MODUL 2. MECHANIKA TEKUTIN A TERMODYNAMIKA 2.1. HYDROSTATIKA A AEROSTATIKA SHRNUTÍ Studuje podmínky rovnováhy a zákonitosti pohybu nejen tekutín, ale i pevných těles ponořených do tekutiny Tekutiny: kapaliny a plyny jsou pružné nemají stálý tvar, zaujímají tvar nádoby Plyn: nemá stálý objem ani tvar, vyplní vždy celý objem nádoby , rozpíná se Kapalina: je objemově stálá, v tíhovém poli Země udržuje vodorovný volný povrch v klidu Ideální tekutina: bez viskozity nepotřebuje ke změně tvaru energii Ideální plyn: je dokonale stlačitelný, molekuly na sebe působí pouze odpudivými silami, molekuly plynu mají zanedbatelný objem Ideální kapalina: je dokonale nestlačitelná, dokonale tekutá Tlak v tekutině: šíří se všemi směry síla je vždy kolmá k plošce na povrchu či uvnitř tekutiny dF - p=-, kde dFldS dS - jednotka: 2 -1-2 Pa = pascal, Pa = N.nť = kg.nť .s" bar = 105 Pa (1 mbar = 1 hPa) torr = (1 mm Hg) = 133,322 Pa Tlaková síla: dF = pdS, dF = p dSň0 = pdS o je-li působící tlak všude stejný: F - pS o je-li tlak proměnný: F - | pdS (s) Pascalův zákon: Tlak v tekutině způsobený vnější silou je ve všech místech stejný p ---- -konst. Sl S2 Pro hydraulický lis platí: dA; = dA2 ^> Fldsl - F2ds2 Tlak vyvolaný vlastní tíhou tekutiny L KAPALINY Hydrostatický tlak (kapalina v klidu, v tíhovém poli Země): 130 FG=mg =Vpg=pShg F FG pShg , p= — = ^ = tL-B-=hpg S S S Uvnitř kapaliny v nádobě jsou rovnoběžné hladiny o stejném tlaku p - p0 + hpg , kde po je vnější tlak působící na kapalinu, h je hloubka pod volnou hladinou. Hydrostatická tlaková síla působící na stěny nádoby i na stěny ponořených těles F -hpgS , hydrostatická tlaková sílaje vždy kolmá na stěnu nádoby Celková tlaková síla působící na svislou nebo šikmou stěnu je stejně velká jako síla působící na vodorovnou plochu, která leží v takové hloubce pod hladinou, v jaké je těžiště té části stěny, která je pokryta kapalinou. Spojené nádoby: kapalina může přetékat z jedné nádoby do druhé kapalina se ustálí tak, že volné hladiny leží ve všech ramenech v téže vodorovné rovině Nádoba obsahující dvě nemísící se kapaliny: KPlSS =h2p2Sí Působí-li na volné hladiny v obou ramenech různé vnější tlaky: Px+KPg = Pi+hiPE Pl-p2 = {h2-hl)pg II. PLYNY Aerostatická tlaková síla a aerostatický tlak se vzhledem k nízké hustotě plynů neprojevují (při studiu plynných těles běžných rozměrů na Zemi) Atmosférická tlaková síla a atmosférický tlak působí na všechna tělesa na povrchu Země mění se s nadmořskou výškou závisí na počasí a podnebí Normální atmosférický tlak: 1,013.105 Pa = 1013 hPa Barometrická rovnice :závislost atmosférického tlaku na nadmořské výšce. s rostoucí nadmořskou výškou klesá tlak a zmenšuje se hustota vzduchu Po 8 je-li po tlak a po je hustota vzduchu při hladině moře, pak platí: P ~ Pq & h ARCHIMED UV ZÁKON: Na těleso ponořené do kapaliny působí hydrostatická vztlaková síla, která má stejnou velikost jako tíhová síla kapaliny o stejném objemu jako má ponořená část tělesa. Hydrostatická vztlaková síla má vždy směr svisle vzhůru. FVz={h2-fh)Pk8S=hpkgS=Vpkg=mkg 131 Důsledky Archimedova zákona: a) pk -< pt .....těleso klesá ke dnu b) pk - pt .....těleso se vznáší c) pk>- pt .....těleso plo ve na hladině Rovnováha: F G ~ P,v = pkV Kde je: FG - tíha tělesa, Fvz - hydrostatická vztlaková síla, V- objem celého tělesa, y'-objem ponořené části tělesa, pt - hustota tělesa, pk - hustota kapaliny. ZŘU 2.1.-1. -3 -3 Jak velká je hustota 1 g.cm" , vyjádříme-li ji v jednotkách kg.m" ? Řešení: cm í 3 10 m —ň m 106 ZLP 2.1.-2 Okno má rozměry 3,4 m x 2,1 m. Při závanu větru poklesl vnější tlak na 0,96 atm, zatímco tlak uvnitř místnosti zůstal na hodnotě 1 atm. Jaká byla síla, která způsobila, že okno se rozletělo směrem ven? ( 1 atm = 1,01325.105 Pa ) Nejdříve vyjádřete tlak v Pascalech. • Řešení: a - 3,4 m, b - 2,1 m, pb - 0,96 atm, pa-l atm, F - ? pa =1 atm =1,01325 105 Pa pb=0,96 atm =97272 Pa Dále zapište vztah pro tlakovou sílu, která působí na plochu S jestliže znáte rozměry a, b okna a dosaďte rozdíl tlaků: • F - ApS - (pm - pb)ab Dosaďte do tohoto vztahu číselně v základních jednotkách SI: F = 4053 • 3,4 • 2,1 = 2,9 • 104 N ZU 2.1.-3 Vyjádřete jednotku tlaku Pascal v základních jednotkách soustavy SI. 1 Pa = ZTO 2.1.-4 V uzavřené nádobě působí na píst síla F. Pro tlaky v bodech A,B,C,D,E (neuvažujeme-li hydrostatický tlak) bude platit: a) tlaky ve všech bodech jsou stejné b) tlaky v bodech A a D budou stejné, v ostatních bodech jsou jiné c) tlaky v bodech A,C,D jsou stejné, v bodech B a E jsou jiné d) tlak jev každém bodě jiný 132 ZTO 2.1.-5 Působí-li na píst s průměrem Di = 0,2 m síla Fi, pak na píst průměru D2 = 0,1 m působí síla F2 = £1 / / d2 ZU 2.1.-6 Na píst plochy 0,2 m2 je položeno závaží hmotnosti 1 kg. Vypočítejte tlak, kterým působí kapalina na stěny nádoby. Hydrostatický tlak neuvažujte, g = 10 m/s . p = \/////^//////a ZTO 2.1.-7 Na píst průřezu Si = 10"3 m2 působí síla Fi = 100 N. Předmět hmotnosti m = 100 kg je položený na druhém pístu průřezu S2 = 10"2 m2. Tíhu pístů neuvažujeme. Předmět a) se bude pohybovat vzhůru b) bude klesat c) se nebude pohybovat S2 m Fi ////// r Si / y, ZŘU 2.1.-8 Určete tlak v injekční stříkačce, když sestra zatlačí na kruhový píst o poloměru 1,1 cm silou 42 N. Řešení: r = l,lcm,F=42 N,/? = ? 133 ZU 2.1.-9 V hydraulickém lisu s kruhovým pístem o malé ploše s obsahem Si působícím na kapalinu silou Fi. Spojovací trubka vede kapalinu k pístu o podstatně větším obsahu S2. a) Jak velká síla F2 působí na větší píst? b) Jak velká síla Fi působící na malý píst vyváží na velkém pístu tíhu předmětu o hmotnosti 2 tuny? Malý píst má průměr 4 cm a velký 56 cm. BU 2.1.-10 Vypočítejte hydrostatickou tlakovou sílu působící na svislou obdélníkovou stěnu nádoby, jestliže znáte výšku, plochu stěny a hustotu kapaliny. ZU 2.1.-11 Jak vysoký sloupec vody způsobí hydrostatický tlak 1 Pa? Hustota vody je 103 kg.nť3, g = 10 m.s" , k barometrickému tlaku nepřihlížejte. h = BŘU 2.1.-12 Jak velká tlaková síla působí na svislou stěnu hráze, která má délku 10 m. Hloubka vody je 5 3 -3 -2 m, hustota vody je 10 kg.nť , g = 10 m.s" . Řešení: l = 10 m, h = 5 m, p = 103 kg.m"3, g = 10 m.s"2, F = ? 1 h dS / jí dx 1 Víme, že se hydrostatický tlak na stěnu nádoby bude spojitě měnit v závislosti na hloubce pod hladinou. Hydrostatický tlak kapaliny hustoty p v hloubce h pod hladinou bude p -hpg . Na element plochy stěny hráze dS působí v místě hydrostatického tlaku p síla dF - pdS . Nachází-li se plocha dS - Idx ve vzdálenosti x od dna, pak síla působící na tento element dS je: F - pgxldx Potom pro tlakovou sílu na celou stěnu pod hladinou bude platit: h h i2c2 F = [ixpgdx = lpg\xdx = lpg — = 10- —10000 = 1,25 MN o o 2 2 ZLP 2.1.-13 Lidské plíce vyvinou přetlak nanejvýš dvacetinu atmosféry. Když potápěč užívá sací trubky, jak nejhlouběji pod hladinou může plavat?Nejdříve si napište zkrácené zadání: Řešení: 134 o Ap = — atm, p = 1000 kg.nť3, g = 10 m.s"2, h=? Dýchací svaly potápěče jsou schopny vyvinout přetlak dvacetinu atmosféry. To znamená, že potápěč může dýchat v takové hloubce v níž je hydrostatický tlak menší nežli v plicích potápěče.Napište vztah pro rovnováhu hydrostatického tlaku a přetlaku v plicích potápěče, vyjádřete si hloubku h: o Ap - hpg => h - —— Pg Dosaďte číselně v základních jednotkách SI: , 101325 1 „ „ o n =---= 0,52 m 20 1000-9,81 ZU 2.1.-14 Najděte celkovou sílu, kterou působí voda na vrchní část ponorky v hloubce 200 m, když předpokládáme, že celková plocha vrchní části trupu ponorky je 3000 m2. Jaký tlak vody by působil na potápěče v této hloubce? Mořská voda má p = 1,03 g.cm"3. ZTO 2.1.-15. 3 -3 Do výtokového otvoru nádoby s vodou ( hustoty 10 kg.m" ) je v hloubce h = 0,5 m vložen píst průřezu 10"4 m2. Na píst tlačí síla F = 10 N. Píst se a) bude pohybovat do nádoby b) bude pohybovat ven z nádoby c) nebude pohybovat, bude v klidu ZTO 2.1.-16 Hydrostatický tlak v hloubce h a) závisí na objemu kapaliny, která se nachází nad zkoumaným místem b) nezávisí na objemu kapaliny, která se nachází nad zkoumaným místem, závisí pouze na výšce kapalinového sloupce h c) závisí na hustotě kapaliny ZTO 2.1.-17 Nádoby 1, 2, 3 jsou naplněny stejnou kapalinou do výšky h. Plocha dna je ve všech případech stejná. Ve které nádobě je tlaková síla působící na dno největší ? a) v nádobě 1 b) v nádobě 2 c) v nádobě 3 135 d) tlaková síla je ve všech případech stejná ZU 2.1.-18 Nádoba má vodorovné dno plochy S a je naplněna do výšky h kapalinou hustoty p . Jak velkou silou působí kapalina na dno nádoby? F = ZTO 2.1.-19 Ve spojených nádobách máme dvě nemísící se kapaliny hustoty pi a p2. Z obrázku plyne, že a) pi > P2 b) pi < p2 c) Pl = P2 ZTO 2.1.-20 Rovnice pfag - p2h2g platí a) jen pro obrázek 1 b) jen pro obrázek 2 c) platí pro oba obrázky obr. 1 obr.2 BLP 2.1.