Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Pavel Rychlý Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 60200 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@fi.muni.cz část 1 Pavel Rychlý, Vojtech Kov Informace o predmetu i Obsah předmětu ■ průřez vysokoškolskou matematikou ■ forma srozumitelná studentům s humanitním zaměřením (lingvistika) i Ukončení předmětu ■ zkouška (formou dvou písemek) ■ 25 % bodů vnitrosemestrální písemka: 27.10. ■ 75 % bodů závěrečná písemka i Úspěšné ukončení ■ min. 60 % bodů z písemek Pavel Rychlý, Vojtěch Kov Obsah předmětu i Okruhy ■ výroková logika, důkazy, indukce ■ základy teorie množin, čísla, relace, funkce ■ ekvivalence, uspořádání ■ úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formální gramatika ■ kombinatorika, popisná statistika i Zdroje informací ■ studijní text k předmětu ■ literatura na stránce předmětu (přesahuje rámec předmětu) ■ slidy, texty a příklady ve studijních materiálech ■ diskusní fórum, konzultační hodiny Pavel Rychlý, Vojtěch Kov Proč potřebují lingvisté matematiku? i Počítačová lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ —> pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech i Abstraktní myšlení ■ schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ —> snazší pochopení lingvistických modelů ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ —> nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky Pavel Rychlý, Vojtěch Ko\ Organizační poznámky i 24. listopadu a 8. prosince ■ přednášky pravděpodobně odpadnou Pavel Rychlý, Vojtěch Ko\ íl mezi SS a VS matematikou i Středoškolská matematika ■ = počty s čísly: ■ —> kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) i Vysokoškolská matematika ■ = umění abstrakce + přemýšlení v obecnostech ■ —> zásobárna abstraktních pojmů ■ —> přesné definice ■ —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ —> základ pro všechny technické obory Fl MU Brno I Pavel Rychlý, Vojtěch Ko\ tiky I Obsah prednášky Principy vysokoškolské matematiky Principy vysokoškolské matematiky i Středoškolská matematika ■ návody, jak něco spočítat i Vysokoškolská matematika ■ soubor poznatků o abstraktních pojmech ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ "celé číslo x je sudé, pokud existuje takové celé y, že y * 2 = x" ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ " 10 je sudé číslo" ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem ■ 10 = 5*2 (zákl. aritmetika) ■ 5 * 2 je sudé (definice) ■ tedy 10 je sudé Pavel Rychlý, Vojtěch Kov Fl MU Brno I Pavel Rychlý, Vojtěch Ko\ Přímý důkaz ■ použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty Důkaz sporem ■ předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor ■ (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z předpokladů) Důkaz indukcí ■ dokazujeme něco pro posloupnost objektů ■ příště i Věta pokud 2 * x2 = y2, pak y je sudé (pro x, y celá) Ukázky důkaz Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ celá čísla (1, 2, 3..... 0, -1, -2, ...) ■ sčítání, odčítání, násobenia dělení na celých číslech ■ dělitele (xje dělitelem a, pokud a/xje celé) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou celá a nemají společného dělitele jiného než 1 a -1) ■ druhou mocninu (a2 = a * a) ■ druhou odmocninu [y/ä = n, pokud n * n = a) Fl MU Brno I Pavel Rychlý, Vojtech Ko\ Ukázka důkazu Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y je liché ■ tedy existuje celé k tak, že y = 2/c + 1 ■ úpravou původní věty dostáváme: ■ 2x2 = (2/c + l)(2/c + l) ■ dále roznásobíme závorku: ■ 2x2 = Ak2 + Ak + 1 ■ vytkneme 2 z části pravé strany: ■ 2x2 = 2 * (2/c2 + 2/c) + 1 ■ odečtením výrazu 2 * (2/c2 + 2/c) a vytknutím 2 z levé strany dostaneme: ■ 2* (x2 - (2/c2 + 2/c)) = 1 ■ tedy 1 je sudé číslo, což je spor. Pavel Rychlý, Vojtěch Ko\ Ukázka důkazu i Věta \pl není racionální číslo. Ukázka důkazu Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že \/2 je racionální číslo. ■ tedy \pl = r/s, kde ras jsou celá a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: \fl* s = r m 2 * s2 = r2 ■ tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké celé c ■ nahrazením dostaneme: 2*s2 = 2*c*2*c ■ s2 = 2 * c2 ■ tedy s je také sudé iris jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem.