76
8 MĚŘENÍ VÝŠKOPISU
Měření a znázorňování výškopisu v mapách a plánech není ve všech případech nutné.
Již v předchozí kapitole byla jako příklad mapového díla bez výškopisné složky uvedena
mapa katastrální. U většiny map a plánů je však výšková složka stejně důležitá jako
polohopis. Je proto nutné věnovat jí stejnou pozornost.
8.1 Topografie
Topografie je jedním z oborů geodezie, který se zabývá popisem, studiem a
znázorňováním terénních útvarů, vzniklých jak přírodními silami, tak uměle, působením
lidské činnosti.
8.1.1 Základní pojmy
Všechny terénní útvary můžeme z matematického hlediska popsat ve třírozměrné
prostorové soustavě, kdy k pravoúhlým souřadnicím x, y jednotlivých podrobných bodů
těchto útvarů přiřadíme kolmou souřadnici z, kterou zpravidla bývá nadmořská výška (délka
měřená po tížnici ke střední hladině moře).
Zemský povrch je nekonečně mnohotvárný a není možno jej matematicky vystihnout
a zobrazit. Proto je nahrazován tzv. topografickou plochou.
Každou topografickou plochu můžeme vyjádřit jako soubor nekonečného počtu
rovinných ploch buď nekonečně malých, nebo limitně malých, podle podmínek zjednodušení
(viz obr. 8.1).
Obr. 8.1
Úkolem topografie je znázorňování terénního reliéfu v mapách a plánech. V průběhu
staletí se měnily a zdokonalovaly způsoby vyjádření terénního reliéfu v mapách:
a) Šrafování patří mezi nejstarší způsob znázorňování terénu. Tvůrce mapy udává
polohou šraf směr spádu a hustotou šraf velikost spádu terénu. Šrafy mívaly tvar
štíhlých klínů nebo obdélníčků. Výhodou šrafování byla plastičnost vjemu, ale pro
pracnost vytváření šraf a především pro zakrytí polohopisné kresby ve svažitých
terénech bylo už v minulém století od tohoto způsobu upuštěno.
b) Barevná hypsometrie užívá barevné stupnice na vybarvení ploch mezi zvolenými
vrstvami terénu. Průkopníkem této metody byl český profesor Kořistka. Vychází se ze
zásady ,,čím vyšší vrstva tím tmavší barva". Nížiny bývají světle zelené a velehory
tmavohnědé. Tento způsob vyjádření výškových poměrů v mapách se dosud zachoval

77
ve školních mapách a atlasech. Vytvoření reliéfu tímto způsobem je též poměrně
pracné a klade vysoké nároky na barevné kartografické zpracování.
c) Stínování je plošné šedé tónování skloněných částí terénu. Slouží ke zvýšení plasticity
zobrazeného reliéfu. Využívá vlastních stínů reliéfu při šikmém osvětlení. Směr
osvětlení bývá od severu či severozápadu. Tento způsob vyjádření reliéfu nebývá
prováděn samostatně, ale doplňuje zpravidla vrstevnicový obraz terénu. Často se
používá u turistických map.
d) Vrstevnice (izohypsy) jsou půdorysným obrazem průsečných čar vodorovných rovin
s terénem, přičemž jejich nadmořská výška je bezezbytku dělitelná zvoleným
základním intervalem (výškou vrstvy). Jejich využití v současných technických
mapách je téměř univerzální. Bývají doplněny výškovými kótami výškově
dominantních bodů a technickými šrafami, které nahrazují vrstevnice zpravidla na
terénních stupních a v příkopech. Pozor neplést s klínovými nebo obdélníkovými
šrafami ad a).
Svislá vzdálenost mezi vrstvami oddělujícími jednotlivé vrstevnice se nazývá výška
vrstvy nebo též základní interval vrstevnic.
Pro různá měřítka mapování a pro různě svažité terény se liší. Pro mapy menších
měřítek se užívá základních intervalů 2 m, 5 m, 10 m, 20 m apod. Pro měřítko mapování
1 : 500, 1 : 1 000 a 1 : 2 000 bývá základní interval 1 m (v případě velkých sklonů terénu
5 m). U rovinných terénů se základní interval buď půlí nebo dokonce čtvrtí.
Vznikají tak doplňkové vrstevnice, které se vykreslují čárkovaně (5 mm čára, 1 mm
mezera). Pro rychlou orientaci v mapách se každá pátá vrstevnice, jejíž kóta je beze zbytku
dělitelná pětinásobkem základního intervalu zobrazuje zesíleně (třikrát silněji). Popis
vrstevnic provádíme celou nadmořskou výškou, vždy ,,hlavou" číslic ve směru stoupání
terénu. (viz obr. 8.2)
Obr. 8.2
8.1.2 Topografické tvary
Základním předpokladem pro schopnost zobrazení výškopisného obsahu map a plánů a
též pro jeho používání je znalost alespoň základních tvarů, které se v terénu vyskytují.
Jak již bylo v úvodu řečeno zemský povrch nahrazujeme topografickou plochou.
Skutečný obraz terénu zjednodušujeme, generalizujeme a zanedbáváme malé detaily, které
nejsou důležité. Jen tak je možno celý složitý zemský povrch rozložit na základní útvary,

78
zaměřit je a potom pospojovat v jeden celek v rámci zájmového území. Základní přirozené
terénní útvary se seskupují do tří skupin:
ˇ útvary vyvýšené (vrcholové),
ˇ útvary na svahu,
ˇ útvary údolní.
Mezi útvary vyvýšené patří:
kupa ­ mírně nebo nápadně zaoblený tvar, vrcholící obvykle v bodě, zvaném vrchol kupy.
Spádnice z jednoho bodu nebo plochy míří na všechny strany. Tvarovou čárou kupy
je uzavřená křivka (obr. 8.3),
Obr. 8.3
hřbet ­ může být vodorovný, častěji skloněný. Je to útvar protáhlý ve směru hřbetní čáry.
Svým průběhem hřbet rozděluje směr odtoku povrchových vod (obr. 8.4),
Obr.8.4
sedlo ­ nejníže ležící plocha mezi dvěma kupami. Nejnižším bodem je sedlový bod čili
vrchol sedla. Sedlo je také styk ploch vypuklých a vhloubených (obr. 8.5). Podle
tvaru tvarové čáry sedla dělíme sedla na podélná , příčná a nepravidelná
(obr. 8.6 a, b, c).

79
Obr. 8.5
Obr. 8.6 a Obr. 8.6 b Obr. 8.6 c
Útvary na svahu jsou:
spočinek ­ plochý, vodorovný nebo mírně skloněný útvar, který podél hřbetní čáry přerušuje
svah (obr. 8.7),
Obr. 8.7
svahová kupa ­ zpravidla malý kupovitý útvar, který převyšuje svahový hřbet, přičemž mezi
ním a kupou vzniká sedlo (obr. 8.8),
Obr. 8.8
2

80
svahový hřbet ­ vyvýšený útvar na úbočí, leží mezi dvěma vhloubenými plochami ­
úžlabinami (obr. 8.9),
Obr. 8.9
výčnělek ­ malý plochý útvar na úbočí. Může být vodorovný nebo mírně skloněný
(obr. 8.10),
Obr. 8.10
terasa ­ rozsáhlejší plochý útvar na úbočí, protáhlý, sledující obvykle vrstevnici. Může být
vodorovná nebo mírně skloněná (obr. 8.11),
Obr. 8.11
úžlabí ­ vhloubený útvar na svahu, mezi dvěma vypuklými plochami, hřbety kde vždy
spádnice směřují k údolnici, která je tvarovou čarou úžlabí (obr. 8.12 a). Krajními
případy úžlabí jsou rýha (obr. 8.12 b), zářez (obr. 8.12 c) a strž (obr. 8.12 d).
Obr. 8.12 a Obr. 8.12 b Obr.8.12 c Obr.8.12 d

81
Útvary údolní jsou:
údolí ­ útvary v nejnižším prostoru terénního reliéfu, zpravidla mírného spádu. Může mít
zaoblené (jazykovité) (obr. 8.13 a) nebo rovné (obr. 8.13 b) dno. Údolím probíhá
údolnice,
Obr. 8.13 a Obr. 8.13 b
prohlubeň ­ obvykle protáhlý, plochý údolní útvar, uzavřený, do jehož dna směřují všechny
spádnice. Na dně mívá většinou vlhkou průsakovou vrstvu. Nejnižším bodem
prohlubně je dno prohlubně (obr. 8.14),
Obr. 8.14
raveny, údolní stupně ­ nízké srázy, vzniklé působením vodních toků, naplavováním, boční
erozí apod. (obr. 8.15).
Obr. 8.15

82
Toto nejsou zdaleka všechny přirozené útvary na zemském povrchu, ale lze jejich
pomocí popsat většinu přirozeného terénu naší republiky.
Naše krajina neobsahuje samozřejmě jen přirozené útvary. V důsledku dlouhodobé
lidské činnosti jsou mnohé přirozené útvary přerušeny nebo přetvořeny lidmi. Vznikají tak
útvary způsobené lidskou činností:
stupně ­ svislé nebo šikmé. Jsou to útvary ohraničené zpravidla vodorovnými, ale i šikmými,
často rovnoběžnými hranami, mezi něž lze položit rovinu. Svislým stupněm je také
opěrná zeď. Šikmé stupně řešíme zpravidla technickými šrafami (obr. 8.16),
Obr. 8.16
haldy ­ tvoří je obvykle navršená zemina nebo odpady. Nemají často žádný tvar, povrch je
neurčitý, dochází zde k sesedání nebo sesouvání materiálu. Tyto útvary
znázorňujeme zpravidla technickými šrafami (obr. 8.17),
Obr. 8.17
propadliny ­ jámy, vzniklé propadnutím terénu po podzemní činnosti. Jejich tvar je
zpravidla nepravidelný, někdy kuželový a opět pro jejich znázornění
použijeme technické šrafy (obr. 8.18).
Obr. 8.18
vozovky ­ obvykle vyduté plochy, tvořící v souvislosti i plochy zborcené, části rotačních
těles apod. Jsou v zásadě matematicky definovatelné a povrch podléhá určitým
zákonitostem ­ odvodnění, sklonům, jízdním parametrům atd. (obr. 8.19),

83
Obr. 8.19
roviny ­ vodorovné i šikmé (hřiště, parkoviště apod.). Bývají ostře ohraničené, mnohdy jsou
částečně v náspu či ve výkopu, jejich rovinatost je dána přesností terénních úprav
(obr. 8.20),
Obr. 8.20
příkopy ­ tvoří je dva stupně, mající společnou spodní hranu - příkopy trojúhelníkového
průřezu (obr. 8.21). V praxi se též vyskytují příkopy lichoběžníkového průřezu.
Průběh dna je dán sklonovými poměry podle odtoku,
Obr. 8.21
hráze ­ jde o vodohospodářské stavby, sloužící k zadržení vody. Jejich tvar je určen
soustavou jednoduchých geometrických ploch a rovin. Hráze jsou charakteristické
hranami koruny a paty zemního tělesa (obr. 8.22),

84
Obr. 8.22
vodní plochy ­ jezera, rybníky, nádrže, řeky, potoky, strouhy, kanály, jezy, náhony, plavební
komory atd. tvoří zvláštní skupinu výškopisných ploch, charakterizovanou
především obrysem a hlavními kótami, jako je výška hladiny k určitému
datu, kóty jezů apod. (obr. 8.23),
Obr. 8.23
stavební objekty ­ výškově určujeme pouze kóty rohů staveb event. výšky různých
stavebních úrovní (kóty vchodu, 2. podlaží apod.). Vrstevnice
v místech staveb neřešíme. U technických staveb (např. propustků) je
možné doplnit světlost nebo relativní kóty (obr. 8.24).
Obr. 8.24

