Induktivní statistika
oz-skóry
opravděpodobnost
onormální rozdělení
o
o
o
o
o
o
o
o

Z-skóry
oumožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci rozdělení hodnot
oa také srovnávání hodnot pocházejících z měření na rozdílných stupnicích
ohrubé skóry jsou převedeny na standardizovanou stupnici (jednotkou je směrodatná odchylka)
o
o

Z-skóry - příklad
onapř. skóry ze dvou testů – biologie a psychologie
ostudent získal 26 bodů z biologie a 620 z psychologie. Ve kterém předmětu byl lepší?

Z-skóry - příklad
zskory1


Z-skóry
opřímé porovnání není snadné – skóry z obou testů mají rozdílné průměry i směrodatné odchylky
oz skór =odchylka skóru od průměru vzhledem k velikosti směrodatné odchylky
oz = odch. od průměru/směr. odch.

Z-skóry - příklad
oskór z biologie: (26-18)/6 = 1,33
oskór psychologie: (620-500)/100=1,2
ov biologii byl student lepší – 1,33 směrodatné odchylky nad průměrem

Z-skóry
oz-skór přesně udává pozici každé hodnoty vzhledem k ostatním hodnotám
oznaménko (+ nebo -) ukazuje, zda je hodnota nad nebo pod průměrem rozdělení
ohodnota z-skóru upřesňuje, kolik směrodatných odchylek byla hodnota od průměru vzdálena

Z-skóry
oprůměr rozdělení z-skórů je vždy 0
osměrodatná odchylka je 1
z skóry

Z-skóry
ovzorec pro výpočet z-skóru hodnoty X
o
ou populace: z = (X – μ) /σ
o
ou vzorku: z = (X - m) / s

Z-skóry
opodobně můžeme i z-skór převést na hrubý skór, známe-li průměr a směrodatnou odchylku


Z-skóry
onapř. u stupnice IQ
om = 100, s = 15
opro osobu se z=-3 (3 směrodatné odchylky pod průměrem) bude IQ ?

Z-skóry
onapř. u stupnice IQ m = 100, s = 15
opro osobu se z=-3 (3 směrodatné odchylky pod průměrem) bude IQ
o
o   X = Z . s + m
o      X = -3 . 15 + 100
o    X =  55

Rozdělení z-skórů
otvar rozdělení z-skórů je stejný jako tvar původního rozdělení hrubých skórů
oprůměr je 0, směrodatná odchylka 1
otransformace změní jen označení hodnot na ose X

Pravděpodobnost
opostupy induktivní statistiky vycházejí z  teorie pravděpodobnosti
opravděpodobnost, že nastane určitý výsledek, definujeme jako podíl
o
n    počet pokusů, kdy nastal jev A
nP (A) =
n        celkový počet jevů

Pravděpodobnost - příklady
ojaká je pravděpodobnost, že si z balíčku 52 karet vytáhneme určitou kartu (např. pikovou dámu) ?


Pravděpodobnost - příklady
ojaká je pravděpodobnost, že si z balíčku 52 karet vytáhneme určitou kartu (např. pikovou dámu) ?
o
oP (piková dáma) = f/N = 1/52 = 0,019= 1,9%

Pravděpodobnost - příklady
ojaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne trojka nebo šestka ?
o

Pravděpodobnost - příklady
ojaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne trojka nebo šestka ?
o
oP (3 n. 6) = f/N = 2/6 = 0,333= 33,3%

Pravděpodobnost
opravděpodobnost bývá uváděna nejčastěji jako podíl (0,33), zlomek (1/3) nebo procento (33,3%)
opravděpodobnost určitého jevu nebo třídy jevů můžeme odhadnout z rozdělení hodnot (četností)

Pravděpodobnost - příklady
opředstavme si, že máme krabici se 40 očíslovanými žetony s čísly 1 – 5
ov tabulce jsou uvedeny absolutní i relativní četnosti jednotlivých čísel žetonů
o

Pravděpodobnost
X
f
p
5
2
0,05
4
10
0,25
3
16
0,40
2
8
0,20
1
4
0,10

Pravděpodobnost
prst1


Pravděpodobnost - příklady
ovaším úkolem je vytáhnout 1 žeton
ojaká je pravděpodobnost, že vytáhnete žeton s číslem 3?

Pravděpodobnost
X
f
p
5
2
0,05
4
10
0,25
3
16
0,40
2
8
0,20
1
4
0,10

Pravděpodobnost
ovaším úkolem je vytáhnout 1 žeton
ojaká je pravděpodobnost, že vytáhnete žeton s číslem 3?
op (3) = f/N = 16/40 =0,40
o nebo 2/5 či 40%

Pravděpodobnost
oJaká je pravděpodobnost, že vytáhnete žeton s číslem vyšším než 2?


Pravděpodobnost
X
f
p
5
2
0,05
4
10
0,25
3
16
0,40
2
8
0,20
1
4
0,10

Pravděpodobnost
oJaká je pravděpodobnost, že vytáhnete žeton s číslem vyšším než 2?
o p(X > 2) = ?
o 0,05 + 0,25 + 0,40 = 0,70
o
o
prst2

Pravděpodobnost
oJaká je pravděpodobnost, že vytáhnete žeton s číslem nižším než 5?


