Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Pavel Rychlý    Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}<äfi.muni.cz 26.10. 2010 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                     26.10.2010       1 /8	Obsah přednášky Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                     26.10.2010       2 /8
Čísla     Čísla - znalosti ze SS Čísla - znalosti ze SS ► Číselné množiny ► přirozená čísla N = {0,1,...} ► celá čísla Z = N U {-1, -2,...} ► racionálni čísla Q = {r/s   r, s G Z A s/0} ► reálná čísla - „celá číselná osa" ► komplexní čísla - „pokrývají rovinu" ► Náš cíl ► všechny objekty v matematice jsou množiny ► —> definice čísel s pomocí množin ► definice číselných operací Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                     26.10.2010       3 /8	Přirozená čísla     Přirozená čísla Přirozená čísla ► Přirozená čísla ► formálně definována jako objekt splňující nějaké axiomy ► tzv. Peanova aritmetika ► Axiomy přirozených čísel ► existuje nula ► každé číslo x má následníka S(x) ► nula není následníkem žádného čísla ► různá čísla mají různé následníky: a ^ b     S(a) ^ S(b) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                     26.10.2010       4 /8
Přirozená čísla      Konstrukce přirozených čísel Konstrukce přirozených čísel ► Definujeme množinový systém, který splňuje Peanovy axiomy ► 0 = 0 ► S(x) = x U {x} ► Jak tedy čísla vypadají? ► 0 = 0 ► 1 = {0} ► 2 = {0,{0}} ► 3 = {0,{0},{0,{0}}} ► atd. - vždy n = {0,...,n- 1} Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                     26.10.2010       5 /8	Přirozená čísla     Číselné operace Číselné operace ► Definovány induktivně ► Sčítání ► a + 0 = a ► a + S(b) = S(a+b) ► Násobení ► 3*0=0 ► a * S(b) = (a * b) + a Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                     26 10 2010       6 /8
Přirozená čísla Příklad Příklad - sčítání podle definice ► 1 + 2 ► 1 = S(0) ► 2 = S(l) = S(S(0)) ► 1 + 2 ► 1 + S(l) ► S(l + 1) ► S(l + S(0)) ► S(S(1 + 0)) ► S(S(1)) ► S(S(S(0))) ► = 3 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                     26.10.2010       7 / 8	Další číselné množiny Další číselné množiny ► Jsou konstruovány s využitím dvojic a ekvivalencí ► pojmy, které „neznáme" ► —> v následujících přednáškách Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                     26 10 2010        3 8