85
Tyto jednotlivé terénní útvary, ať přírodní či způsobené lidskou činností, je třeba
v zájmovém území vyhledat, správně propojit a vytvořit tak ucelený obraz výškové složky
mapy či plánu. Je proto třeba vytvořit topografický náčrt, ve kterém bude výškovými body a
charakteristickými čarami znázorněna kostra terénu. Základními výškovými body jsou tři
hlavní body terénní kostry:
ˇ vrchol kupy ­ její nejvyšší bod,
ˇ vrchol sedla ­ nejnižší bod hřbetní čáry a současně nejvyšší bod
(začátek) údolnic,
ˇ dno prohlubně ­ nejnižší místo.
Hlavní čáry terénní kostry jsou také tři (v náčrtech je označujeme čárkovaně):
ˇ hřbetnice - myšlená čára na povrchu terénu, která prochází po hraně hřbetu
nebo po jeho nejvydutější ploše, ve směru spádu. Není spádnicí, má
minimální sklon. Rozděluje směr odtoku povrchových vod. Tvoří
rozvodí (obr. 8.25 a),
ˇ údolnice ­ myšlená čára, která prochází nejnižším místem údolí nebo úžlabí,
plynule klesá. Odtéká tudy povrchová voda (obr. 8.25 b),
ˇ úpatnice ­ myšlená čára, procházející přechodem svahu do údolí zlomem či
změnou spádu (obr. 8.25 c).
Mezi čáry terénní kostry patří též tvarové čáry, které ohraničují ostře (hranou) nebo
přibližně vodorovné nebo skloněné části některých terénních útvarů jako jsou kupa, sedlo,
spočinek, svahová kupa, výčnělek, terasa, prohlubeň apod. Tyto čárkované čáry slouží
v náčrtu jako pomocná kresba pro konstrukci vrstevnic a v mapách se nevyskytují.
Obrysy některých dalších útvarů se značí plnou čarou jak v náčrtu tak v mapě a zpravidla
bývají i čarami situačními. Jsou to strže, stupně, haldy, propadliny atd.
Do náčrtů se kromě hlavních čar terénní kostry doporučuje zvláště v nevýrazném
terénu zakreslovat i spádnice. Tyto myšlené čáry největšího spádu terénu nám slouží pro
interpolaci. V náčrtech je zakreslujeme čárkovaně, šipkou určíme směr spádu terénu
(obr.8.25 d). Horizontály, krátké křivky vystihující tvar vrstevnic na hlavních čarách terénní
kostry a spádnicích slouží k jejich rozlišení. Jejich zhuštěním můžeme též vyjádřit prudší
sklon terénu.
Obr. 8.25 a Obr. 8.25 b Obr. 8.25 c Obr. 8.25 d

86
8.1.3 Konstrukce vrstevnic
Sestrojení vrstevnic lze provádět několika různými způsoby. Buď přímým vytyčením
a zaměřením jednotlivých vrstevnic v terénu (tento způsob je velmi pracný a až na malé
výjimky - vytyčení zátopové čáry - se nepoužívá. Nepřímé určení vrstevnic na mapě či plánu
provádíme buď fotogrammetrickými metodami, nebo klasickým způsobem, univerzální
tachymetrickou metodou, pomocí které určíme řadu podrobných výškových bodů. Tyto body
jsou voleny na charakteristických místech terénu a pomocí lineární nebo morfologické
interpolace vytvoříme vrstevnicový obraz terénu. Vlastní tvorba vrstevnic může probíhat
automatizovaně prostřednictvím počítačových programů (např. ATLAS) nebo ručně
grafickým sestrojováním vrstevnic.
Lineární interpolaci vrstevnic provádíme zpravidla u plánů a map velkých měřítek.
Základní podmínkou pro použití této interpolace je požadavek, aby mezi nejbližšími
výškovými body byl stejnoměrný sklon terénu. Tuto podmínku lze splnit právě u
velkoměřítkového mapování.
Při ručním sestrojování vrstevnic použijeme grafický způsob lineární interpolace.
Předpokladem je zobrazení všech výškových bodů opatřených příslušnými kótami v daném
měřítku na kreslicí papír nesmazatelným způsobem. Z topografického náčrtu zakreslíme do
tohoto polotovaru hlavní čáry terénní kostry (hřbetnice, údolnice, úpatnice) a spádnice.
Nejbližší podrobné výškové body na těchto čarách mají kóty o obecných nadmořských
výškách (zpravidla zaokrouhleny na decimetry). Právě mezi takovými výškovými body se
bude provádět lineární interpolace. Na spojnici se naleznou místa, kterými prochází
vrstevnice o nadmořské výšce, která je beze zbytku dělitelná základním intervalem vrstevnic.
Rychlejší způsob je provést lineární interpolaci odhadem. Spočívá ve zrakovém rozdělení
délky a převýšení mezi body na díly, odpovídající poměrově průsečíkům s vrstevnicemi (viz
obr. 8.26).
Obr. 8.26
Tento způsob předpokládá delší cvik a cit. Pro začátečníky je vhodnější využít jednoduchých
pomůcek (dvou trojúhelníků a papírového milimetrového měřítka) a využít poučku o
podobnosti trojúhelníků (obr. 8.27).

87
Obr. 8.27
Nejprve přiložíme papírové měřítko šikmo od interpolované čáry (30g
­ 50g
) tak, aby
se nižší z obou kót čáry dotýkala stupnice měřítka v místě, kde na měřítku hodnota centimetrů
a milimetrů odpovídá hodnotě kóty v metrech a decimetrech. Měřítko se během interpolace
nesmí pohnout. První trojúhelník přiložíme k interpolované čáře tak, aby jedna jeho hrana
spojovala současně vyšší kótu na konci interpolované čáry a hodnotu, která na milimetrovém
měřítku odpovídá v centimetrech a milimetrech vyšší kótě v metrech a decimetrech.
K prvnímu trojúhelníku přiložíme druhý, který zůstane opět nehybný. Poslouží k tomu, aby se
podél jeho hrany první trojúhelník posouval a vždy na celých centimetrech milimetrového
měřítka bylo na interpolované čáře vyznačeno místo, odpovídající průsečnici čáry s určitou
vrstevnicí (příklad na obr 8.27 předpokládá interval vrstevnic 1 m).
Tímto způsobem je třeba provést interpolaci na všech výše zmíněných čarách. Je třeba
si uvědomit, že neprovádíme interpolaci na všech možných spojnicích mezi podrobnými
výškovými body. Vždy se musí jednat o spojnice sousedících bodů ve směru největšího
spádu. Interpolace nadbytečných spojnic může kvalitu celého vrstevnicového obrazu výrazně
zhoršit. Při lineární interpolaci je třeba, aby interpolované průsečíky měly přesnost
0,5 ­ 1 mm.
Po vyinterpolování celého prostoru přistoupíme k vlastnímu vykreslení vrstevnic
následovně:
- nejdříve pospojujeme lehce tužkou všechny průsečíky o stejných
nadmořských výškách,
- dodržujeme zásadu, aby se vrstevnice ohýbala kolmo na
hřbetnicích a údolnicích (tečna křivky v průsečíku musí být
kolmá k těmto čarám),
- jde-li o terén klidný, pravidelný, mají být sousední vrstevnice
téměř rovnoběžné, s plynule se měnící křivostí,
- po odstranění případných nesrovnalostí (chyby v interpolaci či
špatně zobrazený či vypočtený výškový bod) vykreslíme
vrstevnice definitivně,
- zesílíme každou pátou vrstevnici, které je bezezbytku dělitelná
pětinásobkem základního intervalu,

88
- provedeme rozptýleně popis vrstevnic, vzpřímeně ve směru
spádu,
- v plochých terénech je někdy vhodné sestrojit ještě doplňkové
vrstevnice v intervalu 0,5 vyjímečně 0,25 hodnoty základního
intervalu. Tyto doplňkové vrstevnice se vykreslují čárkovaně a
vystihují přesněji určitá problematická místa v terénu. Není třeba
je provádět v celém rozsahu území.
Morfologická interpolace vrstevnic bývá používána většinou při tvorbě výškopisu u map
středních a malých měřítek. Je nutno provádět ji všude tam, kde mezi sousedními výškovými
body nastává jiný než stejnoměrný sklon terénu. Mohou se vyskytnout dva případy: sklonu
ubývá (plocha konkávní), nebo sklonu přibývá (plocha konvexní). V obou těchto případech
by bylo hrubou chybou použít interpolaci lineární (viz obr. 8.28).
Obr. 8.28
Morfologickou interpolaci je možno provádět pouze odhadem a citem pro terénní tvary.
Zde je opět a ještě více nutný dokonale zvládnutý topografický náčrt s vyznačením
ubývajícího či přibývajícího sklonu terénu (pomocí změněné hustoty horizontál na hlavních
čarách terénní kostry a na spádnicích). U správně interpolovaných vrstevnic, když sklonu
ubývá, zvětšuje se pravidelně rozestup vrstevnic. U přibývajícího sklonu se rozestup vrstevnic
pravidelně zmenšuje.
8.2 Metody měření výškopisu
Za metody měření výškopisu můžeme zvolit pouze takové metody, při kterých lze
určit nadmořskou výšku podrobných bodů. Konkrétně volba metody závisí na požadované
přesnosti určení výškopisu, ale také na tom, zda známe přesnou polohu všech bodů, u kterých
chceme znát i výšku či nikoli.

89
8.2.1 Univerzální tachymetrická metoda
Nejprve k názvu. Slovo tachymetrie (dříve tacheometrie) vzniklo složením dvou
řeckých slov (tacheo ­ rychlost a metrein ­ měřit). Čili do češtiny přeloženo rychloměřictví.
Univerzálnost v názvu označuje, že její využití je mnohostranné. Je nejpoužívanější metodou,
protože při jejím použití lze určit nejen nadmořskou výšku podrobného bodu, ale i jeho
polohu (zjišťujeme prostorovou polohu bodu). Zásadní rozdělení univerzální tachymetrické
metody spočívá ve způsobu, jakým při této metodě určujeme vzdálenosti. Modernější,
rychlejší a přesnější způsob určování vzdáleností pomocí elektronického dálkoměru
předpokládá využití totální stanice. Taková tachymetrická metoda bývá označována jako
metoda přesné (elektronické) tachymetrie.
Starší, méně přesný, ale z hlediska přístrojového vybavení podstatně lacinější je
způsob určování vzdáleností opticky, metodou nitkového dálkoměru. Zde lze využít
obyčejného technického teodolitu (viz kapitola 2.2.1). Tato metoda se nazývá metoda nitkové
tachymetrie.
Při přesné tachymetrii se měřická skupina skládá z vedoucího, který vede polní náčrt,
měřiče, jenž obsluhuje totální stanici a jednoho až dvou figurantů, kteří obchází orientační a
podrobné body s odrazným hranolem na teleskopické tyči dle pokynů vedoucího měření.
Postup při měření odpovídá měření polárnímu (viz kapitola 7.3). Navíc je třeba zaměřit (v
metrech s přesností na centimetry) výšku přístroje. Od nejvyššího místa stabilizovaného
stanoviska (hlava kolíku, vrchol trubky apod.) až k točné ose dalekohledu měřického přístroje
vs (nejlépe svinovacím dvoumetrem). Dále je třeba znát výšku středu odrazného hranolu nad
terénem vl. Zde využijeme půlcentimetrovou stupnici na teleskopické tyči (rozsah zpravidla
od 1,30 do 2,11 m).
Výšku přístroje měříme vždy až po centraci a horizontaci přístroje. Točná osa
dalekohledu je vyznačena na dalekohledové vidlici. Změřené hodnoty zaregistruje měřič do
vnitřní paměti totální stanice.
Stanoviska měření a orientační body musí mít určenu prostorovou polohu
pravoúhlými souřadnicemi (y, x, z).
Pro orientaci se doporučuje použít minimálně dvou sousedních měřických bodů.
Jednotlivé orientační i podrobné body měřič (po zacílení na střed odrazného hranolu)
registruje do vnitřní paměti totální stanice až do vyčerpání její kapacity (2000 bodů i více
podle modelu totální stanice). V případě zaplnění vnitřní paměti je třeba data přenést pomocí
speciálního kabelu do počítače nebo notebooku.
Výpočet nadmořské výšky (souřadnice z), probíhá podle vzorců u obr. 4.7 z kapitoly
4.2.2 softwarem počítače. Převod lokálních polárních souřadnic do jednotné pravoúhlé
soustavy (y, x) je objasněn v kapitole 9.2.2. I tyto vzorce řeší příslušný software počítače
(např. KOKEŠ).
Obsluha totální stanice je velmi snadná, odpadá zde zapisovatel naměřených dat. Celá
odpovědnost za správný výsledek měření je na vedoucím měřické skupiny. Musí volit
správné podrobné body polohopisu s ohledem na rozumnou míru generalizace, nesmí žádný
předmět měření vynechat. U podrobných bodů výškopisu se musí v terénu správně orientovat
a nalézt zde dostatečný počet bodů na hlavních čarách terénní kostry, spádnicích a hlavní
body terénní kostry. U terénů s nevýrazným výškovým členěním musí výškové body volit
šachovnicově tak, aby v měřítku mapy nebyly od sebe dál než 3 - 4 cm (což pro měřítko
mapování 1:1 000 představuje 30 ­ 40 m).

