KoMáR
KoMáR je určen pro žáky druhého stupně základních škol a odpovídajících ročníků víceletých
gymnázií, kteří si rádi s matematikou hrají a nebojí se zajímavých příkladů.
Seminář organizují studenti Gymnázia Brno, tř. Kpt. Jaroše, pod záštitou Ústavu matematiky a
statistiky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity a navazuje na dlouholetou tradici
semináře Pikomat.
Letos má KoMáR 5 sérií po 8 příkladech. Stejný tip příkladů pro starší žáky má BRKOS.
KoMáR – Zadání 1. série školní rok 2022/2023
Zadání první série
Termín odevzdání: 31. října
Klavír kněze Jacoba zrovna dohrál své poslední smutné tóny. Všichni zúčastnění
se zvedli z lavic a šouravým krokem zamířili k nově zhotovenému
hrobu.
„Je ho škoda,“ pošeptal Moimerovi Pablo.
„To je, byl to ten nejlepší kápo, kterého jste si mohli přát.“
„Bral tě jako vlastního, víš?“
Moimero se smutně pousmál. „Vím.“
Řada před hrobem se posunula a Moimero se ocitnul přímo před majestátním
náhrobkem. Martini Lasagna, četl stříbrný zdobený nápis. Datum úmrtí
1. 9. 2022. Z černobílé fotografie na něj koukaly pronikavé oči zesnulého mafiánského
bosse. Moimero se sklonil, aby na hrob položil bílé karafiáty svázané
černou stuhou. Když vtom jeho oči spočinuly na dalších jménech na hrobě.
Úloha 0. Z informací z doprovodného textu nakreslete rodokmen rodiny
Lasagnů.
Pablo se uklonil před hrobem svého dědečka a položil Moimerovi ruku
na rameno.
„Máš oheň?“ zeptá se ho Moimero.
Pablo udiveně pozvedne obočí. „Ty kouříš?“
„Ne.“
„Tak proč se ptáš?“
„Jen tak.“
Pablo jen nevěřícně zakroutil hlavou a provedl kamaráda malým náměstíčkem
na hřbitově. Náměstíčko bylo vydlážděno velkými čtverci z mramoru
a obsidiánu poskládaných ve specifickém vzorci.
Úloha 1. Náměstíčko mělo tvar čtverce 7⇥7. Vložte do políček tabulky číslice
1 6 tak, aby se stejné číslice neopakovaly v žádném řádku ani sloupci.
Některá pole mohou zůstat prázdná – tato políčka vybarvěte černě. Čísla okolo
tabulky udávají součty skupin číslic v řádcích a sloupcích (skupiny jsou vždy
odděleny jedním či více prázdnými políčky) v takovém pořadí, v jakém se vyskytují
v příslušných řádcích a sloupcích. Skupinou může být myšlena i jediná
číslice. V jednom řádku nebo sloupci mohou být maximálně 4 mezery. Příklad
vyplnění tabulky 6 ⇥ 6 čísly 1 5:
5
KoMáR – Zadání 1. série školní rok 2022/2023
„Jak to zvládá Santia?“ zeptal se starostlivě Moimero.
