GRUPY POLOGRUPY
SVAZY


GRUPA
Grupou nazýváme množinu G spolu s binární operací na ní (značíme např. *), která se nazývá grupovou
operací.
Tato operace libovolným dvěma prvkům grupy a, b přiřazuje prvek téže grupy: a * b = c.
Podle kontextu říkáme, že c je složení (součin, součet) prvků
 a a b.

GRUPOVÁ OPERACE MUSÍ SPLŇOVAT URČITÉ VLASTNOSTI, AXIOMY GRUPY
i)uzavřenost: (" a, b Î G): a * b Î G
i)asociativita: (" a, b, c Î G):  a * (b * c) = (a * b) * c
i)existence neutrálního prvku:                                                ($ e Î G) (" a Î G):
a * e = e * a = a
i)existence inverzního prvku:                                                 (" a Î G) ($ b Î G):
a * b = b * a = e                                     (b je inverzní prvek k prvku a a značí se
a−1)

DEFINICE GRUPY POMOCÍ TŘÍ OPERACÍ:
i)nulární operace (tj. konstanty) e představující neutrální prvek
i)unární operace −1, která každému prvku přiřadí prvek k němu inverzní
i)binární operace

GRUPOID
MNOŽINU ( M ), NA KTERÉ JE DEFINOVÁNA JEDNA BINÁRNÍ OPERACE (*) NAZÝVÁME GRUPOID A ZNAČÍME ( M ;
*).
Grupoid (M; *) se nazývá asociativní, právě když (∀x,y,z ∈ M)(x*y) *z = x* (y*z) – tj. operace na
něm definovaná je asociativní. Pokud je grupoid asociativní, nazývá se pologrupa.
Grupoid (M; *) se nazývá grupoid s neutrálním prvkem, právě když (∃e ∈ M)(∀x ∈ M) e*x = x*e = x –
tj. operace na něm definovaná má neutrální prvek.
Grupoid (M; *) se nazývá grupoid s inverzními prvky, právě když 1 ∈ M ∧ (∀x ∈ M)(∃y ∈ M)
x*y = y*x = 1 – tj. obsahuje jednotkový prvek a ke každému prvku take inverzní prvek.
Grupoid (M; *) se nazývá komutativní, právě když (∀x,y ∈ M) x*y = y*x – tj. operace na něm
definovaná je komutativní.

GRUPOID
MNOŽINU ( M ), NA KTERÉ JE DEFINOVÁNA JEDNA BINÁRNÍ OPERACE (*) NAZÝVÁME GRUPOID A ZNAČÍME ( M ;
*).
Grupoid (M; *) se nazývá grupoid s krácením zleva, právě když (∀x,y,z ∈ M) (z*x = z*y ⇒ x = y).
Grupoid (M; *) se nazývá grupoid s krácením zprava, právě když (∀x,y,z ∈ M) (x*z = y*z ⇒ x = y).
Grupoid (M; *) se nazývá grupoid s krácením, právě když (∀x,y,z ∈ M) (z*x = z*y ⇒ x = y) ∧
(x*z = y*z ⇒ x = y).
Grupoid (M; *) se nazývá grupoid s dělením, právě když (∀x,y ∈ M)(∃u,v ∈ M) (x*u = y ∧ v*x = y).

TEORIE SVAZŮ
Částečně uspořádaná množina formalizuje uspořádání (určení pořadí některých prvků) na množině.
Skládá se z množiny a binární relace popisující uspořádání jednotlivých dvojic prvků.
Částečné uspořádání je binární relace £ na množině G, která je:
® reflexivní: (" x, y, z Î G) a £ a
®tranzitivní: (x £ y) Ù (y £ z) Þ x £ z
® antisymetrická: (x £ y) Ù (y £ x) Þ x = y

MAXIMUM A MINIMUM
Máme možinu X. Existuje číslo M z množiny X, tak že pro všechna x Î X platí x £ M. Číslo M nazýváme
maximum množiny X označujeme ho maxX.

Máme možinu X. Existuje číslo m z množiny X, tak že pro všechna x Î X platí m £ x. Číslo M nazýváme
minimum množiny X označujeme ho minX.

Každá konečná množina má maximum a minimum.

OHRANIČENÍ MNOŽINY
Množina X se nazývá zhora ohraničená, pokud existuje takové číslo B takové, že pro každé x Î X
platí x £ B.

Množina X se nazývá zdola ohraničená, pokud existuje takové číslo b takové, že pro každé x Î X
platí b £ x.

Číslo B nazýváme horním ohraničením množiny X a číslo b dolním ohraničením množiny X.

Množina ohraničená zdola i zhora sa nazývá ohraničená.

SUPREMUM A INFIMUM
Nejmenší horní ohraničení množiny X se nazývá supremum množiny X a značí se supX.

Největší dolní ohraničení množiny X se nazývá infimum množiny X a značí se infX.

SVAZY
Definice: Uspořádaná množina, v níž ke každým dvěma prvkům existuje supremum i infimum, se nazývá
SVAZ.
SVAZ je uspořádaná množina (A, Í), kde pro každé a, b Î A existuje sup({a, b}) a inf({a, b}).
Nechť (A, £) je uspořádaná množina, kde " (a, b Î A) $ ((sup (a, b) = (a Ú b) Ù (inf (a, b) = (a Ù
b)), pak (A, Ú, Ù) je SVAZ a (A, Ú) a (A, Ù) jsou POLOSVAZY.

OPERACE VE SVAZU
Je-li dána uspořádaná množina (A, Í), která je svazem, tj. existují suprema a infima každé dvojice
prvků a, b Î A. Pak sup({a, b}) a inf({a, b}) jsou dána jednoznačně a můžeme je tedy považovat za
binární operace. Svaz budeme značit (A, Ú, Ù, Í).
Označme a Ú b = sup({a, b}); a Ù b = inf({a, b}). Operace Ú se nazývá spojení, operace Ù se nazývá
průsek.

OPERACE VE SVAZU
Je-li dán svaz (A, Í), pak pro operace Ú a Ù platí:
Pro každý prvek a Î A platí:
a Ú a = a  a zároveň  a Ù a = a
Pro každé dva prvky a, b Î A platí:
a Ú b = b Ú a  a zároveň  a Ù b = b Ù a
Pro každé tři prvky a, b, c Î A platí:
a Ú (b Ú c) = (a Ú b) Ú c  a zároveň  a Ù (b Ù c) = (a Ù b) Ù c
Pro každé dva prvky a, b Î A platí:
a Ú (b Ù a) = a  a zároveň a Ù (b Ú a) = a