90
Přesnost metody přesné tachymetrie závisí především na kvalitě změřené délky.
V současnosti se přesnost měřené délky pohybuje okolo 1 cm a příliš se neliší v závislosti na
měřené vzdálenosti. Úhlová přesnost těchto přístrojů bývá udávána v miligonech a je zhruba
2mg
(0,002g
). Z obr. 3.16 vyplývá, že při průměrné délce záměry 500 m je směrový posun
způsobený chybou vodorovného úhlu o 0,002g
, sp = 0,016 m, což zhruba odpovídá délkovému
posunu, způsobenému nepřesností měřené délky. Obdobnou úvahou dospějeme i k obdobné
kvalitě určení nadmořských výšek podrobných bodů. Přesnost měření je ve většině případů
vyšší, než reálná možnost identifikace podrobných polohových i výškových bodů a lze ji
proto použít jak pro měření extravilánu (polní trati), tak intravilánu (místní trati).
Metoda nitkové tachymetrie není zdaleka tak přesná jako předchozí metoda. Pro
nízkou cenu měřického přístroje (zhruba desetinu ceny totální stanice) se dosud při měření
často používá. Vzhledem ke kvalitě určené délky (30 ­ 50 cm na 150 m) ji lze s úspěchem
použít pouze v extravilánu, kde přesnost identifikace podrobných bodů není tak kvalitní jako
v intravilánu.
Měřická skupina se zvětší o zapisovatele, který do tachymetrického zápisníku (viz
příl. 8.1) zapisuje naměřená data, měří výšku přístroje a po každých pěti podrobných bodech
kontroluje číslování bodů, aby bylo identické s čísly v polním náčrtu, který vyhotovuje
vedoucí skupiny (viz příloha 8.2). Práce měřiče u teodolitu je značně obtížnější, než při práci
s totální stanicí. Nejprve zvolí vzdálenější měřický bod za počátek a pomocí repetiční svory
nastaví v první poloze dalekohledu 0g
. Na tento bod postaví jeden z figurantů ­ laťařů do
svislé polohy měřickou lať. Měřič na lati odečte laťový úsek (viz kapitola 2.2.1), dále
hodnotu střední nitě (střední rysky záměrného kříže) v metrech s přesností na centimetry.
V tuto chvíli již může měřič odvolat laťaře a odečíst z odečítacího mikroskopu u okuláru
dalekohledu zbývající dvě informace ­ vodorovný a zenitový úhel. Odečítá v gonech
s přesností na 0,01g
. Tyto čtyři informace (laťový úsek, hodnota střední nitě, vodorovný a
zenitový úhel) je bezpodmínečně třeba odečítat na každém zaměřovaném bodě (podrobném i
orientačním). Spolu s výškou přístroje, kterou zapisovatel změří a zapíše do záhlaví zápisníku
ihned po urovnání teodolitu, patří mezi nezbytné prvky, ze kterých lze určit souřadnice y, x, z
podrobných bodů. Vzorec pro určení nadmořské výšky při nitkové tachymetrii vyplývá z
obr. 2.5.
VB = VA + vs  h ­ vl
kde VB = nadmořská výška určovaného bodu
VA = nadmořská výška stanoviska
vs = výška přístroje
vl = hodnota střední nitě
h = převýšení mezi horizontem přístroje (VH = VA + vs)
a bodem B měřeným v úrovni výšky střední nitě,
může nabývat jak kladných tak záporných hodnot.

91
h =  . k . l . sin 2z = D . cotg z
kde
z = zenitový úhel
k = 100
l = laťový úsek
D = vodorovná délka.
Nadmořské výšky obou orientačních měřických bodů jsou určeny předem přesnější
metodou (např. technickou nivelací). Zapisovatel pomocí výše uvedeného vzorce zkontroluje
přímo v terénu, zda je měření správné, pomocí příruční kalkulačky s funkcemi. Výsledek by
se neměl lišit o více jak 2 cm.
Na konci měření na každém stanovisku je třeba, aby se laťař postavil na výchozí
orientační bod a měřič zkontroloval především vodorovný úhel (neměl by se lišit o více jak
0,02g
). Nejlépe je, aby zapisovatel napsal tento bod ještě jednou za poslední podrobný bod.
Orientace by se především kvůli určení indexové chyby měla provádět v obou
polohách dalekohledu, nebo je nutné indexovou chybu každý den znovu zjistit.
Vzhledem k tomu, že délky jsou měřeny nitkovým dálkoměrem, neměla by největší
vzdálenost od teodolitu překročit 150 m, což limituje vzdálenost stanovisek měření od sebe.
Síť měřických bodů, na rozdíl od metody přesné tachymetrie, je třeba vybudovat hustší.
Výpočet souřadnic podrobných bodů bude rozdílný v případě, že použijeme k vynášení bodů
polární polo- či celokruhový transportér. V tom případě stačí ze vzorce D = k . l . sin2
z (viz
obr. 2.5) vypočíst vodorovnou vzdálenost D, a vynášet pouze polární souřadnice.
Pokud je využit pro vynášení bodů plotr, je třeba určit jednotné ortogonální souřadnice
všech bodů výpočtem na počítači.
Při ručním vynášení i při automatizované formě vynášení bodů na plotru jsou
výsledkem podrobné body (polohové i výškové) opatřené kótou představující zbytkovou
hodnotu nadmořské výšky. V nezpevněných místech jsou kóty udávány na decimetry, na
zpevněném terénu (živice, beton) na centimetry. Desetinná tečka představuje zároveň polohu
bodu.
Při ručním zpracování provedeme pospojování polohopisných čar černou tuší. Při
automatizovaném zpracování využijeme geodetický software (např. KOKEŠ). Následuje
konstrukce vrstevnic, tak jak byla popsána v kapitole 8.1.3.
Opět je třeba zdůraznit, že bez kvalitně provedeného tachymetrického polního náčrtu,
který musí bezpodmínečně zachycovat nejen polohopisné prvky, ale i výškopis (viz kapitola
8.1.2) nelze dosáhnout při tvorbě vrstevnic dobrého výsledku.
8.2.2 Plošná nivelace
Patří mezi podrobné mapovací výškopisné metody. Používá se v plochém, nepříliš
svažitém a členitém terénu se zpevněným povrchem (zpravidla v zastavěném intravilánu).
Protože, na rozdíl od tachymetrické metody, lze touto metodou určit pouze nadmořské výšky
podrobných bodů, je základní podmínkou pro její použití předchozí polohové zaměření a
zobrazení většiny podrobných výškových bodů.

92
Základem metody je řada pořadů technické nivelace (TN), u kterých se volí postavení
nivelačního přístroje tak, aby z nich bylo možno bočními záměrami postupně určit všechny
podrobné výškové body. Pořady TN se oboustranně připojují na ověřené body výškového
bodového pole. Výšky podrobných bodů se určují bočními záměrami z jednotlivých
postavení nivelačního přístroje.
U bočních záměr dochází k porušení podmínky geometrické nivelace ze středu,
protože podrobné body jsou rozloženy v různých vzdálenostech a směrech od postavení
nivelačního přístroje. Vzhledem k požadované centimetrové přesnosti výšek podrobných
bodů to lze při rektifikovaném přístroji zanedbat.
Záměry vzad a vpřed v pořadu se odečítají na mm, boční záměry stačí odečítat na cm.
Několik podrobných výškových bodů, které nejsou v polohopisném podkladu zobrazeny
(např. lomy rozvodných sítí, meze ap.) se polohově do podkladu doměří nejjednodušším
způsobem od nejbližších zobrazených předmětů měření křížovými měrami či ortogonálně
pásmem.
Polohopisný podklad nejlépe zvětšený do dvojnásobného měřítka nám slouží jako
polní náčrt. Zanivelované podrobné body číslujeme průběžně od čísla 1. Číslování bočních
záměr v nivelačním zápisníku pro plošnou nivelaci (viz příloha 8.3) musí odpovídat číslům
v polním náčrtu.
Přímo v terénu se spočtou dosažené odchylky oh jednotlivých pořadů TN a porovnají
se s mezní odchylkou.
rmmh .40= kde r je délka nivelačního pořadu v km
V případě, že platí oh < h, lze odchylku v každém pořadu rovnoměrné rozdělit (na celé mm)
na jednotlivé záměry vzad.
V kanceláři se spočtou nadmořské výšky u bočních záměr na podrobné body.
Nivelační zápisník i polní náčrt se řádně vyadjustují.
Pozn. Metodu plošné nivelace používáme též při zaměření kontrolního profilu, pro zjištění
přesnosti průběhu interpolovaných vrstevnic zaměřených tachymetrickou metodou.

93
9 GEODETICKÉ VÝPOČTY
9.1 Úvod
Při výpočtech prováděných v geodezii, se používají různé veličiny (měřené hodnoty
úhlů, délky, výškové rozdíly, konstanty atd.), které mají rozdílné jednotky a různou přesnost.
Je tedy třeba sjednotit jednotky, správně určit řád výsledku, stanovit počet platných cifer za
desetinnou čárkou a správně výsledek zaokrouhlit. Pro výpočty lze použít kalkulačku
s funkcemi nebo osobní počítač opatřený příslušným geodetickým softwarem.
Využití výpočetní techniky značně ulehčuje a zrychluje kancelářské práce v geodezii.
Tato technika však není všespasitelná. Často se stává, že nejsou dostatečně využívány její
možnosti, jako např. používání pamětí a různých funkcí u kalkulaček. Při výpočtu vzorců, ve
kterých figurují goniometrické funkce měřených úhlů, je třeba přepnout kalkulačku do režimu
gon (grad). U starších druhů kalkulaček může též nastat případ, že argument goniometrické
funkce má nižší přesnost než je požadovaná. Proto je třeba se nejprve rozhodnout, zda je
kalkulačka pro daný typ výpočtů vůbec použitelná.
9.2 Souřadnicové výpočty
V následující kapitole bude věnována pozornost určování rovinných pravoúhlých
souřadnic y, x. Všechny následující výpočty budou odvozovány ve státní geodetické soustavě
pro civilní sektor S ­ JTSK (systém jednotné trigonometrické sítě katastrální).
Tato pravoúhlá soustava rovinných souřadnic platí na území České republiky od roku
1928. Její tvůrce Ing. Křovák, šéf triangulační kanceláře tehdejšího ministerstva financí,
vyhrál soutěž na zobrazení pro tehdejší Československou republiku. Křovákovo obecné
kuželové zobrazení bylo konformní (nezkreslovalo úhly). Vrchol pláště kužele rozvinutého
do roviny představuje počátek této soustavy a nachází se v blízkosti St. Peterburgu v Rusku.
Kladný směr osy x směřuje k jihu a osa y je pootočena o 90° ve směru pohybu hodinových
ručiček. Celá republika má souřadnice y i x kladné (viz obr. 9.1). Celý převod zeměpisných
souřadnic trigonometrické sítě z Besselova elipsoidu do roviny pláště kužele probíhal přes
Gaussovu kouli.
Kvůli zmenšení absolutní hodnoty redukce délek zmenšil Ing. Křovák poloměr
dotykové kartografické rovnoběžky (místa dotyku pláště kužele s Gaussovou koulí) tak, že ji
násobil koeficientem 0,9999.
Redukce délek se pak pohybovaly v intervalu [­10, +14 mm / 100 m]. Kužel obecně
umístěný na Gaussovu kouli nebyl tedy tečný, ale sečný. Protínal republiku ve dvou tzv.
kartografických rovnoběžkách na nichž je délkové zkreslení rovno 1 (čerchovaná čára na
obr. 9.1). Mezi těmito kartografickými rovnoběžkami je délkové zkreslení menší než 1. Vně
kartografických rovnoběžek je délkové zkreslení větší než 1. Na obr. 9.1 jsou naznačeny
změny délky způsobené délkovým zkreslením na uzemí bývalého Československa..