-21 Vypočítejte nadmořskou výšku, ve které se nacházíte, jestliže na barometru odečtete výšku rtuťového sloupce hH - 615,25 mm. Teplota je (-5°C) a při této teplotě je hustota rtuti pH = 1,3608 • 104 kg.nf3, tíhové zrychlení v místě měření bylo g = 9,7835 m.s 2. Normální atmosférický tlak je p0 =1,01325.105 Pa a hustota vzduchu u hladiny moře je/70 =1,21 kg.m3. Nejdříve vytvořte zkrácené zadání a barometrickou rovnici pro tlak. Řešení: hHg = 615,25 mm, pHg = 1,3608 • 104 kg.m p0 =1,0 1 325.105 Pa, /?0 = l,21kg.m3 h=?m g =9,7835 m.s2, Pqgh • p = p0e Po Tlak p vypočítejte jako hydrostatický tlak rtuťového sloupce: • P = KgPHgg Dosaďte vyjádřený hydrostatický tlak rtuťového sloupce do barometrické rovnice pro tlak v určité výšce nad mořem: ln P0g h Po Po Vyjádřete výšku h nad hladinou moře: h V Po f J V PoS j Dosaďte číselně hodnoty v základních jednotkách SI: • h-l 820,6 m nad hladinou moře. BU 2.1.-22 Těleso hustoty pi má hmotnost 2 kg. Ponoříme-li jej do kapaliny hustoty p2, je jeho tíha 16 N (g = 10 m/s2). Jak velkou silou je těleso v kapalině nadlehčováno ? F = 4N BŘU 2.1.-23 Krychle o hraně x a hustoty p plove v kapalině hustoty pi tak, že je ponořena do dvou třetin. Určete poměr — = P 137 _ _ _ _ i 1 L _ _ 2 — r — x Řešení: jc[m], /Jľkg.m-3], Aľkg-m-3], V, = f *3 m3, = ? L J L J 3 /? Nastane rovnováha tíhové a vztlakové síly ^G = K mg = m1(g Použijeme Archimédův zákon Za objem dosadíme x3 x3 P g =\*Pi8 Po dosazení za objem získáme tento výsledek A =3 P 2 ZŘU 2.1.-24 Plechovka má celkový objem 1 200 cm3 a hmotnost 130 g. Kolik olověných broků může plechovka nést, aniž se ve vodě potopí? Hmotnost jednoho broku je m= 0,0356 kg. Řešení: V = 1200 cm3, m = 130 g, m, =0,0356 kg, ^ = 1000 kg.m"3, n = ? Řešením je úvaha o rovnováze síly hydrostatické vztlakové a tíhové síly, které působí na plechovku ponořenou po okraj ve vodě. gb + gp = gh20 MB+Mp=pH20V MB =pH0V-M =1000-0,0012-0,13 = 1,01 kg ^>n=^= 1,07 =30broků 2 mB 0,0356 ZLP 2.1.-25 Těleso objemu 5.10"6 m3 má hmotnost 20 g. Je-li ponořeno do kapaliny je jeho tíha 15.10"2 N (g = 10 m/s ). Vypočítejte hustotu kapaliny. Vytvořte zkrácené zadání a vyjádřete vztlakovou sílu z rozdílu tíhy na vzduchu a ve vodě: Řešení: V = 5 ■ 10-6 m3, m = 20 g, Gkapalina = 15 ■ 10"2 N, g = 10 m.s"2, p=l 1 F — G —G vz vzduch kapalina Dosaďte za vztlakovou sílu vztah obsahující hustotu vytlačené kapaliny: 138 ^" ^vzduch ^kapalina ^ Pg Vyjádřete si hustotu kapaliny: C —C ry _ vzduch kapalina J. p — Vg Dosaďte ve správných základních jednotkách soustavy SI a porovnejte výsledek s tabulkovými hodnotami: 4. p---= 1000 kg.m"3 jedná se o vodu. 5 10"6 -9,81 BU 2.1.-26 Předmět visí na pérových vahách. Na vzduchu ukazují váhy 30 N. Když předmět plně ponoříme do vody, údaj klesne na 20 N. Když jej plně ponoříme do kapaliny neznámé hustoty, váhy ukazují 24 N. Vypočítejte hustotu této kapaliny. BŘU 2.1.-27 Loď tvaru kvádru o základně S má hmotnost m a je zatížena nákladem tíhy G. Hustota vody je p. Vypočítejte ponor lodi. Řešení: Nastane rovnováha sil mezi součtem tíhy nákladu a tíhy lodi, který se bude rovnat tíze vytlačené vody: Gh,0 ~ ^nákladu ~*~ G lodi ^ P g ^nákladu ^lodi Cr V =■ G„ákladu + mS Pg £fa _ ^nákladu ~*~ mg _^ ^ _ ^nákladu ~*~ mg pg PgS ZU 2.1.-28 Těleso hmotnosti m a objemu V je ponořeno do kapaliny hustoty p. Těleso vyzvedneme v kapalině o výšku h. Neuvažujeme-li odpor prostředí, vykonáme práci W = Odpověď: W -h(mg -pVg) Řešení: W ={mg-Fvz)h W - mgh - pVgh W = h(mg - pVg) 2.2. HYDRODYNAMIKA A AERODYNAMIKA SHRNUTÍ Proudění: Pohyb tekutiny. Proudnice: Myšlená čára (trajektorie), k níž má vektor rychlosti v každém bodě směr tečny. Proudová trubice: Myšlená válcová plocha tvořená z proudnic. Proudové vlákno: Kapalina vymezená proudovou trubicí. Stacionární proudění: 139 Tlak a rychlost v proudící tekutině je v každém bodě konstantní v čase. V kapalině existuje časově stálé vektorové pole rychlostí, proudnice se nemohou protínat. I. Ustálené proudění ideální kapaliny ROVNICE SPOJITOSTI TOKU (KONTINUITY) SjVj = S2v2 => Sv - konst. (zákon zachování hmotnosti v proudící ideální kapalině) 3 -1 Objemový tok : Qv - Sv , jednotka: m .s" Při ustáleném proudění nestlačitelné kapaliny je objemový tok v celé proudové trubici stálý. BERNOULLIOVA ROVNICE Vyjadřuje zákon zachování mechanické energie proudící ideální kapaliny p + hpg +-i/7v2 = konst. p - hustota tlakové potenciální energie proudící kapaliny hpg - hustota potenciální tíhové energie 1 2 —pv - hustota kinetické energie proudící kapaliny Hustota energie: vyjadřuje energii objemové jednotky kapaliny E e = — V Pro dva různé průřezy proudové trubice platí: Objemová hustota energie proudící ideální kapaliny je stálá a ve všech bodech trubice stejná. Jestliže při proudění tekutiny ve vodorovné proudové trubici vzrůstá rychlost částic tekutiny, pak klesá její tlak a obráceně. h, 'celková — konst. {e} ={p] - hustota energie a tlak se číselně rovnají p - statický tlak proudící kapaliny (měření v manometrických tr.) hpg - hydrostatický tlak 1 2 —pv - hydrodynamický tlak P tlaková výška (výška sloupce kapaliny, který by vyvolal tlak p) PS h místní výška uvažovaného bodu proudnice od základní hladiny 2 V rychlostní výška (výška, z níž by musela kapalina padat volným pádem, aby 2g nabyla rychlosti v) 140 Bernoulliho rovnice platí přibližně i pro skutečné kapaliny, lze ji použít i pro plyny s malými tlakovými změnami, pro proudící vzduch platí až do rychlosti 40 ms"1. Je-li tekutina viskózni, při proudění se zahřívá, tyto ztráty však nebyly ve výše uvedených vztazích uvažovány. Aplikace Bernoulliovy rovnice: Výtok kapaliny otvorem v nádobě: - nepřihlížíme k barometrickému (atmosférickému) tlaku - uvažujeme kapalinu tekoucí do vakua - práce vykonaná tlakovou silou je rovna kinetické energii, kterou kapalina získá V P Reálně se jen část tlakové energie mění na kinetickou energii vytékající kapaliny, v obecném případě je uvnitř kapaliny v místě otvoru jiný tlak (pO než vně otvoru (P2): 2(Pi-Pi) P V tíhovém poli země pro výtokovou rychlost kapaliny platí Torricelliho vztah : v = yJ2hg výtoková rychlost nezávisí na hustotě kapaliny a je stejná, jako kdyby kapalina padala volným pádem z výšky h směr vektoru rychlosti je vždy kolmý ke stěně nádoby v místě otvoru a vodní paprsek opisuje parabolu ZTO 2.2.-1. Uvažujte potrubí průřezu S, kterým protéká kapalina rychlostí v. Součin S.v představuje a) hmotnost kapaliny, která proteče průřezem za 1 sekundu b) tíhu kapaliny, která proteče průřezem za 1 sekundu c) objem kapaliny, který proteče průřezem d) objem kapaliny, který proteče průřezem za 1 sekundu e) dynamický tlak ZTO 2.2.-2. Uvažujte ustálené proudění kapaliny. V průřezu Si je rychlost kapaliny vi a v průřezu S2 je rychlost kapaliny y 2. Porovnejte obě rychlosti vi a V2. a) vi > v2 b) Vl < V2 c) Vl = v2 ZTO 2.2.-3. 141 V průřezu průměru di = 2.10"2 m má kapalina rychlost vl -1 m.s"1. Jakou rychlostí proudí kapalina v průřezu průměru d2 - 1 ■ 10~2 m ? v2 = ->vi d2 V2 ZTO 2.2.-4. Prohlédněte si obrázek. Rovnice kontinuity (spojitosti toku) pro ustálené proudění nestlačitelné kapaliny je vyjádřena takto : a) d2 v - konst.. di1 b) d2 ■ Vj = d22 ■ v2 C) 7t.—■— .V, =71—^ 4 1 4 d) S ■ v = konst. ZTO 2.2.-5. Průřezem Si proteče za 1 sekundu 6 kg 5 vody. Vypočítejte kolik vody proteče za jednu sekundu průřezem S2 - —. m 9 BRU 2.2.-6. Voda teče vodorovnou trubicí a do okolního prostoru ( atmosféry) vytéká rychlostí v2 = 15 m.s"1. Průměr trubice v místě 1 je di = 5 cm a průměr v místě 2 je d2 = 3 cm. a) Kolik vody vyteče do okolního prostoru za 10 minut? b) Jaká je rychlost proudění v místě 1? Bfl 142 1 ŕ Á > 4 \ Vl V2 Řešení: v2 = 15 m.s"1, dl - 5 cm, d2-3 cm, a) (2^ = ?, t=10 min, b) Vj = ? a) Použitím rovnice kontinuity vypočítáme objemový průtok za 1 sekundu Qv = V Ttdt, 2"2 _ ^ 2 ^■0,032 4 3 „-1 15 = 0,0106 nť.s Za 10 minut to potom bude y = q t = 0,0106■ 600 = 6,3 m3 b) Ze zákona zachování objemového průtoku víme, že bude platit: Qv - konst. 7td\ o ———v, 4Qv 0,0106-4 _ , ! v, = -¥*r = —-- = 5,4 m.s 1 1 nd\ ;r-0,052 ZTO 2.2.-7. Ve vodorovném potrubí proudí kapalina. Pro tlaky pi a p2 platí a) pi > p2 b) pi =p2 c) pi < p2 1 2 \ Pl p i h r ZTO 2.2.-8. Kapalina proudí v potrubí konstantního průřezu. Pro tlaky pi a p2 platí 143 a) pi > p2 b) pi =p2 c) pi < p2 BTO 2.2.-9. Jak lze zjednodušit Bernoulliovu rovnici pro kapalinu proudící ve vodorovném potrubí ? mv,2 mvl a) Pi+-jL = P2+-^- pvf pv\ c) + - v, 2 : konst. d) Py+^ + Pgky =P2+^ + Pgh2 1 ŕ Á > \ Vl BTO 2.2.-10. Bernoulliova rovnice je: p + pv + pgh - konst. Zapište ji pro dva průřezy tak, aby vyhovovala situaci na následujícím obrázku. ZU 2.2.-11. Průřezem Si = 10"2 m2 proudí kapalina rychlostí vi =0,1 m/s. Vypočítejte, jakou rychlostí proudí kapalina v průřezu So = 1,5.10"2 m2. vo = 144 so Sl T_ BTO 2.2.-12. p-v2 Kapalina hustoty p teče potrubím rychlostí v. Výraz — představuje: a) kinetickou energii kapaliny b) kinetickou energii objemové jednotky kapaliny c) dynamický tlak v kapalině d) rychlostní výšku e) tlakovou energii objemové jednotky kapaliny BU 2.2.-13. Uvažujte výtok ideální kapaliny otvorem působením tlaku vyvolaného vnější silou F (bez zřetele k tíži). Napište jakou rychlostí vytéká kapalina hustoty p. v = F r v/////////////////////, S -Vv ZTO 2.2.