Pablo pokynul hlavou směrem k postarší ženě v černém šátku s černými
rukavičkami. „Babi? Podle nás se z dědovy smrti pominula. Neustále tvrdí,
že pořád žije a jenom si z ní tropí žerty.“
„Třeba na tom něco bude,“ pousmál se Moimero, „co si pamatuju, tak
Santia vždycky věděla, která bije.“
„Ještě ji v tom podporuj!“
„No, co víš? Nám, když umřela kočka. . . “
Pablo otráveně mávnul rukou. „Ale běž už s tou vaší kočkou! Nicméně, důležitější
otázka, jak vlastně plánuješ získat peníze na svatbu s mojí sestrou?“
„Neboj, mám to promyšlené. Část dodá Theresia. Pak mám od mé pramáti
nějaké zdobené nádobí, které vyměním u naší sousedky za koberce,
které pak prodám strýcovi, z toho by mohlo kápnout pár stoveček. Pak hodlám
z mléka naší staré Dorky udělat nějakou mozarellu, po níž se můžou
6
KoMáR – Zadání 1. série školní rok 2022/2023
chlapi utlouct. . . “
Úloha 2. Rozluštěte, co znamenají tři „nové“ operace, které lze popsat pomocí
čtyř základních operací + ⇥ :)
Příklad: 5$4 = 6 12$17 = 7
Řešení: $ je operace, která vynásobí první číslo dvěma a odečte druhé číslo
• 8@3 = 19 15@12 = 42 3@1 = 7 9@9 = 27 5@6 = 16
• 5#5 = 30 5#7 = 36 3#7 = 30 12#8 = 60 7#17 = 72
• 3&4 = 19 2&5 = 17 3&6 = 27 10&5 = 65 1&1 = 3
Pablo Moimera přerušil: „No, jestli jen víš, co děláš. Ale nemysli si,
že Theresia dostane nějaké velké dědictví po dědovi.“
„Proč by ne?“
„No, tak dědí nás opravdu hodně. Něco dostane babi Santia. Pak musí
něco dostat strejda Luca s tetou Annie, jejich syn Giovanni, pak mamka,
no, a já s Theresií!“ Pablo počítal na prstech ruky. „A když po dědovi zbylo
nějakých 16 milionů, tak se to bude i dost špatně dělit!“
Moimero se zasmál. „Kolik má vlastně vaše rodina členů?“
Úloha 3. Kolik existuje různých možných počtů dědiců po dědovi Martinim
(počet dědiců musí být přirozené číslo), rozdělí-li se mezi ně 16 milionů rovným
dílem, počet milionů, jež každý z dědiců dostane, bude kladné desetinné
číslo, které má před desetinnou čárkou i po ní právě jednu cifru?
„A to budeme vlastně rádi, pokud naše část rodiny něco dostane. Nevím,
jestli můžeme něco dědit po smrti táty. Protože máma Petronella vlastně
není přímý potomek dědy, no a já s Theresií. . . Jestli nám Luca vlastně něco
nechá!“
To už ale Moimero dávno pozor nedával. Kolem totiž zrovna prošla Theresia,
jeho nastávající. Na sobě měla černé šaty a kolem krku řetěz perel.
„Theresio! Amore mio!“ zavolal na ni Moimero. Theresia se na něj otočila
a věnovala mu okouzlující úsměv. Užuž se chystala jít za Moimerem, když
její jméno zavolal Luca a musela ho poslechnout.
„Kdo vás teď povede, když je Martini mrtvý?“ zeptal se Moimero, aniž
by spustil oči z Theresie.
„Strýc Luca. Je přímým dědovým potomkem a zároveň nejstarším mužem
v rodině.“
„Jaký je?“
„Myslím, že to brzo zjistíš,“ poukázal na přicházejícího muže Pablo.
7
KoMáR – Zadání 1. série školní rok 2022/2023
„Moimero!“ rozpřáhnul ruce Luca a políbil Moimera na obě tváře. „Pojď,
projdi se se mnou.“
Moimero střihl kradmý pohled na svého kamaráda a neochotně následoval
nového mafiánského bosse ven ze hřbitova, do drobného parčíku.
„Jsem unavený. Že bychom se posadili?“ navrhnul Luca mávnutím ruky.
Úloha 4. Máme v rovině čtyři stolečky – první, druhý, třetí a čtvrtý. Vzdálenost
mezi prvním a druhým je 5 m, mezi druhým a třetím 6 m, mezi třetím
a čtvrtým opět 6 m a mezi prvním a čtvrtým je 4 m. Jaká je nejmenší a největší
možná vzdálenost mezi prvním a třetím stolečkem? Velikost stolečků
zanedbejte
„Támhleten vypadá, že by mohl být nejblíž,“ ukázal Moimero na dvě proti
sobě natočené stoličky se stolečkem uprostřed. S Lucou se shodli a zamířili
směrem k nim. Celou cestu je následoval Lucův syn Giovanni. Zaujímal pozici
Lucova ochránce, což bylo samo o sobě legrační, neboť svalu by na jeho
těle nenašli.
Posadili se na vybrané stoličky a Moimero uviděl, že na stole je naznačená
šachovnice. Této skutečnosti si povšimnul i Luca a pousmál se.
„Hraješ šachy?“ zeptal se Luca. A bez toho, aby počkal na Moimerovu
odpověď, začal na ni dávat šachové figurky. Ten ho bedlivě pozoroval. Mafiánskému
kápovi se v očích zrcadlila škodolibost. Moimero se bál, co přijde.