94
Obr. 9.1
9.2.1 Směrník
Základní úlohou v geodetických výpočtech je určení směrníku zvolené spojnice dvou
bodů daných rovinnými souřadnicemi y, x.
Směrník je orientovaný úhel, udávající směr orientované spojnice dvou bodů vzhledem
k rovnoběžce s kladnou osou x zvolené souřadnicové soustavy. Měří se od rovnoběžky s osou
x ve směru pohybu hodinových ručiček k přímce a může nabývat hodnot od 0g
do 400g
. V této
soustavě bývá též nazýván jako jižník (rovnoběžka směřuje k jihu). Je označován řeckým
symbolem  (viz obr. 9.2).
12
12
12
12
12
x
y
xx
yy
tg


=
-
-
=

95
Obr.9.2
Při výpočtu směrníku vypočteme nejprve tzv. tabulkový úhel , [0g
<  < 100g
]
x
y
tg


=
podle znamének souřadnicových rozdílů (viz následující tabulka) rozhodneme, ve kterém
kvadrantu je hledaný směrník.
I. kvadrant II. kvadrant III. kvadrant IV. kvadrant
y + + - -
x + - - +
  200g
-  200g
+  400g
- 
Velikou výhodou je, že tento základní výpočet lze nezávislým vzorcem zkontrolovat
tzv. 50g
kontrolou:
)()(
)()(
)50(
1122
1122
yxyx
yxyx
tg g
---
+-+
=+
Kontrolní výpočet provedeme též nejprve v absolutních hodnotách čitatele a
jmenovatele a podle výše uvedené tabulky určíme velikost 12 + 50g
. Zásadně porovnáváme
úhel nikoli funkci.

96
Z obr. 9.2 můžeme snadno odvodit délku strany s12 mezi body P1 a P2 trojím
způsobem:
2
12
2
12
12
12
12
12
12
cossin
xy
xxyy
s +=
-
=
-
=

Pozn. Délku počítáme přesněji z většího souřadnicového rozdílu
9.2.2 Rajon
Tato úloha patří mezi nejběžnější výpočty souřadnic bodů. Nejčastěji se tímto
způsobem počítají souřadnice podrobných bodů zaměřených polárně (viz kapitola 7.3). Jde o
úlohu převést souřadnice polární na pravoúhlé. U některých modelů kalkulaček je zabudován
algoritmus na tento převod.
Obr. 9.3
Dáno: A, B (y, x)
Měřeno:  ­ vodorovný úhel
sAP ­ vodorovná délka (před výpočtem je nutno provést opravu ze zobrazení, viz
kapitola 9.2, a z nadmořské výšky, viz kapitola 14.1.2)
Určit: P (y, x)
a) před vlastním výpočtem je třeba určit směrník AB podle kapitoly 9.2.1.
b) vypočteme směrník AP
AP = AB + 
AP je směrník k určovanému bodu P. Protože má v sobě obsažen měřený prvek
(vodorovný úhel ), nazývá se .
c) výsledné souřadnice
yP = yA + sAP . sin  AP = yA + yAP
xP = xA + sAP . cos AP = xA + xAP

97
9.2.3 Protínání vpřed
Úloha protínání vpřed je aplikovaná především u výpočtu souřadnic bodů bodových
polí. Ze dvou známých bodů, pomocí dvou vodorovných úhlů či délek, lze snadno vypočíst
souřadnice nového bodu. Protínání vpřed dělíme na:
 protínání z úhlů,
 protínání z orientovaných směrů,
 protínání z délek (trilaterace).
Při všech měřeních má být splněna podmínka pro správné určení neznámého bodu P:
protínací úhel na bodě P by měl být v intervalu 30g
-170g
. Ideální úhel protnutí je 100g
.
Protínání vpřed z úhlů
Dáno: A, B (y, x)
Měřeno: A, B
Určit: P (y, x)
Obr. 9.4
a) vypočteme směrník AB a stranu sAB (viz kapitola 9.2.1) BA = AB-200g
b) vypočteme strany sAP, sBP ze sinové věty
( )BA
B
AB
AP
s
s


+
=
sin
sin
= APs
)sin(
sin
BA
B
ABs


+
( )BA
A
AB
BP
s
s


+
=
sin
sin
= BPs
)(sin
sin
BA
A
ABs


+
c) vypočteme směrníky AP = AB - A
BP = BA + B
d) výsledné souřadnice
yP = yA + sAP  sin AP = yB + sBP  sin BP
xP = xA + sAP  cos AP = xB + sBP  cos BP
POZOR! DVOJÍ VÝPOČET SOUŘADNIC BODU P PŘEDSTAVUJE POUZE
POČETNÍ KONTROLU

98
Protínání vpřed z orientovaných směrů
Dáno: A, B, C, D (y, x)
Měřeno: A, B
Určit: P (y, x)
Obr. 9.5
a) vypočteme směrníky AC, BD, AB a stranu sAB (viz kapitola 9.2.1)
b) vypočteme orientované směry AP = AC + A
BP = BD + B (-400g
)
c) vypočteme pomocné úhly , 
 = AB - AP  = BP - BA
d) vypočteme strany sAP, sBP ze sinové věty (trojúhelník ABP)
=APs
)(sin
sin


+
ABs =BPs
)(sin
sin


+
ABs
e) výsledné souřadnice
yP = yA + sAP  sin AP = yB + sBP  sin BP
xP = xA + sAP  cos AP = xB + sBP  cos BP
POZOR! DVOJÍ VÝPOČET SOUŘADNIC BODU P PŘEDSTAVUJE POUZE
POČETNÍ KONTROLU

99
Protínání vpřed z délek (trilaterace)
Obr. 9.6
Dáno: A, B (y, x)
Měřeno: sAP, sBP(před výpočtem je nutno provést opravu ze zobrazení, viz kapitola 9.2, a
z nadmořské výšky, viz kapitola 14.1.2)
Určit: P (y, x)
a) vypočteme směrník AB a stranu sAB (viz kapitola 9.2.1)
b) vypočteme úhel ,  z kosinové věty (trojúhelník ABP)
sBP
2
= sAB
2
+ sAP
2
- 2 sAB  sAP  cos 
APAB
BPAPAB
ss
sss

-+
=
2
cos
222

sAP
2
= sAB
2
+ sBP
2
- 2 sAB  sBP  cos 
BPAB
APBPAB
ss
sss

-+
=
2
cos
222

c) vypočteme směrníky AP = AB - 
BP = BA + 
d) výsledné souřadnice
yP = yA + sAP  sin AP = yB + sBP  sin BP
xP = xA + sAP  cos AP = xB + sBP  cos BP
POZOR! DVOJÍ VÝPOČET SOUŘADNIC BODU P PŘEDSTAVUJE POUZE
POČETNÍ KONTROLU

100
9.2.3 Volné stanovisko
Dáno: A, B (y, x)
Měřeno: sAP, sBP, P
Určit: P (y, x)
Obr. 9.7
V tomto případě stojíme s teodolitem nebo totální stanicí přímo na určovaném bodu. U
totální stanice bývá výpočetní algoritmus přímo součástí její výbavy. Toto řešení je oblíbené
především u polohového vytyčování polární metodou v místech, kde je nebezpečí zničení
předem stabilizovaných a určených vytyčovacích bodů.
Pozn. U změřených délek sAP a sBP je opět nutno před výpočtem provést opravu ze
zobrazení, viz kapitola 9.2, a z nadmořské výšky, viz kapitola 14.1.2.
a) vypočteme směrník AB a stranu sAB (viz kapitola 9.2.1)
BA= AB ­ 200g
b) vypočteme úhel ,  ze sinové věty (trojúhelník ABP)
c) vypočteme směrníky AP = AB - 
BP = BA + 
c) výsledné souřadnice
yP = yA + sAP . sinAP = yB + sBP . sinBP
xP = xA + sAP . cosAP = xB + sBP . cosBP
POZOR! LÉPE JE URČIT SOUŘADNICE VOLNÉHO STANOVISKA (BODU P)
ZE TŘÍ BODŮ. VÝSLEDKEM POTOM BUDE ARITMETICKÝ PRŮMĚR
Z VYPOČTENÝCH SOUŘADNIC.
AB
BP
P
s
s
=  sinsin
AB
AP
P
s
s
=  sinsin

101
9.2.5 Polygonové pořady
O problematice polygonových pořadů bylo pojednáno v kapitole 6.1. Dále bude
odvozen vlastní výpočet bodů různých druhů polygonových pořadů.
Oboustranně připojený a orientovaný polygonový pořad
Obr. 9.8
Dáno: A, B, P, K (y, x)
Měřeno: s1, s2, s3, s4, P, 1, 2, 3, K
Určit: 1, 2, 3 (y, x)
V principu je řešení založeno na postupném výpočtu na sebe navazujících rajonů (viz
kapitola 9.2.2). Vzhledem k tomu, že máme dány a naměřeny nadbytečné prvky pro výpočet,
je třeba provést vyrovnání souřadnic nových bodů 1, 2, 3. Pro naše účely postačí vyrovnání
přibližné, které rozdělujeme na úhlové a souřadnicové. Úhlové vyrovnání lze provést, protože
na konci pořadu je měřen připojovací úhel K (orientace na konci pořadu).
Souřadnicové vyrovnání lze též provést, protože jsou známy souřadnice koncového
bodu K k němuž je měřena strana s4 a vrcholový úhel 3 (konkrétní výpočet viz příl. 9.1).
1) úhlové vyrovnání provádíme rovnoměrně na všechny vrcholové úhly
a) vypočteme směrníky PA, KB (viz kapitola 9.2.1)
b) sečteme všechny vrcholové úhly P, 1, ...., K = []
c) vypočteme KB = PA + [] - i  200g
kde i je počet násobků 200g
d) spočteme odchylku úhlového uzávěru o = KB - KB
e) o  porovnáme s mezní odchylkou úhlového uzávěru 
pro hlavní polygonový pořad  = 10mg
. n
pro vedlejší polygonový pořad  = 37,5mg
. 2+n
kde n je počet vrcholových úhlů
f) v případě o  <  spočteme opravu  (zaokrouhlujeme na desetiny miligonu)
g)  =
n
o
n ... počet vrcholových úhlů včetně připojovacích

102
h) výpočet směrníků
P1 = PA + P + 
12 = P1 - 200g
+ 1 + 
23 = 12 - 200g
+ 2 + 
3K = 23 - 200g
+ 3 + 
KB = 3K - 200g
+ 4 +  => kontrola KB = KB
2) souřadnicové vyrovnání ­ provádíme buď úměrně absolutním hodnotám
souřadnicových rozdílů (při měření stran pásmem
či optickým dálkoměrem), nebo rovnoměrně na
všechny souřadnicové rozdíly (při měření stran
elektronickým dálkoměrem)
a) vypočteme yP1 = s1  sin P1 ; xP1 = s1  cos P1
y3K = s4  sin 3K ; x3K = s4  cos 3K
b) sečteme yP1, y12, .... y3K = [y]
sečteme xP1, x12, .... x3K = [x]
c) vypočteme yPK = yK - yP xPK = xK - xP
d) spočteme souřadnicové uzávěry a polohový uzávěr
oy = yPK - [y] ox = xPK - [x]
op=
22
xy oo +
e) op porovnáme s mezní odchylkou p
pro hlavní polygonový pořad p = 0,011 . [ ]s + 0,12 m
pro vedlejší polygonový pořad p = 0,030 . [ ]s + 0,15 m
kde [ ]s je součet polygonových stran v metrech
f) v případě op< p spočteme opravy y
ij
, x
ij
. Rozdělení oprav odvodíme úměrně
absolutním hodnotám souřadnicových rozdílů.
y
ij
=
[ ] ij
y
y
y
o
´

x
ij
=
[ ] ij
x
x
x
o
´

g) výpočet souřadnic bodů 1, 2, 3
y1 = yP + (yP1 + y
P1
) x1 = xP + (xP1 + x
P1
)
y2 = y1 + (y12 + y
12
) x2 = x1 + (x12 + x
12
)
y3 = y2 + (y23 + y
23
) x3 = x2 + (x23 + x
23
)
kontrola: yK = y3 + (y3K + y
3K
) xK = x3 + (x3K + x
3K
)

103
Oboustranně připojený a jednostranně orientovaný polygonový pořad
Obr. 9.9
Dáno: A, P, K (y, x)
Měřeno: s1, s2, s3, s4, P, 1, 2, 3
Určit: 1, 2, 3 (y, x)
V principu je řešení založeno na postupném výpočtu na sebe navazujících rajonů (viz
kapitola 9.2.2). Oproti předchozímu případu chybí orientace na konci pořadu (vrcholový úhel
K). Není proto možno provést úhlové vyrovnání. Souřadnicové vyrovnání provést lze (jsou
známy souřadnice koncového bodu K). Postup souřadnicového vyrovnání je shodný
s předcházejícím případem.
Jednostranně připojený a orientovaný polygonový pořad (volný)
Obr. 9.10
Dáno: A, P, K (y, x)
Měřeno: s1, s2, s3, P, 1, 2
Určit: 1, 2, 3 (y, x)
V principu je řešení opět založeno na postupném výpočtu na sebe navazujících rajonů
(viz kapitola 9.2.2). Nelze zde provést úhlové ani souřadnicové vyrovnání (nejsou zadány ani
změřeny žádné nadbytečné prvky). Není zde žádná kontrola měření ani výpočtu. Je lépe se
takovému řešení vyhnout. V případě nouze by volný pořad měl mít maximálně tři strany.

