MA0005 Algebra 2, 5. semináø
30. 10. 2024
Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 1 / 18
Náplò cvièení
1 Maticové operace
Sèítání matic
Násobení matic
2 Gauss-Jordanova metoda
SLR pomocí inverzní matice
Literatura
Horák, P.: Cvièení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání.
Masarykova univerzita v Brnì, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
Kovár, M.: Maticový a tenzorový poèet. Vysoké uèení technické
v Brnì, Fakulta elektrotechniky a komunikaèních technologií, Ústav
matematiky.
Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 2 / 18
Motivace
Mìjme následující soustavu lineárních rovnic:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x2 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
...
an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn
kde n ∈ N.
Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 3 / 18
Motivace
Mìjme následující soustavu lineárních rovnic:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x2 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
...
an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn
kde n ∈ N.
Soustavu lze zapsat maticovì:





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
an1 an2 . . . ann





·





x1
x2
...
xn





=





b1
b2
...
bn





Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 3 / 18
Motivace
Systém 




a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
an1 an2 . . . ann





·





x1
x2
...
xn





=





b1
b2
...
bn





lze zapsat symbolicky takto: A · ⃗x = ⃗b, kde A je ètvercová matice øádu n.
Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 4 / 18
Motivace
Systém 




a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
an1 an2 . . . ann





·





x1
x2
...
xn





=





b1
b2
...
bn





lze zapsat symbolicky takto: A · ⃗x = ⃗b, kde A je ètvercová matice øádu n.
Existence inverzní matice A−1 vzhledem k násobení by zajistila pøímý
výpoèet øe¹ení systému:
A · ⃗x = ⃗b
A−1
· A · ⃗x = A−1
· ⃗b
⃗x = A−1
· ⃗b
Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 4 / 18
Sèítání matic
Sèítání matic
Pro matice A, B stejného typu m × n (m, n ∈ N) denujeme jejich souèet
A + B jako matici, která vznikne sèítáním po slo¾kách:
A + B =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
am1 am2 . . . amn





+





b11 b12 . . . b1n
b21 b22 . . . b2n
...
bm1 bm2 . . . bmn





=





a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n
...
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn





Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 5 / 18
Sèítání matic
Sèítání matic
Pro matice A, B stejného typu m × n (m, n ∈ N) denujeme jejich souèet
A + B jako matici, která vznikne sèítáním po slo¾kách:
A + B =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
am1 am2 . . . amn





+





b11 b12 . . . b1n
b21 b22 . . . b2n
...
bm1 bm2 . . . bmn





=





a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n
...
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn





Poznámka: (Mm×n, +) je komutativní grupa.
Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 5 / 18
Pøíklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich souèinem je matice
A · B =


1 −2 −1 0
0 1 −1 7
−8 0 0 5

 ·




3 2
−4 1
1 0
2 3



 =
Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 6 / 18
Pøíklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich souèinem je matice
A · B =


1 −2 −1 0
0 1 −1 7
−8 0 0 5

 ·




3 2
−4 1
1 0
2 3



 =


1 · 3 + (−2) · (−4) + (−1) · 1 + 0 · 2 1 · 2 + 2 · 1 + (−1) · 0 + 0 · 3
0 · 3 + 1 · (−4) + (−1) · 1 + 7 · 2 0 · 2 + 1 · 1 + (−1) · 0 + 7 · 3
−8 · 3 + 0 · (−4) + 0 · 1 + 5 · 2 −8 · 2 + 0 · 1 + 0 · 0 + 5 · 3


Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 6 / 18
Pøíklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich souèinem je matice
A · B =


1 −2 −1 0
0 1 −1 7
−8 0 0 5

 ·




3 2
−4 1
1 0
2 3



 =


1 · 3 + (−2) · (−4) + (−1) · 1 + 0 · 2 1 · 2 + (−2) · 1 + (−1) · 0 + 0 · 3
0 · 3 + 1 · (−4) + (−1) · 1 + 7 · 2 0 · 2 + 1 · 1 + (−1) · 0 + 7 · 3
−8 · 3 + 0 · (−4) + 0 · 1 + 5 · 2 −8 · 2 + 0 · 1 + 0 · 0 + 5 · 3


Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 7 / 18
Pøíklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich souèinem je matice
A · B =


1 −2 −1 0
0 1 −1 7
−8 0 0 5

 ·




3 2
−4 1
1 0
2 3



 =


1 · 3 + (−2) · (−4) + (−1) · 1 + 0 · 2 1 · 2 + (−2) · 1 + (−1) · 0 + 0 · 3
0 · 3 + 1 · (−4) + (−1) · 1 + 7 · 2 0 · 2 + 1 · 1 + (−1) · 0 + 7 · 3
−8 · 3 + 0 · (−4) + 0 · 1 + 5 · 2 −8 · 2 + 0 · 1 + 0 · 0 + 5 · 3


Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 8 / 18
Pøíklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich souèinem je matice
A · B =


