Odhady
o bodové odhady
o intervalové odhady
o konstrukce intervalu spolehlivosti pro průměr
o odhady podílů (kategoriální proměnné)
Odhady
o v příkladech v předchozích přednáškách jsme znali hodnoty
průměru a rozptylu populace
o obvykle tomu ale bývá přesně naopak: známe hodnoty
(statistiky) výběru a neznáme hodnoty (parametry) populace
o ty chceme z výběru odhadnout
Odhady
o 2 typy odhadů: bodové a intervalové
o bodový odhad: použijeme průměr vzorku a odhadneme, že se
rovná průměru populace
Bodový odhad
o bodový odhad je problematický v tom, že dva různé výběry nám
mohou dát dva různé odhady
o bodový odhad neobsahuje žádnou informaci o jeho přesnosti či
spolehlivosti
o na čem závisí přesnost odhadu?
Bodový odhad
přesnost odhadu závisí na dvou charakteristikách
n velikost výběru (čím větší n, tím menší výběrová chyba)
n variabilita hodnot v populaci (čím vyšší, tím vyšší i
výběrová chyba)
Intervalový odhad
o poskytuje rozsah (interval) hodnot, který s určitou
pravděpodobností obsahuje hledanou hodnotu parametru
Intervalový odhad
je založen na:
n bodovém odhadu
n velikosti výběru
n variabilitě znaku v populaci (známé nebo rovněž odhadované)
Intervalový odhad
o ptáme se: jaká je hodnota m ?
Intervalový odhad
o ptáme se: jaká je hodnota m ?
o výběrový průměr určité hodnoty může pocházet z populací o
různých průměrech
o proto nemůžeme jednoznačně určit hodnotu m
Intervalový odhad
Intervalový odhad
o takže se místo toho snažíme určit, jaký je možný rozsah
hodnot m
o jaké populace (tj. s jakou hodnotou průměru) by mohly být
pravděpodobným zdrojem našeho vzorku?
Intervalové odhady
o ze které populace nejpravděpodobněji pochází výběr, jehož
průměr je v následujícím grafu naznačen svislou čarou?
RVP pro populace I-IV
Intervalové odhady
o výběr pochází
n nejpravděpodobněji z populace II nebo III
n méně pravděpodobně z populace I
n a velmi málo pravděpodobně z populace IV
Intervalové odhady
o intervalový odhad spočívá v konstrukci tzv. intervalu
spolehlivosti (confidence interval) -- rozsahu hodnot, ve kterém s
určitou pravděpodobností leží průměr populace
Interval spolehlivosti
o nejprve je třeba si stanovit tuto pravděpodobnost -- tj.
úroveň přesnosti(spolehlivosti);
o obvyklá je např. 95% - snažíme se najít interval hodnot, ve
kterém s 95% pravděpodobností leží průměr populace
o pak jde o tzv. 95% interval spolehlivosti
Interval spolehlivosti
o poté najít hodnotu z pro tuto pravděpodobnost -- tj. rozsah,
ve kterém bude ležet středních 95% hodnot (výběrových průměrů)
o 2,5% na každé straně rozdělení
Interval spolehlivosti
Interval spolehlivosti
o tomu odpovídají hodnoty
z=-1,96
z=1,96
Interval spolehlivosti
Interval spolehlivosti - výpočet
Interval spolehlivosti - výpočet
Interval spolehlivosti
Interval spolehlivosti
o interpretace intervalu spolehlivosti: máme 95%
pravděpodobnost, že se v tomto intervalu nachází průměr populace
o pokud bychom z populace vybrali 100 náhodných výběrů o
velikosti n a pro každý z nich sestrojili tento interval, 95
intervalů by obsahovalo průměr populace a 5 nikoliv
Interval spolehlivosti
o oblíbený omyl:
n v 95% intervalu spolehlivosti leží 95% hodnot populace
(NEPLATÍ!)