104
Oboustranně připojený a neorientovaný polygonový pořad (vetknutý)
Dáno: P, K (y, x)
Měřeno: s1, s2, s3, 1, 2, 3
Určit: 1, 2, 3 (y, x)
Obr. 9.11
Princip řešení: nejprve vypočteme souřadnicové rozdíly hledaných bodů v pomocné
souřadnicové soustavě Y, X. Výpočet v systému S-JTSK provedeme
buď pomocí úhlu stočení s následným souřadnicovým vyrovnáním
nebo podobnostní transformací.
Dále bude odvozen výpočet pomocí úhlu stočení s následným souřadnicovým
vyrovnáním.
a) vypočteme směrník PK a stranu sPK (viz kapitola 9.2.1)
b) zvolíme pomocnou souřadnicovou soustavu Y, X
počátek ­ bod P
kladný směr osy X ´­ první polygonová strana
c) vypočteme směrníky stran polygonového pořadu v pomocné soustavě
P1 = 0g
12 = P1 + 1 - 200g
23 = 12 + 2 - 200g
3K = 23 + 3 - 200g
d) vypočteme souřadnicové rozdíly v pomocné soustavě
yP1 = s1  sin P1; xP1 = s1  cos P1
y12 = s2  sin 12; x12 = s2  cos 12
y23 = s3  sin 23; x23 = s3  cos 23
y3K = s4  sin 3K; x3K = s4  cos 3K
e) sečteme yP1, .... y3K = [y] = ýK
xP1, .... x3K = [x] = xK

105
f) vypočteme sPK sPK = [ ] [ ]22
xy +
g) spočteme odchylku mezi stranou sPK viz bod a) a stranou sPK viz bod f)
os = sPK - sPK
h) os porovnáme s mezní odchylkou s
s = 0,01 [ ]s + 0,04 m kde [ ]s je součet všech stran v metrech
i) v případě os < s spočteme úhel stočení 
 = PK - PK tg PK =
[ ]
[ ]x
y


j) o úhel stočení opravíme směrníky v pomocné souřadnicové soustavě
P1 = P1 + 
12 = 12 + 
23 = 23 + 
3K = 3K + 
k) s opravenými směrníky spočteme y, x v soustavě S-JTSK
l) provedeme souřadnicové vyrovnání (viz oboustranně připojený a orientovaný
polygonový pořad)
m) vypočteme souřadnice bodů 1, 2, 3 (viz oboustranně připojený a orientovaný
polygonový pořad).

106
Uzavřený polygonový pořad
Dáno: A, P (y, x)
Měřeno: s1, s2, s3, s4, s5
P, 1, 2, 3, 4, P
Určit: 1, 2, 3, 4 (y, x)
Obr. 9.12
V principu se jedná o postupný výpočet na sebe navazujících rajonů (viz kapitola
9.2.2). Z poučky o součtu vnitřních (resp. vnějších) úhlů v uzavřeném obrazci získáme
úhlovou kontrolu a lze provést úhlové vyrovnání. Protože bod P je totožný s bodem K, lze
provést i souřadnicové vyrovnání. V případě, že je z bodu P možná orientace na dva známé
body A a B je lépe ji využít. Výpočet úhlového vyrovnání bude potom totožný s úhlovým
vyrovnáním polygonového pořadu oboustranně připojeného a orientovaného. Lze tím zamezit
možné chybě v měření úhlu P a možného pootočení celého polygonového pořadu.
1) úhlové vyrovnání (u případu z obr. 9.12) ­ rovnoměrně na všechny vrcholové úhly
a) vypočteme směrník PA (viz kapitola 9.2.1)
b) sečteme všechny vrcholové úhly P, 1, 2, 3, 4 = []
c) mělo by platit [] = (n ­ 2)  200g
event. (n + 2)  200g
pro vnější úhly
[] = 600g
(v našem případě n = 5)
d) spočteme odchylku úhlového uzávěru
o = (n ­ 2)  200g
- []
e) o porovnáme s mezní odchylkou úhlového uzávěru  (viz polygonový pořad
oboustranně připojený a orientovaný)
f) v případě o <  spočteme opravu 
 =
n
o
kde n je počet vrcholových úhlů
g) výpočet směrníků
P1 = PA + P + P +  (- 400g
)
12 = P1 + 1 +  - 200g
23 = 12 + 2 +  - 200g
34 = 23 + 3 +  - 200g
4P = 34 + 4 +  - 200g
2) souřadnicové vyrovnání a výpočet souřadnic bodu 1, 2, 3, 4 viz řešení oboustranně
připojeného a orientovaného polygonového pořadu
Poznámka: hodnoty [y] a [x] se mají rovnat nule (bod P  K). Uzavřený
polygonový pořad není z hlediska geometrických parametrů ideální řešení.
Není zde respektován požadavek co možná nejpřímějšího vedení
polygonového pořadu. Kvalita takto určených bodů je nižší.

107
10 VYTYČOVACÍ PRÁCE
Vytyčováním zpravidla rozumíme přenesení projektovaného objektu nebo
jednotlivých bodů geodetickým měřením do terénu. Podkladem pro vytyčování polohy bývá
obvykle mapa nebo plán velkého měřítka. Zde je zakreslen nový, dosud neexistující
projektovaný objekt. Pro výšková vytyčování jsou výchozími podklady obvykle podélné a
příčné profily (řezy).
Vytyčování se uplatňuje ve všech oborech stavební činnosti. Vytyčujeme jak objekty
s prostorovou skladbou, tak objekty liniové a plošné. V zemědělství a lesnictví se
geodetickými metodami vytyčují hospodářsko ­ technické úpravy pozemků, lesní a polní
cesty, účelové stavební objekty (např. kravíny, silážní jámy apod.), mostky, malé vodní
nádrže, odvodňovací a zavodňovací stavby atd.
Při vytyčování je třeba dbát na přesnost, pečlivost a spolehlivost práce s ohledem na
maximální hospodárnost. Proto je nutno znát důkladně metody a postupy použité při vytyčení
a používat všechny dostupné kontroly vytyčení, bez kterých nelze žádné vytyčování
odpovědně provádět.
Vytyčovací práce dělíme na:
ˇ polohové vytyčování ­ vytyčování v
horizontální rovině v systému S ­ JTSK nebo
místní soustavě,
ˇ výškové vytyčování ­ vytyčení nadmořských
výšek v systému Bpv, eventuelně místním.
K přístrojům a pomůckám, které jsou stejné jako při měření příslušnými metodami je
třeba přiřadit kolíky, stavební dřevo, hřebíky, kladivo, pilu, barvu, provaz, ochranné tyče
apod.
10.1 Polohové vytyčování
Před vlastním vytyčením je třeba nejprve v zájmovém prostoru vybudovat síť
vytyčovacích bodů, ze kterých bude vytyčení provedeno. Je možno využít stávajících bodů
polohového pole, které je podle potřeby možno zhustit a eventuelně ochránit před zničením
během výstavby. Všechny vytyčovací body musí mít jednotný polohový systém (zpravidla
S-JTSK).
V kanceláři je třeba spočítat vytyčovací prvky a vyhotovit VYTYČOVACÍ VÝKRES,
který musí mít tyto náležitosti: a) schematický nákres objektu s vyznačenými hlavními
vytyčovanými body a vytyčovacími body,
b) místopisy vytyčovacích bodů,
c) vytyčovací prvky hlavních vytyčovaných bodů,
d) kontrolní údaje pro vytyčování (projektované konstrukční
míry, délky úhlopříček projektovaných pravoúhlých objektů
apod.),
e) předepsanou přesnost vytyčení,
f) použitý polohový systém (S-JTSK, místní).

108
10.1.1 Základní vytyčovací úlohy
U těchto základních úloh zpravidla vystačíme s pásmem, výtyčkami ve stojáncích,
dvojitým pentagonálním hranolem, měřickými hřeby, kolíky a kladivem. Mezi základní úlohy
patří:
a) vytyčení přímky:
od oka (obr. 10.1)
Pro přímky do 200 m, je-li vidět mezi
koncovými body, vytyčíme přímku
pouhým zařazováním. Na koncové
body přímky postavíme do stojánků
výtyčky. Postavíme se za jeden
koncový bod a figuranta se třetí
výtyčkou zařadíme do směru. Zařazení
můžeme opakovat. Přitom dosáhneme
přesnost v zařazení výtyčky 3-5 cm.
Obr. 10.1
teodolitem (obr. 10.2)
Teodolit pečlivě centrujeme nad
jedním koncovým bodem a zacílíme
na druhý koncový bod. Povolíme
pouze hrubou vertikální ustanovku,
sklápíme dalekohled a zařazujeme
figuranta na mezibody. Pro hrubé
zařazení použijeme výtyčku, potom
zařadíme dřevěný kolík, do kterého
nakonec zatluče podle našich pokynů
hřebíček. Přesnost mezibodů se tím
oproti předchozímu případu asi 10 krát
zlepší.
Pozn. Další zvýšení přesnosti resp.
kontrolu vytyčení umožní opakování
postupu ve druhé poloze dalekohledu.
Obr. 10.2

109
Obr. 10.3
přes neprůhlednou překážku
(obr. 10.4) K řešení využijeme
podobnosti trojúhelníků. Od
bodu A vedeme pomocný směr
AB´, na kterém nalezneme patu
kolmice B´ pomocí pentagonu.
Změříme délky AB´ a BB´.
Podle přibližné polohy
určovaných mezilehlých bodů P1
a P2 zvolíme paty kolmic ´
1P a
P´
2 . Jejich délky se spočtou ze
vzorců:
Obr. 10.4
BA
BB
PAPP


= 111
BA
BB
PAPP


= 222
b) prodloužení přímky:
Od oka lze prodloužit přímku pomocí výtyček maximálně o 1/3 její délky. V případě,
že potřebujeme prodloužit přímku více, a to nejvýš o její celou délku, je třeba použít
teodolitu.
přes překážku (obr. 10.3)
Vpřípadě, že není viditelnost
mezi koncovými body přímky
v důsledku terénní vlny (např.
železniční násep), je třeba
postavit na koncové body přímky
výtyčky do stojánků.
S figurantem se postavíme do
prostoru, odkud je vidět na obě
koncové výtyčky (na železniční
násep). Postupně zařazujeme
svou a figurantovu výtyčku
navzájem tak, až je každá trojice
výtyček v přímce.

110
c) vytyčení rovnoběžky:
pomocí kolmic (obr. 10.5)
Na dané přímce se zvolí body, na
nichž se pomocí pentagonu
vztyčí kolmice o stejných
délkách.
Obr. 10.5
Obr. 10.6
vytyčení rovnoběžky
z úhlopříček (obr. 10.6) Zde je
dána přímka AB a jeden bod
rovnoběžky C. Na úhlopříčce BC
se zvolí asi uprostřed bod S.
Změříme délky a, b, c.
Z podobností trojúhelníků
vypočteme délku d, kterou
vytyčíme na směru AS od bodu S
a získáme druhý bod rovnoběžky
D.
b : c = a : d
b . d = c . a
d =
b
a.c
d) vytyčení úhlu dané velikosti bez teodolitu (obr. 10.7)
Obr. 10.7
V bodě A se má vytyčit od
daného směru AB úhel . Na
přímce zvolíme pomocný bod C
ve vhodné vzdálenosti. Změříme
délku a. Délku kolmice b
vypočteme ze vzorce:
b = a . tg
V bodě c vztyčíme
pentagonem kolmici a délku b
na ni naneseme.

