
bychom mohli měřit — , zatímco tětiva zůstává stále přímá, tj.
nemá žádnou křivost.
115