-14. Uvažujte výtok ideální kapaliny otvorem působením tlaku vyvolaného vnější silou F (bez zřetele k tíži). Za předpokladu konstantní síly F a plochy pístu S platí, že a) kapalina vytéká nejrychleji v případě 1 b) kapalina vytéká nejrychleji v případě 2 c) kapalina vytéká nejrychleji v případě 3 d) kapalina vytéká ve všech případech stejnou rychlostí J 1 i r '/////////< BU 2.2.-15. Kapalina protéká malým otvorem z nádoby, kde je tlak pi do nádoby, v níž je tlak p2. Kapalina bude protékat rychlostí v = BU 2.2.-16. Ideální kapalina vytéká z nádoby malým otvorem účinkem své tíhy. V okamžiku, kdy je výška hladiny nad výtokovým otvorem h, je výtoková rychlost v. V okamžiku, kdy hladina klesne na h/2, je výtoková rychlost v' = BU 2.2.-17. Ideální kapalina hustoty 103 kg.m"3 vytéká pouze působením své tíhy otvorem ve dně průřezu 4 2 3 S = 10" m . Kolik m kapaliny za sekundu musíme do nádoby dodat, aby hladina byla v konstantní výšce h = 2 m ? Q= BRU 2.2.-18. Po proražení nádrže na dešťovou vodu nábojem vystřeleným z pistole v hloubce h, začala vytékat voda z nádrže ven. Jakou rychlostí v začne voda z nádrže vytékat? Řešení: 146 77777' K výpočtu použijeme Bernoulliho rovnici. Za nulovou hladinu výšky si zvolíme místo proražení nádrže a potom můžeme napsat: 1 , 1 , P0+-PV +pgh = p0+-pv +pgh0 kde: p0 je tlak, který působí současně na hladinu dešťové vody i na vodu, která vytéká z otvoru ven. V je pak rychlost klesaní hladiny dešťové vody a platí pro ni v » V (zvažte v souvislosti 1 2 s rovnicí kontinuity). Jestliže položíme h0—0, odečteme p0 a zanedbáme člen ~pV > pak 1 2 dostáváme: pgh-—pv a z toho potom: v = yJ2gh Stejnou rychlost by nabylo jakékoli těleso volně puštěné z výšky h. Zvažte výpočet v případě uzavřené nádrže. BŘU 2.2.-19. Z válcové nádrže jejíž podstava má plochu Sj=0,5m2 vytéká otvorem u dna o ploše S2 - S.lO^m2 voda. Voda v nádrži sahá do výšky h - 10m . Za jaký čas vyteče voda z nádrže? Řešení: sx =0,5 m2, s2 =5.10"4 m2, h=10 m, g = 9,81 m.s"2, ř = ? 147 Pro vyteklý element objemu platí: dV - Sjdy a nebo také dV - S2vdt kde v je výtoková rychlost vody v = \J2gy . Potom můžeme psát: S\dy - S2-j2gydt A odtud: h t=\dt=—ji = Sj_.2-Jh=-°'5 ■ 2-VlÔ = 1426,85 = 23,78 min o S2.j2^{^ S2^ 5-10-4V2-9,81 BŘU 2.2.-20. Ve dně válcové nádoby poloměru R je kruhový otvor poloměru r, kterým vytéká kapalina. Určete rychlost klesání hladiny v nádobě v závislosti na výšce x hladiny. Řešení: Za jednotku času proteče kterýmkoli průřezem stejný objem kapaliny a proto platí rovnice kontinuity: Qvi ~ Qv2 Vi = S2v2 148 Abychom vyjádřili výtokovou rychlost v2, formulujme zákon zachování energie pro proudění ideální kapaliny (Bernoulliho rovnice): 1 2 1 2 xpg+-pvl =2PVl v\ = 2xg + v2 Dosaďme do rovnice kontinuity a použijme vzorec pro obsah kruhu: S?v2 =S2(2xg+vf) R2-r2 BRU 2.2.-21. Modely torpéd bývají zkoušeny ve vodorovné trubici s proudící vodou podobně jako modely letadel v aerodynamickém tunelu. Uvažujme, že do takové trubice o vnitřním průměru 25 cm umístíme souose model torpéda, který má průměr 5 cm. Při zkoušce proudí voda kolem torpéda rychlostí 2,5 m/s. a) Jakou rychlostí musí voda proudit v místech, kde její proud není zúžen modelem? b) Jaký je rozdíl tlaku vody v trubici mezi místem, kde se nachází model a ostatními částmi trubice? Řešení: d - 25 cm, x - yjl-g(h - y) i— - 2-J(h - y)y 2 V S x bude maximální jestliže bude maximální výraz: z = (h-y)y jestliže položíme derivaci z podle y rovnu nule, nalezneme maximum x — = /í-2y = 0=>y=- = 25cm dy 2 2. Ustálené proudění skutečné kapaliny Reálná kapalina není dokonale tekutá, projevuje se v ní vnitřní tření a tím vzniká pokles mechanické energie kapaliny v důsledku přeměny části energie na teplo Q: 1 , p + hpg+—pv +<2 = konst. vnitrní třeni Vzniká při vzájemném posouvání částic téže látky. V celém průřezu není vlivem viskozity stejná rychlost proudící kapaliny. Nejvyšší rychlost je v ose trubice a u stěn je rychlost nulová. Síly vnitřního tření mají směr tečen k povrchu jednotlivých vrstev proudící kapaliny Tyto síly jsou tím větší: o čím větší je rozdíl rychlostí obou vrstev o čím větší je plocha, na níž působí o čím menší je vzdálenost vrstev. Síly vnitřního tření závisejí na jakosti kapaliny. Platí: dF=?]—dS, dy kde 7] je součinitel dynamické viskozity 2 11 Jednotka součinitele dynamické viskozity: N.m" .s = Pa.s = kg.m" .s" 151 Tečné napětí: dF dv T--= /7- dS dy Kinematická viskozita: viskozita tekutin je funkcí teploty a tlaku PROUDĚNÍ LAMINÁRNÍ A TURBULENTNÍ: a) Nevírové (potenciálové) proudění: vzniká při pohybu ideální kapaliny trubicí bez jakéhokoliv tření vnějšího i vnitřního rychlost kapaliny ve všech bodech průřezu stejná elementární objemy kapaliny konají pouze pohyby posuvné (nikoli otáčivé) b) Proudění skutečné kapaliny: částice kapaliny u stěn jsou v klidu rychlost pohybu částic roste směrem ke středu trubice při malé průměrné rychlosti kapaliny se všechny částice pohybují po proudnicích rovnoběžných s osou trubice proudnice se nikde neprotínají v trubici kruhového průřezu jsou rychlosti v osovém řezu rozloženy parabolicky Laminární proudění elementární objemy kapaliny konají pohyb posuvný i otáčivý vzniká vírové proudění Turbulentní proudění vzniká při velké průměrné rychlosti proudění nastává neuspořádaný pohyb jednotlivých vrstev proudnice se navzájem kříží Reynoldsovo číslo: Číslo, jehož kritická hodnota určuje přechod mezi laminárním a turbulentním prouděním. vd Nemá žádný rozměr a platí pro něj tento vztah: R - —, kde: v d - je průměr kruhové trubice, v - kritická rychlost, v - kinematická viskozita a RK - je tzv. kritické Reynoldsovo číslo, které leží zpravidla v intervalu 1000-2000. Je-li R > 2000, pak vzniká proudění turbulentní. 152 2.3. TEPLOTA, TEPLOTNÍ ROZŤAŽNOSŤ, TEPLO, SKUPENSKÁ TEPLA, STAVOVÁ ROVNICE PLYNU SHRNUTÍ Teplotní stupnice Jsou určeny základními body (přesně definované rovnovážné stavy látek) a jednotkou. 1. Termodynamická teplotní stupnice: Základní teplotní bod je trojný bod vody T0 = 273,16 K, tj. rovnovážný stav tří fází vody (led, kapalná voda, pára). [r] = K 2. Celsiova teplotní stupnice: Má dva základní teplotní body: 1. Rovnovážnému stavu ledu a vody za normálního tlaku přísluší teplota 0 °C. 2. Rovnovážnému stavu vody a její syté páry za normálního tlaku přísluší teplota 100 °C. [t] = °C 3. Fahrenheitova teplotní stupnice: Používá se zejména v USA a ve Velké Británii. Jednotkou je Fahrenheitův stupeň, tedy [ŕF]= °F. Teplotě 0 °C odpovídá 32 °F, teplotě 100 °C pak 212 °F. Proto je převodní vztah mezi stupnicemi Celsiovou a Fahrenheitovou: fc} = f{'} + 32 Teplotní roztažnost Teplotní roztažnost se projevuje u všech tří skupenství látky. I) Délková roztažnost pevných látek se projevuje změnou délky těles v závislosti na teplotě. Při elementární změně teploty je příslušná změna délky dl - aláT , kde a je součinitel teplotní délkové roztažnosti. Je funkcí druhu látky, uspořádání částic a teploty. [a] = K1 U izotropních látek a malých teplotních rozdílů lze považovat součinitel a za konstantní ve všech směrech, tzn. délkový rozměr se mění lineárně: h (T2) = í, ) [1 + a{T2 - Tx)] = lx{Tx) [1 + aňT] l2(T2) délka při teplotě T2 \ (Zj) délka při teplotě T\ Často se pracuje s relativním (poměrným) prodloužením e: _l2-ll _M Objemová roztažnost pevných látek, např. pro kvádr s rozměry a, b, c a pro malé teplotní intervaly: a2 (T2) = a1(ri)(l + aAT), b2 (T2) = \ {jx)(l + aAT), c2 (T2) = q )(l + CCÁT) Objem kvádru, který přísluší teplotě T2, má tvar: V2 (T2) = a2b2c2 - apxcx (1 + aAT)3 153 Přibližně platí: V2 = V, (l + 3aAr) = Vl (1 + fiAT), kde f3 = 3a a nazývá se součinitel teplotní objemové roztažnosti. Podobně pro plošnou roztažnost pevných látek: s2(r2) = s1(r1)(i+Är) = s1(r1)(i+2oAr), kde S je součinitel teplotní plošné roztažnosti. II) Objemovou roztažnost kapalin je možné při malých teplotních rozdílech popsat vztahem: v2(r2)=v1(r1)(i+^AT) III) Objemovou roztažnost plynů, pro které platí Boylův zákon (pV - konst.), lze za předpokladu konstantního tlaku matematicky popsat takto: V2 - V1{l + ypAT^j, kde objem V\ odpovídá teplotě T\, objem V2 teplotě T2 a yp - ^ K 1 je součinitel teplotní objemové roztažnosti. Závislost hustoty pevných látek a kapalin na teplotě je důsledkem objemové roztažnosti. Při změně teploty se mění objem látky, nikoli však hmotnost. Předpokládejme homogenní m těleso a lineární objemovou roztažnost. Hustota odpovídající počáteční teplotě T\ je px - —, ^1 m pro teplotu T2 pak p2- — . Platí p2=Pl{l-/3AT) V následujících úlohách budeme předpokládat, že závislost objemu na teplotě je lineární. ZU 2.3.-1 Vyjádřete teplotu 20 °C v jednotkách Fahrenheitův a Kelvinův stupeň. ZU 2.3.-2 Turista po příletu na letiště v Chicagu odečte z venkovního teploměru hodnotu 28 °F. Jaký údaj by odečetl z teploměru se stupnicí Celsiovou? ZTO 2.3.-3 Uvažujte tyč délky l\, jejíž součinitel teplotní délkové roztažnosti je a. Zahřejeme-li tyč o Ar stupňů, o jakou délku se prodlouží tyč? ZTO 2.3.-4 Uvažujte tyč délky l\, jejíž součinitel teplotní délkové roztažnosti je a. Tyč zahřejeme o Ar stupňů. Jaká je její délka po zahřátí? BTO 2.3.