Induktivní statistika Odhady Odhady o bodové odhady o intervalové odhady o konstrukce intervalu spolehlivosti pro průměr o odhady podílů (kategoriální proměnné) Odhady o v příkladech v předchozích přednáškách jsme znali hodnoty průměru a rozptylu populace o obvykle tomu ale bývá přesně naopak: známe hodnoty (statistiky) výběru a neznáme hodnoty (parametry) populace o ty chceme z výběru odhadnout Odhady o 2 typy odhadů: bodové a intervalové o bodový odhad: použijeme průměr vzorku a odhadneme, že se rovná průměru populace Bodový odhad o bodový odhad je problematický v tom, že dva různé výběry nám mohou dát dva různé odhady o bodový odhad neobsahuje žádnou informaci o jeho přesnosti či spolehlivosti o na čem závisí přesnost odhadu? Bodový odhad přesnost odhadu závisí na dvou charakteristikách n velikost výběru (čím větší n, tím menší výběrová chyba) n variabilita hodnot v populaci (čím vyšší, tím vyšší i výběrová chyba) Intervalový odhad o poskytuje rozsah (interval) hodnot, který s určitou pravděpodobností obsahuje hledanou hodnotu parametru Intervalový odhad je založen na: n bodovém odhadu n velikosti výběru n variabilitě znaku v populaci (známé nebo rovněž odhadované) Intervalový odhad o ptáme se: jaká je hodnota m ? Intervalový odhad o ptáme se: jaká je hodnota m ? o výběrový průměr určité hodnoty může pocházet z populací o různých průměrech o proto nemůžeme jednoznačně určit hodnotu m Intervalový odhad Intervalový odhad o takže se místo toho snažíme určit, jaký je možný rozsah hodnot m o jaké populace (tj. s jakou hodnotou průměru) by mohly být pravděpodobným zdrojem našeho vzorku? Intervalové odhady o ze které populace nejpravděpodobněji pochází výběr, jehož průměr je v následujícím grafu naznačen svislou čarou? RVP pro populace I-IV Intervalové odhady o výběr pochází n nejpravděpodobněji z populace II nebo III n méně pravděpodobně z populace I n a velmi málo pravděpodobně z populace IV Intervalové odhady o intervalový odhad spočívá v konstrukci tzv. intervalu spolehlivosti (confidence interval) = rozsahu hodnot, ve kterém s určitou pravděpodobností leží průměr populace Interval spolehlivosti Interval spolehlivosti o nejprve je třeba si stanovit tuto pravděpodobnost – tj. úroveň přesnosti (spolehlivosti); o obvyklá je např. 95% - snažíme se najít interval hodnot, ve kterém s 95% pravděpodobností leží průměr populace o pak jde o tzv. 95% interval spolehlivosti Interval spolehlivosti o poté najít hodnotu z pro tuto pravděpodobnost – tj. rozsah, ve kterém bude ležet středních 95% hodnot (výběrových průměrů) o 2,5% na každé straně rozdělení Interval spolehlivosti Interval spolehlivosti o tomu odpovídají hodnoty z=-1,96 z=1,96 Interval spolehlivosti Interval spolehlivosti - výpočet Interval spolehlivosti Interval spolehlivosti o interpretace intervalu spolehlivosti: pokud bychom z populace vybrali 100 náhodných výběrů o velikosti n a pro každý z nich sestrojili tento interval, 95 intervalů by obsahovalo průměr populace a 5 nikoliv o opatrně můžeme říct: máme 95% pravděpodobnost, že se v tomto intervalu nachází průměr populace Interval spolehlivosti o oblíbený omyl: n v 95% intervalu spolehlivosti leží 95% hodnot populace (NEPLATÍ!) o kromě 95% intervalu spolehlivosti se používá také např. 99% a 90% pravděpodobnost Příklad o náhodný výběr 36 dětí hospitalizovaných bez matky v raném věku (do 6 měsíců), průměrné IQ vzorku = 96 o na základě tohoto zjištění odhadněte průměrné IQ populace dětí hospitalizovaných bez matky v raném věku (sestavte 95% interval spolehlivosti) Příklad o Postup: n bodový odhad: m=96 n výpočet výběrové chyby (směrodatné odchylky RVP): s/√n = 15/√36 = 