Základy matematiky a statistiky
pro humanitní obory
II
Pavel Rychlý Vojtěch Kovář
Fakulta informatiky, Masarykova univerzita
Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic
{pary, xkovar3}@fi.muni.cz
27. 4. 2011
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 27. 4. 2011 1 / 6
Obsah přednášky
Obsah přednášky
Entropie
Mutual information (vzájemná informace)
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 27. 4. 2011 2 / 6
Entropie Entropie
Entropie náhodné veličiny
Míra informace náhodné veličiny
kolik informace získáme, když se dozvíme hodnotu náhodné
veličiny
„hodnota informace”, kterou nám veličina dává
měří se v bitech
nulová entropie = jsme schopni určit hodnotu veličiny se 100%
jistotou
Počátky
40. léta (Shannon)
potřeba přenést informaci co nejmenší možnou zprávou
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 27. 4. 2011 3 / 6
Entropie Entropie
Entropie
Vzorec
H(p) = H(X) = − x∈X p(x)log2p(x)
X = množina možných hodnot
p = pravděpodobnostní rozložení
Příklad – hod dvěma mincemi, počítáme panny
p(0) = 1/4, p(1) = 1/2, p(2) = 1/4
H(p) = −(1/4log2(1/4) + 1/2log2(1/2)) + 1/4log2(1/4)) =
−(−2/4 − 1/4 − 2/4) = 1.25 bitu
Pokud budou na obou mincích padat pouze panny
p(0) = 0, p(1) = 0, p(2) = 1
H(p) = −(log2(1)) = −(0) = 0
→ nemusíme předávat žádnou informaci, abychom zjistili, že
padly dvě panny
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 27. 4. 2011 4 / 6
Entropie Entropie
Podmíněná entropie
Podobně jako podmíněná pravděpodobnost
H(X|Y) – entropie veličiny X za předpokladu, že známe
hodnoty veličiny Y
H(p) = H(X|Y ) = x∈X p(x)H(Y |X = x)
Řetízkové pravidlo (chain rule)
H(X, Y) = H(X) + H(Y|X)
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 27. 4. 2011 5 / 6
Mutual information (vzájemná informace) Mutual information (vzájemná informace)
Mutual information (vzájemná informace)
Míra informace, kterou jedna náhodná proměnná říká o jiné
vzorec: MI(X; Y) = H(X) - H(X|Y) = H(Y) - H(Y|X)
0, pokud jsou veličiny nezáslé
čím vyšší, tím více hodnoty jedné vlastnosti určují hodnoty
druhé vlastnosti
Příklad použití – kolokace
X: výskyt slova a (např. „základní”) v textu
Y: výskyt slova b (např. „škola”) v textu
MI je měřítkem „síly” kolokace těchto dvou slov
je tím vyšší, čím vyšší je počet souvýskytů slov a tím nižší, čím
jsou slova častější
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 27. 4. 2011 6 / 6