-5 Tyč délky 1 m se po zahřátí o Ar stupňů prodlouží o 1%. Kolik činí absolutní prodloužení? ZTO 2.3.-6 Uvažujte tyč délky l\, jejíž součinitel teplotní délkové roztažnosti je a. Tyč zahřejeme o Ar stupňů. Jak vypočítáme její relativní prodloužení? ZTO 2.3.-7 Nechť má těleso objem V\ a součinitel teplotní objemové roztažnosti /?. Zvýší-li se teplota tohoto tělesa o Ar, o jakou hodnotu vzroste jeho objem? ZTO 2.3.-8 154 Těleso má počáteční objem V\, součinitel teplotní objemové roztažnosti /?. Zvýší-li se teplota tohoto tělesa o AT, jakou hodnotu dosáhne objem tělesa? ZTO 2.3.-9 Jaká byla bezprostředně po skončení zahřívání tělesa o Ar stupňů, které mělo počáteční objemu V\ a součinitel teplotní objemové roztažnosti /?, relativní změna objemu AV/Vi? ZTO 2.3.-10 Mosazná tyč má při teplotě 20 °C délku 135 cm. O kolik procent bude delší při teplotě 90 °C? Součinitel teplotní délkové roztažnosti mosazi je 19-10"6 K"1. BLP 2.3.-11 Válec ze zlata zahřejeme o 80 °C z teploty 10 °C. Určete v procentech: a) změnu objemu, b) změnu obsahu povrchu, c) změnu výšky, d) změnu hustoty. Uvažujte lineární závislost mezi délkou a teplotou. Teplotní součinitel délkové roztažnosti zlata je 14,3-10"6 K"1. Nejdříve vypište zkrácené zadání. Ař = 80°C, h = 10°C, or = 14,3-10"6 K"1, a) —-100%=?, b) —-100%=?, c) ^■100% = ?. d) ^--100% =? A Ze závislosti objemu na teplotě vyjádřete relativní přírůstek objemu a vynásobte jej 100%. a) V = V, (1 + j3At), kde j5 = 3a. Po úpravě dostaneme: — ■ 100% = 3«Ař ■ 100% = 0,34% Ze závislosti plošného obsahu na teplotě vyjádřete relativní přírůstek obsahu a vynásobte jej 100%. AS b) — ■ 100% = 2aÁt ■ 100% = 0,23% Ze závislosti délky na teplotě vyjádřete relativní přírůstek délky a vynásobte jej 100%. c) — ■ 100% = aAt ■ 100% = 0,11% K Použijte zjednodušenou závislost hustoty na teplotě p - px{\ -fíAt). ^- ■ 100% = -3«Ař ■ 100% = -0,34% A a) 0,34 %, b) 0,23 %, c) 0,11 %, d) -0,34 % SHRNUTI Tepelné kapacity Teplo Q je určeno energií vyměněnou mezi soustavou a okolím v důsledku teplotního rozdílu mezi nimi, obvykle prostřednictvím interakce mezi částicemi. Soustava označuje těleso nebo skupinu těles, jejichž stav zkoumáme. Dodáme-li tělesu teplo dQ, zvýší se jeho teplota o dT a platí: dQ = CdT, kde C je tepelná kapacita tělesa. Její hodnota závisí na druhu a množství látky, teplotě a tlaku. 155 [C] = J-K"1 Měrná tepelná kapacita látky tělesa je c - — - . m m dT [c] = J-K"1-kg"1 Celkové teplo, které látka o hmotnosti m přijme (za předpokladu c = konst): Q — m J" cdT — mc(T2 — Tl) = mc(t2 — ŕj) T, Obecně měrná tepelná kapacita závisí na vnějších podmínkách. Má smysl zavést měrnou tepelnou kapacita při stálém tlaku cp a měrnou tepelnou kapacitu při stálém objemu c\. Protože se část tepla spotřebuje na práci vykonanou pro změnu objemu, platí nerovnost cp > cv. U látek pevných a kapalných je cp jen nepatrně větší než cv, takže cp = cv . Molární m tepelná kapacita je Cm = M c - —c. n M molární hmotnost n látkové množství [M] = kg ■ moľ1, [n] = mol, [Cm] - J ■ moľ1 ■ K 1 Proto dQ = nCmdT . Kalorimetrická rovnice charakterizuje tepelnou výměnu mezi tělesy izolovanými od okolí. Je důsledkem zákona zachovaní energie. Mějme dvě tělesa, která jsou izolována od okolí, chemicky na sebe nepůsobí a nedochází ke změnám skupenství. Nechť má první těleso hmotnost mx, jeho materiál měrnou tepelnou kapacitu c\ a teplotu t\, druhé těleso m2, C2 a ti, kde ř2 > řj. Teplo odevzdané teplejším tělesem je rovno teplu přijatému tělesem chladnějším. Teplota obou těles se vyrovná a dosáhne hodnotu t. mxcx (ŕ - rj) = m2c2 (t2 -1) Pro větší počet těles: AWjCj (řj -t) + m2c2 (t2 -t) + m3c3 (t3 -t) + ... - 0 Skupenská tepla Jestliže přijme resp. odevzdá pevná látka nebo kapalina teplo, obvykle roste teplota látky. Výjimkou je změna skupenství. Látky chemicky nejednotné (amorfní) nemají určitou teplotu tání (např. sklo měkne v rozmezí teplot 500 °C až 1000 °C). Teplota tání a tuhnutí téže látky je stejná, probíhá-li změna skupenství za stejného tlaku. Teplo Lt, které přijme chemicky čistá pevná látka na roztavení, se nazývá skupenské teplo tání. Podíl skupenského tepla tání a hmotnosti látky je měrné skupenské teplo tání lt: Obdobně se definují skupenská tepla resp. měrná skupenská tepla tuhnutí, vypařování (Lv resp. Zv) a kondenzační. 156 BTO 2.3.-12 Na obrázku O 2.3.-1 je nakreslen graf vyjadřující vývoj teploty tělesa o hmotnosti 4 kg jako funkci tepla přijatého tělesem, a) Jaké teplo přijme těleso při ohřátí z 20 °C na 40 °C ? b) Jakou tepelnou kapacitu má těleso? c) Jakou měrnou tepelnou kapacitu má těleso? t/°C i 40 20 i-1-1-1-1-1-1-► 0 2.3.-1 0 10 20 30 40 50 60 Q/kJ ZTO 2.3.-13 Na obrázku O 2.3.-2 jsou nakresleny grafy 1,2,3 vyjadřující změnu teploty tří těles jako funkci tepla přijatého těmito tělesy, a) Které z daných tří těles přijalo největší teplo? b) Které z daných tří těles má největší tepelnou kapacitu? t 0 10 20 30 40 50 0 2.3.-2 ZTO 2.3.-14 Měrná tepelná kapacita c je číselně rovna teplu potřebnému k ohřátí a) látky hmotnosti 1 kg o jeden stupeň b) jednotkového množství látky c) látky hmotnosti modľ stupňů d) látky hmotnosti 1 kg o dT stupňů e) látky hmotnosti m o jeden stupeň BTO 2.3.-15 Kolik tepla potřebujete k ohřátí 2 kg vody z 0 °C na 100 °C? Ztráty neuvažujte, měrná tepelná kapacita vody je 4,2-103 Jkg^K1 BTO 2.3.-16 Smícháme-li vodu o hmotnosti m\, teploty t\ s vodou hmotnosti m2, teploty t2, kde t2>h, jaká bude výsledná teplota vody? 157 BTO 2.3.-17 Uvažujte chemicky čistou, krystalickou a pevnou látku, kterou zahříváme tak, že látka přijímá za časovou jednotku stejné teplo. Která část grafu (O 2.3.-3) představuje skupenskou změnu pevné látky na kapalinu? q "p. II Čas 0 2.3.-3 BTO 2.3.-18 Kapalina o hmotnosti 2 kg je zahřívána na teplotu varu a při této teplotě se zcela vypaří. Na obrázku O 2.3.-4 je nakreslen graf vyjadřující změnu teploty jako funkci přijatého tepla. Jaké je skupenské teplo varu daného množství látky? t/°C 100' 0 2.3.-4 60 20 0 200 400 600 800 Q/kJ ZRU 2.3.-19 Voda má teplotu 30 °C. Ponoří se do ní teploměr, který po čase vytvoří s vodou soustavu o teplotě 29 °C. Teplota teploměru přitom stoupla o 10 °C. Stanovte tepelnou kapacitu teploměru. C = ?, řv = 30 °C, řt = 29 °C, V = 0,1 • 10~3 m3, py = 998 kg • m"3, Ařt = 10 °C, c = 4190 J • K 1 • kg"1 Teplo CÁtt přijaté teploměrem se rovná teplu cpvV (tv -tt), které odevzdala teploměru voda. Proto C = C^V(ř-~řt)=41,8J-K-' C = 41,8 JK1 BŘU 2.3.-20 Kus ledu o hmotnosti 250 g a teplotě -10 °C vložíme do směšovacího kalorimetra o tepelné kapacitě 3 100 JK1, který obsahuje 900 g vody o teplotě 50 °C. a) Roztaje všechen led? b) 158 Určete výslednou teplotu v kalorimetru po vyrovnání teplot, c) Jakou teplotu by musela mít voda před vložením ledu, aby se roztopila právě polovina hmotnosti ledu? Tepelnou výměnu s okolím kalorimetru zanedbejte. Předpokládejte konstantní hodnoty měrného skupenského tepla tání ledu 333,7 J-g"1, měrné tepelné kapacity ledu 2090 Jkg^K"1 a měrné tepelné kapacity vody 4180 Jkg^K"1. (a) Ano., (b) 32,18 °C, (c) 6,84 °C mL = 0,25 kg, řL = -10 °C, C=3100 J • K"1, mv = 0,9 kg, řvl = 50 °C, t = ?, tv2 = ?, lt = 3,337• 105 J• kg"1, c-4 180 J• K 1 • kg"1, ch —2 090 J• K 1 • kg 1 a) Maximální teplo, které může voda hmotnosti mv odevzdat ledu, aniž by zmrzla, je ôvmax = cmvK\ =188 100 J . Teplo, jenž je schopen poskytnout kalorimetr na roztátí ledu, má hodnotu QK - Ktvi =155 000 J, teplo potřebné ke zvýšení teploty ledu na bod tání QL - -clmLtL = 5 225 Jak roztátí ledu QL - mjt - 83 425 J . Srovnejme <2vmax +QK s Ôl + ÔLt • Protože gvmax + gK > gL + gLt, všechen led roztaje. b) Z kalorimetrické rovnice tvaru -cLmLřL + ltmh + cmht - C (řvl -1) + cmv (tvl-t) vyjádříme hledanou teplotu t: t = ic + cmv) + c1m1tL -ZtmL C + c (mL + mv) ŕ = 32,18 °C c) Opět vycházíme z kalorimetrické rovnice, tentokrát ve tvaru ^mhlt -chmhth = cmvtv2 + Ctv2 Po úpravě dostaneme řv2=6,84 °C ZLP 2.3.-21 Jak dlouho by svítila 100 W žárovka, pokud by beze zbytku spotřebovala nutriční energii 100 g medu, která činí 308 kcal? (1 cal = 4,186 J) Nejdříve vypište zkrácené zadání. = 100 W, E = 308 kcal = 1 289 288 J, t= ? 