Pravděpodobnost
X
f
p
5
2
0,05
4
10
0,25
3
16
0,40
2
8
0,20
1
4
0,10

Pravděpodobnost
oJaká je pravděpodobnost, že vytáhnete žeton s číslem nižším než 5?
o p(X < 5) = ?
o 0,10 + 0,20 + 0,40 + 0,25 = 0,95
o
o
prst3

Pravděpodobnost
oJaká je pravděpodobnost, že vytáhnete žeton s číslem nižším než 4 a vyšším než 1?


Pravděpodobnost
X
f
p
5
2
0,05
4
10
0,25
3
16
0,40
2
8
0,20
1
4
0,10

Pravděpodobnost
oJaká je pravděpodobnost, že vytáhnete žeton s číslem nižším než 4 a vyšším než 1?
o p(4 > X > 1) = ?
o 0,20 + 0,40 = 0,60
o
o
prst4

Pravděpodobnost
opravděpodobnost odpovídá hustotě oblasti pod křivkou pro daný interval
o
o

Kontrolní otázky
ozákladní typy grafů, výhody/nevýhody
oodlehlá pozorování
ovýpočet a interpretace z-skóru

Normální rozdělení
o
onormální rozdělení je symetrické, unimodální, zvonovitého tvaru
ooznačuje se i jako Gaussova křivka
o

Normální rozdělení
prst5


Normální rozdělení
o34.13% skórů spadá mezi průměr a 1 směr. odchylku
o13.59% hodnot spadá mezi 1. a 2. směr. odchylku
o2.28% hodnot spadá nad 2. směr. odchylku
prst6

Normální rozdělení
otabulka normálního rozdělení
(z rozdělení)
odůležitý nástroj, obvykle jako apendix v učebnicích statistiky
(spolu s dalšími tabulkami)
oumožňuje zjistit hustotu oblasti pod křivkou (tj. pravděpodobnost)
pro jednotlivé z-skóry
o

Normální rozdělení
z
levá strana
pravá strana
0.00
0.5000
0.5000
0.01
0.5040
0.4960
…
…
…
0.30
0.6179
0.3821
0.31
0.6217
0.3783
…
…
…
1.00
0.8413
0.1587
…
…
…
prst7

Normální rozdělení - příklady
opostup při zjišťování pravděpodobnosti z tabulky:
nnačrtnout si normální rozdělení,
s hodnotou průměru a směr. odch.
nzakreslit hledanou hodnotu (v přibližné vzdálenosti od průměru), vystínovat hledanou oblast
npřevést hodnotu X na z-skór
nnajít v tabulce pravděpodobnost
n
n

Normální rozdělení - příklady
oJaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba z populace bude mít IQ 130 nebo vyšší? (m = 100,
s =15)

Normální rozdělení - příklady
oz = 2
o
norm1

Normální rozdělení - příklady
oJaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba z populace bude mít IQ 130 nebo vyšší?
oz = 2
op = 1 – (0.50 +0.4772) = 0.0228
  tj. 2,3%
o

Normální rozdělení - příklady
oJaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba z populace bude mít IQ 85 nebo nižší?


Normální rozdělení - příklady
oz = -1
o
norm2

Normální rozdělení - příklady
oJaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba z populace bude mít IQ 85 nebo nižší?
oz = -1
op = 1 - (0.50+0.3413) = 0.1587
tj. 15,9%
o

Normální rozdělení - příklady
opostup při zjišťování z-skóru z tabulky:
nnačrtnout si normální rozdělení
nvystínovat oblast odpovídající zadané pravděpodobnosti
nv tabulce vyhledat příslušný z-skór
nvypočítat z něj hrubý skór
n
n

Normální rozdělení - příklady
oJakou minimální hodnotu IQ musí člověk mít, aby patřil mezi 5% osob s nejvyššími hodnotami IQ?


Normální rozdělení - příklady
op = 0.05
norm3

Normální rozdělení - příklady
oJakou minimální hodnotu IQ musí člověk mít, aby patřil mezi 5% osob s nejvyššími hodnotami IQ?
op = 0.05
oz tabulky (hledáme hodnotu nejbližší 0.50-0.05, tj. 0.45): z = 1.65
oX = (1.65)x(15) + 100 = 124.75

Normální rozdělení - příklady
oněkdy chceme zjistit pravděpodobnost, že skór bude spadat do určitého intervalu
opostup:
nnačtrtnout graf a vystínovat zadanou oblast
noba (ohraničující) skóry převést na z-skóry
nvyhledat pravděpodobnosti < nebo > skóru
nsečíst či odečíst pravděpodobnosti
o

Normální rozdělení - příklady
oJaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student bude v testu z psychologie skórovat mezi 300 a
650 body? (m = 500, s =100)

Normální rozdělení - příklady
norm4


Normální rozdělení - příklady
oJaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student bude v testu z psychologie skórovat mezi 300 a
650 body? (m = 500, s =100)
op(300 < x < 650) = 0.4772 + 0.4332 = 0.9104

Normální rozdělení - příklady
opříklad: kolik procent osob má nižší hodnoty IQ než člověk s IQ 130?


Normální rozdělení - příklady
oz = 2
norm6

Normální rozdělení - příklady
oKolik procent osob má nižší hodnoty IQ než člověk s IQ 130?
oz tabulky: pro z = 2
op = 0.50 + 0.4772 = 0.9772
o97.72% osob má nižší skór

Kontrolní otázky
ovýpočet a především interpretace z-skórů
onormální rozdělení – charakteristiky
o
o

Literatura
oHendl: kapitoly 4 a 5