Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Pavel Rychlý    Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 60200 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@fi.muni.cz část 6 Pavel Rychlý. Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                               cást 6 1/11	Obsah přednášky Obsah přednášky Funkce Velikost množin Posloupnosti Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                               část 6 2/11
Funkce Funkce Funkce ► Funkce ► speciální typ relace ► tj. všechny funkce jsou současně i relace (naopak ne) ► Alternativní pohled na relaci ► prvních n-1 hodnot uspořádané n-ticejsou argumenty relace (vstup) ► poslední hodnota je hodnota funkce (výstup) ► zápis - např.: (a, fa, c) e + = +(a, fa) = c ► Funkce ► taková relace, kde výstup je jednoznačný Pavel Rychlý, Vojtěch Kovai   (1 1 MU   'nu>|                           PLIN004                                                               část 6 3/11	Funkce Funkce Definice funkce ► Funkce ► taková relace, kde výstup je jednoznačný ► binární relace f na množině A je funkce, pokud platí: Va, b, c G A ( (a, b) e f A (a, c) e f => b = c ) ► —> unární funkce je binární relace ► ternární relace f na množině A je funkce, pokud: ► Va, b, c, d e A ( (a, fa, c) e f A (a, fa, d) e f =ž> c = d ) ► —> binární funkce je ternární relace ► podobně funkce více proměnných Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                            PLIN004                                                               část 6 4/11
Funkce Funkce Funkce - varianty zápisu ► Často říkáme ,,funkce z A do B" ► případně „zobrazení z A do B" ► zapisujeme f : A —? 8 ► tj. podmnožina kartézského součinu A x B ► A = definiční obor (vstup), značíme Df nebo dom(f) *■ B = obor hodnot (výstup), značíme Rf nebo f (A) ► Funkční hodnota ►■ zapisujeme f (a) = b ►• totéž jako: (a, b) e f ► také „b je obraz prvku a" ► také „a je vzor prvku b" Pavel Rychty, Vojtech Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN0O4                                                               čast 6 5/11	Funkce      Vlastnosti funkcí Vlastnosti funkcí ► Injektivita ► f : A —i B je injektivní (též prostá), právě tehdy, když ► Va, fa 6 A ( f (a) = f (fa) => a = fa ) ► —7 „žádné dva prvky nemají stejný obraz" ► Surjektivita ►• f : /4 —7 8 je surjektivní (též „na"), právě tehdy, když ► Vfa 6 6 ( 3a e A (fa = f (a) ) ► —> „každý prvek oboru hodnot má nějaký vzor" ► —> „celý obor hodnot je pokrytý" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                               čast 6 6/11
Funkce     Vlastnosti funkcí Vlastnosti funkci (2) ► Úplnost ► f : A —> B je úplná, právě tehdy, když ► Va 6 A ( 3b e B (b = f (a) ) ► —> „každý prvek definičního oboru má nějaký obraz" ► —> „celý definiční obor je pokrytý" ► pojmem „funkce" se často myslí úplná funkce ► Bijekce ► f : A —¥ B je bijekce, právě tehdy, když je injektivní, surjektivní a úplná ► —> množiny A a B jsou „stejně velké" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovai   (1 1 MU Brno)                           PLIN004                                                               část 6 7/11	Funkce     Vlastnosti funkcí Inverzní funkce ► Inverzní funkce pokud f : A —> 8 je injektivní, definujeme inverzní funkci ► f'1 : B^A - f~\b) = a = f (a) = fa Pavel Rychlý, Vojtěch KovaV  (1 1 MU Brno)                            PLIN004                                                               část 6        8 / 11
Velikost množin      Velikost množin Definice velikosti množiny ► Velikost množiny A: \A\ > je definována jako přirozené číslo n právě tehdy, pokud existuje bijekce f : n —> A > viz konstrukce přirozených čísel pomocí množin ► Nekonečné množiny > A je spočetná právě tehdy, pokud existuje bijekce f : N —> A > —> spočetné množiny mají stejný počet prvků jako přirozená čísla > N, Z, Q jsou spočetné množiny > R (reálná čísla) není spočetná množina > A má mohutnost kontinua právě tehdy, pokud existuje bijekce f : R -> A Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                               část 6 9/11	Posloupnosti Posloupnosti Posloupnosti ► Záleží na pořadí prvků ► Konečné posloupnosti *■ = uspořádané n-tice ► Nekonečné posloupnosti *■ = funkce na přirozených číslech ► ao, ai,    3„,... je jen jiný zápis f (0), f (1),ŕ(n), ■■■ ► Induktivní definice nekonečné posloupnosti *■ vypíšeme první člen (prvních několik členů) *■ určíme předpis, podle něhož dostaneme a„ s pomocí 3„_i (případně 3„_2 apod.) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                            PLIN004                                                             část 6 10/11
Posloupnosti Posloupnosti Posloupnosti - příklad ► Fibonacciho posloupnost »• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... ►■ a0 = 0 ► 3l = 1 *■   3n= 3„_l + 3„_2 Pavel Rychlý, Vojtech Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                             část 6 11/11