159 Hledanou dobu vyjádřete z definičního vztahu pro výkon. E E P= — ^T = — T P r = 12 892,88 s Výsledek vyjádřete v násobcích hodin, minut a sekund, nikoliv desetinným rozvojem. T - 3 h 34 min 53 s 3 h 34 min 53 s SHRNUTI Molární tepelné kapacity plynů Pro ideální plyn platí Mayerův vztah: Cmp - CmV = R = 8,314 J • K 1 • moľ1 R je molární plynová konstanta. Poměr měrných nebo molárních tepelných kapacit při stálém tlaku a objemu je u ideálního plynu konstantní a roven Poissonově konstantě /ca je vždy větší než 1: C„ C, > 1 mV Na základě kinetické teorie ideálních plynů lze pro hodnoty molárních tepelných kapacit a Poissonových konstant dospět k závěrům: 2 2 i kde z'je počet stupňů volnosti molekuly daného ideálního plynu. Tento počet stupňů volnosti je u jednoatomových plynů roven třem (k = 1,66), u dvouatomových pěti (ť = 1,4) au více než dvouatomových šesti (k = 1,33). Stavová rovnice ideálního plynu Stav ideálního plynu je jednoznačně určen tlakem p, objemem V a teplotou T. Objem je vnějším parametrem jednoduché homogenní soustavy, kterou ideální plyn představuje, zbývající dvě stavové veličiny, tlak a teplota, jsou vnitřními parametry soustavy. Je-li látkové množství plynu n, platí: pV=nRT Často se látkové množství n nahrazuje podílem hmotnosti plynu m a jeho molární hmotnosti M m pV =—RT, M V případně se v zápisu rovnice vyskytuje molární objem Vm - —. Pak n pVm=RT. Stavová rovnice ideálního plynu platí i pro plyny reálné za nízkého tlaku. Stavová rovnice reálného plynu Skutečné plyny jeví odchylky od zákonitostí ideálního plynu zejména při vysokých tlacích. Stavová rovnice reálného plynu zohledňuje vlastní objem molekul a existenci kohezního tlaku pm reálného plynu. Existuje velké množství stavových rovnic reálného plynu, každá z nich se 160 obvykle používá pro malý rozsah teplot a hustot. Příkladem rovnice se dvěma konstantami je van der Waalsova: f n2a^ P+ 7 V V v J (V-nb) = nRT kde a, b jsou konstanty, které se pro daný plyn určují experimentálně. V následujících úlohách předpokládáme, že jsou plyny ideální. ZU 2.3.-22 Určete vnitřní energii 2 molů a) jednoatomového a b) dvouatomového ideálního plynu při teplotě 250 K. Určete v obou případech molární tepelnou kapacitu při stálém objemu a tlaku. ZTO 2.3.-23 Stavová rovnice ve tvaru pV - RT platí pro a) jeden kilogram plynu b) jeden mol plynu c) libovolné množství plynu ZTO 2.3.-24 Uvažujte dva kilomoly CO2 při teplotě 27 °C a tlaku 3 TO5 Pa. Vypočítejte objem plynu. 9 BRU 2.3.-25 Balon objemu 110 1 je naplněn směsí 0,8 kg vodíku a 1,6 kg kyslíku. Určete tlak, kterým působí směs na stěny balonu. Teplota okolí je 27 °C. V = 0,11 m3, mi = 1,6 kg, m2 = 0,8 kg, T= 300,15 K, M(02) = 0,032 kg-mol" \ M(H2) = 0,002 kg-mol"1, p = ? V balonu je nx - M(02) molů kyslíku a n2 - M(H2) molů vodíku. Stavové rovnice dvou plynů jsou postupně PiV _ „ Povo T 1 p2V T — n. T PqVq Indexy 0 označují normální stav. Tlak směsi na stěny balonu je roven součtu parciálních tlaků: PoVoT I \ T0V p = ll07 Pa ZLP 2.3.-26 161 Jakou hmotnost má 8-1026 atomů vápníku? Kolikrát by obtočila Zemi kolem rovníku řada k sobě přiléhajících pingpongových míčků, z nichž každý má průměr 40 mm, kdyby jich bylo přesně 8-1026 ? Relativní atomová hmotnost vápníku je 40,08, rovníkový poloměr Země 6 378 km. Nejdříve vypište zkrácené zadání. Ar = 40,08, N = 8-1026, NA = 6,022-1023 moľ1, M = 0,04008 kg-moľ1, d = 0,04 m, Rz = 6 378 km, m = ?, x = ? Známe počet částic a Avogadrovu konstantu. Pomocí nich vyjádřete látkové množství. N n —- NA Napište definiční vztah molární hmotnosti. M = — Řešte soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Získáte hmotnost. *, N m = M- m = 53,24 kg Abyste získali x, vydělte délku řetězce molekul obvodem rovníku. Nd x ■ x = 7,985 -1017 53,24 kg; 7,985-10 17 BLP 2.3.-27 Dvě stejné láhve jsou naplněny ideálním plynem o teplotě 0 °C a spojeny úzkou vodorovnou trubicí kruhového průřezu o průměru 5 mm, v jejímž středu je kapka rtuti (O 2.3.-5). Kapka dělí nádobu na dvě poloviny se stejným objemem 200 cm . O jakou vzdálenost x se posune kapka rtuti, vzroste-li teplota plynu v jedné láhvi o 2 °C a klesne-li ve druhé také o 2 °C? Zanedbejte změnu objemu nádob. 9 Q2.3.-5 Nejdříve vypište zkrácené zadání. = 2-10"4 m3, T0 = 273,15 K,d = 0,005 m, AT = 2 K, x = ? 162 Stav plynu v 1. nádobě je po zahřátí určen hodnotami stavových veličin p\, V\ a T\ , ve 2. nádobě po ochlazení hodnotami p2, V2 a T2 , původní stav v obou nádobách veličinami p0, V0 a Tq. Porovnejte společné výrazy ve stavových rovnicích pro tyto tři stavy. PlVl = PlV2 = PoV0 T T T A\ J2 J0 Kapka se bude posouvat tak dlouho, dokud se nevyrovnají tlaky p\ a p2 , což znamená, že pak bude: V T —L — —L V T Rozepište objemy V\ a V2 pomocí posunutí kapky rtuti a teploty T\ a T2 pomocí teplotní změny. V0 + xS _T0 + AT V0 - xS ~ T0 - AT Vyjádřete x. V0AT x-—- ST0 Dosaďte vzorec pro obsah průřezu trubice (kruhu). 4VnAT x ■ x = 0,0746 m = 7,46 cm 7,46 cm ZU 2.3.-28 Jaký tlak bude mít 50 g dusíku při teplotě 27 °C a objemu 850 ml podle stavové rovnice ideálního plynu? Molární plynová konstanta R = 8,315 Jmoľ^K1 a molární hmotnost dusíku M = 0,028 kgmoľ1. BU 2.3.-29 Odhadněte rozdíl hmotnosti vzduchu v nevytápěném sále o objemu 50 m3 v letním a zimním období, jestliže budeme předpokládat letní teplotu 30 °C a zimní 0 °C. Tlak vzduchu bude normální, tj. 1,01325-105 Pa. 163 Plyn působí kolmo na píst silou o velikosti F. V důsledku silového působení dojde k přemístění pístu o ds (O 2.4.-1). Síla přitom vykonala elementární práci dA = Fás = pSás = páV Celková práce vykonaná při změně objemu z Vx na V2: '2 A = $pdV Práci plynu lze názorně vyjádřit tzv. pracovním diagramem (p-V diagram - O 2.4.-2): O 2.4.-2 Práce je číselně rovna obsahu plochy pod příslušným úsekem křivky závislosti p - f (V) v p-V diagramu. Z pracovního diagramu je zřejmé, že práce je kromě závislosti na počátečním a konečném stavu soustavy závislá také na průběhu stavové změny. Vnitřní energie soustavy U je souhrn kinetických a potenciálních energií atomů či molekul soustavy. První termodynamický zákon První termodynamický zákon (l.TZ) vyjadřuje princip zachování energie pro makroskopické soustavy. V úlohách bude soustavou ideální plyn uzavřený pístem v nádobě. l.TZ: Teplo Q dodané soustavě se spotřebuje na přírůstek vnitřní energie soustavy AU a na práci A, kterou plyn vykoná na okolí. Q=AU+A Znaménková konvence: Q > 0 Soustava přijímá teplo. Q < 0 Soustava odevzdává teplo okolí. A > 0 Soustava koná práci na okolí (roste objem soustavy). A < 0 Soustava práci spotřebovává (klesá objem soustavy). AU > 0 Roste vnitřní energie soustavy (roste teplota v soustavě). AU < 0 Klesá vnitřní energie soustavy (klesá teplota v soustavě). Diferenciální tvar 1 .TZ: dQ = dU+dA Podle kinetické teorie vnitřní energie ideálního plynu závisí pouze na teplotě: U=n-^RT = nCmYT => dU = nCmYdT Získáme tak l.TZ ve tvaru, který se často pro ideální plyny používá: dQ = nCmWdT + pdV 164 ZTO 2.4.-1 První termodynamický zákon ve tvaru dQ = Cmy dT + pdV platí a) obecně, tj. pro libovolné množství plynu. b) pouze pro 1 kg plynu. c) pouze pro 1 mol plynu. BTO 2.4.-2 První termodynamický zákon lze pro jeden kilogram plynu psát ve tvaru: a) dQ= (Cmp + CmW) dT + pdV b) dQ = CmpdT + pdV c) dQ = (Cmp-R) dT + pdV d) dQ = CvdT + pdV e) dQ = cmV dT + pdV ZTO 2.4.-3 Označte jednotku tepla. 2 2 a) kgm -s" b) Jmol^K"1 c) J-kg-K d) JmolK e) J BTO 2.4.-4 Infinitezimální (nekonečně malá) změna vnitřní energie jednoho molu ideálního plynu, tj. dU, se rovná: a) cvdT b) CmV dT c) pdV + RdT d) c,J-L k e) Cmp dT ZTO 2.4.-5 Plyn, jehož molární tepelná kapacita při stálém objemu je Cmv, zahřejeme z 0 °C na 100 °C. Vypočítejte změnu vnitřní energie jednoho kilomolu plynu. U2-U1 = ZŘU 2.4.-6 Ideální plyn expandoval mezi stavy I a II (O 2.4.-3). Stavu I příslušela teplota 45°C. a) Jakého počtu molů plynu se p-V diagram týká? b) Jakou práci během expanze plyn vykonal? c) Určete teplotu plynu ve stavu II. 165 p[kPa] a 0 2.4.-3 h = 45 °C, Ti = 318,15 K, i? = 8,315 JK^moľ1, = ?, A = ?, T2 = ? p[kPa] a 0 2.4.-4 Z O 2.4.-4 vyčteme, žepx = 2-103 Pa,/?2 = 6-103 Pa, Vx = 1 m3, V2 = 3 m3. a) Stavová rovnice ideálního plynu platí například i pro stav I, takže: Pyx=nRT1 n = 0,76 mol v2 b) Z geometrické interpretace určitého integrálu a = | /?dV plyne, že práci mohu vyjádřit v, v našem případě jako součet obsahu obdélníku a pravoúhlého trojúhelníku: a = Pi {v2-v1)+^{p2-p1){v2 - vj=|(y2 - vjfo + A) A = 8kJ 166 c) Stačí napsat stavovou rovnici ideálního plynu pro stav II a vyjádřit neznámou: p2V2 - nRT2 p2V2 T - nR T2 =2 848 K BU 2.4.-7 V nádobě tvaru válce s podstavou o obsahu 100 cm se nachází vzduch o teplotě 12 °C. Nádoba stojí na vodorovné podložce. Atmosférický tlak je 101 kPa. 60 cm nad podstavou je píst. Vypočtěte posunutí pístu, jestliže na něj položíme závaží o hmotnosti 100 kg a teplota plynu přitom vzroste na 27 °C (O 2.4.-5)? Zanedbejte tření pístu o nádobu a hmotnost pístu. 1 1 r r_íl_, 1 1 \ A Ah = ? V 60 cm 0 2.4.-5 SHRNUTI Izochorický děj n - konst, V - konst. dV =0 Ze stavové rovnice pV - nRT plyne: — = konst. (Charlesův zákon) Pracovní diagram (O 2.4.-6): P A izochora --1-> V 0 2.4.-6 Plyn nekoná práci, neboť nemění objem. Znamená to, že dA = 0. S přihlédnutím k l.TZ se teplo dodané plynu spotřebuje výhradně na zvýšení vnitřní energie plynu: dQ = dU 167 Q = AU= — CmV{T2-Tl) Izotermický děj n - konst, T - konst. => dT - 0 Ze stavové rovnice dostaneme: pV - konst. (Boylův - Mariotteův zákon) Pracovní diagram (O 2.4.-7): > V 0 2.4.-7 Vnitřní energie plynu se nemění, neboť dU - CmYdT - O . Teplo dodané plynu se spotřebuje jen na práci, kterou plyn vykoná. Podle l.TZ: nRT Q = A = §pdV, kde p=- V A= \^dV =nRT\— = nRT\\nV]% = nRT\n^ V V, n resp. dle stavové rovnice A - nRT ln — Pi Izobarický děj n - konst., p - konst. dp = 0 V Ze stavové rovnice plyne: — = konst. Pracovní diagram (O 2.4.-8): (Gay - Lussacův zákon) P A izobara V 0 2.4.