Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory II Pavel Rychlý Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@fi.muni.cz část 5 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 část 5 1 / 9 Obsah přednášky Obsah přednášky Náhodná veličina Rozložení pravděpodobnosti Distribuční funkce Náhodný vektor Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 část 5 2 / 9 Náhodná veličina Náhodná veličina Náhodná veličina Též náhodná proměnná, random variable Vlastnost A, jejíž hodnotu neznáme protože nemáme dost informací protože vlastnost ještě nenabyla hodnoty „teplota vzduchu v Brně zítra v poledne” „výsledek hodu kostkou” (kdybychom dokonale znali rychlost kostky, její rotaci, vlastnosti povrchu atd., byli bychom schopni vypočítat, co padne) Většinou ale máme nějaké informace o dané vlastnosti výsledky hodů kostkou v minulosti měření teploty v minulosti → pravděpodobnosti jednotlivých hodnot nejsou stejné Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 část 5 3 / 9 Rozložení pravděpodobnosti Rozložení pravděpodobnosti Rozložení pravděpodobnosti Též distribuce pravděpodobnosti, probability distribution Pravděpodobnost, že vlastnost A nabude hodnoty x určíme např. z dřívějších pozorování pravděpodobnost, že zítra v poledne bude -100 stupňů vs. pravděpodobnost, že zítra v poledne bude 10 stupňů Formálněji funkce f , která každé možné hodnotě vlastnosti přiřadí číslo (pravděpodobnost) od 0 do 1 součet hodnot funkce pro všechny možné hodnoty vlastnosti je 1 fA(x) = P(A = x) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 část 5 4 / 9 Rozložení pravděpodobnosti Rozložení pravděpodobnosti Rozložení pravděpodobnosti Rozlišujeme diskrétní a spojitá rozložení konečně nebo spočetně mnoho hodnot vs. nespočetně mnoho hodnot omezíme se na diskrétní pravděpodobnostní prostor množina všech hodnot vlastnosti spolu s distribucí pravděpodobnosti Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 část 5 5 / 9 Rozložení pravděpodobnosti Statistika a pravděpodobnost Statistika a pravděpodobnost Pravděpodobnostní rozložení je určeno „ideální” funkcí pozorováním v minulosti zachyceným ve statistickém souboru → z naměřených dat určujeme pravděpodobnost neznámých dat např. pravděpodobnostní rozložení hodnot teploty zítra v poledne → na základě měření poledních teplot v minulých dnech např. pravděpodobnostní rozložení slov (slovních druhů, ...) v jazyce → na základě dostatečně velkého vzorku textů Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 část 5 6 / 9 Rozložení pravděpodobnosti Statistika a pravděpodobnost Statistika a pravděpodobnost Statistický soubor a pravděpodobnostní prostor relativní četnosti ve statistickém souboru odpovídají hodnotám pravděpodobnostního rozložení v pravděpodobnostním prostoru Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 část 5 7 / 9 Distribuční funkce Distribuční funkce Distribuční funkce Cumulative distribution function Pravděpodobnost, že vlastnost A nabude hodnoty x nebo menší FA(x) = P(A ≤ x) hodnota distribuční funkce odpovídá percentilu pro medián je hodnota distribuční funkce 0.5 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 část 5 8 / 9 Náhodný vektor Náhodný vektor Náhodný vektor Posloupnost náhodných veličin např. počasí v Brně zítra v poledne (teplota, tlak, vlhkost) Rozložení pravděpodobnosti pravděpodobnost vektoru může být jiná než součin pravděpodobností jednotlivých jeho složek Distribuční funkce např. F(x, y) = P(A ≤ x ∧ B ≤ y) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 část 5 9 / 9