15/6 = 2,5 n stanovení úrovně spolehlivosti: 95% n najít hodnotu z pro 95% pravděpodobnost Příklad Příklad o v tabulce normálního rozdělení najdeme hodnoty z o hodnoty z pro 95% : 1,96 a -1,96 Příklad o k výběrovému průměru přičteme (pro horní hranici intervalu) a odečteme (pro spodní hranici) výběrovou chybu, vynásobenou hodnotou z Příklad CI (m) = x + z (s/√n) CI (m) = 96 + 1,96 * 2,5 = 96 + 4,9 =100,9 CI (m) = 96 - 1,96 * 2,5 = 96 - 4,9 = 91,10 95% interval spolehlivosti je 91,1 – 100,9 Interval spolehlivosti o hodnoty z pro nejčastěji užívané pravděpodobnosti: n 90% (zbývá 5% + 5%) z= +/- 1,645 n 95% (zbývá 2,5% + 2,5%) z= +/- 1,96 n 99% (zbývá 0,5% + 0,5%) z= +/- 2,57 Příklad 2 o pro odhad průměru z předchozího příkladu sestrojte 99% interval spolehlivosti Příklad 2 CI (m) = x + z (s/√n) CI (m) = 96 + 2,57 * 2,5 = 96 + 6,4 =102,4 CI (m) = 96 - 2,57 * 2,5 = 96 – 6,4 = 89,6 99% interval spolehlivosti je 89,6 – 102,4 Odhady podílů o u kategoriálních proměnných nemůžeme počítat průměry o odhadujeme proto podíly jednotlivých kategorií proměnné Odhady podílů o např. podíl kuřáků v populaci českých adolescentů o podíl pacientů s rakovinou plic, kteří přežijí 5 let od diagnózy o podíl chlapců mezi dětmi s poruchou pozornosti Odhady podílů o pokud zkoumáme místo celé populace pouze výběr z ní, nezajímá nás tolik, jaký je podíl kategorií proměnné ve výběru (četnost p) o ale spíše jaký je skutečný podíl v populaci – četnost p Odhady podílů o při dostatečně velkém n platí i pro rozdělení podílů centrální limitní věta o rozdělení výběrových podílů je normální rozdělení, s průměrnou četností p a směrodatnou odchylkou (výběrovou chybou) Příklad 4 o chceme zjistit, jaká je podpora zachování hlavního nádraží v Brně na stávajícím místě o náhodný výběr z populace brněnských voličů (n=1000 osob) o 585 osob se vyjádřilo pro (p=0,585) o odhadněte s 95% spolehlivostí podporu zachování nádraží v populaci brněnských voličů Odhady podílů o interval spolehlivosti pro podíly se spočítá podobně jako pro průměry: Odhady podílů o nemůžeme však spočítat výběrovou chybu, protože neznáme p o v tomto případě je však možné dosadit místo toho p a přitom použít normální rozdělení (pokud je n>30) o pokud je n<30, pak dosadíme místo p hodnotu 0,5 Příklad 4 o p=0,585 o z=1,96 ^o SE(p)= [0,585(1-0,585)/1000]^ =0,0156 interval spolehlivosti 0.585 ± 1.96(0.0156) 0.585 ± 0,0305 --- přesnost odhadu je ± 3% Příklad 4 o s 95% pravděpodobností je podíl osob souhlasících se zachováním hlavního nádraží na stávajícím místě mezi 55.4% a 61.6% o tj. máme 95% pravděpodobnost, že kdyby se v době průzkumu hlasovalo, bude většina pro Odhady podílů vztah mezi velikostí vzorku a přesností odhadu n n=100 ± 10% n n=200 ± 7% n n=400 ± 5% n n=1000 ± 3% n n=2400 ± 2% n n=9600 ± 1% Odhady podílů o požadovaná velikost vzorku roste mnohem rychleji než spolehlivost odhadu (pro zdvojnásobení spolehlivosti je nutné asi čtyřnásobně zvětšit vzorek) o důležité při plánování výzkumu – jakou přesnost potřebujeme? jaké budou náklady? o podobný vztah platí pro odhad průměrů Příklad na závěr o z denního tisku: n Padesát pět procent Američanů si myslí, že Palinová nemá předpoklady stát se viceprezidentkou, zatímco před dvěma týdny sdílelo tento názor jen 50 procent voličů. Průzkum byl proveden v posledních čtyřech dnech a statistická chyba je 2,9 procenta. o můžeme dojít k závěru, že důvěra v Palinovou skutečně klesá? Kontrolní otázky o 2 typy odhadů o na čem závisí šířka intervalu spolehlivosti? (není nutno znát zpaměti vzorce, ale je třeba chápat princip výpočtu) o vztah velikosti výběru a spolehlivosti odhadu Literatura o Hendl: kapitoly 4 a 5