111
e) vytyčení průsečíků dvou přímek (obr. 10.8)
Obr. 10.8
Přímo ­ na koncových bodech
přímek se postaví výtyčky. Dva
pracovníci se postaví za body A a
C a postupně přibližováním
zařazují figuranta s výtyčkou tak
dlouho, až je v zákrytu obou
přímek. Nepřímo - v blízkosti
hledaného průsečíku se na každé
přímce určí dvojice bodů a osadí
se měřickými hřeby nebo kolíky.
Spojnici těchto bodů realizujeme
provazem či pásmem, protnutí
je hledaným průsečíkem.
f) vytyčení kolmice bez pentagonu (obr. 10.9)
Obr. 10.9
Symetricky na přímce ­ od
daného bodu, ve kterém je třeba
vztyčit kolmici, vyznačíme na
přímce dva pomocné body P o
vhodné délce (vzhledem ke
vztyčované kolmici). Od nich
vypneme pásmo nad přímkou.
Hledaný směr získáme
v polovině pásma.
Použitím Pythagorových čísel
nebo jejich násobků. Na přímce
se od paty kolmice vyznačí
pomocný bod P vzdálený o délku
odvěsny a.
V předpokládané poloze bodu D
se pásmem od bodu P o délce
přepony vyznačí průběh
kružnice. Stejně tak se vyznačí
pásmem oblouk z bodu C o délce
odvěsny b. Průsečíkem je
hledaný bod D. Po vytyčení
délky pro kontrolu přeměříme.
Opačným postupem získáme
patu kolmice k příslušné přímce.
Pythagorova čísla
a = 3, 6, 9, 12
b = 4, 8, 12, 16
c = 5,10, 15, 20

112
g) určení velikosti úhlu bez teodolitu (obr. 10.10)
V průsečíku přímek AB a CD je
třeba určit velikost úhlu.
Změříme délky a, b.
Úhel  získáme ze vzorce:
a
b
22
sin =

 = 200g
- 
Obr. 10.10
10.1.2 Ortogonální metoda vytyčování
Ortogonální metoda se při vytyčování používá pro svou jednoduchost a běžně
dostupné a laciné pomůcky (pásmo, stojánky, výtyčky, měřické jehly, dvojitý pentagonální
hranol).
Podstata vytyčení spočívá v realizaci dvou vytyčovacích prvků ­ staničení a kolmice,
od spojnice vytyčovacích bodů.
a) koncové body vytyčovací přímky označíme vytyčkami ve stojáncích.
b) vytyčíme příslušná staničení (paty kolmic) k bodům 1, 2 (viz obr. 10.11) pásmem
ve vodorovné poloze.
c) kolmice vytyčíme tak, že na vzdálenost o málo větší než je délka kolmice,
zařadíme pentagonem výtyčku. Délku kolmice vytyčíme pásmem ve vodorovné
poloze a na místě vytyčeného bodu zarazíme kolík. Na obr. 10.11 je naznačen
postup při 20ti metrovém pásmu. Při vytyčení kolmice pentagonem nemá její
délka přesahovat 30 m, max. 50 m. Dosahovaná přesnost v poloze vytyčovaného
bodu je 3-5 cm v poloze.
Obr. 10.11

113
Pozn. Pokud není možno dodržet délku kolmice či je třeba s větší přesností (1-2 cm) určit
polohu vytyčovaných bodů, je třeba použít místo pentagonu teodolit, který postavíme vždy na
patu kolmice. Nulový směr zvolíme na vzdálenější koncový bod vytyčovací přímky a podle
směru kolmice nastavíme 100g
nebo 300g
. Při měření délek pásmem je třeba dodržovat
všechny zásady z kapitoly 2.1 Přímé měření délek.
d) po ukončení vytyčení je třeba bezpodmínečně provést kontroly vytyčeného
objektu. Zpravidla to bývá kontrolní měření oměrných měr a jejich porovnání
s projektovanými konstrukčními měrami. U pravoúhlých objektů je třeba změřit
též hodnotu úhlopříček a opět zkontrolovat s projektovanou hodnotou.
10.1.3 Polární metoda vytyčování
Tato metoda se v současnosti používá častěji při stavebních pracích, kde se žádá větší
přesnost. Podstatou metody je vytyčení jednotlivých vytyčovaných bodů pomocí
vodorovného úhlu a vodorovné délky. Tyto dvě veličiny jsou vytyčovacími prvky pro polární
metodu.
Pro vlastní vytyčení je třeba znát minimální jeden vytyčovací bod a orientační směr,
ke kterému vztáhneme 0g
vodorovného úhlu.
Při polární metodě vytyčování používáme úhloměrný přístroj (zpravidla minutový
teodolit) a pomůcku či přístroj k vytyčení délky.
Nejlevnějším dálkoměrem pro vytyčování je nitkový dálkoměr, který je zabudován
přímo v dalekohledu teodolitu (viz kapitola 2.2.1 Optické měření délek). Polární vytyčení
s tímto dálkoměrem je ale poměrně nepřesné. Reálná přesnost v poloze takto vytyčených
bodů je 25-40 cm. Postup při vytyčení je následovný:
a) na vytyčovací bod postavíme teodolit a provedeme jeho centraci a
horizontaci
b) nulový směr 0g
na orientační bod nastavíme pomocí repetiční svory.
c) nastavíme vytyčovací vodorovný úhel a do tohoto směru zařadíme měřickou
lať do vzdálenosti, která zhruba odpovídá vytyčované délce.
d) odečteme zenitový úhel z a laťový úsek l na lati a ze vzorce s = 100 . l . sin2
z
vypočteme skutečně vytyčenou délku.
e) rozdíl mezi vytyčovanou délkou a skutečně vytyčenou délkou naneseme
pomocí dvoumetru či latě před nebo za vytyčovaný bod (podle znaménka).
Směr nanášení kontrolujeme teodolitem.
f) závěrem postavíme měřickou lať na nově vytyčený bod odečteme zenitový
úhel, laťový úsek a opět spočteme zpřesněnou vytyčovanou délku. Zároveň
kontrolujeme vytyčovací úhel.
g) po vytyčení všech požadovaných bodů je nutno provést kontroly vzdálenosti
mezi vytyčovanými body pomocí projektovaných konstrukčních měr. U
pravoúhlých objektů změřit úhlopříčky.
Použití nitkového optického dálkoměru pro polární vytyčování není pro svou nízkou
přesnost ve stavebnictví příliš vhodné. Má své opodstatnění pouze u hrubých zemních prací.
Kvalitnějších výsledků lze dosáhnout při použití teodolitu a pásma. Při pečlivé práci
lze dosáhnout přesnosti 2-3 cm v poloze vytyčovaného bodu. Postup vytyčení odpovídá
předchozímu způsobu vytyčení s tím rozdílem, že vytyčovanou délku nanášíme do
vytyčovaného směru pomocí pásma ve vodorovné poloze. Odpadá zde výpočet vzorce pro
nitkový dálkoměr. Opět je třeba využít všech kontrol správného vytyčení.

114
V současné době se nejčastěji při polárním vytyčování používá totální stanice, která
v sobě zahrnuje elektronický teodolit i elektronický světelný dálkoměr. Programy zabudované
v softwaru takové stanice obsahují převod ortogonálních souřadnic na polární. Přesnost
vytyčení za použití tohoto moderního přístroje je zhruba 1 cm v poloze vytyčeného bodu. Ani
tento způsob vytyčení nemusí být bezchybný. I zde se může objevit chyba (např. z nesvislosti
teleskopické tyče s koutovým odrazným hranolem), proto je třeba i v tomto případě použít
všech kontrol (viz výše).
Zvláštním případem polárního vytyčování za pomoci totální stanice je tzv. metoda
volného stanoviska. Tato metoda vznikla při vytyčovacích pracích na rozsáhlých stavbách,
kde je do výstavby zapojena těžká technika. Poměrně často se zde stávalo, že vytyčovací
body, umístěné v bezprostřední blízkosti vytyčovaných objektů před započetím zemních
prací, byly stavebními stroji během výstavby zničeny. Geodeti si proto vytvořili síť
vytyčovacích bodů v blízkém okolí stavby. Při požadavku vytyčení libovolného objektu
uvnitř staveniště se s totální stanicí postavili na vhodné blízké nestabilizované místo, odkud
byla dobrá viditelnost na vytyčované i vytyčovací body (na tzv. volné stanovisko). Na tomto
místě zhorizontovali totální stanici a provedli úhlová a délková měření na okolní vytyčovací
body. Výpočet souřadnic tohoto volného stanoviska je popsán v kapitole 9.2.4 Volné
stanovisko. U moderních totálních stanic je algoritmus výpočtu volného stanoviska přímo
zabudován v softwaru totální stanice, stejně jako následný výpočet vytyčovacích prvků
z tohoto volného stanoviska. Při tomto postupu odpadá nebezpečí poškození či zničení
vytyčovacích bodů uvnitř staveniště.
10.1.4 Vytyčování metodou protínání (vpřed a z délek)
Kromě ortogonální a polární metody se v ojedinělých případech používá k vytyčování
i metoda protínání. Protínání vpřed z úhlů má za vytyčovací prvky dva vodorovné úhly a
předpokládá využití dvou teodolitů s obsluhou na dvou vytyčovacích bodech. Zde je nutno
dbát na omezení velikosti protínacího úhlu na vytyčovaných bodech v rozmezí 30g
­ 150g
.
Vytyčování protínáním z délek (trilaterací) se nejčastěji využívá při vyhledávání bodů
polohového pole podle místopisů pomocí křížových měr. Délky zde realizujeme zpravidla
pomocí dvou pásem.
10.1.5 Výpočty vytyčovacích prvků
Vytyčovacími prvky rozumíme takové délkové nebo úhlové hodnoty, jejichž
vynesením z daných vytyčovacích bodů získáme polohu vytyčovacího bodu. Podle způsobu
zjišťování vytyčovacích prvků rozlišujeme:
ˇ číselnou metodu,
ˇ grafickou metodu.
a) číselné metody výpočtu vytyčovacích prvků
Používá se standardních výpočetních algoritmů jako je výpočet směrníku, rajonu, bodu
na přímce, délky strany ze souřadnic apod. S výhodou lze použít ručních kalkulaček
s funkcemi či osobních počítačů s příslušným softwarovým vybavením. Použití těchto
moderních výpočetních pomůcek nese v sobě mnohá úskalí (např. malý rozsah displeje,
výpočet funkcí na menší počet platných cifer než je třeba, výpočet funkcí v šedesátinné míře
apod.).

115
Vstupními údaji pro výpočty jsou souřadnice daných vytyčovacích bodů a souřadnice
bodů určovaných (vytyčovaných hlavních bodů stavby). Souřadnice hlavních bodů stavby
získáme v číselné formě (v případě analytického řešení projektu - dnes častější případ) nebo
grafickým odsunem z polohopisného plánu projektu.
Při grafickém odsunu jsou získané hodnoty závislé na přesnosti zákresu a odměření.
Hodnoty takto získané jsou i přes veškeré úsilí nepřesné. Naměřené souřadnice neodpovídají
projektovaným rozměrům stavby. Proto je nutné upravit takto získané souřadnice vhodným
způsobem, aby projektovaným rozměrům stavby odpovídaly.
Výpočet polárních vytyčovacích prvků
(obr. 10.12)
Dáno: vytyčovací bod A,B (y, x)
vytyčovaný bod P (y, x)
Určit: vytyčovací prvky P , sAP
a) vypočteme ze souřadnic AB , AP
b) určíme P = AP - AB
c) určíme 2
AP
2
APAP xys +=
Obr. 10.12
Tímto způsobem provedeme výpočet vytyčovacích prvků pro všechny vytyčované
body. Kontrolní vzdálenosti mezi vytyčovanými body určíme Pythagorovou větou.
Pozn. Není vždy nutné určovat úhel P od daného směru. Postačí zadat vypočtený
směrník na určovaný bod. Do daného směru je ovšem třeba též vložit příslušný směrník! Viz
obr. 10.13, kde je ukázka části vytyčovacího výkresu.
Obr. 10.13