Úloha 5. Do šachovnice 5×4 jsou po řádcích vepsána přirozená čísla od jedničky
(viz obrázek). S tabulkou můžeme provést tyto tahy:
• ke všem číslům na šachovnici přičíst nebo odečíst nějaké celé číslo,
• číslo na nějakém políčku přepsat na číslo jiného stejně barevného po-
líčka,
• všechna políčka jedné barvy vynásobit nějakým celým číslem.
Může dojít k situaci, kdy bude součet všech čísel v tabulce roven jedné?
8
KoMáR – Zadání 1. série školní rok 2022/2023
„Hrát šachy mě naučil můj otec,“ pousmál se smutně Luca a posunul
si klobouk hlouběji do čela. Moimero si vzpomněl na Lucova geniálního otce,
jehož epitaf před chvílí četl na hrobě.
K jejich posezení došla Lucova žena Annie. Posadila se na opěradlo Lucovy
lavice a ovinula svoje paže kolem manželových ramen. „Co děláte?“
zeptala se.
„Hrajeme šachy, drahá.“
Annie se usmála a pohladila Lucu ve vlasech. „Omluv ho, Moimero,
on moc rád hraje šachy. Za jak dlouho, že má být ta tvoje svatba?“
„Za měsíc.“
„Ach,“ pokýval hlavou Luca a zapálil si doutník, „to je ještě dost času
tu svatbu zrušit.“
Moimero se zakuckal z kouře z Lucova doutníku. „Zrušit?!“
„Ano. Moimero, musíš pochopit, že to není nic osobního. Ale znám pro naši
Theresii spoustu lepších nápadníků, než jsi ty. Spoustu nápadníků, kteří by
mohli být pro naši rodinu, řekněme, lukrativnější.“
„Theresia si ale chce vzít mě!“ zakroutil hlavou nevěřícně Moimero.
Luca se nahlas zasmál, až odhalil třpytivý zlatý zub. „Pobavil jsi mě,
vskutku pobavil. Theresia je poslušná dívka, která je ochotná hájit zájmy
naší rodiny.“
Moimero se odmítal vzdát. „Ale já mám kontakty, dobrou práci, uvidíte,
že můžu být pro vaši rodinu užitečný!“
„Hmmm,“ zabručel lišácky Luca, „co myslíš drahá? Mohl by být uži-
tečný?“
Annie se souhlasně zazubila. Luca vyndal z kapsy svého drahého saka
papír.
9
KoMáR – Zadání 1. série školní rok 2022/2023
Úloha 6. Luca vyndal obdélníkový kus papíru ABCD o délkách stran
|AB| = a, |BC| = b.
Papír byl přeložen podle jeho úhlopříčky AC tak, že vypadal jako na obrázku.
Určete délku úsečky EB pomocí délek a a b.
Luca papír rozložil a Moimero se zadíval na velký obrázek jedlíka celého
umaštěného od rajčatové omáčky. „Eh,“ podivil se Moimero, „co to má být?“
„Někdo,“ vyslovil se Luca, „ukradl naší rodině recept na boloňskou omáčku.
A tohle“ – ukázal na obrázek na papíře – „nám tam nechal.“
Moimero potlačil vlastní smích. „To je ovšem velice hrozné,“ řekl s předstíranou
vážností.
„To není vůbec zábavné, Moimero. Prodej boloňské omáčky živí naši
rodinu už po generace!“ pokáral ho Luca a položil na šachovnici poslední
figurku. Moimero sklopil zrak před Lucovým spalujícím pohledem a upřel
ho na figurky položené na šachovnici. Všechny byly jezdci.
Úloha 7. Kolik nejvíce jezdců jsme schopni umístit na klasickou šachovnici
8⇥8 tak, aby se vzájemně neohrožovali? Dokažte, že vámi zvolený počet lze na
10
KoMáR – Zadání 1. série školní rok 2022/2023
šachovnici umístit, a zároveň ukažte, proč nemůžeme (i při jiném rozmístění)
na šachovnici umístit více jezdců – zkuste si šachovnici vhodně rozdělit.
„A proč mi to celé říkáte?“ zeptal se Moimero.
„Protože, milý Moimero,“ zazubí se Luca, „chceš-li si vzít Theresii, najdi
mi toho, kdo nám ten recept ukradl.“
POKRAČOVÁNÍ V PŘÍŠTÍ SÉRII
11
a
KoMáR - Řešení 1. série školní rok 2022/2023
Řešení první série
Úloha 0. Z informací z doprovodného textu nakreslete rodokmen rodiny Lasagnů.