-8 168 v2 v2 Práce plynuje: A - j p dV - p j dV - p(V2 -V,) v, v, i.tz: e = At/+A = wcmV(r2-r1)+jP(y2-y1) Odečteme stavové rovnice pro stavy 1 a 2: p{y2-Vx) = nR{T2-Tx) Pro teplo dostaneme: Q = n (CmV + R) (T2 - T,) = nCmp {T2-Tx) BTO 2.4.-8 Plyn izochoricky zahříváme tak, že se tlak zdvojnásobí. Určete práci, kterou plyn vykoná. ZTO 2.4.-9 V plynu probíhá izochorická změna. Mění se přitom: a) teplota b) tlak c) objem d) současně teplota, tlak i objem BLP 2.4.-10 Jak velké teplo je nutno dodat CO2, který je v nádrži objemu 0,8 m , aby jeho tlak vzrostl z p\ = 1 ■ IQ5 Pa na p2 = 5105 Pa? Jak velká je změna vnitřní energie plynu? Nejdříve vypište zkrácené zadání. pi = 105 Pa, p2 = 5-105 Pa, V = 0,8 m3, CmV = 3R, Q = ?, AU = ? Vyjádřete změnu vnitřní energie řz-molů ideálního plynu pomocí teplotního rozdílu At/ = wcmVAr = wcmV(r2-r1) Formulujte stavovou rovnici pro stav 1 a vyjádřete látkové množství. py - nRTx => n - py_ RT, Porovnejte společné výrazy ve stavových rovnicích pro stavy 1 a 2, abyste získali T2. py = py Ž2, Pi Látkové množství a teplotu příslušející druhému stavu dosaďte do vzorce pro změnu vnitřní energie. f mV Pl — T Pl py_ R C mV —-1 Pl Dosaďte číselné hodnoty a přihlédněte ke skutečnosti, že se při izochorickém ději nekoná práce. At/ = g = 10,5 105J AU =Q = 10,5-10 J 169 BU 2.4.-11 3 5 Nádrž objemu 0,015 m obsahuje dvouatomový plyn ve stavu s tlakem 2-10 Pa a teplotou 30°C. Plynu se dodá 16,8-10 J tepla. Vypočtěte výsledný tlak a teplotu. ZU 2.4.-12 V uzavřené nádobě o objemu 2 1 je dusík o hustotě 1,4 kgm" . Jaké teplo přijme dusík, jestliže se jeho teplota zvýší o 100°C při stálém objemu? Měrná tepelná kapacita dusíku při stálém objemu je 739 J-kg^K"1. ZU 2.4.-13 Jak se změní vnitřní energie kyslíku o hmotnosti 500 g, zvýší-li se jeho teplota z 10°C na 60°C? Měrná tepelná kapacita kyslíku při stálém objemu je 651 J- kg"1 K"1. Objem kyslíku se nemění. ZTO 2.4.-14 V termodynamické soustavě probíhá izotermická změna. V tomto systému se mění: a) teplota b) tlak c) objem d) současně teplota, tlak i objem ZTO 2.4.-15 Graf závislosti tlaku na objemu pro izotermický děj s ideálním plynem neměnného látkového množství je a) polopřímka. b) jedna větev rovnoosé hyperboly. c) dvě větve rovnoosé hyperboly. d) parabola. BTO 2.4.-16 Expanzí plynu z objemu V\ na objem V2 při konstantní teplotě 127 °C byla vykonána práce Ai. Provedeme-li tutéž expanzi při teplotě 527 °C, bude práce A2 = xA\. Stanovte x. BTO 2.4.-17 Izotermické stlačení probíhá jen tehdy, a) je-li děj dostatečně pomalý, aby mohlo dojít k vyrovnání teplot s okolím. b) je-li děj dostatečně rychlý, aby nemohlo dojít k vyrovnání teplot s okolím. BŘU 2.4.-18 Ideální plyn izotermický expanduje ze stavu 1 do stavu 2. Pl = 4-105 Pa, Vx = 3 m3 /?2 = 2105 Pa, V2 = 6m3 Vypočítejte práci, kterou plyn vykoná. A = 8,32-105 J 170 Q = A = ]pdV = ]^dV = nRT\^- = pxVx ln^ V, Ví v, 1 A = 8,32-105J BŘU 2.4.-19 Tlak 0,1 kg vzduchu, jehož stavové změny se řídí stavovou rovnicí ideálního plynu, klesne na 1/8 původní hodnoty. Vypočtěte práci vykonanou vzduchem, jestliže v něm byla udržována konstantní teplota 50°C. Předpokládejte molární hmotnost vzduchu M = 0,029 kgmoľ1. v2 Pro práci jistě platí A - | pdV , kde V\ a V2 označují v tomto pořadí počáteční a koncový v, objem. Protože ve stavech 1 a 2 nejsme podle zadání objemy vzduchu schopni vypočítat, využijeme diferencování stavové rovnice ideálního plynu pV - nRT : d (pV) = d (nRT) = nRdT = 0 páV +Vd/? = 0 Práci přepišme jako integrál, který lze řešit takto: A = -]vůp = -nRr\^- = ^-RT^=^-RT^% J J p M n M Pi pi 1 ľ2 A = l,93 104 J BŘU 2.4.-20 Odhadněte v kilogramech množství chladicí vody pro udržení konstantní teploty 2 kg kyslíku při stálé teplotě 150°C, dojde-li k nárůstu tlaku z 105 Pa na 15T05 Pa. Vstupní teplota vody do chladiče je 15°C, výstupní teplota 40°C. Měrná tepelná kapacita vody je 4180 Jkg^K"1, molární plynová konstanta 8,315 JK^moľ1, molární hmotnost kyslíku 0,032 kgmoľ1. Tepelné ztráty zanedbejte. První termodynamický zákon se v případě izotermického děje zjednoduší na vztah: Q = A Pro práci plynu platí: A = J páV Vi Diferencujme stavovou rovnici ideálního plynu: d (pV) = d (nRT) = nRáT = 0 páV + Váp = 0 ^> páV = -Váp Využili jsme skutečnost, že je T konstantní, tudíž áT= 0. Vyjádřeme teplo tak, aby horní a dolní mez v integrálu byly známé veličiny - zde tlaky: Q = $páV = -jVáp Vi Pi Aby v zápisu integrálu byla pouze jediná proměnná veličina, užijme stavovou rovnici k nahrazení objemu podílem p a řešme integrál: 171 q = -\^ldp = -nRTln^ = nRT ln A = —RTln^1-Í P Px Pi M Pi Neboť tepelné ztráty zanedbáváme, odevzdává plyn teplo pouze vodě. Pro teplo přijaté vodou o měrné tepelné kapacitě c platí: Ôvoda = CmvAt Z rovnosti Q = <2voda konečně dostaneme řešení: mRT mvoda = McAT ln^- vody Pl m„ 1,9 kg BLP 2.4.-21 Plynu objemu 0,1 m3 a tlaku 106 Pa se při stálé teplotě t = 200 °C dodá 125,6 kJ tepla. Vypočítejte konečný tlak, objem plynu a práci, kterou plyn vykoná. Nejdříve vypište zkrácené zadáni_ K = 1,3; Cp = 837,36 J-kg^-K"1; t = 200 °C; T = 473,15 K; Q = 125,6 kJ; Pl = 106 Pa; Vx = 0,1 m3;p2 = í?; y2 = ?;A = ? Protože se nemění teplota plynu a díky tomu zůstává konstantní vnitřní energie plynu, přejde 1. termodynamický zákon do tvaru: Q = A Vyjádřete práci při izotermickém ději, použijte přitom formulaci stavové rovnice pro v v, Vypočtěte V2- v2=vie«v> V2 =0,35 m3 Z porovnání stavových rovnic pro stavy 1 a 2 vypočtěte pi\ Pri Pi=- p2 =2,85-105 Pa V2 = 0,35 m3, p2 = 2,85-105 Pa, A = Q BU 2.4.-22 Jakou práci vykoná ideální plyn při izotermické expanzi na 70 1, jestliže jeho počáteční objem je 50 1 a tlak 2105 Pa ? Přijal nebo odevzdal plyn teplo okolí? 172 BU 2.4.-23 2 m ideáli objem. Vypočtěte výsledný tlak, práci, kterou plyn vykoná a množství přivedeného tepla. 3 5 2 m ideálního plynu počátečního tlaku 3 -10 Pa izotermicky expanduje na dvojnásobný ZU 2.4.-24 Vypočtěte práci, kterou musíme vykonat, abychom izotermicky stlačili kyslík z objemu 30 1 na objem 19,9 1. Na počátku byl jeho tlak 1010 hPa a teplota 10°C. ^ = -Aplynu = 1243 J BTO 2.4.-25 V termodynamické soustavě probíhá izobarická změna. V tomto systému se mění: a) teplota b) tlak c) objem d) současně teplota, tlak i objem ZTO 2.4.-26 Při 0 °C zaujímá plyn objem Vo- Při jaké teplotě T zaujme plyn 2/3 původního objemu za předpokladu izobarické změny? ZTO 2.4.-27 Grafem závislosti objemu na teplotě při izotermickém ději neměnného látkového množství s ideálním plynem je a) polopřímka. b) jedna větev rovnoosé hyperboly. c) přímka. d) parabola. BTO 2.4.-28 Při izobarické změně provedené při tlaku pi, vzrostl objem plynu z V\ na V2 a teplota vzrostla z T\ na T2. Jaký bude tlak plynu px, změní-li se dodatečně objem na původní hodnotu změnou izotermickou? BLP 2.4.-29 Za normálního tlaku p - 1,013- 105Pa měl plynný dusík N2 o látkovém množství n - 8 mol teplotu t\ = 30 °C. Teplota plynu byla při nezměněném tlaku zvýšena na t2 = 190 °C. Určete změnu vnitřní energie, práci kterou plyn vykonal a teplo plynu dodané. Nejdříve vypište zkrácené zadání: p = 1,013 105Pa,ři = 30 °C, n = 8mol,ř2= 190 °C, AU=?,A=?, Q=l Dusík je plyn složený z dvouatomových molekul tzn.: Vypočítejte změnu vnitřní energie: AU = nCmYAT = n^R(t2 -tx) A£/ = 2,7-104 J 173 K výpočtu práce plynu použijte vzorec pro obsah plochy pod izobarou nebo vyřešte integrál v2 jpdV : v, A = p(V2-Vl)=nR(T2-Tl) A = 1104 J K výpočtu tepla, které bylo plynu dodáno, využijte l.TZ: Q - AU + A- nCmpAT = n-R(J2 - 7]) g = 3,7 104 J A£/ = 2,7-104J,A = MO4 J, g = 3,7104 ZU 2.4.-30 Na jakou teplotu je třeba ohřát vzduch, aby se jeho objem zdvojnásobil, jestliže na počátku měl teplotu 20 °C ? Jedná se o děj izobarický. ZU 2.4.-31 Do soustavy dodáme teplo při konstantním tlaku p = 105 Pa. Objem plynu se změní z V\ = 1 3 3 m na V2 = 10 m . Určete velikost práce, kterou plyn vykoná.. ZU 2.4.-32 Ideální plyn o počáteční teplotě 290 K odevzdal při izobarickém ději s tlakem 15 kPa teplo 50 3 3 kJ a zmenšil objem z 5 m na 2 m . a) Jaké teploty dosáhl plyn na konci děje? b) Vzrostla nebo poklesla vnitřní energie plynu? O jakou hodnotu? ZU 2.4.-33 Při zahřívaní vodíku se zvýšila jeho teplota o 20 °C a objem se zdvojnásobil. Tlak se nezměnil. Určete původní teplotu plynu. BU 2.4.-34 5 3 Dvouatomový plyn teploty t\ = 25 °C, tlaku p\ = 1,5-10 Pa a objemu V\ = 0,7 m se při stálém tlaku zahřeje na teplotu t2 =175 °C. Určete práci, kterou plyn vykoná, změnu jeho vnitřní energie a dodané teplo. (Cmy = 5/2 R) SHRNUTÍ Adiabatický děj ^i^^-^ÍÍ^É Děj probíhající v soustavě dokonale tepelně izolované od okolí, tzn. dQ - 0. Opět předpokládáme konstantní látkové množství. Podle l.TZ dA + dU = 0 ^> A = -nCmY AT Mezi stavovými veličinami kromě stavové rovnice ideálního plynu platí vztahy: pVK = konst. TV^1 =konst. rV^ = konst. Práce při adiabatickém ději: A=—Ápyi-p1v1) /c — l Srovnáníp-Vdiagramů izotermického a adiabatického děje (O 2.4.-9): 174 izoterma adiabata pV=konst pV^konst 0 2.4.-9 V BTO 2.4.-35 Probíhá-li v termodynamické soustavě adiabatický děj, mění se jeho: a) tlak b) objem c) teplota ZTO 2.4.