MNOŽINY



URČENÍ MNOŽINY
-výčtem prvků: {a, b, c, d}
-
-charakteristickou vlastností: f

SYMBOLIKA - ZÁPISY
A, B, C… množiny
Æ… prázdná množina
a, b, c… prvky
a Î A… a je prvkem množiny A
(" x) f… pro všechna x platí f (pro libovolné x platí f)
($ x) f… existuje x tak(ové), že (pro něho) platí f
($! x) f… existuje právě jedno x tak(ové), že (pro něho) platí f
Ù, Ú, Ø… konjunkce, disjunkce, negace
Þ, Û… implikace, ekvivalence
å, Õ… sumace, multiplikace

VZTAHY MEZI MNOŽINAMI
podmnožina (inkluze)
A ⊆ B
A ⊆ B Û∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
rovnost
A =B
A = B Û A ⊆ B Ù B ⊆ A
A = B Û "x (x Î A Û x Î B)
vlastní podmnožina
A ⊂ B
A ⊂ B Û A ⊆ B Ù A≠B
A ⊂ B Û ∀x ((x Î A Þ x Î B) ∧ ∃x (x Î B ∧ x Ï A))
A ⊂ B Û ∀x ((A(x) Þ B(x)) ∧ ∃x (B(x) ∧ ¬A(x))
Potenční množina
množina všech podmnožin množiny A
příklad: A = {a, b}, P = {a, {a, b}}

MNOŽINOVÉ OPERACE
sjednocení množin
A È B Û "x (x Î A Ú x Î B)
A ∪ B = {x | x ∈ A Ú x ∈ B}
průnik množin
A Ç B Û "x (x Î A Ù x Î B)
A ∩ B = {x | x ∈ A Ù x ∈ B}
(disjunktní množiny: A Ç B = 0)

rozdíl množin
A – B Û "x (x Î A Ù x Ï B)

doplněk množiny
A‘= B – A Û "x (x Î B Ù x Ï B)

VLASTNOSTI MNOŽINOVÝCH OPERACÍ
komutativní (nezáleží na pořadí)
A È B = B È A
A Ç B = B Ç A
asociativní
A È (B È C) = (A È B) È C
A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C
Idempotentní
A È A = A
A Ç A = A
distributivní
A È (B Ç C) = (A È B) Ç (B È C)
A Ç (B È C) = (A Ç B) È (B Ç C)

KARTÉZSKÝ SOUČIN
uspořádaná dvojice
(a, b) = {{a}, {a, b}}
(a, b) = (c, d) Û a = c Ù b = d
kartézský součin
A ´ B = {(a, b): a Î A Ù b Î B}}

BINÁRNÍ RELACE
Definice: Binární relace z množiny A do množiny B se nazývá každá podmnožina kartézského součinu A
x B.
Je-li A = B, pak mluvíme o binární relaci v množině A.
Doplňková relace R ́ k relaci R v množině A je množina všech uspořádaných dvojic z A x A, které
nepatří do relace R, tj. R ́= (A x A) – R.
Relace R z množiny A do množiny B se nazývá zobrazením z A do B, právě když ke každému prvku a ∈A
existuje nejvýše jeden prvek b ∈B takový, že platí (a, b) ∈R.
(Tedy každý prvek z množiny A se může vyskytnout jako první složka uspořádané dvojice v relaci R
nejvýše jednou.)
Jestliže (a, b) ∈R, pak prvek a nazýváme vzorem prvku b a prvek b obrazem prvku a v zobrazení R
(nebo že zobrazení R přiřazuje prvku a prvek b).

VLASTNOSTI RELACÍ
Nechť U je binární relace v A. Relace U se nazývá:
1. reflexivní právě, když pro všechny prvky platí, že prvek je v relaci se sebou samým
"x Î A: (x, x) Î U
2. antireflexivní právě, když platí
"x Î A: (x, x) Ï U
3. symetrická právě, když platí
"x, y Î A: (x, y) Î U Þ (y, x) Î U
4. antisymetrická právě, když platí
"x, y Î A: (x, y) Î U Ù x ¹ y Þ (y, x) Ï U
5. transitivní právě, když platí
"x, y, z Î A: (x, y) Î U Ù (y, z) Î U Þ (x, z) Î U
5. Ekvivalence je binární relace, která je reflexivní, symetrická, a tranzitivní současně.