Úloha 1. Náměstíčko mělo tvar čtverce 7⇥7. Vložte do políček tabulky číslice 1 6 tak, aby se stejné
číslice neopakovaly v žádném řádku ani sloupci. Některá pole mohou zůstat prázdná – vybarvěte černě.
Čísla okolo tabulky udávají součty skupin číslic v řádcích a sloupcích (skupiny jsou vždy odděleny jedním
či více prázdnými políčky) v takovém pořadí, v jakém se vyskytují v příslušných řádcích a sloupcích.
Skupinou může být myšlena i jediná číslice. V jednom řádku nebo sloupci mohou být maximálně 4
mezery. Příklad vyplnění tabulky 6 ⇥ 6 čísly 1 5:
1
KoMáR - Řešení 1. série školní rok 2022/2023
Řešení:
2
KoMáR - Řešení 1. série školní rok 2022/2023
Úloha 2. Rozluštěte, co znamenají tři “nové” operace. (Nápověda - lze je popsat pomocí čtyř základních
operací + ⇥/)
Příklad: 5$4 = 6 12$17 = 7
Řešení: $ je operace, která vynásobí první číslo dvěma a odečte druhé číslo
• 8@3 = 19 15@12 = 42 3@1 = 7 9@9 = 27 5@6 = 16
• 5#5 = 30 5#7 = 36 3#7 = 30 12#8 = 60 7#17 = 72
• 3&4 = 19 2&5 = 17 3&6 = 27 10&5 = 65 1&1 = 3
Řešení:
• Operace @ první číslo vynásobí dvěma a poté přičte druhé číslo.
• Operace # obě čísla sečte a výsledek vynásobí třemi.
• Operace & dává součet součtu a součinu obou čísel.
Úloha 3. Kolik existuje různých možných počtů dědiců po dědovi Martinim (počet dědiců musí být
přirozené číslo), pokud rozdělí-li se mezi ně 16 milionů rovným dílem, počet milionů, co každý z dědiců
dostane, bude kladné desetinné číslo, které má před desetinnou čárkou i po ní právě jednu cifru?
Řekněme, že x je možný počet dědiců, a y je počet milionů, který každý dědic dostane, neboli
y = 16/x. Pokud tuto rovnici vynásobíme 10, vyjde nám že 10y = 160/x. Jelikož počet dědiců x
splňoval zadanou podmínku, musí mít y po desetinné čárce právě jednu cifru, a tedy 10y je celé. Takže
pro každé číslo x splňující zadanou podmínku platí, že 160/x je celé číslo, a tedy každé číslo x splňující
zadanou podmínku je dělitelem 160.
Zároveň ale platí, že pokud nějaké číslo x je dělitelem 16, nesplňuje zadanou podmínku, protože 16/x
by bylo celé, a tedy nemělo cifru za desetinnou čárkou.
Takže zadanou podmínku splňují čísla, která jsou děliteli 160, ale ne 16. Víme že 160 = 16 · 2 · 5 =
2·2·2·2·2·5. Pokud dělitel 160 nemá být dělitelem 16, musí buďto být dělitelný 5, nebo při rozložení
na prvočísla mít pět dvojek (protože 16 při rozložení na prvočísla má čtyři dvojky). První pravidlo
splňuje 5, 5 · 2 = 10, 5 · 2 · 2 = 20, 5 · 2 · 2 · 2 = 40, 5 · 2 · 2 · 2 · 2 = 80 a 5 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 160, druhé
pravidlo splňuje 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 a 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 = 160.
Zároveň snadno ověříme, že když 16 vydělíme těmito čísly, vyjde nám číslo které má i před desetinnou
čárkou jednu cifru, což je druhá podmínka ze zadání.
Takže dědiců může být 5, 10, 20, 32, 40, 80 nebo 160)
3
KoMáR - Řešení 1. série školní rok 2022/2023
Úloha 4. Máme v rovině čtyři stolečky – první, druhý, třetí a čtvrtý. Vzdálenost mezi prvním a
druhým je 5 m, mezi druhým a třetím 6 m, mezi třetím a čtvrtým opět 6 m a mezi prvním a čtvrtým je
4 m. Jaká je nejmenší a největší možná vzdálenost mezi prvním a třetím stolečkem?