116
Obr. 10.14
Výpočet ortogonálních vytyčovacích
prvků (obr. 10.14)
Dáno: vytyčovací bod A,B (y, x)
vytyčovaný bod P (y, x)
Určit: vytyčovací prvky:
px .........staničení
py .........délka kolmice
a) vypočteme ze souřadnic AB , AP
b) určíme P = AP - AB
c) určíme 2
AP
2
APAP xys +=
d) pAPp cos.sx =
e) pAPp sin.sy =
Veškeré výpočty kontrolujeme a hledáme různé způsoby jiného ověření získaných
vytyčovacích prvků. Bez kontroly je nepřípustné provést výpis vytyčovacích prvků do
vytyčovacího výkresu.
b) grafické metody získání vytyčovacích prvků
Grafickou metodou se zjišťují zpravidla lokální souřadnice pro ortogonální vytyčovací
metodu. Odměření probíhá z grafického mapového podkladu. Graficky určované vytyčovací
prvky hlavních bodů stavby se zásadně vztahují k pevným předmětům identickým v mapě i
terénu. Jako pevné a identické body se mohou použít rohy budov, osy sloupů, mezníky,
kilometrovníky, osamělé stromy, boží muka, rohy plotů a zdí, vpustě, šachty, šoupata,
hydranty apod.
Pro každý pevný bod mají být z mapy odsunuty zajišťovací míry, které ověřují jeho
polohu k jiným okolním předmětům. V terénu je nutno před vlastním vytyčením tuto kontrolu
důsledně provést.
Je třeba zdůraznit, že grafické metody získávání vytyčovacích prvků jsou z hlediska
přesnosti i při pečlivé práci na hranici přípustnosti. Použijeme je pouze jako nouzové řešení.
10.2 Výškové vytyčování
U staveb výškově vytyčujeme úrovně betonových základů a výšky různých výškových
úrovní stavby. Na melioračních stavbách úrovně šachet, dna tvárnicových příkopů aj.
Výškově musíme vytyčovat i různé zemní práce, propustky a výustě.
Výškové vytyčování je v principu shodné s nivelací. Rozdíl tkví v tom, že při nivelaci
neznáme výškový rozdíl mezi daným nivelačním bodem a bodem určovaným, kdežto u
výškového vytyčování je třeba daný (projektovaný) výškový rozdíl v určitém místě vytyčit.
Kromě soupravy pro technickou nivelaci se při stavebních pracích používá i
jednoduchých pomůcek, jakými jsou dlaždičské kříže, vodováhy, hadicové vodováhy,
svahoměry apod.

117
Jako podklady, ze kterých lze odvodit projektované výškové úrovně slouží podélné a
příčné profily (řezy), výkresy zemních prací a stavební výkresy.
Za vytyčovací výškové body použijeme především stávající body nivelační sítě, které
doplníme s ohledem na potřebu stavby dalšími stabilizovanými výškovými body. Mezi nimi
má být tzv. hlavní výškový bod (HVB). Jediný státní výškový systém od roku 2000 je systém
Balt po vyrovnání (Bpv). Pro jednoduché vytyčení lze výjimečně použít místní výškový
systém, jehož výška musí být výrazně odlišná od Bpv (kvůli možné záměně).
Všechny vytyčovací výškové body musí mít svoji výšku ověřenu.
Přesnost výškových vytyčovacích prací musí odpovídat současně platným ČSN 73 0420/86,
73 0421/86, 73 0422/86 a 73 3050/86.
V uvedené tabulce jsou mezní výškové odchylky uvedeny v souvislosti s různými
stavebními činnostmi a podle toho se liší.
druh práce nebo objektu mezní výšková odchylka
cesty, zemní práce a úpravy terénu 50 mm
násypy a výkopy 20 mm
stavby kamenné, cihlové a betonové 10 mm
stavby prefabrikované 3 mm
základy pro ocelové stavby 5 mm
zavodňovací a odvodňovací stavby 2 ­ 5 mm
10.2.1 Přenesení výšky
Z obr. 10.15 je patrno, jak lze z jednoho postavení nivelačního přístroje
z vytyčovacího bodu A o známé nadmořské výšce přenést výšku na vytyčovaný bod B.
Obr. 10.15

118
Po postavení a horizontaci nivelačního přístroje odečteme na nivelační lati čtení ,,a".
Získáme tak výšku horizontu přístroje VH = VA + a. Rozdíl výšek VH a VB (projektovaná
výška bodu B) nám určí hodnotu ,,b", což je požadované čtení na nivelační lati na bodě B.
Skutečná hodnota čtení lati postavené na vrchu kolíku na bodě B je b´. Rozdíl čtení b´- b = o.
Pokud je hodnota ,,o" kladná se znaménkem + ji připíšeme z boku v centimetrech na
kolík. V opačném případě to provedeme se znaménkem - .
V případě, že je třeba přenést výšku na větší vzdálenost, opakujeme postup na obr.
10.15 (nivelační latě stavíme na nivelační podložky) až do místa, kde potřebujeme výšku
vytyčit.
Sečteme všechny čtení vzad [an] a čtení vpřed [bn-1]. Ze vzorce n
VH = VA + [an] - [bn-1]
získáme výšku posledního horizontu přístroje a dále postupujeme stejně jako u předchozího
případu.
Při přenášení výšek nivelací na vysoké stavby nebo do hloubek používáme místo
nivelační latě pásmo. Pásmo zavěsíme podél vytyčované stavby dole začátek pásma zatížíme
závažím. Z obr. 10.16 vyplývá, jak lze přenést výšku do nadzemních podlaží stavby.
Obr. 10.16
( ) bccaVV AB
--++= 12/ /
BB VVo -=
U přenesení výšek do hloubky platí následující vzorec
( ) bccaVV AB
---+= 12/ /
BB VVo -=

119
10.2.2 Vytyčení vodorovné roviny (přímky)
Tato úloha se vyskytuje při terénních úpravách hřišť, parkovišť, betonáži vodorovných
desek, při stavbě základů pro budovy, haly apod. V některých případech se místo
nadmořských výšek používají výšky relativní, vztažené k jednomu určenému bodu.
Vytyčení vodorovné roviny je v podstatě zcela shodné s případem přenesení výšky.
Jen místo jednoho bodu B přenášíme stejnou výšku na více bodů v jedné přímce či ploše.
Pozn. V případě, že je třeba určit v terénu vrstevnici (izočáru), např. zátopovou čáru u
rybníku, postupuje figurant s nivelační latí po terénu (bez nivelační podložky) a měřič u
nivelačního přístroje mu dává pokyny, aby postupoval nahoru či dolů po svahu, až na střední
vodorovné rysce odečte požadované čtení ,,b". Zde se nalézá hledaný bod. Figurant jej označí
měřickým hřebem nebo kolíkem a celý postup opakuje o několik metrů dál. Vodorovné
vzdálenosti mezi jednotlivými místy, kde prochází zadaná vrstevnice nutno volit individuálně
podle konfigurace terénu a účelu, pro který vrstevnici v terénu vytyčujeme.
Vytyčení roviny můžeme provádět buď před zemními pracemi nebo v jejich průběhu.
V prvém případě u rozsáhlejších ploch je třeba vytvořit si v daném prostoru čtvercovou síť.
Strany čtverců mohou být 5, 10, 20 m, podle konfigurace terénu a účelu, pro který vytyčení
provádíme. Vlastní vytyčení sítě probíhá následovně:
a) zvolíme v rohu plochy výchozí bod a směr jedné strany,
b) teodolitem, nivelačním přístrojem s vodorovným kruhem či
pentagonem vytyčíme na výchozím bodě kolmý směr,
c) na obou ramenech směrů vytyčíme celé délky čtverce či
obdélníku plochy pásmem,
d) pomocí úhloměrného přístroje či pomůcky vytyčíme zbývající
roh celé sítě (pro kontrolu ze dvou sousedních rohů),
e) podél celé čtvercové sítě rozměříme velikost jednotlivých
čtverců,
f) vnitřní body čtvercové sítě se snadno vytyčí od oka jako
průsečíky spojnic vnějších bodů pomocí výtyček,
g) všechny body sítě označíme kolíky a očíslujeme.
Technickou nivelací zanivelujeme a určíme výšky vrchů kolíků. Změříme výšky všech
kolíků čtvercové sítě nad terénem. Rozdílem výšky vrchů kolíků a jejich výškou nad terénem
získáme výšky terénu v místě kolíků Vn. Ty porovnáme s projektovanou výškou VB.
on = Vn - VB
Rozdíly on vpisujeme do nákresu čtvercové sítě (viz obr. 10.17).

120
Obr. 10.17
V nákresu čtvercové sítě lze pomocí lineární interpolace vyhledat ,,nulovou čáru"
rozdělující výkopy a násypy a lze snadno vypočíst i kubatury. V terénu na kolíky vyznačíme s
příslušnými znaménky hodnotu on.
Pozn. Pozor, je třeba vždy jasně uvést, zda je hodnota počítána k terénu u kolíku nebo
k vrchu kolíku.
Nyní je možno provést zemní práce. Tento způsob je vhodný pro menší úpravy,
prováděné ručně či malou mechanizací.
Při použití větších stavebních mechanismů dochází často ke zničení vytyčených
kolíků čtvercové sítě, a proto je lépe provádět vytyčování roviny v průběhu zemních prací.
S výhodou je zde možno použít speciálních laserových nivelačních přístrojů, které mohou
často i rotovat, a vytváří tak světelný horizont.
10.2.3 Vytyčení přímky a roviny daného spádu
Přímku daného spádu vytyčujeme obvykle v koncových bodech, kde opět umístíme
kolíky (viz obr. 10.18)
v = D . tg = D´. s
s% =
D
v
. 100
D
s
v .
100
%
=
Obr. 10.18

121
Pro výpočet je třeba znát délku mezi koncovými body. Délku musíme změřit
vodorovnou nebo šikmou u velkých sklonů terénu. V zadání je třeba znát úhel sklonu nebo
sklon v % event. v promilích. Horní nebo dolní kolík je třeba prohlásit za výchozí.
Vytyčujeme převýšení v.
U vytyčení roviny daného spádu opět využijeme čtvercové sítě jako v kapitole 10.2.2.
Mohou nastat dvě varianty. Buď jsou dvě strany této sítě vodorovné, nebo obecně položené.
U prvé varianty vytyčíme vždy rovnoběžné přímky stejného spádu a mezilehlé body můžeme
vytyčit pomocí jednoduchých pomůcek jako jsou dlaždičské kříže (viz obr. 10.19). Výška
všech dlaždičských křížů musí být stejná. Zařazování do roviny provádíme od oka.
Dlaždičské kříže lze samozřejmě použít i při vytyčování vodorovných rovin.
Obr. 10.19
Pokud je třeba vytyčit obecně položenou rovinu nejčastěji se použije čtvercové sítě
jako u vodorovné roviny. Projektované výšky jednotlivých bodů budou však rozdílné
(získané výpočtem v kanceláři).

122
11 VÝPOČET VÝMĚR
V geodezii a v technické praxi je často třeba určit plochy pozemků nebo plochy
v plánech a technických výkresech. Termínem výměra rozumíme plochu prostorového
mnohoúhelníku převedeného do zobrazovací (vodorovné) roviny. U ploch pozemků se tedy
neurčuje plocha přirozeného povrchu, který je nepravidelný, sklonitý a nerovný, ale jeho
zidealizovaného tvaru. Výměry pozemků se zjišťují:
 z přímo měřených hodnot v terénu,
 grafickým způsobem z map a plánů.
Při určování výměr obrazců v technické praxi je dělení obdobné. Za přímo měřené
hodnoty jsou zde považovány projektované rozměry staveb.
11.1 Výpočet výměr z měřených hodnot
Před určením výměry pozemku je třeba jeho skutečné hranice nahradit lomenými
přímkami. Pokud není obecný mnohoúhelník takto vytvořený příliš složitý, lze jej rozdělit na
jednodušší obrazce (zpravidla trojúhelníky, viz obr. 11.1). Máme-li k dispozici pásmo a
pentagon s výtyčkami, provedeme zaměření všech základen a po určení pat kolmic
pentagonem i výšek dílčích trojúhelníků.
Obr. 11.1
Výpočet výměry pozemku z obr. 11.1 je následující:
P = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 0,5 . c1 . h1 + 0,5 . c1 . h2 + 0,5 . c2 . h3 + 0,5 . c3 . h4 + 0,5 . c3 . h5
P = 0,5 . c1 . (h1 + h2) + 0,5 . c2 . h3 + 0,5 . c3 . (h4 + h5)
V praxi často nastane případ, že nemáme k dispozici pentagon, ale pouze pásmo. Výměry
dílčích trojúhelníků získáme tak, že oměříme všechny tři strany a výpočet provedeme pomocí
Heronova vzorce:
( )( )( )csbsassP ---= ... kde a, b, c jsou strany trojúhelníku
2
cba
s
++
=