-36 O adiabatickém ději lze pravdivě tvrdit, že: a) teplota soustavy není konstantní. b) práce soustavy vykonaná je rovna úbytku vnitřní energie soustavy. c) teplota soustavy je konstantní a dodané teplo se spotřebuje výhradně na konání práce. d) vnitřní energie soustavy zůstává konstantní. BTO 2.4.-37 O adiabatické kompresi, případně expanzi plynu, hovoříme tehdy, a) probíhá-li dostatečně pomalu, aby mohlo dojít k vyrovnání teploty plynu s okolím. b) probíhá-li dostatečně rychle, aby nemohlo dojít k vyrovnání teploty plynu s okolím. BTO 2.4.-38 Ideální plyn, jehož molární tepelná kapacita při stálém objemu je Cmy, adiabatický expanduje tak, že jeho teplota klesne z T\ na T2. Plyn přitom vykoná práci A. Necháme-li tentýž plyn adiabatický expandovat za poklesu teploty z T\ na 2T2, plyn vykoná práci: a) stejnou b) poloviční c) 2 krát menší d) menší o n Cmy T2 e) větší o Cmv T2 BLP 2.4.-39 Vzduch hmotnosti m = 0,1 kg, tlaku p\ = 105 Pa a teploty t\ = 30 °C adiabatický komprimujeme na tlak p2 = 106 Pa. Vypočítejte teplotu T2, práci, kterou vykonal, a změnu jeho vnitřní energie. Molární hmotnost vzduchu M - 0,0289 kg ■ moľ1. 175 Nejdříve vyjděte ze vztahu, kterým se řídí adiabatická změna: Matematickou úpravou osamostatněte podíl objemů: Pl v. S využitím stavové rovnice vypočítejte teplotu T2: PlVl _ ^2 Z^7! ^2 _ PlTl fplx> Pi vt Pl \P1J T2 = 585 K Práce je při adiabatickém ději konána na úkor zmenšení vnitřní energie plynu. Vyjádřete práci plynu pomocí látkového množství, rozdílu termodynamických teplot a univerzální plynové konstanty: 5 ni 5 A = -nCmYAT = -n-R(T2 -Tt) = -—-R^-TJ A = -2,02-104 J Při adiabatickém ději Q - 0 J , proto z l.TZ vyplývá, že: AU = -A A£/ = 2,02-104 J ZU 2.4.-40 Plyn tlaku p\ a objemu V\ adiabaticky expanduje tak, že jeho tlak je p2 a objem V2. Napište, co platí pro poměr p2/p\ = ZU 2.4.-41 Píst velmi rychle, proto lze předpokládat adiabaticky, stlačil kyslík na 1/50 původního objemu. Jaké teploty bylo dosaženo po stlačení, jestliže na jeho počátku měl vodík teplotu 20°C? BU 2.4.-42 Ideální plyn expanduje ze stavu o tlaku 32-105 Pa, teplotě 350 K a objemu 1 1 na objem 4 1. Jaké jsou výsledný tlak a teplota plynu a jakou práci vykoná plyn, je-li expanze a) adiabatická a plyn jednoatomový, b) adiabatická a plyn dvouatomový? BU 2.4.-43 Odhadněte minimální výkon motoru kompresoru, který má za hodinu nasát 200 m3 vzduchu a zvýšit jeho tlak z 105 Pa na 8-105 Pa. Komprese nechť je adiabatická. Použijte hodnotu Poissonovy konstanty 1,4. BU 2.4.-44 V, Kompresní poměr — naftového motoru je 20. Píst při kompresi stlačuje vzduch z původního tlaku 105 Pa a teploty 20°C. Určete výslednou teplotu a tlak vzduchu na konci komprese, jestliže stlačování je adiabatické. Použijte hodnotu Poissonovy konstanty 1,4. 176 SHRNUTI Polytropický děj Pokud jde o přenos tepla mezi soustavou a okolím, existují dva v přírodě se nevyskytující extrémy: dokonalá tepelná výměna, která vyžaduje izotermický děj, a dokonalá tepelná izolace, charakterizující adiabatický děj. Ve skutečnosti expanze nebo komprese plynů probíhají podle křivek, jež leží mezi adiabatou a izotermou a nazývají se polytropy. Platí rovnice polytrop (stavová rovnice polytropického děje): pVr - konst, 1 < y< k, kde ^je polytropický exponent. Děj, který polytropě přísluší, se nazývá polytropický. Práci při ději poly tropickém je možné vyjádřit vztahem: a=—Apyi-p1v1) y-l Další úlohy na děje v ideálních plynech BTO 2.4.-45 Tvrzení dU = -pdVplatí, když: a) soustava je dokonale tepelně izolována. b) v soustavě probíhá izotermická změna. c) v soustavě probíhá izobarická změna. d) v soustavě probíhá izochorická změna, e) v soustavě probíhá adiabatická změna. ZTO 2.4.-46 Plyn přechází ze stavu A do stavu B tak, že nekoná práci. V plynu probíhá děj................ ZTO 2.4.-47 Plyn přechází ze stavu A do stavu B tak, že koná objemovou práci jen na úkor své vnitřní energie. V plynu probíhá děj................ ZTO 2.4.-48 Plyn přechází ze stavu A do stavu B tak, že vnitřní energie plynu se nemění. V plynu probíhá děj............... ZTO 2.4.-49 Veškeré teplo dodané plynu se projeví jako práce, kterou plyn vykoná. Toto tvrzení je správné, probíhá-li v plynu změna...... BTO 2.4.-50 Plyn izotermický expanduje z objemu Vi na V2 při teplotě T a vykoná práci Ai. Necháme-li plyn izotermický expandovat při dvojnásobné teplotě za jinak stejných podmínek, jaká bude získaná práce? BTO 2.4.-51 Uvedený graf (O 2.4.-10) představuje závislost tlaku na objemu u děje.......... 177 1-► v O 2.4.-10 ZTO 2.4.-53 Uvedený graf (O 2.4.-11) představuje závislost tlaku na objemu u děje ▲ P 1-► v 0 2.4.-11 ZTO 2.4.-54 Uvedený graf (O 2.4.-12)představuje závislost tlaku na objemu u děje A P v Obr. 2.4.-12 BTO 2.4.-55 Rovnice polytropy pVr = konst. přejde na rovnici adiabaty v případě, že polytropický exponent y= BTO 2.4.-56 Rovnice polytropy pVr = konst. přejde na rovnici izotermy v případě, že polytropický exponent y= BTO 2.4.-57 Rovnice polytropy pVr= konst. přejde na rovnici izobary v případě, že exponent y= 9 BRU 2.4.-58 178 Ideální plyn o hmotnosti m a teplotě Tq se izochoricky ochlazuje tak, že tlak klesne /c-krát. Pak plyn expanduje izobaricky. Na konci děje má opět teplotu Tq. Jakou práci v průběhu děje plyn vykonal, známe-li také jeho molární hmotnost M ? k M ° 0 2.4.-13 1 Protože stavy 1 a 3 leží na jedné izotermě, PcVo- — P3 a 4—>1 jsou izochorické, vyjádřeme pro ně tlak v závislosti na teplotě: pV— nRT => p—^^- — konst-T V p-T diagramu jsou proto izochory přímkami, které procházejí počátkem. Podobně lze dokázat, že izobary ve V-T diagramu jsou rovněž přímkami procházejícími počátkem. P A 0 2.4.-15 BLP 2.4.-60 Při polytropickém stlačení (7=1,5) z objemu V; = 16 1 na V2 = 4 1 došlo k ohřátí plynu z teploty T\ = 300 K na teplotu T2. Vypočítejte ji. Nejdříve vypište zkrácené zadání. Vi = 16 1; V2 = 4 1; y =1,5; Tx = 300 K; T2 = ? Srovnejte stavy 1 a 2 užitím rovnice, jejichž speciálním případem je rovnice Poissonova. Py? = pyl Vyjádřete podíl tlaků. jh=YL p2 vi Tentýž podíl získejte ze stavových rovnic pro stavy 1 a 2. PlVl _ Plv2 _^ Pl _ t1v2 Pi Wi Podíly tlaků srovnejte a upravte tak, abyste vyjádřili hledanou teplotu. 180 BLP 2.4.-61 Dodáním tepla plynu se docílilo toho, že jeho objem vzrostl lOkrát a tlak klesl 8krát. Určete exponent polytropické změny y. Nejdříve vypište zkrácené zadání. Z porovnání stavových rovnic polytropického děje vyjádřete podíl tlaků. py/=pn p±j_l Pi v> odíl tlaků logaritmujte a vyjádřete hledaný exponent. ln- 1 Pl 1 v2 Pl ln— = yln— => y = —f-2- Pi 7 =-= 0,9 In 10 ln^ V, ZU 2.4.-62 Nakreslete p-V, p-T a V-T diagramy izotermického, izobarického a izochorického děje v ideálním plynu. Předpokládejte, že počáteční stav plynu ve všech případech je dán hodnotami: pQ=2-105 Pa, T0 = 220 K, V0 = 2 m3. 181 SHRNUTÍ Kruhové děje Kruhový děj (KD) je taková posloupnost stavů soustavy (např. u tepelných strojů pracovní látky), po jejichž proběhnutí je konečný stav soustavy shodný s počátečním. Průběh KD se obvykle znázorňuje v p-V diagramu. Tepelný stroj a motor, Carnotův kruhový děj V tepelném stroji probíhá s pracovní látkou (např. voda, pára, palivová směs) kruhový děj za účelem trvalého konání práce tepelným strojem nebo trvalého odebírání tepla z chladícího prostoru. K tepelným strojům patří například: spalovací a parní turbíny, parní stroje, pístové spalovací motory, chladicí stroje, tepelná čerpadla. Tepelný motor je cyklicky pracující stroj, který během jednoho kruhového děje odebírá teplo Qi z teplejší lázně, odevzdává teplo Q2 chladnější lázni a koná práci A. Účinnost tepelného motoru je: A v=— V Carnotově motoru pracovní látka izotermicky a vratně expanduje (křivka A—>B) při teplotě T\, přijímá proto teplo Q\ z ohřívače. Expanze se stává adiabatickou (křivka B—>C), během ní teplota pracovní látky klesne na T2. Následují izotermická komprese (křivka C—>D) a adiabatická komprese (křivka D—>A). Pracovní látka přitom koná práci během expanze, spotřebovává práci během komprese. Říkáme, že v Carnotově motoru probíhá Carnotův kruhový děj (0 2.4.-17). Carnotův motor pracuje s účinností která nezávisí na pracovní látce a je horní hranicí účinnosti tepelných strojů pracujících s ohřívačem o teplotě T\ a chladičem o teplotě T2. Na obr. O 2.4.-18je kruhový děj probíhající v ideálním plynu, který se skládá ze dvou dějů izotermických a dvou izochorických. Doplňte slova přijímá, odevzdává, nevyměňuje tak, aby tvrzení o dějích byla pravdivá. Děj 1—>2 : plyn teplo............. Děj 2—>3 : plyn teplo............. Děj 3—>4 : plyn teplo............. Děj 4—»1 : plyn teplo............. 0 2.4.-18 BTO 2.4.-64 Na obrázku O 2.4.-18 je kruhový děj probíhající v ideálním plynu, který se skládá ze dvou procesů izotermických a dvou izochorických. Doplňte slova koná, spotřebovává, nekoná tak, aby tvrzení o dějích byla pravdivá. Děj 1—>2 : plyn práci............. Děj 2—>3 : plyn práci............. Děj 3—>4 : plyn práci............. Děj 4—»1 : plyn práci............. BTO 2.4.-65 Na obrázku O 2.4.