Označíme si první stoleček jako bod A, druhý B, třetí C a čtvrtý D. Jelikož bod D je od bodu
C vzdálený 6 m, a od bodu A je vzdálený 4 m, nemůže být vzdálenost mezi body A a C menší než
6 4 = 2 m. Zároveň ale nemůže být vzdálenost mezi nimi větší než 6 + 4 = 10 m. Tyto vzdálenosti to
být můžou, vzdálenosti bodu B od bodů A, C nám v ani jednom případě nedělají problémy.
Takže nejmenší možná vzdálenost mezi prvním a třetím stolečkem je 2 m, největší možná je 10 m.
4
KoMáR - Řešení 1. série školní rok 2022/2023
Úloha 5. Do šachovnice 5×4 jsou po řádcích vepsána přirozená čísla od jedničky (viz obrázek). S
tabulkou můžeme provést tyto tahy:
• ke všem číslům na šachovnici přičíst nebo odečíst nějaké celé číslo,
• číslo na nějakém políčku přepsat na číslo jiného stejně barevného políčka,
• všechna políčka jedné barvy vynásobit nějakým celým číslem.
Může dojít k situaci, kdy bude součet všech čísel v tabulce roven jedné?
Důležité je si všimnout, že všechna čísla na políčcích jedné barvy mají vždy stejnou paritu, tedy
jsou buď všechna lichá, nebo sudá. Ať už provedeme kterýkoli z tahů, tohle se nikdy nezmění – když
od nich odečteme stejné číslo, změní to buď paritu všech čísel (pokud bude liché), nebo ani jednoho
(když bude sudé), pokud některé číslo přepíšeme na jiné číslo stejné barvy, na daném políčku stále
bude číslo s původní paritou, a pokud všechna čísla vynásobíme nějakým celým číslem, opět se může
změnit pouze u všech těchto čísel (to když budeme lichá čísla násobit sudým).
Ve všech bílých políčcích, kterých je právě deset, tedy budou čísla stejné parity a ve zbylých deseti
černých také. Pokud sečteme deset sudých čísel, určitě nám vyjde číslo sudé, stejně tak pokud sečteme
deset lichých čísel. Součet jednotlivých barev tak musí být vždy sudý, a proto i součet všech čísel
na šachovnici. Ten se tedy jedné rovnat nemůže.
5
KoMáR - Řešení 1. série školní rok 2022/2023
Úloha 6. Luca vyndal obdélníkový kus papíru ABCD o délkách stran |AB| = a, |BC| = b.
Papír byl přeložen podle jeho úhlopříčky AC tak, že vypadal jako na obrázku.
Určete délku úsečky EB pomocí délek a a b.
|EB| si označíme jako x. |AE| = |AB| |EB| = a x. Díky symetrii platí, že |EB| = |DE| a
|AE| = |EC|. Úhel ABC je vnitřní úhel obdélníku a tak je pravý. Nyní můžeme použít Pythagorovu
větu v trojúhelníku EBC.
|EB|2
+ |BC|2
= |EC|2
x2
+ b2
= (a x)2
x2
+ b2
= a2
2ax + x2
2ax = a2
b2
x = (a2
b2
)/2a
6
KoMáR - Řešení 1. série školní rok 2022/2023
Úloha 7. Kolik nejvíce jezdců jsme schopni umístit na klasickou šachovnici 8⇥8 tak, aby se vzájemně
neohrožovali? Dokažte, tzn. ukažte, že vámi zvolený počet lze umístit, a zároveň ukažte, proč nemůžeme
(i při jiném rozmístění) na šachovnici umístit více jezdců – zkuste si šachovnici nějak vhodně rozdělit.
32. Stojí-li jezdec na bílém poli, ohrožuje pouze černá pole. Stojí-li na černém poli ohrožuje pouze
bílá pole. Je tedy zřejmé, že pokud jezdce postavíme jen na jednu barvu, třeba všechny na bílá pole,
nebudou se navzájem ohrožovat.
Proč ale není řešením 33 nebo víc?
Podívejme se jenom na výřez šachovnice 4x4 a ten si dále ještě rozdělme do 8 dvojic černých a bílých
polí, na kterých se jezdci budou vzájemně ohrožovat:
1 2 4 3
8 7 1 2
6 5 3 4
7 8 6 5
Na každou z dvojic polí označených stejným číslem můžeme dát nejvýše jednoho jezdce. A protože
jsme schopni rozdělit celou šachovnici na 32 disjunktních dvojic (nemají společný průnik), můžeme dát
na šachovnici nejvíce 32 jezdců. Důkaz je tímto hotov.
7