123
Máme-li k dispozici teodolit a pásmo a nelze z nějakého důvodu změřit jednu ze stran
trojúhelníku, změříme zbývající dvě strany a, b pásmem a úhel  jimi sevřený teodolitem.
P = 0,5 . a . b . sin 
V případě, že je třeba určit výměru pozemku kruhového tvaru použijeme známý
vzorec :
2
.rP = kde r je poloměr kruhu.
toto nastane např. při určení výměry např. kruhového bazénu.
Výměra eliptického tvaru se spočte ze vzorce:
baP ..= kde a, b jsou poloosy elipsy.
Zaměřujeme-li pozemek, uvnitř kterého se nelze pohybovat (např. rybník), pro určení
výměry postačí změřit všechny obvodové strany a úhly (viz obr. 11.2).
Obr. 11.2
Výpočet provedeme pomocí Mascheroniho vzorce:
v obrazci vynecháme jednu obvodovou stranu, ze zbývajících vytvoříme všechny kombinace
po dvou a ty vynásobíme siny součtu vrcholových úhlů, ležících mezi kombinovanými
stranami. Výrazům se sudým (lichým) počtem úhlů přisoudíme znaménko záporné (kladné).
U příkladu z obr. 11.2 bude vzorec vypadat následovně:

124
2P = s1 . s2 . sin2 ­ s1 . s3 . sin(2 + 3) + s1 . s4 . sin (2 + 3 + 4) ­
-s1 . s5 . sin(2 + 3 +4 + 5) + s1 . s6 . sin (2 + 3 + 4 + 5 + 6) +
+ s2 . s3 . sin3 - s2 . s4 . sin (3 + 4)+ s2 . s5 . sin(3 + 4 + 5) ­
-s2 . s6. sin (3 + 4 + 5 + 6) + s3 . s4. sin4 ­ s3 . s5 . sin (4 + 5)+
+ s3 . s6. sin (4 +5 + 6) + s4 . s5. sin5­ s4 . s6 . sin (5 + 6) +
+s5 . s6 . sin6
Z uvedeného vzorce vyplývá, že je výpočet již při sedmi vrcholech pozemku značně
rozsáhlý a během něj může snadno dojít k chybě. Proto je třeba výpočet nezávisle
kontrolovat.
Máme-li k dispozici totální stanici bývá v doprovodných programech uveden i
program pro automatický výpočet výměry pozemku. Totální stanici umístíme do blízkosti
určovaného pozemku. Je jedno zda uvnitř, nebo vně. Je však třeba, aby byly od stanice vidět
všechny lomové body pozemku. Potom figurant obejde s odrazným hranolem jednotlivé
lomové body pozemku ve směru pohybu hodinových ručiček. Na každém lomovém bodu
provedeme registraci naměřených dat. Od třetího lomového bodu se na displeji totální stanice
objevuje aktuální plocha pozemku. Není třeba dojít s odrazným hranolem až na výchozí bod,
program automaticky uzavírá určovanou plochu na první lomový bod.
11.2 Grafické metody určování výměr
Abychom mohli určovat výměry pozemků grafickým způsobem, je nejprve třeba
zobrazit tyto pozemky do mapy či plánu. Vzniklé parcely jsou zobrazeny v měřítku 1 : M.
Neboť plocha je vyjádřena jako součin dvou délek, bude plocha každého obrazce (parcely)
v mapě či plánu zmenšena v poměru 1 : M2
. Platí úměra:
p : P = 1 : M2
P = p . M2
kde P je plocha pozemku
p je plocha parcely na
mapě v měřítku 1 : M.
Graficky můžeme výměry určovat obdobným způsobem, jak bylo popsáno v kapitole
11.1 s tím rozdílem, že hodnoty ze kterých provádíme výpočet, odměřujeme co nejpečlivěji
v příslušném měřítku z mapy či plánu. U dlouhých obdélníkových tzv. honových parcel, kde
jejich délka několikanásobně převyšuje šířku, měříme v terénu šířku takového pozemku a
délku odsunujeme z mapy. Tímto kombinovaným způsobem příznivě ovlivníme přesnost
výsledku, protože v tomto případě má kvalita změřené šířky podstatně větší váhu ve výpočtu
výměry než její délka.
Nejčastěji se však pro grafické určování výměr z map či plánů používají různé
pomůcky. Nejjednodušší pomůckou může být milimetrový pauzovací papír, který přiložíme
na určovaný obrazec a součet celých čtverců, nalézajících se uvnitř obrazce znásobíme
plochou čtverce na pauzovacím papíru. Čím hustší síť čtverců zvolíme, tím přesnějšího
výsledku dosáhneme. Pro zpřesnění můžeme započítat i části čtverců, které jsou částečně vně
obrazce.

125
Speciálními pomůckami vytvořenými pro tento účel jsou různé druhy planimetrů.
Rozeznáváme:
ˇ nitkové planimetry,
ˇ polární planimetry,
ˇ valivé planimetry.
a) nitkový planimetr (obr. 11.3)
Princip tohoto planimetru spočívá v rozložení určovaného obrazce na úzké proužky, mající
lichoběžníkový tvar. Plochu jednotlivého lichoběžníku určíme ze vzorce:
P = a . y kde a je šířka lichoběžníku
y je střední příčka lichoběžníku.
Obr. 11.3
Zachováme-li stejnou šířku ,,a" lichoběžníků, můžeme určit plochu celého určovaného
obrazce ze vzorce:
P = a . y1 + a . y2 + ............a . yn = a . (y1 + y2 + ......yn)
P = a . y
Tímto způsobem můžeme určovat výměry velmi složitých obrazců. Používají se dva
typy nitkových planimetrů astralonový, kde je síť rovnoběžek vytištěna na průhledné
umělohmotné folii, kterou přikládáme na planimetrovaný obrazec, nebo starší typ Alderův,
kde je síť rovnoběžek realizována osnovou silonových vláken (původně koňských žíní) různě
zbarvených pro snazší orientaci. Vlákna jsou napjata v kovovém rámu (obr. 11.4).
Do výbavy astralonového i Alderova nitkového planimetru patří tzv. součtové
kružítko, pomocí kterého sčítáme střední příčky všech lichoběžníků v planimetrovaném
obrazci.

126
Postup práce s nitkovým planimetrem je následující:
1) Položíme planimetr na obrazec tak, aby rovnoběžky protínaly kolmo podélnou osu
obrazce.
2) Zároveň je podélně nastavíme tak, aby první lichoběžník byl úplný (dotýkal se
rovnoběžky), viz obr. 11.4.
Obr. 11.4
3) Nastavíme si maximální rozvor součtového kružítka podle měřítka mapy pomocí
příčného měřítka na kovovém rámu planimetru. Příčná měřítka slouží pro přesné
odečtení zbytkových hodnot určované plochy. Jsou sestrojena pro běžně používaná
měřítka map a délkové hodnoty na nich jsou převedeny do plošných podle vzdáleností
rovnoběžek ,,a":
y = P
a
1
4) Vlastní načítání plochy po jednotlivých lichoběžnících.
Postupně rozvíráním součtového kružítka podél jednotlivých středních příček
lichoběžníků.
5) Na konci planimetrované plochy obdržíme počet celých rozvorů součtového kružítka
a zbytkovou část, kterou odečteme pomocí příčného měřítka.
P = n . (a . r) + a . y = n . p + p
kde n je počet celých rozvorů
a je šířka lichoběžníku
r je celý rozvor kružítka
y je zbytková délka v kružítku.

127
Přesnost nitkových planimetrů je poměrně vysoká, udávaná poměrnou chybou
1 : 3 000. Pomocí nitkových planimetrů byly zjišťovány výměry v katastrálních mapách.
b) polární planimetr (obr. 11.5)
Je to nejpoužívanější pomůcka pro určování výměr z map a plánů všude tam, kde není
třeba vyšší přesnost. V letech 1854 ­ 6 jej zkonstruoval Švýcar Amsler.
Obr. 11.5
Planimetr se skládal z pólového ramene otočného kolem pólu P, dále z ramene
pojízdného, spojeného kloubem s ramenem pólovým. Pojízdné rameno je zakončeno hrotem
F nebo značkou na skleněné destičce, opatřenou lupou. Na pojízdném rameni je umístěno
odečítací zařízení spřažené s integračním kolečkem. Odečítací zařízení umožňuje určit celé
otočky integračního kolečka a počet tisícin otočky pomocí vernieru.
Plošný obsah obrazce změříme tak, že objedeme ve smyslu otáčení hodinových
ručiček pojízdným hrotem nebo značkou na skleněné desce celý obvod obrazce (podél
obvodové čáry). Je třeba odečíst na odečítacím zařízení stav otáček na počátku objíždění a na
jeho konci. Rozdíl mezi koncovým a počátečním čtením udá počet jednic (tisícin otáček
integračního kolečka). Každé jednici přisoudíme příslušnou plochu podle seřizovací tabulky,
která je přiložena ke každému planimetru. Plocha jednice je závislá na délce pojízdného
ramene (je možno ji měnit a je opět uvedena v seřizovací tabulce), a na měřítku
planimetrovaného plánu či mapy.
Postup při planimetrování polárním planimetrem:
1) Planimetrovaný obrazec umístíme na rovnou desku stolu a zajistíme proti posunu
(izolepou či napínáčky).
2) Podle seřizovací tabulky nastavíme pomocí vernieru pro příslušné měřítko
planimetrovaného obrazce délku pojízdného ramena.
3) Planimetr umístíme vně planimetrovaného obrazce, aby základní kružnice protínala
strany planimetrovaného obrazce přibližně středem obrazce. Základní kružnici opisuje
polární planimetr hrotem F, nebo značkou na skleněné destičce, když je spojnice pólu
P a integračního kolečka kolmá k pojízdnému ramenu (viz obr. 11.5).

128
4) Nejprve provedeme zkušební měření. Objedeme čtvercovou plošku o známé ploše.
Nastavíme hrot či značku do jednoho rohu plošky, odečteme počáteční stav otáček, ve
směru pohybu hodinových ručiček objedeme obvod plošky do stejného místa a opět
odečteme konečný stav otáček. Rozdíl obou čtení je počet jednic, který po vynásobení
plochou jedné jednice nám dá známou plochu. Pokud se plocha liší o více než dvě
jednice od plochy známé, je třeba opakovat měření, případně zkontrolovat nastavení
délky pojízdného ramena.
5) Provedeme vlastní měření obdobným způsobem jako v bodě 4) nejprve v tzv. první
poloze planimetru (obr. 11.6 a) a to ve směru pohybu hodinových ručiček. Podruhé
proti směru pohybu ručiček u hodin (při rozdílu odečítáme vždy menší hodnotu od
větší).
6) Měření opakujeme ve druhé poloze planimetru (obr. 11.6 b) opět ve směru a
v protisměru pohybu hodinových ručiček.
Obr. 11.6 a Obr. 11.6 b
7) Ze čtyř měření provedeme aritmetický průměr a vyloučíme tím většinu přístrojových
chyb. Planimetr s možností obou poloh měření se nazývá kompenzační.
Poznámka: je třeba dbát na to, aby pohyb integračního kolečka po podložce byl
plynulý a kolečko nepřijíždělo různé překážky (hrany čtvrtky, napínáčky apod.), dále aby byl
povrch dostatečně drsný a kolečko se nesmýkalo (nevhodný povrch je sklo a umakart). Na
počátku je třeba nechat obecné čtení odečítacího zařízení, nenastavovat na nulu. Je-li obrazec
větší a nelze jej objet najednou rozdělíme jej na části.
Též je třeba neplanimetrovat přímé obrysové hrany podle pravítka, ale vést hrot či
značku volnou rukou.
Přesnost polárního kompenzačního planimetru se udává poměrnou chybou 1 : 500.

129
c) valivý planimetr
Je modifikací planimetru polárního. Místo polárního ramena má valivé rameno
symetricky připevněné k ramenu pojízdnému. Na pojízdném rameni je umístěno opět
integrační kolečko s odečítacím zařízením. Na konci pojízdného ramena je opět značka pro
objíždění opatřená lupou.
Postup práce s tímto planimetrech je obdobný jako u planimetru polárního, jen při
výchozím postavení musí být valivé rameno vůči ramenu pojízdnému v kolmé poloze (viz
obr. 11.7).
Obr. 11.7
V současné době se jak u polárních, tak u valivých planimetrů hodnoty otáček
integračního kolečka registrují v digitální formě. Měření je tak velmi snadné a po
zaregistrování příslušného měřítka mapy či plánu lze na displeji z tekutých krystalů okamžitě
odečíst hodnotu plochy.