1 −2 −1 0
0 1 −1 7
−8 0 0 5

 ·




3 2
−4 1
1 0
2 3



 =


1 · 3 + (−2) · (−4) + (−1) · 1 + 0 · 2 1 · 2 + (−2) · 1 + (−1) · 0 + 0 · 3
0 · 3 + 1 · (−4) + (−1) · 1 + 7 · 2 0 · 2 + 1 · 1 + (−1) · 0 + 7 · 3
−8 · 3 + 0 · (−4) + 0 · 1 + 5 · 2 −8 · 2 + 0 · 1 + 0 · 0 + 5 · 3


Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 9 / 18
Pøíklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich souèinem je matice
A · B =


1 −2 −1 0
0 1 −1 7
−8 0 0 5

 ·




3 2
−4 1
1 0
2 3



 =


1 · 3 + (−2) · (−4) + (−1) · 1 + 0 · 2 1 · 2 + (−2) · 1 + (−1) · 0 + 0 · 3
0 · 3 + 1 · (−4) + (−1) · 1 + 7 · 2 0 · 2 + 1 · 1 + (−1) · 0 + 7 · 3
−8 · 3 + 0 · (−4) + 0 · 1 + 5 · 2 −8 · 2 + 0 · 1 + 0 · 0 + 5 · 3


Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 10 / 18
Pøíklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich souèinem je matice
A · B =


1 −2 −1 0
0 1 −1 7
−8 0 0 5

 ·




3 2
−4 1
1 0
2 3



 =


1 · 3 + (−2) · (−4) + (−1) · 1 + 0 · 2 1 · 2 + (−2) · 1 + (−1) · 0 + 0 · 3
0 · 3 + 1 · (−4) + (−1) · 1 + 7 · 2 0 · 2 + 1 · 1 + (−1) · 0 + 7 · 3
−8 · 3 + 0 · (−4) + 0 · 1 + 5 · 2 −8 · 2 + 0 · 1 + 0 · 0 + 5 · 3


Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 11 / 18
Pøíklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich souèinem je matice
A · B =


1 −2 −1 0
0 1 −1 7
−8 0 0 5

 ·




3 2
−4 1
1 0
2 3



 =


1 · 3 + (−2) · (−4) + (−1) · 1 + 0 · 2 1 · 2 + (−2) · 1 + (−1) · 0 + 0 · 3
0 · 3 + 1 · (−4) + (−1) · 1 + 7 · 2 0 · 2 + 1 · 1 + (−1) · 0 + 7 · 3
−8 · 3 + 0 · (−4) + 0 · 1 + 5 · 2 −8 · 2 + 0 · 1 + 0 · 0 + 5 · 3


=


10 0
9 22
−14 −1


Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 11 / 18
Násobení matic { pracovní list
Jsou dány matice A, B, C:
A =
3 2
1 0
, B =
1 0 3
2 1 2
, C =


1 2
3 4
5 0

 .
1. Pro ka¾dou dvojici vý¹e uvedených matic proveïte souèin v obou
smìrech. Diskutujte situace, kdy to nelze.
2. Za jakých podmínek je mo¾né souèin dvou matic provést? Kdy to lze
provést obìma smìry?
3. Je-li mo¾né provést souèin matic C = X · Y , stanovte výraz, kterému se
obecnì rovná prvek cij výsledné matice C. Jaký je typ výsledné matice C?
4. Je násobení matic asociativní? Je komutativní? Zdùvodnìte svou
odpovìï vlastními slovy èi protipøíkladem.
Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 12 / 18
Násobení matic { denice
Násobení matic
Jsou dány matice A typu m × k a matice B typu k × n. Souèin matic
C = A · B denujeme jako matici typu m × n, jeho¾ prvky získáme dle
vzorce
cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + · · · + aik · bkj =
k
l=1
ail · blj
Poznámka: Násobení matic je asociativní, nicménì není komutativní.
Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 13 / 18
Ètvercová matice
Regulární vs. singulární matice
Ètvercovou matici A øádu n × n (kde n ∈ N) nazveme
regulární, právì kdy¾ h(A) = n;
singulární, právì kdy¾ h(A) < n.
Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 14 / 18
Ètvercová matice
Regulární vs. singulární matice
Ètvercovou matici A øádu n × n (kde n ∈ N) nazveme
regulární, právì kdy¾ h(A) = n;
singulární, právì kdy¾ h(A) < n.
Poznámka: Mno¾ina ètvercových matic (Mn,n, +, ·) je nekomutativní
okruh obsahující netriviální dìlitele nuly.
Vynásobením ètvercových matic dostaneme opìt ètvercovou matici.
Násobení matic je asociativní, ne v¹ak komutativní.
Neutrálním prvkem je jednotková matice E.
Pouze k regulární matici A existuje inverzní matice A−1 tak, ¾e
A · A−1 = E = A−1 · A.
Doká¾eme najít dvì netriviální ètvercové matice, jejich¾ vynásobením
vznikne nulová matice.
Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 14 / 18
Výpoèet inverzní matice Gauss-Jordanovou metodou
Gauss-Jordanova metoda pro výpoèet inverzní matice
Mìjme regulární ètvercovou matici A.
1 Zapi¹me si matice (A|E), kde E je jednotková matice.
2 Elementárními øádkovými úpravami se sna¾íme z matice A nalevo
\vyrobit" jednotkovou matici.
Nejprve matici nalevo pøevádíme na schodový tvar.
Následnì nulujeme prvky nad hlavní diagonálou.
Na závìr pøípadnì násobíme jednotlivé øádky tak, aby se nalevo objevila
jednotková matice.
3 Matice napravo je po v¹ech vý¹e uvedených úpravách maticí inverzní
k pùvodní matici A.
Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 15 / 18
Inverzní matice { pøíklady
K následujícím maticím naleznìte inverzní matice.
1 A =


