Základy matematiky a statistiky
pro humanitní obory
II
Vojtěch Kovář Pavel Rychlý
Fakulta informatiky, Masarykova univerzita
Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic
{xkovar3, pary}@fi.muni.cz
část 1a
Vojtěch Kovář, Pavel Rychlý (FI MU Brno) PLIN004 část 1a 1 / 7
Obsah přednášky
Obsah přednášky
Kombinatorika
Základní kombinatorická pravidla
Pravděpodobnost
Příklady
Vojtěch Kovář, Pavel Rychlý (FI MU Brno) PLIN004 část 1a 2 / 7
Kombinatorika Kombinatorika
Kombinatorika
Motivace
vědět kolik možností (situací) může nastat
umožňuje výpočet pravděpodobností
Znáte ze SŠ
kombinační čísla, faktoriály
vzorečky pro variace, kombinace, permutace (s opakováním
nebo bez, ...)
Cíl přednášky
odnaučit se vzorečky
řešit kombinatorické problémy „úvahou” (selským rozumem)
Vojtěch Kovář, Pavel Rychlý (FI MU Brno) PLIN004 část 1a 3 / 7
Základní kombinatorická pravidla Základní kombinatorická pravidla
Základní kombinatorická pravidla
Pravidlo součtu
pro disjunktní množiny A1, A2, ..., An o velikostech p1, p2, ..., pn
množina A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An má velikost p1 + p2 + ... + pn
Pravidlo součinu
počet všech uspořádaných k-tic, takových, že
1. člen lze vybrat n1 způsoby, druhý člen n2 způsoby, ..., k-tý
člen nk způsoby
je n1 ∗ n2 ∗ ... ∗ nk
Vojtěch Kovář, Pavel Rychlý (FI MU Brno) PLIN004 část 1a 4 / 7
Pravděpodobnost Pravděpodobnost
Pravděpodobnost
Už znáte ze SŠ
pravděpodobnost jevu A je podíl m/n
kde m je počet situací, kdy jev A nastal
kde n je počet všech možných situací
Vojtěch Kovář, Pavel Rychlý (FI MU Brno) PLIN004 část 1a 5 / 7
Příklady Příklady
Příklady
Př. 1: Tři po sobě jdoucí hody mincemi (záleží na pořadí)
Kolik různých výsledků můžeme dostat?
pravidlo součinu: 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8
Jaká je pravděpodobnost, že nám padne aspoň dvakrát panna?
počet možností, kdy padne panna aspoň dvakrát?
4 (p-p-p, p-p-o, p-o-p, o-p-p)
→ 4/8 = 0.5
Vojtěch Kovář, Pavel Rychlý (FI MU Brno) PLIN004 část 1a 6 / 7
Příklady Příklady
Příklady
Př. 2: Kolika způsoby lze seřadit množinu {1, 2, ..., n} ?
první prvek vybíráme z n prvků, druhý z n − 1 prvků atd.
pravidlo součinu: n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2) ∗ ... = n!
Př. 3: Kolik je různých posloupností s prvky 1, 1, 2, 3, 3, 3 ?
počet všech uspořádání: 6!
ale některá uspořádání jsou identická
vždy můžeme prohodit obě jedničky
→ počet možností podělíme 2
vždy můžeme prohodit všechny trojky
→ počet možností podělíme 6 (= 3!, počet možných seřazení
3 prvků)
→ výsledek: 6!/12 = 60
Vojtěch Kovář, Pavel Rychlý (FI MU Brno) PLIN004 část 1a 7 / 7