-18 je kruhový děj probíhající v ideálním plynu, který se skládá ze dvou dějů izotermických a dvou izochorických. Na následující otázky odpovídejte slovy: se nemění, klesá, roste. Jak se chová vnitřní energie plynu u jednotlivých dějů? Děj 1—>2 : vnitřní energie plynu........... Děj 2—>3 : vnitřní energie plynu........... Děj 3—>4 : vnitřní energie plynu........... Děj 4—>l : vnitřní energie plynu........... ZTO 2.4.-66 Na obrázku O 2.4.-19je nakreslen graf vratného kruhového děje s ideálním plynem v p-V diagramu. Sled dějů je ABCA. Jakou práci vykoná plyn při ději označeném úsečkou CA ? p/MPa' 4 A B J f O 8 10 0 2.4.-19 V/litr BTO 2.4.-67 Na obrázku O 2.4.-19je nakreslen graf vratného kruhového děje s ideálním plynem v p-V diagramu. Sled dějů je ABCA. Jakou práci vykoná plyn při tomto kruhovém ději? BŘU 2.4.-68 V ideálním plynu hmotnosti m a molární hmotnosti M probíhá kruhový cyklus l-»2->3-»4-»l (O 2.4.-20). Plyn má ve stavech 1 a 3 teploty TY a T3. Stavy 2 a 4 leží na jedné izotermě. Určete práci během cyklu plynem vykonanou. Hf 183 O 2.4.-20 m Stavové veličiny budeme indexovat čísly stavů. Neboť práce plynu je číselně rovna obsahu plochy omezené osou V, křivkou p(V)a kolmicemi kose y vedoucími počátečním a koncovými body křivky p (V), a podle znaménkové konvence expanzi plynu přísluší kladná práce, kompresi záporná, platí podle obrázku O 2.4.-20 pro práci: A = (P2 ~ A) (V4 - V,) = p2V4 - p2Vx - PlV4 + pft Upravme užitím stavové rovnice ideálního plynu do tvaru: 171 a = —r{t,-2T+t). :„ p4v4 _ p 4 t kde t2-t4-t. Jelikož podíl stavových rovnic pro stavy 4 a 3 je 4 4 = — = — , pro stavy p3V3 p3 p4v4_v4_t t r, 4 a 1 4 4 — — — — a navíc p4V4 - p3Vx, lze psát — = — . Pro práci to znamená: t3 t a=^r(t3-2^3+tx)=^r(JFx-JF3) BLP 2.4.-69 Nechť s ideálním plynem proběhnou dva kruhové děje 1—>2—>3—>1 a 3—>2—>4—>3 (O 2.4.-21). Ve kterém kruhovém ději vykoná plyn větší práci? Odpověď zdůvodněte! 184 0 2.4.-21 Nakreslete p-V diagram obou kruhových dějů a srovnejte obsahy ploch, které jsou jimi v p-V rovině vymezeny. 3->2->4->3, viz. obr. O 2.4.-22 ZU 2.4.-70 Zjistěte, ve kterých částech kruhového děje z O 2.4.-23 teplota rostla, resp. klesala. "v O 2.4.-23 185 O 2.4.-24 BU 2.4.-71 Uvažujme kruhový děj v ideálním plynu z obr. O 2.4.-25. V jakých částech cyklu plyn odevzdává resp. přijímá teplo? o v O 2.4.-25 ZTO 2.4.-72 Ze kterých dějů je složen Carnotův kruhový děj? a) izochorický ohřev b) adiabatická komprese c) adiabatická expanze d) izobarická komprese e) izobarická expanze f) izotermická komprese g) izotermická expanze BŘU 2.4.-73 Vypočítejte účinnost Ottová cyklu (O 2.4.-26), je-li dán kompresní poměr V1/V2 = 5 a podíl molárních tepelných kapacit pro hořlavou směs a produkty hoření Cmp/Cmv = 1,33. Předpokládáme, že v Ottově kruhovém ději probíhá: 1) otevření ventilu I a nasátí výbušné směsi benzínu a vzduchu do válce (děj 0— >4) pohybem pístu z polohy A do polohy B, 2) adiabatické stlačení (děj 1— >2) výbušné směsi, při kterém se píst vrací do původní polohy A, 3) zapálení výbušné směsi svíčkou S, což vede k ději 2—>3 a adiabatické expanzi 3—>4 (pohyb pístu z A do B), 4) izochorický pokles tlaku díky otevření výfukového ventilu II (děj 4—>1). Nakonec se píst znovu přesune do polohy A, aby vytlačil zbývající zplodiny hoření z válce. Ottův cyklus popisuje činnost zážehového spalovacího motoru čtyřdobého. 186 P A 2 P---H- ^ 3 IZOCHOEA 4 0 V O 2.4.-27 V1W2 = 5,Cmp/Cmv= 1,33,^=? Adiabatickým dějům v Ottově cyklu přísluší práce Al^2 -nCmY (T2 -Zj) a A3^4 = nCmV (T4 -T3). Práce se nekoná při izochorickém ději, soustava však během děje 2—>3 přijímá teplo Qx - nCmY (T3 -T2) a při ději 4—>1 odevzdává teplo Q2 -nCmY (Zj -T4). Účinnost je proto Zbavme se čtyř neznámých teplot. Z Poissonových rovnic vyjádřeme podíly teplot pomocí podílů objemů: pk = p2v2* P3V3 = p4V4 pyyr1=p2v2vr p3v3v* = p4v4v; nRTy''1 = nRT2V2x nRT3V3rl = nRT4V4Kl Q1+Q2 =T3-T2+TX-T4 = 1- Poněvadž V4-Ví a V2 - V3, tak: 187 Nyní můžeme upravit vzorec pro účinnost do konečné podoby: t /7 = 1- 2 tt t -t A3 12 1 — t t -1 t -t A3 12 1 tx(t3-t2) _x rtl t2{t3-t2) t2 f v Y v2 77 = 0,41 = 41% ZU 2.4.-74 Tepelný stroj přijal během jednoho cyklu z ohřívače teplo 250 kJ a odevzdal chladiči teplo 60 kJ. Stanovte účinnost tepelného stroje. Vyjádřete ji v procentech. ZU 2.4.-75 Carnotův motor má při teplotě chladiče 10 °C účinnost 38%. Účinnost máme zvýšit na 45%. O kolik stupňů se musí zvýšit teplota ohřívače? Předpokládáme, že teplota chladiče zůstává stejná. BU 2.4.-76 Kyslík má počáteční teplotu 200 °C a koná ideální Carnotův kruhový děj. Nejprve expanduje izotermicky na dvojnásobek objemu, poté expanduje adiabaticky na trojnásobek počátečního objemu aby byl stlačen izotermicky na takový objem, který umožní následnou adiabatickou kompresí uzavřít celý cyklus. Kyslíku je 2000 mol. Vypočtěte práci kyslíku v každé ze čtyř částí kruhového děje. Stanovte účinnost daného kruhového děje. Použijte hodnotu Poissonovy konstanty 1,4. 2.5. Přenos tepla SHRNUTÍ Teplo se přenáší výhradně z míst teplejších do míst studenějších vedením (kondukcí), prouděním (konvekcí) a zářením (radiací). Přenos tepla vedením Vedení (kondukce) tepla je zprostředkováno srážkami sousedních molekul látkového prostředí. V homogenním prostředí, které je dokonale tepelně izolováno od okolí a za předpokladu jednorozměrného šíření tepla (ve směru osy x), je množství tepla Q prošlého rovinnou plochou kolmou na osu x o obsahu S za dobu t a v případě konstantního teplotního spádu ——— dáno vztahem l kde A je součinitel tepelné vodivosti. [^] = Jm1K1s1 Jestliže teplotní spád není konstantní a teplo se šíří v kladném směru osy x, lze psát: q = -ASt— dx Mírou přenosu tepla je tepelný tok <ř», který je podílem tepla dQ a doby dt, za kterou danou plochou teplo dQ prošlo: 188 *=^, [*] = J.s-1 dt Hustota tepelného toku je vektor q, pro jehož velikost platí: dS, -, [q] =Jm2 s1. dSn je obsah elementární rovinné plochy, která je kolmá na směr přenosu tepla. Přestup tepla je přenos tepla rozhraním, které odděluje dvě různá prostředí. Byl zaveden součinitel přestupu tepla a: h a t2 jsou teploty na jednotlivých stranách rozhraní. Prostup tepla je přenos tepla mezi dvěma tekutinami oddělenými pevnou stěnou. Teploty v tekutinách Zj a t2 se liší od teplot Zj la t2' na příslušných rozhraních. Platí:

Zj připadá toto maximum na vlnovou délku Aa, pro kterou platí: a) X2 > Xl b) X2 - Xl c) X2 < Xl BŘU 2.5.-17 V žárovce, která svítí, má rozžhavené vlákno teplotu 2900 °C. Náhle přestane žárovkou procházet elektrický proud. Za jakou dobu žárovka zhasne, předpokládáme-li, že zhasnutí odpovídá pokles teploty vlákna pod 400 °C, vlákno září jako absolutně černé těleso a další ztráty tepla zanedbáme? Měrná tepelná kapacita materiálu vlákna je 1375 Jkg^K"1, obsah průřezu vlákna 3,14-10"8 m2 a hustota vlákna 19300 kgm"3. Ti = (2900 + 273,15) K, T2 = (400 + 273,15) K, c = 1375 J-kg^-K"1, S = 3,14-10"8 m2, p = 19300 kgm"3, Stefanova-Boltzmannova konstanta a= 5,67-10"8 Wm"2K"4, t= ? Protože nás zajímá úhrnné elektromagnetické záření, použijme experimentálně stanovený Stefanův-Boltzmannův zákon, který vyjadřuje závislost intenzity vyzařování absolutně černého tělesa na teplotě: 193 dE Veličina MQe je v našem příkladě podílem výkonu — vyzářeného povrchem vlákna obsahu dr Spi (plášť válce) a tohoto obsahu. Stefanův-Boltzmannův zákon tudíž nabude tvaru: dE Svldt Vlákno chápeme jako uzavřenou soustavu, která na okolí nekoná práci, takže s přihlédnutím ke znaménkové konvenci pro teplo, prvnímu zákonu termodynamiky a definici měrné tepelné kapacity, jedi? = -dU - -dQ - -cmdT . V našem značení je dE přírůstek vyzářené energie. Nyní můžeme dále upravovat Stefanův-Boltzmannův zákon: dE = SoT4dt -cmdT = Splč7T4dr dT C a Integrujme }dT e )a r, o a vyjádřeme hledaný čas: cm 3Svla 1 1 KT2 t J Hmotnost drátu m - pV - pSl. Obsahy pláště a podstavy válce jsou v tomto pořadí 2 5 ! = 2nrl a S -7tr , což znamená, že Spl = iWnS . Snadno dostaneme řešení: cp_ ( 1 6č7> 1 7t T3 T3 T = 7 = 13,74 s BRU 2.5.-18 Najděte hodnotu a) podílu intenzit vyzařování b) podíl spektrálních hustot intenzity vyzařování pro záření o vlnové délce 320 nm dvou absolutně černých těles, z nichž první má teplotu 2100 K a druhé 4000 K. Ti = 2100 K, T2 = 4000 K, Boltzmannova konstanta k = 1,38-10"23 JK"1, rychlost světla ve vakuu c = 3-108 m-s"1, Planckova konstanta h = 6,626-10"34 J-s, a) = ?, b) = ? , X = 320 nm a) Podíl intenzit vyzařování vyjádříme užitím Stafanova-Boltzmannova zákona: 194 oT24 T M k, = 0,076 b) Závislost spektrální hustoty intenzity vyzařování absolutně černého tělesa na vlnové délce popisuje Planckův zákon: Inhc1 A5 í hc ■>AkT ■1 Podíl spektrálních hustot intenzity vyzařování absolutně černých těles s teplotami Tj a t2 bude: M 0/í, hc -1 fc 1 1 _ AkT2 ÁkT, _ ^Ak' T. /', ()/!, = 3,786-10" 0;., BU 2.5.-19 Ve slunečním spektru připadá maximální spektrální hustota intenzity vyzařování na vlnovou délku 475 nm. Vypočtěte teplotu na povrchu Slunce za předpokladu, že je dokonale černým tělesem. BU 2.5.-20 Kolikrát je intenzita vyzařování dokonale černého tělesa při teplotě 500 °C větší než při teplotě 10 °C? 195