1 1 1
13 10 8
6 5 4


2 B =


3 2 0
5 4 1
1 2 5


3 C =


3 1 −2
−5 1 6
1 3 2


Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 16 / 18
Inverzní matice { pøíklady
K následujícím maticím naleznìte inverzní matice.
1 A =


1 1 1
13 10 8
6 5 4


2 B =


3 2 0
5 4 1
1 2 5


3 C =


3 1 −2
−5 1 6
1 3 2


Výsledky:
A−1 =


0 1 −2
−4 −2 5
5 1 −3

,
Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 16 / 18
Inverzní matice { pøíklady
K následujícím maticím naleznìte inverzní matice.
1 A =


1 1 1
13 10 8
6 5 4


2 B =


3 2 0
5 4 1
1 2 5


3 C =


3 1 −2
−5 1 6
1 3 2


Výsledky:
A−1 =


0 1 −2
−4 −2 5
5 1 −3

, B−1 = 1
6 ·


18 −10 2
−24 15 −3
6 −4 2

,
Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 16 / 18
Inverzní matice { pøíklady
K následujícím maticím naleznìte inverzní matice.
1 A =


1 1 1
13 10 8
6 5 4


2 B =


3 2 0
5 4 1
1 2 5


3 C =


3 1 −2
−5 1 6
1 3 2


Výsledky:
A−1 =


0 1 −2
−4 −2 5
5 1 −3

, B−1 = 1
6 ·


18 −10 2
−24 15 −3
6 −4 2

,
C−1 neexistuje.
Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 16 / 18
Pracovní list { Gauss-Jordanova metoda
Gauss-Jordanovou metodou jste na¹li matici A−1 k matici A:


1 1 1 1 0 0
13 10 8 0 1 0
6 5 4 0 0 1

 ∼ · · · ∼


1 0 0 0 1 −2
0 1 0 −4 −2 5
0 0 1 5 1 −3


1. Najdìte matice Ui , kterými reprezentujete ka¾dou Vámi provedenou
úpravu u1, . . . , un (n ∈ N). Napøíklad úprava u1: r2 := r2 − 13 · r1:


1 1 1
13 10 8
6 5 4

 ∼


1 1 1
0 −3 −5
6 5 4

 →


1 0 0
−13 1 0
0 0 1

 ·


1 1 1
13 10 8
6 5 4

 =


1 1 1
0 −3 −5
6 5 4


2. Nech» symbol Ui odpovídá Vámi nalezené matici k úpravì ui . Pak
Un · . . . · U1 · A = E. Proè funguje Gauss-Jordanova metoda?
Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 17 / 18
SLR pomocí inverzní matice
Pomocí inverzní matice øe¹te následující systémy lineárních rovnic:
(a)
x + y + z = 1
x − y − 2z = 3
2x + y + z = 2
(b)
x + y + 2z = −1
x − 2y + z = −5
3x + y + z = 3
(c)
x + y + z = 0
x − y = 3
y + z = 1
Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 18 / 18
SLR pomocí inverzní matice
Pomocí inverzní matice øe¹te následující systémy lineárních rovnic:
(a)
x + y + z = 1
x − y − 2z = 3
2x + y + z = 2
(b)
x + y + 2z = −1
x − 2y + z = −5
3x + y + z = 3
(c)
x + y + z = 0
x − y = 3
y + z = 1
Výsledky: a) (x, y, z)T = (1, 2
3, −2
3)T ,
Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 18 / 18
SLR pomocí inverzní matice
Pomocí inverzní matice øe¹te následující systémy lineárních rovnic:
(a)
x + y + z = 1
x − y − 2z = 3
2x + y + z = 2
(b)
x + y + 2z = −1
x − 2y + z = −5
3x + y + z = 3
(c)
x + y + z = 0
x − y = 3
y + z = 1
Výsledky: a) (x, y, z)T = (1, 2
3, −2
3)T , b) (x, y, z)T = (1, 2, −2)T ,
Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 18 / 18
SLR pomocí inverzní matice
Pomocí inverzní matice øe¹te následující systémy lineárních rovnic:
(a)
x + y + z = 1
x − y − 2z = 3
2x + y + z = 2
(b)
x + y + 2z = −1
x − 2y + z = −5
3x + y + z = 3
(c)
x + y + z = 0
x − y = 3
y + z = 1
Výsledky: a) (x, y, z)T = (1, 2
3, −2
3)T , b) (x, y, z)T = (1, 2, −2)T ,
c) (x, y, z)T = (−1, 4, −3)T .
Luká¹ Másilko 5. cvièení 30. 10. 2024 18 / 18