o kromě 95% intervalu spolehlivosti se používá také např. 99%
a 90% pravděpodobnost
Příklad
o náhodný výběr 36 dětí romského původu, průměrné IQ vzorku =
96
o na základě tohoto zjištění odhadněte průměrné IQ populace
romských dětí (sestavte 95% (příp. 99% interval spolehlivosti)
Příklad
o Postup:
n bodový odhad: m=96
n výpočet výběrové chyby (směrodatné odchylky RVP):
s/ăn = 15/ă36 = 15/6 = 2,5
n stanovení úrovně spolehlivosti: 95% (nebo 99%)
n najít hodnotu z pro 95% (resp. 99%) pravděpodobnost
Příklad
o Postup:
n bodový odhad: m=96
n výpočet výběrové chyby (směrodatné odchylky RVP):
s/ăn = 15/ă36 = 15/6 = 2,5
n stanovení úrovně spolehlivosti: 95% (nebo 99%)
n najít hodnotu z pro 95% (resp. 99%) pravděpodobnost
Příklad
Příklad
Příklad
o v tabulce normálního rozdělení najdeme hodnoty z
o hodnoty z pro 95% : 1,96 a -1,96
(hodnoty z pro 99% : 2,57 a -2,57)
Příklad
o k výběrovému průměru přičteme (pro horní hranici intervalu)
a odečteme (pro spodní hranici) výběrovou chybu, vynásobenou
hodnotou z
Příklad
o pro 95% :
m = 96 + 1,96*2,5 = 100,90
m = 96 - 1,96*2,5 = 91,10
95% interval spolehlivosti je 91,1 -- 100,9
o pro 99% :
m = 96 + 2,57*2,5 = 102,43
m = 96 - 2,57*2,5 = 89,58
99% interval spolehlivosti je 89,6 -- 102,4
Interval spolehlivosti
o hodnoty z pro nejčastěji užívané pravděpodobnosti:
n 90% (zbývá 5% + 5%) z= +/- 1,645
n 95% (zbývá 2,5% + 2,5%) z= +/- 1,96
n 99% (zbývá 0,5% + 0,5%) z= +/- 2,57
Interval spolehlivosti
o v předchozích příkladech jsme předpokládali, že známe
hodnotu variability znaku v populaci
o ve skutečnosti je tomu tak však zřídka
o je proto nutno odhadnout zároveň s průměrem i hodnotu
směrodatné odchylky
Interval spolehlivosti
pro známé hodnoty směrodatné odchylky v populaci:
Studentovo rozdělení
o pokud za s nahradíme s (směr. odchylku výběrového průměru),
pak musíme při konstrukci intervalu spolehlivosti místo z
rozdělení použít tzv. Studentovo t rozdělení
Interval spolehlivosti
pro neznámé hodnoty směrodatné odchylky v populaci:
Studentovo rozdělení
o má také zvonovitý tvar, ale je více ploché než normální
rozdělení
o je symetrické kolem průměru (0)
o pro každou velikost výběru (počet stupňů volnosti, df)
existuje odlišné t rozdělení
df = n-1
Studentovo rozdělení
Studentovo rozdělení
o srovnání s normálním rozdělením:
n t rozdělení má vyšší variabilitu
n více plochy na okrajích, méně ve středu
n vzhledem k vyšší variabilitě budou intervaly spolehlivosti
širší než u normálního rozdělení
n jsou uváděny df obvykle jen do 100, protože pro n=100 se t
rozdělení blíží normálnímu rozdělení
Studentovo rozdělení
o tabulka t-rozdělení:
n každý řádek udává hodnoty t pro celé rozdělení pro daný
počet stupňů volnosti (tj. n-1)
n sloupce pro nejdůležitější percentily
Studentovo rozdělení
Studentovo rozdělení
Odhady podílů
o u kategoriálních proměnných nemůžeme počítat průměry
o odhadujeme proto podíly jednotlivých kategorií proměnné
Odhady podílů
o např. podíl kuřáků v populaci českých adolescentů
o podíl pacientů s rakovinou plic, kteří přežijí 5 let od
diagnózy
o podíl chlapců mezi dětmi s poruchou pozornosti
Odhady podílů
o pokud zkoumáme místo celé populace pouze výběr z ní,
nezajímá nás tolik, jaký je podíl kategorií proměnné ve výběru
(četnost p)
o ale spíše jaký je skutečný podíl v populaci -- četnost p
Odhady podílů
o při dostatečně velkém n platí i pro rozdělení podílů
centrální limitní věta
o rozdělení výběrových podílů je normální rozdělení, s
průměrnou četností p a směrodatnou odchylkou (výběrovou chybou)
Příklad 4
o chceme zjistit, jaká je podpora zachování hlavního nádraží v
Brně na stávajícím místě
o náhodný výběr z populace brněnských voličů (n=1000 osob)
o 585 osob se vyjádřilo pro (p=0,585)
o odhadněte s 95% spolehlivostí podporu zachování nádraží v
populaci brněnských voličů
Odhady podílů
o interval spolehlivosti pro podíly se spočítá podobně jako
pro průměry:
Odhady podílů
o nemůžeme však spočítat výběrovou chybu, protože neznáme p
o v tomto případě je však možné dosadit místo toho p a přitom
použít normální rozdělení (pokud je n>30)
o pokud je n<30, pak dosadíme místo p hodnotu 0,5
Příklad 4
o p=0,585
o z=1,96
o SE(p)= [0,585(1-0,585)/1000]
=0,156
interval spolehlivosti
0.585 +/- 1.96(0.0156)
0.585 +/- 0,0305
--- přesnost odhadu je +/- 3%
Příklad 4
o s 95% pravděpodobností je podíl osob souhlasících se
zachováním hlavního nádraží na stávajícím místě mezi 55.4% a
61.6%
o tj. máme 95% pravděpodobnost, že kdyby se v době průzkumu
hlasovalo, bude většina pro
Odhady podílů
vztah mezi velikostí vzorku a přesností odhadu
n n=100 +/- 10%
n n=200 +/- 7%
n n=400 +/- 5%
n n=1000 +/- 3%
n n=2400 +/- 2%
n n=9600 +/- 1%
Odhady podílů
o požadovaná velikost vzorku roste mnohem rychleji než
spolehlivost odhadu (pro zdvojnásobení spolehlivosti je nutné asi
čtyřnásobně zvětšit vzorek)
o důležité při plánování výzkumu -- jakou přesnost potřebujeme?
jaké budou náklady?
o podobný vztah platí pro odhad průměrů
Kontrolní otázky
o 2 typy odhadů
o na čem závisí šířka intervalu spolehlivosti? (není nutno
znát zpaměti vzorce, ale je třeba chápat princip výpočtu)
o vztah velikosti výběru a spolehlivosti odhadu