Vybrané kapitoly z matematiky pro lingvisty Martin Osovský Predikátová logika Axiomatický systém •Popsat nějaký objekt zájmu pomocí –malé množiny sentencí – teorie, skládá se z axiomů –a jejich důsledků – věty –pomocí malého množství základních pojmů –a odvozených pojmů – definice •Ideál –úplnost – každá vlastnost vyplývá z axiomů a je popsatelná základními pojmy –bezespornost – axiomy dávají smysl (skutečně popisují náš nebo alespoň nějaký objekt(model), sporné axiomy nepopisují nic) –spornost – sémantická – teorie nemá model – – syntaktická – z teorie lze odvodit formuli i její negaci Axiomatické systémy •dva přístupy –mám předem objekt a hledám jeho axiomatizaci (vždycky v případě jazyka, čísla, geometrie apod.) –mám systém axiomů a zkoumám vlastnosti jeho modelů •první vede k modelu, který typicky nemá všechny vlastnosti (neúplnost) – viz eukleidova geometrie, peanova aritmetika, teorie množin Příklad – jednoduché algebry Příklad – přirozená čísla Přirozená čísla Jednoduché algebry Jednoduché algebry Jenoduché algebry Jednoduché algebry Další algebry Algebry - přehled Příklad – teorie množin Terie množin Axiomy Další axiomy Složitější axiomy Zadání množin Operace a relace na množinách Věty o operacích na množinách Množinové operace na algebrách Množinové operace na algebrách Relace Relace Příklady relací Relace ekvivalence Kongruence Třídy relace ekvivalence Zbytkové třídy Zbytkové třídy Relace uspořádání Speciální prvky Hasseovy diagramy Hasseovy diagramy Opozice Typy opozic •nulová opozice je mezi množinou a jí samou •disjunktivní opozice je mezi dvěma disjunktními množinami •privativní opozice je mezi množinou a její podmnožinou (říkáme, že je privativní ve prospěch nadmnožiny) •ekvipolentí opozice je mezi množinami tehdy, když má neprázdný základ, neprázdnou charakteristiku a není privativní Opozice •Hjelmslev – selekce (privativní v->c), solidarita (nulová c<->c), kombinace (disjunktivní u|v) •říká tomu funkce, jde o to, zda jedna věc předpokládá druhou •vztah mezi proměnnou a hodnotou, dvěma proměnnými a dvěma konstantami Vlastnosti a vztahy mezi opozicemi •dvě opozice jsou homogenní, jestliže mají stejný základ •opozice nazýváme proporcionální, jestliže mají stejnou charakteristiku •opozice se nazývá multidimenzionální, jestliže v systému existuje jiná opozice se stejným základem, jinak je jednodimenzionální (též singulární a nesingulární) •opozice se nazývá izolovaná, není-li proporcionální s žádnou jinou opozicí v systému •Kořínek – izolovaná : proporcionální, singulární = jednodimenzionální, homogenní –homogennost – dají se představit jako krajní body řetězu jednodimenzionálních • Korelace •zajímavější jsou proporcionální opozice, neboť zachovávají nulovost, privativnost a ekvipolentnost v širším smyslu •izolovaných je víc než neizolovaných (pořadí je izo a nes, neizo a nes, s a izo, s a nes •příklady P:Š, P:T, R:L, P:B •korelace je třída vzájemně proporcionálních opozic, které jsou invariantní vzhledem k vlastnosti opozic (privativních, ekvipolentních nebo disjunktních) –např. měkkost v ruštině nebo znělost – vede na abstraktní pojmy podobně jako rovnoběžnost Distribuce Distribuce •opozice mezi distribudemi slov •nulová : syntaktická ekvivalence – slova patří do téže distribuční třídy, volná variace •kontrastivní (ekvipolentní, privativní) – existují společné i různé kontexty •komplementární (disjunktivní) – neexistuje společný kontext •v syntaxi – distribuční analýza (synonyma, hyponymie, částečná synonyma) •ve fonologii – komutační analýza (pes, ves – p a v jsou jistě v kontrastivní distribuci, prvky v komplementární distribuci nemohou odlišit význam) Zobrazení Zobrazení Speciální zobrazení Algebry zobrazení Vztah zobrazení a relací Homomorfismy Zobrazení a relace ekvivalence Systém Kulaginové Kulaginová Kulaginová Systémy vlastností Systémy vlastností Systémy vlastností •takže ve fonologickém systému českých konsonantů obvykle uvažujeme rozklad ma vlatnosti místa artikulace, způsobu artikulace, znělost, konsonantnost, předozadnost a otevřenost •vlastnosti mohou být neslučitelné –protože jsou homogenní –protože by sice mohla existovat hláska, která je má, ale zkrátka neexistuje Systémy vlastností Jazyk Vlastnosti a řetězce Pertinentní hodnoty Fonémy