Základy matematiky a statistiky
pro humanitní obory
II
Pavel Rychlý Vojtěch Kovář
Fakulta informatiky, Masarykova univerzita
Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic
{pary, xkovar3}@fi.muni.cz
23. 3. 2011
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 23. 3. 2011 1 / 9
Obsah přednášky
Obsah přednášky
Náhodná veličina
Rozložení pravděpodobnosti
Distribuční funkce
Náhodný vektor
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 23. 3. 2011 2 / 9
Náhodná veličina Náhodná veličina
Náhodná veličina
Též náhodná proměnná, random variable
Vlastnost X, jejíž hodnotu neznáme
protože nemáme dost informací
protože vlastnost ještě nenabyla hodnoty
„teplota vzduchu v Brně zítra v poledne”
„výsledek hodu kostkou”
(kdybychom dokonale znali rychlost kostky, její rotaci,
vlastnosti povrchu atd., byli bychom schopni vypočítat, co
padne)
Většinou ale máme nějaké informace o dané vlastnosti
výsledky hodů kostkou v minulosti
měření teploty v minulosti
→ pravděpodobnosti jednotlivých hodnot nejsou stejné
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 23. 3. 2011 3 / 9
Rozložení pravděpodobnosti Rozložení pravděpodobnosti
Rozložení pravděpodobnosti
Též distribuce pravděpodobnosti, probability distribution
Pravděpodobnost, že vlastnost X nabude hodnotu x
určíme např. z dřívějších pozorování
pravděpodobnost, že zítra v poledne bude -100 stupňů
vs. pravděpodobnost, že zítra v poledne bude 10 stupňů
Formálněji
funkce f , která každé možné hodnotě vlastnosti přiřadí číslo
(pravděpodobnost) od 0 do 1
součet hodnot funkce pro všechny možné hodnoty vlastnosti je
1
fX (x) = P(X = x)
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 23. 3. 2011 4 / 9
Rozložení pravděpodobnosti Rozložení pravděpodobnosti
Rozložení pravděpodobnosti
Rozlišujeme diskrétní a spojitá rozložení
konečně nebo spočetně mnoho hodnot vs. nespočetně mnoho
hodnot
omezíme se na diskrétní
pravděpodobnostní prostor
množina všech hodnot vlastnosti spolu s distribucí
pravděpodobnosti
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 23. 3. 2011 5 / 9
Rozložení pravděpodobnosti Statistika a pravděpodobnost
Statistika a pravděpodobnost
Pravděpodobnostní rozložení je určeno
„ideální” funkcí
pozorováním v minulosti zachyceným ve statistickém souboru
→ z naměřených dat určujeme pravděpodobnost neznámých
dat
např. pravděpodobnostní rozložení hodnot teploty zítra v
poledne
→ na základě měření poledních teplot v minulých dnech
např. pravděpodobnostní rozložení slov (slovních druhů, ...) v
jazyce
→ na základě dostatečně velkého vzorku textů
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 23. 3. 2011 6 / 9
Rozložení pravděpodobnosti Statistika a pravděpodobnost
Statistika a pravděpodobnost
Statistický soubor a pravděpodobnostní prostor
relativní četnosti ve statistickém souboru odpovídají hodnotám
pravděpodobnostního rozložení v pravděpodobnostním prostoru
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 23. 3. 2011 7 / 9
Distribuční funkce Distribuční funkce
Distribuční funkce
Cumulative distribution function
Pravděpodobnost, že vlastnost X nabude hodnotu x nebo menší
FX (x) = P(X ≤ x)
hodnota distribuční funkce odpovídá percentilu
pro medián je hodnota distribuční funkce 0.5
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 23. 3. 2011 8 / 9
Náhodný vektor Náhodný vektor
Náhodný vektor
Posloupnost náhodných veličin
např. počasí v Brně zítra v poledne
(teplota, tlak, vlhkost)
Rozložení pravděpodobnosti
pravděpodobnost vektoru může být jiná než součin
pravděpodobností jednotlivých jeho složek
Distribuční funkce
např. F(x, y) = P(X ≤ x ∧ Y ≤ y)
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 23. 3. 2011 9 / 9