Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Pavel Rychlý    Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}<äfi.muni.cz 23.11.2010 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                    23.11.2010        1 / 11	Obsah přednášky Obsah přednášky Funkce Velikost množin Posloupnosti Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                    23.11.2010       2 / 11
Funkce Funkce Funkce ► Funkce ► speciální typ relace ► tj. všechny funkce jsou současně i relace (naopak ne) ► Alternativní pohled na relaci ► prvních n-1 hodnot uspořádané dvojice jsou argumenty relace (vstup) ► poslední hodnota je hodnota funkce (výstup) ► zápis - např.: (a, b,c) G + = +(a, b) = c ► Funkce ► taková relace, kde výstup je jednoznačný Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                    23.11.2010       3 / 11	Funkce Funkce Definice funkce ► Funkce ► taková relace, kde výstup je jednoznačný ► binární relace f na množině A je funkce, pokud platí: ► Va, b, c G A ( (a, b) G f A (a,c) G f    b = c ) ► —> unární funkce je binární relace ► ternární relace f na množině A je funkce, pokud: ► Va, b, c, d G A ( (a, b, c) G f A (a, b, d) G f    c = d ) ► —> binární funkce je ternární relace ► podobně funkce více proměnných Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                    23.11.2010       4 / 11
Funkce Funkce Funkce - varianty zápisu ► Často říkáme „funkce z A do B" ► případně „zobrazení z A do B" ► zapisujeme f : A —> B ► tj. podmnožina kartézského součinu A x B ► A = definiční obor (vstup), značíme Df nebo dom(f) ► B = obor hodnot (výstup), značíme Rf nebo f(A) ► Funkční hodnota ► zapisujeme f (a) = b ► totéž jako: (a, b) E f ► také ,,b je obraz prvku a" ► také ,,a je vzor prvku b" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                    23 11 2010        5 / 11	Funkce     Vlastnosti funkcí Vlastnosti funkcí ► Injektivita ► f : A —> B je injektivní (též prostá), právě tehdy, když ► y a, b E A ( f (a) = f {b) =» a = b) ► —> „žádné dva prvky nemají stejný obraz" ► Surjektivita ► ŕ : /4 —> 6 je surjektivní (též „na"), právě tehdy, když ► \/bEB(3aEA(b= f (a) ) ► —► „každý prvek oboru hodnot má nějaký vzor" ► —» „celý obor hodnot je pokrytý" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                    23 11 2010        6 11
Funkce     Vlastnosti funkcí Vlastnosti funkcí (2) ► Úplnost ► f : A —> B je úplná, právě tehdy, když ► Va E A ( 3b E B (b = f (a) ) ► —> „každý prvek definičního oboru má nějaký obraz" ► —> „celý definiční obor je pokrytý" ► pojmem „funkce" se často myslí úplná funkce ► Bijekce ► f : A —> B je bijekce, právě tehdy, když je injektivní, surjektivní a úplná ► —>■ množiny A a B jsou „stejně velké" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                    23.11.2010       7 / 11	Funkce    Vlastnosti funkcí Inverzní funkce ► Inverzní funkce ► pokud f : A —> B je injektivní, definujeme inverzní funkci ► f'1 : B -»>4 ► f-^Ď) = a = f(a) = b Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                    23.11.2010        8 / 11
Velikost množin     Velikost množin Definice velikosti množiny ► Velikost množiny A: \A\ ► je definována jako přirozené číslo n právě tehdy, pokud existuje bijekce f : n —> A ► viz konstrukce přirozených čísel pomocí množin ► Nekonečné množiny ► A je spočetná právě tehdy, pokud existuje bijekce f : N —> A ► —> spočetné množiny mají stejný počet prvků jako přirozená čísla ► N, Z, Q jsou spočetné množiny ► R (reálná čísla) není spočetná množina ► A má mohutnost kontinua právě tehdy, pokud existuje bijekce f : R^A Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                    23.11.2010       9 / 11	Posloupnosti Posloupnosti Posloupnosti ► Záleží na pořadí prvků ► Konečné posloupnosti ► = uspořádané n-tice ► Nekonečné posloupnosti ► = funkce na přirozených číslech ► a0, 3i,an,... je jen jiný zápis f(0), f(l),f(n),... ► Induktivní definice nekonečné posloupnosti ► vypíšeme první člen (prvních několik členů) ► určíme předpis, podle něhož dostaneme an s pomocí an-\ (případně an-2 apod.) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                  23.11.2010       10 / 11
Posloupnosti Posloupnosti Posloupnosti - příklad ► Fibonacciho posloupnost ► 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... ► a0 = 0 ► a\ = 1 ► an = an-i + an-2 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                  23.11.2010       11 / 11